Необходимо условие линейна зависимост n функции.

Нека функциите , имат производни на границата (n-1).

Разгледайте детерминантата: (1)

W(x) обикновено се нарича детерминанта на Wronsky за функции.

Теорема 1.Ако функциите са линейно зависими в интервала (a,b), тогава техният Wronskian W(x) е идентично равен на нула в този интервал.

Доказателство.По условието на теоремата връзката

, (2) където не всички са равни на нула. Позволявам . Тогава

(3). Диференцирайте тази идентичност n-1 пъти и,

замествайки вместо получените им стойности в детерминанта на Вронски,

получаваме:

В детерминантата на Wronsky последната колона е линейна комбинация от предходните n-1 колони и следователно е равна на нула във всички точки на интервала (a,b).

Теорема 2.Ако функциите y 1 ,..., y n са линейно независими решения на уравнението L[y] = 0, чиито всички коефициенти са непрекъснати в интервала (a,b), тогава Wronskian на тези решения е различен от нула при всеки точков интервал (a,b).

Доказателство.Да приемем обратното. Има X 0 , където W(X 0)=0. Съставяме система от n уравнения

Очевидно системата (5) има ненулево решение. Нека (6).

Нека съставим линейна комбинация от решения y 1 ,..., y n .

Y(x) е решение на уравнението L[y] = 0. В допълнение, . По силата на теоремата за уникалност, решението на уравнението L[y] = 0 с нулеви начални условия трябва да бъде само нула, ᴛ.ᴇ. .

Получаваме идентичността , където не всички са равни на нула, което означава, че y 1 ,..., y n са линейно зависими, което противоречи на условието на теоремата. Следователно няма такава точка, където W(X 0)=0.

Въз основа на теорема 1 и теорема 2 можем да формулираме следното твърдение. За да бъдат n решения на уравнението L[y] = 0 линейно независими в интервала (a,b), изключително важно и достатъчно е техният Wronskian да не изчезва в нито една точка от този интервал.

Следните очевидни свойства на Wronskian също следват от доказаните теореми.

1. Ако Вронскианът на n решения на уравнението L[y] = 0 е равен на нула в една точка x = x 0 от интервала (a,b), в който всички коефициенти p i (x) са непрекъснати, тогава е равно на нула във всички ex точки на този интервал.
2. Ако Вронскианът на n решения на уравнението L[y] = 0 е различен от нула в една точка x = x 0 от интервала (a,b), тогава той е различен от нула във всички точки от този интервал.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, за линейността на n независими решения на уравнението L[y] = 0 в интервала (a,b), в който коефициентите на уравнението p i (x) са непрекъснати, е изключително важно и достатъчно техните Вронскиан да е различен от нула дори в една точка от този интервал.

Необходимо условие за линейна зависимост на n функции. - понятие и видове. Класификация и характеристики на категорията "Необходимо условие за линейна зависимост на n функции." 2017 г., 2018 г.

-

Корабно-разтоварни съоръжения (Бордови товарни съоръжения) Лекция № 6 Тема: Товарни съоръжения (Товарни съоръжения) 6.1. Оборудване за обработка на кораби (бордови съоръжения за обработка на товари). 6.2. Товарни кранове. 6.3. Рампа. Претоварването е движението на стоки към или от превозно средство. Много....

- Товарни кранове

Сертификати Разпределение на задачите Инспекциите, сертифицирането и отговорностите са разделени както следва: &... .

- Познаваш ли го? Lo conoces?

Там - allá Тук - aqui В кафене - en el cafe На работа - en el trabajo На море - en el mar 1. Знаете ли къде е кафенето? 2. Знаете ли къде е Саша? 3. Знаете ли къде е библиотеката? 4. Знаете ли къде е Оля сега? 5. Знаете ли къде е Наташа сега? Добър ден! аз...

- Определяне на Zmin и Xmin от условието за липса на подбиване

Фиг.5.9. За рязане на зъбите на колелата. Нека разгледаме как коефициентът на срязване на релсата x е свързан с броя на зъбите, които могат да бъдат срязани от релсата на колелото. Оставете релсата да е монтирана в позиция 1 (фиг. 5.9.). В този случай правата глава на стелажа ще пресече линията на зацепване N-N, включително ...

Нека функциите , имат производни на границата (n-1).

Помислете за детерминантата: (1)

W(x) се нарича детерминант на Wronsky за функции.

Теорема 1.Ако функциите са линейно зависими в интервала (a, b), тогава техният Wronskian W(x) е идентично равен на нула в този интервал.

Доказателство.По условието на теоремата връзката

, (2) където не всички са равни на нула. Позволявам . Тогава

(3). Диференцирайте тази идентичност n-1 пъти и,

Замествайки вместо получените им стойности в детерминанта на Вронски,

получаваме:

(4).

В детерминантата на Wronsky последната колона е линейна комбинация от предишните n-1 колони и следователно е нула във всички точки от интервала (a, b).

Теорема 2.Ако функциите y1,…, yn са линейно независими решения на уравнението L[y] = 0, чиито всички коефициенти са непрекъснати в интервала (a, b), тогава Wronskian на тези решения е различен от нула във всяка точка от интервал (a, b).

Доказателство.Да приемем обратното. Има X0, където W(X0)=0. Съставяме система от n уравнения

(5).

Очевидно системата (5) има ненулево решение. Нека (6).

Нека съставим линейна комбинация от решения y1,…, yn.

Y(x) е решение на уравнението L[y] = 0. В допълнение, . По силата на теоремата за уникалността решението на уравнението L[y] = 0 с нулеви начални условия може да бъде само нула, т.е.

Получаваме идентичността , където не всички са равни на нула, което означава, че y1,…, yn са линейно зависими, което противоречи на условието на теоремата. Следователно няма такава точка, където W(X0)=0.

Въз основа на теорема 1 и теорема 2 можем да формулираме следното твърдение. За да бъдат n решения на уравнението L[y] = 0 линейно независими в интервала (a, b), е необходимо и достатъчно техният Wronskian да не изчезва в нито една точка от този интервал.

Следните очевидни свойства на Wronskian също следват от доказаните теореми.

1. Ако Вронскианът на n решения на уравнението L[y] = 0 е равен на нула в една точка x = x0 от интервала (a, b), в който всички коефициенти pi(x) са непрекъснати, тогава той е равен на нула във всички точки на този интервал.
2. Ако Вронскианът на n решения на уравнението L[y] = 0 е различен от нула в една точка x = x0 от интервала (a, b), тогава той е различен от нула във всички точки от този интервал.

Така за линейността на n независими решения на уравнението L[y] = 0 в интервала (a, b), в който коефициентите на уравнението pi(x) са непрекъснати, е необходимо и достатъчно техният Wronskian да бъде ненулева поне в една точка от този интервал.

Линейна зависимост и линейна независимост на векторите.
Основа на векторите. Афинна координатна система

В публиката има количка с шоколадови бонбони, а днес всеки посетител ще получи сладка двойка - аналитична геометрия с линейна алгебра. Тази статия ще засегне два раздела на висшата математика наведнъж и ще видим как те се разбират в една обвивка. Направете си почивка, яжте Twix! ... по дяволите, добре, спорете глупости. Въпреки че добре, няма да вкарам, в крайна сметка трябва да има положително отношение към ученето.

Линейна зависимост на векторите, линейна независимост на векторите, векторна основаи други термини имат не само геометрично тълкуване, но преди всичко алгебрично значение. Самото понятие "вектор" от гледна точка на линейната алгебра далеч не винаги е "обикновеният" вектор, който можем да изобразим на равнина или в пространството. Не е нужно да търсите далеч за доказателство, опитайте се да начертаете вектор от петизмерно пространство . Или векторът на времето, за който току-що отидох в Gismeteo: - съответно температура и атмосферно налягане. Примерът, разбира се, е неправилен от гледна точка на свойствата на векторното пространство, но въпреки това никой не забранява формализиране на тези параметри като вектор. Полъх на есен...

Не, няма да ви отегчавам с теория, линейни векторни пространства, задачата е да разбирамопределения и теореми. Новите термини (линейна зависимост, независимост, линейна комбинация, базис и т.н.) са приложими за всички вектори от алгебрична гледна точка, но примерите ще бъдат дадени геометрично. Така всичко е просто, достъпно и визуално. Освен проблемите на аналитичната геометрия, ще разгледаме и някои типични задачи на алгебрата. За да овладеете материала, препоръчително е да се запознаете с уроците Вектори за манекении Как да изчислим детерминантата?

Линейна зависимост и независимост на равнинните вектори.
Равнинна основа и афинна координатна система

Помислете за равнината на вашето компютърно бюро (само маса, нощно шкафче, под, таван, каквото искате). Задачата ще се състои от следните действия:

1) Изберете равнинна основа. Грубо казано, плотът има дължина и ширина, така че е интуитивно ясно, че са необходими два вектора за изграждане на основата. Един вектор явно не е достатъчен, три вектора са твърде много.

2) Въз основа на избраната основа зададена координатна система(координатна мрежа), за да зададете координати на всички елементи на масата.

Не се изненадвайте, в началото обясненията ще бъдат на пръсти. Освен това на вашия. Моля поставете показалецлява ръкана ръба на плота, така че да гледа към монитора. Това ще бъде вектор. Сега място малкия пръст на дясната ръкана ръба на масата по същия начин - така че да е насочен към екрана на монитора. Това ще бъде вектор. Усмихни се, изглеждаш страхотно! Какво може да се каже за векторите? Вектори на данни колинеарен, което означава линейноизразени един чрез друг:
, добре, или обратното: , където е различно от нула число.

Можете да видите снимка на това действие в урока. Вектори за манекени, където обясних правилото за умножение на вектор по число.

Пръстите ви ще поставят ли основата върху равнината на компютърната маса? Очевидно не. Колинеарните вектори пътуват напред и назад навътре сампосока, докато равнината има дължина и ширина.

Такива вектори се наричат линейно зависими.

Справка: Думите "линеен", "линеен" означават факта, че в математическите уравнения, изрази няма квадрати, кубове, други степени, логаритми, синуси и т.н. Има само линейни (1-ва степен) изрази и зависимости.

Два равнинни вектора линейно зависимиако и само ако са колинеарни.

Скръстете пръсти на масата, така че да има всякакъв ъгъл между тях освен 0 или 180 градуса. Два равнинни векторалинейно неса зависими тогава и само ако не са колинеарни. И така, основата е получена. Няма нужда да се смущавате, че основата се оказа "наклонена" с неперпендикулярни вектори с различни дължини. Много скоро ще видим, че не само ъгъл от 90 градуса е подходящ за построяването му, а не само единични вектори с еднаква дължина

Всякаквиравнинен вектор единствения начинразширени по отношение на основата:
, където са реални числа. Извикват се номера векторни координатив тази основа.

Те също така казват векторпредставени във формата линейна комбинациябазисни вектори. Тоест изразът се нарича векторно разлаганебазаили линейна комбинациябазисни вектори.

Например, може да се каже, че един вектор е разширен в ортонормална основа на равнината, или може да се каже, че е представен като линейна комбинация от вектори.

Да формулираме дефиниция на основатаформално: равнинна основае двойка линейно независими (неколинеарни) вектори, , при което всякаквиплоският вектор е линейна комбинация от базисните вектори.

Същественият момент от дефиницията е фактът, че векторите са взети в определен ред. бази Това са две напълно различни бази! Както се казва, малкият пръст на лявата ръка не може да бъде преместен на мястото на малкия пръст на дясната ръка.

Разбрахме основата, но не е достатъчно да зададем координатната мрежа и да зададем координати на всеки елемент на компютърното бюро. Защо не е достатъчно? Векторите са свободни и се движат по цялата равнина. И така, как да зададете координати на тези малки мръсни точки на масата, останали от един див уикенд? Необходима е отправна точка. И такава отправна точка е точка, позната на всички - началото на координатите. Разбиране на координатната система:

Ще започна със системата "училище". Още във встъпителния урок Вектори за манекениПодчертах някои от разликите между правоъгълна координатна система и ортонормална основа. Ето стандартната снимка:

Когато говорим за правоъгълна координатна система, тогава най-често те означават началото, координатните оси и мащаба по осите. Опитайте да напишете в търсачката „правоъгълна координатна система“ и ще видите, че много източници ще ви разкажат за координатните оси, познати от 5-6 клас и как се нанасят точки върху равнина.

От друга страна, създава се впечатлението, че една правоъгълна координатна система може да бъде добре дефинирана от гледна точка на ортонормална основа. И почти е така. Формулировката е следната:

произход, и ортонормалнабазов набор Декартова координатна система на равнината . Тоест правоъгълна координатна система определеносе определя от една точка и два единични ортогонални вектора. Ето защо виждате чертежа, който дадох по-горе - в геометричните задачи често (но далеч не винаги) се чертаят както вектори, така и координатни оси.

Мисля, че всеки разбира това с помощта на точка (начало) и ортонормална основа ВСЯКА ТОЧКА от равнината и ВСЕКИ ВЕКТОР от равнинатамогат да се задават координати. Образно казано, „всичко в самолета може да се преброи“.

Трябва ли координатните вектори да са единици? Не, те могат да имат произволна ненулева дължина. Да разгледаме точка и два ортогонални вектора с произволна ненулева дължина:

Такава основа се нарича ортогонален. Началото на координатите с вектори определя координатната мрежа и всяка точка от равнината, всеки вектор има свои собствени координати в дадения базис. Например, или. Очевидното неудобство е, че координатните вектори общо взетоимат различни дължини, различни от единица. Ако дължините са равни на единица, тогава се получава обичайната ортонормална основа.

! Забележка : в ортогоналната основа, както и по-долу в афинните основи на равнината и пространството, се разглеждат единици по осите УСЛОВНО. Например, една единица на абсцисата съдържа 4 см, една единица на ординатата съдържа 2 см. Тази информация е достатъчна, за да преобразувате „нестандартните“ координати в „нашите обичайни сантиметри“, ако е необходимо.

И вторият въпрос, на който всъщност вече беше отговорено - ъгълът между базисните вектори задължително ли е равен на 90 градуса? Не! Както се казва в дефиницията, базисните вектори трябва да бъдат само неколинеарни. Съответно ъгълът може да бъде всичко освен 0 и 180 градуса.

Точка на равнината, наречена произход, и неколинеарнивектори, , комплект афинна координатна система на равнината :

Понякога тази координатна система се нарича кососистема. Точките и векторите са показани като примери на чертежа:

Както разбирате, афинната координатна система е още по-малко удобна, формулите за дължините на векторите и сегментите, които разгледахме във втората част на урока, не работят в нея. Вектори за манекени, много вкусни формули, свързани с скаларно произведение на вектори. Но правилата за добавяне на вектори и умножение на вектор по число са валидни, формулите за разделяне на отсечка в това отношение, както и някои други видове задачи, които скоро ще разгледаме.

И заключението е, че най-удобният частен случай на афинна координатна система е декартовата правоъгълна система. Следователно тя, нейната собствена, най-често трябва да се види. ... Всичко в този живот обаче е относително - има много ситуации, в които е подходящо да имаш кос (или някакъв друг, напр. полярен) координатна система. Да, и хуманоидите такива системи може да дойдат на вкус =)

Да преминем към практическата част. Всички задачи в този урок са валидни както за правоъгълна координатна система, така и за общия афинен случай. Тук няма нищо сложно, целият материал е достъпен дори за ученик.

Как да определим колинеарността на равнинните вектори?

Типично нещо. За два равнинни вектора са колинеарни, е необходимо и достатъчно съответните им координати да са пропорционални.По същество това е усъвършенстване координата по координата на очевидната връзка.

Пример 1

а) Проверете дали векторите са колинеарни .
б) Векторите образуват ли база? ?

Решение:
а) Разберете дали съществува for вектори коефициент на пропорционалност, така че да са изпълнени равенства:

Определено ще ви разкажа за „шампанския“ вариант на прилагане на това правило, който работи доста добре на практика. Идеята е веднага да съставите пропорция и да видите дали е правилна:

Нека направим пропорция от съотношенията на съответните координати на векторите:

Съкращаваме:
, следователно съответните координати са пропорционални, следователно,

Отношението може да се направи и обратно, това е еквивалентен вариант:

За самопроверка може да се използва фактът, че колинеарните вектори са линейно изразени един през друг. В този случай има равенства . Тяхната валидност може лесно да се провери чрез елементарни операции с вектори:

б) Два равнинни вектора образуват базис, ако не са колинеарни (линейно независими). Изследваме векторите за колинеарност . Нека създадем система:

От първото уравнение следва, че , от второто уравнение следва, че , което означава, системата е непоследователна(няма решения). Следователно съответните координати на векторите не са пропорционални.

Заключение: векторите са линейно независими и образуват базис.

Опростена версия на решението изглежда така:

Съставете пропорцията от съответните координати на векторите :
, следователно тези вектори са линейно независими и образуват основа.

Обикновено рецензентите не отхвърлят тази опция, но проблем възниква в случаите, когато някои координати са равни на нула. Като този: . Или така: . Или така: . Как да работим с пропорцията тук? (Наистина не можете да разделите на нула). Поради тази причина нарекох опростеното решение "шампанско".

Отговор:а), б) форма.

Малък творчески пример за независимо решение:

Пример 2

При каква стойност на параметрите вектори ще бъде колинеарен?

В примерния разтвор параметърът се намира чрез пропорцията.

Има елегантен алгебричен начин за проверка на векторите за колинеарност. Нека систематизираме знанията си и просто да ги добавим като пета точка:

За два равнинни вектора следните твърдения са еквивалентни:

2) векторите образуват основа;
3) векторите не са колинеарни;

+ 5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е различна от нула.

съответно следните противоположни твърдения са еквивалентни:
1) векторите са линейно зависими;
2) векторите не образуват базис;
3) векторите са колинеарни;
4) векторите могат да бъдат линейно изразени един през друг;
+ 5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е равна на нула.

Наистина, наистина се надявам на това този моментвече разбирате всички срещнати условия и твърдения.

Нека разгледаме по-отблизо новата, пета точка: два равнинни вектора са колинеарни тогава и само тогава, когато детерминантата, съставена от координатите на дадените вектори, е равна на нула:. За да използвате тази функция, разбира се, трябва да можете намерете детерминанти.

Ние ще решимПример 1 по втория начин:

а) Изчислете детерминантата, съставена от координатите на векторите :
, така че тези вектори са колинеарни.

б) Два равнинни вектора образуват базис, ако не са колинеарни (линейно независими). Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на векторите :
, следователно векторите са линейно независими и образуват базис.

Отговор:а), б) форма.

Изглежда много по-компактно и по-красиво от решението с пропорции.

С помощта на разглеждания материал е възможно да се установи не само колинеарността на векторите, но и да се докаже паралелността на сегменти, прави линии. Помислете за няколко задачи с конкретни геометрични фигури.

Пример 3

Дадени са върхове на четириъгълник. Докажете, че четириъгълникът е успоредник.

Доказателство: Няма нужда да изграждате чертеж в проблема, тъй като решението ще бъде чисто аналитично. Запомнете дефиницията на успоредник:
Успоредник Нарича се четириъгълник, в който срещуположните страни са по двойки успоредни.

Следователно трябва да докажем:
1) успоредност на противоположните страни и;
2) успоредност на противоположните страни и .

Доказваме:

1) Намерете векторите:

2) Намерете векторите:

Резултатът е един и същ вектор („според училището“ - равни вектори). Колинеарността е доста очевидна, но е по-добре да вземете решението правилно, с подредбата. Изчислете детерминантата, съставена от координатите на векторите:
, така че тези вектори са колинеарни и .

Заключение: Противоположните страни на четириъгълник са по двойки успоредни, така че той е успоредник по дефиниция. Q.E.D.

Още добри и различни фигури:

Пример 4

Дадени са върхове на четириъгълник. Докажете, че четириъгълникът е трапец.

За по-строга формулировка на доказателството е по-добре, разбира се, да получите дефиницията на трапец, но е достатъчно просто да си спомните как изглежда.

Това е задача за самостоятелно решение. Пълно решение в края на урока.

И сега е време бавно да се преместим от самолета в космоса:

Как да определим колинеарността на космическите вектори?

Правилото е много подобно. За да бъдат два пространствени вектора колинеарни, е необходимо и достатъчно съответните им координати да са пропорционални на.

Пример 5

Разберете дали следните пространствени вектори са колинеарни:

а) ;
б)
в)

Решение:
а) Проверете дали има коефициент на пропорционалност за съответните координати на векторите:

Системата няма решение, което означава, че векторите не са колинеарни.

„Опростено“ се прави чрез проверка на пропорцията. В такъв случай:
– съответните координати не са пропорционални, което означава, че векторите не са колинеарни.

Отговор:векторите не са колинеарни.

b-c) Това са точки за независимо решение. Опитайте го по два начина.

Има метод за проверка на пространствени вектори за колинеарност и чрез детерминанта от трети ред, този метод е разгледан в статията Кръстосано произведение на вектори.

Подобно на равнинния случай, разглежданите инструменти могат да се използват за изследване на паралелността на пространствени сегменти и прави.

Добре дошли във втория раздел:

Линейна зависимост и независимост на тримерните пространствени вектори.
Пространствен базис и афинна координатна система

Много от закономерностите, които разгледахме в равнината, ще бъдат валидни и за космоса. Опитах се да минимизирам обобщението на теорията, тъй като лъвският дял от информацията вече е предъвкан. Въпреки това ви препоръчвам да прочетете внимателно уводната част, тъй като ще се появят нови термини и понятия.

Сега, вместо равнината на компютърната маса, нека разгледаме триизмерното пространство. Първо, нека създадем неговата основа. Сега някой е на закрито, някой е на открито, но във всеки случай не можем да избягаме от три измерения: ширина, дължина и височина. Следователно, за изграждане на основата са необходими три пространствени вектора. Един или два вектора не са достатъчни, четвъртият е излишен.

И отново загряваме на пръстите. Моля, вдигнете ръката си нагоре и разперете в различни посоки палец, показалец и среден пръст. Това ще бъдат вектори, те гледат в различни посоки, имат различни дължини и имат различни ъгли помежду си. Поздравления, основата на триизмерното пространство е готова! Между другото, не е нужно да демонстрирате това на учителите, без значение как въртите пръстите си, но не можете да избягате от определения =)

След това задаваме важен въпрос, дали всякакви три вектора формират основа на триизмерно пространство? Моля, натиснете здраво с три пръста плота на компютърната маса. Какво стана? Три вектора са разположени в една и съща равнина и, грубо казано, сме загубили едно от измерванията - височината. Такива вектори са компланарени съвсем очевидно, че основата на триизмерното пространство не е създадена.

Трябва да се отбележи, че копланарните вектори не трябва да лежат в една и съща равнина, те могат да бъдат в успоредни равнини (просто не правете това с пръсти, само Салвадор Дали е излязъл така =)).

Определение: вектори се наричат компланаренако съществува равнина, на която са успоредни. Тук е логично да добавим, че ако такава равнина не съществува, то векторите няма да са копланарни.

Три копланарни вектора винаги са линейно зависими, тоест те са линейно изразени един през друг. За простота си представете отново, че те лежат в една и съща равнина. Първо, векторите не само са копланарни, но могат да бъдат и колинеарни, тогава всеки вектор може да бъде изразен чрез всеки вектор. Във втория случай, ако например векторите не са колинеарни, тогава третият вектор се изразява чрез тях по уникален начин: (и защо е лесно да се познае от материалите на предишния раздел).

Обратното твърдение също е вярно: три некомпланарни вектора винаги са линейно независими, тоест по никакъв начин не се изразяват един през друг. И очевидно само такива вектори могат да формират основата на триизмерното пространство.

Определение: Основата на триизмерното пространствосе нарича тройка от линейно независими (некомпланарни) вектори, взети в определен ред, докато всеки вектор на пространството единствения начинразширява в дадения базис , където са координатите на вектора в дадения базис

Като напомняне, можете също да кажете, че векторът е представен като линейна комбинациябазисни вектори.

Концепцията за координатна система се въвежда точно по същия начин, както за случая с равнина, една точка и всеки три линейно независими вектора са достатъчни:

произход, и некомпланарнивектори, взети в определен ред, комплект афинна координатна система на тримерното пространство :

Разбира се, координатната мрежа е "наклонена" и неудобна, но въпреки това изградената координатна система ни позволява определеноопределяне на координатите на всеки вектор и координатите на всяка точка в пространството. Подобно на равнината, в афинната координатна система на пространството някои формули, които вече споменах, няма да работят.

Най-познатият и удобен частен случай на афинна координатна система, както всеки може да се досети, е правоъгълна пространствена координатна система:

точка в пространството т.нар произход, и ортонормалнабазов набор Декартова координатна система на пространството . позната картинка:

Преди да пристъпим към практически задачи, отново систематизираме информацията:

За три пространствени вектора следните твърдения са еквивалентни:
1) векторите са линейно независими;
2) векторите образуват основа;
3) векторите не са компланарни;
4) векторите не могат да бъдат линейно изразени един през друг;
5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е различна от нула.

Противоположните твърдения, мисля, са разбираеми.

Линейната зависимост / независимост на пространствените вектори традиционно се проверява с помощта на детерминанта (точка 5). Останалите практически задачи ще бъдат с подчертано алгебричен характер. Време е да окачите геометрична пръчка на пирон и да размахате бейзболна бухалка по линейна алгебра:

Три пространствени вектораса компланарни тогава и само ако детерминантата, съставена от координатите на дадените вектори, е равна на нула: .

Обръщам внимание на малък технически нюанс: координатите на векторите могат да бъдат записани не само в колони, но и в редове (стойността на детерминантата няма да се промени от това - вижте свойствата на детерминантите). Но е много по-добре в колони, тъй като е по-полезно за решаване на някои практически проблеми.

За тези читатели, които малко са забравили методите за изчисляване на детерминанти или може би изобщо са зле ориентирани, препоръчвам един от най-старите ми уроци: Как да изчислим детерминантата?

Пример 6

Проверете дали следните вектори формират основа на триизмерно пространство:

Решение: Всъщност цялото решение се свежда до изчисляване на детерминантата.

а) Изчислете детерминантата, съставена от координатите на векторите (детерминантата е разширена на първия ред):

, което означава, че векторите са линейно независими (не копланарни) и формират основата на триизмерно пространство.

Отговор: тези вектори формират основата

б) Това е точка за независимо решение. Пълно решение и отговор в края на урока.

Има и творчески задачи:

Пример 7

При каква стойност на параметъра векторите ще бъдат копланарни?

Решение: Векторите са копланарни тогава и само ако детерминантата, съставена от координатите на дадените вектори е равна на нула:

По същество се изисква да се реши уравнение с детерминанта. Ние летим в нули като хвърчила в jerboas - най-изгодно е да отворите детерминанта във втория ред и веднага да се отървете от минусите:

Извършваме допълнителни опростявания и свеждаме въпроса до най-простото линейно уравнение:

Отговор: при

Тук е лесно да проверите, за това трябва да замените получената стойност в първоначалната детерминанта и да се уверите, че като го отворите отново.

В заключение, нека разгледаме още една типична задача, която е по-скоро от алгебричен характер и традиционно се включва в курса на линейната алгебра. Толкова е често срещано, че заслужава отделна тема:

Докажете, че 3 вектора образуват основа на тримерно пространство
и намерете координатите на 4-тия вектор в дадения базис

Пример 8

Дадени са вектори. Покажете, че векторите образуват базис на тримерното пространство и намерете координатите на вектора в този базис.

Решение: Нека първо се справим с условието. По условие са дадени четири вектора и, както виждате, те вече имат координати в някакъв базис. Каква е основата - не ни интересува. Интересно е следното: три вектора може да образуват нова основа. И първата стъпка е напълно същата като решението на пример 6, необходимо е да се провери дали векторите наистина са линейно независими:

Изчислете детерминантата, съставена от координатите на векторите:

, следователно векторите са линейно независими и формират основа на триизмерно пространство.

Деф.Система от елементи x 1 ,…,x m lin. производството V се нарича линейно зависимо, ако ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0), така че λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ .

Деф.Система от елементи x 1 ,…,x m ∈ V се нарича линейно независима, ако от равенството λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ ⟹λ 1 =…= λ m =0.

Деф.Елемент x ∈ V се нарича линейна комбинация от елементи x 1 ,…,x m ∈ V, ако ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ, така че x= λ 1 x 1 +…+ λ m x m.

Теорема (критерий за линейна зависимост):Система от вектори x 1 ,…,x m ∈ V е линейно зависима тогава и само ако поне един вектор от системата е линейно изразен през останалите.

Док. Трябва:Нека x 1 ,…,x m е линейно зависим ⟹ ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0), така че λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 + λ m x m = θ. Да предположим, че λ m ≠ 0, тогава

x m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.

Адекватност: Нека поне един от векторите е линейно изразен чрез другите вектори: x m = λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 (λ 1 ,…, λ m -1 ∈ ℝ) λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 +(-1) x m =0 λ m =(-1) ≠ 0 ⟹ x 1 ,…,x m - са линейно независими.

Преп. условие на линейна зависимост:

Ако системата съдържа нулев елемент или линейно зависима подсистема, тогава тя е линейно зависима.

λ 1 x 1 +…+ λ m x m = 0 – линейно зависима система

1) Нека x 1 = θ, тогава това равенство е валидно за λ 1 =1 и λ 1 =…= λ m =0.

2) Нека λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 е линейно зависима подсистема ⟹|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0 . Тогава за λ 1 =0 също получаваме |λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0 ⟹ λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 е линейно зависима система.

Основа на линейно пространство. Векторни координати в дадения базис. Координатите на сумите от вектори и произведението на вектор по число. Необходимо и достатъчно условие за линейна зависимост на система от вектори.

определение: Подредена система от елементи e 1, ..., e n на линейно пространство V се нарича база на това пространство, ако:

A) e 1 ... e n са линейно независими

B) ∀ x ∈ α 1 … α n, така че x= α 1 e 1 +…+ α n e n

x= α 1 e 1 +…+ α n e n – разгъване на елемента x в базиса e 1, …, e n

α 1 … α n ∈ ℝ са координатите на елемента x в базиса e 1, …, e n

Теорема: Ако базисът e 1, …, e n е даден в линейното пространство V, тогава ∀ x ∈ V колоната с координати x в базиса e 1, …, e n е еднозначно определен (координатите са еднозначно определени)

Доказателство:Нека x=α 1 e 1 +…+ α n e n и x=β 1 e 1 +…+β n e n

x= ⇔ = Θ, т.е. e 1, …, e n са линейно независими, тогава - =0 ∀ i=1, …, n ⇔ = ∀ i=1, …, n h.t.d.

Теорема: нека e 1, …, e n е основата на линейното пространство V; x, y са произволни елементи от пространството V, λ ∈ ℝ е произволно число. Когато x и y се добавят, техните координати се събират, когато x се умножава по λ, координатите на x също се умножават по λ.

Доказателство: x= (e 1, …, e n) и y= (e 1, …, e n)

x+y= + = (e 1, …, e n)

λx= λ ) = (e 1, …, e n)

Лема 1: (необходимо и достатъчно условие за линейна зависимост на система от вектори)

Нека e ​​1 … e n е основата на пространството V. Системата от елементи f 1 , …, f k ∈ V е линейно зависима тогава и само ако координатните колони на тези елементи в основата e 1, …, e n са линейно зависими

Доказателство:разгънете f 1 , …, f k в основата e 1, …, e n

f m = (e 1, …, e n) m = 1, …, k

λ 1 f 1 +…+λ k f k =(e 1, …, e n)[ λ 1 +…+ λ n ] т.е. λ 1 f 1 +…+λ k f k = Θ ⇔

⇔ λ 1 +…+ λ n = както се изисква.

13. Размерност на линейно пространство. Теорема за връзката между размерност и базис.
определение: Линейно пространство V се нарича n-мерно пространство, ако има n линейно независими елемента във V и система от всеки n + 1 елемент от пространството V е линейно зависима. В този случай n се нарича размерност на линейното пространство V и се обозначава dimV=n.

Линейно пространство се нарича безкрайномерно, ако ∀N ∈ ℕ в пространството V съществува линейно независима система, съдържаща N елемента.

Теорема: 1) Ако V е n-мерно линейно пространство, тогава всяка подредена система от n линейно независими елемента от това пространство образува основа. 2) Ако в линейното пространство V има база, състояща се от n елемента, тогава размерността на V е равна на n (dimV=n).

Доказателство: 1) Нека dimV=n ⇒ във V ∃ n линейно независими елементи e 1, …,e n . Доказваме, че тези елементи образуват основа, т.е. доказваме, че ∀ x ∈ V може да бъде разширено по отношение на e 1, …,e n . Нека добавим x към тях: e 1, …,e n , x – тази система съдържа n+1 вектора, което означава, че е линейно зависима. Тъй като e 1, …, e n е линейно независим, тогава по Теорема 2 хлинейно изразено чрез e 1, …,e n, т.е. ∃ ,…, така че x= α 1 e 1 +…+ α n e n . Така че e 1, …,e n е основата на пространството V. 2) Нека e ​​1, …,e n е основата на V, така че има n линейно независими елемента във V ∃ n. Вземете произволни f 1 ,…,f n ,f n +1 ∈ V – n+1 елемента. Нека покажем тяхната линейна зависимост. Нека ги разбием по отношение на:

f m =(e 1, …,e n) = където m = 1,…,n Нека създадем матрица от координатни колони: A= Матрицата съдържа n реда ⇒ RgA≤n. Брой колони n+1 > n ≥ RgA ⇒ Колоните на матрица A (т.е. колони с координати f 1 ,…,f n ,f n +1) са линейно зависими. От лема 1 ⇒ ,…,f n ,f n +1 са линейно зависими ⇒ dimV=n.

Последица:Ако някоя база съдържа n елемента, тогава всяка друга база от това пространство съдържа n елемента.

Теорема 2: Ако системата от вектори x 1 ,… ,x m -1 , x m е линейно зависима и нейната подсистема x 1 ,… ,x m -1 е линейно независима, тогава x m - се изразява линейно чрез x 1 ,… ,x m -1

Доказателство: защото x 1 ,… ,x m -1 , x m е линейно зависим, тогава ∃ , …, , ,

, …, | , | такова, че . Ако , , …, | => x 1 ,… ,x m -1 са линейно независими, което не може да бъде. Така че m = (-) x 1 +…+ (-) x m -1.

Необходимо и достатъчно условие за линейната зависимост на две

вектори е тяхната колинеарност.

2. Скаларно произведение- операция върху два вектора, резултатът от която е скалар (число), който не зависи от координатната система и характеризира дължините на векторите на множителя и ъгъла между тях. Тази операция съответства на умножението дължинададен вектор x на проекциядруг вектор y към дадения вектор x. Тази операция обикновено се разглежда като комутативна и линейна във всеки фактор.

Свойства на точков продукт:

3. Извикват се три вектора (или повече). компланаренако те, сведени до общ произход, лежат в една и съща равнина.

Необходимо и достатъчно условие за линейната зависимост на три вектора е тяхната компланарност.Всички четири вектора са линейно зависими. основа в космоса всяка подредена тройка от некомпланарни вектори се нарича. База в пространството позволява да се свърже уникално с всеки вектор подредена тройка числа - коефициентите на представяне на този вектор в линейна комбинация от вектори на основата. Напротив, с помощта на база ще свържем вектор с всяка подредена тройка от числа, ако направим линейна комбинация.Ортогоналната база се нарича ортонормална , ако неговите вектори са равни на единица по дължина. За ортонормална основа в пространството често се използва нотацията. Теорема:В ортонормална база координатите на векторите са съответните ортогонални проекции на този вектор върху посоките на координатните вектори. Тройка некомпланарни вектори a, b, cНаречен точно, ако наблюдателят от общия им произход заобикаля краищата на векторите a, b, cв този ред изглежда, че продължава по часовниковата стрелка. В противен случай a, b, c - лява тройка. Всички десни (или леви) тройки вектори се наричат еднакво ориентирани.Правоъгълна координатна система в равнина се образува от две взаимно перпендикулярни координатни оси ОХи ой. Координатните оси се пресичат в точка О, което се нарича начало, всяка ос има положителна посока. AT дясна ръкакоординатна система, положителната посока на осите е избрана така, че с посоката на ос ойнагоре, ос ОХпогледна надясно.

Четири ъгъла (I, II, III, IV), образувани от координатните оси х"хи Y"Y, се наричат ​​координатни ъгли или квадранти(виж фиг. 1).

ако векторите и по отношение на ортонормална основа на равнината имат координати и, съответно, тогава скаларното произведение на тези вектори се изчислява по формулата

4. Векторно произведение на два вектора a и bе операция върху тях, дефинирана само в тримерното пространство, резултатът от която е векторсъс следното

Имоти:

Геометричното значение на кръстосаното произведение на векторите е площта на успоредник, изграден върху вектори. Необходимо и достатъчно условие за колинеарност на ненулев вектор и вектор е съществуването на число, което удовлетворява равенството .

Ако два вектора и са дефинирани от техните правоъгълни декартови координати, или по-точно, те са представени във вортнормализирана база

и координатната система е правилна, тогава тяхното векторно произведение има формата

За да запомните тази формула, е удобно да използвате детерминантата:

5. Смесен продуктвектори - скаларното произведение на вектор и кръстосаното произведение на вектори и :

Понякога се нарича тройно скаларно произведениевектори, очевидно поради факта, че резултатът е скалар (по-точно псевдоскалар).

Геометричен смисъл:Модулът на смесеното произведение е числено равен на обема на паралелепипеда, образуван от векторите .

Когато два фактора се разменят, смесеният продукт променя знака на противоположния:

При циклична (кръгова) пермутация на фактори смесеният продукт не се променя:

Смесеният продукт е линеен във всеки фактор.

Смесеният продукт е нула, ако и само ако векторите са компланарни.

1. Условие на компланарност за вектори: три вектора са копланарни тогава и само ако тяхното смесено произведение е нула.

§ Тройка вектори, съдържаща двойка колинеарни вектори, е компланарна.

§ Смесено произведение на компланарни вектори. Това е критерий за копланарност на три вектора.

§ Копланарните вектори са линейно зависими. Това също е критерий за копланарност.

§ Има реални числа, такива че за компланарни , с изключение на или . Това е преформулиране на предишното свойство и също е критерий за компланарност.

§ В тримерно пространство 3 некомпланарни вектора образуват основа. Тоест всеки вектор може да бъде представен като: . Тогава ще бъдат координатите в дадената основа.

Смесеното произведение в дясната декартова координатна система (в ортонормалната основа) е равно на детерминантата на матрицата, съставена от векторите и :

§6. Общо уравнение (пълно) на равнината

където и са константи, освен това и не са равни на нула в същото време; във векторна форма:

където е радиус векторът на точката , векторът е перпендикулярен на равнината (нормален вектор). Насочващи косинусивектор:

Ако един от коефициентите в уравнението на равнината е нула, уравнението се извиква непълна. Когато равнината минава през началото на координатите, когато (или , ) P. е успоредна на оста (съответно или ). За ( , или ) равнината е успоредна на равнината (или , съответно).

§ Уравнение на равнина в сегменти:

където , , са сегментите, отсечени от равнината по осите и .

§ Уравнение на равнина, минаваща през точка перпендикулярно на нормалния вектор :

във векторна форма:

(смесено произведение на вектори), в противен случай

§ Нормално (нормализирано) уравнение на равнината

§ Ъгъл между две равнини.Ако уравненията на P. са дадени във формата (1), тогава

Ако във векторна форма, тогава

§ Равнините са успоредни, ако

Или (векторен продукт)

§ Равнините са перпендикулярни, ако

Или . (Скаларен продукт)

7. Уравнение на равнина, минаваща през дадени три точки , не лежи на една и съща линия:

8. Разстоянието от точка до равнина е най-малкото от разстоянията между тази точка и точките на равнината. Известно е, че разстоянието от точка до равнина е равно на дължината на перпендикуляра, пуснат от тази точка до равнината.

§ Точково отклонениеот равнината, дадена от нормализираното уравнение

Ако и началото лежат на противоположните страни на равнината, в противен случай . Разстоянието от точка до равнина е

§ Разстоянието от точката до равнината, дадено от уравнението, се изчислява по формулата:

9. Самолетен пакет- уравнението на всеки P., минаващ през линията на пресичане на две равнини

където α и β са произволни числа, които не са едновременно равни на нула.

За да може трите равнини, дефинирани от техните общи уравнения A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0, A 3 x+B 3 y+C 3 z+D 3 =0 по отношение на PDSC, принадлежал на един лъч, правилен или неправилен, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата да бъде равен на две или едно.
Теорема 2. Нека две равнини π 1 и π 2 са дадени по отношение на PDSC чрез техните общи уравнения: A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z +D 2 = 0. За да може равнината π 3, дадена спрямо PDSC чрез неговото общо уравнение A 3 x+B 3 y+C 3 z+D 3 =0, да принадлежи на лъча, образуван от равнините π 1 и π 2, тя е необходимо и достатъчно лявата страна на уравнението на равнината π 3 да бъде представена като линейна комбинация от левите части на уравненията на равнините π 1 и π 2 .

10.Векторно параметрично уравнение на права линияв космоса:

където е радиус векторът на някаква фиксирана точка М 0, лежащ на права линия, е ненулев вектор, колинеарен на тази права линия, е радиус векторът на произволна точка от правата линия.

Параметрично уравнение на права линияв космоса:

М

Канонично уравнение на права линияв космоса:

където са координатите на някаква фиксирана точка М 0 лежащ на права линия; - координати на вектор, колинеарен на тази права.

Общо векторно уравнение на права линияв космоса:

Тъй като правата е пресечната точка на две различни непаралелни равнини, дадени съответно от общите уравнения:

тогава уравнението на права линия може да бъде дадено чрез система от тези уравнения:

Ъгълът между векторите на посоката и ще бъде равен на ъгъла между линиите. Ъгълът между векторите се намира с помощта на скаларното произведение. cosA=(ab)/IaI*IbI

Ъгълът между права линия и равнина се намира по формулата:

където (A; B; C;) са координатите на нормалния вектор на равнината
(l;m;n;) насочващи векторни координати на правата линия

Условия за успоредност на две прави:

а) Ако линиите са дадени с уравнения (4) с наклон, то необходимото и достатъчно условие за тяхната паралелност е равенството на техните наклони:

к 1 = к 2 . (8)

б) За случая, когато линиите са дадени с уравнения в общ вид (6), необходимото и достатъчно условие за тяхната паралелност е коефициентите при съответните текущи координати в техните уравнения да са пропорционални, т.е.

Условия за перпендикулярност на две линии:

а) В случай, че линиите са дадени с уравнения (4) с наклон, необходимото и достатъчно условие за тяхната перпендикулярност е техните наклони да са реципрочни по големина и противоположни по знак, т.е.

б) Ако уравненията на прави линии са дадени в общ вид (6), то условието за тяхната перпендикулярност (необходима и достатъчна) е да е изпълнено равенството

А 1 А 2 + б 1 б 2 = 0. (12)

Правата се нарича перпендикулярна на равнина, ако е перпендикулярна на която и да е права в тази равнина. Ако правата е перпендикулярна на всяка от двете пресичащи се прави на равнина, тогава тя е перпендикулярна на тази равнина. За да са успоредни права и равнина е необходимо и достатъчно нормалният вектор към равнината и насочващият вектор на правата да са перпендикулярни. За целта е необходимо тяхното скаларно произведение да е равно на нула.

За да бъдат права и равнина перпендикулярни е необходимо и достатъчно нормалният вектор към равнината и насочващият вектор на правата да са колинеарни. Това условие е изпълнено, ако кръстосаното произведение на тези вектори е равно на нула.

12. В пространството разстоянието от точка до права линия, дадено от параметрично уравнение

може да се намери като минималното разстояние от дадена точка до произволна точка на права линия. Коефициент Tтази точка може да се намери по формулата

Разстояние между пресичащите се линиие дължината на техния общ перпендикуляр. То е равно на разстоянието между успоредни равнини, минаващи през тези прави.