Може би не сте знаели, че доходът, който можете да получите чрез управление на портфейл, е няколко пъти по-висок от банковата лихва, а рисковете - при балансиран, пресметнат подход - са почти на същото ниво. Това в пълния смисъл на думата е „златна мина“, която тепърва започва да се разработва у нас, въпреки че отдавна се изучава в Европа и Америка. С увереност можем да прогнозираме в следващите години експлозия в активността на застрахователните и инвестиционни компании, пенсионните фондове и банките в тази сфера.

Читателят вероятно вече е чувал някъде за инвестиционни портфейли. Ако е така, тогава тази статия ще разшири вашето разбиране за този финансов инструмент.

Статистическите методи заемат важно място в технологията на портфейлните инвестиции. На практика математическите модели рядко се използват за работа с руски акции. Причината за това е ниската ефективност на използването на математическия апарат в условия на нестабилност. Въпреки това, с постепенното нормализиране на политическата и икономическата ситуация в Русия, значението на портфейлните инвестиции, базирани на статистически методи, ще се увеличи. И това вече се случва.

Сред математическите модели има модели, които решават задачите за оптимално формиране и прогнозиране на портфейла. Заедно ще разгледаме методологията за конструиране на оптимизационен модел, базиран на теорията на Марковиц.

През втората половина на двадесети век преобладаващата идея беше, че портфейл, създаден от рискови активи, a priori носи висок риск. През 1959 г. Марковиц предлага математическа схема за избор на оптимални портфейли, като се фокусира върху поведението на портфейла, а не върху неговите компоненти. Той коренно промени гледната точка на инвестиционния процес.

Основната задача в процеса на оптимално формиране на портфейл от ценни книжа е разпределението от инвеститора на определена сума пари между различни алтернативни инвестиции. В общия случай задачата на оптимизацията на портфейла е да се избере такова разпределение на средствата между активите, което да максимизира печалбата при зададени ограничения на нивото на риск.

В тази статия читателят ще срещне думите „ефективни“ и „оптимални“ портфейли. Ефективен означава портфейл, който отговаря на изискванията за минимален риск и максимална възвръщаемост. Ако инвеститорът е изправен пред избора на един от ефективните портфейли, тогава оптималният портфейл ще бъде най-предпочитаният. Предпочитанията на инвеститорите са отношение към риска и очакваната възвръщаемост на инвестицията. Инвеститорът често трябва да се справя с избора на рискови активи, т.е. активи, чиято бъдеща възвращаемост е несигурна. Между другото, както показва практиката, рискът на даден актив е обратно пропорционален на неговата доходност.

Вече сме готови да разгледаме как се измерват очакваната възвръщаемост и рискът на активите, както и очакваната възвръщаемост на портфейл, състоящ се от рискови активи.

Формулата за възвръщаемост на инвестиционен портфейл е:

където Rр е възвръщаемостта на портфейла p за периода;

Rg е възвръщаемостта на актива g за периода;

wg е теглото на актив g в портфейла (т.е. делът на пазарната стойност на актив g в общата пазарна стойност на целия портфейл);

G е броят на активите в портфейла.

Пример 1

Нека инвестиционният портфейл се състои от акции на ЛУКОЙЛ (20%), Сбербанк (40%) и Мосенерго (40%) със съответните седмични доходи от 0,93%, 1,81% и 1,6%. Тогава седмичната доходност на портфейла ще бъде равна на Rр = 0.2*0.93+0.4*1.81+0.4*1.6= 1.55%

Представената по-горе формула показва, че възвръщаемостта на портфолио, състоящо се от G активи (Rp), е равна на сумата от всички претеглени възвръщаемости на отделните активи, включени в портфолиото.

За успешното управление на портфолио е важно инвеститорът да знае очакваната възвръщаемост. Очакваната възвръщаемост на портфейл е претеглената сума на очакваната възвръщаемост на активите, включени в портфейла. В този случай теглото на очакваната възвръщаемост на всеки актив се определя като дял от пазарната стойност на отделен актив в общата пазарна стойност на портфейла.

Очакваната възвръщаемост на рисков актив се изчислява по следния начин. Първо, е определено вероятностно разпределение за възможните стойности на реализираната възвръщаемост. Вероятностното разпределение е функция, която сравнява всяка възможна върната стойност и вероятността за нейната реализация. За дадено вероятностно разпределение очакваната стойност на случайна променлива е среднопретеглена от възможните й стойности, а ролята на тегла играе вероятността за реализиране на тези стойности. Математически очакваната възвръщаемост на актив се изразява, както следва:

където r n е n-тата възможна възвръщаема стойност на i-тия актив;
р n е вероятността за реализиране на възвръщаемата стойност n за i-тия актив;
N е броят на възможните стойности на добива.

Пример 2

Нека се извършат 100 измервания на рентабилността на акциите на Мосенерго-3: в 20 случая тя е 3,5%, в 15 - 2,6% и в 65 случая е 1%. Тогава математическото очакване на доходността на акциите на Mosenergo-3 ще бъде E(Ri)=3,5*0,2+2,6*0,15+0,65*1=1,74%.

В обяснителните речници рискът се определя като „излагане на опасност, загуба, загуба и др. В инвестиционните дейности концепцията за риск се трансформира и започва да се определя като вариация или дисперсия на възвръщаемостта на даден актив (мярка за възможните отклонения от средната стойност). В резултат на това рискът получи количествена стойност. Заслугата за това е на Марковиц, който на базата на статистическата концепция за риска създава своя двупараметърен модел на инвестиционен портфейл.

Формулата за определяне на вариацията във възвръщаемостта на n-тия актив е написана по следния начин:

Пример 3

Нека намерим риска от получаване на средна доходност от 1,74% на седмица върху акциите на Mosenergo-3. За да направим това, изчисляваме вариацията в доходността var(Ri)=0,2*(3,5-1,74)2+0,15*(2,6-1,74)2+0,65*(1-1,74 )2=1,0864.

Вариацията взема предвид не само размера на отклоненията на възможните стойности на рентабилността от средната, но и вероятността от такова отклонение, т.е. той показва мярка за несигурност в очакванията на инвеститора, който оценява бъдещата възвращаемост като средна стойност от всички възможни стойности. Това обстоятелство позволи на Марковиц да разгледа дисперсията на възвръщаемостта като мярка за инвестиционния риск.

Вариацията има измерението на квадрата на измерената стойност; за удобство тя се преобразува в стандартно отклонение, като се вземе квадратен корен. Резултатът е стойност, която има същото измерение като доходността

Между другото, нашият фондов пазар все още не е достатъчно развит и затова използването на статистически методи има своите ограничения. По-специално, на MICEX в края на първото тримесечие на 2002 г. имаше само 17 акции с исторически данни с повече от две години дълбочина. С други думи, възможно е да се намери очакваната възвращаемост и риск с по-голяма степен на надеждност само на седемнадесет акции от 54 активно търгувани на MICEX. Ако пренебрегнем връзките, тогава тяснотата на възможното приложение на теорията на Марковиц става още по-очевидна. Изходът от тази ситуация е да се използват данни от RTS, но те също имат своите ограничения, свързани с нередовността на транзакциите. Фигура 1 показва графика на възвръщаемостта и риска за 16 акции с достатъчно исторически данни. Привилегированата акция на Самаренерго от втора емисия не се вписа в него поради високата седмична доходност за двугодишния период.

Ориз. 1. Връзка между седмичната възвръщаемост и риска на 16 акции въз основа на данни за 2 години

Както беше посочено по-горе, формулата за определяне на вариацията дава вариацията на отделен актив. Намирането на вариация на портфолио от два актива не е много по-трудно. Това зависи не само от вариацията на двата актива, но и от „степента на последователност“ в поведението на възвръщаемостта на активите.

Уравнението изглежда така:

където cov(R i R j) е ковариацията на възвръщаемостта на активите i и j.

Значението на горното уравнение е, че вариацията в възвръщаемостта на портфейла е равна на претеглената сума от претеглените вариации в възвръщаемостта на двата актива и тяхната ковариация.

Концепцията за ковариация все още не се е появила в нашите дискусии. Това е математически термин. В този контекст това означава степента, в която възвръщаемостта на два актива е свързана. Няма специални единици за измерване на ковариацията, като долари или проценти. Положителната ковариация означава, че възвръщаемостта на двата актива се движи (средно) в една и съща посока, докато отрицателната ковариация означава, че възвръщаемостта се движи в обратна посока. Ковариацията на два актива се изчислява по следната формула:

където r in е n-тата възможна възвръщаема стойност на актив i;

r jn - n-e възможна възвръщаемост на актив j;

p n - вероятността за реализиране на n-та стойност на възвръщаемост за активи i, j;

N е броят на възможните стойности на добива.

Концепцията за корелация между възвръщаемостта на активите е подобна на концепцията за тяхната ковариация. Корелацията между възвръщаемостта на активите i и j се определя като ковариацията на двата актива, разделена на произведението на стандартните им отклонения.

Няма значителна разлика между термините „корелация“ и „ковариация“. Разделянето на ковариацията на резултата от стандартното отклонение просто нормализира ковариацията, превръщайки я в безразмерен показател - коефициент.

Коефициентът на корелация приема стойност в диапазона от -1 до +1. В този случай стойност, равна на +1, отразява пълно съвпадение на посоката на движение, а -1 означава пълно несъответствие.

Таблица 1. Данни за корелацията на 17 акции една с друга

Интересни данни са представени в таблица 1, която показва взаимозависимостта на 17 акции, търгувани на MICEX. Ако се вгледате внимателно, има само няколко акции с отрицателна корелация. На тяхна база е възможно да се конструират ефективни портфейли на Марковиц.

В практиката на съставяне на инвестиционен портфейл оценките на очакваната стойност, стандартното отклонение, ковариацията и корелацията се получават въз основа на статистически наблюдения на доходността.

Най-общо вариацията на портфолио от G активи е както следва:

Тъй като вариацията на портфейла зависи от ковариацията на съставните му ценни книжа, въпреки че рискът на отделните активи може да бъде доста голям, рискът на самия портфейл може да бъде намален.

Технологията за създаване на ефективен портфейл от големи групи ценни книжа изисква голям брой изчисления. За портфейл от G акции трябва да изчислите (G2 - G)/2 ковариация. Следователно за портфейл от само 50 акции трябва да се изчислят 1224 ковариации, а за 100 акции – 4950. Използват се методи на квадратично програмиране и подходящ софтуер за намиране на портфейли с минимален риск. Обсъждането на тези модели е извън обхвата на тази статия. В нашия случай 17 акции дават 136 ковариации. Ефективни портфейли от трите най-подходящи актива могат да бъдат създадени чрез интуитивен избор на акции. Резултатът беше два инвестиционни портфейла. Те са представени в таблица 2.

Таблица 2. Ефективни инвестиционни портфейли, съставени според теорията на Марковиц

При сравняване на данните от Фигура 1 и Таблица 2 е логично да се заключи, че ефективните портфейли на Марковиц осигуряват висока възвръщаемост при среден риск. Нека инвеститорът сам избере оптималното портфолио от изброените по-горе.

И така, основата на стратегията за диверсификация на Марковиц е нивото на ковариация на възвръщаемостта на портфейлните активи. Заслугата на Марковиц в развитието на инвестиционната теория се крие в повдигането на въпроса за риска на активите като компоненти на един портфейл, а не като отделни единици.

Нека дадем пример за формиране на инвестиционен портфейл според модела на Г. Марковиц с помощта на Excel, ще анализираме предимствата и недостатъците на този модел в съвременната икономика и начините за тяхното решаване.

Инвестиционен портфейл- това е набор от различни финансови инструменти, които отговарят на целите на инвеститора и като правило се състои в създаването на такива комбинации от активи, които биха осигурили максимална доходност с минимално ниво на риск.

Модел Марковиц

През 1952 г. Г. Марковиц за първи път предлага математически модел за формиране на инвестиционен портфейл. Неговият модел се основава на два ключови показателя за всеки финансов инструмент: доходност и риск, които са измерени количествено. Възвръщаемостта според модела е математическото очакване на възвръщаемостта, а рискът се определя като спред на възвръщаемостта около математическото очакване и се изчислява чрез стандартното отклонение.

Преди модела на Г. Марковиц инвестициите се извършваха по правило в избрани активи или финансови инструменти, но моделът, който той предложи, позволи да се намалят системните (пазарни) рискове чрез групиране на активи с отрицателна корелация на възвръщаемостта.

Трябва да се отбележи, че моделът е универсален, тъй като инвестиционен портфейл може да бъде технически съставен за всякакъв вид финансови инструменти и активи: акции, облигации, фючърси, индекси, недвижими имоти и др.

Цели на формиране на инвестиционен портфейл

Има две инвестиционни стратегии при формиране на портфейл:

Максимизиране на доходността на инвестиционен портфейл с ограничено ниво на риск.

Минимизиране на риска на инвестиционен портфейл при минимално приемливо ниво на доходност.

Изчисляване на доходността на инвестиционния портфейл на Марковиц

Общата възвръщаемост на портфейла ще бъде претеглена сума от възвръщаемостта на всеки отделен финансов инструмент (актив):

Където:

r p – възвръщаемост на инвестиционния портфейл;

w – дял на i-тия финансов инструмент в портфейла;

r i – доходност на i-тия финансов инструмент.

Оценка на риска на инвестиционния портфейл на Марковиц

В модела на Г. Марковиц рискът на отделен финансов инструмент се изчислява като стандартното отклонение на възвръщаемостта. За да се изчисли общият риск на портфейл, е необходимо да се отрази тяхната кумулативна промяна и взаимно влияние (чрез ковариация), за това използваме следната формула:

σp – риск на инвестиционния портфейл;

σ i – стандартно отклонение на доходността на i-тия финансов инструмент;

k ij – коефициент на корелация между I, j-тия финансов инструмент;

w i – дял на i-тия финансов инструмент (акции) в портфейла;

V ij – ковариация на доходността на i-тия и j-тия финансов инструмент;

n – брой финансови инструменти в инвестиционния портфейл.

Иконометричен изглед на модела на Марковиц

За да се формира инвестиционен портфейл, е необходимо да се реши оптимизационна задача. Има два вида проблеми: търсене на дялове от акции в портфейл за постигане на максимална ефективност за дадено ниво на риск (σ p) и минимизиране на риска за дадено ниво на възвръщаемост на портфейла (r p). В допълнение към уравненията се налагат допълнителни очевидни ограничения: сумата от дяловете на активите трябва да е равна на 1 и самите дялове на активите трябва да са положителни.

Таблицата по-долу показва формулите и наложените им ограничения за намиране на оптималните дялове на финансовите инструменти (дялове).

Портфолио с минимален риск на Марковиц	Марковиц портфолио с максимална ефективност

Пример за създаване на инвестиционен портфейл на Марковиц в Excel

Нека да разгледаме ясен пример за формиране на инвестиционен портфейл с помощта на модела на G. Markowitz в Excel. Нашето портфолио ще се състои от четири местни акции: Газпром OJSC (GAZP), Norilsk Nickel OJSC (GMKN), Mechel OJSC (MTLR) и Sberbank OJSC (SBER). Взехме акции от различни сектори: петрол и газ, промишлен и финансов; този избор увеличава диверсификацията на портфейла и намалява неговия пазарен риск.

Препоръчително е да се вземе предвид динамиката на промените в цените на акциите за поне една година. Това позволява по-точна дългосрочна прогноза за възвръщаемостта и риска на портфейла. Фигурата по-долу показва месечната цена на акциите за периода от 01.02.2014 г. – 01.02.2015 г.

Котировки на акции на Газпром, GMKNorNickel, Мечел и Сбербанк

На следващия етап от формирането на портфейла е необходимо да се изчисли месечната доходност за всяка акция. За да направим това, ще използваме формулата за процент в Excel:

Рентабилност Газпром=LN(B6/B5)

Рентабилност на GMKNorNickel=LN(C6/C5)

Рентабилността на Мечел=LN(D6/D5)

Рентабилност Сбербанк=LN(E6/E5)

Изчисляване на месечната доходност на акциите за модела на Марковиц в Excel

Очаквана рентабилност Газпром=СРЕДНО(F5:F17)

Очаквана доходност на GMKNorNickel =СРЕДНО(G5:G17)

Очаквана доходност на Мечел =СРЕДНО(H5:H17)

Очаквана доходност на Сбербанк =СРЕДНО(I5:I17)

Оценяване на очакваната възвръщаемост на дяловете от портфейла в Excel

Възвръщаемостта на акциите на Sberbank OJSC има отрицателна очаквана възвръщаемост, така че трябва да бъде изключена от портфейла. Оценката на риска за всяка акция е нейната променливост (волатилност) във връзка с математическото очакване на възвръщаемостта.

Формулата за изчисляване на борсовия риск е следната:

Риск Газпром=STDEV(F5:F17)

Риск от MMCNorNickel=STDEV(G5:G17)

Риск Мечел=STDEV(H5:H17)

Получихме първоначалните необходими данни за оценка на дяловете на тези акции в инвестиционния портфейл. За да оценим нивото на риск на целия инвестиционен портфейл, ще използваме добавка на Excel. За да направите това, отидете в Главното меню → „Данни“ → „Анализ на данни“ → „Ковариация“.

Резултатът ще бъде таблица на ковариациите на възвръщаемостта на акциите помежду си. Нека го поставим под масата. Може да се види, че диагоналните стойности представляват дисперсията на възвръщаемостта на акциите.

Пример за изчисляване на ковариационната матрица за инвестиционния портфейл на Марковиц в Excel.

За да изчислим общия риск на портфейла, ще използваме формулата, обсъдена по-горе, и за това трябва да умножим дяловете на теглата на акциите един с друг и стойностите на ковариациите на тези дялове. За да разберем принципа на изчисление, ще зададем акциите на 0,3, 0,3 и 0,4 и ще изчислим общия риск на портфейла. Възвръщаемостта на портфейла се изчислява като среднопретеглената възвръщаемост на отделните акции. Тъй като ще умножаваме матрици, е необходимо да транспонираме колоната с дялове (wT). Формулата за изчисляване на риска на инвестиционен портфейл ще бъде както следва:

Общ риск на инвестиционния портфейл=КОРЕН(МНОЖЕСТВО(МНОЖЕСТВО(F26:H26,F23:H25),D23:D25))

Обща възвръщаемост на инвестиционния портфейл=F18*F26+G18*G26+H18*H26

Формиране на инвестиционен портфейл с минимален риск

За тази задача е необходимо да се определи минималното ниво на приемлива възвръщаемост на портфейла (r p). Да вземем r p ≥ 4%. Когато оценяваме дяловете на акциите, ще използваме добавката на Excel „Търсене на решения“, за да направите това, изберете Главното меню Excel → „Данни“ → „Търсене на решения“, а също така въведете ограничения върху стойностите на теглото на коефициентите за акции: сумата от дяловете на акциите трябва да е равна на 1, а самите акции да са с положителен знак.

В добавката Solution Finder трябва да въведете препратка към клетката, която искате да оптимизирате (общ риск на портфейла), какви параметри искате да промените (акции на акции) и текущите ограничения. Целевата клетка е клетката, съдържаща формулата за общия риск на инвестиционния портфейл. Програмата ще промени стойностите на акциите, предмет на зададените ограничения. Формулата за ограничаване на размера на дял от портфейла ще бъде както следва:

Ограничение за количеството акции (F30)=SUM(F26:H26)

Изчисляване на дялове в инвестиционен портфейл в Excel

В резултат на това получаваме следното изчисление на общия риск и възвръщаемост на портфейла. Общият риск на портфейла е 8,7%, докато общата възвръщаемост е 4%. Акциите на Газпром се оказаха 27%, акциите на GMKNorNickel 73% и Мечел 0%. При дадените условия ще бъде по-ефективно да се формира портфейл от две акции на OJSC Gazprom и OJSC GMKNorNickel.

Формиране на инвестиционен портфейл на Марковиц в Excel. Пример за изчисление за минимален риск

Визуално дяловете на портфейла ще бъдат съотнесени по следния начин.

Формиране на ефективен инвестиционен портфейл

Вторият проблем, който се решава въз основа на модела на Г. Марковиц, е чуждестранните портфейли с максимално ниво на доходност и ограничено ниво на риск. Нека да разгледаме този проблем с пример. Нека зададем максимално допустимото ниво на портфейлен риск σ p ≤10%. С помощта на добавката „Търсене на решения“ ще определим дяловете на дяловете в тази интерпретация на проблема. Целевата клетка ще бъде клетката с формулата за възвръщаемост на портфейла, тя трябва да бъде увеличена чрез промяна на стойностите на акциите на акциите под ограничения на риска. Фигурата по-долу показва основните параметри за създаване на портфолио с максимална доходност.

Оптимизиране на вашето инвестиционно портфолио, за да увеличите максимално доходността

В резултат на това получихме акции в инвестиционния портфейл: 9% акции на ОАО „Газпром“, 88% акции на ОАО „GMKNorNickel“ и 2% акции на ОАО „Мечел“. Общият риск на портфейла не надвишава 10%, а доходността е 4,82%.

Визуално дяловете на инвестиционния портфейл ще бъдат съотнесени по следния начин.

Предимства и недостатъци на модела на Г. Марковиц

Нека разгледаме редица недостатъци, присъщи на модела на Г. Марковиц.

• Този модел е разработен за ефективни капиталови пазари, при които има постоянно нарастване на стойността на активите и няма резки колебания в обменните курсове, което е по-характерно за икономиките на развитите страни през 50-80-те години. Съотношението между акциите не е постоянно и се променя с течение на времето, в резултат на това в бъдеще това не намалява системния риск на инвестиционния портфейл.
• Бъдещата доходност на финансовите инструменти (акции) се определя като средноаритметична стойност. Тази прогноза се основава само на историческата стойност на възвръщаемостта на акциите и не включва влиянието на макроикономически (ниво на БВП, инфлация, безработица, индекси на цените на суровините в индустрията и др.) и микроикономически фактори (ликвидност, рентабилност, финансова стабилност, бизнес дейност на фирмата).
• Рискът на даден финансов инструмент се оценява с помощта на мярка за променливост на възвръщаемостта спрямо средноаритметичната стойност, но промяната на възвръщаемостта по-горе не е риск, а представлява прекомерната възвръщаемост на акциите.

Много от тези недостатъци на модела бяха решени от последователи: прогнозиране на рентабилността с помощта на многофакторни модели (Y. Fama, K. French, Ross и др.), невронни мрежи; оценка на риска на базата на модели ARCH, GARCH и др. Трябва да се отбележи едно от основните предимства на модела на Г. Марковиц: систематизирането на подхода към формирането на инвестиционен портфейл и управлението на неговата доходност и риск.

Резюме

В тази статия разгледахме как с помощта на Excel можете да създадете инвестиционен портфейл според модела на G. Markowitz и да решите два класически проблема: максимизиране на доходността на портфейла с минимален риск и минимизиране на риска с дадена доходност. Портфолиото на Марковиц намалява системните рискове чрез комбинация от различни активи. Въпреки трудностите при използването на този модел в съвременната икономика, този модел е приложим за активи с ниска волатилност като недвижими имоти, облигации, стокови фючърси и др. В момента срокът за преглед на активите в портфейла е съкратен, така че ако преди можеше да бъде година, сега е 2-6 месеца. Иван Жданов беше с вас, благодаря за вниманието.

Теория на портфолиото

Съвременната теория на портфолиото започва с работата на Хари Марковиц (1952).

Концепцията за инвестиционен портфейл има важни последици за много области на финансовото управление. Например цената на капитала на фирмата се определя от степента на риск на ценните книжа в нейния портфейл, тъй като, първо, структурата на инвестиционния портфейл влияе върху степента на риск на собствените ценни книжа на компанията; второ, изискваната от инвеститорите възвръщаемост зависи от големината на този риск. В допълнение, всяка фирма, чиито акции се държат в портфейл, може от своя страна да се счита за портфейл от активи (или проекти) в рамките на нейното управление и следователно собствеността върху портфейл от ценни книжа представлява собственост върху много различни проекти. В този контекст нивото на риск на всеки проект влияе върху риска на портфейла като цяло.

Според портфейлната теория на Марковиц критериите за оценка на ефективността на инвестиционните решения са само два параметъра - очаквано завръщанеИ стандартно отклонение на възвращаемостта.Теорията на портфолиото е, че обикновено общото ниво на риск може да бъде намалено чрез комбиниране на рискови активи в портфейли.Основната причина за това намаляване на риска е липсата на пряка функционална връзка между стойностите на възвръщаемост за повечето различни видове активи.

Невъзможно е да се намери ценна книга, която е едновременно високодоходна, високо надеждна и високоликвидна. Всяка отделна хартия може да има максимум две от тези качества. Същността на портфейлните инвестиции се състои именно в разпределението на инвестиционния потенциал между различни групи активи.

Инвестиционен портфейле набор от инвестиционни инструменти, които служат за постигане на поставените цели. Разпределяйки инвестициите си в различни области, инвеститорът може да постигне по-високо ниво на възвръщаемост на своите инвестиции или да намали степента на техния риск. Характерна особеност на портфейла е, че рискът на портфейла може да бъде значително по-малък от риска на отделните инвестиционни инструменти, включени в портфейла.

Инвестициите в ценни книжа се правят с цел получаване на инвестиционен доход. Тази формулировка обаче е твърде обща. Доходите могат да бъдат получени под формата на лихви и дивиденти или под формата на увеличение на пазарната стойност на ценни книжа (предимно акции). Следователно съставът на портфейла ще бъде повлиян от това каква цел преследва инвеститорът, като инвестира в ценни книжа. Изборът на цел се влияе от редица фактори, включително следните.

• Портфейлът трябва да осигурява на инвеститора редовно снабдяване с определено количество средства, необходими за задоволяване на всички или част от жизнените нужди на инвеститора.
• Може да се наложи инвеститор бързо да ликвидира портфейл. В този случай портфейлът трябва да бъде съставен по такъв начин, че да гарантира безопасността на главницата по време на ликвидация и да не губи средства.
• Данъчно облагане на доходите на инвеститорите. Инвеститор, който печели високи доходи и плаща високи данъци, в определени ситуации ще се стреми да закупи ценни книжа, чийто доход не подлежи на данъци.
• Апетитът на инвеститора към риск. Ако инвеститорът е склонен да рискува, съставът на портфейла ще бъде различен от този в случай на инвеститор, който желае да инвестира в по-рискови ценни книжа.

Като вземем предвид горното, можем да идентифицираме следните най-типични цели на портфейл от ценни книжа:

• 1) получаване на доходи;
• 2) генериране на приходи и увеличаване на стойността на портфейла;
• 3) увеличаване на стойността на портфейла и генериране на доход;
• 4) увеличаване на стойността на портфейла.

Портфейлите, които се фокусират върху доходите, се считат за най-консервативните. Такива портфейли трябва да се състоят от облигации, които плащат определен доход, както и тези акции, които плащат дивиденти като висок процент от приходите.

Ако целта е да се увеличи стойността на портфейла, портфейлът включва акции на бързо развиващи се компании. Потенциалът за печалба на такива компании е висок, но тези компании запазват печалба за целите на развитието и изплащат ниски или никакви дивиденти. Ползата за инвеститора идва от увеличението на цената на акциите. Потенциалната печалба на инвеститора може да бъде значителна, но също толкова важен е рискът на инвеститора да не постигне очакваната възвръщаемост. Този риск е свързан както със самата компания, така и с пазара.

Целта „получаване на доходи и увеличаване на стойността на портфейла“ поставя малко повече акцент върху генерирането на доход, докато целта „увеличаване на стойността на портфейла и генериране на доход“ набляга на увеличаване на стойността на портфейла. Портфейлите с различни пропорции на акции с по-рисков растеж биха изпълнили тези две цели.

В резултат на установяването на целта на портфолиото се разработва насока за формиране на състава на портфейла. Ако инвеститорът се фокусира върху генерирането на доход, тогава портфейлът трябва да се състои от облигации и акции на надеждни компании, които плащат високи дивиденти. Като крайна позиция, портфейлът може да се състои само от облигации. Това се случва, когато инвеститорът се опитва да избегне всякакъв риск или когато цели да получи строго определен годишен доход.

Ако инвеститорът се фокусира върху увеличаване на стойността на портфейл, тогава такъв портфейл трябва да се състои от акции. В процеса на формиране на такова портфолио могат да се разграничат няколко етапа. Първата стъпка е да решите колко акции да включите в портфейла. Емпиричният анализ показва, че портфейли с между 8 и 16 акции се представят малко по-зле от портфейли с повече акции и могат да осигурят достатъчно намаляване на риска. Освен това такива портфейли изискват по-ниски разходи за формиране и промяна на техния състав.

На втория етап от формирането на портфейла се извършва внимателен подбор на акциите, включени в портфейла. За да направите това, е необходимо да анализирате как се държат акциите при благоприятни и неблагоприятни условия и, като вземете предвид предпочитанията на инвеститора за очаквана печалба, изберете акции в портфейла, които се държат по различен начин, за да намалите риска на портфейла.

На третия етап трябва да определите каква част от инвестициите да разпределите за всеки тип избрани акции. Най-простият начин е да се разпределят равни дялове от инвестициите за всеки дял. Този метод е доста прост и удобен и, както показва практиката, дава добри резултати.

Ако целта на портфейла е генериране на текущ доход и увеличаване на стойността на актива, портфейлът трябва да включва акции на компании, които изплащат относително стабилни дивиденти, както и част от средствата трябва да бъдат разпределени за закупуване на дългови ценни книжа, които са стабилен източник на доходи. Съотношението на акции към дългови ценни книжа ще зависи от това дали има по-голям акцент върху увеличаването на стойността на портфейла или върху генерирането на текущ доход.

Когато формирате инвестиционен портфейл, трябва да се ръководите от следните съображения:

• сигурностинвестиции (неуязвимост на инвестициите от шокове на инвестиционния капиталов пазар);
• стабилностгенериране на доходи;
• ликвидностинвестиции.

Нито една от инвестиционните стойности не притежава всички изброени по-горе свойства. Следователно компромисът е неизбежен. Ако ценната книга е сигурна, тогава доходността ще бъде ниска, тъй като тези, които предпочитат сигурността, ще наддават високо и ще намалят доходността.

След определено време първоначално формираният портфейл може да не отговаря на изискванията на инвеститора и подлежи на ревизия. В този случай съставът на портфолиото се променя само ако:

• 1) предпочитания на инвеститорите;
• 2) безрисков лихвен процент;
• 3) общи прогнози за доходността и риска на първоначалния портфейл;
• 4) привлекателността на определени отрасли и акции като инвестиционни обекти поради разликите в нормите на печалба.

Индивидуалните компоненти на портфейла променят своята възвръщаемост и рискови характеристики с течение на времето, така че инвеститорът трябва да се отърве от тези активи на портфейла, които не отговарят на неговите цели.

Очакваната възвръщаемост на портфейл е среднопретеглената стойност на очакваната възвръщаемост на отделните ценни книжа, включени в даден портфейл: където k p Х (- дял от инвестирания портфейл аз-ти актив; /s, - очаквана възвращаемост аз-ти актив; П- броя на активите в портфейла.

Пример

Да предположимче очакваната доходност на акциите N към n =10% , и акции Z k z = 15%. Ако инвестирате теглото си в акции Н,очаквана възвръщаемост на портфейла k p = k )1 =10%. Ако инвестирате капитал само в акции Z, очакваната възвръщаемост на инвестицията ще бъде k p = k 2=15%. При инвестиране на капитал в акции в различни акции, очакваната възвръщаемост на портфейла ще бъде равна на среднопретеглената възвръщаемост на акциите:

Мярка за риска на портфейла може да бъде стандартното отклонение на разпределението на възвръщаемостта, което се изчислява по формулата

Където kpi- доходност на портфейла, съответстваща на i-то състояние на икономиката; k p- очаквана възвръщаемост на портфейла; Р.- вероятността икономиката да влезе аз-м състояние.

Тази формула е напълно идентична с формулата за изчисляване на стандартното отклонение на отделен актив, с изключение на факта, че в този случай активът се разбира като портфейл от активи.

Основните понятия, използвани в анализа на портфейла, са ковариация и коефициент на корелация. Ковариацията (cov) е мярка, която взема предвид дисперсията (или дисперсията) на индивидуалната възвръщаемост на дадена акция и силата на връзката между промените в възвръщаемостта на тази акция и всички други акции. Ковариация между акциите AiVизчислено, както следва:

Множител ( k Ai -k l) представлява отклонението на възвръщаемостта на акция А от очакваната й стойност при i-то състояние на икономиката. Множител ( k t -k v)- отклонение на доходността на запасите INза същото състояние на икономиката; P (е вероятността икономиката да бъде в i-то състояние; П- общ брой държави.

Много е трудно да се интерпретира смислено числената стойност на ковариацията, така че много често се използва за измерване на силата на връзката между две променливи. коефициент на корелация.Този коефициент ви позволява да стандартизирате ковариацията, като я разделите на произведението на съответните стандартни отклонения и привеждате стойностите в сравнима форма. Този коефициент се изчислява, както следва:

Знакът на коефициента на корелация съвпада със знака на ковариацията, така че неговата положителна стойност означава еднопосочна промяна на променливите, а отрицателна стойност означава промяната им в противоположни посоки. Ако стойността на r е близка до нула, връзката между променливите слаб.

Пример

Нека изчислим ковариацията и коефициента на корелация между дяловете F и G въз основа на данните, дадени в табл. 3.1.

Таблица 3.1. Вероятностно разпределение на доходността на акциитеE, F, GИн (%)

Отрицателна стойност на ковариация показва, че възвръщаемостта на тези акции се движи в противоположни посоки.

Тоест наистина има обратна функционална връзка между тези дялове.

Ако приемем, че разпределението на възвръщаемостта на отделните ценни книжа е нормално, формулата може да се използва за определяне на риска на портфейл, състоящ се от два актива

където x е частта от портфейла, инвестирана в ценна книга A; 1 - x - делът на портфейла, инвестиран в ценна книга B.

ОптималноВинаги ще има портфейл, който осигурява най-малък риск.

Израз за определяне на тегловния коефициент, който минимизира риска на портфейл, състоящ се от два актива A и IN,както следва:

Където a A *- дял на средствата, инвестирани в актив А.

Да предположим, че ни се предлагат два вида инвестиции, Зи U, чиито характеристики са дадени в табл. 3.2.

Таблица 3.2. Разлики между доходност и риск

Коефициентът на корелация е -0,25, коефициентът на ковариация е (-200).

Да приемем, че и двата вида инвестиции могат да се комбинират във всякакви пропорции, т.е. са абсолютно делими (както инвестициите в ценни книжа). Но ние ще се ограничим до фиксиран брой опции за портфейл, чиито показатели за риск и възвръщаемост са дадени в табл. 3.3.

Таблица 3.3.Комбинация от портфейлен риск и доходност, %

В опит да минимизираме риска, можем да инвестираме всички средства в активи Z, които имат най-малкото стандартно отклонение на възвръщаемостта. Въпреки това, когато се премине от портфейл, състоящ се изцяло от активи Z, към портфейл, съставен от 75% активи Z и 25% активи Y, рискът на целия портфейл като цяло намалява и очакваната възвръщаемост се увеличава.

Възможните комбинации от риск и възвръщаемост на портфейлите са показани на фиг. 3.2.

Ориз.

Ако портфейлът съдържа безрисков актив с доходност до 0функция k p (е сегмент от права линия, свързващ точка с координатната до 0,лежаща на ординатната ос, и точката на допир M (фиг. 3.2). Точка М се нарича пазарно портфолио.

Всеки инвеститор, който изгражда оптимално пазарно портфолио, ще избере възвръщаемост и риск (стандартно отклонение), така че да лежат в този сегмент. Права линия, минаваща през точки до 0и М, зв основна пазарна линия.Тангенсът на ъгъла на наклона на тази права се нарича пазарна цена на риска.

Пазарният портфейл се определя при равновесие на пазара. Равновесие на конкурентен финансов пазар възниква, ако всички негови участници разполагат с една и съща информация и формират оптимален портфейл въз основа на нея. В този случай структурата на рисковата част на оптималния портфейл се определя изцяло от вероятностните характеристики на ценните книжа и не зависи от апетита на инвеститора за риск.

При равновесие на финансовия пазар предлагането на рискови и безрискови ценни книжа е равно на търсенето. Ако дълговите задължения на корпорациите не отговарят на търсенето, тогава влиза в действие законът на конкурентния пазар, т.е. цената на ценните книжа, за които търсенето надвишава предлагането, ще се повиши и обратно (в същото време ефективността на първите ще се увеличи, а на вторите ще падне). Въз основа на информацията за това всеки инвеститор ще коригира структурата на рисковата част от своя портфейл. В резултат на това се установява равновесие на пазара. В този случай разпределението на рисковите ценни книжа на пазара по видове ще бъде близко до разпределението на ценните книжа в оптималния портфейл. Проблемът за дела на капитала, инвестиран в рисковите и безрисковите части на портфейла, се решава от всеки инвеститор сам. Този дял зависи от рисковия апетит на инвеститора.

По този начин най-предпочитаната комбинация от рискови активи винаги се определя от рисковото отношение на лицето, което взема инвестиционното решение. Ако знаем степента на избягване на риска на този човек, т.е. сумата на премията, която той изисква, за да компенсира съответния повишен риск - тогава съставът на най-добрия портфейл може да бъде точно определен.

Това важи и за портфолио, състоящо се от повече от два вида активи. Вярно е, че в този случай инвеститорът има повече възможности за постигане на по-приемливи комбинации от риск и възвръщаемост.

Зависимостта на риска на портфейла от степента на диверсификация е показана на фиг. 3.3.

Фигурата показва, че портфейлният риск има тенденция да намалява и достига асимптотична граница с увеличаване на размера на портфейла. От фигурата също става ясно, че Ние не диверсифицираме пазарния риск.Недиверсифицируемият риск може да бъде елиминиран или значително намален чрез хеджиране на портфейл от акции. В този случай хеджирането е процес на намаляване на портфейлния риск чрез включване на деривативен финансов инструмент върху силно корелиран актив (извънборсов форуърд, фючърсен договор или дълга пут опция). Броят фючърсни договори, необходими за хеджиране, се определя от бета коефициента.

За портфейли с фючърси и опции пазарният риск на портфейла е практически намален до нула, но възниква нов риск, свързан с възможността за неизпълнение на фючърсни и опционни договори. Но рискът от неизпълнение винаги е с порядък по-нисък от пазарния риск, така че хеджирането все още е препоръчително.

Така че, за да изберете оптималния портфейл от гледна точка на отделен инвеститор, трябва да знаете отношението на инвеститора към риска, което се проявява в избора на параметри на функцията, която описва връзката между риск и възвръщаемост и е Наречен крива на безразличие.Конструирането на тази функция се основава на стандартните икономически концепции на теорията на полезността и кривите на безразличието.

Както беше отбелязано, повечето хора са склонни да рискуват, но много инвестират спестяванията си в акции или други рискови активи.

Целта на придобиването на активи е генериране на доход. За да определите кой от тях е по-изгоден, трябва да сравните паричните постъпления от тях с цената им. По този начин възвръщаемостта на един актив е съотношението на общите парични потоци от актива към неговата цена. Например облигация, чиято цена в момента е 1000 den. единици, носи 100 den през дадена година. единици приходи, което означава 10% печалба.

Инвестирайки спестяванията си в акции, облигации и други активи, хората очакват да получат възвръщаемост, която надвишава нивото на инфлация. В този случай, отлагайки потреблението си, те ще могат да купуват повече в бъдеще, отколкото в момента, харчейки всичките си доходи. Следователно възвръщаемостта на активите трябва да се измерва в реално (коригирано спрямо инфлацията) изражение. Реалната възвръщаемост на един актив е номиналната възвръщаемост минус инфлацията. Например, ако темпът на инфлация е 5% годишно, тогава реалната възвръщаемост на облигацията ще бъде 5%.

Тъй като повечето активи са свързани с риск, инвеститорът не може да знае точно каква печалба ще получи в бъдеще. Сравнението на рисковите активи се извършва чрез изчисляване на очакваната печалба, т.е. печалбата, която активът ще донесе средно.

Съществува връзка между очакваната възвръщаемост и риска: колкото по-висока е възвръщаемостта на инвестицията, толкова по-висок е рискът. Следователно, склонният към риск инвеститор трябва да претегли очакваната възвръщаемост спрямо риска.

Нека разгледаме тази връзка по-подробно.

Да приемем, че дадено лице иска да инвестира всичките си спестявания в два актива:

• държавни заемни облигации;
• банкови акции.

В този случай трябва да решите каква част от спестяванията си да инвестирате във всеки от тях. Решението на този проблем е подобно на проблема с потребителския избор при разпределяне на бюджет за закупуване на потребителски стоки.

Нека безрисковата печалба от облигации бъде Rf,а очакваната печалба от акциите е Rp,докато действителната печалба е Rm.При вземане на инвестиционно решение са известни редица възможни резултати и вероятността за всеки от тях, но не е известно кой от тези резултати ще се случи. Нека рисковите активи имат по-висока възвръщаемост от безрисковите ( R m > R f). В противен случай инвеститорите, склонни към риск, биха купували само облигации, а не акции изобщо.

За да отговорим на въпроса колко пари ще инвестира един инвеститор във всеки вид актив, означаваме частта от неговите спестявания, поставена в акции с б,и частта, която се използва за закупуване на облигации, е 1 - б.Очакваната възвръщаемост на общата сума на ценните книжа е среднопретеглената стойност на очакваната възвръщаемост на двата актива:

Да кажем, че облигациите плащат 6% дивиденти, акциите плащат 8% и b = 0,5. Тогава Rp = 7%.

За да се определи степента на риск, трябва да се изчисли дисперсията на общата възвръщаемост от набор от активи. В нашия случай стандартното отклонение е ba t, където a е стандартното отклонение на печалбата от инвестиране в акции.

Най-важният въпрос обаче е как инвеститорът определя размера на дела b.За да направи това, е необходимо да покаже, че той е изправен пред взаимозаменяемостта на риска и печалбата, когато конструира своя бюджетна линия.

Горното уравнение за всички очаквани печалби може да бъде пренаписано като:

Това уравнение е уравнение на бюджетна линия,тъй като описва връзката между риск и възвращаемост. Това е уравнението на права линия, от което следва, че Rpнараства като стандартното отклонение на тази печалба a pсе увеличава.

В този случай наклонът на бюджетната линия е Rm ~Rf “

Нарича се цената на риска, защото показва

колко се увеличава рискът на инвеститор, който възнамерява да получи допълнителна печалба?

На фиг. 3.4 изглежда така:

Ориз. 3.4.

Ако инвеститорът не желае да поема рискове, той може да инвестира всичките си средства в облигации (б= 0) и реализирайте печалба R f.За да получи по-висока очаквана възвръщаемост, той трябва да поеме известен риск. Например, той може да инвестира всичките си средства в акции (b = 1) и да спечели печалба Rm,но в същото време рискът ще се увеличи и стандартното отклонение ще бъде 100 т. Или той може да инвестира средствата си на части в различни видове активи и да получи по-малка печалба Rm,но повече Rfи имат риск по-малък от t, но по-голям от нула. Това е илюстрирано с помощта на фиг. 3.4, който показва три криви на безразличие, всяка от които дава комбинация от риск и печалба, която еднакво удовлетворява инвеститора (кривите са наклонени нагоре, тъй като рискът е нежелан и неговото увеличение трябва да бъде компенсирано от увеличение на печалбата). Извивка и жсе свързва с максималната удовлетвореност на инвеститора, а U 3 - с минималната. При същото ниво на риск очакваната печалба е и жповече от U 2И U 3 .

Подобно на потребител, който избира между две стоки, спестителят избира комбинация от риск и възнаграждение в точката, където кривата на безразличието U 2е допирателна към бюджетната линия. В този случай печалбата R*и стандартно отклонение o*.

Помислете за ситуацията с двама инвеститори: А- потребител, склонен към риск, IN- по-разположени (фиг. 3.5).

Ориз. 3.5.

Кривата на безразличие на инвеститор А докосва бюджетната линия в точката с нисък риск, така че той ще инвестира почти всичките си средства в облигации и ще получи очакваната печалба РА,което не е много повече от безрискова печалба Rj.Инвеститор INще инвестира почти всичките си средства в акции, а възвръщаемостта на неговите ценни книжа ще бъде с голяма очаквана стойност РБ,но също и по-високо стандартно отклонение o in.

Същите принципи се прилагат, ако други активи се вземат за анализ.

Максималният размер на риска, който инвеститорът ще поеме, за да спечели по-висока очаквана възвръщаемост, зависи от неговото отношение към риска. По-склонните към риск инвеститори са склонни да включват по-голям дял рискови активи в портфолиото си от ценни книжа.

Следователно диверсификацията на портфейла обикновено се извършва като метод за намаляване на риска чрез разпределяне на инвестициите между няколко рискови актива.

Тестови въпроси и задачи

• 1. Какво означава понятието „сложна (кумулативна) лихва“?
• 2. В какъв случай се използва функцията на бъдещата стойност на парична единица?
• 3. Формулирайте „правилото на 72“. Какви са условията за използването му?
• 4. Какво е реверсия?
• 5. Определете анюитета.
• 6. По какво се различава обикновеният анюитет от авансовия анюитет?
• 7. Какво е компаундиране?
• 8. Какво се нарича амортизация във финансовата теория?

Нейната цел е минимизиране на инвестиционните рискове.

Именно за тази цел се прилагат основните принципи на диверсификацията, за които вече говорихме няколко пъти. Но кой стана пионерът на теорията за инвестициите?

Малко история

Смята се, че всичко започва през далечната 1952 г. - с работата на Хари Марковиц, наречена „Избор на портфолио“. Именно тук майсторът очерта своята теория за разпределението на активите между различни финансови инструменти. В работата си геният се фокусира върху връзката между качеството на инвестиционния портфейл и теорията на вероятността, когато инвеститорът трябва да вземе предвид съществуващите рискове и несигурност на тези други търговски транзакции. Гениалността на творчеството на Марковиц беше призната от света, но не веднага. Авторът получава Нобеловата си награда едва през 1990 г.

Характеристики на избора на акции

Не е тайна, че можете да спечелите пари само от една акция на фондовия пазар. В същото време повечето начинаещи започват своето пътуване по този начин, давайки предпочитание на актива, който показва максимална доходност от операции. Но това е голям риск, така че опитни инвеститори прибягват до диверсификация. Не е тайна, че ако формирате два актива, вероятността да останете без пари е значително намалена.

Основната задача на инвеститора е да избере със слаба или отрицателна корелация.

Ако стойността на първия актив се увеличи, например, с единица, стойността на втория ще намалее със същата сума. В този случай инвеститорът няма да загуби нищо. Портфолио с коефициент на корелация -1 се счита за по-малко рисково. Ако закупите по-голям брой акции, рискът на портфейла ще намалее в сравнение с риска на операциите с един или два актива.

В практиката се използват много методи за формиране на оптималната структура на портфейла от ценни книжа. Повечето от тях са базирани на техниката Марковиц. Той за първи път предложи математическа формализация на проблема за намиране на оптималната структура на портфейл от ценни книжа през 1951 г., за което по-късно беше удостоен с Нобелова награда за икономика.

Основните постулати, върху които се гради класическата портфолио теория са следните:

Пазарът се състои от краен брой активи, чиято възвръщаемост за даден период се счита за случайни променливи.

Инвеститорът може, например, въз основа на статистически данни, да получи оценка на очакваните (средни) стойности на възвръщаемостта и техните двойни ковариации и степента на възможност за диверсификация на риска.

Инвеститорът може да създаде всякакви приемливи (за този модел) портфейли. Възвръщаемостта на портфолиото също е случайна величина.

Сравнението на избраните портфейли се основава само на два критерия - средна доходност и риск.

Инвеститорът е склонен да рискува в смисъл, че от два портфейла с еднаква доходност той определено ще предпочете портфейла с по-малък риск.

Нека разгледаме по-подробно разработените в момента теории за портфейла, някои от които ще бъдат приложени по-нататък при практическото изчисляване на оптималния портфейл от ценни книжа.

Основната идея на модела на Марковиц е да разглежда статистически бъдещия доход, генериран от финансов инструмент, като случайна променлива, тоест доходът от отделни инвестиционни обекти варира произволно в определени граници. Тогава, ако по някакъв начин случайно определим доста определени вероятности за възникване за всеки инвестиционен обект, можем да получим разпределение на вероятностите за получаване на доход за всяка инвестиционна алтернатива. Това се нарича вероятностен пазарен модел. За да се опрости, моделът на Марковиц предполага, че доходът е нормално разпределен.

Според модела на Марковиц се определят показатели, характеризиращи обема на инвестициите и риска, което позволява да се сравнят различни алтернативи за инвестиране на капитал по отношение на поставените цели и по този начин да се създаде скала за оценка на различни комбинации.

На практика най-вероятната стойност, която при нормално разпределение съвпада с математическото очакване, се използва като мащаб на очаквания доход от редица възможни доходи.

Математическо очакване на дохода от азта сигурност ( м аз) се изчислява, както следва:

Където Р аз– възможни приходи от азта сигурност, руб.;

П ij– вероятност за получаване на доходи;

н– брой ценни книжа.

Индикаторите за дисперсия се използват за измерване на риска, така че колкото по-голяма е дисперсията на възможните стойности на дохода, толкова по-голяма е опасността очакваният доход да не бъде получен. Мярката за дисперсия е стандартното отклонение:

.

За разлика от вероятностния модел, параметричният модел позволява ефективна статистическа оценка. Параметрите на този модел могат да бъдат оценени въз основа на наличните статистически данни за минали периоди. Тези статистики представляват поредица от възвръщаемост за последователни периоди в миналото.

Всеки портфейл от ценни книжа се характеризира с две величини: очаквана възвръщаемост

,

Където х аз– делът от общата инвестиция, отнасяща се към аз-та сигурност;

м аз– очаквана доходност азта сигурност, %;

м стр– очаквана възвръщаемост на портфейла, %

и мярка за риск - стандартното отклонение на доходността от очакваната стойност

където  стр– мярка за риска на портфейла;

 ij – ковариация между възвръщаемостта азта и йта ценни книжа;

х азИ х й– дялове от общата инвестиция, отнасяща се към аз-ю и й-та ценни книжа;

н– брой ценни книжа в портфейла.

Ковариация на възвръщаемостта на сигурността ( ij) е равна на корелацията между тях, умножена по произведението на стандартните им отклонения:

където  ij– коефициент на възвращаемост на корелация аз- о и й-та ценни книжа;

 аз ,  й– стандартни отклонения на възвръщаемостта аз- о и йта ценни книжа.

За аз=йковариацията е равна на дисперсията на акциите.

Като се има предвид теоретичният ограничаващ случай, в който портфейлът може да включва безкраен брой ценни книжа, дисперсията (мярка за риска на портфейла) асимптотично ще се доближава до средната ковариация.

Ж Графично представяне на този факт е представено на фигура 2

Общият риск на портфейла може да бъде разделен на два компонента: пазарен риск, който не може да бъде елиминиран и на който всички ценни книжа са изложени почти еднакво, и собствен риск, който може да бъде избегнат чрез диверсификация. В този случай размерът на инвестираните средства за всички обекти трябва да бъде равен на общия обем на инвестиционните инвестиции, т.е. сборът на относителните дялове в общия обем трябва да е равен на единица.

Проблемът се състои в численото определяне на относителните пропорции на акции и облигации в портфейл, които са най-изгодни за собственика. Марковиц ограничава решението на модела до факта, че от цялото множество от „допустими“ портфейли, т.е. задоволяване на ограниченията е необходимо да се идентифицират тези, които са по-рискови от останалите. Използвайки метода на критичната линия, разработен от Марковиц, е възможно да се идентифицират необещаващи портфейли. Това оставя само ефективни портфейли.

Така избраните портфейли се обединяват в списък, съдържащ информация за процентния състав на портфейла от отделни ценни книжа, както и дохода и риска на портфейлите.

Обяснението за факта, че инвеститорът трябва да разгледа само подмножество от възможни портфейли, се съдържа в следната ефективна теорема за множеството: „Инвеститорът ще избере своя оптимален портфейл от набор от портфейли, всеки от които осигурява максималната очаквана възвръщаемост за някакво ниво на риск и минимален риск за някаква стойност на очакваната възвращаемост " Наборът от портфейли, които отговарят на тези две условия, се нарича ефективен набор.

Фигура 3 показва невалидните, осъществими и ефективни портфейли, както и линията на ефективния набор.

Р Фигура 3 – Допустими и ефективни множества

В модела на Марковиц са валидни само стандартни портфейли (без къси позиции). За да използваме повече техническа терминология, можем да кажем, че инвеститорът е в дълга позиция за всеки актив. Дългата позиция обикновено е закупуване на актив с намерение по-късно да бъде продаден (затваряне на позицията). Такава покупка обикновено се прави в очакване на увеличение на цената на даден актив с надеждата да се получи доход от разликата в покупната и продажната цена.

Поради недопустимостта на къси позиции в модела на Марковиц се налага условие за неотрицателност на дяловете на ценните книжа в портфейла. Следователно, характеристика на този модел е ограничената възвръщаемост на приемливите портфейли, т.к Възвръщаемостта на всеки стандартен портфейл не надвишава най-високата възвръщаемост на активите, от които е изграден.

Кривите на безразличие могат да се използват за избор на най-подходящия портфейл от ценни книжа за даден инвеститор. В този случай тези криви отразяват предпочитанията на инвеститора в графична форма. Предположенията, направени относно предпочитанията, гарантират, че инвеститорите могат да посочат предпочитание към една от алтернативите или липса на разлика между тях.

Ако разгледаме отношението на инвеститора към риска и възвръщаемостта в графична форма, начертавайки риска на хоризонталната ос, чиято мярка е стандартното отклонение ( стр), а по вертикалната ос – възнаграждението, чиято мярка е очакваната доходност ( r стр), тогава можем да получим семейство от криви на безразличие.

Имайки информация за очакваната възвръщаемост и стандартните отклонения на възможните портфейли от ценни книжа, е възможно да се изгради карта на кривите на безразличие, отразяващи предпочитанията на инвеститорите. Картата на кривата на безразличието е начин за описване на предпочитанията на инвеститора към възможния риск от пълна или частична загуба на парите, инвестирани в портфейл от ценни книжа, или получаване на максимален доход.

Различните позиции на инвеститорите по отношение на риска могат да бъдат представени под формата на карти от криви, отразяващи полезността на инвестициите в определени инвестиционни портфейли (Фигура 4). Всяка от рисковите позиции на инвеститора, посочени на фигура 4, се характеризира с факта, че всяко намаляване на риска влияе върху намаляването на доходността и стандартното отклонение на всеки портфейл. И тъй като портфейлът включва набор от различни ценни книжа, съвсем разбираемо е, че той зависи от очакваната възвръщаемост и нейното стандартно отклонение от очакваната възвръщаемост и стандартното отклонение на всяка ценна книга, включена в портфейла.

Инвеститорът трябва да избере портфейл, който лежи на крива на безразличие, разположена над и вляво от всички останали криви. Теоремата за ефективния набор гласи, че инвеститорът не трябва да разглежда портфейли, които не лежат на горната лява граница на набора за достижимост, което е нейното логично следствие. Въз основа на това оптималният портфейл се намира в точката на допиране на една от кривите на безразличие на най-ефективния набор. На фигура 5 е посочено оптималното портфолио за даден инвеститор О * .

Определянето на кривата на безразличието на клиента не е лесна задача. На практика често се получава в косвена или приблизителна форма чрез оценка на нивото на толерантност към риска, определено като най-големия риск, който инвеститорът е готов да приеме за дадено увеличение на очакваната възвръщаемост.

Следователно от гледна точка на методологията моделът на Марковиц може да се определи като практико-нормативен, което не означава налагане на инвеститора на определен стил на поведение на пазара на ценни книжа. Целта на модела е да покаже как поставените цели са постижими на практика.