Средни стойности. Законът на средните стойности или каква е тайната на успешните търговци. Какъв е законът на средните стойности

Закон за големите числав теорията на вероятностите заявява, че емпиричната средна (средноаритметична) на достатъчно голяма крайна извадка от фиксирано разпределение е близка до теоретичната средна (очакване) на това разпределение. В зависимост от вида на конвергенцията се разграничават слабият закон на големите числа, когато има сходимост във вероятността, и силният закон на големите числа, когато има сходимост почти навсякъде.

Винаги има краен брой опити, за които, с дадена вероятност, по-малко от 1 относителната честота на възникване на дадено събитие ще се различава произволно малко от неговата вероятност.

Общото значение на закона за големите числа: съвместното действие на голям брой еднакви и независими случайни фактори води до резултат, който в крайна сметка не зависи от случайността.

На това свойство се основават методи за оценка на вероятността, базирани на анализ на ограничена извадка. Добър пример е прогнозирането на изборните резултати въз основа на проучване на извадка от избиратели.

Енциклопедичен YouTube

1 / 5

✪ Закон за големите числа

✪ 07 - Теория на вероятностите. Закон за големите числа

✪ 42 Закон за големите числа

✪ 1 - Законът на Чебишев за големите числа

✪ 11 клас, урок 25, крива на Гаус. Закон за големите числа

субтитри

Нека да разгледаме закона за големите числа, който е може би най-интуитивният закон в математиката и теорията на вероятностите. И тъй като се прилага за толкова много неща, понякога се използва и не се разбира. Нека първо да му дам определение за точност, а след това ще говорим за интуицията. Да вземем случайна променлива, да кажем X. Да кажем, че знаем нейното математическо очакване или средната стойност на съвкупността. Законът за големите числа просто казва, че ако вземем за пример n-тия брой наблюдения на случайна променлива и осредним броя на всички тези наблюдения... Нека вземем една променлива. Нека го наречем X с долен индекс n и тире отгоре. Това е средноаритметичната стойност на n-тия брой наблюдения на нашата случайна променлива. Ето първото ми наблюдение. Правя експеримента веднъж и правя това наблюдение, след това го правя отново и правя това наблюдение, правя го отново и получавам това. Провеждам този експеримент n пъти и след това разделям на броя на моите наблюдения. Ето моята примерна средна стойност. Ето средната стойност на всички наблюдения, които направих. Законът за големите числа ни казва, че моята примерна средна стойност ще се приближи до средната стойност на случайната променлива. Или мога също така да напиша, че моята извадкова средна стойност ще се доближи до средната за съвкупността за n-то число, отиващо до безкрайност. Няма да правя ясна разлика между „приближаване“ и „конвергенция“, но се надявам, че интуитивно разбирате, че ако взема доста голяма извадка тук, тогава получавам очакваната стойност за съвкупността като цяло. Мисля, че повечето от вас интуитивно разбират, че ако направя достатъчно тестове с голяма извадка от примери, в крайна сметка тестовете ще ми дадат стойностите, които очаквам, като вземат предвид математическото очакване, вероятността и всичко това. Но мисля, че често не е ясно защо това се случва. И преди да започна да обяснявам защо това е така, нека ви дам конкретен пример. Законът за големите числа ни казва, че... Да кажем, че имаме случайна променлива X. Тя е равна на броя глави при 100 хвърляния на правилната монета. Първо, ние знаем математическото очакване на тази случайна променлива. Това е броят на хвърлянията на монети или опитите, умножен по шансовете за успех на всеки опит. Така че е равно на 50. Тоест, законът на големите числа казва, че ако вземем проба или ако осредня тези опити, получавам. .. Първият път, когато правя тест, хвърлям монета 100 пъти или вземам кутия със сто монети, разклащам я и след това преброявам колко глави получавам и получавам, да речем, числото 55. Това ще бъде X1. След това отново разклащам кутията и получавам числото 65. След това отново - и получавам 45. И правя това n пъти и след това го разделям на броя опити. Законът за големите числа ни казва, че тази средна стойност (средната от всички мои наблюдения) ще клони към 50, докато n ще клони към безкрайност. Сега бих искал да поговоря малко за това защо се случва това. Мнозина смятат, че ако след 100 опита резултатът ми е над средния, тогава според законите на вероятността трябва да имам повече или по-малко глави, за да компенсирам, така да се каже, разликата. Това не е точно това, което ще се случи. Това често се нарича "заблуда на комарджията". Нека ви покажа разликата. Ще използвам следния пример. Нека начертая графика. Да сменим цвета. Това е n, моята ос x е n. Това е броят тестове, които ще направя. И моята у-ос ще бъде средната стойност на извадката. Знаем, че средната стойност на тази произволна променлива е 50. Нека нарисувам това. Това е 50. Нека се върнем към нашия пример. Ако n е... По време на първия ми тест получих 55, което е средната ми стойност. Имам само една точка за въвеждане на данни. След това, след два опита, получавам 65. Така че средната ми стойност ще бъде 65+55 делено на 2. Това е 60. И средната ми стойност се покачи малко. Тогава получих 45, което отново намали средното ми аритметично. Няма да нанасям 45 на диаграмата. Сега трябва да осредня всичко. На колко е равно 45+65? Нека изчисля тази стойност, за да представя точката. Това е 165 делено на 3. Това е 53. Не, 55. Така че средната стойност отново пада на 55. Можем да продължим тези тестове. След като сме направили три опита и сме стигнали до тази средна стойност, много хора смятат, че боговете на вероятността ще направят така, че да получаваме по-малко глави в бъдеще, че следващите няколко опита ще бъдат по-ниски, за да се намали средната стойност. Но не винаги е така. В бъдеще вероятността винаги остава същата. Вероятността да хвърлям глави винаги ще бъде 50%. Не че първоначално получавам определен брой глави, повече от очакваното, а след това изведнъж трябва да изпаднат опашки. Това е "заблудата на играча". Ако получите непропорционален брой опашки, това не означава, че в даден момент ще започнете да изпадате непропорционално голям брой опашки. Това не е съвсем вярно. Законът за големите числа ни казва, че няма значение. Да кажем, че след определен краен брой опити, вашата средна... Вероятността за това е доста малка, но въпреки това... Да кажем, че средната ви стойност достига тази граница - 70. Мислите си: „Уау, надминахме очакванията“. Но законът за големите числа казва, че няма значение колко теста провеждаме. Все още ни предстоят безкрайно много изпитания. Математическото очакване на този безкраен брой опити, особено в подобна ситуация, ще бъде както следва. Когато стигнете до крайно число, което изразява някаква голяма стойност, безкрайно число, което се сближава с него, отново ще доведе до очакваната стойност. Това, разбира се, е много свободно тълкуване, но това ни казва законът за големите числа. Важно е. Той не ни казва, че ако получим много глави, тогава по някакъв начин шансовете да получим опашки ще се увеличат, за да компенсират. Този закон ни казва, че няма значение какъв е резултатът от краен брой изпитания, стига все още да имате безкраен брой изпитания пред вас. И ако ги направите достатъчно, отново ще се върнете към очакванията. то важен момент. Помисли за това. Но това не се използва ежедневно в практиката с лотарии и казина, въпреки че е известно, че ако направите достатъчно тестове... Дори можем да го изчислим... каква е вероятността да се отклоним сериозно от нормата? Но казината и лотариите работят всеки ден на принципа, че ако вземете достатъчно хора, разбира се, за кратко време, с малка извадка, тогава няколко души ще ударят джакпота. Но в дългосрочен план казиното винаги ще се възползва от параметрите на игрите, които ви канят да играете. Това е важен вероятностен принцип, който е интуитивен. Въпреки че понякога, когато ви бъде обяснено официално със случайни променливи, всичко изглежда малко объркващо. Всичко, което казва този закон, е, че колкото повече проби има, толкова повече средноаритметичната стойност на тези проби ще се сближава с истинската средна стойност. И за да бъдем по-конкретни, средноаритметичната стойност на вашата извадка ще се сближи с математическото очакване на случайна променлива. Това е всичко. Ще се видим в следващото видео!

Слаб закон на големите числа

Слабият закон на големите числа се нарича още теорема на Бернули, след Якоб Бернули, който го доказва през 1713 г.

Нека има безкрайна последователност (последователно изброяване) на еднакво разпределени и некорелирани случайни променливи. Тоест тяхната ковариация c o v (X i, X j) = 0, ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\forall i\not =j). Позволявам . Означава се с примерната средна стойност на първото n (\displaystyle n)членове:

.

Тогава X ¯ n → P μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\до ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu ).

Тоест за всеки положителен ε (\displaystyle \varepsilon )

Силен закон на големите числа

Нека има безкрайна последователност от независими еднакво разпределени случайни променливи ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty ))определени в едно вероятностно пространство (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P))). Позволявам E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\forall i\in \mathbb (N) ). Означаваме с X¯n (\displaystyle (\bar(X))_(n))примерна средна стойност на първото n (\displaystyle n)членове:

Тогава X ¯ n → μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to \mu )почти винаги.

Като всеки математически закон, законът за големите числа може да се приложи към реалния свят само при известни предположения, които могат да бъдат изпълнени само с известна степен на точност. Така например условията на последователни тестове често не могат да се поддържат безкрайно и с абсолютна точност. Освен това законът за големите числа говори само за невероятностзначително отклонение на средната стойност от математическото очакване.

Закон за големите числа

Закон за големите числав теорията на вероятностите заявява, че емпиричната средна (средноаритметична) на достатъчно голяма крайна извадка от фиксирано разпределение е близка до теоретичната средна (очакване) на това разпределение. В зависимост от вида на конвергенцията има слаб закон на големите числа, когато има сходимост във вероятността, и силен закон на големите числа, когато има сходимост почти навсякъде.

Винаги ще има такъв брой опити, че при всяка предварително определена вероятност относителната честота на възникване на дадено събитие ще се различава произволно малко от неговата вероятност.

Общото значение на закона за големите числа е, че съвместното действие на голям брой случайни фактори води до резултат, който е почти независим от случайността.

На това свойство се основават методи за оценка на вероятността, базирани на анализ на ограничена извадка. Добър пример е прогнозирането на изборните резултати въз основа на проучване на извадка от избиратели.

Слаб закон на големите числа

Нека има безкрайна последователност (последователно изброяване) на идентично разпределени и некорелирани случайни променливи, дефинирани в едно и също вероятностно пространство. Тоест тяхната ковариация. Позволявам . Нека обозначим примерната средна стойност на първите членове:

Силен закон на големите числа

Нека има безкрайна последователност от независими еднакво разпределени случайни променливи, дефинирани в едно и също вероятностно пространство. Позволявам . Нека обозначим примерната средна стойност на първите членове:

Тогава почти сигурно.

Вижте също

Литература

• Ширяев А. Н.Вероятност, - М .: Наука. 1989 г.
• Чистяков В.П.Курс по теория на вероятностите, - М., 1982.

Фондация Уикимедия. 2010 г.

• Кино на Русия
• Громека, Михаил Степанович

Вижте какво е "Законът на големите числа" в други речници:

ЗАКОН ЗА ГОЛЕМИТЕ ЧИСЛА- (закон за големите числа) В случай, че поведението на отделните членове на популацията е силно отличително, поведението на групата е средно по-предсказуемо от поведението на всеки от нейните членове. Тенденцията в кои групи ... ... Икономически речник

ЗАКОН ЗА ГОЛЕМИТЕ ЧИСЛА- вижте ЗАКОН ЗА ГОЛЕМИ ЦИФРИ. Антинази. Енциклопедия по социология, 2009 ... Енциклопедия по социология

Закон за големите числа- принципът, според който количествените закономерности, присъщи на масовите социални явления, се проявяват най-ясно с достатъчно голям брой наблюдения. Единичните явления са по-податливи на въздействието на случайни и ... ... Речник на бизнес термините

ЗАКОН ЗА ГОЛЕМИТЕ ЧИСЛА- твърди, че с вероятност, близка до единица, средната аритметична стойност на голям брой случайни променливи от приблизително същия ред ще се различава малко от константа, равна на средната аритметична стойност на математическите очаквания на тези променливи. Разлика…… Геологическа енциклопедия

закон на големите числа- — [Я.Н.Лугински, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Английско-руски речник по електротехника и енергетика, Москва, 1999 г.] Теми по електротехника, основни понятия EN закон на средното правило на големи числа ... Наръчник за технически преводач

закон на големите числа- didžiųjų skaičių dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: англ. закон за големите числа vok. Gesetz der großen Zahlen, n рус. закон за големите числа, m pranc. loi des grands nombres, f … Fizikos terminų žodynas

ЗАКОН ЗА ГОЛЕМИТЕ ЧИСЛА- общ принцип, поради който комбинираното действие на случайни фактори води при определени много общи условия до почти независим от случайността резултат. Сближаването на честотата на възникване на случайно събитие с неговата вероятност с увеличаване на броя ... ... Руска социологическа енциклопедия

Закон за големите числа- законът, който гласи, че кумулативното действие на голям брой случайни фактори води, при определени много общи условия, до резултат, почти независим от случайността ... Социология: речник

ЗАКОН ЗА ГОЛЕМИТЕ ЧИСЛА- статистически закон, изразяващ връзката на статистическите показатели (параметри) на извадката и генералната съвкупност. Действителните стойности на статистическите показатели, получени от определена извадка, винаги се различават от т.нар. теоретично ...... Социология: Енциклопедия

ЗАКОН ЗА ГОЛЕМИТЕ ЧИСЛА- принципът, че честотата на финансовите загуби от определен вид може да бъде предвидена с висока точност, когато има голям брой загуби от подобен тип ... Енциклопедичен речник по икономика и право

Книги

• Комплект маси. Математика. Теория на вероятностите и математическа статистика. 6 таблици + методика, . Таблиците са отпечатани върху плътен полиграфически картон с размери 680 х 980 мм. Комплектът включва брошура с методически препоръки за учителите. Образователен албум от 6 листа. Случаен...

Не губете.Абонирайте се и получете линк към статията в имейла си.

Взаимодействайки ежедневно в работа или учене с числа и числа, много от нас дори не подозират, че има много интересен закон на големите числа, използван например в статистиката, икономиката и дори психологическите и педагогическите изследвания. Отнася се до теорията на вероятностите и казва, че средноаритметичната стойност на всяка голяма извадка от фиксирано разпределение е близка до математическото очакване на това разпределение.

Вероятно сте забелязали, че не е лесно да се разбере същността на този закон, особено за тези, които не са особено приятелски настроени към математиката. Въз основа на това бихме искали да говорим за това на прост език (доколкото е възможно, разбира се), така че всеки да може поне приблизително да разбере какво е това. Това знание ще ви помогне да разберете по-добре някои математически модели, да станете по-ерудирани и да повлияете положително.

Концепции на закона за големите числа и неговото тълкуване

В допълнение към горното определение на закона за големите числа в теорията на вероятностите можем да дадем неговата икономическа интерпретация. В този случай той представлява принципа, че честотата на определен вид финансова загуба може да бъде предвидена с висока степен на сигурност, когато има високо ниво на загуби от такъв тип като цяло.

Освен това, в зависимост от нивото на конвергенция на характеристиките, можем да различим слабите и засилените закони на големите числа. Говорим за слабо, когато съществува конвергенция във вероятността, и за силно, когато съществува конвергенция в почти всичко.

Ако го тълкуваме малко по-различно, тогава трябва да кажем следното: винаги е възможно да се намери такъв краен брой опити, при които с всяка предварително програмирана вероятност, по-малка от единица, относителната честота на възникване на дадено събитие ще се различава много малко от неговата вероятност.

По този начин общата същност на закона за големите числа може да бъде изразена по следния начин: резултатът от сложното действие на голям брой еднакви и независими случайни фактори ще бъде такъв резултат, който не зависи от случайността. И казано още по-просто, тогава в закона за големите числа количествените закони на масовите явления ще се проявят ясно само когато има голям брой от тях (затова законът за големите числа се нарича закон).

От това можем да заключим, че същността на закона се състои в това, че в числата, които се получават чрез масово наблюдение, има някаква коректност, която не може да бъде открита в малък брой факти.

Същността на закона за големите числа и неговите примери

Законът за големите числа изразява най-общите закономерности на случайното и необходимото. Когато случайните отклонения се "гасят" взаимно, средните, определени за една и съща структура, приемат формата на типични. Те отразяват действието на съществени и постоянни факти при конкретните условия на времето и мястото.

Закономерностите, определени от закона за големите числа, са силни само когато представляват масови тенденции и не могат да бъдат закони за отделни случаи. Така влиза в сила принципът на математическата статистика, който гласи, че комплексното действие на редица случайни фактори може да доведе до неслучаен резултат. И най-яркият пример за действието на този принцип е сближаването на честотата на възникване на случайно събитие и неговата вероятност, когато броят на опитите се увеличи.

Нека си спомним обичайното хвърляне на монета. Теоретично главите и опашките могат да изпаднат с еднаква вероятност. Това означава, че ако, например, монета бъде хвърлена 10 пъти, 5 от тях трябва да излязат глави и 5 трябва да излязат глави. Но всеки знае, че това почти никога не се случва, защото съотношението на честотата на главите и опашките може да бъде 4 към 6, и 9 към 1, и 2 към 8 и т.н. Въпреки това, с увеличаване на броя на хвърлянията на монети, например до 100, вероятността да паднат глави или опашки достига 50%. Ако теоретично се проведат безкраен брой такива експерименти, вероятността монета да падне от двете страни винаги ще клони към 50%.

Как точно ще падне монетата се влияе от огромен брой случайни фактори. Това е позицията на монетата в дланта на ръката ви и силата, с която се прави хвърлянето, и височината на падане, и скоростта му и т.н. Но ако има много експерименти, независимо от това как действат факторите, винаги може да се твърди, че практическата вероятност е близка до теоретичната вероятност.

И ето още един пример, който ще ви помогне да разберете същността на закона за големите числа: да предположим, че трябва да оценим нивото на доходите на хората в определен регион. Ако разгледаме 10 наблюдения, при които 9 души получават 20 хиляди рубли, а 1 човек - 500 хиляди рубли, средноаритметичната стойност ще бъде 68 хиляди рубли, което, разбира се, е малко вероятно. Но ако вземем предвид 100 наблюдения, където 99 души получават 20 хиляди рубли, а 1 човек - 500 хиляди рубли, тогава при изчисляване на средноаритметичното получаваме 24,8 хиляди рубли, което вече е по-близо до реалното състояние на нещата. Чрез увеличаване на броя на наблюденията ще принудим средната стойност да клони към истинската стойност.

Поради тази причина, за да се приложи законът за големите числа, първо е необходимо да се събере статистически материал, за да се получат верни резултати чрез изучаване на голям брой наблюдения. Ето защо е удобно този закон да се използва отново в статистиката или социалната икономика.

Обобщаване

Значението на факта, че законът за големите числа работи, е трудно да се надценява за всяка област на научното познание и особено за научните разработки в областта на теорията на статистиката и методите на статистическото познание. Действието на закона е от голямо значение и за самите изследвани обекти с техните масови закономерности. Почти всички методи за статистическо наблюдение се основават на закона за големите числа и принципа на математическата статистика.

Но дори и без да вземем предвид науката и статистиката като такива, можем спокойно да заключим, че законът за големите числа не е просто феномен от областта на теорията на вероятностите, а феномен, с който се сблъскваме почти всеки ден в живота си.

Надяваме се, че сега същността на закона за големите числа ви е станала по-ясна и можете лесно и просто да го обясните на някой друг. И ако темата за математиката и теорията на вероятностите е интересна за вас по принцип, тогава препоръчваме да прочетете за и. Също така се запознайте с и. И, разбира се, обърнете внимание на нашия, защото след като го преминете, вие не само ще овладеете нови техники на мислене, но и ще подобрите когнитивните си способности като цяло, включително математическите.

Думите за големи числа се отнасят до броя на тестовете - разглеждат се голям брой стойности на случайна променлива или кумулативното действие на голям брой случайни променливи. Същността на този закон е следната: въпреки че е невъзможно да се предскаже каква стойност ще вземе една случайна променлива в един експеримент, общият резултат от действието на голям брой независими случайни променливи губи своя случаен характер и може да да бъдат предвидени почти надеждно (т.е. с висока вероятност). Например, невъзможно е да се предвиди от коя страна ще падне монетата. Ако обаче хвърлите 2 тона монети, тогава с голяма сигурност може да се твърди, че теглото на монетите, паднали с герба нагоре, е 1 тон.

На първо място, така нареченото неравенство на Чебишев се отнася до закона за големите числа, който оценява в отделен тест вероятността за приемане на стойност от случайна променлива, която се отклонява от средната стойност с не повече от дадена стойност.

Неравенството на Чебишев. Позволявам хе произволна случайна променлива, a=M(X) , а д(х) е неговата дисперсия. Тогава

Пример. Номиналната (т.е. изисквана) стойност на диаметъра на втулката, обработена на машината, е 5 мм, и разликата вече не е 0.01 (това е допустимото отклонение на точността на машината). Оценете вероятността при производството на една втулка отклонението на нейния диаметър от номиналния да бъде по-малко от 0,5 мм .

Решение. Нека r.v. х- диаметърът на произведената втулка. По условие математическото му очакване е равно на номиналния диаметър (ако няма систематичен отказ при настройката на машината): a=M(X)=5 , и дисперсията д(X)≤0,01. Прилагане на неравенството на Чебишев за ε = 0,5, получаваме:

По този начин вероятността от такова отклонение е доста висока и следователно можем да заключим, че в случай на еднократно производство на част, отклонението на диаметъра от номиналния почти сигурно няма да надвишава 0,5 мм .

По принцип стандартното отклонение σ характеризира средно аритметичноотклонение на случайна променлива от нейния център (т.е. от нейното математическо очакване). Защото то средно аритметичноотклонение, тогава по време на изпитването са възможни големи отклонения (ударение върху o). Колко големи отклонения са практически възможни? Когато изучавахме нормално разпределени случайни променливи, ние изведехме правилото на „трите сигми“: нормално разпределена случайна променлива х в един тестна практика не се отклонява от средното си повече от 3σ, където σ= σ(X)е стандартното отклонение на r.v. х. Изведехме такова правило от факта, че получихме неравенството

.

Нека сега оценим вероятността за произволенслучайна величина хприемете стойност, която се различава от средната с не повече от три пъти стандартното отклонение. Прилагане на неравенството на Чебишев за ε = 3σи предвид това д(X)=σ 2 , получаваме:

.

По този начин, общо взетоможем да оценим вероятността случайна променлива да се отклонява от средната си стойност с не повече от три стандартни отклонения от числото 0.89 , докато за нормално разпределение може да се гарантира с вероятност 0.997 .

Неравенството на Чебишев може да се обобщи до система от независими еднакво разпределени случайни променливи.

Обобщено неравенство на Чебишев. Ако независимите случайни променливи х 1 , Х 2 , … , Х н М(х аз )= аи дисперсии д(х аз )= д, тогава

При н=1 това неравенство преминава в формулираното по-горе неравенство на Чебишев.

Неравенството на Чебишев, имащо самостоятелно значение за решаване на съответните задачи, се използва за доказване на така наречената теорема на Чебишев. Първо описваме същността на тази теорема и след това даваме нейната формална формулировка.

Позволявам х 1 , Х 2 , … , Х н– голям брой независими случайни променливи с математически очаквания M(X 1 )=а 1 , … , M(X н )=а н. Въпреки че всеки от тях, в резултат на експеримента, може да приеме стойност, далеч от средната (т.е. математическото очакване), обаче, случайна променлива
, равни на тяхната средна аритметична стойност, с голяма вероятност ще приемат стойност, близка до фиксирано число
(това е средната стойност на всички математически очаквания). Това означава следното. Нека, като резултат от теста, независими случайни променливи х 1 , Х 2 , … , Х н(има много от тях!) са взели стойностите съответно х 1 , Х 2 , … , Х нсъответно. Тогава, ако самите тези стойности могат да се окажат далеч от средните стойности на съответните случайни променливи, тяхната средна стойност
вероятно ще бъде близо до
. По този начин средната аритметична стойност на голям брой случайни променливи вече губи своя случаен характер и може да бъде предвидена с голяма точност. Това може да се обясни с факта, че случайните отклонения на стойностите х азот а азмогат да бъдат с различни знаци и следователно общо тези отклонения се компенсират с голяма вероятност.

Терема Чебишева (закон на големите числапод формата на Чебишев). Позволявам х 1 , Х 2 , … , Х н … е последователност от по двойки независими случайни променливи, чиито вариации са ограничени до един и същ брой. Тогава, независимо колко малко е числото ε, което вземаме, вероятността за неравенство

ще бъде произволно близо до единица, ако числото нслучайни променливи, за да вземем достатъчно големи. Формално това означава, че при условията на теоремата

Този тип конвергенция се нарича конвергенция по вероятност и се означава с:

По този начин теоремата на Чебишев казва, че ако има достатъчно голям брой независими случайни променливи, тогава тяхната средна аритметична стойност в един тест почти сигурно ще приеме стойност, близка до средната стойност на техните математически очаквания.

Най-често теоремата на Чебишев се прилага в ситуация на случайни променливи х 1 , Х 2 , … , Х н … имат същото разпределение (т.е. същият закон на разпределение или същата плътност на вероятността). Всъщност това е просто голям брой случаи на една и съща случайна променлива.

Последица(на обобщеното неравенство на Чебишев). Ако независимите случайни променливи х 1 , Х 2 , … , Х н … имат същото разпределение с математически очаквания М(х аз )= аи дисперсии д(х аз )= д, тогава

, т.е.
.

Доказателството следва от обобщеното неравенство на Чебишев чрез преминаване към границата as н→∞ .

Още веднъж отбелязваме, че написаните по-горе равенства не гарантират, че стойността на количеството
има тенденция да апри н→∞. Тази стойност все още е случайна променлива и нейните индивидуални стойности могат да бъдат доста далеч от а. Но вероятността от такова (далеч не а) стойности с нарастване нклони към 0.

Коментирайте. Изводът от следствието очевидно е валиден и в по-общия случай, когато независимите случайни променливи х 1 , Х 2 , … , Х н … имат различно разпределение, но същите математически очаквания (равни а) и дисперсиите, ограничени в съвкупността. Това дава възможност да се предскаже точността на измерване на определено количество, дори ако тези измервания са направени от различни инструменти.

Нека разгледаме по-подробно приложението на това следствие за измерване на количества. Нека използваме някакво устройство низмервания на една и съща величина, чиято истинска стойност е аи ние не знаем. Резултатите от такива измервания х 1 , Х 2 , … , Х нмогат да се различават значително един от друг (и от истинската стойност а) поради различни случайни фактори (спадове на налягането, температури, произволни вибрации и др.). Помислете за r.v. х- показание на уреда за еднократно измерване на величина, както и набор от р.в. х 1 , Х 2 , … , Х н- показание на уреда при първо, второ, ..., последно измерване. По този начин всяко от количествата х 1 , Х 2 , … , Х н има само един от случаите на r.v. х, и следователно всички те имат същото разпространение като r.v. х. Тъй като резултатите от измерването са независими един от друг, r.v. х 1 , Х 2 , … , Х нможе да се счита за независима. Ако устройството не дава систематична грешка (например нулата не е „съборена“ на скалата, пружината не е опъната и т.н.), тогава можем да приемем, че математическото очакване M(X) = а, и следователно M(X 1 ) = ... = M(X н ) = а. По този начин условията на горното следствие са изпълнени и следователно като приблизителна стойност на количеството аможем да вземем "имплементацията" на случайна променлива
в нашия експеримент (състоящ се от серия от низмервания), т.е.

.

При голям брой измервания добрата точност на изчислението по тази формула е практически надеждна. Това е обосновката на практическия принцип, че при голям брой измервания средноаритметичното им практически не се различава много от истинската стойност на измерваната величина.

Методът на „вземане на проби“, който се използва широко в математическата статистика, се основава на закона за големите числа, което позволява да се получат неговите обективни характеристики с приемлива точност от сравнително малка извадка от стойности на случайна променлива. Но това ще бъде обсъдено в следващия раздел.

Пример. На измервателно устройство, което не прави систематични изкривявания, се измерва определено количество аведнъж (получена стойност х 1 ), а след това още 99 пъти (получени стойности х 2 , … , Х 100 ). За истинската стойност на измерването апърво вземете резултата от първото измерване
, и след това средноаритметичната стойност на всички измервания
. Точността на измерване на устройството е такава, че стандартното отклонение на измерването σ не е повече от 1 (тъй като дисперсията д=σ 2 също не надвишава 1). За всеки от методите на измерване оценете вероятността грешката на измерването да не надвишава 2.

Решение. Нека r.v. х- показание на инструмента за едно измерване. Тогава по условие M(X)=a. За да отговорим на поставените въпроси, прилагаме обобщеното неравенство на Чебишев

за ε =2 първо за н=1 и след това за н=100 . В първия случай получаваме
, а във втория. Така вторият случай на практика гарантира дадената точност на измерване, докато първият оставя сериозни съмнения в този смисъл.

Нека приложим горните твърдения към случайните променливи, които възникват в схемата на Бернули. Нека си припомним същността на тази схема. Нека се произвежда н независими тестове, във всеки от които някакво събитие НОможе да се появи със същата вероятност Р, а р=1–r(по смисъл, това е вероятността за противоположното събитие - не за настъпване на събитие НО) . Да похарчим малко нтакива тестове. Помислете за случайни променливи: х 1 – брой появявания на събитието НОв 1 ти тест, ..., х н– брой появявания на събитието НОв нти тест. Всички въведени р.в. може да приема стойности 0 или 1 (събитие НОможе да се появи в теста или не), и стойността 1 условно приети във всеки опит с вероятност стр(вероятност за настъпване на събитие НОвъв всеки тест) и стойността 0 с вероятност р= 1 – стр. Следователно тези количества имат еднакви закони на разпределение:

Следователно средните стойности на тези количества и техните дисперсии също са еднакви: M(X 1 )=0 ∙ р+1 ∙ p= p, …, M(X н )= стр ; д(х 1 )=(0 2 ∙ р+1 2 ∙ стр)− стр 2 = стр∙(1− стр)= стр ∙ q, …, д(х н )= стр ∙ q . Замествайки тези стойности в обобщеното неравенство на Чебишев, получаваме

.

Ясно е, че р.в. х=х 1 +…+Х не броят на повторенията на събитието НОвъв всичко низпитания (както се казва - "броят на успехите" в нтестове). Пуснете в нтестово събитие НОсе появи в к от тях. Тогава предишното неравенство може да се запише като

.

Но величината
, равно на съотношението на броя повторения на събитието НОв ннезависими опити, към общия брой опити, наричан по-рано относителен процент на събития НОв нтестове. Следователно има неравенство

.

Преминавайки сега до границата при н→∞, получаваме
, т.е.
(според вероятността). Това е съдържанието на закона за големите числа във формата на Бернули. От това следва, че за достатъчно голям брой опити нпроизволно малки отклонения на относителната честота
събития от неговата вероятност Рса почти сигурни събития, а големите отклонения са почти невъзможни. Полученото заключение за такава стабилност на относителните честоти (които по-рано наричахме експерименталенфакт) оправдава въведената по-рано статистическа дефиниция на вероятността от събитие като число, около което се колебае относителната честота на дадено събитие.

Като се има предвид, че изразът стр∙ р= стр∙(1− стр)= стр− стр 2 не надвишава интервала на промяна
(лесно е да проверите това, като намерите минимума на тази функция на този сегмент), от горното неравенство
лесно да се получи това

,

който се използва при решаването на съответните задачи (един от тях ще бъде даден по-долу).

Пример. Монетата беше обърната 1000 пъти. Оценете вероятността отклонението на относителната честота на появата на герба от неговата вероятност да бъде по-малко от 0,1.

Решение. Прилагане на неравенството
при стр= р=1/2 , н=1000 , ε=0,1, получаваме .

Пример. Оценете вероятността при условията на предишния пример числото кот отпадналите гербове ще бъдат в диапазона на 400 преди 600 .

Решение. Състояние 400< к<600 означава, че 400/1000< к/ н<600/1000 , т.е. 0.4< У н (А)<0.6 или
. Както току-що видяхме от предишния пример, вероятността за такова събитие е най-малко 0.975 .

Пример. За изчисляване на вероятността от някакво събитие НОПроведени са 1000 експеримента, в които събитието НОсе появява 300 пъти. Оценете вероятността относителната честота (равна на 300/1000=0,3) да е различна от истинската вероятност Рне повече от 0,1.

Решение. Прилагайки горното неравенство
за n=1000, ε=0,1 , получаваме .