Понятието уравнения с две променливи се формира за първи път в курса по математика за 7. клас. Разгледани са конкретни задачи, чието решаване води до този тип уравнения.
В същото време те се изучават доста повърхностно. Програмата се фокусира върху системи от уравнения с две неизвестни.
Това стана причина практически да не се разглеждат задачи, при които се налагат определени ограничения върху коефициентите на уравнението. Не се обръща достатъчно внимание на методи за решаване на задачи като „Решете уравнение в естествени или цели числа“. Известно е, че ИЗПОЛЗВАЙТЕ материалии билетите за приемни изпити често съдържат такива упражнения.
Какъв вид уравнения се дефинират като уравнения с две променливи?
xy \u003d 8, 7x + 3y \u003d 13 или x 2 + y \u003d 7 са примери за уравнения с две променливи.
Разгледайте уравнението x - 4y \u003d 16. Ако x \u003d 4 и y \u003d -3, това ще бъде правилно равенство. Следователно тази двойка стойности е решението на това уравнение.
Решението на всяко уравнение с две променливи е наборът от двойки числа (x; y), които удовлетворяват това уравнение (превърнете го в истинско равенство).
Често уравнението се трансформира, така че да може да се използва за получаване на система за намиране на неизвестни.
Примери
Решете уравнението: xy - 4 \u003d 4x - y.
В този пример можете да използвате метода на факторизиране. За да направите това, трябва да групирате термините и да извадите общия множител от скоби:
xy - 4 \u003d 4x - y;
xy - 4 - 4x + y \u003d 0;
(xy + y) - (4x + 4) = 0;
y(x + 1) - 4(x + 1) = 0;
(x + 1)(y - 4) = 0.
Отговор: Всички двойки (x; 4), където x е всяко рационално число и (-1; y), където y е всяко рационално число.
Решете уравнението: 4x 2 + y 2 + 2 = 2(2x - y).
Първата стъпка е групирането.
4x 2 + y 2 + 2 = 4x - 2y;
4x 2 + y 2 + 1 - 4x + 2y + 1 = 0;
(4x 2 - 4x + 1) + (y 2 + 2y + 1) = 0.
Прилагайки формулата за квадрат на разликата, получаваме:
(2x - 1) 2 + (y + 1) 2 = 0.
При сумиране на два неотрицателни израза ще се получи нула само ако 2x - 1 \u003d 0 и y + 1 \u003d 0. Следва: x \u003d ½ и y \u003d -1.
Отговор: (1/2; -1).
Решете уравнението (x 2 - 6x + 10) (y 2 + 10y + 29) = 4.
Рационално е методът на оценяване да се прилага чрез подчертаване на пълните квадратчета в скоби.
((x - 3) 2 + 1) ((y + 5) 2 + 4) = 4.
Освен това (x - 3) 2 + 1 ≥ 1 и (y + 5) 2 + 4 ≥ 4. Тогава лявата страна на уравнението винаги е поне 4. Равенството е възможно в случая
(x - 3) 2 + 1 = 1 и (y + 5) 2 + 4 = 4. Следователно x = 3, y = -5.
Отговор: (3; -5).
Решете уравнението в цели числа: x 2 + 10y 2 \u003d 15x + 3.
Можете да напишете това уравнение в следната форма:
x 2 \u003d -10y 2 + 15x + 3. Ако правилната странае равно на делено на 5, тогава 3 е остатъкът. От това следва, че x 2 не се дели на 5. Известно е, че квадратът на число, което не се дели на 5, трябва да даде остатък или 1, или 4. Това означава, че уравнението няма корени.
Отговор: Няма решения.
Не се обезсърчавайте от трудността при намирането на правилното решение за уравнение с две променливи. Упоритостта и практиката със сигурност ще дадат плод.
В тази статия ще научим как да решаваме биквадратни уравнения.
И така, какъв вид уравнения се наричат биквадратни?
всичко уравнения на формата ах 4+
bx
2
+
° С
= 0
, където a ≠ 0, които са квадратни спрямо x 2 , и се наричат биквадратичниуравнения. Както можете да видите, този запис е много подобен на квадратното уравнение, така че ще решаваме биквадратни уравнения, като използваме формулите, които използвахме при решаването на квадратното уравнение.
Само ще трябва да въведем нова променлива, тоест обозначаваме х 2 друга променлива, например при или T (или всяка друга буква от латинската азбука).
Например, реши уравнението x 4 + 4x 2 - 5 = 0.
Обозначете х 2
през при
(x 2 = y
) и получете уравнението y 2 + 4y - 5 = 0.
Както виждате, вече знаете как да решавате такива уравнения.
Решаваме полученото уравнение:
D = 4 2 - 4 (- 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6.
y 1 = (‒ 4 - 6)/2= - 10 /2 = - 5,
y 2 \u003d (- 4 + 6) / 2 \u003d 2 / 2 \u003d 1.
Нека се върнем към нашата променлива x.
Получихме това x 2 = - 5 и x 2 = 1.
Отбелязваме, че първото уравнение няма решения, а второто дава две решения: x 1 = 1 и x 2 = –1. Внимавайте да не загубите отрицателния корен (най-често получават отговора x = 1, което не е правилно).
Отговор:- 1 и 1.
За да разберем по-добре темата, нека разгледаме няколко примера.
Пример 1Решете уравнението 2x4 - 5x2 + 3 = 0.
Нека x 2 \u003d y, тогава 2y 2 - 5y + 3 \u003d 0.
D = (‒ 5) 2 - 4 2 3 = 25 - 24 = 1, √D = √1 = 1.
y 1 = (5 - 1) / (2 2) = 4 / 4 = 1, y 2 = (5 + 1) / (2 2) = 6 / 4 = 1,5.
Тогава x 2 \u003d 1 и x 2 \u003d 1,5.
Получаваме x 1 = -1, x 2 = 1, x 3 = - √1.5, x 4 = √1.5.
Отговор: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.
Пример 2Решете уравнението 2 x 4 + 5 x 2 + 2 = 0.
2y 2 + 5y + 2 = 0.
D = 5 2 - 4 2 2 = 25 - 16 = 9, √D = √9 = 3.
y 1 = (– 5 – 3)/(2 2) = – 8/4 = –2, y 2 = (–5 + 3)/(2 2) = – 2/4 = – 0,5.
Тогава x 2 = - 2 и x 2 = - 0,5. Обърнете внимание, че нито едно от тези уравнения няма решение.
Отговор:няма решения.
Непълни биквадратни уравнения- това е кога b = 0 (ax 4 + c = 0) или друго ° С = 0
(ax 4 + bx 2 = 0) се решават като непълни квадратни уравнения.
Пример 3реши уравнението x 4 - 25x 2 = 0
Разлагаме на множители, изваждаме x 2 извън скобите и след това x 2 (x 2 - 25) = 0.
Получаваме x 2 \u003d 0 или x 2 - 25 \u003d 0, x 2 \u003d 25.
Тогава имаме корени 0; 5 и - 5.
Отговор: 0; 5; – 5.
Пример 4реши уравнението 5x 4 - 45 = 0.
x 2 = - √9 (няма решения)
x 2 \u003d √9, x 1 = - 3, x 2 \u003d 3.
Както можете да видите, знаейки как да решавате квадратни уравнения, можете да се справите с биквадратни.
Ако все още имате въпроси, запишете се за моите уроци. Преподавател Валентина Галиневская.
сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.
Ние Ви предлагаме удобно безплатно онлайн калкулаторза решаване на квадратни уравнения.Можете бързо да разберете как се решават, като използвате разбираеми примери.
Да произвежда решаване на квадратно уравнение онлайн, първо приведете уравнението в общ вид:
ax2 + bx + c = 0
Попълнете съответно полетата на формуляра:
Как да решим квадратно уравнение
| Как да решим квадратно уравнение: | Типове корени: |
|
1.
Приведете квадратното уравнение в общ вид: Общ изглед на Ax 2 +Bx+C=0 Пример: 3x - 2x 2 +1=-1 Намалете до -2x 2 +3x+2=0 2.
Намираме дискриминанта D. 3.
Намираме корените на уравнението. |
1.
Истински корени. И. x1 не е равно на x2 Ситуацията възниква, когато D>0 и A не е равно на 0. 2.
Истинските корени са същите. x1 е равно на x2 3.
Два сложни корена. x1=d+ei, x2=d-ei, където i=-(1) 1/2 5.
Уравнението има безкраен брой решения. 6.
Уравнението няма решения. |
За да консолидираме алгоритъма, ето още няколко илюстративни примери за решения на квадратни уравнения.
Пример 1. Решение на обикновено квадратно уравнение с различни реални корени.
x 2 + 3x -10 = 0
В това уравнение
A=1, B=3, C=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
Корен квадратенще се обозначава като числото 1/2!
x1 \u003d (-B + D 1/2) / 2A \u003d (-3 + 7) / 2 \u003d 2
x2 \u003d (-B-D 1/2) / 2A \u003d (-3-7) / 2 \u003d -5
За да проверим, нека заместим:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x - 10 = x2 + 3x -10
Пример 2. Решаване на квадратно уравнение с еднакви реални корени.
x 2 - 8x + 16 = 0
A=1, B=-8, C=16
D \u003d k 2 - AC \u003d 16 - 16 \u003d 0
X=-k/A=4
Заместител
(x-4) * (x-4) \u003d (x-4) 2 \u003d X 2 - 8x + 16
Пример 3. Решение на квадратно уравнение с комплексни корени.
13x 2 - 4x + 1 = 0
A=1, B=-4, C=9
D \u003d b 2 - 4AC \u003d 16 - 4 * 13 * 1 \u003d 16 - 52 \u003d -36
Дискриминантът е отрицателен - корените са комплексни.
X1 \u003d (-B + D 1/2) / 2A \u003d (4 + 6i) / (2 * 13) \u003d 2/13 + 3i / 13
x2 \u003d (-B-D 1/2) / 2A \u003d (4-6i) / (2 * 13) \u003d 2 / 13-3i / 13
, където I е корен квадратен от -1
Ето всъщност всички възможни случаи на решаване на квадратни уравнения.
Надяваме се, че нашите онлайн калкулаторще ви бъде много полезно.
Ако материалът е бил полезен, можете
