На практика е трудно да се намери такава стойност с, при което (b-a)f(c)ще бъде точно равно на . За да се получи по-точна стойност, площта на криволинейния трапец се разделя на нправоъгълници с равни височини y 0 , y 1 , y 2 , …,y n -1и основи.

Ако обобщим площите на правоъгълниците, които покриват площта на криволинейния трапец с недостатък, функцията е ненамаляваща, тогава вместо формулата се използва формулата

Ако е в повече, тогава

Стойностите се намират от равенства. Тези формули се наричат правоъгълни формулии дават приблизителен резултат. С нарастването нрезултатът става по-точен.

Пример 1 . Изчислете по формулата на правоъгълниците

Разделяме интервала на интегриране на 5 части. Тогава . С помощта на калкулатор или таблица намираме стойностите на интегранта (с точност до 4 знака след десетичната запетая):

По формулата на правоъгълниците (с недостатък)

От друга страна, според формулата на Нютон-Лайбниц

Нека намерим относителната грешка при изчисление, използвайки формулата на правоъгълниците:

Изчисляване на интеграли по формули на трапец. Оценка на грешката:

Геометричният смисъл на следния метод за приблизително изчисляване на интеграли е намирането на площта на приблизително еднакъв размер "праволинеен" трапец.

Нека е необходимо да се изчисли площта A 1 AmBB 1криволинеен трапец, изразен с формулата .

Нека сменим дъгата AmBакорд ABи вместо областта на криволинейния трапец A 1 AmBB 1изчислете площта на трапеца A 1 ABB 1: , където АА 1и BB 1 - основата на трапеца и A 1 V 1 е неговата височина.

Обозначете f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B.трапецовидна височина A 1 B 1 \u003d b-a,квадрат . Следователно, или

Този т.нар формула на малък трапец.

Пример 2. Ширина на реката 26 м, измервания на дълбочина в напречното сечение на реката всеки 2 мдаде следните резултати.

Трапецовиден методе един от методите за числено интегриране. Позволява ви да изчислявате определени интеграли с предварително определена степен на точност.

Първо, ние описваме същността на метода на трапеца и извеждаме формулата на трапеца. След това пишем оценка на абсолютната грешка на метода и анализираме подробно решението на типични примери. В заключение, нека сравним метода на трапеца с метода на правоъгълника.

Навигация в страницата.

Същността на метода на трапеца.

Нека си поставим следната задача: нека трябва приблизително да изчислим определения интеграл , където интеграндът y=f(x) е непрекъснат на интервала .

Нека разделим отсечката на n равни интервала с дължина h с точки . В този случай стъпката на разделяне се намира, тъй като възлите се определят от равенството.

Разгледайте интегранта на елементарни интервали .

Възможни са четири случая (фигурата показва най-простия от тях, до който всичко се свежда при безкрайно нарастване на n):

На всеки сегмент нека заменим функцията y=f(x) с отсечка, минаваща през точките с координати и . Изобразяваме ги на фигурата със сини линии:

Като приблизителна стойност на интеграла приемаме израза , тоест да вземем .

Нека разберем какво означава записаното приблизително равенство в геометричен смисъл. Това ще позволи да се разбере защо разглежданият метод на числено интегриране се нарича трапецовиден метод.

Знаем, че площта на трапец се намира като произведение на половината от сбора на основите по височината. Следователно в първия случай площта на криволинейния трапец е приблизително равна на площта на трапец с основи и височина h, в последния случай определеният интеграл е приблизително равен на площта на трапеца с основи и височина h, взета със знак минус. Във втория и третия случай приблизителната стойност на определения интеграл е равна на разликата между площите на червените и сините области, показани на фигурата по-долу.

Така стигнахме до същността на метода на трапеца, който се състои в представяне на определен интеграл като сума от интеграли от вида на всеки елементарен интервал и в последващата приближена замяна .

Трапецовидна формула.

Както можете да видите, необходимата точност е постигната.

Малко за грешките.

Теоретично, приблизителната стойност на определен интеграл, изчислена по метода на трапеца, клони към истинската стойност при . Трябва обаче да се вземе предвид фактът, че по-голямата част от междинните изчисления се извършват приблизително и при големи n изчислителната грешка започва да се натрупва.

Нека да разгледаме оценките на абсолютните грешки на метода на трапеца и метода на средните правоъгълници .

Можете да очаквате половината от грешката за дадено n, когато използвате метода на правоъгълниците със същото количество изчислителна работа, тоест използването на този метод е за предпочитане. Това е вярно, когато са известни стойностите на функцията в средните точки на елементарните сегменти. Но понякога интегрируемите функции се определят не аналитично, а като набор от стойности във възлите. В този случай няма да можем да приложим формулата на средните правоъгълници, но ще можем да използваме метода на трапеца.

Методите на десния и левия правоъгълник са по-ниски от метода на трапеца по отношение на точността на резултата за даден брой дялове на интеграционния сегмент.

Как да изчислим определен интеграл
използвайки формулата на трапеца и метода на Симпсън?

Числените методи са доста голям раздел от висшата математика и сериозните учебници по тази тема имат стотици страници. На практика в тестовете някои задачи традиционно се предлагат за решаване с числени методи, като една от често срещаните задачи е приблизителното изчисление определени интеграли. В тази статия ще разгледам два метода за приблизително изчисляване на определен интеграл − трапецовиден методи метод на Симпсън.

Какво трябва да знаете, за да овладеете тези методи? Звучи смешно, но може изобщо да не можете да вземете интеграли. И дори не разбират какво са интеграли. От техническите средства ще ви трябва микрокалкулатор. Да, да, чакаме рутинни училищни изчисления. Още по-добре, изтеглете моя полуавтоматичен калкулатор за метода на трапеца и метода на Симпсън. Калкулаторът е написан на Excel и ще ви позволи да намалите десетократно времето за решаване и обработка на задачи. Включено е видео ръководство за чайници Excel! Между другото, първото видео с моя глас.

Първо, нека си зададем въпроса защо изобщо са необходими приблизителни изчисления? Изглежда възможно да се намери първоизводната на функцията и да се използва формулата на Нютон-Лайбниц, като се изчисли точната стойност на определен интеграл. Като отговор на въпроса, нека веднага разгледаме демо пример с картина.

Изчислете определен интеграл

Всичко би било наред, но в този пример интегралът не е взет - преди вас не е взет, т.нар интегрален логаритъм. Съществува ли изобщо този интеграл? Нека изобразим графиката на интегранта на чертежа:

Всичко е наред. Интегралната функция е непрекъсната в интервала, а определената интеграла е числено равна на защрихованата област. Да, това е само един проблем - интегралът не се взема. И в такива случаи на помощ идват числените методи. В този случай проблемът възниква в две формулировки:

1) Изчислете приблизително определения интеграл , като резултатът се закръгля до определен знак след десетичната запетая. Например до два знака след десетичната запетая, до три знака след десетичната запетая и т.н. Да приемем, че получавате приблизителен отговор 5,347. Всъщност може да не е съвсем правилно (всъщност да кажем, че по-точният отговор е 5,343). Нашата задача е само в товаза да закръглите резултата до три знака след десетичната запетая.

2) Изчислете приблизително определения интеграл, с определена точност. Например, изчислете приблизително определения интеграл с точност до 0,001. Какво означава? Това означава, че трябва да намерим такава приблизителна стойност, че по модул (по един или друг начин)се различава от истината с не повече от 0,001.

Има няколко основни метода за приблизително изчисляване на определен интеграл, който се среща в задачи:

Участъкът на интегриране се разделя на няколко части и се построява стъпаловидна фигура, която е близка по площ до желаната площ:

Не съдете стриктно по чертежите, точността не е перфектна - те само помагат да се разбере същността на методите.

Идеята е подобна. Интеграционният сегмент е разделен на няколко междинни сегмента, а графиката на интегралната функция се приближава прекъсната линиялиния:

Така че нашата площ (синьо засенчване) е приблизително изчислена от сумата от площите на трапецовете (червено). Оттук и името на метода. Лесно се вижда, че методът на трапеца дава много по-добро приближение от метода на правоъгълника (със същия брой разделителни сегменти). И, разбира се, колкото повече по-малки междинни сегменти вземем предвид, толкова по-висока ще бъде точността. Методът на трапеца се среща от време на време в практически задачи и в тази статия ще бъдат анализирани няколко примера.

Метод на Симпсън (метод на парабола). Това е по-перфектен начин - графиката на интегранта се подхожда не с начупена линия, а с малки параболи. Колко междинни сегмента - толкова много малки параболи. Ако вземем същите три сегмента, тогава методът на Симпсън ще даде още по-точно приближение от метода на правоъгълника или метода на трапеца.

Не виждам смисъл в изграждането на чертеж, тъй като визуално приближението ще бъде насложено върху графиката на функцията (прекъснатата линия на предишния параграф - и дори тогава почти съвпадна).

Задачата за изчисляване на определен интеграл с помощта на формулата на Симпсън е най-популярната задача в практиката. И на метода на параболите ще бъде отделено значително внимание.

Как да изчислим определен интеграл с помощта на метода на трапеца?

Първо, общата формула. Може би няма да стане ясно на всички и не веднага ... Да, Карлсон е с вас - практическите примери ще изяснят всичко! Спокоен. Само спокойствие.

Да разгледаме определения интеграл, където е функция, непрекъсната на отсечката. Нека разделим сегмента на равенсегменти:
. В този случай очевидно: (долна граница на интеграция) и (горна граница на интеграция). точки също наричан възли.

Тогава определеният интеграл може да се изчисли приблизително по формулата на трапеца:
, където:
стъпка;
са стойностите на интегранта в точки .

Пример 1

Изчислете приблизително определен интеграл, като използвате формулата на трапеца. Закръглете резултатите до третия знак след десетичната запетая.

а) Разделяне на интеграционния сегмент на 3 части.
б) Разделяне на сегмента на интеграция на 5 части.

Решение:
а) Специално за манекени свързах първия параграф с чертежа, което ясно демонстрира принципа на метода. Ако ви е трудно, вижте рисунката в хода на коментарите, ето част от нея:

По условие интеграционният сегмент трябва да бъде разделен на 3 части, т.е.
Изчислете дължината на всеки сегмент от дяла: . Параметър, напомням ви, също се нарича стъпка.

Колко точки (разделителни възли) ще има? Ще има още едноотколкото броя на сегментите:

Е, общата формула на трапеца е намалена до приятен размер:

За изчисления можете да използвате обикновен микрокалкулатор:

Забележи, че, в съответствие с условието на проблема, всички изчисления трябва да бъдат закръглени до 3-тия знак след десетичната запетая.

Накрая:

От геометрична гледна точка изчислихме сумата от площите на три трапеца (вижте снимката по-горе).

б) Разделяме интеграционния сегмент на 5 равни части, т.е. Защо е необходимо това? За да не падне Фобос-Грунт в океана - чрез увеличаване на броя на сегментите, ние повишаваме точността на изчисленията.

Ако , тогава формулата на трапеца приема следната форма:

Нека намерим стъпката на разделяне:
, тоест дължината на всеки междинен сегмент е 0,6.

Когато завършите задачата, е удобно да съставите всички изчисления с изчислителна таблица:

В първия ред пишем "брояч"

Мисля, че всеки може да види как се формира вторият ред - първо записваме долната граница на интегриране, получаваме останалите стойности, като последователно добавяме стъпката.

По какъв принцип се запълва долният ред, мисля, че почти всички разбраха. Например, ако , тогава . Какво се нарича, помислете, не бъдете мързеливи.

Като резултат:

Е, наистина има уточнение и то сериозно! Ако за 3 сегмента от преградата приблизителната стойност беше, то за 5 сегмента . Така с висока степен на сигурност може да се твърди, че поне .

Пример 2

Изчислете приблизително определен интеграл, като използвате формулата на трапеца с точност до два знака след десетичната запетая (до 0,01).

Решение:Почти същият проблем, но в малко по-различна формулировка. Основната разлика от пример 1 е, че ние ние не знаем, НА КОЛКО сегмента да разделим интеграционния сегмент, за да получим два правилни знака след десетичната запетая. С други думи, не знаем стойността на .

Има специална формула, която ви позволява да определите броя на разделителните сегменти, за да гарантирате постигането на необходимата точност, но на практика често е трудно да се приложи. Следователно е полезно да се използва опростен подход.

Първо, интеграционният сегмент е разделен на няколко големи сегмента, като правило, на 2-3-4-5. Нека разделим интеграционния сегмент, например, на същите 5 части. Формулата вече е позната:

И стъпката, разбира се, също е известна:

Но възниква друг въпрос, до каква цифра трябва да се закръглят резултатите? Условието не казва нищо за това колко знака след десетичната запетая да оставите. Общата препоръка е: Към необходимата точност трябва да се добавят 2-3 цифри. В този случай необходимата точност е 0,01. Според препоръката, след запетаята, за вярност, оставяме пет знака (четири можеха да бъдат):

Като резултат:
, означаваме приближението с .

След първичния резултат, броя на сегментите двойно. В този случай е необходимо да се раздели на 10 сегмента. И когато броят на сегментите расте, тогава на ум идва ярка мисъл, че бъркането с пръсти в микрокалкулатора вече е някак уморено. Затова отново предлагам да изтеглите и използвате моя полуавтоматичен калкулатор (връзка в началото на урока).

За формулата на трапеца има следната форма:

В хартиената версия записът може безопасно да бъде прехвърлен на следващия ред.

Нека изчислим стъпката на разделяне:

Резултатите от изчисленията са обобщени в таблицата:


Когато завършвате в тетрадка, е изгодно да превърнете дълга маса в двуетажна маса.

Като резултат:

Сега изчисляваме несъответствието между приближенията:

Тук използваме знака модул, тъй като се интересуваме от абсолютна разлика, и не кой резултат е по-голям, а кой е по-малък.

Що се отнася до по-нататъшните действия, аз лично срещнах 2 решения на практика:

1) Първият начин е „директно сравнение“. Тъй като получената оценка на грешката Повече ▼от необходимата точност: , тогава е необходимо да удвоите броя на сегментите на дяла до и да изчислите вече. С помощта на калкулатор на Excel, готовият резултат може да се получи за секунди:. Сега отново оценяваме грешката: . Получен резултат по-малкоот необходимата точност: , следователно изчисленията са завършени. Остава да закръглим последния (най-точен) резултат до два знака след десетичната запетая и да дадем отговор.

2) Друг, по-ефикасен метод се основава на използването на т.нар Рунге правила, според което грешим в оценката на определения интеграл всъщност с не повече от . В нашия проблем: по този начин необходимостта от изчисление изчезва. Въпреки това, за скоростта на решението в този случай трябваше да платим с точност: . Независимо от това, този резултат е приемлив, тъй като нашата „лимит на грешка“ е точно една стотна.

Какво да избера? Съсредоточете се върху вашето ръководство за обучение или предпочитанията на учителя.

Отговор: с точност до 0,01 (при използване на правилото на Runge).

Пример 3

Изчислете приблизително определен интеграл, като използвате формулата на трапеца с точност до 0,001.

Пред вас отново е невзет интеграл (почти интегрален косинус). В разтвора на пробата на първия етап беше извършено разделяне на 4 сегмента, т.е. Цялостно решение и приблизителна проба на завършване в края на урока.

Как да изчислим определения интеграл с помощта на формулата на Симпсън?

Ако сте търсили само метода Симпсън на тази страница, тогава силно ви препоръчвам първо да прочетете началото на урока и да видите поне първия пример. Поради това, че много идеи и техники ще бъдат подобни на метода на трапеца.

Отново, нека започнем с общата формула
Да разгледаме определения интеграл, където е функция, непрекъсната на отсечката. Нека разделим сегмента на дориколичество равенсегменти. Четен брой сегменти се означава с .

На практика сегментите могат да бъдат:
две:
четири:
осем:
десет:
двадесет:
Други варианти не се сещам.

внимание!Числото се разбира като ЕДНО ЧИСЛО. Това е, ЗАБРАНЕНО Енамали, например, с две, получавайки . Записване само означаваче броят на сегментите равномерно. И няма съкращения, за които да говорим.

Така нашият дял изглежда така:

Условията са подобни на тези на трапецовидния метод:
Точките се наричат възли.

Формула на Симпсънза приблизителното изчисляване на определения интеграл има следния вид:
, където:
- дължината на всеки от малките сегменти или стъпка;
са стойностите на интегранта в точките.

Описвайки това натрупване, ще анализирам формулата по-подробно:
е сумата от първата и последната стойност на интегранта;
е сумата от членове с дорииндекси, умножени по 2;
е сумата от членове с странноиндексът се умножава по 4.

Пример 4

Изчислете приблизителния интеграл, като използвате формулата на Симпсън с точност до 0,001. Разделянето започва с два сегмента

Интегралът, между другото, отново не е взет.

Решение:Веднага обръщам внимание на вида на задачата - необходимо е да се изчисли определен интеграл с определена точност. Какво означава това вече беше коментирано в началото на статията, както и на конкретни примери от предишния параграф. Що се отнася до трапецовидния метод, има формула, която веднага ще ви позволи да определите необходимия брой сегменти (стойността на "en"), за да гарантирате необходимата точност. Вярно е, че ще трябва да намерим четвъртата производна и да решим екстремалната задача. Кой разбра какво имам предвид и прецени количеството работа, усмихна се той. Тук обаче няма място за смях, намирането на четвъртата производна на такъв интегранд вече няма да е мегаботаник, а клиничен психопат. Следователно на практика почти винаги се използва опростен метод за оценка на грешката.

Започваме да решаваме. Ако имаме два сегмента на дяла, тогава възлите ще бъдат още едно: . И формулата на Симпсън има много компактна форма:

Нека изчислим стъпката на разделяне:

Нека попълним таблицата за изчисление:

Още веднъж коментирам как се попълва таблицата:

В горния ред записваме "брояча" на индексите

Във втория ред първо записваме долната граница на интегриране и след това последователно добавяме стъпката.

В третия ред въвеждаме стойностите на интегранта. Например, ако , тогава . Колко знака след десетичната запетая да оставим?Всъщност условието отново не казва нищо за това. Принципът е същият като при трапецовидния метод, разглеждаме необходимата точност: 0,001. И добавете допълнителни 2-3 цифри. Тоест, трябва да закръглите до 5-6 знака след десетичната запетая.

Като резултат:

Първият резултат е получен. Сега двойноброй сегменти до четири: . Формулата на Симпсън за този дял приема следната форма:

Нека изчислим стъпката на разделяне:

Нека попълним таблицата за изчисление:


По този начин:

Нека намерим абсолютната стойност на разликата между приближенията:

Правилото на Рунге за метода на Симпсън е вкусно. Ако при използване метод на среден правоъгълники метода на трапеца ни се дава „индулгенция“ от една трета, сега - до една петнадесета:
, и точността тук вече не страда:

Но за пълнота ще дам и „просто“ решение, където трябва да предприемете допълнителна стъпка: тъй като има повече от необходимата точност: , тогава е необходимо отново да удвоите броя на сегментите: .

Формулата на Симпсън расте главоломно:

Нека изчислим стъпката:

Нека попълним отново таблицата:

По този начин:

Имайте предвид, че тук е желателно да се опишат изчисленията по-подробно, тъй като формулата на Симпсън е доста тромава и ако веднага ударите:
, тогава този алкохол ще изглежда като хак. И с по-подробен запис учителят ще получи благоприятното впечатление, че съвестно сте изтрили клавишите на микрокалкулатора за добър час. Подробни изчисления за "трудни" случаи присъстват в моя калкулатор.

Ние оценяваме грешката:

Грешката е по-малка от необходимата точност: . Остава да вземем най-точното приближение, да го закръглим до три знака след десетичната запетая и да напишем:

Отговор: с точност до 0,001

Пример 5

Изчислете приблизителен интеграл, като използвате формулата на Симпсън с точност до 0,0001. Разделянето започва с два сегмента

Това е пример за „направи си сам“. Груб пример за довършителна работа и отговор в края на урока.

В последната част на урока ще разгледаме още няколко общи примера.

Пример 6

Изчислете приблизителната стойност на определен интеграл използвайки формулата на Симпсън, разделяйки интеграционния сегмент на 10 части. Изчисленията се извършват с точност до три знака след десетичната запетая.

Нека отново се вземе разделянето на сегмента на части. Приблизително заменете областта под графиката, лежаща над интервала на разделяне, с площта на трапеца, чиито успоредни основи са сегментите, които определят стойностите на функцията в краищата на интервала, т.е. и (виж фиг.).

Тогава площта на такъв трапец очевидно е равна на

Обобщавайки всички области, получаваме квадратурата трапецовидна формула:

Това е същата формула, която беше получена чрез комбиниране на формулите на левия и десния правоъгълник, в които обозначихме дясната страна с .

Имайте предвид, че когато изчислявате площта на всеки следващ трапец, е достатъчно да изчислите стойността на функцията само в една нова точка - в десния край на следващия интервал, тъй като точката е десният край на предишния сегмент и стойността в тази точка вече е изчислена при намиране на площта на предишния трапец.

Ако всички сегменти на преградата са избрани да бъдат с еднаква дължина, тогава формулата на трапеца приема формата

Всички стойности на функцията освен и се срещат два пъти в тази формула. Следователно, чрез комбиниране на равни членове, можем да запишем формулата на трапеца във формата

Нека функцията има втора производна, която запазва знака на интервала. Както може лесно да се види от предишната фигура, природата на грешката на тази квадратурна формула е следната: ако , т.е. ако графиката е изпъкнала нагоре, тогава и, следователно, ; ако графиката също има изпъкналост надолу, тогава и .

Ако сравним това със стойностите на грешката на формулата на централните правоъгълници, изследвани по-горе, тогава виждаме, че за функции, чиято втора производна запазва знака си в интервала на интегриране, знаците на грешките и са противоположни. Има желание да се комбинират формулата на трапеца и формулата на централните правоъгълници, така че тези грешки да бъдат компенсирани, доколкото е възможно. За да разберем коя комбинация от формули трябва да се вземе, трябва да разберем каква стойност имат тези грешки и в зависимост от избора стъпка. Тези оценки на грешката също са от независимо значение, тъй като позволяват да се установи точността на приблизителната стойност на интеграла, получен чрез прилагане на съответната квадратурна формула.

Методът на Монте Карло за изчисляване на едномерни интеграли обикновено не се използва, тъй като квадратурните формули са по-удобни за получаване на висока точност. Този метод се оказва по-ефективен при изчисляване на множество интеграли, когато кубатурните формули са твърде тромави и изискват голямо количество изчисления, за да се постигне малка грешка.

Когато се използват квадратурни или кубатурни формули, броят на операциите нараства бързо с нарастването на размерността на интеграла. Например, ако за да се изчисли едномерен интеграл по метода на трапеца с дадена точност, е необходимо да се изчисли сумата от реда нусловия, тогава за да се изчисли двойният интеграл по същия метод, е необходимо да се добави ред н 2 членове, а за тройния интеграл броят на членовете е от порядъка н 3 .

Брой опити ннеобходими за постигане на определената точност ε приблизителна стойност, в метода Монте Карло има количество от порядъка и не зависи от размерността на интеграла .

Между кубатурната формула се прилага следният критерий за избор Р-ти ред на точност и метода Монте Карло за изчисляване с точност ε многократен интеграл на функцията мпроменливи:

1) ако броят на измеренията m < 2Р, по-добре е да използвате кубатурни или квадратурни формули;

2) ако m > 2Р – Метод Монте Карло.

Например ако Р= 1 е по-изгодно да се изчисляват тройни интеграли по метода на Монте Карло, а едномерните интеграли - по квадратурни формули.

Ако Р= 2 е по-добре да се изчисляват петизмерни интеграли по метода на Монте Карло, а едномерни, двойни и тройни интеграли - по квадратурни или кубатурни формули.

Нека разгледаме конкретни формули на метода Монте Карло за изчисляване на множество интеграли, които се получават по метода, използван за извеждане на формула (9.7).

Нека се изисква да се изчисли двойният интеграл

Нека изпълним серия от нпроизволни точкови тестове ( x i, y i), където x i а, b], а y iравномерно разпределени на интервала [ с, д]. Нека изчислим интеграла (9.9) по формулата

За тройния интеграл по подобен начин получаваме формулата

където x iравномерно разпределени на интервала [ а, b], y i– на сегмента [ с, д], а z i– на сегмента [ Р, р]; не броят на опитите.

За м-кратен интеграл, формулата на метода Монте Карло има формата