Επιδράσεις της προσθήκης κυμάτων. στάσιμα ελαστικά κύματα

Κεφάλαιο 7

Κυματιστά. κυματική εξίσωση

Εκτός από τις κινήσεις που έχουμε ήδη εξετάσει, σχεδόν σε όλους τους τομείς της φυσικής υπάρχει ένας άλλος τύπος κίνησης - κυματιστά. Διακριτικό χαρακτηριστικόΑυτή η κίνηση, που το κάνει μοναδικό, είναι ότι δεν είναι τα σωματίδια της ύλης που διαδίδονται στο κύμα, αλλά αλλάζουν στην κατάστασή τους (διαταραχές).

Οι διαταραχές που διαδίδονται στο χώρο με την πάροδο του χρόνου ονομάζονται κυματιστά . Τα κύματα είναι μηχανικά και ηλεκτρομαγνητικά.

ελαστικά κύματαδιαδίδουν διαταραχές του ελαστικού μέσου.

Διατάραξη ενός ελαστικού μέσου είναι οποιαδήποτε απόκλιση των σωματιδίων αυτού του μέσου από τη θέση ισορροπίας. Οι διαταραχές προκύπτουν ως αποτέλεσμα της παραμόρφωσης του μέσου σε οποιαδήποτε από τις θέσεις του.

Το σύνολο όλων των σημείων στα οποία έχει φτάσει το κύμα αυτή τη στιγμήχρόνος, σχηματίζει μια επιφάνεια που ονομάζεται μέτωπο κύματος .

Σύμφωνα με το σχήμα του μετώπου, τα κύματα χωρίζονται σε σφαιρικά και επίπεδα. Κατεύθυνση προσδιορίζεται η διάδοση του μετώπου κύματοςκάθετο στο μέτωπο του κύματος, που ονομάζεται δέσμη . Για ένα σφαιρικό κύμα, οι ακτίνες είναι μια ακτινικά αποκλίνουσα δέσμη. Για ένα επίπεδο κύμα, μια ακτίνα είναι μια δέσμη από παράλληλες γραμμές.

Σε κάθε μηχανικό κύμα υπάρχουν δύο τύποι κίνησης ταυτόχρονα: οι ταλαντώσεις των σωματιδίων του μέσου και η διάδοση μιας διαταραχής.

Ένα κύμα στο οποίο οι ταλαντώσεις των σωματιδίων του μέσου και η διάδοση της διαταραχής συμβαίνουν προς την ίδια κατεύθυνση ονομάζεται γεωγραφικού μήκους (εικ.7.2 ένα).

Ένα κύμα στο οποίο τα σωματίδια του μέσου ταλαντώνονται κάθετα προς την κατεύθυνση διάδοσης των διαταραχών ονομάζεται εγκάρσιος (Εικ. 7.2 β).

Σε ένα διαμήκη κύμα, οι διαταραχές αντιπροσωπεύουν μια συμπίεση (ή αραίωση) του μέσου και σε ένα εγκάρσιο κύμα, είναι μετατοπίσεις (διάτμηση) ορισμένων στρωμάτων του μέσου σε σχέση με άλλα. Τα διαμήκη κύματα μπορούν να διαδοθούν σε όλα τα μέσα (σε υγρά, στερεά και αέρια), ενώ τα εγκάρσια κύματα μπορούν να διαδοθούν μόνο σε στερεά.

Κάθε κύμα διαδίδεται με κάποια ταχύτητα . Υπό ταχύτητα κύματος υ κατανοήσουν την ταχύτητα διάδοσης της διαταραχής.Η ταχύτητα ενός κύματος καθορίζεται από τις ιδιότητες του μέσου στο οποίο διαδίδεται αυτό το κύμα. ΣΤΟ στερεάη ταχύτητα των διαμήκων κυμάτων είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα των εγκάρσιων κυμάτων.

Μήκος κύματοςλ είναι η απόσταση στην οποία διαδίδεται ένα κύμα σε χρόνο ίσο με την περίοδο ταλάντωσης στην πηγή του. Δεδομένου ότι η ταχύτητα του κύματος είναι μια σταθερή τιμή (για ένα δεδομένο μέσο), η απόσταση που διανύει το κύμα είναι ίση με το γινόμενο της ταχύτητας και του χρόνου διάδοσής του. Άρα το μήκος κύματος

Από την εξίσωση (7.1) προκύπτει ότι τα σωματίδια που χωρίζονται μεταξύ τους με ένα διάστημα λ ταλαντώνονται στην ίδια φάση. Τότε μπορούμε να δώσουμε τον ακόλουθο ορισμό του μήκους κύματος: το μήκος κύματος είναι η απόσταση μεταξύ δύο πλησιέστερων σημείων που ταλαντώνονται στην ίδια φάση.

Ας εξαγάγουμε την εξίσωση ενός επίπεδου κύματος, που μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε τη μετατόπιση οποιουδήποτε σημείου του κύματος ανά πάσα στιγμή. Αφήστε το κύμα να διαδοθεί κατά μήκος της δέσμης από την πηγή με κάποια ταχύτητα v.

Η πηγή διεγείρει απλές αρμονικές ταλαντώσεις και η μετατόπιση οποιουδήποτε σημείου του κύματος σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή καθορίζεται από την εξίσωση

S = Asinωt (7. 2)

Τότε το σημείο του μέσου, που βρίσκεται σε απόσταση x από την πηγή κύματος, θα εκτελεί επίσης αρμονικές ταλαντώσεις, αλλά με χρονική καθυστέρηση κατά μια τιμή, δηλ. ο χρόνος που χρειάζεται για να διαδοθούν οι δονήσεις από την πηγή σε εκείνο το σημείο. Η μετατόπιση του σημείου ταλάντωσης σε σχέση με τη θέση ισορροπίας σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή θα περιγραφεί από τη σχέση

Αυτή είναι η εξίσωση του επιπέδου κύματος. Αυτό το κύμα χαρακτηρίζεται από τις ακόλουθες παραμέτρους:

· S - μετατόπιση από τη θέση του σημείου ισορροπίας του ελαστικού μέσου, στο οποίο έχει φτάσει η ταλάντωση.

· ω - κυκλική συχνότητα ταλαντώσεων που δημιουργείται από την πηγή, με την οποία ταλαντώνονται και τα σημεία του μέσου.

· υ - ταχύτητα διάδοσης κύματος (ταχύτητα φάσης).

x – απόσταση από το σημείο εκείνο του μέσου όπου έχει φτάσει η ταλάντωση και του οποίου η μετατόπιση είναι ίση με S.

· t – ο χρόνος που μετράται από την αρχή των ταλαντώσεων.

Εισάγοντας το μήκος κύματος λ στην έκφραση (7. 3), η εξίσωση επίπεδου κύματος μπορεί να γραφτεί ως εξής:

(7. 4)

Ρύζι. 7.3

όπου κάλεσε τον αριθμό κύματος (αριθμός κυμάτων ανά μονάδα μήκους).

Παρεμβολή κυμάτων. στάσιμα κύματα. Η εξίσωση στάσιμο κύμα

Τα στάσιμα κύματα σχηματίζονται ως αποτέλεσμα της παρεμβολής δύο αντίθετων επίπεδων κυμάτων ίδιας συχνότητας ω και πλάτους Α.

Φανταστείτε ότι στο σημείο S υπάρχει ένας δονητής, από τον οποίο διαδίδεται ένα επίπεδο κύμα κατά μήκος της ακτίνας SO. Έχοντας φτάσει στο εμπόδιο στο σημείο Ο, το κύμα θα ανακλαστεί και θα πάει προς την αντίθετη κατεύθυνση, δηλ. δύο κινούμενα κύματα επιπέδου διαδίδονται κατά μήκος της δέσμης: προς τα εμπρός και προς τα πίσω. Αυτά τα δύο κύματα είναι συνεκτικά, αφού παράγονται από την ίδια πηγή και, τοποθετημένα το ένα πάνω στο άλλο, θα παρεμβαίνουν μεταξύ τους.

Η κατάσταση ταλάντωσης του μέσου που προκύπτει ως αποτέλεσμα παρεμβολής ονομάζεται στάσιμο κύμα.

Ας γράψουμε την εξίσωση του άμεσου και του πίσω κινούμενου κύματος:

ευθεία - ; ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ -

όπου S 1 και S 2 είναι η μετατόπιση ενός αυθαίρετου σημείου στην ακτίνα SO. Λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο για το ημίτονο του αθροίσματος, η μετατόπιση που προκύπτει είναι ίση με

Έτσι, η εξίσωση στάσιμου κύματος έχει τη μορφή

Ο παράγοντας cosωt δείχνει ότι όλα τα σημεία του μέσου στη δέσμη SO εκτελούν απλές αρμονικές ταλαντώσεις με συχνότητα . Η έκφραση ονομάζεται πλάτος του στάσιμου κύματος. Όπως μπορείτε να δείτε, το πλάτος καθορίζεται από τη θέση του σημείου στην ακτίνα SO(x).

Μέγιστη αξίαπλάτη θα έχουν σημεία για τα οποία

Ή (n = 0, 1, 2,….)

από πού, ή (4.70)

αντικόμβοι στάσιμου κύματος .

Ελάχιστη τιμή, ίσο με μηδέν, θα έχει εκείνα τα σημεία για τα οποία

Ή (n=0, 1, 2,….)

από πού ή (4.71)

Τα σημεία με τέτοιες συντεταγμένες ονομάζονται κόμβοι στάσιμου κύματος . Συγκρίνοντας τις εκφράσεις (4.70) και (4.71), βλέπουμε ότι η απόσταση μεταξύ γειτονικών αντικόμβων και γειτονικών κόμβων είναι ίση με λ/2.

Στο σχήμα, η συμπαγής γραμμή δείχνει τη μετατόπιση των ταλαντευόμενων σημείων του μέσου σε κάποια χρονική στιγμή, η διακεκομμένη καμπύλη δείχνει τη θέση των ίδιων σημείων μέσω T / 2. Κάθε σημείο ταλαντώνεται με ένα πλάτος που καθορίζεται από την απόστασή του από τον δονητή (x).

Σε αντίθεση με ένα κύμα που ταξιδεύει, δεν υπάρχει μεταφορά ενέργειας σε ένα στάσιμο κύμα. Η ενέργεια απλώς περνά από το δυναμικό (με τη μέγιστη μετατόπιση των σημείων του μέσου από τη θέση ισορροπίας) σε κινητική (όταν τα σημεία περνούν από τη θέση ισορροπίας) εντός των ορίων μεταξύ των κόμβων που παραμένουν ακίνητοι.

Όλα τα σημεία ενός στάσιμου κύματος εντός των ορίων μεταξύ των κόμβων ταλαντώνονται στην ίδια φάση και στις αντίθετες πλευρές του κόμβου - σε αντιφάση.

Τα στάσιμα κύματα προκύπτουν, για παράδειγμα, σε μια χορδή που τεντώνεται και στα δύο άκρα όταν διεγείρονται εγκάρσιες δονήσεις σε αυτήν. Επιπλέον, στα σημεία στερέωσης υπάρχουν κόμβοι στάσιμου κύματος.

Εάν ένα στάσιμο κύμα είναι εγκατεστημένο σε μια στήλη αέρα που είναι ανοιχτή στο ένα άκρο (ηχητικό κύμα), τότε σχηματίζεται ένας αντικόμβος στο ανοιχτό άκρο και ένας κόμπος σχηματίζεται στο αντίθετο άκρο.

Ήχος. Φαινόμενο Ντόπλερ

Τα διαμήκη ελαστικά κύματα που διαδίδονται σε αέριο, υγρό και στερεά είναι αόρατα. Ωστόσο, υπό ορισμένες προϋποθέσεις μπορούν να ακουστούν. Έτσι, αν διεγείρουμε τους κραδασμούς ενός μακριού χάλυβα χάρακα, σφιγμένου σε μέγγενη, τότε δεν θα ακούσουμε τα κύματα που δημιουργούνται από αυτόν. Αν όμως συντομεύσουμε το προεξέχον τμήμα του χάρακα και έτσι αυξήσουμε τη συχνότητα των ταλαντώσεων του, τότε θα διαπιστώσουμε ότι ο χάρακας θα αρχίσει να ηχεί.

Τα ελαστικά κύματα που προκαλούν ακουστικές αισθήσεις στον άνθρωπο ονομάζονται ηχητικά κύματαή απλά ήχος.

Το ανθρώπινο αυτί είναι ικανό να αντιλαμβάνεται ελαστικά μηχανικά κύματα με συχνότητα ν από 16 Hz έως 20.000 Hz. Ελαστικά κύματα με συχνότητα ν<16Гц называют инфразвуком, а волны с частотой ν>20000 Hz - υπερήχων.

Οι συχνότητες στην περιοχή από 16 Hz έως 20000 Hz ονομάζονται ήχος. Κάθε σώμα (στερεό, υγρό ή αέριο) που ταλαντώνεται με ηχητική συχνότητα δημιουργεί ένα ηχητικό κύμα στο περιβάλλον.

Στα αέρια και τα υγρά, τα ηχητικά κύματα διαδίδονται με τη μορφή κυμάτων διαμήκους συμπίεσης και αραίωσης. Η συμπίεση και η αραίωση του μέσου, που συμβαίνει ως αποτέλεσμα των δονήσεων της πηγής ήχου (χορδές, πόδια κουρδίσματος, φωνητικές χορδές κ.λπ.), μετά από λίγο φτάνει στο ανθρώπινο αυτί και, αναγκάζοντας το τύμπανο να κάνει εξαναγκασμένους κραδασμούς, προκαλούν ορισμένες ακουστικές αισθήσεις σε ένα άτομο.

Τα ηχητικά κύματα δεν μπορούν να διαδοθούν στο κενό γιατί δεν υπάρχει τίποτα να δονηθεί εκεί. Αυτό μπορεί να επαληθευτεί με ένα απλό πείραμα. Αν τοποθετήσουμε ένα ηλεκτρικό κουδούνι κάτω από τον γυάλινο θόλο μιας αντλίας αέρα, καθώς ο αέρας αντλείται προς τα έξω, θα διαπιστώσουμε ότι ο ήχος θα γίνεται όλο και πιο αδύναμος μέχρι να σταματήσει τελείως.

ήχος στα αέρια. Είναι γνωστό ότι κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας βλέπουμε πρώτα μια αστραπή και μόνο μετά ακούμε βροντή. Αυτή η καθυστέρηση συμβαίνει επειδή η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι πολύ μικρότερη από την ταχύτητα του φωτός. Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα μετρήθηκε για πρώτη φορά από τον Γάλλο επιστήμονα Marin Mersen το 1646. Σε θερμοκρασία +20ºС, ισούται με 343 m/s, δηλ. 1235 χλμ/ώρα

Η ταχύτητα του ήχου εξαρτάται από τη θερμοκρασία του μέσου. Αυξάνεται με την αύξηση της θερμοκρασίας και μειώνεται με τη μείωση της θερμοκρασίας.

Η ταχύτητα του ήχου δεν εξαρτάται από την πυκνότητα του αερίου στο οποίο διαδίδεται αυτός ο ήχος. Ωστόσο, εξαρτάται από τη μάζα των μορίων του. Όσο μεγαλύτερη είναι η μάζα των μορίων αερίου, τόσο μικρότερη είναι η ταχύτητα του ήχου σε αυτό. Σε θερμοκρασία λοιπόν

0 ºС η ταχύτητα του ήχου στο υδρογόνο είναι 1284 m/s και σε διοξείδιο του άνθρακα- 259 m / s.

Ήχος σε υγρά. Η ταχύτητα του ήχου στα υγρά είναι γενικά μεγαλύτερη από την ταχύτητα του ήχου στα αέρια. Η ταχύτητα του ήχου στο νερό μετρήθηκε για πρώτη φορά το 1826. Τα πειράματα πραγματοποιήθηκαν στη λίμνη της Γενεύης στην Ελβετία. Σε μια βάρκα έβαλαν φωτιά στο μπαρούτι και ταυτόχρονα χτύπησαν την καμπάνα, κατέβασαν στο νερό. Ο ήχος αυτού του κουδουνιού, με τη βοήθεια ειδικής κόρνας, που επίσης κατέβηκε στο νερό, πιάστηκε σε άλλο σκάφος, το οποίο βρισκόταν σε απόσταση 14 χιλιομέτρων από το πρώτο. Η ταχύτητα του ήχου στο νερό προσδιορίστηκε από τη χρονική διαφορά μεταξύ της λάμψης του φωτός και της άφιξης του ηχητικού σήματος. Σε θερμοκρασία 8 ºС, αποδείχθηκε ότι ήταν ίση με 1435 m/s.

Στα υγρά, η ταχύτητα του ήχου γενικά μειώνεται με την αύξηση της θερμοκρασίας. Το νερό αποτελεί εξαίρεση σε αυτόν τον κανόνα. Σε αυτό, η ταχύτητα του ήχου αυξάνεται με την αύξηση της θερμοκρασίας και φτάνει στο μέγιστο σε θερμοκρασία 74 ºС, και με περαιτέρω αύξηση της θερμοκρασίας, μειώνεται.

Πρέπει να πούμε ότι το ανθρώπινο αυτί δεν «δουλεύει» καλά κάτω από το νερό. Το μεγαλύτερο μέρος του ήχου σε αυτή την περίπτωση αντανακλάται από το τύμπανο και επομένως δεν προκαλεί ακουστικές αισθήσεις. Ήταν αυτό που κάποτε έδωσε λόγο στους προγόνους μας να το σκεφτούν υποθαλάσσιο κόσμο«κόσμος της σιωπής». Εξ ου και η έκφραση «βουβός σαν ψάρι». Ωστόσο, ακόμη και ο Λεονάρντο ντα Βίντσι πρότεινε να ακούτε υποβρύχιους ήχους βάζοντας το αυτί σας σε ένα κουπί που έχει χαμηλώσει στο νερό. Χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο, μπορείτε να βεβαιωθείτε ότι τα ψάρια είναι στην πραγματικότητα αρκετά ομιλητικά.

Ήχος σε στερεά. Η ταχύτητα του ήχου στα στερεά είναι ακόμη μεγαλύτερη από ότι στα υγρά. Μόνο εδώ θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι τόσο τα διαμήκη όσο και τα εγκάρσια κύματα μπορούν να διαδοθούν στα στερεά. Η ταχύτητα αυτών των κυμάτων, όπως γνωρίζουμε, είναι διαφορετική. Για παράδειγμα, στον χάλυβα, τα εγκάρσια κύματα διαδίδονται με ταχύτητα 3300 m/s και τα διαμήκη κύματα με ταχύτητα 6100 m/s. Το γεγονός ότι η ταχύτητα του ήχου σε ένα στερεό είναι μεγαλύτερη από τον αέρα μπορεί να επαληθευτεί ως εξής. Εάν ο φίλος σας χτυπήσει τη μία άκρη της ράγας και βάλετε το αυτί σας στην άλλη άκρη, θα ακουστούν δύο χτυπήματα. Ο ήχος θα φτάσει στο αυτί σας πρώτα μέσω της ράγας και μετά μέσω του αέρα.

Η γη έχει καλή αγωγιμότητα. Ως εκ τούτου, στα παλιά χρόνια, κατά τη διάρκεια μιας πολιορκίας, στα τείχη του φρουρίου τοποθετούνταν «ακροατές», οι οποίοι, από τον ήχο που μεταδιδόταν από τη γη, μπορούσαν να καθορίσουν εάν ο εχθρός έσκαβε στα τείχη ή όχι. Το να βάλεις το αυτί σου στο έδαφος επέτρεψε επίσης να εντοπίσεις την προσέγγιση του εχθρικού ιππικού.

Εκτός από τους ηχητικούς ήχους, στον φλοιό της γης διαδίδονται κύματα υπερήχων, τα οποία το ανθρώπινο αυτί δεν αντιλαμβάνεται πλέον. Τέτοια κύματα μπορεί να εμφανιστούν κατά τη διάρκεια σεισμών.

Ισχυρά υπερηχητικά κύματα που διαδίδονται τόσο στο έδαφος όσο και στον αέρα προκύπτουν κατά τη διάρκεια ηφαιστειακών εκρήξεων και εκρήξεων ατομικών βομβών. Οι πηγές του υπέρηχου μπορεί επίσης να είναι δίνες αέρα στην ατμόσφαιρα, εκκενώσεις φορτίου, πυροβολισμοί όπλων, άνεμος, ρέουσες κορυφογραμμές κύματα της θάλασσας, κινητήρες λειτουργίας αεριωθούμενων αεροσκαφών κ.λπ.

Το υπερηχογράφημα επίσης δεν γίνεται αντιληπτό από το ανθρώπινο αυτί. Ωστόσο, ορισμένα ζώα, όπως οι νυχτερίδες και τα δελφίνια, μπορούν να το εκπέμπουν και να το αιχμαλωτίζουν. Στην τεχνολογία, ειδικές συσκευές χρησιμοποιούνται για την παραγωγή υπερήχων.

Ένα ταλαντούμενο σώμα τοποθετημένο σε ένα ελαστικό μέσο είναι μια πηγή δονήσεων που διαδίδονται από αυτό προς όλες τις κατευθύνσεις. Η διαδικασία διάδοσης των ταλαντώσεων σε ένα μέσο ονομάζεται κύμα.

Όταν ένα κύμα διαδίδεται, τα σωματίδια του μέσου δεν κινούνται μαζί με το κύμα, αλλά ταλαντώνονται γύρω από τις θέσεις ισορροπίας τους. Μαζί με το κύμα από σωματίδιο σε σωματίδιο, μεταδίδεται μόνο η κατάσταση της ταλαντωτικής κίνησης και η ενέργειά του. Επομένως, η κύρια ιδιότητα όλων των κυμάτων, ανεξάρτητα από τη φύση τους, είναι η μεταφορά ενέργειας χωρίς μεταφορά ύλης.

Τα κύματα είναι εγκάρσια (οι ταλαντώσεις συμβαίνουν σε επίπεδο κάθετο προς την κατεύθυνση διάδοσης) και διαμήκη (η συγκέντρωση και η αραίωση των σωματιδίων του μέσου εμφανίζονται προς την κατεύθυνση της διάδοσης).

Όταν δύο πανομοιότυπα κύματα με ίσα πλάτη και περιόδους διαδίδονται το ένα προς το άλλο, τότε όταν αυτά υπερτίθενται, προκύπτουν στάσιμα κύματα. Τα στάσιμα κύματα μπορούν να ληφθούν με ανάκλαση από εμπόδια. Ας υποθέσουμε ότι ο πομπός στέλνει ένα κύμα σε ένα εμπόδιο (κύμα πρόσπτωσης). Το κύμα που ανακλάται από αυτό θα υπερτίθεται στο προσπίπτον κύμα. Η εξίσωση στάσιμου κύματος μπορεί να ληφθεί προσθέτοντας την εξίσωση προσπίπτοντος κύματος

(Μια πολύ σημαντική περίπτωση παρεμβολής παρατηρείται όταν δύο αντίθετα επίπεδα κύματα με το ίδιο πλάτος υπερτίθενται. Η προκύπτουσα ταλαντωτική διαδικασία ονομάζεται στάσιμο κύμα. Πρακτικά στάσιμα κύματα προκύπτουν όταν ανακλώνται από εμπόδια.)

Αυτή η εξίσωση ονομάζεται εξίσωση κυμάτων. Οποιαδήποτε συνάρτηση που ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση περιγράφει κάποιο κύμα.
κυματική εξίσωση ονομάζεται έκφραση που δίνει προκατάληψη κυμαινόμενο σημείοως συνάρτηση των συντεταγμένων του ( Χ, y, z) και του χρόνου t.

Αυτή η συνάρτηση πρέπει να είναι περιοδική τόσο ως προς το χρόνο όσο και ως προς τις συντεταγμένες (ένα κύμα είναι μια ταλάντωση που διαδίδεται, επομένως μια περιοδικά επαναλαμβανόμενη κίνηση). Επιπλέον, σημεία που χωρίζονται από απόσταση l ταλαντώνονται με τον ίδιο τρόπο.

- αυτό είναι εξίσωση επίπεδου κύματος.
Η εξίσωση (5.2.3) θα έχει την ίδια μορφή εάν οι ταλαντώσεις διαδίδονται κατά μήκος του άξονα yή z
Γενικά εξίσωση επίπεδου κύματοςγράφεται ως εξής:

Οι εκφράσεις (5.2.3) και (5.2.4) είναι εξισώσεις κινουμένων κυμάτων .

Η εξίσωση (5.2.3) περιγράφει ένα κύμα που διαδίδεται προς την κατεύθυνση της αύξησης Χ. Ένα κύμα που διαδίδεται προς την αντίθετη κατεύθυνση έχει τη μορφή:

Ας εισαγάγουμε αριθμός κύματος , ή σε διανυσματική μορφή:

όπου είναι το διάνυσμα κύματος και είναι η κανονική στην επιφάνεια του κύματος.

Από τότε . Από εδώ. Επειτα εξίσωση επίπεδου κύματος θα γραφτεί ως εξής:

εξίσωση σφαιρικών κυμάτων:

όπου ΑΛΛΑείναι ίσο με το πλάτος σε απόσταση από την πηγή ίση με μονάδα.

ΚΥΜΑΤΙΚΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ- διάνυσμα κ, που καθορίζει την κατεύθυνση διάδοσης και τη χωρική περίοδο μιας επίπεδης μονοχρωμίας. κυματιστά

όπου - σταθερό πλάτος και φάση του κύματος, - κυκλική συχνότητα, rείναι το διάνυσμα ακτίνας. V. ενότητα που ονομάζεται αριθμός κύματος k= , όπου - χωρική περίοδος ή μήκος κύματος. Στην κατεύθυνση του V. c. συμβαίνει η ταχύτερη αλλαγή στη φάση του κύματος, επομένως λαμβάνεται ως κατεύθυνση διάδοσης. Η ταχύτητα της φάσης προς αυτή την κατεύθυνση, ή η ταχύτητα φάσης, προσδιορίζεται μέσω του αριθμού κύματος .. in.

Εάν πολλά κύματα διαδίδονται ταυτόχρονα σε ένα μέσο, τότε οι ταλαντώσεις των σωματιδίων του μέσου αποδεικνύεται ότι είναι το γεωμετρικό άθροισμα των ταλαντώσεων που θα έκαναν τα σωματίδια κατά τη διάδοση καθενός από τα κύματα ξεχωριστά. Κατά συνέπεια, τα κύματα απλώς επικαλύπτονται μεταξύ τους χωρίς να ενοχλούν το ένα το άλλο. Αυτή η δήλωση ονομάζεται αρχή της υπέρθεσης κυμάτων. Η αρχή της υπέρθεσης δηλώνει ότι η κίνηση που προκαλείται από τη διάδοση πολλών κυμάτων ταυτόχρονα είναι και πάλι μια συγκεκριμένη κυματική διαδικασία. Μια τέτοια διαδικασία, για παράδειγμα, είναι ο ήχος μιας ορχήστρας. Προκύπτει από την ταυτόχρονη διέγερση ηχητικών δονήσεων του αέρα από μεμονωμένα μουσικά όργανα. Είναι αξιοσημείωτο ότι όταν τα κύματα υπερτίθενται, μπορεί να προκύψουν ειδικά φαινόμενα. Ονομάζονται τα αποτελέσματα της πρόσθεσης ή, όπως λένε, η υπέρθεση των κυμάτων. Μεταξύ αυτών των επιδράσεων, τα πιο σημαντικά είναι η παρεμβολή και η περίθλαση.

Η παρεμβολή είναι ένα φαινόμενο χρονικά σταθερής ανακατανομής της ενέργειας των δονήσεων στο χώρο, με αποτέλεσμα οι δονήσεις σε ορισμένα σημεία να ενισχύονται και σε άλλα να εξασθενούν. Αυτό το φαινόμενο συμβαίνει όταν προσθέτουμε κύματα με διαφορά φάσης που παραμένει με την πάροδο του χρόνου, τα λεγόμενα συνεκτικά κύματα. Η παρεμβολή μεγάλου αριθμού κυμάτων ονομάζεται συνήθως περίθλαση. Δεν υπάρχει θεμελιώδης διαφορά μεταξύ παρεμβολής και περίθλασης. Η φύση αυτών των φαινομένων είναι η ίδια. Περιοριζόμαστε στο να συζητήσουμε μόνο ένα πολύ σημαντικό φαινόμενο παρεμβολής, που είναι ο σχηματισμός στάσιμων κυμάτων.

Απαραίτητη προϋπόθεση για το σχηματισμό στάσιμων κυμάτων είναι η παρουσία ορίων που αντανακλούν τα κύματα που προσπίπτουν σε αυτά. Τα στάσιμα κύματα σχηματίζονται ως αποτέλεσμα της προσθήκης προσπίπτων και ανακλώμενων κυμάτων. Φαινόμενα αυτού του είδους είναι αρκετά συνηθισμένα. Έτσι, κάθε τόνος του ήχου οποιουδήποτε μουσικού οργάνου ενθουσιάζεται από ένα στάσιμο κύμα. Το κύμα αυτό σχηματίζεται είτε σε έγχορδα (έγχορδα) είτε σε στήλη αέρα (πνευστά). Τα ανακλαστικά όρια σε αυτές τις περιπτώσεις είναι τα σημεία προσάρτησης της χορδής και οι επιφάνειες των εσωτερικών κοιλοτήτων των πνευστών.

Κάθε στάσιμο κύμα έχει τις ακόλουθες ιδιότητες. Ολόκληρη η περιοχή του χώρου στην οποία διεγείρεται το κύμα μπορεί να χωριστεί σε κελιά με τέτοιο τρόπο ώστε οι ταλαντώσεις να απουσιάζουν εντελώς στα όρια των κυψελών. Τα σημεία που βρίσκονται σε αυτά τα όρια ονομάζονται κόμβοι του στάσιμου κύματος. Οι φάσεις των ταλαντώσεων στα εσωτερικά σημεία κάθε κυψέλης είναι ίδιες. Οι ταλαντώσεις σε γειτονικά κύτταρα γίνονται η μία προς την άλλη, δηλαδή σε αντιφάση. Μέσα σε ένα κελί, το πλάτος των ταλαντώσεων ποικίλλει στο χώρο και φτάνει στη μέγιστη τιμή του σε κάποιο σημείο. Τα σημεία στα οποία παρατηρείται αυτό ονομάζονται αντικόμβοι του στάσιμου κύματος. Τέλος, μια χαρακτηριστική ιδιότητα των στάσιμων κυμάτων είναι η διακριτικότητα του φάσματος συχνοτήτων τους. Σε ένα στάσιμο κύμα, οι ταλαντώσεις μπορούν να συμβούν μόνο με αυστηρά καθορισμένες συχνότητες και η μετάβαση από το ένα από αυτά στο άλλο συμβαίνει σε ένα άλμα.

Εξετάστε ένα απλό παράδειγμα στάσιμου κύματος. Ας υποθέσουμε ότι μια χορδή περιορισμένου μήκους τεντώνεται κατά μήκος του άξονα. Τα άκρα του είναι σταθερά στερεωμένα και το αριστερό άκρο βρίσκεται στην αρχή των συντεταγμένων. Τότε η συντεταγμένη του δεξιού άκρου θα είναι . Ας διεγείρουμε ένα κύμα σε μια χορδή

απλώνεται κατά μήκος από αριστερά προς τα δεξιά. Το κύμα θα ανακλάται από το δεξί άκρο της χορδής. Ας υποθέσουμε ότι αυτό συμβαίνει χωρίς απώλεια ενέργειας. Σε αυτή την περίπτωση, το ανακλώμενο κύμα θα έχει το ίδιο πλάτος και την ίδια συχνότητα με το προσπίπτον κύμα. Επομένως, το ανακλώμενο κύμα πρέπει να έχει τη μορφή:

Η φάση του περιέχει μια σταθερά που καθορίζει την αλλαγή φάσης κατά την ανάκλαση. Εφόσον η ανάκλαση συμβαίνει και στα δύο άκρα της χορδής και χωρίς απώλεια ενέργειας, κύματα της ίδιας συχνότητας θα διαδοθούν ταυτόχρονα στη χορδή. Επομένως, κατά την προσθήκη, θα πρέπει να υπάρχουν παρεμβολές. Ας βρούμε το κύμα που προκύπτει.

Αυτή είναι η εξίσωση στάσιμου κύματος. Από αυτό προκύπτει ότι σε κάθε σημείο της χορδής συμβαίνουν δονήσεις με μια συχνότητα. Στην περίπτωση αυτή, το πλάτος των ταλαντώσεων σε ένα σημείο είναι ίσο με

Δεδομένου ότι τα άκρα της χορδής είναι σταθερά, δεν υπάρχουν κραδασμοί εκεί. Από την προϋπόθεση ότι . Καταλήγουμε λοιπόν στο:

Είναι πλέον σαφές ότι σε σημεία όπου , δεν υπάρχουν καθόλου ταλαντώσεις. Αυτά τα σημεία είναι οι κόμβοι του στάσιμου κύματος. Στην ίδια θέση, όπου , το πλάτος της ταλάντωσης είναι μέγιστο, ισούται με το διπλάσιο της τιμής του πλάτους των προστιθέμενων ταλαντώσεων. Αυτά τα σημεία είναι οι αντικόμβοι του στάσιμου κύματος. Η εμφάνιση αντικόμβων και κόμβων είναι ακριβώς η παρεμβολή: σε ορισμένα σημεία οι ταλαντώσεις ενισχύονται, ενώ σε άλλα εξαφανίζονται. Η απόσταση μεταξύ ενός γειτονικού κόμβου και ενός αντικόμβου βρίσκεται από την προφανή συνθήκη: . Γιατί, λοιπόν. Επομένως, η απόσταση μεταξύ των παρακείμενων κόμβων είναι .

Μπορεί να φανεί από την εξίσωση στάσιμου κύματος ότι ο παράγοντας όταν διέρχεται από το μηδέν, αλλάζει πρόσημο. Σύμφωνα με αυτό, η φάση των ταλαντώσεων σε διαφορετικές πλευρές του κόμβου διαφέρει κατά . Αυτό σημαίνει ότι τα σημεία που βρίσκονται στις αντίθετες πλευρές του κόμβου ταλαντώνονται σε αντιφάση. Όλα τα σημεία που περικλείονται μεταξύ δύο γειτονικών κόμβων ταλαντώνονται στην ίδια φάση.

Έτσι, όταν προσθέτουμε τα προσπίπτοντα και τα ανακλώμενα κύματα, είναι πράγματι δυνατό να ληφθεί το μοτίβο της κυματικής κίνησης που χαρακτηρίστηκε νωρίτερα. Σε αυτήν την περίπτωση, τα κελιά που συζητήθηκαν στη μονοδιάστατη περίπτωση είναι τμήματα που περικλείονται μεταξύ γειτονικών κόμβων και έχουν μήκος .

Τέλος, ας βεβαιωθούμε ότι το κύμα που εξετάσαμε μπορεί να υπάρχει μόνο σε αυστηρά καθορισμένες συχνότητες ταλάντωσης. Ας χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι δεν υπάρχουν κραδασμοί στο δεξί άκρο της χορδής, δηλαδή . Ως εκ τούτου αποδεικνύεται ότι. Αυτή η ισότητα είναι δυνατή εάν , όπου είναι ένας αυθαίρετος θετικός ακέραιος αριθμός.

Εξετάστε το αποτέλεσμα της παρεμβολής δύο ημιτονοειδών επίπεδων κυμάτων ίδιου πλάτους και συχνότητας που διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις. Για λόγους απλότητας, υποθέτουμε ότι οι εξισώσεις αυτών των κυμάτων έχουν τη μορφή:

Αυτό σημαίνει ότι στην αρχή και τα δύο κύματα προκαλούν ταλαντώσεις στην ίδια φάση. Στο σημείο Α με συντεταγμένη x, η συνολική τιμή του ταλαντούμενου μεγέθους, σύμφωνα με την αρχή της υπέρθεσης (βλ. § 19), είναι

Αυτή η εξίσωση δείχνει ότι ως αποτέλεσμα της παρεμβολής άμεσων και οπισθοδρομικών κυμάτων σε κάθε σημείο του μέσου (με μια σταθερή συντεταγμένη) εμφανίζεται μια αρμονική ταλάντωση με την ίδια συχνότητα, αλλά με πλάτος

εξαρτάται από την τιμή της συντεταγμένης x. Σε σημεία του μέσου όπου δεν υπάρχουν καθόλου κραδασμοί: αυτά τα σημεία ονομάζονται κόμβοι δονήσεων.

Στα σημεία όπου το πλάτος των ταλαντώσεων έχει τη μεγαλύτερη τιμή, τα σημεία αυτά ονομάζονται αντικόμβοι των ταλαντώσεων. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι η απόσταση μεταξύ γειτονικών κόμβων ή γειτονικών αντικόμβων είναι ίση με την απόσταση μεταξύ του αντικόμβου και του πλησιέστερου κόμβου είναι Όταν το x αλλάζει κατά συνημίτονο στον τύπο (5.16), αντιστρέφει το πρόσημό του (το όρισμά του αλλάζει σε έτσι εάν εντός ένα μισό κύμα - από τον έναν κόμβο στον άλλο - τα σωματίδια του μέσου παρέκκλιναν προς μια κατεύθυνση, και στη συνέχεια μέσα στο γειτονικό μισό κύμα, τα σωματίδια του μέσου θα εκτρέπονται προς την αντίθετη κατεύθυνση.

Η κυματική διαδικασία σε ένα μέσο που περιγράφεται από τον τύπο (5.16) ονομάζεται στάσιμο κύμα. Γραφικά, ένα στάσιμο κύμα μπορεί να απεικονιστεί όπως φαίνεται στο Σχ. 1.61. Ας υποθέσουμε ότι το y έχει μετατόπιση των σημείων του μέσου από την κατάσταση ισορροπίας. τότε ο τύπος (5.16) περιγράφει ένα "στάσιμο κύμα μετατόπισης". Σε κάποια χρονική στιγμή, όταν όλα τα σημεία του μέσου έχουν μέγιστες μετατοπίσεις, η κατεύθυνση των οποίων, ανάλογα με την τιμή της συντεταγμένης x, καθορίζεται από το πρόσημο. Αυτές οι μετατοπίσεις φαίνονται στο Σχ. 1,61 με συμπαγή βέλη. Μετά το ένα τέταρτο της περιόδου, όταν οι μετατοπίσεις όλων των σημείων του μέσου είναι ίσες με μηδέν. σωματίδια του μέσου διέρχονται από τη γραμμή με διαφορετικές ταχύτητες. Μετά από ένα άλλο τέταρτο της περιόδου, όταν τα σωματίδια του μέσου θα έχουν και πάλι μέγιστες μετατοπίσεις, αλλά προς την αντίθετη κατεύθυνση. αυτές οι μετατοπίσεις εμφανίζονται στο

ρύζι. 1,61 διακεκομμένα βέλη. Τα σημεία είναι οι αντικόμβοι του στάσιμου κύματος μετατόπισης. σημεία κόμβων αυτού του κύματος.

Τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα ενός στάσιμου κύματος, σε αντίθεση με ένα συμβατικό κύμα διάδοσης ή κινούμενο, είναι τα εξής (εννοεί τα επίπεδα κύματα απουσία εξασθένησης):

1) σε ένα στάσιμο κύμα, τα πλάτη ταλάντωσης είναι διαφορετικά σε διαφορετικά μέρη του συστήματος. το σύστημα έχει κόμβους και αντικόμβους ταλαντώσεων. Σε ένα "ταξιδεύον" κύμα, αυτά τα πλάτη είναι τα ίδια παντού.

2) εντός της περιοχής του συστήματος από τον έναν κόμβο στον γειτονικό, όλα τα σημεία του μέσου ταλαντώνονται στην ίδια φάση. κατά το πέρασμα σε γειτονικό τμήμα, οι φάσεις των ταλαντώσεων αντιστρέφονται. Σε ένα κινούμενο κύμα, οι φάσεις των ταλαντώσεων, σύμφωνα με τον τύπο (5.2), εξαρτώνται από τις συντεταγμένες των σημείων.

3) σε ένα στάσιμο κύμα δεν υπάρχει μονόδρομη μεταφορά ενέργειας, όπως συμβαίνει σε ένα κινούμενο κύμα.

Κατά την περιγραφή των διεργασιών ταλάντωσης σε ελαστικά συστήματα, η τιμή ταλάντωσης y μπορεί να ληφθεί όχι μόνο ως η μετατόπιση ή η ταχύτητα των σωματιδίων του συστήματος, αλλά και ως η τιμή της σχετικής παραμόρφωσης ή η τιμή της τάσης σε συμπίεση, τάση ή διάτμηση κτλ. Ταυτόχρονα, σε ένα στάσιμο κύμα, σε μέρη όπου σχηματίζονται αντικόμβοι ταχυτήτων σωματιδίων, εντοπίζονται κόμβοι παραμόρφωσης και αντίστροφα, οι κόμβοι ταχύτητας συμπίπτουν με αντικόμβους παραμόρφωσης. Ο μετασχηματισμός της ενέργειας από κινητική σε δυναμική και αντίστροφα συμβαίνει μέσα στο τμήμα του συστήματος από τον αντικόμβο στον γειτονικό κόμβο. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι κάθε τέτοιο τμήμα δεν ανταλλάσσει ενέργεια με γειτονικά τμήματα. Σημειώστε ότι ο μετασχηματισμός της κινητικής ενέργειας των κινούμενων σωματιδίων σε δυναμική ενέργεια παραμορφωμένων τμημάτων του μέσου συμβαίνει δύο φορές σε μια περίοδο.

Παραπάνω, λαμβάνοντας υπόψη την παρεμβολή άμεσων και οπισθοδρομικών κυμάτων (βλέπε εκφράσεις (5.16)), δεν μας ενδιέφερε η προέλευση αυτών των κυμάτων. Ας υποθέσουμε τώρα ότι το μέσο στο οποίο διαδίδονται οι δονήσεις έχει περιορισμένες διαστάσεις, για παράδειγμα, προκαλούνται δονήσεις σε κάποιο στερεό σώμα - σε μια ράβδο ή μια χορδή, σε μια στήλη υγρού ή αερίου κ.λπ. Ένα κύμα που διαδίδεται σε ένα τέτοιο μέσο ( σώμα), αντανακλάται από τα όρια, επομένως, εντός του όγκου αυτού του σώματος, εμφανίζεται συνεχώς παρεμβολή κυμάτων που προκαλείται από εξωτερική πηγή και ανακλάται από τα όρια.

Σκεφτείτε το απλούστερο παράδειγμα; Ας υποθέσουμε ότι, σε ένα σημείο (Εικ. 1.62) μιας ράβδου ή χορδής, διεγείρεται μια ταλαντευτική κίνηση με συχνότητα με τη βοήθεια μιας εξωτερικής ημιτονοειδούς πηγής. επιλέγουμε την αρχή της χρονικής αναφοράς ώστε σε αυτό το σημείο η μετατόπιση να εκφράζεται με τον τύπο

όπου το πλάτος ταλάντωσης στο σημείο Το κύμα που προκαλείται στη ράβδο θα ανακλάται από το δεύτερο άκρο της ράβδου 0% και θα πηγαίνει προς την αντίθετη κατεύθυνση

κατεύθυνση. Ας βρούμε το αποτέλεσμα της παρεμβολής άμεσων και ανακλώμενων κυμάτων σε ένα ορισμένο σημείο της ράβδου που έχει τη συντεταγμένη x. Για λόγους απλότητας, υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει απορρόφηση δονητικής ενέργειας στη ράβδο και επομένως τα πλάτη των άμεσων και ανακλώμενων κυμάτων είναι ίσα.

Σε κάποια χρονική στιγμή, όταν η μετατόπιση των ταλαντούμενων σωματιδίων σε ένα σημείο είναι ίση με y, σε ένα άλλο σημείο της ράβδου, η μετατόπιση που προκαλείται από ένα άμεσο κύμα θα είναι, σύμφωνα με τον τύπο του κύματος, ίση με

Το ανακλώμενο κύμα διέρχεται επίσης από το ίδιο σημείο Α. Για να βρείτε τη μετατόπιση που προκαλείται στο σημείο Α από το ανακλώμενο κύμα (ταυτόχρονα είναι απαραίτητο να υπολογιστεί ο χρόνος κατά τον οποίο το κύμα θα ταξιδέψει από και προς το σημείο, καθώς η μετατόπιση που προκαλείται στο σημείο από το ανακλώμενο κύμα θα είναι ίσο με

Σε αυτή την περίπτωση, θεωρείται ότι στο ανακλαστικό άκρο της ράβδου στη διαδικασία ανάκλασης δεν υπάρχει απότομη αλλαγή στη φάση ταλάντωσης. Σε ορισμένες περιπτώσεις συμβαίνει μια τέτοια αλλαγή φάσης (που ονομάζεται απώλεια φάσης) και πρέπει να ληφθεί υπόψη.

Η προσθήκη κραδασμών που προκαλούνται σε διάφορα σημεία της ράβδου από άμεσα και ανακλώμενα κύματα δίνει ένα στάσιμο κύμα. Πραγματικά,

όπου είναι κάποια σταθερή φάση, ανεξάρτητη από τη συντεταγμένη x και την ποσότητα

είναι το πλάτος ταλάντωσης στο σημείο· εξαρτάται από τη συντεταγμένη x, δηλαδή είναι διαφορετικό σε διαφορετικά σημεία της ράβδου.

Ας βρούμε τις συντεταγμένες εκείνων των σημείων της ράβδου στα οποία σχηματίζονται οι κόμβοι και οι αντικόμβοι του στάσιμου κύματος. Το συνημίτονο μετατρέπεται σε μηδέν ή εμφανίζεται ένα σε τιμές ορίσματος που είναι πολλαπλάσια του

όπου είναι ένας ακέραιος αριθμός. Για μια περιττή τιμή αυτού του αριθμού, το συνημίτονο εξαφανίζεται και ο τύπος (5.19) δίνει τις συντεταγμένες των κόμβων του στάσιμου κύματος. για ακόμη παίρνουμε τις συντεταγμένες των αντικόμβων.

Πάνω, προστέθηκαν μόνο δύο κύματα: ένα άμεσο που προέρχεται από και ένα ανακλώμενο που διαδίδεται από. Ωστόσο, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι το ανακλώμενο κύμα στο όριο της ράβδου θα ανακλαστεί ξανά και θα πάει προς την κατεύθυνση του άμεσου κύματος. Τέτοιοι προβληματισμοί

θα υπάρχουν πολλά από τα άκρα της ράβδου, και επομένως είναι απαραίτητο να βρεθεί το αποτέλεσμα της παρεμβολής όχι δύο, αλλά όλων των κυμάτων που υπάρχουν ταυτόχρονα στη ράβδο.

Ας υποθέσουμε ότι μια εξωτερική πηγή δονήσεων προκάλεσε κύματα στη ράβδο για κάποιο χρονικό διάστημα, μετά την οποία η ροή της ενέργειας δόνησης από το εξωτερικό σταμάτησε. Κατά τη διάρκεια αυτού του χρόνου, εμφανίστηκαν αντανακλάσεις στη ράβδο, όπου είναι ο χρόνος κατά τον οποίο το κύμα πέρασε από τη μια άκρη της ράβδου στην άλλη. Κατά συνέπεια, στη ράβδο θα υπάρχουν ταυτόχρονα κύματα που ταξιδεύουν προς την εμπρός κατεύθυνση και κύματα που ταξιδεύουν προς την αντίθετη κατεύθυνση.

Ας υποθέσουμε ότι ως αποτέλεσμα της παρεμβολής ενός ζεύγους κυμάτων (άμεσου και ανακλώμενου), η μετατόπιση στο σημείο Α αποδείχθηκε ίση με y. Ας βρούμε την συνθήκη υπό την οποία όλες οι μετατοπίσεις y που προκαλούνται από κάθε ζεύγος κυμάτων έχουν τις ίδιες κατευθύνσεις στο σημείο Α της ράβδου και επομένως αθροίζονται. Για αυτό, οι φάσεις των ταλαντώσεων που προκαλούνται από κάθε ζεύγος κυμάτων σε ένα σημείο πρέπει να διαφέρουν από τη φάση των ταλαντώσεων που προκαλούνται από το επόμενο ζεύγος κυμάτων. Αλλά κάθε κύμα επιστρέφει ξανά στο σημείο Α με την ίδια κατεύθυνση διάδοσης μόνο μετά από κάποιο χρονικό διάστημα, δηλ. υστερεί σε φάση εξισώνοντας αυτήν την υστέρηση όπου είναι ένας ακέραιος, παίρνουμε

Δηλαδή, ένας ακέραιος αριθμός μισών κυμάτων πρέπει να χωράει σε όλο το μήκος της ράβδου. Σημειώστε ότι υπό αυτήν την προϋπόθεση, οι φάσεις όλων των κυμάτων που ταξιδεύουν από την προς τα εμπρός κατεύθυνση διαφέρουν μεταξύ τους κατά το πού είναι ένας ακέραιος αριθμός. με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, οι φάσεις όλων των κυμάτων που πηγαίνουν από την αντίθετη κατεύθυνση διαφέρουν μεταξύ τους κατά. Επομένως, εάν ένα ζεύγος κυμάτων (εμπρός και πίσω) δίνει μια κατανομή μετατοπίσεων κατά μήκος της ράβδου, που καθορίζεται από τον τύπο (5.17) , τότε με την παρεμβολή ζευγών τέτοιων κυμάτων, η κατανομή των μετατοπίσεων δεν θα αλλάξει. μόνο το πλάτος των ταλαντώσεων θα αυξηθεί. Εάν το μέγιστο πλάτος των ταλαντώσεων κατά την παρεμβολή δύο κυμάτων, σύμφωνα με τον τύπο (5.18), είναι ίσο, τότε με την παρεμβολή πολλών κυμάτων θα είναι μεγαλύτερο. Ας το χαρακτηρίσουμε καθώς τότε η κατανομή του πλάτους ταλάντωσης κατά μήκος της ράβδου αντί της έκφρασης (5.18) θα καθοριστεί από τον τύπο

Οι εκφράσεις (5.19) και (5.20) καθορίζουν τα σημεία στα οποία το συνημίτονο έχει τις τιμές ή 1:

όπου είναι ένας ακέραιος Οι συντεταγμένες των κόμβων του στάσιμου κύματος θα ληφθούν από αυτόν τον τύπο για περιττές τιμές, στη συνέχεια, ανάλογα με το μήκος της ράβδου, δηλ. την τιμή

Οι συντεταγμένες αντικόμβων θα ληφθούν με ζυγές τιμές

Στο σχ. Το 1.63 δείχνει σχηματικά ένα στάσιμο κύμα σε μια ράβδο, το μήκος της οποίας. τα σημεία είναι οι αντικόμβοι, τα σημεία είναι οι κόμβοι αυτού του στάσιμου κύματος.

Στο κεφ. αποδείχθηκε ότι ελλείψει περιοδικών εξωτερικών επιρροών, η φύση των κωδικοποιητικών κινήσεων στο σύστημα και, πάνω απ 'όλα, η κύρια ποσότητα - η συχνότητα ταλάντωσης - καθορίζονται από τις διαστάσεις και τις φυσικές ιδιότητες του συστήματος. Κάθε ταλαντευτικό σύστημα έχει τη δική του, εγγενή ταλαντωτική κίνηση. Αυτή η διακύμανση μπορεί να παρατηρηθεί εάν το σύστημα βγει από την ισορροπία και στη συνέχεια εξαλειφθούν οι εξωτερικές επιρροές.

Στο κεφ. 4 ώρες εξέτασα κυρίως ταλαντωτικά συστήματα με αθροιστικές παραμέτρους, στα οποία ορισμένα σώματα (σημείο) είχαν αδρανειακή μάζα και άλλα σώματα (ελατήρια) είχαν ελαστικές ιδιότητες. Αντίθετα, τα ταλαντωτικά συστήματα στα οποία η μάζα και η ελαστικότητα είναι εγγενείς σε κάθε στοιχειώδη όγκο ονομάζονται συστήματα με κατανεμημένες παραμέτρους. Αυτά περιλαμβάνουν τις ράβδους που συζητήθηκαν παραπάνω, χορδές, καθώς και στήλες υγρού ή αερίου (σε πνευστά μουσικά όργανα) κ.λπ. Για τέτοια συστήματα, τα στάσιμα κύματα είναι φυσικοί κραδασμοί. το κύριο χαρακτηριστικό αυτών των κυμάτων - το μήκος κύματος ή η κατανομή των κόμβων και των αντικόμβων, καθώς και η συχνότητα των ταλαντώσεων - καθορίζεται μόνο από τις διαστάσεις και τις ιδιότητες του συστήματος. Μόνιμα κύματα μπορεί επίσης να υπάρχουν απουσία εξωτερικής (περιοδικής) δράσης στο σύστημα. Αυτή η ενέργεια είναι απαραίτητη μόνο για να προκαλέσει ή να διατηρήσει στάσιμα κύματα στο σύστημα ή για να αλλάξει τα πλάτη των ταλαντώσεων. Ειδικότερα, εάν μια εξωτερική δράση σε ένα σύστημα με κατανεμημένες παραμέτρους συμβαίνει σε συχνότητα ίση με τη συχνότητα των φυσικών του ταλαντώσεων, δηλαδή τη συχνότητα ενός στάσιμου κύματος, τότε λαμβάνει χώρα το φαινόμενο συντονισμού, το οποίο εξετάστηκε στο Κεφ. 5. για διαφορετικές συχνότητες είναι το ίδιο.

Έτσι, σε συστήματα με κατανεμημένες παραμέτρους, οι φυσικές ταλαντώσεις -στάσιμα κύματα- χαρακτηρίζονται από ένα ολόκληρο φάσμα συχνοτήτων που είναι πολλαπλάσια μεταξύ τους. Η μικρότερη από αυτές τις συχνότητες που αντιστοιχεί στο μεγαλύτερο μήκος κύματος ονομάζεται θεμελιώδης συχνότητα. τα υπόλοιπα) είναι απόχρωση ή αρμονικές.

Κάθε σύστημα χαρακτηρίζεται όχι μόνο από την παρουσία ενός τέτοιου φάσματος ταλαντώσεων, αλλά και από μια ορισμένη κατανομή ενέργειας μεταξύ ταλαντώσεων διαφορετικών συχνοτήτων. Για τα μουσικά όργανα, αυτή η κατανομή δίνει στον ήχο ένα ιδιόμορφο χαρακτηριστικό, το λεγόμενο ηχητικό τόνο, το οποίο είναι διαφορετικό για διαφορετικά όργανα.

Οι παραπάνω υπολογισμοί αναφέρονται σε μια ελεύθερη ταλαντούμενη "ράβδο μήκους. Ωστόσο, συνήθως έχουμε ράβδους στερεωμένες στο ένα ή και στα δύο άκρα (για παράδειγμα, ταλαντευόμενες χορδές) ή υπάρχουν ένα ή περισσότερα σημεία στερέωσης κατά μήκος της ράβδου. Οι κινήσεις είναι εξαναγκασμένη μετατόπιση κόμβοι. Για παράδειγμα,

εάν είναι απαραίτητο να ληφθούν στάσιμα κύματα στη ράβδο σε ένα, δύο, τρία σημεία στερέωσης κ.λπ., τότε αυτά τα σημεία δεν μπορούν να επιλεγούν αυθαίρετα, αλλά πρέπει να βρίσκονται κατά μήκος της ράβδου έτσι ώστε να βρίσκονται στους κόμβους του στάσιμου κύματος που προκύπτει . Αυτό φαίνεται, για παράδειγμα, στο Σχ. 1,64. Στο ίδιο σχήμα, η διακεκομμένη γραμμή δείχνει τις μετατοπίσεις των σημείων της ράβδου κατά τη διάρκεια των κραδασμών. Οι αντικόμβοι μετατόπισης σχηματίζονται πάντα στα ελεύθερα άκρα και οι κόμβοι μετατόπισης στα σταθερά άκρα. Για κολώνες ταλαντούμενου αέρα σε σωλήνες, οι κόμβοι μετατόπισης (και οι ταχύτητες) λαμβάνονται στα ανακλώμενα συμπαγή τοιχώματα. στα ανοιχτά άκρα των σωλήνων σχηματίζονται αντικόμβοι μετατοπίσεων και ταχυτήτων.

6.1 Μόνιμα κύματα σε ελαστικό μέσο

Σύμφωνα με την αρχή της υπέρθεσης, όταν πολλά κύματα διαδίδονται ταυτόχρονα σε ένα ελαστικό μέσο, εμφανίζεται η υπέρθεση τους και τα κύματα δεν διαταράσσουν το ένα το άλλο: οι ταλαντώσεις των σωματιδίων του μέσου είναι το διανυσματικό άθροισμα των ταλαντώσεων που θα έκαναν τα σωματίδια κατά τη διάδοση καθενός από τα κύματα χωριστά .

Τα κύματα που δημιουργούν ταλαντώσεις του μέσου, οι διαφορές φάσης μεταξύ των οποίων είναι σταθερές σε κάθε σημείο του χώρου, ονομάζονται συναφής.

Κατά την προσθήκη συνεκτικών κυμάτων, προκύπτει το φαινόμενο παρέμβαση, που συνίσταται στο γεγονός ότι σε ορισμένα σημεία του χώρου τα κύματα ενισχύονται μεταξύ τους και σε άλλα εξασθενούν. Σημαντική περίπτωση παρεμβολής παρατηρείται όταν δύο αντίθετα επίπεδα κύματα με την ίδια συχνότητα και πλάτος υπερτίθενται. Οι ταλαντώσεις που προκύπτουν ονομάζονται στάσιμο κύμα. Τις περισσότερες φορές, τα στάσιμα κύματα προκύπτουν όταν ένα κύμα που ταξιδεύει ανακλάται από ένα εμπόδιο. Σε αυτή την περίπτωση, το προσπίπτον κύμα και το κύμα που ανακλάται προς αυτό, όταν αθροίζονται μαζί, δίνουν ένα στάσιμο κύμα.

Παίρνουμε την εξίσωση στάσιμου κύματος. Ας πάρουμε δύο επίπεδα αρμονικά κύματα που διαδίδονται το ένα προς το άλλο κατά μήκος του άξονα Χκαι έχουν την ίδια συχνότητα και πλάτος:

όπου - η φάση των ταλαντώσεων των σημείων του μέσου κατά τη διέλευση του πρώτου κύματος.

- η φάση των ταλαντώσεων των σημείων του μέσου κατά τη διέλευση του δεύτερου κύματος.

Διαφορά φάσης σε κάθε σημείο του άξονα Χτο δίκτυο δεν θα εξαρτάται από το χρόνο, δηλ. θα είναι σταθερή:

Επομένως, και τα δύο κύματα θα είναι συνεκτικά.

Η ταλάντωση των σωματιδίων του μέσου που προκύπτει από την προσθήκη των εξεταζόμενων κυμάτων θα είναι η εξής:

Μετασχηματίζουμε το άθροισμα των συνημιτόνων των γωνιών σύμφωνα με τον κανόνα (4.4) και παίρνουμε:

Αναδιατάσσοντας τους παράγοντες, παίρνουμε:

Για να απλοποιήσουμε την έκφραση, επιλέγουμε την προέλευση έτσι ώστε η διαφορά φάσης και την αρχή του χρόνου, έτσι ώστε το άθροισμα των φάσεων να είναι ίσο με μηδέν: .

Τότε η εξίσωση για το άθροισμα των κυμάτων θα έχει τη μορφή:

Καλείται η εξίσωση (6.6). εξίσωση στάσιμου κύματος. Μπορεί να φανεί από αυτό ότι η συχνότητα του στάσιμου κύματος είναι ίση με τη συχνότητα του κινούμενου κύματος και το πλάτος, σε αντίθεση με το κύμα που ταξιδεύει, εξαρτάται από την απόσταση από την αρχή:

. (6.7)

Λαμβάνοντας υπόψη το (6.7), η εξίσωση στάσιμου κύματος παίρνει τη μορφή:

. (6.8)

Έτσι, τα σημεία του μέσου ταλαντώνονται με συχνότητα που συμπίπτει με τη συχνότητα του κινούμενου κύματος και με πλάτος ένα, ανάλογα με τη θέση του σημείου στον άξονα Χ. Αντίστοιχα, το πλάτος αλλάζει σύμφωνα με τον νόμο του συνημιτόνου και έχει τα δικά του μέγιστα και ελάχιστα (Εικ. 6.1).

Για να απεικονίσουμε τη θέση των ελάχιστων και μεγίστων του πλάτους, αντικαθιστούμε, σύμφωνα με το (5.29), τον αριθμό κύματος από την τιμή του:

Τότε η έκφραση (6.7) για το πλάτος παίρνει τη μορφή

(6.10)

Από αυτό γίνεται σαφές ότι το πλάτος μετατόπισης είναι το μέγιστο στο , δηλ. σε σημεία των οποίων η συντεταγμένη ικανοποιεί την προϋπόθεση:

, (6.11)

όπου

Από εδώ λαμβάνουμε τις συντεταγμένες των σημείων όπου το πλάτος μετατόπισης είναι μέγιστο:

; (6.12)

Τα σημεία όπου το πλάτος των ταλαντώσεων του μέσου είναι μέγιστο λέγονται αντικόμβοι κυμάτων.

Το πλάτος του κύματος είναι μηδέν στα σημεία όπου . Οι συντεταγμένες τέτοιων σημείων, καλούνται κόμβοι κυμάτων, ικανοποιεί την προϋπόθεση:

, (6.13)

όπου

Από το (6.13) φαίνεται ότι οι συντεταγμένες των κόμβων έχουν τις τιμές:

, (6.14)

Στο σχ. Το 6.2 δείχνει μια κατά προσέγγιση άποψη ενός στάσιμου κύματος, η θέση των κόμβων και των αντικόμβων επισημαίνεται. Μπορεί να φανεί ότι οι γειτονικοί κόμβοι και οι αντικόμβοι της μετατόπισης απέχουν μεταξύ τους την ίδια απόσταση.

Βρείτε την απόσταση μεταξύ γειτονικών αντικόμβων και κόμβων. Από το (6.12) λαμβάνουμε την απόσταση μεταξύ των αντικόμβων:

(6.15)

Η απόσταση μεταξύ των κόμβων προκύπτει από το (6.14):

(6.16)

Από τις σχέσεις (6.15) και (6.16) που ελήφθησαν, μπορεί να φανεί ότι η απόσταση μεταξύ γειτονικών κόμβων, καθώς και μεταξύ γειτονικών αντικόμβων, είναι σταθερή και ίση με· οι κόμβοι και οι αντικόμβοι μετατοπίζονται μεταξύ τους κατά (Εικ. 6.3).

Από τον ορισμό του μήκους κύματος, μπορούμε να γράψουμε μια έκφραση για το μήκος του στάσιμου κύματος: είναι ίσο με το μισό του μήκους του ταξιδιού κύματος:

Ας γράψουμε, λαμβάνοντας υπόψη το (6.17), εκφράσεις για τις συντεταγμένες των κόμβων και των αντικόμβων:

, (6.18)

, (6.19)

Ο πολλαπλασιαστής, ο οποίος καθορίζει το πλάτος του στάσιμου κύματος, αλλάζει πρόσημο όταν διέρχεται από τη μηδενική τιμή, με αποτέλεσμα η φάση των ταλαντώσεων στις απέναντι πλευρές του κόμβου να διαφέρει κατά . Κατά συνέπεια, όλα τα σημεία που βρίσκονται σε διαφορετικές πλευρές του κόμβου ταλαντώνονται σε αντιφάση. Όλα τα σημεία μεταξύ γειτονικών κόμβων ταλαντώνονται σε φάση.

Οι κόμβοι χωρίζουν υπό όρους το μέσο σε αυτόνομες περιοχές στις οποίες συμβαίνουν ανεξάρτητα αρμονικές ταλαντώσεις. Δεν υπάρχει μεταφορά κίνησης μεταξύ των περιοχών και, επομένως, δεν υπάρχει ροή ενέργειας μεταξύ των περιοχών. Δηλαδή δεν υπάρχει μετάδοση διατάραξης κατά μήκος του άξονα. Επομένως, το κύμα ονομάζεται στάσιμο.

Έτσι, ένα στάσιμο κύμα σχηματίζεται από δύο αντίθετα κατευθυνόμενα κινούμενα κύματα ίσων συχνοτήτων και πλάτους. Τα διανύσματα Umov καθενός από αυτά τα κύματα είναι ίσα σε συντελεστή και αντίθετα ως προς την κατεύθυνση, και όταν προστεθούν δίνουν μηδέν. Επομένως, ένα στάσιμο κύμα δεν μεταφέρει ενέργεια.

6.2 Παραδείγματα στάσιμων κυμάτων

6.2.1 Στατικό κύμα σε χορδή

Σκεφτείτε μια σειρά μήκους μεγάλο, στερεωμένο και στα δύο άκρα (Εικ. 6.4).

Ας τοποθετήσουμε τον άξονα κατά μήκος της χορδής Χώστε το αριστερό άκρο της συμβολοσειράς να έχει τη συντεταγμένη x=0, και το δικαίωμα x=L. Οι δονήσεις εμφανίζονται στη χορδή, που περιγράφεται από την εξίσωση:

Ας γράψουμε τις οριακές συνθήκες για την εξεταζόμενη συμβολοσειρά. Αφού τα άκρα του είναι σταθερά, τότε σε σημεία με συντεταγμένες x=0και x=Lκανένας δισταγμός:

(6.22)

Ας βρούμε την εξίσωση των κραδασμών της χορδής με βάση τις γραπτές οριακές συνθήκες. Γράφουμε την εξίσωση (6.20) για το αριστερό άκρο της συμβολοσειράς, λαμβάνοντας υπόψη το (6.21):

Η σχέση (6.23) ισχύει για οποιαδήποτε στιγμή tσε δύο περιπτώσεις:

1. . Αυτό είναι δυνατό εάν δεν υπάρχουν κραδασμοί στη συμβολοσειρά (). Αυτή η υπόθεση δεν έχει κανένα ενδιαφέρον και δεν θα την εξετάσουμε.

2. . Εδώ είναι η φάση. Αυτή η περίπτωση θα μας επιτρέψει να λάβουμε την εξίσωση για τις δονήσεις χορδής.

Ας αντικαταστήσουμε τη λαμβανόμενη τιμή φάσης στην οριακή συνθήκη (6.22) για το δεξί άκρο της συμβολοσειράς:

. (6.25)

Δεδομένου ότι

, (6.26)

από (6.25) παίρνουμε:

Και πάλι, προκύπτουν δύο περιπτώσεις στις οποίες η σχέση (6.27) ικανοποιείται. Την περίπτωση που δεν υπάρχουν δονήσεις στη χορδή (), δεν θα εξετάσουμε.

Στη δεύτερη περίπτωση, η ισότητα πρέπει να ισχύει:

και αυτό είναι δυνατό μόνο όταν το όρισμα ημιτόνου είναι πολλαπλάσιο ενός ακέραιου αριθμού:

Απορρίπτουμε την αξία, γιατί σε αυτήν την περίπτωση, που θα σήμαινε είτε μηδενικό μήκος συμβολοσειράς ( L=0) ή κύμα-νέος αριθμός k=0. Λαμβάνοντας υπόψη τη σύνδεση (6.9) μεταξύ του αριθμού κύματος και του μήκους κύματος, είναι σαφές ότι για να είναι ο αριθμός κύματος ίσος με μηδέν, το μήκος κύματος θα πρέπει να είναι άπειρο και αυτό θα σήμαινε την απουσία ταλαντώσεων.

Μπορεί να φανεί από το (6.28) ότι ο αριθμός κύματος κατά τη διάρκεια των δονήσεων μιας χορδής που στερεώνεται και στα δύο άκρα μπορεί να λάβει μόνο ορισμένες διακριτές τιμές:

Λαμβάνοντας υπόψη το (6.9), γράφουμε το (6.30) ως:

από όπου αντλούμε την έκφραση για τα πιθανά μήκη κύματος στη συμβολοσειρά:

Με άλλα λόγια, σε όλο το μήκος της χορδής μεγάλοπρέπει να είναι ακέραιος αριθμός nμισό κύμα:

Οι αντίστοιχες συχνότητες ταλάντωσης μπορούν να προσδιοριστούν από το (5.7):

Εδώ είναι η ταχύτητα φάσης του κύματος, η οποία, σύμφωνα με το (5.102), εξαρτάται από τη γραμμική πυκνότητα της χορδής και τη δύναμη τάνυσης της χορδής:

Αντικαθιστώντας το (6.34) στο (6.33), λαμβάνουμε μια έκφραση που περιγράφει τις πιθανές συχνότητες δόνησης της συμβολοσειράς:

, (6.36)

Οι συχνότητες καλούνται φυσικές συχνότητεςχορδές. συχνότητα (όταν n = 1):

(6.37)

που ονομάζεται θεμελιώδης συχνότητα(ή κύριος τόνος) χορδές. Συχνότητες που καθορίζονται σε n>1που ονομάζεται αποχρώσειςή αρμονικές. Ο αρμονικός αριθμός είναι n-1. Για παράδειγμα, συχνότητα:

αντιστοιχεί στην πρώτη αρμονική και η συχνότητα:

αντιστοιχεί στη δεύτερη αρμονική κ.ο.κ. Δεδομένου ότι μια χορδή μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα διακριτό σύστημα με άπειρο αριθμό βαθμών ελευθερίας, κάθε αρμονική είναι μόδαδονήσεις χορδών. Στη γενική περίπτωση, οι δονήσεις χορδών είναι μια υπέρθεση τρόπων λειτουργίας.

Κάθε αρμονική έχει το δικό της μήκος κύματος. Για τον κύριο τόνο (με n= 1) μήκος κύματος:

για την πρώτη και τη δεύτερη αρμονική, αντίστοιχα (στο n= 2 και n= 3) τα μήκη κύματος θα είναι:

Το Σχήμα 6.5 δείχνει μια άποψη πολλών τρόπων δόνησης που πραγματοποιούνται από μια χορδή.

Έτσι, μια χορδή με σταθερά άκρα πραγματοποιεί μια εξαιρετική περίπτωση στο πλαίσιο της κλασικής φυσικής - ένα διακριτό φάσμα συχνότητας ταλάντωσης (ή μηκών κύματος). Μια ελαστική ράβδος με ένα ή και τα δύο σφιγμένα άκρα συμπεριφέρεται με τον ίδιο τρόπο, όπως και οι διακυμάνσεις στη στήλη αέρα στους σωλήνες, οι οποίες θα συζητηθούν σε επόμενες ενότητες.

6.2.2 Επίδραση των αρχικών συνθηκών στην κίνηση

συνεχής χορδή. Ανάλυση Fourier

Οι δονήσεις μιας χορδής με συσφιγμένα άκρα, εκτός από ένα διακριτό φάσμα συχνοτήτων δόνησης, έχουν μια ακόμη σημαντική ιδιότητα: η συγκεκριμένη μορφή δονήσεων μιας χορδής εξαρτάται από τη μέθοδο διέγερσης των κραδασμών, δηλ. από τις αρχικές συνθήκες. Ας εξετάσουμε λεπτομερέστερα.

Η εξίσωση (6.20), η οποία περιγράφει έναν τρόπο στάσιμου κύματος σε μια χορδή, είναι μια συγκεκριμένη λύση της εξίσωσης διαφορικού κύματος (5.61). Δεδομένου ότι η δόνηση μιας χορδής αποτελείται από όλους τους πιθανούς τρόπους (για μια χορδή - ένας άπειρος αριθμός), τότε η γενική λύση της εξίσωσης κύματος (5.61) αποτελείται από έναν άπειρο αριθμό συγκεκριμένων λύσεων:

, (6.43)

όπου Εγώείναι ο αριθμός του τρόπου ταλάντωσης. Η έκφραση (6.43) γράφεται λαμβάνοντας υπόψη ότι τα άκρα της συμβολοσειράς είναι σταθερά:

και λαμβάνοντας επίσης υπόψη τη σύνδεση συχνότητας Εγώο τρόπος και ο αριθμός κυμάτων του:

(6.46)

Εδώ – αριθμός κύματος Εγώου μόδα?

είναι ο αριθμός κύματος της 1ης λειτουργίας.

Ας βρούμε την τιμή της αρχικής φάσης για κάθε τρόπο ταλάντωσης. Για αυτό, εκείνη την εποχή t=0ας δώσουμε στη συμβολοσειρά ένα σχήμα που περιγράφεται από τη συνάρτηση φά 0 (Χ), την έκφραση για την οποία λαμβάνουμε από το (6.43):

. (6.47)

Στο σχ. Το 6.6 δείχνει ένα παράδειγμα του σχήματος μιας συμβολοσειράς που περιγράφεται από τη συνάρτησή μου φά 0 (Χ).

Στο χρονικό σημείο t=0η χορδή είναι ακόμα σε ηρεμία, δηλ. η ταχύτητα όλων των σημείων του είναι ίση με μηδέν. Από το (6.43) βρίσκουμε μια έκφραση για την ταχύτητα των σημείων συμβολοσειράς:

και με υποκατάσταση σε αυτό t=0, λαμβάνουμε μια έκφραση για την ταχύτητα των σημείων της συμβολοσειράς την αρχική χρονική στιγμή:

. (6.49)

Εφόσον την αρχική χρονική στιγμή η ταχύτητα είναι ίση με μηδέν, τότε η έκφραση (6.49) θα είναι ίση με μηδέν για όλα τα σημεία της συμβολοσειράς, εάν . Από αυτό προκύπτει ότι η αρχική φάση για όλους τους τρόπους λειτουργίας είναι επίσης μηδέν (). Έχοντας αυτό υπόψη, η έκφραση (6.43), η οποία περιγράφει την κίνηση της χορδής, παίρνει τη μορφή:

, (6.50)