Работата на въртене на твърдо тяло. Кинетична енергия на въртящо се тяло Да се ​​изчисли работата на тялото при въртеливо движение

При въртене на твърдо тяло с ос на въртене z, под въздействието на момент на сила Mzработата се извършва около оста z

Общата работа, извършена при завъртане на ъгъл j, е

При постоянен момент на силите последният израз приема формата:

Енергия

Енергия -мярка за способността на тялото да извършва работа. Движещите се тела имат кинетичененергия. Тъй като има два основни вида движение - постъпателно и въртеливо, то кинетичната енергия се представя с две формули - за всеки вид движение. потенциаленергията е енергията на взаимодействието. Намаляването на потенциалната енергия на системата се дължи на работата на потенциалните сили. На диаграмата са дадени изрази за потенциалната енергия на гравитацията, гравитацията и еластичността, както и за кинетичната енергия на транслационните и въртеливите движения. Завършеномеханичната енергия е сбор от кинетична и потенциална.

импулс и ъглов момент

Импулсчастици стрПродуктът от масата на частицата и нейната скорост се нарича:

ъглов моментЛспрямо точка Осе нарича векторно произведение на радиус вектора r, което определя позицията на частицата и нейния импулс стр:

Модулът на този вектор е:

Нека твърдото тяло има фиксирана ос на въртене z, по която е насочен псевдовекторът на ъгловата скорост w.

Таблица 6

Кинетична енергия, работа, импулс и ъглов момент за различни модели на обекти и движения

Идеален	Физични величини
модел	Кинетична енергия	Пулс	ъглов момент	работа
Материална точка или твърдо тяло, движещо се напред. м- маса, v - скорост.			,	. При
Твърдо тяло се върти с ъглова скорост w. Дж- инерционният момент, v c - скоростта на центъра на масата.				. При
Твърдото тяло извършва сложно равнинно движение. J ñ - инерционният момент около оста, минаваща през центъра на масата, v c - скоростта на центъра на масата. w е ъгловата скорост.

Ъгловият импулс на въртящо се твърдо тяло съвпада по посока с ъгловата скорост и се определя като

Дефинициите на тези величини (математически изрази) за материална точка и съответните формули за твърдо тяло с различни форми на движение са дадени в таблица 4.

Правни формулировки

Теорема за кинетична енергия

частицие равна на алгебричната сума от работата на всички сили, действащи върху частицата.

Увеличаване на кинетичната енергия системи на тялотое равна на работата, извършена от всички сили, действащи върху всички тела на системата:

. (1)

Работа и мощност при въртене на твърдо тяло.

Нека намерим израз за работа по време на въртене на тялото. Нека силата е приложена в точка, разположена на разстояние от оста - ъгълът между посоката на силата и радиус вектора. Тъй като тялото е абсолютно твърдо, работата на тази сила е равна на работата, изразходвана за завъртане на цялото тяло. Когато тялото се завърти на безкрайно малък ъгъл, точката на приложение преминава пътя и работата е равна на произведението на проекцията на силата върху посоката на преместване по величината на преместването:

Модулът на момента на силата е равен на:

тогава получаваме следната формула за изчисляване на работата:

По този начин работата по време на въртене на твърдо тяло е равна на произведението на момента на действащата сила и ъгъла на въртене.

Кинетична енергия на въртящо се тяло.

Инерционен момент мат.т. Наречен физически стойността е числено равна на произведението от масата на мат.т. чрез квадрата на разстоянието на тази точка до оста на въртене W ki \u003d m i V 2 i / 2 V i -Wr i Wi \u003d miw 2 r 2 i / 2 \u003d w 2 / 2 * m i r i 2 I i \u003d m i r 2 i инерционният момент на твърдо тяло е равен на сумата от всички mat.t I=S i m i r 2 i се нарича инерционният момент на твърдо тяло. физическа стойност равна на сумата от произведенията на мат.т. чрез квадратите на разстоянията от тези точки до оста. W i -I i W 2 /2 W k \u003d IW 2 /2

W k \u003d S i W ki момент на инерция по време на въртеливо движение yavl. аналог на масата в транслационно движение. I=mR2/2

21. Неинерциални отправни системи. Сили на инерцията. Принципът на еквивалентността. Уравнение на движение в неинерциални отправни системи.

Неинерциална референтна система- произволна отправна система, която не е инерциална. Примери за неинерциални отправни системи: рамка, движеща се праволинейно с постоянно ускорение, както и въртяща се рамка.

При разглеждането на уравненията на движението на тялото в неинерционна референтна система е необходимо да се вземат предвид допълнителните инерционни сили. Законите на Нютон са валидни само в инерциални отправни системи. За да се намери уравнението на движението в неинерциална отправна система, е необходимо да се знаят законите за трансформация на силите и ускоренията при прехода от инерционна рамка към всяка неинерционна.

Класическата механика постулира следните два принципа:

времето е абсолютно, т.е. интервалите от време между всеки две събития са еднакви във всички произволно движещи се отправни системи;

пространството е абсолютно, т.е. разстоянието между всеки две материални точки е еднакво във всички произволно движещи се отправни системи.

Тези два принципа позволяват да се напише уравнението на движението на материална точка по отношение на всяка неинерциална отправна система, в която първият закон на Нютон не е валиден.

Основното уравнение на динамиката на относителното движение на материална точка има формата:

където е масата на тялото, е ускорението на тялото спрямо неинерциалната отправна система, е сумата от всички външни сили, действащи върху тялото, е преносимото ускорение на тялото, е Кориолисовото ускорение на тяло.

Това уравнение може да бъде написано в познатата форма на втория закон на Нютон чрез въвеждане на фиктивни инерционни сили:

Преносима инерционна сила

Кориолисова сила

инерционна сила- фиктивна сила, която може да се въведе в неинерциална отправна система, така че законите на механиката в нея да съвпадат със законите на инерциалните системи.

При математическите изчисления въвеждането на тази сила става чрез трансформиране на уравнението

F 1 +F 2 +…F n = ma към формата

F 1 + F 2 + ... F n –ma = 0 Където F i е действителната сила, а –ma е „силата на инерцията“.

Сред силите на инерцията са следните:

простосила на инерцията;

центробежна сила, която обяснява склонността на телата да отлитат от центъра във въртящи се отправни системи;

силата на Кориолис, която обяснява склонността на телата да се отклоняват от радиуса по време на радиално движение във въртящи се отправни системи;

От гледна точка обща теорияотносителност, гравитационни сили във всяка точкаса силите на инерцията в дадена точка в извитото пространство на Айнщайн

Центробежна сила- силата на инерцията, която е въведена във въртяща се (неинерционна) отправна система (за да се приложат законите на Нютон, изчислени само за инерционни FR) и която е насочена от оста на въртене (оттук и името).

Принципът на еквивалентност на силите на гравитацията и инерцията- евристичен принцип, използван от Алберт Айнщайн при извеждането на общата теория на относителността. Един от вариантите за неговото изложение: „Силите на гравитационното взаимодействие са пропорционални на гравитационната маса на тялото, докато силите на инерцията са пропорционални на инертната маса на тялото. Ако инерционната и гравитационната маса са равни, тогава е невъзможно да се разграничи каква сила действа дадено тяло- гравитационна или инерционна сила.

Формулировката на Айнщайн

Исторически принципът на относителността е формулиран от Айнщайн, както следва:

Всички явления в гравитационното поле се случват по абсолютно същия начин, както в съответното поле на инерционните сили, ако силите на тези полета съвпадат и началните условия за телата на системата са еднакви.

22. Принципът на относителността на Галилей. Галилееви трансформации. Класическа теорема за добавяне на скорост. Инвариантност на законите на Нютон в инерциални отправни системи.

Принципът на относителността на Галилейе принципът на физическото равенство на инерциалните отправни системи в класическа механика, което се проявява във факта, че законите на механиката са еднакви във всички подобни системи.

Математически принципът на относителността на Галилей изразява инвариантността (инвариантността) на уравненията на механиката по отношение на трансформациите на координатите на движещи се точки (и времето) при преминаване от една инерционна система към друга - Галилееви трансформации.
Нека има две инерционни отправни системи, едната от които, S, ще се съгласим да считаме за почиваща; втората система, S", се движи по отношение на S с постоянна скорост u, както е показано на фигурата. Тогава Галилеевите трансформации за координатите на материална точка в системите S и S" ще имат формата:
x" = x - ut, y" = y, z" = z, t" = t (1)
(количествата с първични числа се отнасят за системата S, количествата без начални числа се отнасят за S.) Така времето в класическата механика, както и разстоянието между всякакви фиксирани точки, се считат за еднакви във всички референтни системи.
От трансформациите на Галилей може да се получи връзката между скоростите на дадена точка и нейните ускорения в двете системи:
v" = v - u, (2)
а" = а.
В класическата механика движението на материална точка се определя от втория закон на Нютон:
F = ma, (3)
където m е масата на точката, а F е резултатната от всички сили, приложени към нея.
В този случай силите (и масите) са инварианти в класическата механика, т.е. величини, които не се променят при преминаване от една отправна система към друга.
Следователно, при Галилееви трансформации, уравнение (3) не се променя.
Това е математическият израз на принципа на относителността на Галилей.

ПРЕОБРАЗУВАНИЯТА НА ГАЛИЛЕЙ.

В кинематиката всички отправни системи са равни една на друга и движението може да бъде описано във всяка от тях. При изучаването на движенията понякога е необходимо да се премине от една референтна система (с координатна система OXYZ) към друга - (О`Х`У`Z`). Да разгледаме случая, когато втората отправна система се движи спрямо първата равномерно и праволинейно със скорост V=const.

За да улесним математическото описание, приемаме, че съответните координатни оси са успоредни една на друга, че скоростта е насочена по оста X и че в началния момент (t=0) началото на двете системи съвпада една с друга. Използвайки предположението, което е справедливо в класическата физика, за еднакъв поток от време в двете системи, е възможно да се запишат отношенията, свързващи координатите на някаква точка A(x, y, z) и A (x`, y `, z`) и в двете системи. Такъв преход от една референтна система към друга се нарича Галилеева трансформация):

OXYZ O`X`U`Z`

x = x` + V x t x` = x - V x t

x = v` x + V x v` x = v x - V x

a x = a` x a` x = a x

Ускорението и в двете системи е еднакво (V=const). В динамика ще се изясни дълбокият смисъл на трансформациите на Галилей. Трансформацията на скоростите на Галилей отразява принципа на независимост на преместванията, който се извършва в класическата физика.

Добавяне на скорости в SRT

Класическият закон за събиране на скоростите не може да бъде валиден, т.к това противоречи на твърдението за постоянството на скоростта на светлината във вакуум. Ако влакът се движи със скорост vи светлинна вълна се разпространява в колата по посока на влака, тогава нейната скорост спрямо Земята е все още ° С, но не v+c.

Нека разгледаме две референтни системи.

В системата К 0 тялото се движи със скорост vедин . Колкото до системата Кдвижи се със скорост v 2. Според закона за добавяне на скорости в SRT:

Ако v<<° Си v 1 << ° С, тогава членът може да бъде пренебрегнат и тогава получаваме класическия закон за събиране на скоростите: v 2 = v 1 + v.

При v 1 = ° Сскорост v 2 е равно ° С, както се изисква от втория постулат на теорията на относителността:

При v 1 = ° Си при v = ° Сскорост v 2 отново е равно на скорост ° С.

Забележително свойство на закона за събиране е, че при всяка скорост v 1 и v(не повече ° С), получената скорост v 2 не надвишава ° С. Скоростта на движение на реалните тела е по-голяма от скоростта на светлината, невъзможно е.

Добавяне на скорости

Когато се разглежда сложно движение (т.е. когато точка или тяло се движи в една отправна система и се движи спрямо друга), възниква въпросът за връзката на скоростите в 2 отправни системи.

класическа механика

В класическата механика абсолютната скорост на точка е равна на векторната сума от нейните относителна и транслационна скорост:

На разбираем език: Скоростта на тялото спрямо фиксирана отправна система е равна на векторната сума на скоростта на това тяло спрямо движеща се отправна система и скоростта на най-подвижната отправна система спрямо фиксирана рамка.

Ако м.т. се върти в кръг, след това върху него действа сила, след което при завъртане под определен ъгъл се извършва елементарна работа:

(22)

Ако действащата сила е потенциална, тогава

тогава (24)

Мощност на въртене

Моментна мощност, развита по време на въртене на тялото:

Кинетична енергия на въртящо се тяло

Кинетична енергия на материална точка. Кинетичната енергия се състои от материални точки . защото , получаваме израза за кинетичната енергия на въртене:

При плоско движение (цилиндърът се търкаля надолу по наклонена равнина) общата скорост е:

където е скоростта на центъра на масата на цилиндъра.

Общата сума е равна на сумата от кинетичната енергия на постъпателното движение на неговия център на масата и кинетичната енергия на въртеливото движение на тялото спрямо центъра на масата, т.е.

(28)

Заключение:

И сега, след като разгледахме целия лекционен материал, нека обобщим, сравним количествата и уравненията на въртеливото и транслационното движение на тялото:

Приложение 1:

Човек стои в центъра на пейката на Жуковски и се върти заедно с нея по инерция. Честота на въртене н 1 \u003d 0,5 s -1 . Момент на инерция j oчовешкото тяло спрямо

спрямо оста на въртене е 1,6 kg m 2. В ръце, протегнати отстрани, човек държи гиря с маса м= по 2 кг. Разстояние между тежестите л 1 \u003d l.6 м. Определете скоростта н 2 , пейки с човек, когато спусне ръцете си и разстоянието л 2 между тежестите ще бъде равно на 0,4 м. Пренебрегвайте инерционния момент на пейката.

Свойства на симетрия и закони за запазване.

Пестене на енергия.

Законите за запазване, разглеждани в механиката, се основават на свойствата на пространството и времето.

Запазването на енергията е свързано с хомогенността на времето, запазването на импулса е свързано с хомогенността на пространството и, накрая, запазването на ъгловия момент е свързано с изотропията на пространството.

Започваме със закона за запазване на енергията. Нека системата от частици е в постоянни условия (това се случва, ако системата е затворена или подложена на постоянно външно силово поле); връзките (ако има такива) са идеални и неподвижни. В такъв случай времето, поради своята хомогенност, не може да влезе изрично във функцията на Лагранж. Наистина ли хомогенност означава еквивалентност на всички моменти от време. Следователно замяната на един момент от време с друг без промяна на стойностите на координатите и скоростите на частиците не трябва да променя механичните свойства на системата. Това разбира се е вярно, ако замяната на един момент от времето с друг не променя условията, в които се намира системата, т.е. ако външното поле не зависи от времето (по-специално това поле може да отсъства).

Така че за затворена система, разположена в затворено силово поле, .

Помислете за абсолютно твърдо тяло, въртящо се около фиксирана ос. Ако психически разбиете това тяло нмасови точки m 1 , m 2 , …, m nразположени на разстояния r 1 , r 2 , …, r nот оста на въртене, тогава по време на въртене те ще описват кръгове и ще се движат с различни линейни скорости v 1 , v 2 , …, v n. Тъй като тялото е абсолютно твърдо, ъгловата скорост на въртене на точките ще бъде същата:

Кинетичната енергия на въртящо се тяло е сумата от кинетичните енергии на неговите точки, т.е.

Като вземем предвид връзката между ъгловите и линейните скорости, получаваме:

Сравнение на формула (4.9) с израза за кинетичната енергия на тяло, движещо се напред със скорост v, показва че инерционният момент е мярка за инерцията на тялото при въртеливо движение.
Ако твърдо тяло се движи напред със скорост vи едновременно с това се върти с ъглова скорост ω около ос, минаваща през неговия инерционен център, тогава неговата кинетична енергия се определя като сумата от два компонента:

(4.10)

където vcе скоростта на центъра на масата на тялото; Jc- инерционният момент на тялото спрямо оста, минаваща през неговия център на масата.
Момент на сила спрямо неподвижната ос zнаречен скалар Mz, равна на проекцията върху тази ос на вектора Ммомент на сила, определен спрямо произволна точка 0 на дадената ос. Стойност на въртящия момент Mzне зависи от избора на позицията на точка 0 върху оста z.
Ако оста zсъвпада с посоката на вектора М, тогава моментът на силата се представя като вектор, съвпадащ с оста:

Mz = [ RF]z
Нека намерим израз за работа по време на въртене на тялото. Нека силата Еприложен към точка В, разположена на разстояние от оста на въртене r(фиг. 4.6); α е ъгълът между посоката на силата и радиус вектора r. Тъй като тялото е абсолютно твърдо, работата на тази сила е равна на работата, изразходвана за завъртане на цялото тяло.

Когато тялото се завърти на безкрайно малък ъгъл dφточка на закрепване B преминава пътя ds = rdφ, а работата е равна на произведението на проекцията на силата върху посоката на преместване по големината на преместването:

dA = Fsinα*rdφ
Като се има предвид това Frsinα = Mzможе да се напише dA = M z dφ, където Mz- моментът на силата около оста на въртене. По този начин работата по време на въртене на тялото е равна на произведението на момента на действащата сила и ъгъла на въртене.
Работата по време на въртене на тялото отива за увеличаване на неговата кинетична енергия:

dA = dE k
(4.11)

Уравнение (4.11) е уравнение на динамиката на въртеливото движение на твърдо тяло спрямо неподвижна ос.

Ако едно тяло се върти от сила, тогава неговата енергия се увеличава с количеството изразходвана работа. Както при постъпателното движение, тази работа зависи от силата и произведеното изместване. Сега обаче преместването е ъглово и изразът за работа при преместване на материална точка не е приложим. защото тялото е абсолютно твърдо, тогава работата на силата, въпреки че е приложена в точка, е равна на работата, изразходвана за завъртане на цялото тяло.

При завъртане под ъгъл точката на приложение на силата изминава път. В този случай работата е равна на произведението на проекцията на силата върху посоката на преместване по големината на преместването: ; От фиг. може да се види, че това е рамото на силата и е моментът на силата.

След това елементарна работа: . Ако, тогава.

Работата на въртене отива за увеличаване на кинетичната енергия на тялото

; Замествайки , получаваме: или като вземем предвид уравнението на динамиката: , ясно е, че , т.е. същият израз.

6. Неинерциални отправни системи

Край на работата -

Тази тема принадлежи на:

Кинематика на постъпателното движение

Физически основи на механиката.. Кинематика на постъпателното движение.. Механичното движение като форма на съществуване..

Ако имате нужда от допълнителен материал по тази тема или не сте намерили това, което търсите, препоръчваме да използвате търсенето в нашата база данни с произведения:

Какво ще правим с получения материал:

Ако този материал се оказа полезен за вас, можете да го запазите на страницата си в социалните мрежи:

Всички теми в този раздел:

механично движение
Материята, както е известно, съществува в две форми: под формата на вещество и поле. Първият тип включва атоми и молекули, от които са изградени всички тела. Вторият тип включва всички видове полета: гравитационно

Пространство и време
Всички тела съществуват и се движат в пространството и времето. Тези концепции са основни за всички природни науки. Всяко тяло има размери, т.е. неговият пространствен обхват

Справочна система
За недвусмислено определяне на положението на тялото в произволен момент от времето е необходимо да се избере референтна система - координатна система, оборудвана с часовник и твърдо свързана с абсолютно твърдо тяло, съгласно

Кинематични уравнения на движението
Когато t.M се движи, неговите координати и се променят с времето, следователно, за да зададете закона за движение, е необходимо да посочите вида на

Движение, елементарно движение
Нека точка M се движи от A към B по извит път AB. В началния момент неговият радиус вектор е равен на

Ускорение. Нормални и тангенциални ускорения
Движението на точка също се характеризира с ускорение - скоростта на изменение на скоростта. Ако скоростта на точка в произволно време

транслационно движение
Най-простата форма на механично движение на твърдо тяло е транслационното движение, при което правата линия, свързваща произволни две точки от тялото, се движи с тялото, оставайки успоредна | неговото

Закон за инерцията
Класическата механика се основава на трите закона на Нютон, формулирани от него в труда "Математически принципи на естествената философия", публикуван през 1687 г. Тези закони бяха резултат от гений

Инерционна референтна система
Известно е, че механичното движение е относително и характерът му зависи от избора на отправна система. Първият закон на Нютон не е валиден във всички референтни системи. Например тела, лежащи върху гладка повърхност

Тегло. Втори закон на Нютон
Основната задача на динамиката е да определи характеристиките на движението на телата под действието на приложените към тях сили. От опит се знае, че под въздействието на сила

Основният закон на динамиката на материалната точка
Уравнението описва промяната в движението на тяло с крайни размери под действието на сила при липса на деформация и ако тя

Третият закон на Нютон
Наблюденията и експериментите показват, че механичното въздействие на едно тяло върху друго е винаги взаимодействие. Ако тяло 2 действа върху тяло 1, тогава тяло 1 задължително им противодейства

Галилееви трансформации
Те позволяват да се определят кинематичните величини при прехода от една инерционна референтна система към друга. Да вземем

Принципът на относителността на Галилей
Ускорението на всяка точка във всички отправни системи, движещи се една спрямо друга по права линия и равномерно, е еднакво:

Запазени количества
Всяко тяло или система от тела е колекция от материални точки или частици. Състоянието на такава система в даден момент от времето в механиката се определя чрез задаване на координатите и скоростите в

Център на масата
Във всяка система от частици можете да намерите точка, наречена център на масата

Уравнение на движението на центъра на масата
Основният закон на динамиката може да бъде написан в различна форма, като се знае концепцията за центъра на масата на системата:

Консервативни сили
Ако сила действа върху частица, поставена там във всяка точка на пространството, се казва, че частицата е в поле от сили, например в полето на гравитацията, гравитацията, Кулон и други сили. Поле

Централни сили
Всяко силово поле е причинено от действието на определено тяло или система от тела. Силата, действаща върху частица в това поле, е около

Потенциална енергия на частица в силово поле
Фактът, че работата на една консервативна сила (за стационарно поле) зависи само от началната и крайната позиция на частицата в полето ни позволява да въведем важното физическо понятие за потенциално

Връзка между потенциална енергия и сила за консервативно поле
Взаимодействието на частица с околните тела може да се опише по два начина: с помощта на концепцията за сила или с помощта на концепцията за потенциална енергия. Първият метод е по-общ, т.к важи за силите

Кинетична енергия на частица в силово поле
Нека частица с маса се движи със сили

Обща механична енергия на частица
Известно е, че нарастването на кинетичната енергия на частица при движение в силово поле е равно на елементарната работа на всички сили, действащи върху частицата:

Закон за запазване на механичната енергия на частица
От израза следва, че в стационарно поле на консервативни сили общата механична енергия на частица може да се промени

Кинематика
Завъртете тялото под някакъв ъгъл

Ъгловият импулс на частицата. Момент на сила
В допълнение към енергията и импулса има още една физическа величина, с която е свързан законът за запазване - това е ъгловият импулс. Ъглов импулс на частицата

Момент на импулс и момент на сила около оста
Нека вземем в референтната система, която ни интересува, произволна фиксирана ос

Законът за запазване на импулса на системата
Нека разгледаме система, състояща се от две взаимодействащи частици, върху които също действат външни сили и

По този начин ъгловият импулс на затворена система от частици остава постоянен, не се променя с времето
Това е вярно за всяка точка в инерциалната отправна система: . Ъглови моменти на отделни части на системата m

Инерционен момент на твърдо тяло
Помислете за твърдо тяло, което може

Динамично уравнение на въртенето на твърдо тяло
Уравнението на динамиката на въртене на твърдо тяло може да се получи чрез написване на уравнението на моментите за твърдо тяло, въртящо се около произволна ос

Кинетична енергия на въртящо се тяло
Помислете за абсолютно твърдо тяло, въртящо се около фиксирана ос, минаваща през него. Нека го разделим на частици с малки обеми и маси

Центробежна сила на инерция
Помислете за диск, който се върти с топка върху пружина, поставена на спица, фиг.5.3. Топката е

Кориолисова сила
Когато тялото се движи спрямо въртящ се CO, освен това се появява друга сила - силата на Кориолис или силата на Кориолис

Малки колебания
Помислете за механична система, чиято позиция може да бъде определена с помощта на едно количество, да речем x. В този случай се казва, че системата има една степен на свобода Стойността на x може да бъде

Хармонични вибрации
Уравнението на 2-рия закон на Нютон при липса на сили на триене за квазиеластична сила от формата има формата:

Математическо махало
Това е материална точка, окачена на неразтеглива нишка с дължина, която осцилира във вертикална равнина.

физическо махало
Това е твърдо тяло, което осцилира около фиксирана ос, свързана с тялото. Оста е перпендикулярна на чертежа и

гасени вибрации
В реална осцилаторна система има сили на съпротивление, чието действие води до намаляване на потенциалната енергия на системата и трептенията ще бъдат затихвани.В най-простия случай

Автоколебания
При затихналите трептения енергията на системата постепенно намалява и трептенията спират. За да ги направите незаглушени, е необходимо в определен момент да попълните енергията на системата отвън

Принудителни вибрации
Ако трептящата система, освен съпротивителните сили, е подложена на действието на външна периодична сила, която се променя по хармоничния закон

Резонанс
Кривата на зависимостта на амплитудата на принудените трептения от води до факта, че за някои специфични за дадена система

Разпространение на вълната в еластична среда
Ако източникът на трептения се постави на произволно място на еластична среда (твърда, течна, газообразна), тогава поради взаимодействието между частиците, трептенията ще се разпространяват в средата от частица до час

Уравнение на равнинни и сферични вълни
Вълновото уравнение изразява зависимостта на изместването на осцилираща частица от нейните координати,

вълново уравнение
Вълновото уравнение е решение на диференциално уравнение, наречено вълново уравнение. За да го установим, намираме вторите частни производни по време и координати от уравнението