Спомнете си определението за плътност на вероятността.
Сега въвеждаме концепцията за равномерно разпределение на вероятностите:
Определение 2
Разпределението се нарича равномерно, ако в интервал, съдържащ всички възможни стойности на случайна променлива, плътността на разпределението е постоянна, т.е.
Снимка 1.
Намерете стойността на константата $\ C$, като използвате следното свойство на плътност на разпределение: $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=1$
\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=\int\limits^a_(-\infty )(0dx)+\int\limits ^b_a(Cdx)+\int\limits^(+\infty )_b(0dx)=0+Cb-Ca+0=C(b-a)\] \ \
Така функцията на равномерното разпределение на плътността има формата:
Фигура 2.
Графиката има следния вид (фиг. 1):
Фигура 3. Плътност на равномерно разпределение на вероятностите
Функция на равномерното разпределение на вероятностите
Нека сега намерим функцията на разпределение за равномерно разпределение.
За да направим това, ще използваме следната формула: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$
- За $x ≤ a$, съгласно формулата, получаваме:
- За $a
- За $x> 2$, съгласно формулата, получаваме:
Така функцията на разпределение има формата:
Фигура 4
Графиката има следния вид (фиг. 2):
Фигура 5. Функция за равномерно разпределение на вероятностите.
Вероятност случайна променлива да попадне в интервала $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ при равномерно разпределение на вероятностите
За да намерим вероятността случайна променлива да попадне в интервала $(\alpha,\beta)$ с равномерно разпределение на вероятностите, ще използваме следната формула:
Очаквана стойност:
Стандартно отклонение:
Примери за решаване на задача за равномерно разпределение на вероятностите
Пример 1
Интервалът между тролейбусите е 9 минути.
Съберете функцията на разпределение и плътността на разпределението на случайната променлива $X$ на чакащите пътници в тролейбуса.
Намерете вероятността пътникът да изчака тролейбуса след по-малко от три минути.
Намерете вероятността пътникът да изчака тролейбуса след поне 4 минути.
Намерете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение
- Тъй като непрекъснатата случайна променлива $X$ на изчакването на тролейбуса е равномерно разпределена, то $a=0,\ b=9$.
По този начин плътността на разпределението, съгласно формулата на функцията на плътност на равномерно разпределение на вероятностите, има формата:
Фигура 6
Съгласно формулата на функцията за равномерно разпределение на вероятностите, в нашия случай функцията на разпределение има формата:
Фигура 7
- Този въпрос може да бъде преформулиран по следния начин: намерете вероятността случайна променлива с равномерно разпределение да попадне в интервала $\left(6,9\right).$
Получаваме:
\ \ \
Така функцията на равномерното разпределение на плътността има формата:
Фигура 2.
Графиката има следния вид (фиг. 1):
Фигура 3. Плътност на равномерно разпределение на вероятностите
Функция на равномерното разпределение на вероятностите
Нека сега намерим функцията на разпределение за равномерно разпределение.
За да направим това, ще използваме следната формула: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$
- За $x ≤ a$, съгласно формулата, получаваме:
- За $a
- За $x> 2$, съгласно формулата, получаваме:
Така функцията на разпределение има формата:
Фигура 4
Графиката има следния вид (фиг. 2):
Фигура 5. Функция за равномерно разпределение на вероятностите.
Вероятност случайна променлива да попадне в интервала $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ при равномерно разпределение на вероятностите
За да намерим вероятността случайна променлива да попадне в интервала $(\alpha,\beta)$ с равномерно разпределение на вероятностите, ще използваме следната формула:
Очаквана стойност:
Стандартно отклонение:
Примери за решаване на задача за равномерно разпределение на вероятностите
Пример 1
Интервалът между тролейбусите е 9 минути.
Съберете функцията на разпределение и плътността на разпределението на случайната променлива $X$ на чакащите пътници в тролейбуса.
Намерете вероятността пътникът да изчака тролейбуса след по-малко от три минути.
Намерете вероятността пътникът да изчака тролейбуса след поне 4 минути.
Намерете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение
- Тъй като непрекъснатата случайна променлива $X$ на изчакването на тролейбуса е равномерно разпределена, то $a=0,\ b=9$.
По този начин плътността на разпределението, съгласно формулата на функцията на плътност на равномерно разпределение на вероятностите, има формата:
Фигура 6
Съгласно формулата на функцията за равномерно разпределение на вероятностите, в нашия случай функцията на разпределение има формата:
Фигура 7
- Този въпрос може да бъде преформулиран по следния начин: намерете вероятността случайна променлива с равномерно разпределение да попадне в интервала $\left(6,9\right).$
Получаваме:
\}
