Возможно, Вы не знали, что доходы, которые можно получить при портфельном управление в несколько раз превышают банковские проценты, а риски - при взвешенном просчитанном подходе - практически на том же уровне. Это в полном смысле «золотое дно» только начинает разрабатываться в нашей стране, хотя уже давно изучено в Европе и Америке. С уверенностью можно предсказать в ближайшие годы взрыв активности страховых и инвестиционных компаний, пенсионных фондов и банков в данной области.

Читатель, наверное, уже где-то слышало об инвестиционных портфелях. Если так, то это статья расширит Ваши представления об этом финансовом инструменте.

Важное место в технологии портфельного инвестирования занимают статистические методы. На практике математические модели редко применяются для работы с российскими акциями. Причиной тому является низкая эффективность использования математического аппарата в условиях нестабильности. Однако, с постепенной нормализацией политической и экономической ситуации в России актуальность портфельного инвестирования на основе статистических методов будет возрастать. И это уже сейчас происходит.

Среди математических моделей выделяют модели, решающие задачи оптимального формирования портфеля и прогнозирования. Вместе мы рассмотрим методологию построения оптимизационной модели на основе теории Марковица.

Во второй половине двадцатого века господствовала идея о том, что портфель созданный из рисковых активов априори имеет высокий риск. В 1959 г. Марковицем была предложена математическая схема выбора оптимальных портфелей, концентрирующая внимание на поведении портфеля, а не его составляющих. Она коренным образом изменила точку зрения на инвестиционный процесс.

Основной задачей в процессе оптимального формирования портфеля ценных бумаг, является распределение инвестором определенной суммы денег по различным альтернативным вложениям. В общем случае задача оптимизации портфеля состоит в выборе такого распределения средств между активами, при котором происходит максимизация прибыли при заданных ограничениях на уровень риска.

Читатель в этой статье встретит слова «эффективный» и «оптимальный» портфели. Под эффективным понимается портфель, удовлетворяющий требованиям минимального риска и максимального дохода. Если инвестор стоит перед выбором одного из эффективных портфелей, то оптимальным портфелем будет наиболее предпочтительный из них. Предпочтения инвестора - это отношения к риску и ожидаемой доходности вложений. Инвестору часто приходится сталкиваться с выбором рисковых активов, т.е. активов доходность которых в будущем не определена. Кстати, как показывает практика риск актива обратно пропорционален его доходности.

Теперь мы готовы рассмотреть, как измеряется ожидаемая доходность и риск активов, а также ожидаемая доходность портфеля, состоящего из рисковых активов.

Формула доходности инвестиционного портфеля имеет вид:

где Rр - доходность портфеля р за период;

Rg - доходность актива g за период;

wg - вес актива g в портфеле (т.е. доля рыночной тоимости актива g в общей рыночной стоимости всего портфеля);

G - число активов в портфеле.

Пример 1

Пусть инвестиционный портфель состоит из акций ЛУКОЙЛа (20%), Сбербанк (40%) и Мосэнерго (40%) при соответствующей недельной доходности 0,93%, 1,81% и 1,6%. Тогда недельная доходность портфеля будет равна Rр = 0,2*0,93+0,4*1,81+0,4*1,6= 1,55%

Представленная выше формула показывает, что доходность портфеля, состоящего из G активов (Rp), равна сумме всех взвешенных доходностей отдельных активов, входящих в портфель.

Для удачно ведения портфеля, инвестору важно знать его ожидаемую доходность. Ожидаемая доходность портфеля - это взвешенная сумма ожидаемых доходностей активов, входящих в портфель. При этом вес ожидаемой доходности каждого актива определяется как доля рыночной стоимости отдельного актива в общей рыночной стоимости портфеля.

Ожидаемая доходность рискового актива вычисляется следующим образом. Сначала задается распределение вероятностей для возможных значений реализованной доходности. Распределение вероятностей - это функция, сопоставляющая каждое возможное значение доходности и вероятности его реализации. При заданном распределении вероятности ожидаемое значение случайной величины есть взвешенное среднее ее возможных значений, причем роль весов играет вероятность реализации этих значений. Математически ожидаемая доходность актива выражается следующим образом:

где r n - n-е возможное значение доходности i-го актива;
р n - вероятность реализации значения доходности п для i-го актива;
N - число возможных значений доходности.

Пример 2

Пусть проведено 100 измерений доходности акции Мосэнерго-3 в 20 случаях она составила 3,5%, в 15 - 2,6% и в 65 случаях была 1%. Тогда математическое ожидание доходности по акции Мосэнерго-3 буде Е(Ri)=3,5*0,2+2,6*0,15+0,65*1=1,74%.

В толковых словарях риск определяется как «подверженность опасности, убыткам, потерям и т.п.». В инвестиционной деятельности понятие риска трансформировалось и стало определяться как вариация или дисперсия доходности актива (меры возможных отклонений от среднего значения). В результате риск получил количественное значение. Заслуга в этом принадлежит Марковицу, который на основе статистического понятия риска создал свою двухпараметрическую модель инвестиционного портфеля.

Формула для определения вариации доходности n-го актива записывается следующим образом:

Пример 3

Найдем риск получения средней доходности 1,74% за неделю по акции Мосэнерго-3. Для этого рассчитаем вариацию доходности var(Ri)=0,2*(3,5-1,74)2+0,15*(2,6-1,74)2+0,65*(1-1,74)2=1,0864.

Вариация учитывает не только размер отклонений возможных значений доходности от среднего, но и вероятность такого отклонения, т.е. она указывает меру неопределенности в ожиданиях инвестора, который оценивает будущую доходность как среднюю по всем возможным значениям. Это обстоятельство и позволило Марковицу считать дисперсию доходности мерой риска инвестиций.

Вариация имеет размерность квадрата измеряемой величины, для удобства ее преобразовывают в стандартное отклонение, путем извлечения квадратного корня. В результате получается величина, имеющая ту же размерность, что и доходность

Кстати, наш фондовый рынок еще не достаточно развит и поэтому использование статистических методов имеет свои ограничения. В частности, на ММВБ, на конец 1 квартал 2002 года, существовало всего 17 акций с историческими данными глубиной более двух лет. Иначе говоря, найти ожидаемую доходность и риск с большей долей достоверности можно только на семнадцати акциях из 54 активно торгуемых на ММВБ. Если не учитывать облигации, то узость возможного применения теории Марковица станет еще более очевидна. Выход из данной ситуации использование данных с РТС, но они имеют тоже свои ограничения, связанные с нерегулярностью проходящих сделок. На рисунке 1 представлен график доходности и риска по 16 акциям с достаточными историческими данными. На нем не уместилась привилегированная акция Самарэнерго второго выпуска из-за высокой недельной доходности за двухлетний период.

Рис. 1. Взаимосвязь недельной доходности и риска 16 акций по данным за 2 года

Как было указано выше формула определения вариации дает вариацию отдельного актива. Найти вариацию портфеля из двух активов не намного сложнее. Она зависит не только от вариации двух активов, но и от «степени согласованности» в поведении доходностей активов.

Уравнение имеет вид:

где cov(R i R j) - ковариация доходностей активов i и j.

Смысл выше указанного уравнения состоит в том, что вариация доходности портфеля равна взвешенной сумме взвешенных вариаций доходностей двух активов и их ковариации.

Понятие ковариации еще не встречалось в наших обсуждениях. Это - математический термин. В данном контексте он означает степень взаимосвязи доходностей двух активов. Для измерения ковариации нет таких специальных единиц, как, например, доллары или проценты. Положительная ковариация означает, что доходности обоих активов изменяются (в среднем) в одном направлении, а отрицательная - в противоположном. Ковариация двух активов рассчитывается при помощи следующей формулы:

где r in - n-е возможное значение доходности актива i;

r jn - п-e возможное доходности актива j;

p n - вероятность реализации n-го значения доходности для активов i, j;

N - число возможных значений доходности.

Понятие корреляции между доходностями активов аналогично понятию их ковариации. Корреляция доходностей активов i и j определяется как ковариация двух активов, деленная на произведение их стандартных отклонений.

Существенного различия между терминами «корреляция» и «ковариация» нет. Деление ковариации на результат стандартного отклонения просто нормирует ковариацию, превращая ее в безразмерный показатель - коэффициент.

Коэффициент корреляции принимает значение в промежутке от -1 до +1. При этом значение, равное +1, отражает полное совпадение направления движения, а -1 означает полное несовпадение.

Таблица 1. Данные по корреляции 17 акций между собой

Интересные данные представлены в таблице 1, где показана взаимозависимость 17 акций торгуемы на ММВБ. Если присмотреться, то найдется всего несколько акций с отрицательной корреляцией. На их основе можно построить эффективные портфели Марковица.

В практике составления инвестиционного портфеля оценка ожидаемого значения, стандартного отклонения, ковариации и корреляции получается, исходя из статистических наблюдений за доходностью.

В общем виде вариация портфеля из G активов такова:

Поскольку вариация портфеля зависит от ковариации составляющих его ценных бумаг, несмотря на то, что риск отдельных активов может быть достаточно велик, риск самого портфеля можно снизить.

Технология создания эффективного портфеля из обширных групп ценных бумаг требует большого количества расчетов. Для портфеля из G акций требуется рассчитать (G2 - G)/2 ковариации. Поэтому для портфеля всего из 50 акций нужно подсчитать 1224 ковариации, а для 100 акций - 4950. Для нахождения портфелей с минимальным риском используются методы квадратичного программирования и соответствующее программное обеспечение. Обсуждение этих моделей выходит за рамки данной статьи. В нашем случае из 17 акций получится 136 ковариаций. Эффективные портфели из трех наиболее подходящих активов можно составить подбирая акции интуитивно. В результате получилось два инвестиционных портфеля. Они представлены в таблице 2.

Таблица 2. Эффективные инвестиционные портфели, составленные по теории Марковица

При сопоставление данных рисунка 1 и таблицы 2 логично сделать вывод, что эффективные портфели Марковица обеспечивают высокую доходность при среднем риске. Оптимальный портфель, из указанных выше, пусть инвестор выберет самостоятельно.

Итак, основа стратегии диверсификации Марковица - это уровень ковариации доходностей активов портфеля. Заслуга Марковица в разработке инвестиционной теории состоит в постановке вопроса о риске активов как составляющих единого портфеля, а не отдельно взятых единиц.

Приведем пример формирования инвестиционного портфеля по модели Г. Марковица с помощью программы Excel, разберем достоинства и недостатки данной модели в современной экономике и пути их решения.

Инвестиционный портфель – это совокупность различных финансовых инструментов, удовлетворяющих цели инвестора и, как правило, заключается в создании таких комбинаций активов, которые бы обеспечили максимальную доходность при минимальном уровне риска.

Модель Марковица

Г. Марковиц в 1952 году впервые предложил математическую модель формирования инвестиционного портфеля. В основе его модели лежат два ключевых показателя любого финансового инструмента: доходность и риск, которые были количественно измерены. Доходность по модели представляет собой математическое ожидание доходностей, а риск определяется как разброс доходностей возле математического ожидания и рассчитывается через стандартное отклонение.

До модели Г. Марковица инвестирование происходило, как правило, в выборочные активы или финансовые инструменты, предложенная же им модель позволила снизить систематические (рыночные) риски за счет группировки активов с отрицательной корреляцией доходностей.

Следует заметить универсальность модели, так инвестиционный портфель может быть технически составлен для любых видов финансовых инструментов и активов: акций, облигаций, фьючерсов, индексов, недвижимости и т.д.

Цели формирования инвестиционного портфеля

Выделяют две инвестиционные стратегии при формировании портфеля:

Максимизации доходности инвестиционного портфеля при ограниченном уровне риск.

Минимизация риска инвестиционного портфеля при минимально допустимом уровне доходности.

Расчет доходности инвестиционного портфеля Марковица

Общая доходность портфеля будут представлять собой взвешенную сумму доходностей каждого отдельного финансового инструмента (актива):

где:

r p – доходность инвестиционного портфеля;

w – доля i-го финансового инструмента в портфеле;

r i – доходность i-го финансового инструмента.

Оценка риска инвестиционного портфеля Марковица

В модели Г. Марковица риск отдельно взятого финансового инструмента рассчитывается как стандартное отклонение доходностей. Для расчета общего риска портфеля необходимо отразить их совокупное изменение и взаимное влияние (через ковариацию), для этого воспользуемся следующей формулой:

σp – риск инвестиционного портфеля;

σ i – стандартное отклонение доходностей i-го финансового инструмента;

k ij – коэффициент корреляции между I,j-м финансовым инструментом;

w i – доля i-го финансового инструмента (акций) в портфеле;

V ij – ковариация доходностей i-го и j-го финансового инструмента;

n – количество финансовых инструментов инвестиционного портфеля.

Эконометрический вид модели Марковица

Для того чтобы сформировать инвестиционный портфель необходимо решить оптимизационную задачу. Существует два вида задач: поиск долей акций в портфеле для достижения максимальной эффективности при заданном уровне риска (σ p) и минимизация риска при заданном уровне доходности портфеля (r p). Помимо этого на уравнения накладываются дополнительные очевидные ограничения: сумма долей активов должна быть равна 1 и сами доли активов должны быть положительными.

В таблице ниже показаны формулы и наложенные на них ограничения для поиска оптимальных долей финансовых инструментов (акций).

Портфель Марковица минимального риска	Портфель Марковица максимальной эффективности

Пример формирования инвестиционного портфеля Марковица в Excel

Рассмотрим наглядный пример формирования инвестиционного портфеля по модели Г. Марковица в программе Excel. Наш портфель будет состоять из четырех отечественных акций: ОАО «Газпром» (GAZP), ОАО «Норильский никель» (GMKN), ОАО «Мечел» (MTLR) и ОАО «Сбербанк» (SBER). Были взяты акции различных секторов: нефтегазового, промышленного и финансового, такой выбор увеличивает диверсификацию портфеля и снижает его рыночный риск.

Рекомендуется брать период рассмотрения динамики изменения стоимости акций минимум один год. Это позволяет сделать более точный долгосрочный прогноз доходности и риска портфеля. На рисунке ниже показана ежемесячная стоимость акций за период с 01.02.2014 – 01.02.2015г.

Котировки акций Газпрома, ГМКНорНикеля, Мечела и Сбербанка

На следующем этапе формирования портфеля необходимо рассчитать ежемесячные доходности по каждой акции. Для этого воспользуемся формулой процентов в Excel:

Доходность Газпром =LN(B6/B5)

Доходность ГМКНорНикель =LN(C6/C5)

Доходность Мечел =LN(D6/D5)

Доходность Сбербанк =LN(E6/E5)

Расчет ежемесячных доходностей акций для модели Марковица в Excel

Ожидаемая доходность Газпром =СРЗНАЧ(F5:F17)

Ожидаемая доходность ГМКНорНикель =СРЗНАЧ(G5:G17)

Ожидаемая доходность Мечел =СРЗНАЧ(H5:H17)

Ожидаемая доходность Сбербанк =СРЗНАЧ(I5:I17)

Оценка ожидаемой доходности акций портфеля в Excel

Доходность акции ОАО «Сбербанк» имеет отрицательное ожидание доходности, поэтому ее следует исключить из портфеля. Оценка риска каждой акции – это ее изменчивость (волатильность) по отношению к математическому ожиданию доходностей.

Формула расчета риска акций следующая:

Риск Газпром =СТАНДОТКЛОН(F5:F17)

Риск ГМКНорНикель =СТАНДОТКЛОН(G5:G17)

Риск Мечел =СТАНДОТКЛОН(H5:H17)

Мы получили первоначальные необходимые данные для оценки долей данных акций в инвестиционном портфеле. Для оценки уровня риска всего инвестиционного портфеля воспользуемся надстройкой в Excel. Для этого зайдем в Главном меню → «Данные» → «Анализ данных» → «Ковариация».

Результатом будет таблица ковариаций доходностей акций между собой. Расположим ее ниже под таблицей. Можно заметить, что диагональные значения представляют собой дисперсию доходностей акций.

Пример расчета ковариационной матрицы для инвестиционного портфеля Марковица в Excel.

Для расчета общего риска портфеля воспользуемся формулой рассмотренной выше и для этого нам необходимо перемножить доли весов акций между собой и значения ковариаций этих акций. Для того чтобы понять принцип расчета, установим доли акций 0.3, 0.3 и 0.4 и рассчитаем общий риск портфеля. Доходность портфеля рассчитывается как средневзвешенная сумма доходностей отдельных акций. Так как мы будем перемножать матрицы необходимо транспонировать столбец с долям (wT). Формула расчета риска инвестиционного портфеля будет иметь следующий вид:

Общий риск инвестиционного портфеля =КОРЕНЬ(МУМНОЖ(МУМНОЖ(F26:H26;F23:H25);D23:D25))

Общая доходность инвестиционного портфеля =F18*F26+G18*G26+H18*H26

Формирование инвестиционного портфеля минимального риска

Для данной задачи необходимо определить минимальный уровень допустимой доходности портфеля (r p). Возьмем r p ≥ 4%. При оценке долей акций воспользуемся надстройкой в Excel «Поиск решений», для этого выбираем Главное меню Excel → «Данные» → «Поиск решений», а также введем ограничения на весовые значения коэффициентов у акций: сумма долей акций должна быть равна 1 и сами доли должны иметь положительный знак.

В надстройке «Поиск решений» необходимо ввести ссылку на ячейку, которую следует оптимизировать (общий риск портфеля), ввести, какие параметры необходимо изменять (доли акций) и текущие ограничения. Целевая ячейка – это ячейка с формулой общего риска инвестиционного портфеля. Программа будет изменять значения долей акций при выставленных ограничениях. Формула ограничения размера доли в портфеле будет иметь следующий вид:

Ограничение на сумму долей акций (F30) =СУММ(F26:H26)

Расчет долей акций в инвестиционном портфеле в Excel

В результате мы получаем следующий расчет общего риска и доходности портфеля. Общий риск портфеля составил 8,7%, тогда как общая доходность 4%. Доли акций Газпрома получились равными 27%, доли ГМКНорНикель 73% и Мечела 0%. При заданных условиях эффективнее будет формирование портфеля из двух акций ОАО «Газпром» и ОАО «ГМКНорНикель».

Формирование инвестиционного портфеля Марковица в Excel. Пример расчета для минимального риска

Визуально доли портфеля будут соотноситься следующим образом.

Формирование эффективного инвестиционного портфеля

Вторая задача, которая решается на основе модели Г. Марковица – посторонние портфеля с максимальным уровнем доходности и ограниченным уровнем риска. Разберем на примере данную задачу. Установим максимально допустимый уровень риска портфеля σ p ≤10%. С помощью надстройки «Поиск решений» определим доли акций в данной интерпретации задачи. Целевая ячейка будет ячейка с формулой доходности портфеля, ее следует максимизировать, изменяя значения долей акций при ограничениях по риску. На рисунке ниже показаны основные параметры для формирования портфеля с максимальной доходностью.

Оптимизация инвестиционного портфеля для максимизации доходности

В результате мы получили доли акций в инвестиционном портфеле: 9% акций ОАО «Газпром», 88% акций ОАО «ГМКНорНикель» и 2% акций ОАО «Мечел». Общий риск портфеля не превысил 10%, а доходность составила 4,82%.

Визуально доли инвестиционного портфеля будут соотноситься следующим образом.

Достоинства и недостатки модели Г. Марковица

Рассмотрим ряд недостатков присущих модели Г. Марковица.

• Данная модель была разработана для эффективных рынков капитала, на которых наблюдается постоянный рост стоимости активов и отсутствуют резкие колебания курсов, что было в большей степени характерно для экономики развитых стран 50-80-х годов. Корреляция между акциями не постоянна и меняется со временем, в итоге в будущем это не уменьшает систематический риск инвестиционного портфеля.
• Будущая доходность финансовых инструментов (акций) определяется как среднеарифметическое. Данный прогноз основывается только на историческом значении доходностей акции и не включает влияние макроэкономических (уровень ВВП, инфляции, безработицы, отраслевые индексы цен на сырье и материалы и т.д.) и микроэкономических факторов (ликвидность, рентабельность, финансовая устойчивость, деловая активность компании).
• Риск финансового инструмента оценивается с помощью меры изменчивости доходности относительно среднеарифметического, но изменение доходности выше не является риском, а представляет собой сверхдоходность акции.

Многие из данных недостатков модели были решены последователями: прогнозирование доходности с помощью многофакторных моделей (Ю. Фама, К. Френч, Росс и др.), нейронных сетей; оценка риска на основе моделей ARCH, GARCH и т.д. Следует отметить одно из главных достоинств модели Г. Марковица: систематизация подхода к формированию инвестиционного портфеля и управление его доходностью и риском.

Резюме

В данной статье мы рассмотрели, как с помощью Excel можно сформировать инвестиционный портфель по модели Г. Марковица и решить две классические задачи: максимизация доходности портфеля при минимальном риске и минимизация риска при заданной доходности. Портфель Марковица позволяет снизить систематические риски за счет комбинации различных активов. Несмотря на сложности использования данной модели в современной экономике данная модель применима для таких низковолатильных активов как недвижимость, облигации товарные фьючерсы и т.д. В настоящее время сократился срок пересмотра активов в портфеле, так если раньше он мог составлять год, то сейчас это 2-6 месяцев. С вами был Иван Жданов, спасибо за внимание.

Теория портфеля

Начало современной портфельной теории было положено работой Гарри Марковица (1952).

Концепция инвестиционного портфеля имеет важные следствия для многих сфер финансового управления. Например, цена капитала фирмы определяется степенью риска ценных бумаг, находящихся в ее портфеле, поскольку, во-первых, структура инвестиционного портфеля влияет на степень риска собственных ценных бумаг фирмы; во-вторых, требуемая инвесторами доходность зависит от величины этого риска. Кроме того, любая фирма, акции которой находятся в портфеле, в свою очередь, может рассматриваться как некий портфель находящихся в ее эксплуатации активов (или проектов), и поэтому владение портфелем ценных бумаг представляет собой право собственности на множество различных проектов. В этом контексте уровень риска каждого проекта оказывает влияние на рискованность портфеля в целом.

Согласно теории портфеля Марковица критериями оценки эффективности инвестиционных решений являются только два параметра - ожидаемая доходность и стандартное отклонение доходности. Теория портфеля состоит в том, что, как правило, совокупный уровень риска может быть снижен за счет объединения рисковых активов в портфели. Основная причина такого снижения риска заключается в отсутствии прямой функциональной связи между значениями доходности по большинству различных видов активов.

Невозможно найти ценную бумагу, которая была бы одновременно высокодоходной, высоконадежной и высоколиквидной. Каждая отдельная бумага может обладать максимум двумя из этих качеств. Сущность портфельного инвестирования как раз и подразумевает распределение инвестиционного потенциала между различными группами активов.

Инвестиционный портфель - это набор инвестиционных инструментов, которые служат достижению поставленных целей. Распределяя свои вложения по различным направлениям, инвестор может достичь более высокого уровня доходности своих вложений либо снизить степень их риска. Характерной особенностью портфеля является то, что риск портфеля может быть значительно меньше, чем риск отдельных инвестиционных инструментов, входящих в состав портфеля.

Вложения в ценные бумаги осуществляются с целью получения инвестиционного дохода. Однако такая формулировка является слишком обобщенной. Доход может быть получен в форме процентов и дивидендов или в виде прироста курсовой стоимости ценных бумаг (прежде всего акций). Поэтому на состав портфеля будет оказывать влияние то, какую цель преследует инвестор, вкладывая средства в ценные бумаги. На выбор цели оказывает влияние ряд факторов, среди которых можно назвать следующие.

• Портфель должен обеспечивать регулярное поступление инвестору определенной суммы средств, необходимых для удовлетворения всех или части жизненных потребностей инвестора.
• У инвестора может возникнуть необходимость быстрой ликвидации портфеля. В этом случае портфель должен быть составлен таким образом, чтобы при ликвидации обеспечить сохранность основной суммы и не потерять средства.
• Налогообложение доходов инвестора. Инвестор, получающий высокие доходы и выплачивающий высокие налоги, в определенных ситуациях будет стремиться к приобретению ценных бумаг, доходы по которым не облагаются налогами.
• Склонность инвестора к риску. Если инвестор не склонен рисковать, то состав портфеля будет иным, чем в случае с инвестором, готовым вложить средства в более рискованные ценные бумаги.

С учетом сказанного можно выделить следующие наиболее типичные цели портфеля ценных бумаг:

• 1) получение дохода;
• 2) получение дохода и повышение стоимости портфеля;
• 3) повышение стоимости портфеля и получение дохода;
• 4) повышение стоимости портфеля.

Портфели, в которых основное внимание уделяется доходу, принято считать наиболее консервативными. Такие портфели должны состоять из облигаций, по которым выплачивается вполне определенный доход, а также из тех акций, по которым дивидендные выплаты составляют высокий процент от прибыли.

В случае если ставится цель повышения стоимости портфеля, в портфель включаются акции быстрорастущих компаний. Потенциальная прибыль таких компаний велика, но эти компании оставляют прибыль на цели развития и выплачивают низкие дивиденды или не выплачивают их вовсе. Выгода инвестора происходит от роста курсовой стоимости акций. Потенциальный выигрыш инвестора может быть значительным, но таким же значительным является риск инвестора не получить ожидаемую прибыль. Этот риск связан как с самой компанией, так и с рынком.

Цель «получение дохода и повышение стоимости портфеля» предполагает, что чуть больше внимания уделяется получению дохода, в то время как цель «повышение стоимости портфеля и получение дохода» на первый план выдвигает повышение стоимости портфеля. Этим двум целям будут соответствовать портфели с различной долей более рискованных акций роста.

В результате установления цели портфеля вырабатывается направление по формированию состава портфеля. Если инвестор ориентирован на получение дохода, то портфель должен быть составлен из облигаций и акций надежных компаний, выплачивающих высокие дивиденды. Как крайняя позиция портфель может состоять только из облигаций. Это происходит в том случае, когда инвестор старается избежать всякого риска или когда он ставит своей целью получение строго определенного ежегодного дохода.

Если инвестор ориентируется на увеличение стоимости портфеля, то такой портфель должен быть составлен из акций. В процессе формирования такого портфеля можно выделить несколько этапов. На первом этапе следует решить, какое число акций включать в портфель. Эмпирический анализ показывает, что портфели с числом акций от 8 до 16 ведут себя ненамного хуже, чем портфели с большим количеством акций, и могут обеспечить достаточное снижение риска. Кроме того, такие портфели требуют меньших издержек по формированию и изменению своего состава.

На втором этапе формирования портфеля проводится тщательный отбор акций, включаемых в портфель. Для этого необходимо проанализировать, как ведут себя акции в условиях благоприятной и неблагоприятной конъюнктуры, и с учетом предпочтений инвестора к ожидаемой прибыли отобрать в портфель акции, которые ведут себя несхожим образом, чтобы обеспечить снижение риска портфеля.

На третьем этапе следует определить, какую долю инвестиций направить в каждый вид отобранных акций. Наиболее простой способ состоит в том, чтобы направить равные доли инвестиций в каждый пакет акций. Этот способ достаточно прост и удобен и, как показывает практика, дает неплохие результаты.

В случае если целью портфеля является получение текущего дохода и повышение стоимости актива, в портфель следует включить акции компаний, которые выплачивают относительно стабильные дивиденды, а также некоторую часть средств направить на приобретение долговых бумаг, которые являются стабильным источником дохода. Соотношение акций и долговых бумаг будет зависеть от того, на что делается больший упор - на повышение стоимости портфеля или на получение текущего дохода.

При формировании инвестиционного портфеля следует руководствоваться соображениями:

• безопасности вложений (неуязвимости инвестиций от потрясений на рынке инвестиционного капитала);
• стабильности получения дохода;
• ликвидности вложений.

Ни одна из инвестиционных ценностей не обладает всеми перечисленными выше свойствами. Поэтому неизбежен компромисс. Если ценная бумага надежна, то доходность будет низкой, так как те, кто предпочитает надежность, будут предлагать высокую цену и снизят доходность.

После истечения определенного времени первоначально сформированный портфель может не отвечать требованиям инвестора и подлежит пересмотру. При этом состав портфеля изменяется только в том случае, когда меняются:

• 1) предпочтения инвестора;
• 2) безрисковая процентная ставка;
• 3) общие прогнозы доходности и риска исходного портфеля;
• 4) привлекательность отдельных отраслей и акций как объектов инвестирования из-за различий в нормах прибыли.

Отдельные составляющие портфеля с течением времени изменяют свои характеристики доходности и риска, поэтому инвестор должен избавляться от тех активов портфеля, которые не отвечают его целям.

Ожидаемая доходность портфеля представляет собой взвешенную среднюю из показателей ожидаемой доходности отдельных ценных бумаг, входящих в данный портфель: где к р х { - доля портфеля, инвестируемая в i- й актив; /с, - ожидаемая доходность i- го актива; п - число активов в портфеле.

Пример

Предположим, что ожидаемая доходность акций Н к н =10% , а акций Z k z = 15%. Если вес^капитал вложить в акции Н, ожидаемая доходность портфеля к р = к }1 =10%. Если инвестировать капитал только в акции Z, ожидаемая доходность инвестиций составит к р =к 2 =15%. При инвестировании капитала в акции разными долями ожидаемая доходность портфеля будет равна средневзвешенной из доходностей акций:

Мерой риска портфеля может служить показатель среднего квадратического отклонения распределения доходности, для расчета которого используется формула

где k pi - доходность портфеля, соответствующая i-му состоянию экономики; к р - ожидаемая доходность портфеля; Р. - вероятность того, что экономика будет находиться в i- м состоянии.

Эта формула полностью совпадает с формулой расчета среднего квадратического отклонения отдельного актива, за исключением того факта, что в данном случае под активом понимается портфель активов.

Основными понятиями, используемыми для анализа портфеля, являются ковариация и коэффициент корреляции. Ковариация (cov) - это мера, учитывающая дисперсию (или разброс) индивидуальных значений доходности акции и силу связи между изменением доходностей данной акции и всех других акций. Ковариация между акциями АиВ рассчитывается следующим образом:

Множитель (k Ai -к л ) представляет собой отклонение доходности акции А от ее ожидаемого значения при i-м состоянии экономики. Множитель (к т -к в) - отклонение доходности акции В для того же состояния экономики; Р (- вероятность того, что экономика будет находиться в i-м состоянии; п - общее число состояний.

Содержательно интерпретировать численное значение ковариации достаточно сложно, поэтому очень часто для измерения силы связи между двумя переменными используется коэффициент корреляции. Этот коэффициент позволяет стандартизировать ковариацию путем деления ее на произведение соответствующих средних квадратических отклонений и привести величины к сопоставимому виду. Данный коэффициент рассчитывается следующим образом:

Знак коэффициента корреляции совпадает со знаком ковариации, поэтому положительная его величина означает однонаправленное изменение переменных, а отрицательная - их изменение в противоположных направлениях. Если значение г близко к нулю, связь между переменными слабая.

Пример

Рассчитаем ковариацию и коэффициент корреляции между акциями F и G исходя из данных, приведенных в табл. 3.1.

Таблица 3.1. Распределение вероятностей доходности акций Е, F, G и Н (%)

Отрицательное значение ковариации говорит о том, что значения доходности этих акций изменяются в противоположных направлениях.

То есть между этими акциями действительно имеет место обратная функциональная связь.

Если предположить, что распределения доходности отдельных ценных бумаг являются нормальными, то для определения риска портфеля, состоящего из двух активов, может использоваться формула

где х - доля портфеля, инвестируемая в ценную бумагу А; 1 - х - доля портфеля, инвестируемая в ценную бумагу В.

Оптимальным всегда будет тот портфель, который обеспечит наименьший риск.

Выражение для определения весового коэффициента, минимизирующего риск портфеля, состоящего из двух активов А и В, выглядит следующим образом:

где а А * - доля средств, инвестированных в актив А.

Предположим, что нам предлагают два вида инвестиций, Z и У, характеристики которых приведены в табл. 3.2.

Таблица 3.2. Различия доходности и риска

Коэффициент корреляции равен -0,25, ковариации - (-200).

Допустим, что оба типа инвестиций могут сочетаться в любых пропорциях, т.е. являются абсолютно делимыми (как инвестиции в ценные бумаги). Но мы ограничимся фиксированным числом вариантов портфелей, показатели риска и доходности которых приведены в табл. 3.3.

Таблица 3.3. Сочетание риска и доходности портфеля, %

Стремясь минимизировать риск, мы можем инвестировать все средства в активы Z, имеющие наименьшее среднеквадратическое отклонение доходности. Однако при переходе от портфеля, целиком состоящего из активов Z, к портфелю, на 75% составленному из активов Z и на 25% - из активов У, риск всего портфеля в целом снижается, а ожидаемая доходность увеличивается.

Возможные сочетания риска и доходности портфелей отражены на рис. 3.2.

Рис.

При наличии в портфеле безрискового актива с доходностью к 0 функция к р (является отрезком прямой, соединяющей точку с координатой к 0 , лежащую на оси ординат, и точку касания М (рис. 3.2). Точка М называется рыночным портфелем.

Любой инвестор, формирующий оптимальный рыночный портфель, будет выбирать доходность и риск (стандартное отклонение) так, чтобы они лежали на этом отрезке. Прямая линия, проходящая через точки к 0 и М, называется основной рыночной линией. Тангенс угла наклона этой прямой называется рыночной ценой риска.

Рыночный портфель определяется при равновесии на рынке. Равновесие на конкурентном финансовом рынке имеет место в том случае, если все его участники располагают одинаковой информацией и формируют на ее основе оптимальный портфель. При этом структура рисковой части оптимального портфеля полностью определяется вероятностными характеристиками ценных бумаг и не зависит от склонности инвестора к риску.

При равновесии на финансовом рынке предложение рисковых и безрисковых ценных бумаг равно спросу. Если долговые обязательства корпораций не соответствуют спросу, то вступает в действие закон конкурентного рынка, т.е. цена бумаг, спрос на которые превышает предложение, будет расти, и наоборот (при этом эффективности первых будут расти, а вторых падать). На основании информации об этом каждый инвестор скорректирует структуру рисковой части своего портфеля. В результате на рынке устанавливается равновесие. В этом случае распределение на рынке рисковых ценных бумаг по видам будет близко к распределению ценных бумаг в оптимальном портфеле. Задачу о доле капитала, вкладываемого в рисковую и безрисковую части портфеля, каждый инвестор решает сам. Эта доля зависит от склонности инвестора к риску.

Таким образом, наиболее предпочтительное сочетание рискованных активов всегда определяется отношением к риску лица, принимающего инвестиционное решение. Если знать степень неприятия риска этим лицом, т.е. размер премии, требуемый им для компенсации соответствующего повышенного риска - тогда можно точно определить состав наилучшего портфеля.

Это положение справедливо и для портфеля, состоящего из активов более чем двух типов. Правда, в этом случае у инвестора больше возможностей выбора для достижения более приемлемых сочетаний риска и доходности.

Зависимость риска портфеля от степени диверсификации представлена на рис. 3.3.

Из рисунка видно, что риск портфеля имеет тенденцию к снижению и достижению асимптотического предела по мере увеличения размера портфеля. Из рисунка также видно, что рыночный риск не диверсифицируем. Устранить или существенно снизить недиверсифицируемый риск можно путем проведения хеджирования портфеля акций. В этом случае хеджирование представляет собой процесс снижения риска портфеля включением в него производного финансового инструмента на высококоррелированный актив (внебиржевой форвардный, фьючерсный контракт или длинный пут-опцион). Количество срочных контрактов, необходимых для хеджирования, определяется бета-коэф- фициентом.

Для портфелей с фьючерсом и опционом рыночный риск портфеля практически сводится к нулю, правда, возникает новый риск, связанный с возможностью неисполнения фьючерсных и опционных контрактов. Но риск неисполнения всегда на порядок ниже рыночного риска, поэтому проведение хеджирования все-таки целесообразно.

Итак, для того чтобы выбрать оптимальный с точки зрения отдельного инвестора портфель, нужно знать отношение инвестора к риску, проявляющееся в выборе параметров функции, описывающей взаимосвязь между риском и доходностью и называемой кривой безразличия. В основе построения этой функции заложены стандартные экономические концепции теории полезности и кривых безразличия.

Как уже отмечалось, большинство людей не склонны к риску, но многие вкладывают сбережения в акции или другие активы, связанные с риском.

Целью приобретения активов является получение дохода. Чтобы определить, какой из них выгоднее, надо сопоставить денежные поступления от них с их ценой. Таким образом, прибыль от актива представляет собой отношение общего объема денежных поступлений от актива к его цене. Например, облигация, цена которой составляет на данный момент 1000 ден. ед., приносит в данном году 100 ден. ед. поступлений, что означает 10% прибыли.

Вкладывая свои сбережения в акции, облигации и другие активы, люди рассчитывают на получение прибыли, которая превышает уровень инфляции. В этом случае, откладывая свое потребление, они смогут в будущем купить больше, чем в данный момент, расходуя весь свой доход. Следовательно, прибыль от активов должна быть определена в реальном (с поправкой на инфляцию) выражении. Реальная прибыль от актива представляет собой номинальную прибыль за вычетом инфляции. Например, если уровень инфляции составляет 5% в год, то реальная прибыль от облигации будет уже 5%.

Так как большинство активов связано с риском, вкладчик не может точно знать, какую прибыль он получит в дальнейшем. Сравнение рисковых активов осуществляется с помощью расчета ожидаемой прибыли, т.е. прибыли, которую актив принесет в среднем.

Существует связь между ожидаемой прибылью и риском: чем выше прибыль на капиталовложения, тем выше риск. Следовательно, не склонный к риску вкладчик должен соизмерять ожидаемую прибыль с риском.

Рассмотрим эту взаимосвязь более подробно.

Предположим, что у индивидуума есть желание вложить все свои сбережения в два актива:

• облигации государственного займа;
• акции банка.

В этом случае надо решить, какую часть сбережений вложить в каждый из них. Решение этой проблемы аналогично проблеме потребительского выбора при распределении бюджета на покупку потребительских товаров.

Пусть свободная от рисков прибыль по облигациям - R f , а ожидаемая прибыль от акций - R p , при этом действительная прибыль - R m . Во время принятия решения о капиталовложении известен ряд возможных результатов и вероятность каждого, но неизвестно, какой именно из этих результатов осуществится. У рисковых активов пусть будет более высокая прибыль, чем у безрисковых (R m > R f) . Иначе не склонные к риску вкладчики приобретали бы только облигации, а акции вообще бы не приобретались.

Чтобы ответить на вопрос, сколько денег вкладчик вложит в каждый вид актива, обозначим часть его сбережений, размещенных в акциях, через Ь, а ту часть, которая используется для покупки облигаций, - 1 - Ь. Ожидаемая прибыль от всей суммы ценных бумаг является средневзвешенной ожидаемой прибыли от двух активов:

Предположим, что облигации дают 6% дивидендов, акции - 8%, а Ъ = 0,5. Тогда R p = 7%.

Для определения степени риска следует вычислить дисперсию общей прибыли от набора активов. В нашем случае стандартное отклонение Ьа т, где а - стандартное отклонение прибыли от вклада в акции.

Однако наиболее важным является вопрос о том, каким образом вкладчик принимает решение относительно размера части Ь. Чтобы это сделать, надо показать, что он сталкивается со взаимозаменяемостью риска и прибыли при построении своей бюджетной линии.

Приведенное выше уравнение для всей ожидаемой прибыли можно переписать так:

Данное уравнение является уравнением бюджетной линии, так как описывает взаимосвязь между риском и прибылью. Это уравнение прямой линии, из которого следует, что R p возрастает по мере того, как стандартное отклонение этой прибыли а р увеличивается.

В этом случае величина угла наклона бюджетной линии R m ~Rf “

Называется ценой риска, так как она показывает,

насколько возрастает риск вкладчика, который намерен получить дополнительную прибыль.

На рис. 3.4 это выглядит следующим образом:

Рис. 3.4.

Если вкладчик не желает рисковать, он может вложить все свои средства в облигации (Ь = 0) и получить прибыль R f . Чтобы получить более высокую ожидаемую прибыль, он должен пойти на некоторый риск. Например, он может вложить все средства в акции (b = 1) и заработать прибыль R m , но при этом риск увеличится и стандартное отклонение составит ст т. Или он может вложить свои средства по частям в различные виды активов, получить прибыль меньше R m , но больше R f и иметь риск меньше а т, но больше нуля. Это иллюстрируется с помощью рис. 3.4, где показаны три кривые безразличия, каждая из которых дает сочетание размеров риска и прибыли, в равной степени удовлетворяющих вкладчика (кривые идут с наклоном вверх, так как риск нежелателен и его увеличение следует компенсировать повышением объема прибыли). Кривая и г связана с максимальным удовлетворением вкладчика, a U 3 - с минимальным. При одинаковом уровне риска ожидаемая прибыль на и г больше, чем на U 2 и U 3 .

Подобно потребителю, делающему выбор между двумя благами, вкладчик выбирает сочетание риска и прибыли в точке, где кривая безразличия U 2 является касательной по отношению к бюджетной линии. В этом случае прибыль R* и стандартное отклонение о*.

Рассмотрим ситуацию с двумя вкладчиками: А - нерасположенный к риску потребитель, В - более расположенный (рис. 3.5).

Рис. 3.5.

Кривая безразличия вкладчика Л касается бюджетной линии в точке с низким уровнем риска, поэтому он вложит почти все средства в облигации и получит ожидаемую прибыль R A , которая ненамного больше свободной от риска прибыли Rj. Вкладчик В вложит почти все свои средства в акции, и прибыль от его ценных бумаг будет иметь большую ожидаемую величину R B , но также и более высокое стандартное отклонение о в.

Те же принципы сохраняются, если для анализа будут взяты другие активы.

Максимальный размер риска, на который решится вкладчик, чтобы заработать более высокую ожидаемую прибыль, зависит от его отношения к риску. У более склонных к риску вкладчиков наблюдается тенденция к включению большей доли рисковых активов в портфель ценных бумаг.

Поэтому обычно осуществляется диверсификация портфеля в качестве метода, направленного на снижение риска путем распределения инвестиций между несколькими рискованными активами.

Контрольные вопросы и задания

• 1. Что означает понятие «сложный (кумулятивный) процент»?
• 2. В каком случае используется функция будущей стоимости денежной единицы?
• 3. Сформулируйте «правило 72». Каковы условия его применения?
• 4. Что такое реверсия?
• 5. Дайте определение аннуитета.
• 6. Чем отличается обычный аннуитет от авансового?
• 7. Что представляет собой компаундирование?
• 8. Что в теории финансов называют амортизацией?

Ставит своей задачей минимизацию инвестиционных рисков.

Именно для этого применяются основополагающие принципы диверсификации, о которой мы уже неоднократно говорили. Но кто стал первооткрывателем теории инвестиций?

Немного истории

Считается, что все началось еще в 1952 году - с работы Гарри Марковица под названием «Выбор портфеля». Именно здесь мастер изложил свою теорию распределения активов между различными финансовыми инструментами. В работе гений делает упор на взаимосвязь качества инвестиционного портфеля и теории вероятности, когда инвестору приходится учитывать существующие риски и неопределенность проведения тех иных торговых сделок. Гениальность работы Марковица была признана миром, но, правда, не сразу. Свою Нобелевскую премию автор получил только в 1990 году.

Особенности выбора акций

Не секрет, что на фондовом рынке можно зарабатывать всего на одной акции. При этом большинство новичков именно так и начинают свой путь, отдавая предпочтение активу, который показывает максимальную доходность операций. Но это большой риск, поэтому опытные инвесторы прибегают к диверсификации. Не секрет, что если сформировать из двух активов, то вероятность остаться без денег существенно снижается.

Основная задача инвестора – подобрать со слабой или отрицательной корреляцией.

В случае роста стоимости первого актива, к примеру, на один , стоимость второго снизится на ту же величину. При этом инвестор ничего не потеряет. Считается, что портфель с коэффициентом корреляции «-1» считается менее рискованным. Если же покупать большее число акций, то риск портфеля будет уменьшаться по сравнению с рискованностью операций на одном-двух активах.

На практике используют множество методик формирования оптимальной структуры портфеля ценных бумаг. Большинство из них основано на методике Марковица. Он впервые предложил математическую формализацию задачи нахождения оптимальной структуры портфеля ценных бумаг в 1951 году, за что позднее был удостоен Нобелевской по экономике.

Основными постулатами, на которых построена классическая портфельная теория, являются следующие:

Рынок состоит из конечного числа активов, доходности которых для заданного периода считаются случайными величинами.

Инвестор в состоянии, например, исходя из статистических данных, получить оценку ожидаемых (средних) значений доходностей и их попарных ковариаций и степеней возможности диверсификации риска.

Инвестор может формировать любые допустимые (для данной модели) портфели. Доходности портфелей являются также случайными величинами.

Сравнение выбираемых портфелей основывается только на двух критериях – средней доходности и риске.

Инвестор не склонен к риску в том смысле, что из двух портфелей с одинаковой доходностью он обязательно предпочтет портфель с меньшим риском.

Рассмотрим подробнее сформировавшиеся на данный момент портфельные теории, некоторые из которых будут применены далее при проведении практического расчета оптимального портфеля ценных бумаг.

Основная идея модели Марковица заключается в том, чтобы статистически рассматривать будущий доход, приносимый финансовым инструментом, как случайную переменную то есть доходы по отдельным инвестиционным объектам случайно изменяются в некоторых пределах. Тогда, если неким образом случайно определить по каждому инвестиционному объекту вполне определенные вероятности наступления, можно получить распределение вероятностей получения дохода по каждой альтернативе вложения средств. Это получило название вероятностной модели рынка. Для упрощения модель Марковица полагает, что доходы распределены нормально.

По модели Марковица определяются показатели, характеризующие объем инвестиций и риск что позволяет сравнивать между собой различные альтернативы вложения капитала с точки зрения поставленных целей и тем самым создать масштаб для оценки различных комбинаций.

В качестве масштаба ожидаемого дохода из ряда возможных доходов на практике используют наиболее вероятное значение, которое в случае нормального распределения совпадает с математическим ожиданием.

Математическое ожидание дохода по i -й ценной бумаге (m i ) рассчитывается следующим образом:

где R i – возможный доход поi -й ценной бумаге, руб.;

P ij – вероятность получение дохода;

n – количество ценных бумаг.

Для измерения риска служат показатели рассеивания, поэтому чем больше разброс величин возможных доходов, тем больше опасность, что ожидаемый доход не будет получен. Мерой рассеивания является среднеквадратическое отклонение:

.

В отличии от вероятностной модели, параметрическая модель допускает эффективную статистическую оценку. Параметры этой модели можно оценить исходя из имеющихся статистических данных за прошлые периоды. Эти статистические данные представляют собой ряды доходностей за последовательные периоды в прошлом.

Любой портфель ценных бумаг характеризуется двумя величинами: ожидаемой доходностью

,

где X i – доля общего вложения, приходящаяся наi -ю ценную бумагу;

m i – ожидаемая доходностьi -й ценной бумаги, %;

m p – ожидаемая доходность портфеля, %

и мерой риска – среднеквадратическим отклонением доходности от ожидаемого значения

где  p – мера риска портфеля;

 ij – ковариация между доходностямиi -й иj -й ценных бумаг;

X i иX j – доли общего вложения, приходящиеся наi -ю иj -ю ценные бумаги;

n – число ценных бумаг портфеля.

Ковариация доходностей ценных бумаг ( ij ) равна корреляции между ними, умноженной на произведение их стандартных отклонений:

где  ij – коэффициент корреляции доходностейi -ой иj -ой ценными бумагами;

 i ,  j – стандартные отклонения доходностейi -ой иj -ой ценных бумаг.

Для i =j ковариация равна дисперсии акции.

Рассматривая теоретически предельный случай, при котором в портфель можно включать бесконечное количество ценных бумаг, дисперсия (мера риска портфеля) асимптотически будет приближаться к среднему значению ковариации.

Графическое представление этого факта представлено на рисунке 2

Совокупный риск портфеля можно разложить на две составные части: рыночный риск, который нельзя исключить и которому подвержены все ценные бумаги практически в равной степени, и собственный риск, который можно избежать при помощи диверсификации. При этом сумма вложенных средств по всем объектам должна быть равна общему объему инвестиционных вложений, т.е. сумма относительных долей в общем объеме должна равняться единице.

Проблема заключается в численном определении относительных долей акций и облигаций в портфеле, которые наиболее выгодны для владельца. Марковиц ограничивает решение модели тем, что из всего множества «допустимых» портфелей, т.е. удовлетворяющих ограничениям, необходимо выделить те, которые рискованнее, чем другие. При помощи разработанного Марковицем метода критических линий можно выделить неперспективные портфели. Тем самым остаются только эффективные портфели.

Отобранные таким образом портфели объединяют в список, содержащий сведения о процентом составе портфеля из отдельных ценных бумаг, а также о доходе и риске портфелей.

Объяснение того факта, что инвестор должен рассмотреть только подмножество возможных портфелей, содержится в следующей теореме об эффективном множестве: «Инвестор выберет свой оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска и минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности». Набор портфелей, удовлетворяющих этим двум условиям, называется эффективным множеством.

На рисунке 3 представлены недопустимые, допустимые и эффективные портфели, а также линия эффективного множества.

Рисунок 3 – Допустимое и эффективное множества

В модели Марковица допустимыми являются только стандартные портфели (без коротких позиций). Использую более техническую терминологию, можно сказать, что инвестор по каждому активу находится в длинной позиции. Длинная позиция – это обычно покупка актива с намерением его последующей продажи (закрытие позиции). Такая покупка обычно осуществляется при ожидании повышения цены актива в надежде получить доход от разности цен покупки и продажи.

Из-за недопустимости коротких позиций в модели Марковица на доли ценных бумаг в портфели накладывается условие неотрицательности. Поэтому особенностью этой модели является ограниченность доходности допустимых портфелей, т.к. доходность любого стандартного портфеля не превышает наибольшей доходности активов, из которых он построен.

Для выбора наиболее приемлемого для инвестора портфеля ценных бумаг можно использовать кривые безразличия. В данном случае эти кривые отражают предпочтение инвестора в графической форме. Предположения, сделанные относительно предпочтений, гарантируют, что инвесторы могут указать на предпочтение, отдаваемое одной из альтернатив или на отсутствие различий между ними.

Если же рассматривать отношение инвестора к риску и доходности в графической форме, откладывая по горизонтальной оси риск, мерой которого является среднеквадратическое отклонение ( p ), а по вертикальной оси – вознаграждение, мерой которого является ожидаемая доходность (r p ), то можно получить семейство кривых безразличия.

Располагая информацией об ожидаемой доходности и стандартных отклонениях возможных портфелей ценных бумаг, можно построить карту кривых безразличия, отражающих предпочтения инвесторов. Карта кривых безразличия – это способ описания предпочтений инвестора к возможному риску полностью или частично потерять вкладываемые в портфель ценных бумаг деньги или получить максимальны доход.

Различные позиции инвесторов по отношению к риску можно представить в виде карт кривых, отражающих полезность вложений в те или иные инвестиционные портфели (рисунок 4). Каждая из указанных на рисунке 4 позиций инвестора к риску характерна тем, что любое уменьшение им риска сказывается на сокращении доходности и стандартном отклонении каждого из портфелей. И поскольку портфель включает в себя набор различных бумаг, то вполне объяснимым является зависимость его от ожидаемой доходности и стандартного отклонения его от ожидаемой доходности и стандартного отклонения каждой ценной бумаги, входящей в портфель.

Инвестор должен выбирать портфель, лежащий на кривой безразличия, расположенной выше и левее всех остальных кривых. В теореме об эффективном множестве утверждается, что инвестор не должен рассматривать портфели, которые не лежат на левой верхней границе множества достижимости, что является ее логическим следствием. Исходя из этого, оптимальный портфель находится в точке касания одной из кривых безразличия самого эффективного множества. На рисунке 5 оптимальный портфель для некоторого инвестора обозначен O * .

Определение кривой безразличия клиента является нелегкой задачей. На практике ее часто получают в косвенной или приближенной форме путем оценки уровня толерантности риска, определяемой как наибольший риск, который инвестор готов принять для данного увеличения ожидаемой доходности.

Поэтому, с точки зрения методологии модель Марковица можно определить как практически-нормативную, что не означает навязывания инвестору определенного стиля поведения на рынке ценных бумаг. Задача модели заключается в том, чтобы показать, как поставленные цели достижимы на практике.