Математически анализ, функционален анализ. Математически анализ Математически анализ pdf

Т. 1. Диференциално и интегрално смятане на функции на една променлива.

Т. 2. Редове. Диференциално и интегрално смятане на функции на много променливи.

Т. 3. Хармоничен анализ. Елементи на функционалния анализ.

Москва: Дропа; v.1- 2003 г. 704 стр.; v.2- 2004г., 720стр.; v.3- 2006, 351s.

Учебникът отговаря на новата програма за ВУЗ. Особено внимание в учебника е отделено на представянето на качествени и аналитични методи, отразяват се и някои геометрични приложения на анализа. Предназначен е за студенти от университети и физико-математически, и инженерно-физически специалности на технически университети, както и студенти от други специалности за задълбочена математическа подготовка.

Том 1

формат: pdf

Размерът: 4,9 MB

Гледайте, изтеглете:drive.google

формат: pdf / rar

Размерът: 4,6 MB

/ Свали файл

Том 2

формат: pdf

Размерът: 5,9 MB

Гледайте, изтеглете:drive.google

формат: pdf / rar

Размерът: 5,4 MB

/ Свали файл

Том 3

формат: pdf

Размерът: 2,4 MB

Гледайте, изтеглете:drive.google

формат: pdf / rar

Размерът: 2,2 MB

/ Свали файл

Том 1. Съдържание
Предговор 3
Въведение 7
Глава 1
Диференциално смятане на функции на една променлива
§ 1. Множества и функции. Логически символи 13
1.1. Комплекти. Операции върху множества 13
1,2*. Функции 16
1,3*. Крайни множества и естествени числа.
1.4. Групиране на елементи от крайно множество 29
1.5. Логически символи 33
§ 2. Реални числа 35
2.1. Свойства на реалните числа 35
2.2*. Свойства на събирането и умножението 39
2.3*. Имоти на поръчката 47
2,4*. Свойство за непрекъснатост на реални числа 51
2,5*. Раздели в множеството от реални числа 52
2,6*. Рационални степени на реални числа 58
2.7. Биномна формула на Нютон 60

§ 3. Числови множества 63
3.1. Разширена числова линия 63
3.2. Интервали на реални числа. Квартал 64
3.3. Ограничени и неограничени множества 68
3.4. Горни и долни граници на набори от числа 70
3.5*. Аритметични свойствагорни и долни лица... 75
3.6. Принцип на Архимед 78
3.7. Принципът на вложените сегменти 80
3,8*. Уникалност на непрекъснато подредено поле.... 85
§ 4. Граница на числова редица 92
4.1. Определяне на границата на числова последователност 92
4.2. Уникалност на границата на числова редица... 100
4.3. Пределно преминаване в неравенства 101
4.4. Ограниченост на конвергентни последователности 107
4.5. Монотонни поредици 108
4.6. Теорема на Болцано-Вайерщрас 113
4.7. Критерий на Коши за конвергенция на последователност 115
4.8. Безкрайно малки последователности 118
4.9. Ограничете свойства, свързани с аритметика на последователност 120
4.10. Изобразяване на реални числа чрез безкрайни десетични знаци 133
4.11*. Изброими и неизброими множества 141
4.12*. Горна и долна граница на последователността 149
§ 5. Предел и непрекъснатост на функциите 153
5.1. Валидни функции 153
5.2. Методи за настройка на функции 156
5.3. Елементарни функции и тяхната класификация 160
5.4. Първа дефиниция на функционална граница 162
5.5. Непрекъснати функции 172
5.6. Условието за съществуване на функционална граница 177
5.7. Втора дефиниция на функционална граница 179
5.8. Границата на функцията за обединяване на множество 184
5.9. Едностранни граници и едностранна приемственост... 185
5.10. Свойства на границите на функцията 189
5.11. Безкрайно малки и безкрайно големи функции 194
5.12. Различни форми на нотация за непрекъснатост
5.13. Класификация на точките на прекъсване на функция 202
5.14. Граници на монотонни функции 204
5.15. Критерий на Коши за съществуване на граница на функция 210
5.16. Предел и непрекъснатост на състава на функциите 212
§ 6. Свойства на непрекъснати функции на интервали 216
6.1. Ограниченост на непрекъснатите функции. Достижимост на екстремни стойности 216
6.2. Междинни стойности на непрекъснати функции 218
6.3. Обратни функции 221
6.4. Равномерна непрекъснатост. Модул на непрекъснатост.... 228
§ 7. Непрекъснатост на елементарните функции 235
7.1. Полиноми и рационални функции 235
7.2. Експоненциални, логаритмични и степенни функции. . 236
7.3. Тригонометрични и обратни тригонометрични функции 246
7.4. Непрекъснатост на елементарни функции 248
§ 8. Сравнение на функциите. Изчисляване на граници 248
8.1. Някои забележителни граници 248
8.2. Сравнение на функции 253
8.3. Еквивалентни функции 264
8.4. Методът за извличане на основната част от функция и приложението му за изчисляване на граници 267
§ 9. Производна и диференциал 271
9.1. Дефиниция на производна 271
9.2. Функционален диференциал 274
9.3. Геометричният смисъл на производната и диференциала ... 280
9.4. Физическото значение на производната и диференциала 284
9.5. Правила за изчисляване на производни, свързани с аритметични операции върху функции 288
9.6. Производна на обратната функция 291
9.7. Производна и диференциал на комплексна функция 294
9.8. Хиперболични функции и техните производни 301
§десет. Производни и диференциали от по-високи разряди 304
10.1. Производни от по-висок порядък 304
10.2. Производни от по-висок порядък суми и произведения на функции 306
10.3. Производни от по-висок порядък на сложни функции, на обратни функции и на дадени функции
10.4. Диференциали от по-висок порядък 311
§единадесет. Теореми за средна стойност за диференцируеми функции 313
11.1 Теорема на Ферма

11.2. Теореми за средната стойност на Рол, Лагранж и Коши. . 316
§12. Разкриване на несигурности съгласно правило 327 на L'Hopital
12.1 Несигурности във формата 0/0
12.2 Несигурност на формата ----

12.3. Обобщение на правило 337 на L'Hopital
§ 13. Формула на Тейлър 339
13.1. Извеждане на формулата на Тейлър 339
13.2. Полином на Тейлър като полином на най-доброто приближение на функция в околност на дадена точка 344
13.3. Формули на Тейлър за основни елементарни
13.4. Изчисляване на граници с помощта на формулата на Тейлър (метод за извличане на основна част) 351
§ 14. Изследване на поведението на функции 353
14.1. Тест за монотонност на функция 353
14.2. Намирането на най-големия и най-малките стойностифункции 356
14.3. Точки на издутина и инфлексия 365
14.5. 377 Серия
§ 15. Векторна функция 387
15.1. Концепцията за граница и непрекъснатост за векторна функция 387
15.2. Производна и диференциал на векторна функция 391
§ 16. Дължина на крива 397
16.3. Ориентация на кривата. Дъгова крива. Сума от криви. Неявни криви 408
16.4. Допирателна към крива. Геометричният смисъл на производната на векторна функция 411
16.7. Физическият смисъл на производната на векторна функция... 425
§17. Кривина и усукване на крива 426
17.1. Две леми. Компоненти на радиална и напречна скорост 426
17.2. Определяне на кривината на крива и нейното изчисляване 430
17.3. Основно нормално. Контактна равнина 434
17.4. Център на кривина и еволюция на крива 436
17.5. Формули за кривина и еволюта на равнинна крива.... 437
17.6. Еволвента 444
17.7. Усукване на пространствена крива 447
17.9. Формули за изчисляване на усукване 451
Глава 2
Интегрално смятане на функциите на една променлива
§осемнадесет. Дефиниции и свойства на неопределения интеграл 453
18.1. Първопроизводен и неопределен интеграл 453
18.2. Основни свойства на интеграла 456
18.3. Таблични интеграли 458
18.4. Интегриране на заместване (промяна на променлива) 461
18.5. Интеграция по части 464
18,6*. Обобщение на понятието първоизводна 467
§ 19. Малко информация за комплексните числа и полиномите. . 473
19.1. Комплексни числа 473
19.2*. Формална теория на комплексните числа 481
19.3. Някои концепции за анализ в областта на комплексните числа 482
19.4. Разлагане на полиноми на множители 486
19,5*. Най-голям общ делител на полиноми 490
19.6. Разлагане на правилни рационални дроби на елементарни дроби 495
§ 20. Интегриране на рационални дроби 503
20.1. Интегриране на елементарни рационални дроби... 503
20.2. Общ случай 506
20.3*. Метод на Остроградски 508
§21. Интегриране на някои ирационалности 514
21.1. Предварителни бележки 514
21.2. Интеграли от формата \R\X, [^jf , ... , (^if]<** 515
21.3. Интеграли от вида \Wx, Jax2 + bx + c) dx. Замествания на Ойлер 518
21.4. Интеграли от диференциални биноми 522
21.5. Интеграли от вида n" " Jax2 + bx + c
§ 22. Интегриране на някои трансцендентни функции.... 526
22.1. Тип интеграли JR(sin x,cosx)dx 526
22.2. Интеграли от вида Jsinm x cos" x dx 528
22.3. Интеграли от вида Jsin ax cos |3x dx 530
22.4. Интеграли на трансцендентни функции, изчислени чрез интегриране по части. . 530
22.5. Интеграли от вида J.R(sh x, ch x) dx 532
22.6. Забележки относно интегралите, които не могат да бъдат изразени чрез елементарни функции 532
§ 23. Определен интеграл 533
23.1. Дефиниция на интеграла на Риман 533
23.2*. Критерий на Коши за съществуване на интеграл 539
23.3. Ограниченост на интегрируемата функция 541
23.4. Горни и долни суми на Дарбу. Горен и долен интеграл на Дарбу 543
23.5. Необходими и достатъчни условия за интегрируемост. . 547
23.6. Интегрируемост на непрекъснати и монотонни функции. 548
23,7*. Критерии за интегрируемост за Дарбу и Риман 551
23,8*. Функционални колебания 556
23,9*. Критерий за интегрируемост на Дюбоа-Реймонд 563
23.10*. Критерий за интегрируемост на Лебег 566
§ 24. Свойства на интегрируемите функции 570
24.1. Свойства на определения интеграл 570
24.2. Първа теорема за средна стойност за определен интеграл 583
§25. Определен интеграл с променливи граници
25.1. Непрекъснатост на интеграла върху горната граница
25.2. Диференцируемост на интеграла спрямо горната граница на интегриране. Съществуването на първоизводна на непрекъсната функция 588
25.3. Формула на Нютон-Лайбниц 591
25,4*. Наличие на обобщена антипроизводна. Формулата на Нютон-Лайбниц за обобщената първоизводна. . 592
§26. Формули за промяна на променлива в интеграл и интегриране по части 596
26.1. Замяна на променлива 596
26.2. Интеграция по части 600
26.3*. Втората теорема за средна стойност за определен
26.4. Интеграли на векторни функции 606
§27. Мярка на плоски отворени комплекти 608
27.1. Определяне на мярката (площта) на отворен набор 608
27.2. Измерете свойствата на отворените множества 612
§28. Някои геометрични и физически приложения на определения интеграл 618
28.1. Изчисляване на площ 618
28.2*. Интегрални неравенства на Хьолдер и Минковски... 625
28.3. Обемът на тялото на въртене 630
28.4. Изчисляване на дължината на крива 632
28.5. Повърхност на въртене 637
28.6. Работна сила 640
28.7. Изчисляване на статични моменти и координати на центъра на тежестта на крива 641
§ 29. Несобствени интеграли 644
29.1. Дефиниция на неправилни интеграли 644
29.2. Формули за интегрално смятане за неправилни интеграли 652
29.3. Неправилни интеграли на неотрицателни функции 657
29.4. Критерий на Коши за сходимост на несобствени интеграли. 665
29.5. Абсолютно сходни интеграли 666
29.6. Изследване на сходимостта на интегралите 671
29.7. Асимптотично поведение на интеграли с променливи граници на интегриране 677
Индекс 685
Индекс на основните символи 695

Том 2. Съдържание
Предговор 3
Глава 3

редици
§ 30. Числова серия 5
30.1. Дефиниция на ред и сходимост 5
30.2. Свойства на сходящ се ред 9
30.3. Критерий на Коши за сходимост на серия 11
30.4. Редица с неотрицателни членове 13
30.5. Сравнителен тест за серии с неотрицателни членове. Метод за извличане на основната част от член от серия 16
30.6. Критерии на д'Аламбер и Коши за серии с неотрицателни членове 20
30.7. Интегрален критерий за сходимост на редове с неотрицателни членове 23
30,8*. Неравенства на Хьолдер и Минковски за крайни и безкрайни суми 25
30.9. Редуващи се серии 27
30.10. Абсолютно сходящи се редове. Приложение на абсолютно сходните редове за изследване на сходимостта
30.11. Знаците на д'Аламбер и Коши за произволна числова серия 38
30.12. Конвергентни редове, които не се събират абсолютно. Теорема на Риман 39
30.13. Трансформация на Абел. Критерии за конвергенция за Дирихле и Абел 43
30.14*. Асимптотично поведение на остатъци от конвергентни редове и частични суми от дивергентни редове 48
30.15. За сумирането на редове по метода на средните аритметични 52
§ 31. Безкрайни произведения 53
31.1. Основни определения. Най-простите свойства на безкрайните продукти 53
31.2. Критерий на Коши за сходимост на безкрайни произведения 57
31.3. Безкрайни продукти с реални
31.4. Абсолютно конвергентни безкрайни продукти... 62
31,5*. Дзета функция на Риман и прости числа 65
§ 32. Функционални последователности и серии 67
32.1. Конвергенция на функционални последователности
32.2. Равномерна конвергенция на функционални последователности 71
32.3. Равномерно събираща се функция 79
32.4. Свойства на равномерно сходящи се редове и редица 90
§ 33. Степенен ред 100
33.1. Радиус на сходимост и окръжност на сходимост на степенния ред 100
33.2*. Формула на Коши-Адамар за радиус на конвергенция
33.3. Аналитични функции 110
33.4. Аналитични функции в реалната област... 112
33.5. Разгъване на функции в степенни редове. Различни начини за записване на остатъчния член на формулата на Тейлър. . 116
33.6. Разлагане на елементарни функции в ред на Тейлър... 121
33.7. Методи за разширяване на функции в степенни редове 131
33.8. Формула стерлинги 138
33,9*. Формула и ред на Тейлър за векторни функции 141
33.10*. Асимптотичен степенен ред 143
33.11*. Свойства на асимптотичните степенни редове 149
§ 34. Множество серии 153
34.1. Многочислова серия 153
34.2. Многофункционална серия 162
Глава 4
Диференциално смятане на функции на няколко променливи
§ 35. Многомерни пространства 165
35.1. Околности на точките. Граници на последователността
35.2. Различни видове комплекти 178
35.4. Многомерни векторни пространства 203
§ 36. Предел и непрекъснатост на функциите на няколко променливи
36.1. Функции на много променливи 210
36.2. Дисплеи. Лимит на дисплея 212
36.3. Непрекъснатост на съпоставянията в точка 218
36.4. Свойства на лимита на дисплея 220
36.5. Ограничения за повторение 221
36.6. Предел и непрекъснатост на състава на преобразуванията... 223
36.7. Непрекъснати преобразувания на компакти 226
36.8. Равномерна непрекъснатост 229
36.9. Непрекъснати преобразувания на множества, свързани по пътя 233
36.10. Свойства на непрекъснатите преобразувания 235
§ 37. Частни производни. Диференцируемост на функции на няколко променливи 240
37.1. Частни производни и частни диференциали ... . 240
37.2. Диференцируемост на функции в точка 244
37.3. Диференциране на съставна функция 253
37.4. Инвариантност на формата на първия диференциал по отношение на избора на променливи. Правила за изчисляване на диференциали 256
37.5. Геометричен смисъл на частни производни и пълен диференциал 262
37.6. Градиент на функцията 265
37.7. Производна по посока 265
37.8. Пример за изследване на функции на две променливи .... 271

§ 38. Частни производни и диференциали от по-високи разряди 273
38.1. Частични производни от по-високи разряди 273
38.2. Диференциали от по-висок порядък 277
§ 39. Формула на Тейлър и ред на Тейлър за функции на няколко променливи 281
39.1. Формула на Тейлър за функции на няколко променливи. . 281
39.2. Формула за крайно нарастване за функции на много променливи 291
39.3. Оценка на остатъчния член на формулата на Тейлър в цялата област на функцията 292
39.4. Равномерна сходимост по отношение на параметъра на семейство функции 295
39.5. Забележки относно редовете на Тейлър за функции на няколко променливи 298
§ 40. Екстремуми на функции на много променливи 299
40.1. Необходими условия за екстремум 299
40.2. Достатъчни условия за строг екстремум 302
40.3. Забележки за екстремуми на множества 308
§ 41. Неявни функции. Показва 309
41.1. Неявни функции, определени от едно уравнение. . 309
41.2. Комплект продукти 316
41.3. Неявни функции, дефинирани чрез система от уравнения 317
41.4. Векторни дисплеи 328
41.5. Линейни дисплеи 329
41.6. Диференцируеми преобразувания 335
41.7. Преобразувания с ненулев якобиан. Принцип за опазване на района 344
41.8. Неявни функции, дефинирани от уравнение, в което условията за уникалност са нарушени. Особени точки на равнинни криви 349
41.9. Замяна на променлива 360
§ 42. Зависимост на функциите 363
42.1. Концепцията за функционална зависимост. Необходимо условие за зависими функции 363
42.2. Достатъчни условия за зависимостта на функциите 365
§ 43. Условен екстремум 371
43.1. Концепцията за условен екстремум 371
43.2. Метод на множителите на Лагранж за намиране на условни точки на екстремум 376
43.3*. Геометрична интерпретация на метода на Лагранж 379
43,4*. Стационарни точки на функцията на Лагранж 381
43,5*. Достатъчни условия за условни точки на екстремум 388
Глава 5
Интегрално смятане на функциите на няколко променливи
§ 44. Кратни интеграли 393
44.1. Концепцията за обем в n-мерното пространство (Jordan мярка). Измерими множества 393
44.2. Комплекти от мярка нула 414
44.3. Дефиниция на кратен интеграл 417
44.4. Наличие на интеграл 424
44,5*. За интегрируемостта на прекъснати функции 431
44.6. Множество интегрални свойства 434
44,7*. Критерии за интегрируемост на функциите на Риман и Дарбу
§ 45. Свеждане на кратен интеграл към повторен 451
45.1. Намаляване на двоен интеграл до повторен 451
45.2. Обобщение към n-мерния случай 459
45.3*. Обобщено интегрално неравенство на Минковски. . 462
45.4. Обем на u-топката 464
45.5. Независимост на мярката от избора на координатна система... 465

45,6*. Формули на Нютон-Лайбниц и Тейлър 466
§ 46. Смяна на променливи в многократни интеграли 469
46.1. Линейни преобразувания на измерими множества 469
46.2. Метрични свойства на диференцируемите
46.3. Формулата за промяна на променливи в кратен интеграл.. . 482
46.4. Геометричният смисъл на абсолютната стойност на якобиана на картографирането 490
46.5. Криволинейни координати 491
§ 47. Криволинейни интеграли 494
47.1. Криволинейни интеграли от първи род 494
47.2. Криволинейни интеграли от втори род 498
47.3. Валидно разширение на клас трансформация
47.4. Криволинейни интеграли върху късично гладки
47.5. Stieltjes integral 505
47,6*. Съществуване на интеграла на Stieltjes 507
47.7. Обобщение на понятието криволинеен интеграл от втори род 514
47.9. Изчисляване на площи с помощта на криволинейни
47.10. Геометричният смисъл на знака на якобиана на картографирането на плоска област 525
47.11. Условия за независимост на криволинейния интеграл от пътя на интегриране 529
§ 48. Неправилни кратни интеграли 539
48.1. Основни определения 539
48.2. Неправилни интеграли на неотрицателни функции 542
48.3. Неправилни интеграли на функции,
§ 49. Някои геометрични и физически приложения на многократни интеграли 550
49.1. Изчисляване на площи и обеми 550
49.2. Физически приложения на множество интеграли 551
§ 50. Елементи от теорията на повърхнините 553
50.1. Векторни функции на няколко променливи 553
50.2. Елементарни повърхнини 555
50.3. Еквивалентни елементарни повърхнини. Параметрично дефинирани повърхности 557
50.4. Неявно дефинирани повърхности 567
50.5. Допирателна равнина и нормална повърхност 567
50.6. Явни повърхностни представяния 574
50.7. Първата квадратна форма на повърхността 578
50.8. Криви върху повърхнина, като се изчисляват дължините им и ъглите между тях 580
50.9. Площ 581
50.10. Ориентация на гладка повърхност 584
50.11. Повърхностно залепване 588
50.12. Ориентируеми и неориентируеми повърхнини 592
50.13. Друг подход към концепцията за повърхностна ориентация... 593
50.14. Изкривяване на криви, лежащи върху повърхност. Втората квадратна форма на повърхността 598
50.15. Свойствата на втората квадратна повърхност образуват... 601
50.16. Равнинни повърхностни сечения 602
50.17. Секции с нормална повърхност 605
50.18. Основни кривини. Формула на Ойлер 607
50.19. Изчисляване на главни кривини 611
50.20. Класификация на повърхностните точки 613
§ 51. Повърхностни интеграли 617
51.1. Определение и свойства на повърхностните интеграли... 617
51.2. Формула за представяне на повърхнинен интеграл от втори род като двоен интеграл 621
51.3. Повърхностни интеграли като граници на интегрални суми 623
51.4. Повърхностни интеграли върху гладки повърхности 626
51.5. Обобщение на понятието повърхностен интеграл от втори род 626
§ 52. Скаларни и векторни полета 631
52.2. За инвариантността на понятията градиент, дивергенция
52.3. Формула на Гаус-Остроградски. Геометрична дефиниция на дивергенцията 640
52.4. Формула на Стокс. Геометрично определение на вихър. . 647
52.5. Векторни полета на соленоид 653
52.6. Потенциални векторни полета 655
§ 53. Собствени интеграли в зависимост от параметъра 663
53.1. Дефиниране на интеграли в зависимост от параметъра; тяхната непрекъснатост и интегрируемост по отношение на даден параметър. . . 663
53.2. Диференциране на интегралите в зависимост
§ 54. Неправилни интеграли в зависимост от параметъра 668
54.1. Основни определения. Равномерна сходимост на интегралите в зависимост от параметъра 668
54.2*. Критерий за равномерна сходимост на интегралите 674
54.3. Свойства на неправилните интеграли в зависимост
54.4. Приложение на теорията на интегралите в зависимост от параметър към изчисляването на определени интеграли 682
54.5. Интеграли на Ойлер 686
54.6. Комплексно-значни функции на реален аргумент 691
54,7*. Асимптотично поведение на гама функцията 694
54,8*. Асимптотичен ред 698
54,9*. Асимптотично разширение на непълната гама функция 702
54.10. Забележки за многократни интеграли в зависимост
Индекс 706
Индекс на основните символи 713

Том 3. СЪДЪРЖАНИЕ
Глава 7

Редица на Фурие. Интеграл на Фурие
§ 55. Тригонометричен ред на Фурие 4
55.1. Дефиниция на реда на Фурие. Изявление на осн
55.2. Склонността на коефициентите на Фурие към нула 10
55.3. Интеграл на Дирихле. Принцип на локализация 15
55.4. Сходимост на редовете на Фурие в точка 19
55,5*. Сходимост на редове на Фурие за функции, удовлетворяващи условието на Хьолдер 31
55.6. Сумиране на редове на Фурие по метода на средните аритметични 34
55.7. Апроксимация на непрекъснати функции с полиноми 40
55.8. Пълнота на тригонометричната система и системата от цели неотрицателни степени x в пространството на непрекъснатите функции 43
55.9. Минималното свойство на сумите на Фурие. Неравенството на Бесел и равенството на Парсевал 45
55.10. Естеството на сходимостта на редовете на Фурие. Диференциране на член на редове на Фурие 48
55.11. Построчно интегриране на редове на Фурие 53
55.12. Редица на Фурие в случай на произволен интервал 56
55.13. Комплексна нотация на ред на Фурие 57
55.14. Разгъване на логаритъм в степенен ред в комплексната област 58
55.15. Сумиране на тригонометрични редове 59
§ 56. Интеграл на Фурие и преобразуване на Фурие 61
56.1. Представяне на функции като интеграл на Фурие 61
56.2. Различни начини за запис на формулата на Фурие 70
56.3. Главна стойност на интеграла 71
56.4. Комплексна нотация на интеграла на Фурие 72
56.5. Преобразуване на Фурие 73
56.6. Интеграли на Лаплас 76
56.7. Свойства на преобразуването на Фурие на абсолютно интегрируеми функции 77
56.8. Преобразуване на Фурие на производни 78
56.9. Конволюция и преобразуване на Фурие 80
56.10. Производна на преобразуването на Фурие на функция 83
Глава 8

функционални пространства
§ 57. Метрични пространства 85
57.1. Дефиниции и примери 85
57.2. Пълни места 91
57.3. Преобразуване на метрични пространства 97
57.4. Принцип на картографиране на свиване 101
57.5. Попълване на метрични пространства 105
57.6. Компакти 110
57.7. Непрекъснати преобразувания на множества 122
57.8. Свързани комплекти 124
57.9. Критерий на Арцел за компактност на системи от функции 124
§ 58. Линейни нормирани и полунормирани
58.1. Линейни пространства 128
58.2. Норма и полунорма 141
58.3. Примери за нормализирани и полунормализирани
58.4. Свойства на полунормираните пространства 150
58.5. Свойства на нормираните пространства 154
58.6. Линейни оператори 162
58.7. Билинейни преобразувания на нормализирани
58.8. Диференцируеми преобразувания на линейни нормирани пространства 175
58.9. Формула за крайно нарастване 180
58.10. Производни от по-висок порядък 182
58.11. Формула Тейлър 184
§ 59. Линейни пространства със скален продукт 186
59.1. Точково и почти точково произведение 186
59.2. Примери за линейни пространства с точков продукт 191
59.3. Свойства на линейни пространства със скаларно произведение. Хилбертови пространства 193
59.4. факторни пространства 198
59.5. Космос L2 202
59.6. Пространства Lp 214
§ 60. Ортонормирани основи и разширения в тях 217
60.1. Ортонормални системи 217
60.2. Ортогонализация 221
60.3. цялостни системи. Пълнота на тригонометричната система и системата от полиноми на Лежандро 224
60.5. Наличие на базис в сепарабилни хилбертови пространства. Изоморфизъм на отделими хилбертови пространства 239
60.6. Разширение в ред на Фурие на функции с квадратно интегрируемо 243
60.7. Ортогонални разложения с директна сума на хилбертови пространства 248
60.8. Функционали на хилбертови пространства 254
60,9*. Преобразуване на Фурие на интегрируеми с квадрат функции. Теорема на Планшерел 257
§ 61. Обобщени функции 266
61.1. Общи съображения 266
61.2. Линейни пространства с конвергенция. Функционални. Двойни интервали 272
61.3. Дефиниция на обобщени функции. Spaces View" 277
61.4. Диференциране на обобщени функции 283
61.5. Пространството на основните функции S и пространството на обобщените функции S" 287
61.6. Преобразуване на Фурие в S 290 пространство
61.7. Преобразуване на Фурие на обобщени функции 293
Допълнение
§ 62. Някои въпроси на приблизителните изчисления 301
62.1. Приложение на формулата на Тейлър за приблизително изчисляване на стойностите на функции и интеграли 301
62.2. Решаване на уравнения 305
62.3. Интерполация на функция 311
62.4. Квадратурни формули 314
62.5. Грешка на квадратурни формули 317
62.6. Приблизително изчисляване на производни 321
§ 63. Разделяне на множество на класове от еквивалентни елементи 323
§ 64. Ограничение на филтъра 325
64.1. Топологични пространства 326
64.2. Филтри 328
64.4. Лимит на показване чрез филтър 335
Предметен индекс 340
Индекс на основните символи 346

Алексич Г. Проблеми на сходимостта на ортогонални редове. М.: IL, 1963 (djvu)
Ахиезер Н., Керин М. По някои въпроси на теорията на моментите. Харков: ГНИТИУ, 1938 (djvu)
Ахиезер Н.И. Класическият проблем за моментите и някои въпроси на анализа, свързани с него. Москва: Физматлит, 1961 (djvu)
Балк M.B., Петров V.A., Polukhin A.A. Задачна тетрадка-практикум по теория на аналитичните функции. М.: Просвещение, 1976 (djvu)
Бекенбах Е., Белман Р. Въведение в неравенствата. Москва: Мир, 1965 (djvu)
Bernstein S.N. Екстремални свойства на полиноми и най-добро приближение на непрекъснати функции на една реална променлива. Част 1. L.-M.: GROTL, 1937 (djvu)
Бермант А.Ф. Курс по математически анализ. Част I (12-то издание). М. Физматгиз, 1959 (djvu)
Бермант А.Ф. Курс по математически анализ. Част II (9-то издание). М. Физматгиз, 1959 (djvu)
Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Кратък курс по математически анализ за VTUs (5-то издание). Москва: Наука, 1967 (djvu)
Брело М. За топологиите и границите в потенциалната теория. М.: Мир, 1974 (djvu)
Брудно А.Л. Теория на функциите на реална променлива. Москва: Наука, 1971 (djvu)
Будак Б.М., Фомин С.В. Множество интеграли и серии. Москва: Наука, 1965 (djvu)
Будилин А.М. Редове на Фурие и интеграли. L.: Санкт Петербургски държавен университет, 2002 (pdf)
Бурбаки Н. Функции на реална променлива. елементарна теория. Москва: Наука, 1965 (djvu)
Баер Р. Теория на прекъснатите функции. M.-L.: GTTIL, 1932 (djvu)
Vallee Poussin C.-J. Курс по анализ на безкрайно малките, том 1. 1922 (djvu)
Vallee Poussin C.-J. Курс по анализ на безкрайно малки, том 2. L.-M.: GTTI, 1933 (djvu)
Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А., Матвеев И.В., Смолянски М.Л., Цветков А.Т. Проблемна книга за курса по математически анализ. Част I. М.: Просвещение, 1971 (djvu)
Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А., Матвеев И.В., Смолянски М.Л., Цветков А.Т. Проблемна книга за курса по математически анализ. Част II. М.: Просвещение, 1971 (djvu)
Вулих Б.З. Въведение във функционалния анализ (2-ро издание). Москва: Наука, 1967 (djvu)
Вулих Б.З. Кратък курс по теория на функциите на реална променлива. Въведение в интегралната теория (2-ро издание). Москва: Наука, 1973 (djvu)
Вигодски М.Я. Наръчник по математика за напреднали (12-то издание). Москва: Наука, 1977 (djvu)
Вигодски М.Я. Основи на Infinitesimal Calculus (3-то издание). М.-Л.: GTTI, 1933 (djvu)
Харди Г. Интегриране на елементарни функции. М.-Л.: ОНТИ, 1935 (djvu)
Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрапримери в анализа. М.: Мир, 1967 (djvu)
Гелфанд И.М., Виленкин Н.Я. Някои приложения на хармоничния анализ. Рамкирани Хилбертови пространства. (Общи функции, издание 4). Москва: Физматлит, 1961 (djvu)
Гелфанд И.М., Граев М., Виленкин Н.Я. Интегрална геометрия и свързани проблеми на теорията на представянето. (Общи функции, издание 5). Москва: Физматлит, 1962 (djvu)
Гелфанд И. М., Граев М., Пятецки-Шапиро И. Теория на представянето и автоморфни функции (Обобщени функции, брой 6). Москва: Физматлит, 1966 (djvu)
Гелфанд И.М., Райков Д.А., Шилов Г.Е. Комутативни нормирани пръстени. М.: GIFML, 1960 (djvu)
Гелфанд И.М., Шилов Г.Е. Общи функции и действия върху тях (Обобщени функции, издание 1) (2-ро издание). Москва: Физматлит, 1959 (djvu)
Гелфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства на основни и обобщени функции (Обобщени функции, брой 2). Москва: Физматлит, 1958 (djvu)
Гелфанд И.М., Шилов Г.Е. Някои въпроси от теорията на диференциалните уравнения (Обобщени функции, брой 3). Москва: Физматлит, 1958 (djvu)
Гливенко В.И. Интеграл на Stieltjes. Л.: ОНТИ, 1936 (djvu)
Градщейн И.С. Рижик И.М. Таблици на интеграли, суми, редове и продукти (4-то издание). Москва: Наука, 1963 (djvu)
Гурса Е. Курс по математически анализ, том 1, част 1. Производни и диференциали. Определени интеграли. М.-Л.: GTTI, 1933 (djvu)
Гурса Е. Курс по математически анализ, том 1, част 2. Разширения в серии. Геометрични приложения. М.-Л.: GTTI, 1933 (djvu)
Гурса Е. Курс по математически анализ, том 2, част 1. Теория на аналитичните функции. М.-Л.: GTTI, 1933 (djvu)
Гурса Е. Курс по математически анализ, том 2, част 2. Диференциални уравнения. М.-Л.: GTTI, 1933 (djvu)
Гурса Е. Курс на математическия анализ, том 3, част 1. Безкрайно близки интеграли. Уравнения с частни производни. М.-Л.: GTTI, 1933 (djvu)
Гурса Е. Курс по математически анализ, том 3, част 2. Интегрални уравнения. Вариационно смятане. М.-Л.: GTTI, 1934 (djvu)
De Bruijn NG Асимптотични методи в анализа. М.: IL, 1961 (djvu)
De Ram J. Диференцируеми многообразия. М.: IL, 1956 (djvu)
Давидов Н.А., Коровкин П.П., Николски В.Н. Сборник задачи по математика (4-то издание). М.: Просвещение, 1973 (djvu)
Демидович Б.П. (ред.). Задачи и упражнения по математически анализ за ВТУ (6-то изд.). Москва: Наука, 1968 (djvu)
Демидович Б.П. (ред.) Задачи и упражнения по математически анализ за ВТУ (10-то издание). Москва: Наука, 1978 (djvu)
Демидович Б.П. Сборник задачи и упражнения по математически анализ. Москва: Наука, 1966 (djvu)
Демидов А.С. Обобщени функции в математическата физика: основни идеи и понятия. Ню Йорк: Nova Science, 2001 (pdf)
Джаксън Д. Редици на Фурие и ортогонални полиноми. М.: IL, 1948 (djvu)
Дженкинс Г., Уотс Д. Спектрален анализ и неговите приложения. Брой 1. М.: Мир, 1971 (djvu)
Дженкинс Г., Уотс Д. Спектрален анализ и неговите приложения. Брой 2. М.: Мир, 1972 (djvu)
Dieudonne J. Основи на съвременния анализ. М.: Мир, 1964 (djvu)
Егорова И.А. Задачна тетрадка-практикум по математически анализ. Част III. Функции на няколко променливи. Москва: Учпедгиз, 1962 (djvu)
Еругин Н.П. Неявни функции. Л.: Ленинградски държавен университет, 1956 (djvu)
Запорожец Г.И. Ръководство за решаване на проблеми по математика (4-то издание). Москва: Висше училище, 1966 (djvu)
Зелдович Б., Мишкис А.Д. Елементи на приложната математика (3-то издание). М.: Наука, 1972 (djvu)
Зелдович Я.Б., Яглом И.М. Висша математика за начинаещи физици и техници. М.: Наука, 1982 (djvu)
Зигмунд А. Тригонометрични серии, том 1. М .: Мир, 1965 (djvu)
Зигмунд А. Тригонометрична серия, том 2. М .: Мир, 1965 (djvu)
Йосида К. Функционален анализ. М.: Мир, 1967 (djvu)
Казимиров Н.И. Математически анализ. Бележки за лекции за първа година, ПетрГУ (pdf)
Калинин В.В., Петрова И.В., Харин В.Т. Неопределени и определени интеграли (Математика в обучението по нефт и газ, брой 3, част 1). Москва: МГУНГ им. ТЯХ. Губкина, 2005 (pdf)
Kamke E. Интеграл на Lebeggue-Stieltjes. Москва: Физматлит, 1959 (djvu)
Каплан И.А. Практически уроци по висша математика. Части 1, 2, 3. Аналитична геометрия в равнината и пространството. Диференциално смятане на функции на една и много независими променливи. Интегрално смятане на функции на една независима променлива, интегриране на диференциални уравнения (3-то издание). Харков: KhGU, 1967 (djvu)
Каплан И.А. Практически уроци по висша математика. Част II. Диференциалното смятане на функциите на една и много независими променливи (5-то издание). Харков: Вища школа, 1973 (djvu)
Каплан И.А. Практически уроци по висша математика. Част III. Интегрално смятане на функция на една независима променлива. Интегриране на диференциални уравнения (4-то издание). Харков: Вища школа, 1974 (djvu)
Каплан И.А. Практически уроци по висша математика. Част IV. Кратни и криволинейни интеграли (2-ро издание). Харков: ХГУ, 1971 (djvu)
Каплан И.А. Практически уроци по висша математика. Част V. Числено решаване на алгебрични и трансцендентни уравнения, матрично смятане, векторен анализ и интегриране на линейни частични диференциални уравнения от първи ред. (2-ро издание). Харков: KhGU, 1972 (djvu)
Karlin S., Stadden W. Chebyshev системи и тяхното приложение в анализа и статистиката. М.: Наука, 1976 (djvu)
Картан А. Диференциално смятане. диференциални форми. М.: Мир, 1971 (djvu) (djvu)
Каченовски М.И., Бохан К.М., Карпенко К.М. Сборник с тестове по математически дисциплини. Брой I. M .: Учпедгиз, 1958 (djvu)
Кожевников Н.И., Краснощекова Т.И., Шишкин Н.Е. Серия и интеграл на Фурие. Теория на полето. Аналитични и специални функции. Преобразуване на Лаплас. Москва: Наука, 1964 (djvu)
Collatz L. Функционален анализ и изчислителна математика. М.: Мир, 1969 (djvu)
Колмогоров A.N., Фомин S.V. Елементи на теорията на функциите и функционалния анализ (4-то издание). М.: Наука, 1976 (djvu)
Kopson E.T. Асимптотични разширения. М.: Мир, 1966 (djvu)
Корн Г., Корн Т. Наръчник по математика за учени и инженери. Москва: Наука, 1973 (djvu)
Коробов Н.М. Теоретико-числови методи в приближения анализ. Москва: Физматлит, 1963 (djvu)
Коши Г.А.Л. Диференциално и интегрално смятане. Санкт Петербург: Императорска академия на науките, 1831 (djvu)
Керин С.Г., Ушакова В.Н. Математически анализ на елементарни функции. М.: GIFML, 1963 (djvu)
Курант Р. Курс на диференциално и интегрално смятане, том 1. М .: Наука, 1967 (djvu)
Курант Р. Курс на диференциално и интегрално смятане, том 2. М .: Наука, 1970 (djvu)
Kushner B.A. Лекции по конструктивен математически анализ. Москва: Наука, 1973 (djvu)
Ландау Е. Основи на анализа. М.: IL, 1947 (djvu)
Лащенов К.В. Задачна тетрадка-практикум по математически анализ. Интегрално смятане на функциите на една променлива. М.: Учпедгиз, 1963 (djvu)
Lebeggue A. Интегриране и търсене на примитивни функции. М.-Л.: GTTI, 1934 (djvu)
Левитан Б.М. Почти периодични функции. М.: GITTL, 1953 (djvu)
Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодични функции и диференциални уравнения. Москва: Московски държавен университет, 1978 (djvu)
Leng S. Въведение в теорията на диференцируемите многообразия. М.: Мир, 1967 (djvu)
Lefort G. Алгебра и анализ. Задачи. Москва: Наука, 1973 (djvu)
Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Ръководство за решаване на проблеми по висша математика, вероятности и математическа статистика (2-ро издание). Мн.: Виш. училище, 1969 (djvu)
Lopital G.F. Анализ на безкрайно малките. М.-Л.: Гостехтеориздат, 1935 (djvu)
Лузин Н.Н. Диференциално смятане (7-мо издание). М.: По-високо. училище, 1961 (djvu)
Лузин Н.Н. Интегрални и тригонометрични редове. M.-L.: GITTL, 1951 (djvu)
Лузин Н.Н. Интегрално смятане (7-мо издание). М.: По-високо. училище, 1961 (djvu)
Лузин Н.Н. За някои нови резултати в дескриптивната теория на функциите. М.-Л.: АН СССР, 1935 (djvu)
Лузин Н.Н. Съвременно състояние на теорията на функциите на реална променлива. М.-Л.: GTTI, 1933 (djvu)
Лумис Л. Въведение в абстрактния хармоничен анализ. М.: IL, 1956 (djvu)
Люстерник Л.А., Соболев В.И. Елементи на функционалното (2-ро изд.). Москва: Наука, 1965 (djvu)
Макдоналд I. Симетрични функции и полиноми на Хол. М.: Мир, 1972 (djvu)
Malgrange B. Идеали на диференцируеми функции. М.: Мир, 1968 (djvu)
Марон И.А. Диференциално и интегрално смятане в примери и задачи. Функции на една променлива. Москва: Наука, 1970 (djvu)
Мишкис А.Д. Лекции по висша математика (4 изд.). Москва: Наука, 1973 (djvu)
Мишкис А.Д. Математика за висши учебни заведения. Специални курсове. Москва: Наука, 1971 (djvu)
Нарасимхан Р. Анализ на реални и комплексни многообразия. М.: Мир, 1971 (djvu)
Natanson I.P. Конструктивна теория на функциите. M.-L.: GITTL, 1949 (djvu)
Natanson I.P. Теория на функциите на реална променлива. M.-L.: GITTL, 1950 (djvu)
Natanson I.P. Теория на функциите на реална променлива (3-то издание). М.: Наука, 1974 (djvu)
Незбайло Т.Г. Нова теория за изчисляване на неопределения интеграл. Санкт Петербург: Корона-Век, 2007 (pdf)
Немицки В., Слудская М., Черкасов А. Курс по математически анализ. Том I. M.-L.: GITTL, 1940 (djvu)
Очан Ю.С. Сборник от задачи и теореми по теория на функциите на реална променлива. М.: Просвещение, 1963 (djvu)
Парфентиев Н.Н. Изследвания върху теорията на растежа на функциите. Казан, КазУн, 1910 (djvu)
Погорелов А.И. Контролни работи по математически анализ. М.: Учпедгиз, 1951 (djvu)
Погорелов А.И. Сборник задачи по висша математика. М.: Учпедгиз, 1949 (djvu)
Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теореми от анализа. Част 1. Редове. Интегрално смятане. Теория на функциите. Москва: Наука, 1978 (djvu)
Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теореми от анализа. Част 2. Теория на функциите. Нулево разпределение. Полиноми. Детерминанти. Теория на числата. Москва: Наука, 1978 (djvu)
Riekstynysh E.Ya. Асимптотични разложения на интеграли. Том 1. Рига: Зинатне, 1974 (djvu)
Riekstynysh E.Ya. Асимптотични разложения на интеграли. Том 2. Рига: Зинатне, 1977 (djvu)
Riekstynysh E.Ya. Асимптотични разложения на интеграли. Том 3. Рига: Зинатне, 1981 (djvu)
Rudin U. Основи на математическия анализ (2-ро издание). М.: Мир, 1976 (djvu)
Ryvkin A.Z., Kunitskaya E.S. Задачна тетрадка-практикум по математически анализ. Част 2. Интегрално смятане на функциите на една променлива. Москва: Учпедгиз, 1962 (djvu)
Сакс С. Интегрална теория. М.: IL, 1949 (djvu)
Сборник от тестове по математически дисциплини (за задочници, завършили учителски институти). М.: Учпедгиз, 1958 (djvu)
Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. Математически анализ. Част 1. Челябинск: ChelGU, 1999 (pdf)
Свиридюк Г.А., Кузнецов Г.А. Математически анализ. Част 2. Челябинск: ChelGU, 1999 (pdf)
Смирнов В.И. Курс по висша математика, том 1 (23-то издание). М.: Наука, 1974 (djvu)
Смирнов В.И. Курс по висша математика, том 2 (21 издание). М.: Наука, 1974 (djvu)
Смирнов В.И. Курс по висша математика, том 3, част 1 (10-то издание). М.: Наука, 1974 (djvu)
Смирнов В.И. Курс по висша математика, том 3, част 2 (9-то издание). М.: Наука, 1974 (djvu)
Смирнов В.И. Курс по висша математика, том 4, част 1 (6-то издание). М.: Наука, 1974 (djvu)
Смирнов В.И. Курс по висша математика, том 4, част 2 (6-то издание). Москва: Наука, 1981 (djvu)
Смирнов В.И. Курс по висша математика, том 5. М.: ГИФМЛ, 1959

препис

2 Математически анализ 1. Пълнота: върховна и ниска стойност на числово множество. Принципът на вложените сегменти. Ирационалността на числото Теорема за съществуването на граница на монотонна редица. e номер. 3. Еквивалентност на дефиниции на границата на функция в точка в езика и в езика на последователностите. Две големи граници. 4. Непрекъснатост на функция на една променлива в точка, точки на прекъсване и тяхната класификация. Свойства на функция, непрекъсната на отсечка. 5. Теореми на Weierstrass за най-големите и най-малките стойности на непрекъсната функция, дефинирана на сегмент. 6. Равномерност на непрекъснатостта. Теорема на Кантор. 7. Понятие за производна и диференцируемост на функция на една променлива, диференциране на сложна функция. 8. Производни и диференциали от по-високи редове на функция на една променлива. 9. Изследване на функция с помощта на производни (монотонност, екстремуми, изпъкналост и точки на инфлексия, асимптоти). 10. Параметрично зададени функции и тяхното диференциране. 11. Теореми на Рол, Лагранж и Коши. 12. Правилото на L'Hopital. 13. Формула на Тейлър с остатъчен член под формата на Лагранж. 14. Локална формула на Тейлър с остатъчен член във форма на Пеано. Разгъване на основни елементарни функции по формулата на Тейлър. 15. Риманов критерий за интегрируемост на функция. Класове интегрируеми функции. 16. Теорема за съществуването на първоизводна за всяка непрекъсната функция. Формула на Нютон-Лайбниц. 17. Интегриране по части и промяна на променлива в неопределения интеграл. Интегриране на рационални дроби. 18. Методи за приближено изчисляване на определени интеграли: методи на правоъгълници, трапеци, параболи. 19. Определен интеграл с променлива горна граница; теореми за средна стойност. 20. Геометрични приложения на определен интеграл: площ на плоска фигура, обем на тяло в пространството. 21. Степенен ред; разширяване на функции в степенен ред. 22. Несобствени интеграли от първи и втори род. Признаци на конвергенция. 23. Най-простите условия за равномерна сходимост и почленно диференциране на тригонометричните редове на Фурие. 24. Достатъчни условия за диференцируемост в точка на функция на няколко променливи. 25. Дефиниция, съществуване, непрекъснатост и диференцируемост на неявна функция. 26. Необходимо условие за условен екстремум. Метод на множителите на Лагранж. 27. Числови серии. Критерий на Коши за сходимост на редове. 28. Критерий на Коши за сходимост на положителни редове 29. Критерий на д'Аламбер за сходимост на положителни редове 30. Теорема на Лайбниц за сходимост на редуващи се редове. 31. Критерий на Коши за равномерна сходимост на функционални редове. 32. Достатъчни условия за непрекъснатост, интегрируемост и диференцируемост на сбора на функционален ред. 33. Структурата на множеството за сходимост на произволен функционален ред. Формулата на Коши-Адамар и структурата на множеството за сходимост на степенен ред.

3 34. Кратен интеграл на Риман, неговото съществуване. 35. Редукция на кратен интеграл до повторен. Литература 1. Карташев, А.П. Математически анализ: учебник - 2-ро изд., стереотип - Санкт Петербург: Lan, p. 2. Киркински, А.С. Математически анализ: учебник за университети - М.: Академичен проект, с. 3. Кудрявцев, Л.Д. Кратък курс по математически анализ. Т. 1, 2. Диференциално и интегрално смятане на функции на много променливи. Хармоничен анализ: учебник за студенти.- Изд. 3-то, преработено - Москва: Физматлит, с. 4. Математически анализ. Т. 1.2: / ред. В.А. Курс по математически анализ. Т. 1, 2.- Изд. 4-то, преработено. и допълнителни - Москва: Наука, с. 6. Илин, В.А. Основи на математическия анализ. Част 1, 2. - Изд. 4-то, преработено. и допълнителни - Москва: Наука, с. Диференциални уравнения. 1. Теорема за съществуване и единственост за решението на задачата на Коши за обикновено диференциално уравнение от първи ред. 2. Теорема за съществуване и уникалност на решението на задачата на Коши за обикновено диференциално уравнение от първи ред 3. Теорема за непрекъснатата зависимост на решението на задачата на Коши за обикновено диференциално уравнение от първи ред от параметри и начални данни . 4. Теорема за диференцируемост за решението на задачата на Коши за обикновено диференциално уравнение от първи ред по параметри и начални данни. 5. Линейни обикновени диференциални уравнения (ОДУ). Общи свойства. Хомогенна ОДУ. Фундаментална система за вземане на решения. Вронскиан. Формула на Лиувил. Общо решение на еднородно ОДУ. 6. Нехомогенни линейни обикновени диференциални уравнения. Общо решение. Метод на вариация на константите на Лагранж. 7. Хомогенни линейни обикновени диференциални уравнения с постоянни коефициенти. Изграждане на фундаментална система от решения. 8. Нехомогенни линейни обикновени диференциални уравнения с постоянни коефициенти с нееднородност под формата на квазиполином (нерезонансни и резонансни случаи). 9. Хомогенна система от линейни обикновени диференциални уравнения (ОДУ). Фундаментална система за вземане на решения и фундаментална матрица. Вронскиан. Формула на Лиувил. Структура на общото решение на хомогенна система от ОДУ. 10. Нехомогенна система от линейни обикновени диференциални уравнения. Метод на вариация на константите на Лагранж. 11. Хомогенна система от линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти. Изграждане на фундаментална система от решения. 12. Нехомогенна система от обикновени диференциални уравнения с постоянни коефициенти с нееднородност под формата на матрица с елементи на квазиполиноми (нерезонансни и резонансни случаи). 13. Постановка на гранични задачи за линейно обикновено диференциално уравнение от втори ред. Специални функции на гранични задачи и техните явни представяния. Функция на Грийн и нейните явни представяния. интегрално представяне

4 решения на граничната задача. Теорема за съществуване и уникалност за решение на гранична задача. 14. Автономни системи. Свойства на разтвора. Особени точки на линейна автономна система от две уравнения. Устойчивост и асимптотична устойчивост по смисъла на Ляпунов. Устойчивост на хомогенна система от линейни диференциални уравнения с променлива матрица. 15. Устойчивост при първо приближение на система от нелинейни диференциални уравнения. Вторият метод на Ляпунов. Литература 1. Самойленко, А.М. Диференциални уравнения: практически курс: учебник за студенти.- Изд. 3-ти, преработен - Москва: Висше училище, с. 2. Агафонов, С.А. Диференциални уравнения: учебник.- 4 изд. 3. Егоров, А.И. Обикновени диференциални уравнения с приложения – Изд. 2-ро, коригирано - Москва: ФИЗМАТЛИТ, с. 4. Понтрягин, Л.С. Обикновени диференциални уравнения.- Изд. 6-ти - Москва; Ижевск: Регулярна и хаотична динамика, стр. 5. Тихонов, А.Н. Диференциални уравнения: учебник за студенти по физически специалности и специалност "Приложна математика" .- Изд. 4-ти, стр. - Москва: Физматлит, с. 6. Филипс, Г. Диференциални уравнения: превод от английски / Г. Филипс; редактиран от A.Ya. Хинчин - 4-то изд., ст. - Москва: КомКнига, с. Алгебра и теория на числата 1. Дефиниция на група, пръстен и поле. Примери. Построяване на полето от комплексни числа. Повдигане на степен на комплексни числа. Извличане на корен от комплексни числа. 2. Алгебра на матриците. Видове матрици. Операции с матрици и техните свойства. 3. Детерминанти на матрици. Определение и основни свойства на детерминантите. Обратни матрици. 4. Системи линейни алгебрични уравнения (СЛАУ). SLAU изследвания. Метод на Гаус. Правилото на Крамър. 5. Пръстен от полиноми на една променлива. Теорема за деление с остатък. НОД на два полинома. 6. Корени и кратни корени на многочлен. Основна теорема на алгебрата (без доказателство). 7. Линейни пространства. Примери. Базис и размерност на линейните пространства. Преходна матрица от една база към втора база. 8. Подпространства. Операции върху подпространства. Директен сбор от подпространства. Критерии за пряката сума на подпространствата. 9. Ранг на матрицата. SLAU съвместимост. Теоремата на Кронекер-Капели. 10. Евклидови и унитарни пространства. Метрични понятия в евклидови и унитарни пространства. Неравенството на Коши-Буняковски. 11. Ортогонални системи от вектори. процес на ортогонализиране. Ортонормални основи. 12. Подпространства на унитарни и евклидови пространства. ортогонално добавяне. 13. Линейни оператори в линейни пространства и операции върху тях. Матрица на линейния оператор. Линейни операторни матрици в различни базиси.

5 14. Образ и ядро, ранг и дефект на линеен оператор. Размер на ядрото и изображението. 15. Инвариантни подпространства на линеен оператор. Собствени вектори и собствени стойности на линеен оператор. 16. Критерий за диагонализиране на линеен оператор. Теорема на Хамилтън-Кейли. 17. Жорданов базис и нормална форма на Жордан на матрицата на линеен оператор. 18. Линейни оператори в евклидови и унитарни пространства. Конюгирани, нормални оператори и техните прости свойства. 19. Квадратни форми. Канонична и нормална форма на квадратни форми. 20. Знакопостоянни квадратични форми, критерий на Силвестър. 21. Отношението на делимост в пръстена от цели числа. Теорема за деление с остатък. НОД и НОК на цели числа. 22. Продължени (продължени) дроби. Подходящи фракции. 23. Прости числа. Ситото на Ератостен. Теорема за безкрайността на простите числа. Разлагане на число на прости множители 24. Функция на Анте. мултипликативна функция. Функция на Мьобиус. Функция на Ойлер. 25. Сравнения. Основни свойства. Пълна система за таксуване. Дадената система на удръжки. Теореми на Ойлер и Ферма. 26. Сравнения на първа степен с едно неизвестно. Система за сравнение от първа степен. Китайска теорема за остатък. 27. Сравнения на произволна съставна степен по модул. 28. Сравнения от втора степен. Символът на Лежандър. 29. Примитивни корени. 30. Индекси. Прилагане на индекси за решаване на сравнения. Литература 1. Курош, А.Г. Лекции по обща алгебра: учебник / A.G. Курош - 2-ро изд., ст. - Санкт Петербург: Издателство "Лан", с. 2. Биркхоф, Г. Съвременна приложна алгебра: учебник / Гарет Биркхоф, Томас С. Барти; превод от английски Ю.И. Манина.- 2-ро изд., Санкт Петербург: Лан, с. 3. Илин, В.А. Линейна алгебра: учебник за студенти от физически специалности и специалност "Приложна математика". - Ед. 5-ти, стр. - Москва: FIZMATLIT, Kostrikin, A.I. Въведение в алгебрата. Част 1. Основи на алгебрата: учебник за студенти, обучаващи се по специалностите "Математика" и "Приложна математика" .- Изд. 2-ро, коригирано - Москва: ФИЗМАТЛИТ, Виноградов, И.М. Основи на теорията на числата: учебник.- Изд. 11-ти - Санкт Петербург; Москва; Краснодар: Лан, с. 6. Бухщаб, А.А. Теория на числата: учебник.- 3-то изд., стереотип.- Санкт Петербург; Москва; Краснодар: Лан, с. Геометрия 1. Скаларни, векторни и смесени произведения на вектори и техните свойства. 2. Уравнение на права линия върху равнина, дефинирана по различни начини. Взаимно разположение на две прави линии. Ъгъл между две прави. 3. Трансформация на координати при преход от една декартова координатна система към друга. 4. Полярни, цилиндрични и сферични координати. 5. Елипса, хипербола и парабола и техните свойства. 6. Класификация на линии от втори ред.

6 7. Уравнение на равнина, определено по различни начини. Взаимно разположение на две равнини. Разстоянието от точка до равнина. Ъгъл между две равнини. 8. Уравнения на права линия в пространството. Взаимно разположение на две прави, права и равнина. Разстоянието от точка до права. Ъгълът между две прави, права и равнина. 9. Елипсоиди, хиперболоиди и параболоиди. Праволинейни генератори на повърхности от втори ред. 10. Повърхнини на въртене. Цилиндрични и конични повърхнини. 11. Дефиниция на елементарна крива. Начини за задаване на крива. Дължина на крива (определение и изчисляване). 12. Кривина и усукване на крива. 13. Съпътстваща рамка на плавна крива. Формули на Френе. 14. Първата квадратна форма на гладка повърхност и нейните приложения. 15. Втората квадратна форма на гладка повърхност, нормалната кривина на повърхността. 16. Главни посоки и главни кривини на повърхността. 17. Линии на кривина и асимптотични линии на повърхнина. 18. Средна и гаусова кривина на повърхност. 19. Топологично пространство. Непрекъснати дисплеи. Хомеоморфизми. Примери. 20. Ойлерова характеристика на многообразие. Примери. Литература 1. Немченко, К.Е. Аналитична геометрия: учебник.- Москва: Ексмо, с. 2. Дубровин, Б.А. Съвременна геометрия: методи и приложения. Т. 1, 2. Геометрия и топология на многообразия - 5-то изд. Rev.- Москва: Editorial URSS, p. 3. Жафяров, А.Ж. Геометрия. В 2 часа учебно ръководство - 2-ро издание - Новосибирск: Издателство на Сибирския университет, с. 4. Ефимов, Н.В. Кратък курс по аналитична геометрия: учебник за студенти от висши учебни заведения - 13 изд. - Москва: FIZMATLIT, p. 5. Тайманов, И.А. Лекции по диференциална геометрия - Москва; Ижевск: Институт за компютърни изследвания, стр. 6. Атанасян Л.С., Базирев В.Т. Геометрия, част 1,2. Москва: Кнорус, стр. 7. Рашефски П.С. Курс по диференциална геометрия. Москва: Наука, с. Теория и методика на обучението по математика 1. Съдържанието на обучението по математика в гимназията. 2. Дидактически принципи на обучението по математика. 3. Методи на научното познание. 4. Нагледност в обучението по математика. 5. Форми, методи и средства за контрол и оценяване на знанията и уменията на учениците. Стандарти за маркиране. 6. Извънкласна работа по математика. 7. Математически понятия и методи за тяхното формиране. 8. Задачите като средство за обучение по математика. 9. Задълбочено изучаване на математиката: съдържание, методи и форми на организация на обучението. 10. Видове математически съждения: аксиома, постулат, теорема.

7 11. Обобщение на урока по математика. 12. Урок по математика. Видове уроци. Анализ на урока. 13. Изучаването на математика в малко училище: съдържание, методи и форми на организация на обучението. 14. Нови технологии за обучение. 15. Диференциация на обучението по математика. 16. Индивидуализация на обучението по математика. 17. Мотивация на учебната дейност на учениците. 18. Логически и дидактически анализ на темата. 19. Технологичен подход в обучението по математика 20. Хуманизиране и хуманитаризиране на обучението по математика. 21. Възпитание в процеса на обучението по математика. 22. Методи за изследване на идентични трансформации. 23. Методи за изследване на неравенства. 24. Методи за изследване на функцията. 25. Методи за изучаване на темата "Уравнения и неравенства с модул." 26. Методи за изучаване на темата "Декартови координати". 27. Методи за изследване на полиедри и кръгли тела. 28. Методи за изучаване на темата "Вектори". 29. Методи за решаване на задачи за движение. 30. Методи за решаване на задачи за съвместна работа. 31. Методика за изучаване на темата "Триъгълници" 32. Методика за изучаване на темата "Кръг и кръг". 33. Методи за решаване на задачи за сплави и смеси. 34. Методи за изучаване на темата "Производна и интеграл". 35. Методика за изучаване на темата „Ирационални уравнения и неравенства“. 36. Методи за изучаване на темата "Решаване на уравнения и неравенства с параметри." 37. Методи за изучаване на основните понятия на тригонометрията. 38. Методика за изучаване на темата "Тригонометрични уравнения" 39. Методика за изучаване на темата "Тригонометрични неравенства". 40. Методи за изучаване на темата "Обратни тригонометрични функции". 41. Методи за изучаване на темата "Общи методи за решаване на уравнения в училищния курс по математика." 42. Методи за изучаване на темата "Четириъгълни уравнения". 43. Методи за изучаване на основните понятия на стереометрията 44. Методи за изучаване на темата "Обикновени дроби." 45. Методи за изучаване на темата "Използване на производната при изследване на функциите" Литература 1. Аргунов, B.I. Училищен курс по математика и методи на преподаване - Москва: Образование, с. 2. Земляков, А.Н. Геометрия в 11 клас: методически препоръки за уч. А. В. Погорелова: ръководство за учител - 3-то изд., дор. - М .: Образование, стр. 3. Изучаването на алгебра в 7-9 клас: книга за учителя / Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, М. В. Ткачева и др. - 2-ро изд. 4. Латишев, Л.К. Превод: теория, практика и методи на обучение: учебник - 3-то изд., ст. - Москва: Академия, с. 5. Методи и технология на преподаване на математика: курс от лекции: учебник за студенти от математически факултети на висши учебни заведения, обучаващи се в посока (050200) на физическото и математическото образование. - Москва: Bustard, p.

8 6. Рогановски, Н.М. Методи на преподаване на математика в средното училище: Учебник - Минск: Висше училище, стр.

25. Дефиниция, съществуване, непрекъснатост и диференцируемост на неявна функция. 26. Необходимо условие за условен екстремум. Метод на множителите на Лагранж. 27. Числови серии. Критерий за конвергенция на Коши

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование "СИБИРСКА ДЪРЖАВНА ГЕОДЕЗИЧЕСКА АКАДЕМИЯ"

Министерство на образованието и науката на Република Казахстан RSE REM „Евразийски национален университет. Л.Н. Гумильов Катедра по фундаментална математика ПРОГРАМА на приемния изпит за докторантура

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСИЯ Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше образование "Челябински държавен университет"

ИЗТОЧЕН КАЗАХСТАНСКИ ДЪРЖАВЕН ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Д. СЕРИКБАЕВА Факултет по информационни технологии и бизнес УТВЪРДЕНА от декана на FITIB Н. Денисова ПРОГРАМА ЗА ПРИЕМНИ ИЗПИТИ 2016

1. Целта на изучаването на дисциплината е: да се подготви високо професионален специалист, който притежава математически знания, умения и способности за прилагане на математиката като средство за логически анализ, числени

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Ивановски държавен университет Факултет по математика и компютърни науки

Анотация към работната програма на дисциплината Автор Федоров Ю.И., доцент Име на дисциплината: B1.B.05Математика

СЪДЪРЖАНИЕ ЧАСТ I Лекции 1 2 Детерминанти и матрици Лекция 1 1.1. Концепцията за матрица. Видове матрици... 19 1.1.1. Основни определения... 19 1.1.2. Видове матрици... 19 1.2.* Пермутации и замествания... 21 1.3.*

Списък на изпитните въпроси: 1 семестър 1. Множества и операции с тях. 2. Декартово произведение на множества. 3. Гранични точки. 4. Ограничение на последователността. 5. Ограничение на функцията. 6. Безкрайно малък.

„ОДОБРЕНО” Изпълняващ длъжността директор на ФМИТИ Поп Е.Н. МАТЕМАТИКА, магистърска програма "Комплексен анализ"

Методически материали за учители. Примерни планове за лекции. Раздел "Алгебра: основни алгебрични структури, линейни пространства и линейни преобразувания" Лекция 1 по темата "Комплексни

Предговор Глава I. ЕЛЕМЕНТИ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА 1. Матрици 1.1. Основни понятия 1.2. Действия върху матрици 2. Детерминанти 2.1. Основни понятия 2.2. Свойства на детерминантите 3. Неизродени матрици 3.1.

АЗ ОДОБРЯВАМ Катедра по физико-математически дисциплини E.N.

Този лекционен курс е предназначен за всички категории студенти, изучаващи по един или друг начин висша математика. Първата част съдържа необходимия материал за 9 раздела от курса по висша математика,

4. Анотация към работната програма на дисциплината Автор Fedorov Yu.I., доцент Име на дисциплината: B1.B.04 Висша математика

1. Целта и задачите на дисциплината Математически анализ

Министерство на науката и висшето образование на Руската федерация Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше образование Калужски държавен университет. К.Е. Циолковски"

NAN CHOU VO Академия по маркетинг и социални информационни технологии АНОТИЯ НА УЧЕБНАТА ДИСЦИПЛИНА Насока на обучение 10.03.01 "Информационна сигурност" ориентация (профил) на програмата Организация

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование "САМАРСКИ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ" Механика и математика

СЪДЪРЖАНИЕ Предговор... 15 Глава I. ЕЛЕМЕНТИ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА 1. Матрици... 16 1.1. Основни понятия... 16 1.2. Действия върху матрици... 17 2. Детерминанти... 20 2.1. Основни понятия... 20 2.2. Имоти

ИЗТОЧЕН КАЗАХСТАНСКИ ДЪРЖАВЕН ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. D. SERIKBAYEV Факултет по информационни технологии и енергетика ОДОБРЕНО от заместник-ректора по учебната и методическа работа Linok N.N. 2014 г

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование "UFA STATE AVIATION TECHNICAL

Въпроси от кандидатстудентския изпит в магистърската програма по специалността "6M070500-Математическо и компютърно моделиране" Математически анализ I, II, III 1. Пълнота: наличие на граница на монотонна редица.

ФЕДЕРАЛНА ОБРАЗОВАТЕЛНА АГЕНЦИЯ ДЪРЖАВНА ОБРАЗОВАТЕЛНА ИНСТИТУЦИЯ ЗА ВИСШЕ ПРОФЕСИОНАЛНО ОБРАЗОВАНИЕ "ТЮМЕНСКИ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ ЗА НЕФТ И ГАЗ" ИНСТИТУТ ПО КИБЕРНЕТИКА, ИНФОРМАЦИОННИ НАУКИ

ФЕДЕРАЛНА АГЕНЦИЯ ПО ОБРАЗОВАНИЕТО Държавна образователна институция за висше професионално образование „Уралски държавен университет. А.М. Горки „Математика – механика

СЪДЪРЖАНИЕ Предговор 3 Въведение 5 Част първа. Математически анализ на функции на една променлива 10 Глава I. Реални числа 10 1. Множества. Нотация. Логически символи 10 2. Реални числа

Министерство на образованието и науката на Краснодарския край Държавна бюджетна професионална образователна институция на Краснодарския край "Краснодарски колеж по информационни технологии" урок

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Ярославски държавен педагогически университет на името на V.I. К.Д. Ushinsky» U T V E R ZH D A Yu Първи заместник-ректор M.V. Новиков 20 ПРОГРАМА

Програмата на комплексния изпит по специалността 6M060100-Математика

РЕАЛЕН И КОМПЛЕКСЕН АНАЛИЗ 1. Математически анализ Теория на границите. Теория на редовете. Основни теореми за непрекъснати функции. Основни теореми на диференциалното смятане. (теорема за средната стойност,

Приложение 3 МИНИСТЕРСТВО НА НАУКАТА И ОБРАЗОВАНИЕТО НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ FSAEI HPE "Казан (Поволжски) федерален университет" ОДОБРЕНО от заместник-ректора R.G. Минзарипов 20 MP ПРЕПОРЪЧАН с решение на учения

Катедра "Математически анализ и теория на функциите" График на учебните занятия по дисциплината Математически анализ Индекс на специалност НФ курс I семестър 1 Водеща дисциплина Кандидат на физико-математическите науки, доц. Будочкина

Анотация към работната програма на дисциплината B1.B.4 Математика Направление на обучение Профил на обучение 05.03.01 Геология Геофизика Квалификация (степен) на завършилия бакалавър Форма на обучение редовна Курс 1,

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ ФЕДЕРАЛНА ДЪРЖАВНА АВТОНОМНА ОБРАЗОВАТЕЛНА ИНСТИТУЦИЯ ЗА ВИСШЕ ОБРАЗОВАНИЕ "НОВОСИБИРСК НАЦИОНАЛЕН НАУЧЕН ДЪРЖАВЕН

(3) МАТЕМАТИЧЕСКИ АНАЛИЗ Катедра Висша математика ММФ Автор на програмата: доц. М. П. Вишневски Лектор: 1-ви семестър 1. Въведение. Множества и операции върху тях. Задаване на съпоставяния. Изброими множества. Валиден

Програмата на приемния изпит в магистърската програма на специалност "6M060100-МАТЕМАТИКА" Математически анализ Числова функция и методи за нейното задаване. Предел на функция и основни теореми, определения. Критерии

ПРОГРАМАТА НА ВХОДНИЯ ТЕСТ според образователната програма за висше образование, програмата за обучение на научни и педагогически кадри в следдипломната квалификация на ФСБИ ВО "Орловски държавен университет им.

ВЪПРОСИ И ТИПОВИ ЗАДАЧИ за финален изпит по дисциплината "Математически анализ" Приложна математика На устния изпит студентът получава два теоретични въпроса и две задачи Общо 66 въпроса за година

Анотация на работната програма на дисциплината Математически анализ (име на дисциплината) Направление на обучение 03.03.02 физика Профил на обучение "Фундаментална физика", "Физика на атомното ядро и частици"

ФЕДЕРАЛНА ДЪРЖАВНА ОБРАЗОВАТЕЛНА БЮДЖЕТНА ИНСТИТУЦИЯ НА ВИСШЕТО ОБРАЗОВАНИЕ ФИНАНСОВ УНИВЕРСИТЕТ КЪМ ПРАВИТЕЛСТВОТО НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ (клон Пенза) Катедра по управление, информатика и

Програма на курса "Математически анализ". Семестър 1 (72 часа лекции, 72 часа практически упражнения) Тематичен план на лекциите. I. Въведение в анализа. 1. Елементи на теорията на множествата. 2. Естествени числа. Математически

ВЪПРОСИ за финален изпит 7/8 по дисциплината "Математически анализ" Програма "Приложна математика" На устния изпит студентът получава два теоретични въпроса и две задачи.. Какво е числово

Матрици. Алгебра и геометрия 1. Детерминанти. Разлагане на детерминантата в ред и колона. Алгебра 2. Геометрични вектори. Скаларно произведение на вектори. Вектор и смесено произведение на вектори.

Утвърден на заседание на катедра "Математика и информатика" Протокол 2 (25) "8" септември 2015 г. глава Катедра докторска степен Тимшина Д.В. Въпроси към теста по дисциплината "ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА И МАТЕМАТИЧЕСКИ АНАЛИЗ"

Средства Средства за оценка Средства за дисциплина Б.2.1 „Математически анализ” за текущо проследяване на успеваемостта и междинно атестиране на студентите от направление 080100.62 „Икономика” Предмет

2 Междинни сертификационни тестове по дисциплината: Списък с въпроси към теста по дисциплина „Математика“ I семестър I Елементи на линейната алгебра 1. Понятието детерминанти от 2-ри и 3-ти ред, тяхното изчисляване и

МИНОРСКИ В. П. Сборник задачи по висша математика: учеб. надбавка за университети. 13-то изд. М .: Издателство за физико-математическа литература, 2010. 336 с ISBN 9785-94052-184-6. СЪДЪРЖАНИЕ ОТ ПРЕДГОВОРИЯ НА АВТОРА

1 2 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ НА ПРАКТИЧЕСКОТО ЗАНЯТИЕ Практическите занятия по дисциплината „Математика” се провеждат с цел: 1. Формиране на умения: - да систематизира знанията и практическите

Държавният комитет за наука и висше образование на РСФСР СИБИРСКА ДЪРЖАВНА ГЕОДЕЗИЧЕСКА АКАДЕМИЯ V.P. Вербная Д.А. КРИМСКИХ Е.С. ПЛЮСНИНА ВИСША МАТЕМАТИКА Методическо ръководство за студенти

GBOU SPO Prokopyevsk Polytechnic College ПРОГРАМА НА УЧЕБНАТА ДИСЦИПЛИНА "ЕЛЕМЕНТИ НА ВИСШАТА МАТЕМАТИКА" Препоръчва се за специалност 30111 Компютърни мрежи Име на квалификацията на основното обучение

КРАТКА ПРОГРАМА НА ПРИЕМНИТЕ ИЗПИТИ В МАГИСТЪРСКА ДЪРЖАВНА ПРОГРАМА "МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ" 2015 Раздел 1. Алгебра и теория на числата 1. Алгебрични и тригонометрични форми на комплексно число.

Програмата на писмения изпит по "Висша математика" за 1-ви курс на задочните отделения на Стопанския факултет в зимната сесия Писменият изпит се провежда в рамките на два часа. На изпита за всеки студент

ИНСТРУМЕНТИ ЗА ОЦЕНЯВАНЕ ЗА ТЕКУЩ КОНТРОЛ НА ИЗПЪЛНЕНИЕТО, МЕЖДИННО СЕРТИФИЦИРАНЕ НА РЕЗУЛТАТИТЕ ОТ УВЛАДЯВАНЕТО НА ДИСЦИПЛИНАТА Учебна дисциплина B.2.1 - Математика Профил на обучение: Производствен мениджмънт Предмет

Федерална агенция за образование SEI HPE "Поморски държавен университет на името на М.В. Ломоносов" ОДОБРЕНО от ректора на Поморския държавен университет на името на М.В. Ломоносова И.Р. Луговская

ВЪПРОСИ ЗА ПОДГОТОВКА ЗА ИЗПИТА Векторна алгебра и аналитична геометрия. Определение на вектор. Векторно равенство. Линейни операции върху вектори. Линейна зависимост на векторите. Основа и координати.

2 Междинни атестационни работи по дисциплината: Списък с въпроси за изпити по дисциплина "Математика" I Елементи на линейната алгебра I семестър 1. Детерминанти. Свойства на детерминантите. 2. Матрици. Видове

Зорич В. А. Математически анализ. Част I. - Изд. 4th, rev. - М .: МЦНМО, 2002. - XVI + 664 с.

Зорич В. А. Математически анализ. Част II. – изд. 4th, rev. - М.: МЦНМО, 2002. - XIV + 794 с.

Университетски учебник в два тома за студенти от физико-математически специалности. Може да бъде полезно за студенти от факултети и университети с напреднала математическа подготовка, както и за специалисти в областта на математиката и нейните приложения.

Книгата отразява връзката на курса на класическия анализ със съвременните математически курсове (алгебра, диференциална геометрия, диференциални уравнения, комплексен и функционален анализ).

Основните раздели на първа част: въведение в анализа (логическа символика, множество, функция, реално число, граница, непрекъснатост); диференциално и интегрално смятане на функция на една променлива; диференциално смятане на функции на няколко променливи.

Втората част на учебника включва следните раздели: Многомерен интеграл. Диференциални форми и тяхното интегриране. Редици и интеграли в зависимост от параметър (включително редове и преобразувания на Фурие, както и асимптотични разширения).

Част I

Глава I. Някои общи математически понятия и обозначения
- § 1. Логическа символика
  - 1. Лигаменти и скоби.
  - 2. Бележки по коректурите.
  - 3. Някои специални обозначения.
  - 4. Заключителни бележки.
- § 2. Множества и елементарни операции върху множества
  - 1. Понятието множество.
  - 2. Връзка на включване.
  - 3. Най-простите операции върху множества.
- § 3. Функция
  - 1. Понятието функция (преобразуване).
  - 2. Най-простата класификация на съпоставянията.
  - 3. Композиция на функции взаимно обратни преобразувания.
  - 4. Функция като отношение. Функционална графика.
- § 4. Някои допълнения
  - 1. Сила на множеството (кардинални числа).
  - 2. За аксиоматиката на теорията на множествата.
  - 3. Забележки върху структурата на математическите твърдения и тяхното писане на езика на теорията на множествата.
Глава II. Реални (реални) числа
- § 1. Аксиоматика и някои общи свойства на множеството от реални числа
  - 1. Дефиниция на множеството от реални числа.
  - 2. Някои общи алгебрични свойства на реалните числа.
  - 3. Аксиома за пълнота и съществуване на горна (долна) граница на числово множество.
- § 2. Най-важните класове реални числа и изчислителните аспекти на операциите с реални числа
  - 1. Естествени числа и принцип на математическата индукция.
  - 2. Рационални и ирационални числа.
  - 3. Принцип на Архимед.
  - 4. Геометрична интерпретация на множеството от реални числа и изчислителни аспекти на операциите с реални числа.
- § 3. Основни леми, свързани с пълнотата на множеството от реални числа
  - 1. Лема за вложени сегменти (принцип на Коши-Кантор).
  - 2. Лема за крайно покритие (принцип на Борел-Лебег.
  - 3. Лема за граничната точка (принцип на Болцано-Вайерщрас).
- § 4. Изброими и неизброими множества
  - 1. Изброими множества.
  - 2. Сила на континуума.
Глава III. Лимит
- § 1. Предел на редица
  - 1. Определения и примери.
  - 2. Свойства на границата на последователността.
  - 3. Въпроси за съществуване на границата на редица.
  - 4. Първоначална информация за сериала.
- § 2. Предел на функция
  - 1. Определения и примери.
  - 2. Свойства на границата на функция.
  - 3. Обща дефиниция на лимита на функция (базисен лимит).
  - 4. Въпроси за съществуването на лимит на функция.
Глава IV. Непрекъснати функции
- § 1. Основни определения и примери
  - 1. Непрекъснатост на функция в точка.
  - 2. Точки на прекъсване.
- § 2. Свойства на непрекъснатите функции
  - 1. Местни имоти.
  - 2. Глобални свойства на непрекъснатите функции.
Глава V. Диференциално смятане
- § 1. Диференцируема функция
  - 2. Функция, диференцируема в точка.
  - 3. Допирателна; геометричен смисъл на производната и диференциала.
  - 4. Ролята на координатната система.
  - 5. Няколко примера.
- § 2. Основни правила за диференциране
  - 1. Диференциране и аритметични действия.
  - 2. Диференциация на състава на функциите.
  - 3. Диференциране на обратната функция.
  - 4. Таблица на производните на основните елементарни функции.
  - 5. Диференциране на най-простата неявно зададена функция.
  - 6. Производни от по-високи разряди.
- § 3. Основни теореми на диференциалното смятане
  - 1. Лема на Ферма и теорема на Рол.
  - 2. Теореми на Лагранж и Коши за крайното нарастване.
  - 3. Формула на Тейлър.
- § 4. Изследване на функции чрез методите на диференциалното смятане
  - 1. Условия за монотонност на функция.
  - 2. Условия за вътрешен екстремум на функцията.
  - 3. Условия за изпъкналост на функция.
  - 4. Правилото на L'Hopital.
  - 5. Построяване на графика на функция.
- § 5. Комплексни числа и връзка на елементарни функции 2
  - 1. Комплексни числа.
  - 2. Сходимост в C и редове със сложни членове.
  - 3. Формула на Ойлер и връзка на елементарни функции.
  - 4. Представяне на функция чрез степенен ред, аналитичност.
  - 5. Алгебрична затвореност на полето C от комплексни числа.
- § 6. Някои примери за използване на диференциално смятане в проблеми на естествените науки
  - 1. Движение на тяло с променлива маса.
  - 2. Барометрична формула.
  - 3. Радиоактивен разпад, верижна реакция и атомен котел.
  - 4. Падане на тела в атмосферата.
  - 5. Още веднъж за числото e и функцията.
  - 6. Колебания.
- § 7. Първоизводно
  - 1. Първопроизводен и неопределен интеграл.
  - 2. Основните общи методи за намиране на първоизводното.
  - 3. Първопроизводни на рационални функции.
  - 4. Примитиви на вида.
  - 5. Примитиви на вида.
Глава VI. Интеграл
- § 1. Дефиниция на интеграла и описание на множеството от интегрируеми функции
  - 1. Проблем и водещи съображения.
  - 2. Определение на интеграла на Риман.
  - 3. Набор от интегрируеми функции.
- § 2. Линейност, адитивност и монотонност на интеграла
  - 1. Интеграл като линейна функция в пространството.
  - 2. Интеграл като адитивна функция на интервала на интегриране.
  - 3. Оценка на интеграла, монотонност на интеграла, теореми за средна стойност.
- § 3. Интеграл и производна
  - 1. Интеграл и първоизводен.
  - 2. Формула на Нютон-Лайбниц.
  - 3. Интегриране по части в определен интеграл и формула на Тейлър.
  - 4. Промяна на променлива в интеграла.
  - 5. Няколко примера.
- § 4. Някои приложения на интеграла
  - 1. Адитивна функция на ориентиран интервал и интеграл.
  - 2. Дължина на пътя.
  - 3. Площ на криволинеен трапец.
  - 4. Обем на тялото на въртене.
  - 5. Работа и енергия.
- § 5. Неправилен интеграл
  - 1. Дефиниции, примери и основни свойства на несобствените интеграли.
  - 2. Изследване на сходимостта на несобствения интеграл.
  - 3. Неправилни интеграли с няколко особености.
Глава VII. Функции на няколко променливи, техен лимит и непрекъснатост
- § 1. Пространството R m и най-важните класове на неговите подмножества
  - 1. Множеството R m и разстоянието в него.
  - 2. Отворени и затворени множества в R m .
  - 3. Компактни пространства в Rm.
  - Задачи и упражнения.
- § 2. Предел и непрекъснатост на функция на няколко променливи
  - 1. Ограничение на функцията.
  - 2. Непрекъснатост на функция на няколко променливи и свойства на непрекъснатите функции.
Глава VIII. Диференциално смятане на функции на няколко променливи
- § 1. Линейна структура в R m
  - 1. R m като векторно пространство.
  - 2. Линейни преобразувания.
  - 3. Норма в R m .
  - 4. Евклидова структура в R m .
- § 2. Диференциал на функция на няколко променливи
  - 1. Диференцируемост и диференциал на функция в точка.
  - 2. Диференциални и частни производни на реална функция.
  - 3. Координатно представяне на диференциала на картографиране. Матрица на Якоби.
  - 4. Непрекъснатост, частни производни и диференцируемост на функция в точка.
- § 3. Основни закони на диференциация
  - 1. Линейност на операцията диференциране.
  - 2. Разграничаване на състава на съпоставянията.
  - 3. Диференциране на обратното преобразуване.
- § 4. Основни факти от диференциалното смятане на реални функции на няколко променливи
  - 1. Теорема за средната стойност.
  - 2. Достатъчно условие за диференцируемост на функция на няколко променливи.
  - 3. Частни производни от по-висок ред.
  - 4. Формула на Тейлър.
  - 5. Екстремуми на функции на няколко променливи.
  - 6. Някои геометрични изображения, свързани с функции на няколко променливи.
- § 5. Теорема за неявната функция
  - 1. Постановка на въпроса и водещи съображения.
  - 2. Най-простата версия на теоремата за неявната функция.
  - 3. Преход към случай на зависимост F(x 1 , …, x n , y) = 0.
  - 4. Теорема за неявната функция.
- § 6. Някои следствия от теоремата за неявната функция
  - 1. Теорема за обратната функция.
  - 2. Локално привеждане на гладко преобразуване до канонична форма.
  - 3. Зависимост на функциите.
  - 4. Локално разлагане на дифеоморфизъм в композиция от най-простите.
  - 5. Лема на Морз.
- § 7. Повърхнина в R n и теорията на условния екстремум
  - 1. Повърхнина с размерност k в Rn.
  - 2. Допирателно пространство.
  - 3. Условен екстремум.
Някои задачи от колоквиуми
Въпроси за изпита
Литература
Азбучен указател

Част II

Глава IX. Непрекъснати преобразувания (обща теория)
- § 1. Метрично пространство
  - 1. Определения и примери.
  - 2. Отворени и затворени подмножества на метрично пространство.
  - 3. Подпространство на метрично пространство.
  - 4. Директен продукт на метричните пространства.
- § 2. Топологично пространство
  - 1. Основни определения.
  - 2. Подпространство на топологично пространство.
  - 3. Директен продукт на топологични пространства.
- § 3. Compacta
  - 1. Определение и общи свойства на компакта.
  - 2. Метрични компакти.
- § 4. Свързани топологични пространства
- § 5. Пълни метрични пространства
  - 1. Основни определения и примери.
  - 2. Попълване на метрично пространство.
- § 6. Непрекъснати преобразувания на топологични пространства
  - 1. Ограничение на дисплея.
  - 2. Непрекъснати преобразувания.
- § 7. Принципът на съкращаващите преобразувания
Глава X. Смятане от по-обща гледна точка
- § 1. Линейно нормирано пространство
  - 1. Няколко примера за линейни пространства за анализ.
  - 2. Норма във векторното пространство.
  - 3. Скаларно произведение във векторно пространство.
- § 2. Линейни и многолинейни оператори
  - 1. Определения и примери.
  - 2. Норма на оператора.
  - 3. Пространството на непрекъснатите оператори.
- § 3. Диференциал на картографиране
  - 1. Карта, която е диференцируема в точка.
  - 2. Общи закони на диференциация.
  - 3. Няколко примера.
  - 4. Частни производни на преобразувания.
- § 4. Теорема за крайното нарастване и някои примери за нейното използване
  - 1. Теорема за крайно нарастване.
  - 2. Някои примери за приложение на теоремата за крайното нарастване.
- § 5. Производни преобразувания от по-високи редове
  - 1. Дефиниция на n-тия диференциал.
  - 2. Производна по отношение на вектора и изчисляване на стойностите на n-тия диференциал.
  - 3. Симетрия на диференциали от по-висок порядък.
  - 4. Някои забележки.
- § 6. Формулата на Тейлър и изследване на екстремуми
  - 1. Формула на Тейлър за преобразуване.
  - 2. Изследване на вътрешни крайности.
  - 3. Няколко примера.
- § 7. Обща теорема за неявната функция
Глава XI. Множество интеграли
- § 1. Интеграл на Риман върху n-мерен интервал
  - 1. Дефиниция на интеграла.
  - 2. Критерий на Лебег за интегрируемост на функция по смисъла на Rnman.
  - 3. Критерий на Дарбу.
- § 2. Интеграл върху множество
  - 1. Допустими множества.
  - 2. Интеграл върху множество.
  - 3. Мярка (обем) на допустимо множество.
- § 3. Общи свойства на интеграла
  - 1. Интеграл като линеен функционал.
  - 2. Адитивност на интеграла.
  - 3. Оценки на интеграла.
- § 4. Свеждане на кратен интеграл до повторен
  - 1. Теорема на Фубини.
  - 2. Някои последствия.
- § 5. Смяна на променливи в кратен интеграл 139
  - 1. Постановка на въпроса и евристично извеждане на формулата - промяна на променливи.
  - 2. Измерими множества и гладки преобразувания.
  - 3. Едномерен случай.
  - 4. Случаят на най-простия дифеоморфизъм в R n .
  - 5. Състав на преобразувания и формула за промяна на променливите.
  - 6. Адитивност на интеграла и завършване на доказателството на формулата за промяна на променливите в интеграла.
  - 7. Някои следствия и обобщения на формулата за промяна на променливи в многократни интеграли.
- § 6. Неправилни кратни интеграли
  - 1. Основни определения.
  - 2. Мажорантен подход към сходимостта на неправилен интеграл.
  - 3. Смяна на променливи в несобствен интеграл.
Глава XII. Повърхнини и диференциални форми в R n
- § 1. Повърхнини в R n
- § 2. Ориентация на повърхността
- § 3. Ръб на повърхността и нейната ориентация
  - 1. Повърхност с ръб.
  - 2. Координиране на ориентацията на повърхността и ръба.
- § 4. Повърхнина в евклидовото пространство
- § 5. Въведение в диференциалните форми
  - 1. Диференциална форма, определение и примери.
  - 2. Координатно записване на диференциалната форма.
  - 3. Диференциал на външната форма.
  - 4. Трансфер на вектори и фигури в преобразувания.
  - 5. Форми върху повърхности.
Глава XIII. Криволинейни и повърхностни интеграли
- § 1. Интеграл от диференциална форма
  - 1. Начални задачи, ориентировъчни съображения, примери.
  - 2. Дефиниране на интеграла на формата върху ориентирана повърхност.
- § 2. Обемна форма, интеграли от първи и втори род
  - 1. Масата на повърхността на материала.
  - 2. Площ на повърхността като неразделна част от формата.
  - 3. Формата на обема.
  - 4. Изразяване на формата на обема в декартови координати.
  - 5. Интеграли от първи и втори род.
- § 3. Основни интегрални формули за анализ
  - 1. Формула на Грийн.
  - 2. Формула на Гаус-Остроградски.
  - 3. Формула на Стокс в R 3 .
  - 4. Обща формула на Стокс.
Глава XIV. Елементи на векторния анализ и теория на полето
- § 1. Диференциални операции на векторния анализ
  - 1. Скаларни и векторни полета
  - 2. Векторни полета и форми в R 3 .
  - 3. Диференциални оператори grad, rot, div и V.
  - 4. Някои диференциални формули на векторен анализ.
  - 5. Векторни операции в криволинейни координати.
- § 2. Интегрални формули на теорията на полето
  - 1. Класически интегрални формули във векторен запис.
  - 2. Физическа интерпретация.
  - 3. Някои допълнителни интегрални формули.
- § 3. Потенциални полета
  - 1. Потенциал на векторно поле.
  - 2. Необходимо условие за потенциалност.
  - 3. Критерий за потенциалност на векторно поле.
  - 4. Топологична структура на региона и потенциал.
  - 5. Векторен потенциал. Точни и затворени форми.
- § 4. Примери за приложение
  - 1. Уравнение на топлопроводимостта.
  - 2. Уравнение на непрекъснатостта.
  - 3. Основни уравнения на динамиката на непрекъсната среда.
  - 4. Вълново уравнение.
Глава XV. Интегриране на диференциални форми върху многообразия 305
- § 1. Някои напомняния от линейната алгебра
  - 1. Алгебра на формите.
  - 2. Алгебра на косо симетричните форми.
  - 3. Линейни преобразувания на линейни пространства и двойни преобразувания на двойни пространства. Задачи и упражнения
- § 2. Разнообразие.
  - 1. Определение за сорт.
  - 2. Гладки многообразия и гладки преобразувания.
  - 3. Ориентация, многообразия и техните граници.
  - 4. Разделяне на единството и реализация на многообразия като повърхнини в R n .
- § 3. Диференциални форми и тяхното интегриране върху многообразия
  - 1. Допирателно пространство към многообразие в точка.
  - 2. Диференциална форма на колектор.
  - 3. Външен диференциал.
  - 4. Интеграл на форма върху многообразие.
  - 5. Формула на Стокс.
- § 4. Затворени и точни форми на многообразие
  - 1. Теорема на Поанкаре.
  - 2. Хомология и когомология.
Глава XVI. Равномерна сходимост и основни операции на анализа на серии и семейства от функции
- § 1. Поточкова и равномерна конвергенция
  - 1. Точкова конвергенция.
  - 2. Постановка на основните въпроси.
  - 3. Сходимост и равномерна сходимост на семейство функции в зависимост от параметър.
  - 4. Критерий на Коши за равномерна конвергенция.
- § 2. Равномерна сходимост на редица от функции
  - 1. Основни определения и критерий за равномерна сходимост на редица.
  - 2. Критерият на Weiergatrass за равномерна сходимост на редицата.
  - 3. Знак на Абел-Дирихле.
- § 3. Функционални свойства на граничната функция
  - 1. Уточняване на задачата.
  - 2. Условия за комутация на две преминавания до границата.
  - 3. Непрекъснатост и преминаване към границата.
  - 4. Интеграция и преминаване към границата.
  - 5. Диференциация и преминаване към границата.
- § 4. Компактни и плътни подмножества на пространството на непрекъснатите функции
  - 1. Теоремата на Арцела-Асколи.
  - 2. Метрично пространство.
  - 3. Теорема на Стоун.
Глава XVII. Интеграли в зависимост от параметър
- § 1. Собствени интеграли в зависимост от параметър
  - 1. Понятието интеграл в зависимост от параметър.
  - 2. Непрекъснатост на интеграл в зависимост от параметър.
  - 3. Диференциране на интеграл в зависимост от параметър.
  - 4. Интегриране на интеграл в зависимост от параметър
- § 2. Неправилни интеграли в зависимост от параметър
  - 1. Равномерна сходимост на несобствен интеграл по параметър.
  - 2. Пределно преминаване под знака на неправилен интеграл и непрекъснатост на неправилен интеграл в зависимост от параметър.
  - 3. Диференциране на несобствения интеграл по параметър.
  - 4. Интегриране на несобствения интеграл по параметър.
- § 3. Интеграли на Ойлер
  - 1. Бета функция.
  - 2. Гама функция.
  - 3. Връзка между функции C и D.
  - 4. Няколко примера.
- § 4. Конволюция на функции и начална информация за обобщени функции
  - 1. Конволюция във физически проблеми (водещи съображения).
  - 2. Някои общи свойства на конволюцията.
  - 3. Делта-подобни семейства от функции и апроксимационната теорема на Вайерщрас.
  - 4. Първоначални идеи за дистрибуции.
- § 5. Кратни интеграли в зависимост от параметър
  - 1. Притежаване на множество интеграли в зависимост от параметъра.
  - 2. Неправилни кратни интеграли в зависимост от параметър.
  - 3. Несобствени интеграли с променлива особеност.
  - 4. Конволюция, фундаментално решение и обобщени функции в многомерния случай.
Глава XVIII Рейд Фурие и преобразуването на Фурие
- § 1. Основни общи идеи, свързани с понятието ред на Фурие
  - 1. Ортогонални системи от функции.
  - 2. Коефициенти на Фурие и редове на Фурие.
  - 3. За един важен източник на ортогонални системи от функции в анализа.
- § 2. Тригонометрични редове на Фурие
  - 1. Основни видове сходимост на класическия ред на Фурие.
  - 2. Изследване на поточковата сходимост на тригонометричния ред на Фурие.
  - 3. Плавност на функцията и скорост на намаляване на коефициентите на Фурие.
  - 4. Пълнота на тригонометричната система.
- § 3. Преобразуване на Фурие
  - 1. Представяне на функция чрез интеграла на Фурие.
  - 2. Регулярност на функция и скорост на спадане на нейното преобразуване на Фурие.
  - 3. Най-важните хардуерни свойства на преобразуването на Фурие.
  - 4. Примери за приложение.
Глава XIX. Асимптотични разширения
- § 1. Асимптотична формула и асимптотични редове
  - 1. Основни определения.
  - 2. Общи сведения за асимптотичните редове.
  - 3. Степен асимптотичен ред.
- § 2. Асимптотично поведение на интегралите (метод на Лаплас)
  - 1. Идеята за метода на Лаплас.
  - 2. Принципът на локализация на дължината на интеграла на Лаплас.
  - 3. Канонични интеграли и техните асимптотики.
  - 4. Водещ член на асимптотиката на интеграла на Лаплас.
  - 5. Асимптотични разложения на интегралите на Лаплас.
Задачи и упражнения
Литература
Индекс на основните символи
Азбучен указател

Книги. Изтеглете DJVU книги, PDF безплатно. Безплатна електронна библиотека
В.А. Зорич, Математически анализ (част 2)

Можете (програмата ще го маркира в жълто)
Можете да видите списъка с книги по висша математика подредени по азбучен ред.
Можете да видите списъка с книги по висша физика, подредени по азбучен ред.

Дами и господа!! За да изтеглите файлове на електронни публикации без "бъгове", щракнете върху подчертаната връзка с файла ДЕСЕН бутон на мишката, изберете команда „Запазване на целта като...“ („Запазване на целта като...“) и запазете e-pub файла на вашия локален компютър. Електронните публикации обикновено са във формати Adobe PDF и DJVU.

Глава IX. Непрекъснати преобразувания (обща теория)

§ 1. Метрично пространство
1. Дефиниции и примери (11).
2. Отворени и затворени подмножества на метрично пространство (13).
3. Подпространство на метричното пространство (17).
4. Директно произведение на метрични пространства (18).

§ 2. Топологично пространство
1. Основни определения (19).
2. Подпространство на топологичното пространство (23).
3. Директен продукт на топологични пространства. (24).

§ 3. Compacta
1. Определение и общи свойства на компакт (25).
2. Метрични компакти (27).

§ 4. Лъчисти топологични пространства

§ 5. Пълни метрични пространства K Основни определения и примери (31).
2. Попълване на метричното пространство (34).

§ 6. Непрекъснати преобразувания на топологични пространства
1. Граница на дисплея (38).
2. Непрекъснати преобразувания (40).

§ 7. Принципът на съкращаващите преобразувания

Глава X. Смятане от по-обща гледна точка

§ 1. Линейно нормирано пространство
1. Някои примери за линейни пространства за анализ (50).
2. Норма във векторното пространство (51).
3. Скаларно произведение във векторно пространство (54).

§ 2. Линейни и многолинейни оператори 67
1. Дефиниции и примери (57).
2. Нормата на оператора (64)).
3. Пространство от непрекъснати оператори (64).

§ 3. Диференциал на картографиране
1. Преобразуване, диференцируемо в точка (69).
2. Общи закони на диференциация (70).
3. Няколко примера (71).
4. Частични производни на преобразувания (77).

§ 4. Теорема за крайното нарастване и някои примери за нейното използване
1. Теорема за крайното нарастване (80)
2. Няколко примера за приложението на теоремата за крайното нарастване (83).

§ 5. Производни преобразувания от по-високи редове
1. Дефиниция на n-тия диференциал (87).
2. Производна по отношение на вектора и изчисляване на стойностите на n-тия диференциал (88).
3. Симетрия на диференциали от по-висок порядък (89).
4. Някои забележки (91).

§ 6. Формулата на Тейлър и изследване на екстремуми
1. Формула на Тейлър за преобразуване (93).
2. Изследване на вътрешни крайности (94).
3. Няколко примера (96).

§ 7. Обща теорема за неявната функция

Глава XI. Кратни интеграли 115

§ 1. Интеграл на Риман върху n-мерен интервал
1. Дефиниция на интеграла (113).
2. Критерий на Лебег за интегрируемост на функция по смисъла на Pnman (115).
3. Критерий на Дарбу (120).

§ 2. Интеграл върху множество
1. Допустими множества (123).
2. Интеграл върху множество (124)
3. Мярка (обем) на допустимо множество (125).

§ 3. Общи свойства на интеграла
1. Интеграл като линеен функционал (127).
2. Адитивност на интеграла (127).
3. Оценки на интеграла (128).

§ 4. Свеждане на кратен интеграл до повторен
1. Теорема на Фубини (131).
2. Някои последствия (134).

§ 5. Смяна на променливи в кратен интеграл 139
1. Постановка на въпроса и евристично извеждане на формулата - промяна на променливи (139).
2. Измерими множества и гладки преобразувания (141).
3. Едномерен случай (143).
4. Случаят на най-простия дифеоморфизъм в Rn (145).
5. Състав на преобразувания и формула за промяна на променливи (146).
6. Адитивност на интеграла и завършване на доказателството на формулата за промяна на променливите в интеграла (147).
7. Някои следствия и обобщения на формулата за промяна на променливи в многократни интеграли (148).

§ 6. Неправилни кратни интеграли
1. Основни определения (154).
2. Мажорантен подход към сходимостта на неправилния интеграл (157).
3. Смяна на променливи в несобствения интеграл (159).

Глава XII. Повърхнини и диференциални форми в Rn

§ 1. Повърхнини в Rn

§ 2. Ориентация на повърхността

§ 3. Ръб на повърхността и нейната ориентация
1. Повърхност с ръб (182).
2. Координиране на ориентацията на повърхността и ръба (184).

§ 4. Повърхнина в евклидовото пространство

§ 5. Въведение в диференциалните форми
1. Диференциална форма, определение и примери (197).
2. Координатно записване на диференциалната форма (200).
3. Външен диференциал на формата (203).
4. Трансфер на вектори и форми в преобразувания (206).
5. Форми върху повърхности (209).

Глава XIII. Криволинейни и повърхностни интеграли

§ 1. Интеграл от диференциална форма
1. Първоначални проблеми, предполагащи съображения, примери (213).
2. Дефиниране на интеграла на формата върху ориентирана повърхност (219).

§ 2. Обемна форма, интеграли от първи и втори род
1. Маса на повърхността на материала (227).
2. Площ на повърхността като неразделна част от формата (228).
3. Обемна форма (229).
4. Изразяване на формата на обема в декартови координати (231).
5. Интеграли от първи и втори род (232).

§ 3. Основни интегрални формули за анализ
1. Формула на Грийн (236).
2. Формула на Гаус-Остроградски (241).
3. Формула на Стокс в R3 (244).
4. Обща формула на Стокс (246).

Глава XIV. Елементи на векторния анализ и теория на полето

§ 1. Диференциални операции на векторния анализ 253
1. Скаларни и векторни полета (253)
2. Векторни полета и форми в R3 (253).
3. Диференциални оператори grad, rot, div и V (256).
4. Някои диференциални формули на векторен анализ (259).
5. Векторни операции в криволинейни координати (261).

§ 2. Интегрални формули на теория на полето 270
1. Класически интегрални формули във векторна нотация (270).
2. Физическа интерпретация 273
3. Някои допълнителни интегрални формули (277)

§ 3. Потенциални полета
1. Потенциал на векторно поле (281).
2. Необходимо условие за потенциалност (282).
3. Критерий за потенциалност на векторно поле (288).
4. Топологична структура на региона и потенциал (286).
5. Векторен потенциал. Точни и затворени форми (288).

§ 4. Примери за приложение
1. Топлинно уравнение (295).
2. Уравнение на непрекъснатостта (297).
3. Основни уравнения на динамиката на непрекъсната среда (298).
4. Вълново уравнение (300).

Глава XV. Интегриране на диференциални форми върху многообразия 305

§ 1. Някои напомняния от линейната алгебра
1. Алгебра fdrm (305).
2. Алгебра на косо симетричните форми (306).
3. Линейни преобразувания на линейни пространства и двойни преобразувания на двойни пространства (309). Задачи и упражнения 310

§ 2. Разнообразие.
1. Дефиниция на колектор (312).
2. Гладки многообразия и гладки преобразувания (317).
3. Ориентация, колектори и техните граници (320).
4. Разделяне на единството и реализация на многообразия като повърхнини в Rn (323).

§ 3. Диференциални форми и тяхното интегриране върху многообразия
1. Допирателно пространство към многообразие в точка (329).
2. Диференциална форма на колектор (333).
3. Външен диференциал (335).
4. Интеграл на форма върху многообразие (336).
5. Формула на Стокс (338).

§ 4. Затворени и точни форми на многообразие
1. Теорема на Поанкаре (344).
2. Хомология и когомология 348

Глава XVI. Равномерна сходимост и основни операции на анализа на серии и семейства от функции 355

§ 1. Поточкова и равномерна конвергенция
1. Точкова конвергенция (355). 2. Изложение на основните въпроси (356)
3. Сходимост и равномерна сходимост на семейство функции в зависимост от параметър (358).
4. Критерий на Коши за равномерна конвергенция (361).

§ 2. Равномерна сходимост на редица от функции
1. Основни определения и критерий за равномерна сходимост на редицата (363).
2. Критерият на Weiergatrass за равномерна сходимост на редицата (366).
3. Знак на Абел-Дирихле (368).

§ 3. Функционални свойства на граничната функция
1. Конкретизиране на проблема (373).
2. Условия за превключване за две преминавания до границата (374).
3. Непрекъснатост и преминаване до границата (376).
4. Интегриране и преминаване до границата (380).
5. Диференциация и преминаване към границата (381).

§ 4. Компактни и плътни подмножества на пространството на непрекъснатите функции
1. Теоремата на Арцела-Асколи (391).
2. Метрично пространство (393)
3. Теорема на Стоун (394).

Глава XVII. Интеграли в зависимост от параметър

§ 1. Собствени интеграли в зависимост от параметър
1. Концепцията за интеграл в зависимост от параметър (400).
2. Непрекъснатост на интеграл в зависимост от параметър (401).
3. Диференциране на интеграл в зависимост от параметър (402).
4. Интегриране на интеграл в зависимост от параметър (405)

§ 2. Неправилни интеграли в зависимост от параметър
1. Равномерна сходимост на несобствения интеграл по отношение на параметъра (407).
2. Пределно преминаване под знака на неправилен интеграл и непрекъснатост на неправилен интеграл в зависимост от параметър (415).
3. Диференциране на несобствения интеграл по параметъра (417).
4. Интегриране на неправилния интеграл по параметъра (420).

§ 3. Интеграли на Ойлер
1. Бета функция (428).
2. Гама функция 429
3. Връзка между функции C и D (432).
4. Няколко примера (433).

§ 4. Конволюция на функции и начална информация за обобщени функции
1. Конволюция във физически проблеми (водещи съображения) (439).
2. Някои общи свойства на конволюцията (442).
3. Делта-подобни семейства от функции и апроксимационната теорема на Вайерщрас (445).
4. Първоначални идеи за разпределения (450).

§ 5. Кратни интеграли в зависимост от параметър
1. Притежаване на множество интеграли в зависимост от параметъра (463).
2. Неправилни многократни интеграли в зависимост от параметър (467).
3. Несобствени интеграли с променлива сингулярност (469).
4. Конволюция, фундаментално решение и обобщени функции в многомерния случай (473).

Глава XVIII Рейд Фурие и преобразуването на Фурие

§ 1. Основни общи идеи, свързани с понятието ред на Фурие
1. Ортогонални системи от функции (488).
2. Коефициенти на Фурие 494
3. Ред на Фурие 499
4. За един важен източник на ортогонални системи от функции в анализа (506).

§ 2. Тригонометрични редове на Фурие
1. Основни типове сходимост на класическия ред на Фурие (515)
2. Изследване на поточковата сходимост на тригонометричния ред на Фурие (520).
3. Гладкост на функция и скорост на намаляване на коефициентите на Фурие (530).
4. Пълнота на тригонометричната система 535

§ 3. Преобразуване на Фурие
1. Представяне на функция чрез интеграла на Фурие (551).
2. Регулярност на функция и скорост на намаляване на нейното преобразуване на Фурие (562)
3. Най-важните хардуерни свойства на преобразуването на Фурие (566)
4. Примери за приложение (572).

Глава XIX. Асимптотични разширения

§ 1. Асимптотична формула и асимптотични редове
1. Основни определения (586).
2. Общи сведения за асимптотичните редове (591).
3. Степен асимптотичен ред 696

§ 2. Асимптотично поведение на интегралите (метод на Лаплас)
1. Идеята за метода на Лаплас (602).
2. Принципът на локализация на дължината на интеграла на Лаплас (605).
3. Канонични интеграли и техните асимптотики 607
4. Основен член на асимптотиката на интеграла на Лаплас (610).
5. Асимптотични разширения на интегралите на Лаплас (613).

Кратко резюме на книгата

Книгата отразява по-тясната връзка между курса на класическия анализ и съвременните математически курсове (алгебра, диференциална геометрия, диференциални уравнения, комплексен и функционален анализ). Втората част на учебника включва следните раздели: Многомерен интеграл. Диференциални форми и тяхното интегриране. Редици и интеграли в зависимост от параметър (включително редове и преобразувания на Фурие, както и асимптотични разширения).

Текстът е снабден с въпроси и задачи, които допълват материала на книгата и съществуващите проблемни книги за анализ. Органична част от текста са примери за приложения на развитата теория, които често служат като съществени проблеми на механиката и физиката.

За студенти, обучаващи се по специалността "Математика" и "Механика". Може да бъде полезно за студенти от факултети и университети с разширена програма по математика, както и за специалисти в областта на математиката и нейните приложения.