Метод наименьших квадратов основан на минимизации. Метод наименьших квадратов в Excel

Он имеет множество применений, так как позволяет осуществлять приближенное представление заданной функции другими более простыми. МНК может оказаться чрезвычайно полезным при обработке наблюдений, и его активно используют для оценки одних величин по результатам измерений других, содержащих случайные ошибки. Из этой статьи вы узнаете, как реализовать вычисления по методу наименьших квадратов в Excel.

Постановка задачи на конкретном примере

Предположим, имеются два показателя X и Y. Причем Y зависит от X. Так как МНК интересует нас с точки зрения регрессионного анализа (в Excel его методы реализуются с помощью встроенных функций), то стоит сразу же перейти к рассмотрению конкретной задачи.

Итак, пусть X — торговая площадь продовольственного магазина, измеряемая в квадратных метрах, а Y — годовой товарооборот, определяемый в миллионах рублей.

Требуется сделать прогноз, какой товарооборот (Y) будет у магазина, если у него та или иная торговая площадь. Очевидно, что функция Y = f (X) возрастающая, так как гипермаркет продает больше товаров, чем ларек.

Несколько слов о корректности исходных данных, используемых для предсказания

Допустим, у нас есть таблица, построенная по данным для n магазинов.

Согласно математической статистике, результаты будут более-менее корректными, если исследуются данные по хотя бы 5-6 объектам. Кроме того, нельзя использовать «аномальные» результаты. В частности, элитный небольшой бутик может иметь товарооборот в разы больший, чем товарооборот больших торговых точек класса «масмаркет».

Суть метода

Данные таблицы можно изобразить на декартовой плоскости в виде точек M 1 (x 1 , y 1), … M n (x n , y n). Теперь решение задачи сведется к подбору аппроксимирующей функции y = f (x), имеющей график, проходящий как можно ближе к точкам M 1, M 2, .. M n .

Конечно, можно использовать многочлен высокой степени, но такой вариант не только труднореализуем, но и просто некорректен, так как не будет отражать основную тенденцию, которую и нужно обнаружить. Самым разумным решением является поиск прямой у = ax + b, которая лучше всего приближает экспериментальные данные, a точнее, коэффициентов - a и b.

Оценка точности

При любой аппроксимации особую важность приобретает оценка ее точности. Обозначим через e i разность (отклонение) между функциональными и экспериментальными значениями для точки x i , т. е. e i = y i - f (x i).

Очевидно, что для оценки точности аппроксимации можно использовать сумму отклонений, т. е. при выборе прямой для приближенного представления зависимости X от Y нужно отдавать предпочтение той, у которой наименьшее значение суммы e i во всех рассматриваемых точках. Однако, не все так просто, так как наряду с положительными отклонениями практически будут присутствовать и отрицательные.

Решить вопрос можно, используя модули отклонений или их квадраты. Последний метод получил наиболее широкое распространение. Он используется во многих областях, включая регрессионный анализ (в Excel его реализация осуществляется с помощью двух встроенных функций), и давно доказал свою эффективность.

Метод наименьших квадратов

В Excel, как известно, существует встроенная функция автосуммы, позволяющая вычислить значения всех значений, расположенных в выделенном диапазоне. Таким образом, ничто не помешает нам рассчитать значение выражения (e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 + ... e n 2).

В математической записи это имеет вид:

Так как изначально было принято решение об аппроксимировании с помощью прямой, то имеем:

Таким образом, задача нахождения прямой, которая лучше всего описывает конкретную зависимость величин X и Y, сводится к вычислению минимума функции двух переменных:

Для этого требуется приравнять к нулю частные производные по новым переменным a и b, и решить примитивную систему, состоящую из двух уравнений с 2-мя неизвестными вида:

После нехитрых преобразований, включая деление на 2 и манипуляции с суммами, получим:

Решая ее, например, методом Крамера, получаем стационарную точку с некими коэффициентами a * и b * . Это и есть минимум, т. е. для предсказания, какой товарооборот будет у магазина при определенной площади, подойдет прямая y = a * x + b * , представляющая собой регрессионную модель для примера, о котором идет речь. Конечно, она не позволит найти точный результат, но поможет получить представление о том, окупится ли покупка в кредит магазина конкретной площади.

Как реализоавать метод наименьших квадратов в Excel

В "Эксель" имеется функция для расчета значения по МНК. Она имеет следующий вид: «ТЕНДЕНЦИЯ» (известн. значения Y; известн. значения X; новые значения X; конст.). Применим формулу расчета МНК в Excel к нашей таблице.

Для этого в ячейку, в которой должен быть отображен результат расчета по методу наименьших квадратов в Excel, введем знак «=» и выберем функцию «ТЕНДЕНЦИЯ». В раскрывшемся окне заполним соответствующие поля, выделяя:

диапазон известных значений для Y (в данном случае данные для товарооборота);
диапазон x 1 , …x n , т. е. величины торговых площадей;
и известные, и неизвестные значения x, для которого нужно выяснить размер товарооборота (информацию об их расположении на рабочем листе см. далее).

Кроме того, в формуле присутствует логическая переменная «Конст». Если ввести в соответствующее ей поле 1, то это будет означать, что следует осуществить вычисления, считая, что b = 0.

Если нужно узнать прогноз для более чем одного значения x, то после ввода формулы следует нажать не на «Ввод», а нужно набрать на клавиатуре комбинацию «Shift» + «Control»+ «Enter» («Ввод»).

Некоторые особенности

Регрессионный анализ может быть доступен даже чайникам. Формула Excel для предсказания значения массива неизвестных переменных — «ТЕНДЕНЦИЯ» — может использоваться даже теми, кто никогда не слышал о методе наименьших квадратов. Достаточно просто знать некоторые особенности ее работы. В частности:

Если расположить диапазон известных значений переменной y в одной строке или столбце, то каждая строка (столбец) с известными значениями x будет восприниматься программой в качестве отдельной переменной.
Если в окне «ТЕНДЕНЦИЯ» не указан диапазон с известными x, то в случае использования функции в Excel программа будет рассматривать его как массив, состоящий из целых чисел, количество которых соответствует диапазону с заданными значениями переменной y.
Чтобы получить на выходе массив «предсказанных» значений, выражение для вычисления тенденции нужно вводить как формулу массива.
Если не указаны новые значения x, то функция «ТЕНДЕНЦИЯ» считает их равным известным. Если и они не заданы, то в качестве аргумента берется массив 1; 2; 3; 4;…, который соразмерен диапазону с уже заданными параметрами y.
Диапазон, содержащий новые значения x должен состоять из такого же или большего количества строк или столбцов, как диапазон с заданными значениями y. Иными словами он должен быть соразмерным независимым переменным.
В массиве с известными значениями x может содержаться несколько переменных. Однако если речь идет лишь об одной, то требуется, чтобы диапазоны с заданными значениями x и y были соразмерны. В случае нескольких переменных нужно, чтобы диапазон с заданными значениями y вмещался в одном столбце или в одной строке.

Функция «ПРЕДСКАЗ»

Реализуется с помощью нескольких функций. Одна из них называется «ПРЕДСКАЗ». Она аналогична «ТЕНДЕНЦИИ», т. е. выдает результат вычислений по методу наименьших квадратов. Однако только для одного X, для которого неизвестно значение Y.

Теперь вы знаете формулы в Excel для чайников, позволяющие спрогнозировать величину будущего значения того или иного показателя согласно линейному тренду.

3. Аппроксимация функций с помощью метода

наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов применяется при обработке результатов эксперимента для аппроксимации (приближения) экспериментальных данных аналитической формулой. Конкретный вид формулы выбирается, как правило, из физических соображений. Такими формулами могут быть:

и другие.

Сущность метода наименьших квадратов состоит в следующем. Пусть результаты измерений представлены таблицей:

Таблица 4
				x n
				y n

(3.1)

где f - известная функция, a 0 , a 1 , …, a m - неизвестные постоянные параметры, значения которых надо найти. В методе наименьших квадратов приближение функции (3.1) к экспериментальной зависимости считается наилучшим, если выполняется условие

(3.2)

то есть сумм a квадратов отклонений искомой аналитической функции от экспериментальной зависимости должна быть минимальна .

Заметим, что функция Q называется невязкой.

Так как невязка

то она имеет минимум. Необходимым условием минимума функции нескольких переменных является равенство нулю всех частных производных этой функции по параметрам. Таким образом, отыскание наилучших значений параметров аппроксимирующей функции (3.1), то есть таких их значений, при которых Q = Q (a 0 , a 1 , …, a m ) минимальна, сводится к решению системы уравнений:

(3.3)

Методу наименьших квадратов можно дать следующее геометрическое истолкование: среди бесконечного семейства линий данного вида отыскивается одна линия, для которой сумма квадратов разностей ординат экспериментальных точек и соответствующих им ординат точек, найденных по уравнению этой линии, будет наименьшей.

Нахождение параметров линейной функции

Пусть экспериментальные данные надо представить линейной функцией:

Требуется подобрать такие значения a и b , для которых функция

(3.4)

будет минимальной. Необходимые условия минимума функции (3.4) сводятся к системе уравнений:

После преобразований получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

(3.5)

решая которую , находим искомые значения параметров a и b .

Нахождение параметров квадратичной функции

Если аппроксимирующей функцией является квадратичная зависимость

то её параметры a , b , c находят из условия минимума функции:

(3.6)

Условия минимума функции (3.6) сводятся к системе уравнений:

После преобразований получаем систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:

(3.7)

при решении которой находим искомые значения параметров a , b и c .

Пример . Пусть в результате эксперимента получена следующая таблица значений x и y :

Таблица 5

y i	0,705	0,495	0,426	0,357	0,368	0,406	0,549	0,768

Требуется аппроксимировать экспериментальные данные линейной и квадратичной функциями.

Решение. Отыскание параметров аппроксимирующих функций сводится к решению систем линейных уравнений (3.5) и (3.7). Для решения задачи воспользуемся процессором электронных таблиц Excel .

1. Сначала сцепим листы 1 и 2. Занесём экспериментальные значения x i и y i в столбцы А и В, начиная со второй строки (в первой строке поместим заголовки столбцов). Затем для этих столбцов вычислим суммы и поместим их в десятой строке.

В столбцах C – G разместим соответственно вычисление и суммирование

2. Расцепим листы.Дальнейшие вычисления проведём аналогичным образом для линейной зависимости на Листе 1и для квадратичной зависимости на Листе 2.

3. Под полученной таблицей сформируем матрицу коэффициентов и вектор-столбец свободных членов. Решим систему линейных уравнений по следующему алгоритму:

Для вычисления обратной матрицы и перемножения матриц воспользуемся Мастером функций и функциями МОБР и МУМНОЖ .

4. В блоке ячеек H2: H 9 на основе полученных коэффициентов вычислим значенияаппроксимирующего полинома y i выч ., в блоке I 2: I 9 – отклонения D y i = y i эксп . - y i выч .,в столбце J – невязку:

Полученные таблицы и построенные с помощью Мастера диаграмм графики приведёны на рисунках6, 7, 8.

Рис. 6. Таблица вычисления коэффициентов линейной функции,

аппроксимирующей экспериментальные данные.

Рис. 7. Таблица вычисления коэффициентов квадратичной функции,

аппроксимирующей экспериментальные данные.

Рис. 8. Графическое представление результатов аппроксимации

экспериментальных данных линейной и квадратичной функциями.

Ответ. Аппроксимировали экспериментальные данные линейной зависимостью y = 0,07881 x + 0,442262 c невязкой Q = 0,165167 и квадратичной зависимостью y = 3,115476 x 2 – 5,2175 x + 2,529631 c невязкой Q = 0,002103 .

Задания. Аппроксимировать функцию, заданную таблично, линейной и квадратичной функциями.

Таблица 6

№0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

3,030

3,142

3,358

3,463

3,772

3,251

3,170

3,665

№ 1

3,314

3,278

3,262

3,292

3,332

3,397

3,487

3,563

№ 2

1,045

1,162

1,264

1,172

1,070

0,898

0,656

0,344

№ 3

6,715

6,735

6,750

6,741

6,645

6,639

6,647

6,612

№ 4

2,325

2,515

2,638

2,700

2,696

2,626

2,491

2,291

№ 5

1.752

1,762

1,777

1,797

1,821

1,850

1,884

1,944

№ 6

1,924

1,710

1,525

1,370

1,264

1,190

1,148

1,127

№ 7

1,025

1,144

1,336

1,419

1,479

1,530

1,568

1,248

№ 8

5,785

5,685

5,605

5,545

5,505

5,480

5,495

5,510

№ 9

4,052

4,092

4,152

4,234

4,338

4,468

4,599

Метод наименьших квадратов (МНК, англ. Ordinary Least Squares, OLS ) - математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных. Он может использоваться для «решения» переопределенных систем уравнений (когда количество уравнений превышает количество неизвестных), для поиска решения в случае обычных (не переопределенных) нелинейных систем уравнений, для аппроксимации точечных значений некоторой функции. МНК является одним из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным.

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ Метод наименьших квадратов. Тема

✪ Метод наименьших квадратов, урок 1/2. Линейная функция

✪ Эконометрика. Лекция 5 .Метод наименьших квадратов

✪ Митин И. В. - Обработка результатов физ. эксперимента - Метод наименьших квадратов (Лекция 4)

✪ Эконометрика: Суть метода наименьших квадратов #2

Субтитры

История

До начала XIX в. учёные не имели определённых правил для решения системы уравнений , в которой число неизвестных меньше, чем число уравнений; до этого времени употреблялись частные приёмы, зависевшие от вида уравнений и от остроумия вычислителей, и потому разные вычислители, исходя из тех же данных наблюдений, приходили к различным выводам. Гауссу (1795) принадлежит первое применение метода, а Лежандр (1805) независимо открыл и опубликовал его под современным названием (фр. Méthode des moindres quarrés ) . Лаплас связал метод с теорией вероятностей , а американский математик Эдрейн (1808) рассмотрел его теоретико-вероятностные приложения . Метод распространён и усовершенствован дальнейшими изысканиями Энке , Бесселя , Ганзена и других.

Сущность метода наименьших квадратов

Пусть x {\displaystyle x} - набор n {\displaystyle n} неизвестных переменных (параметров), f i (x) {\displaystyle f_{i}(x)} , , m > n {\displaystyle m>n} - совокупность функций от этого набора переменных. Задача заключается в подборе таких значений x {\displaystyle x} , чтобы значения этих функций были максимально близки к некоторым значениям y i {\displaystyle y_{i}} . По существу речь идет о «решении» переопределенной системы уравнений f i (x) = y i {\displaystyle f_{i}(x)=y_{i}} , i = 1 , … , m {\displaystyle i=1,\ldots ,m} в указанном смысле максимальной близости левой и правой частей системы. Сущность МНК заключается в выборе в качестве «меры близости» суммы квадратов отклонений левых и правых частей | f i (x) − y i | {\displaystyle |f_{i}(x)-y_{i}|} . Таким образом, сущность МНК может быть выражена следующим образом:

∑ i e i 2 = ∑ i (y i − f i (x)) 2 → min x {\displaystyle \sum _{i}e_{i}^{2}=\sum _{i}(y_{i}-f_{i}(x))^{2}\rightarrow \min _{x}} .

В случае, если система уравнений имеет решение, то минимум суммы квадратов будет равен нулю и могут быть найдены точные решения системы уравнений аналитически или, например, различными численными методами оптимизации. Если система переопределена, то есть, говоря нестрого, количество независимых уравнений больше количества искомых переменных, то система не имеет точного решения и метод наименьших квадратов позволяет найти некоторый «оптимальный» вектор x {\displaystyle x} в смысле максимальной близости векторов y {\displaystyle y} и f (x) {\displaystyle f(x)} или максимальной близости вектора отклонений e {\displaystyle e} к нулю (близость понимается в смысле евклидова расстояния).

Пример - система линейных уравнений

В частности, метод наименьших квадратов может использоваться для «решения» системы линейных уравнений

A x = b {\displaystyle Ax=b} ,

где A {\displaystyle A} прямоугольная матрица размера m × n , m > n {\displaystyle m\times n,m>n} (т.е. число строк матрицы A больше количества искомых переменных).

Такая система уравнений в общем случае не имеет решения. Поэтому эту систему можно «решить» только в смысле выбора такого вектора x {\displaystyle x} , чтобы минимизировать «расстояние» между векторами A x {\displaystyle Ax} и b {\displaystyle b} . Для этого можно применить критерий минимизации суммы квадратов разностей левой и правой частей уравнений системы, то есть (A x − b) T (A x − b) → min x {\displaystyle (Ax-b)^{T}(Ax-b)\rightarrow \min _{x}} . Нетрудно показать, что решение этой задачи минимизации приводит к решению следующей системы уравнений

A T A x = A T b ⇒ x = (A T A) − 1 A T b {\displaystyle A^{T}Ax=A^{T}b\Rightarrow x=(A^{T}A)^{-1}A^{T}b} .

МНК в регрессионном анализе (аппроксимация данных)

Пусть имеется n {\displaystyle n} значений некоторой переменной y {\displaystyle y} (это могут быть результаты наблюдений, экспериментов и т. д.) и соответствующих переменных x {\displaystyle x} . Задача заключается в том, чтобы взаимосвязь между y {\displaystyle y} и x {\displaystyle x} аппроксимировать некоторой функцией , известной с точностью до некоторых неизвестных параметров b {\displaystyle b} , то есть фактически найти наилучшие значения параметров b {\displaystyle b} , максимально приближающие значения f (x , b) {\displaystyle f(x,b)} к фактическим значениям y {\displaystyle y} . Фактически это сводится к случаю «решения» переопределенной системы уравнений относительно b {\displaystyle b} :

F (x t , b) = y t , t = 1 , … , n {\displaystyle f(x_{t},b)=y_{t},t=1,\ldots ,n} .

В регрессионном анализе и в частности в эконометрике используются вероятностные модели зависимости между переменными

Y t = f (x t , b) + ε t {\displaystyle y_{t}=f(x_{t},b)+\varepsilon _{t}} ,

где ε t {\displaystyle \varepsilon _{t}} - так называемые случайные ошибки модели.

Соответственно, отклонения наблюдаемых значений y {\displaystyle y} от модельных f (x , b) {\displaystyle f(x,b)} предполагается уже в самой модели. Сущность МНК (обычного, классического) заключается в том, чтобы найти такие параметры b {\displaystyle b} , при которых сумма квадратов отклонений (ошибок, для регрессионных моделей их часто называют остатками регрессии) e t {\displaystyle e_{t}} будет минимальной:

b ^ O L S = arg ⁡ min b R S S (b) {\displaystyle {\hat {b}}_{OLS}=\arg \min _{b}RSS(b)} ,

где R S S {\displaystyle RSS} - англ. Residual Sum of Squares определяется как:

R S S (b) = e T e = ∑ t = 1 n e t 2 = ∑ t = 1 n (y t − f (x t , b)) 2 {\displaystyle RSS(b)=e^{T}e=\sum _{t=1}^{n}e_{t}^{2}=\sum _{t=1}^{n}(y_{t}-f(x_{t},b))^{2}} .

В общем случае решение этой задачи может осуществляться численными методами оптимизации (минимизации). В этом случае говорят о нелинейном МНК (NLS или NLLS - англ. Non-Linear Least Squares ). Во многих случаях можно получить аналитическое решение. Для решения задачи минимизации необходимо найти стационарные точки функции R S S (b) {\displaystyle RSS(b)} , продифференцировав её по неизвестным параметрам b {\displaystyle b} , приравняв производные к нулю и решив полученную систему уравнений:

∑ t = 1 n (y t − f (x t , b)) ∂ f (x t , b) ∂ b = 0 {\displaystyle \sum _{t=1}^{n}(y_{t}-f(x_{t},b)){\frac {\partial f(x_{t},b)}{\partial b}}=0} .

МНК в случае линейной регрессии

Пусть регрессионная зависимость является линейной:

y t = ∑ j = 1 k b j x t j + ε = x t T b + ε t {\displaystyle y_{t}=\sum _{j=1}^{k}b_{j}x_{tj}+\varepsilon =x_{t}^{T}b+\varepsilon _{t}} .

Пусть y - вектор-столбец наблюдений объясняемой переменной, а X {\displaystyle X} - это (n × k) {\displaystyle ({n\times k})} -матрица наблюдений факторов (строки матрицы - векторы значений факторов в данном наблюдении, по столбцам - вектор значений данного фактора во всех наблюдениях). Матричное представление линейной модели имеет вид:

y = X b + ε {\displaystyle y=Xb+\varepsilon } .

Тогда вектор оценок объясняемой переменной и вектор остатков регрессии будут равны

y ^ = X b , e = y − y ^ = y − X b {\displaystyle {\hat {y}}=Xb,\quad e=y-{\hat {y}}=y-Xb} .

соответственно сумма квадратов остатков регрессии будет равна

R S S = e T e = (y − X b) T (y − X b) {\displaystyle RSS=e^{T}e=(y-Xb)^{T}(y-Xb)} .

Дифференцируя эту функцию по вектору параметров b {\displaystyle b} и приравняв производные к нулю, получим систему уравнений (в матричной форме):

(X T X) b = X T y {\displaystyle (X^{T}X)b=X^{T}y} .

В расшифрованной матричной форме эта система уравнений выглядит следующим образом:

(∑ x t 1 2 ∑ x t 1 x t 2 ∑ x t 1 x t 3 … ∑ x t 1 x t k ∑ x t 2 x t 1 ∑ x t 2 2 ∑ x t 2 x t 3 … ∑ x t 2 x t k ∑ x t 3 x t 1 ∑ x t 3 x t 2 ∑ x t 3 2 … ∑ x t 3 x t k ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∑ x t k x t 1 ∑ x t k x t 2 ∑ x t k x t 3 … ∑ x t k 2) (b 1 b 2 b 3 ⋮ b k) = (∑ x t 1 y t ∑ x t 2 y t ∑ x t 3 y t ⋮ ∑ x t k y t) , {\displaystyle {\begin{pmatrix}\sum x_{t1}^{2}&\sum x_{t1}x_{t2}&\sum x_{t1}x_{t3}&\ldots &\sum x_{t1}x_{tk}\\\sum x_{t2}x_{t1}&\sum x_{t2}^{2}&\sum x_{t2}x_{t3}&\ldots &\sum x_{t2}x_{tk}\\\sum x_{t3}x_{t1}&\sum x_{t3}x_{t2}&\sum x_{t3}^{2}&\ldots &\sum x_{t3}x_{tk}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum x_{tk}x_{t1}&\sum x_{tk}x_{t2}&\sum x_{tk}x_{t3}&\ldots &\sum x_{tk}^{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\vdots \\b_{k}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum x_{t1}y_{t}\\\sum x_{t2}y_{t}\\\sum x_{t3}y_{t}\\\vdots \\\sum x_{tk}y_{t}\\\end{pmatrix}},} где все суммы берутся по всем допустимым значениям t {\displaystyle t} .

Если в модель включена константа (как обычно), то x t 1 = 1 {\displaystyle x_{t1}=1} при всех t {\displaystyle t} , поэтому в левом верхнем углу матрицы системы уравнений находится количество наблюдений n {\displaystyle n} , а в остальных элементах первой строки и первого столбца - просто суммы значений переменных: ∑ x t j {\displaystyle \sum x_{tj}} и первый элемент правой части системы - ∑ y t {\displaystyle \sum y_{t}} .

Решение этой системы уравнений и дает общую формулу МНК-оценок для линейной модели:

b ^ O L S = (X T X) − 1 X T y = (1 n X T X) − 1 1 n X T y = V x − 1 C x y {\displaystyle {\hat {b}}_{OLS}=(X^{T}X)^{-1}X^{T}y=\left({\frac {1}{n}}X^{T}X\right)^{-1}{\frac {1}{n}}X^{T}y=V_{x}^{-1}C_{xy}} .

Для аналитических целей оказывается полезным последнее представление этой формулы (в системе уравнений при делении на n, вместо сумм фигурируют средние арифметические). Если в регрессионной модели данные центрированы , то в этом представлении первая матрица имеет смысл выборочной ковариационной матрицы факторов, а вторая - вектор ковариаций факторов с зависимой переменной. Если кроме того данные ещё и нормированы на СКО (то есть в конечном итоге стандартизированы ), то первая матрица имеет смысл выборочной корреляционной матрицы факторов, второй вектор - вектора выборочных корреляций факторов с зависимой переменной.

Немаловажное свойство МНК-оценок для моделей с константой - линия построенной регрессии проходит через центр тяжести выборочных данных, то есть выполняется равенство:

y ¯ = b 1 ^ + ∑ j = 2 k b ^ j x ¯ j {\displaystyle {\bar {y}}={\hat {b_{1}}}+\sum _{j=2}^{k}{\hat {b}}_{j}{\bar {x}}_{j}} .

В частности, в крайнем случае, когда единственным регрессором является константа, получаем, что МНК-оценка единственного параметра (собственно константы) равна среднему значению объясняемой переменной. То есть среднее арифметическое, известное своими хорошими свойствами из законов больших чисел, также является МНК-оценкой - удовлетворяет критерию минимума суммы квадратов отклонений от неё.

Простейшие частные случаи

В случае парной линейной регрессии y t = a + b x t + ε t {\displaystyle y_{t}=a+bx_{t}+\varepsilon _{t}} , когда оценивается линейная зависимость одной переменной от другой, формулы расчета упрощаются (можно обойтись без матричной алгебры). Система уравнений имеет вид:

(1 x ¯ x ¯ x 2 ¯) (a b) = (y ¯ x y ¯) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&{\bar {x}}\\{\bar {x}}&{\bar {x^{2}}}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\bar {y}}\\{\overline {xy}}\\\end{pmatrix}}} .

Отсюда несложно найти оценки коэффициентов:

{ b ^ = Cov ⁡ (x , y) Var ⁡ (x) = x y ¯ − x ¯ y ¯ x 2 ¯ − x ¯ 2 , a ^ = y ¯ − b x ¯ . {\displaystyle {\begin{cases}{\hat {b}}={\frac {\mathop {\textrm {Cov}} (x,y)}{\mathop {\textrm {Var}} (x)}}={\frac {{\overline {xy}}-{\bar {x}}{\bar {y}}}{{\overline {x^{2}}}-{\overline {x}}^{2}}},\\{\hat {a}}={\bar {y}}-b{\bar {x}}.\end{cases}}}

Несмотря на то что в общем случае модели с константой предпочтительней, в некоторых случаях из теоретических соображений известно, что константа a {\displaystyle a} должна быть равна нулю. Например, в физике зависимость между напряжением и силой тока имеет вид U = I ⋅ R {\displaystyle U=I\cdot R} ; замеряя напряжение и силу тока, необходимо оценить сопротивление. В таком случае речь идёт о модели y = b x {\displaystyle y=bx} . В этом случае вместо системы уравнений имеем единственное уравнение

(∑ x t 2) b = ∑ x t y t {\displaystyle \left(\sum x_{t}^{2}\right)b=\sum x_{t}y_{t}} .

Следовательно, формула оценки единственного коэффициента имеет вид

B ^ = ∑ t = 1 n x t y t ∑ t = 1 n x t 2 = x y ¯ x 2 ¯ {\displaystyle {\hat {b}}={\frac {\sum _{t=1}^{n}x_{t}y_{t}}{\sum _{t=1}^{n}x_{t}^{2}}}={\frac {\overline {xy}}{\overline {x^{2}}}}} .

Случай полиномиальной модели

Если данные аппроксимируются полиномиальной функцией регрессии одной переменной f (x) = b 0 + ∑ i = 1 k b i x i {\displaystyle f(x)=b_{0}+\sum \limits _{i=1}^{k}b_{i}x^{i}} , то, воспринимая степени x i {\displaystyle x^{i}} как независимые факторы для каждого i {\displaystyle i} можно оценить параметры модели исходя из общей формулы оценки параметров линейной модели. Для этого в общую формулу достаточно учесть, что при такой интерпретации x t i x t j = x t i x t j = x t i + j {\displaystyle x_{ti}x_{tj}=x_{t}^{i}x_{t}^{j}=x_{t}^{i+j}} и x t j y t = x t j y t {\displaystyle x_{tj}y_{t}=x_{t}^{j}y_{t}} . Следовательно, матричные уравнения в данном случае примут вид:

(n ∑ n x t … ∑ n x t k ∑ n x t ∑ n x t 2 … ∑ n x t k + 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∑ n x t k ∑ n x t k + 1 … ∑ n x t 2 k) [ b 0 b 1 ⋮ b k ] = [ ∑ n y t ∑ n x t y t ⋮ ∑ n x t k y t ] . {\displaystyle {\begin{pmatrix}n&\sum \limits _{n}x_{t}&\ldots &\sum \limits _{n}x_{t}^{k}\\\sum \limits _{n}x_{t}&\sum \limits _{n}x_{t}^{2}&\ldots &\sum \limits _{n}x_{t}^{k+1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum \limits _{n}x_{t}^{k}&\sum \limits _{n}x_{t}^{k+1}&\ldots &\sum \limits _{n}x_{t}^{2k}\end{pmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{0}\\b_{1}\\\vdots \\b_{k}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum \limits _{n}y_{t}\\\sum \limits _{n}x_{t}y_{t}\\\vdots \\\sum \limits _{n}x_{t}^{k}y_{t}\end{bmatrix}}.}

Статистические свойства МНК-оценок

В первую очередь, отметим, что для линейных моделей МНК-оценки являются линейными оценками, как это следует из вышеприведённой формулы. Для несмещенности МНК-оценок необходимо и достаточно выполнения важнейшего условия регрессионного анализа : условное по факторам математическое ожидание случайной ошибки должно быть равно нулю. Данное условие, в частности, выполнено, если

математическое ожидание случайных ошибок равно нулю, и
факторы и случайные ошибки - независимые случайные величины .

Второе условие - условие экзогенности факторов - принципиальное. Если это свойство не выполнено, то можно считать, что практически любые оценки будут крайне неудовлетворительными: они не будут даже состоятельными (то есть даже очень большой объём данных не позволяет получить качественные оценки в этом случае). В классическом случае делается более сильное предположение о детерминированности факторов, в отличие от случайной ошибки, что автоматически означает выполнение условия экзогенности. В общем случае для состоятельности оценок достаточно выполнения условия экзогенности вместе со сходимостью матрицы V x {\displaystyle V_{x}} к некоторой невырожденной матрице при увеличении объёма выборки до бесконечности.

Для того, чтобы кроме состоятельности и несмещенности , оценки (обычного) МНК были ещё и эффективными (наилучшими в классе линейных несмещенных оценок) необходимо выполнение дополнительных свойств случайной ошибки:

Данные предположения можно сформулировать для ковариационной матрицы вектора случайных ошибок V (ε) = σ 2 I {\displaystyle V(\varepsilon)=\sigma ^{2}I} .

Линейная модель, удовлетворяющая таким условиям, называется классической . МНК-оценки для классической линейной регрессии являются несмещёнными , состоятельными и наиболее эффективными оценками в классе всех линейных несмещённых оценок (в англоязычной литературе иногда употребляют аббревиатуру BLUE (Best Linear Unbiased Estimator ) - наилучшая линейная несмещённая оценка; в отечественной литературе чаще приводится теорема Гаусса - Маркова). Как нетрудно показать, ковариационная матрица вектора оценок коэффициентов будет равна:

V (b ^ O L S) = σ 2 (X T X) − 1 {\displaystyle V({\hat {b}}_{OLS})=\sigma ^{2}(X^{T}X)^{-1}} .

Эффективность означает, что эта ковариационная матрица является «минимальной» (любая линейная комбинация коэффициентов, и в частности сами коэффициенты, имеют минимальную дисперсию), то есть в классе линейных несмещенных оценок оценки МНК-наилучшие. Диагональные элементы этой матрицы - дисперсии оценок коэффициентов - важные параметры качества полученных оценок. Однако рассчитать ковариационную матрицу невозможно, поскольку дисперсия случайных ошибок неизвестна. Можно доказать, что несмещённой и состоятельной (для классической линейной модели) оценкой дисперсии случайных ошибок является величина:

S 2 = R S S / (n − k) {\displaystyle s^{2}=RSS/(n-k)} .

Подставив данное значение в формулу для ковариационной матрицы и получим оценку ковариационной матрицы. Полученные оценки также являются несмещёнными и состоятельными . Важно также то, что оценка дисперсии ошибок (а значит и дисперсий коэффициентов) и оценки параметров модели являются независимыми случайными величинами, что позволяет получить тестовые статистики для проверки гипотез о коэффициентах модели.

Необходимо отметить, что если классические предположения не выполнены, МНК-оценки параметров не являются наиболее эффективными и, где W {\displaystyle W} - некоторая симметрическая положительно определенная весовая матрица. Обычный МНК является частным случаем данного подхода, когда весовая матрица пропорциональна единичной матрице. Как известно, для симметрических матриц (или операторов) существует разложение W = P T P {\displaystyle W=P^{T}P} . Следовательно, указанный функционал можно представить следующим образом e T P T P e = (P e) T P e = e ∗ T e ∗ {\displaystyle e^{T}P^{T}Pe=(Pe)^{T}Pe=e_{*}^{T}e_{*}} , то есть этот функционал можно представить как сумму квадратов некоторых преобразованных «остатков». Таким образом, можно выделить класс методов наименьших квадратов - LS-методы (Least Squares).

Доказано (теорема Айткена), что для обобщенной линейной регрессионной модели (в которой на ковариационную матрицу случайных ошибок не налагается никаких ограничений) наиболее эффективными (в классе линейных несмещенных оценок) являются оценки т. н. обобщенного МНК (ОМНК, GLS - Generalized Least Squares) - LS-метода с весовой матрицей, равной обратной ковариационной матрице случайных ошибок: W = V ε − 1 {\displaystyle W=V_{\varepsilon }^{-1}} .

Можно показать, что формула ОМНК-оценок параметров линейной модели имеет вид

B ^ G L S = (X T V − 1 X) − 1 X T V − 1 y {\displaystyle {\hat {b}}_{GLS}=(X^{T}V^{-1}X)^{-1}X^{T}V^{-1}y} .

Ковариационная матрица этих оценок соответственно будет равна

V (b ^ G L S) = (X T V − 1 X) − 1 {\displaystyle V({\hat {b}}_{GLS})=(X^{T}V^{-1}X)^{-1}} .

Фактически сущность ОМНК заключается в определенном (линейном) преобразовании (P) исходных данных и применении обычного МНК к преобразованным данным. Цель этого преобразования - для преобразованных данных случайные ошибки уже удовлетворяют классическим предположениям.

Взвешенный МНК

В случае диагональной весовой матрицы (а значит и ковариационной матрицы случайных ошибок) имеем так называемый взвешенный МНК (WLS - Weighted Least Squares). В данном случае минимизируется взвешенная сумма квадратов остатков модели, то есть каждое наблюдение получает «вес», обратно пропорциональный дисперсии случайной ошибки в данном наблюдении: e T W e = ∑ t = 1 n e t 2 σ t 2 {\displaystyle e^{T}We=\sum _{t=1}^{n}{\frac {e_{t}^{2}}{\sigma _{t}^{2}}}} . Фактически данные преобразуются взвешиванием наблюдений (делением на величину, пропорциональную предполагаемому стандартному отклонению случайных ошибок), а к взвешенным данным применяется обычный МНК.

ISBN 978-5-7749-0473-0 .

Эконометрика. Учебник / Под ред. Елисеевой И. И. - 2-е изд. - М. : Финансы и статистика, 2006. - 576 с. - ISBN 5-279-02786-3 .

Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: словарь-справочник. - 3-е изд.. - М. : ЛКИ, 2008. - 248 с. - ISBN 978-5-382-00839-4 . И.В Митин, Русаков В.С. Анализ и обработка экспериментальных данных- 5-е издание- 24с.

После выравнивания получим функцию следующего вида: g (x) = x + 1 3 + 1 .

Мы можем аппроксимировать эти данные с помощью линейной зависимости y = a x + b , вычислив соответствующие параметры. Для этого нам нужно будет применить так называемый метод наименьших квадратов. Также потребуется сделать чертеж, чтобы проверить, какая линия будет лучше выравнивать экспериментальные данные.

В чем именно заключается МНК (метод наименьших квадратов)

Главное, что нам нужно сделать, – это найти такие коэффициенты линейной зависимости, при которых значение функции двух переменных F (a , b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 будет наименьшим. Иначе говоря, при определенных значениях a и b сумма квадратов отклонений представленных данных от получившейся прямой будет иметь минимальное значение. В этом и состоит смысл метода наименьших квадратов. Все, что нам надо сделать для решения примера – это найти экстремум функции двух переменных.

Как вывести формулы для вычисления коэффициентов

Для того чтобы вывести формулы для вычисления коэффициентов, нужно составить и решить систему уравнений с двумя переменными. Для этого мы вычисляем частные производные выражения F (a , b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 по a и b и приравниваем их к 0 .

δ F (a , b) δ a = 0 δ F (a , b) δ b = 0 ⇔ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i = 0 - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) = 0 ⇔ a ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n b = ∑ i = 1 n y i ⇔ a ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + n b = ∑ i = 1 n y i

Для решения системы уравнений можно использовать любые методы, например, подстановку или метод Крамера. В результате у нас должны получиться формулы, с помощью которых вычисляются коэффициенты по методу наименьших квадратов.

n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - a ∑ i = 1 n x i n

Мы вычислили значения переменных, при который функция
F (a , b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 примет минимальное значение. В третьем пункте мы докажем, почему оно является именно таким.

Это и есть применение метода наименьших квадратов на практике. Его формула, которая применяется для поиска параметра a , включает в себя ∑ i = 1 n x i , ∑ i = 1 n y i , ∑ i = 1 n x i y i , ∑ i = 1 n x i 2 , а также параметр
n – им обозначено количество экспериментальных данных. Советуем вам вычислять каждую сумму отдельно. Значение коэффициента b вычисляется сразу после a .

Обратимся вновь к исходному примеру.

Пример 1

Здесь у нас n равен пяти. Чтобы было удобнее вычислять нужные суммы, входящие в формулы коэффициентов, заполним таблицу.

	i = 1	i = 2	i = 3	i = 4	i = 5	∑ i = 1 5
x i	0	1	2	4	5	12
y i	2 , 1	2 , 4	2 , 6	2 , 8	3	12 , 9
x i y i	0	2 , 4	5 , 2	11 , 2	15	33 , 8
x i 2	0	1	4	16	25	46

Решение

Четвертая строка включает в себя данные, полученные при умножении значений из второй строки на значения третьей для каждого отдельного i . Пятая строка содержит данные из второй, возведенные в квадрат. В последнем столбце приводятся суммы значений отдельных строчек.

Воспользуемся методом наименьших квадратов, чтобы вычислить нужные нам коэффициенты a и b . Для этого подставим нужные значения из последнего столбца и подсчитаем суммы:

n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - a ∑ i = 1 n x i n ⇒ a = 5 · 33 , 8 - 12 · 12 , 9 5 · 46 - 12 2 b = 12 , 9 - a · 12 5 ⇒ a ≈ 0 , 165 b ≈ 2 , 184

У нас получилось, что нужная аппроксимирующая прямая будет выглядеть как y = 0 , 165 x + 2 , 184 . Теперь нам надо определить, какая линия будет лучше аппроксимировать данные – g (x) = x + 1 3 + 1 или 0 , 165 x + 2 , 184 . Произведем оценку с помощью метода наименьших квадратов.

Чтобы вычислить погрешность, нам надо найти суммы квадратов отклонений данных от прямых σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 и σ 2 = ∑ i = 1 n (y i - g (x i)) 2 , минимальное значение будет соответствовать более подходящей линии.

σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (0 , 165 x i + 2 , 184)) 2 ≈ 0 , 019 σ 2 = ∑ i = 1 n (y i - g (x i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (x i + 1 3 + 1)) 2 ≈ 0 , 096

Ответ: поскольку σ 1 < σ 2 , то прямой, наилучшим образом аппроксимирующей исходные данные, будет
y = 0 , 165 x + 2 , 184 .

Метод наименьших квадратов наглядно показан на графической иллюстрации. С помощью красной линии отмечена прямая g (x) = x + 1 3 + 1 , синей – y = 0 , 165 x + 2 , 184 . Исходные данные обозначены розовыми точками.

Поясним, для чего именно нужны приближения подобного вида.

Они могут быть использованы в задачах, требующих сглаживания данных, а также в тех, где данные надо интерполировать или экстраполировать. Например, в задаче, разобранной выше, можно было бы найти значение наблюдаемой величины y при x = 3 или при x = 6 . Таким примерам мы посвятили отдельную статью.

Доказательство метода МНК

Чтобы функция приняла минимальное значение при вычисленных a и b , нужно, чтобы в данной точке матрица квадратичной формы дифференциала функции вида F (a , b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 была положительно определенной. Покажем, как это должно выглядеть.

Пример 2

У нас есть дифференциал второго порядка следующего вида:

d 2 F (a ; b) = δ 2 F (a ; b) δ a 2 d 2 a + 2 δ 2 F (a ; b) δ a δ b d a d b + δ 2 F (a ; b) δ b 2 d 2 b

Решение

δ 2 F (a ; b) δ a 2 = δ δ F (a ; b) δ a δ a = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i δ a = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 δ 2 F (a ; b) δ a δ b = δ δ F (a ; b) δ a δ b = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i δ b = 2 ∑ i = 1 n x i δ 2 F (a ; b) δ b 2 = δ δ F (a ; b) δ b δ b = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) δ b = 2 ∑ i = 1 n (1) = 2 n

Иначе говоря, можно записать так: d 2 F (a ; b) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 d 2 a + 2 · 2 ∑ x i i = 1 n d a d b + (2 n) d 2 b .

Мы получили матрицу квадратичной формы вида M = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n .

В этом случае значения отдельных элементов не будут меняться в зависимости от a и b . Является ли эта матрица положительно определенной? Чтобы ответить на этот вопрос, проверим, являются ли ее угловые миноры положительными.

Вычисляем угловой минор первого порядка: 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 > 0 . Поскольку точки x i не совпадают, то неравенство является строгим. Будем иметь это в виду при дальнейших расчетах.

Вычисляем угловой минор второго порядка:

d e t (M) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n = 4 n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2

После этого переходим к доказательству неравенства n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 с помощью математической индукции.

Проверим, будет ли данное неравенство справедливым при произвольном n . Возьмем 2 и подсчитаем:

2 ∑ i = 1 2 (x i) 2 - ∑ i = 1 2 x i 2 = 2 x 1 2 + x 2 2 - x 1 + x 2 2 = = x 1 2 - 2 x 1 x 2 + x 2 2 = x 1 + x 2 2 > 0

У нас получилось верное равенство (если значения x 1 и x 2 не будут совпадать).

Сделаем предположение, что данное неравенство будет верным для n , т.е. n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 – справедливо.
Теперь докажем справедливость при n + 1 , т.е. что (n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 > 0 , если верно n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 .

Вычисляем:

(n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 = = (n + 1) ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 + n · x n + 1 2 + ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - - ∑ i = 1 n x i 2 + 2 x n + 1 ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + n · x n + 1 2 - x n + 1 ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n (x i) 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x 1 2 + + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 2 + x 2 2 + . . . + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x n 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + + (x n + 1 - x 1) 2 + (x n + 1 - x 2) 2 + . . . + (x n - 1 - x n) 2 > 0

Выражение, заключенное в фигурные скобки, будет больше 0 (исходя из того, что мы предполагали в пункте 2), и остальные слагаемые будут больше 0 , поскольку все они являются квадратами чисел. Мы доказали неравенство.

Ответ: найденные a и b будут соответствовать наименьшему значению функции F (a , b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 , значит, они являются искомыми параметрами метода наименьших квадратов (МНК).

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов (МНК, OLS, Ordinary Least Squares ) - один из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным. Метод основан на минимизации суммы квадратов остатков регрессии.

Необходимо отметить, что собственно методом наименьших квадратов можно назвать метод решения задачи в любой области, если решение заключается или удовлетворяет некоторому критерию минимизации суммы квадратов некоторых функций от искомых переменных. Поэтому метод наименьших квадратов может применяться также для приближённого представления (аппроксимации) заданной функции другими (более простыми) функциями, при нахождении совокупности величин, удовлетворяющих уравнениям или ограничениям, количество которых превышает количество этих величин и т. д.

Сущность МНК

Пусть задана некоторая (параметрическая) модель вероятностной (регрессионной) зависимости между (объясняемой) переменной y и множеством факторов (объясняющих переменных) x

где - вектор неизвестных параметров модели

- случайная ошибка модели.

Пусть также имеются выборочные наблюдения значений указанных переменных. Пусть - номер наблюдения (). Тогда - значения переменных в -м наблюдении. Тогда при заданных значениях параметров b можно рассчитать теоретические (модельные) значения объясняемой переменной y:

Величина остатков зависит от значений параметров b.

Сущность МНК (обычного, классического) заключается в том, чтобы найти такие параметры b, при которых сумма квадратов остатков (англ. Residual Sum of Squares ) будет минимальной:

В общем случае решение этой задачи может осуществляться численными методами оптимизации (минимизации). В этом случае говорят о нелинейном МНК (NLS или NLLS - англ. Non-Linear Least Squares ). Во многих случаях можно получить аналитическое решение. Для решения задачи минимизации необходимо найти стационарные точки функции , продифференцировав её по неизвестным параметрам b, приравняв производные к нулю и решив полученную систему уравнений:

Если случайные ошибки модели имеют нормальное распределение , имеют одинаковую дисперсию и некоррелированы между собой, МНК-оценки параметров совпадают с оценками метода максимального правдоподобия (ММП) .

МНК в случае линейной модели

Пусть регрессионная зависимость является линейной:

Пусть y - вектор-столбец наблюдений объясняемой переменной, а - матрица наблюдений факторов (строки матрицы - векторы значений факторов в данном наблюдении, по столбцам - вектор значений данного фактора во всех наблюдениях). Матричное представление линейной модели имеет вид:

Тогда вектор оценок объясняемой переменной и вектор остатков регрессии будут равны

соответственно сумма квадратов остатков регрессии будет равна

Дифференцируя эту функцию по вектору параметров и приравняв производные к нулю, получим систему уравнений (в матричной форме):

Решение этой системы уравнений и дает общую формулу МНК-оценок для линейной модели:

Для аналитических целей оказывается полезным последнее представление этой формулы. Если в регрессионной модели данные центрированы , то в этом представлении первая матрица имеет смысл выборочной ковариационной матрицы факторов, а вторая - вектор ковариаций факторов с зависимой переменной. Если кроме того данные ещё и нормированы на СКО (то есть в конечном итоге стандартизированы ), то первая матрица имеет смысл выборочной корреляционной матрицы факторов, второй вектор - вектора выборочных корреляций факторов с зависимой переменной.

Пример: простейшая (парная) регрессия

В случае парной линейной регрессии формулы расчета упрощаются (можно обойтись без матричной алгебры):

Свойства МНК-оценок

математическое ожидание случайных ошибок равно нулю, и
факторы и случайные ошибки - независимые случайные величины.

Второе условие - условие экзогенности факторов - принципиальное. Если это свойство не выполнено, то можно считать, что практически любые оценки будут крайне неудовлетворительными: они не будут даже состоятельными (то есть даже очень большой объём данных не позволяет получить качественные оценки в этом случае). В классическом случае делается более сильное предположение о детерминированности факторов, в отличие от случайной ошибки, что автоматически означает выполнение условия экзогенности. В общем случае для состоятельности оценок достаточно выполнения условия экзогенности вместе со сходимостью матрицы к некоторой невырожденной матрице при увеличении объёма выборки до бесконечности.

Данные предположения можно сформулировать для ковариационной матрицы вектора случайных ошибок

Линейная модель, удовлетворяющая таким условиям, называется классической . МНК-оценки для классической линейной регрессии являются несмещёнными , состоятельными и наиболее эффективными оценками в классе всех линейных несмещённых оценок (в англоязычной литературе иногда употребляют аббревиатуру BLUE (Best Linear Unbaised Estimator ) - наилучшая линейная несмещённая оценка; в отечественной литературе чаще приводится теорема Гаусса - Маркова). Как нетрудно показать, ковариационная матрица вектора оценок коэффициентов будет равна:

Обобщенный МНК

Метод наименьших квадратов допускает широкое обобщение. Вместо минимизации суммы квадратов остатков можно минимизировать некоторую положительно определенную квадратичную форму от вектора остатков , где - некоторая симметрическая положительно определенная весовая матрица. Обычный МНК является частным случаем данного подхода, когда весовая матрица пропорциональна единичной матрице. Как известно из теории симметрических матриц (или операторов) для таких матриц существует разложение . Следовательно, указанный функционал можно представить следующим образом , то есть этот функционал можно представить как сумму квадратов некоторых преобразованных «остатков». Таким образом, можно выделить класс методов наименьших квадратов - LS-методы (Least Squares).

Можно показать, что формула ОМНК-оценок параметров линейной модели имеет вид

Ковариационная матрица этих оценок соответственно будет равна

Взвешенный МНК

В случае диагональной весовой матрицы (а значит и ковариационной матрицы случайных ошибок) имеем так называемый взвешенный МНК (WLS - Weighted Least Squares). В данном случае минимизируется взвешенная сумма квадратов остатков модели, то есть каждое наблюдение получает «вес», обратно пропорциональный дисперсии случайной ошибки в данном наблюдении: . Фактически данные преобразуются взвешиванием наблюдений (делением на величину, пропорциональную предполагаемому стандартному отклонению случайных ошибок), а к взвешенным данным применяется обычный МНК.

Некоторые частные случаи применения МНК на практике

Аппроксимация линейной зависимости

Рассмотрим случай, когда в результате изучения зависимости некоторой скалярной величины от некоторой скалярной величины (Это может быть, например, зависимость напряжения от силы тока : , где - постоянная величина, сопротивление проводника) было проведено измерений этих величин, в результате которых были получены значения и соответствующие им значения . Данные измерений должны быть записаны в таблице.

Таблица. Результаты измерений.

№ измерения
1
2
3
4
5
6

Вопрос звучит так: какое значение коэффициента можно подобрать, чтобы наилучшим образом описать зависимость ? Согласно МНК это значение должно быть таким, чтобы сумма квадратов отклонений величин от величин

была минимальной

Сумма квадратов отклонений имеет один экстремум - минимум, что позволяет нам использовать эту формулу . Найдём из этой формулы значение коэффициента . Для этого преобразуем её левую часть следующим образом:

Последняя формула позволяет нам найти значение коэффициента , что и требовалось в задаче.

История

До начала XIX в. учёные не имели определённых правил для решения системы уравнений , в которой число неизвестных меньше, чем число уравнений; до этого времени употреблялись частные приёмы, зависевшие от вида уравнений и от остроумия вычислителей, и потому разные вычислители, исходя из тех же данных наблюдений, приходили к различным выводам. Гауссу (1795) принадлежит первое применение метода, а Лежандр (1805) независимо открыл и опубликовал его под современным названием (фр. Méthode des moindres quarrés ) . Лаплас связал метод с теорией вероятностей , а американский математик Эдрейн (1808) рассмотрел его теоретико-вероятностные приложения . Метод распространён и усовершенствован дальнейшими изысканиями Энке , Бесселя , Ганзена и других.

Альтернативное использование МНК

Идея метода наименьших квадратов может быть использована также в других случаях, не связанных напрямую с регрессионным анализом. Дело в том, что сумма квадратов является одной из наиболее распространенных мер близости для векторов (евклидова метрика в конечномерных пространствах).

Одно из применений - «решение» систем линейных уравнений, в которых число уравнений больше числа переменных

где матрица не квадратная, а прямоугольная размера .

Такая система уравнений, в общем случае не имеет решения (если ранг на самом деле больше числа переменных). Поэтому эту систему можно «решить» только в смысле выбора такого вектора , чтобы минимизировать «расстояние» между векторами и . Для этого можно применить критерий минимизации суммы квадратов разностей левой и правой частей уравнений системы, то есть . Нетрудно показать, что решение этой задачи минимизации приводит к решению следующей системы уравнений