Απαραίτητη προϋπόθεση γραμμική εξάρτηση n λειτουργίες.

Έστω οι συναρτήσεις , έχουν παραγώγους του ορίου (n-1).

Εξετάστε την ορίζουσα: (1)

Το W(x) ονομάζεται συνήθως ορίζουσα Wronsky για συναρτήσεις.

Θεώρημα 1.Εάν οι συναρτήσεις εξαρτώνται γραμμικά στο διάστημα (a,b), τότε το Wronskian W(x) τους είναι πανομοιότυπα ίσο με το μηδέν σε αυτό το διάστημα.

Απόδειξη.Με την προϋπόθεση του θεωρήματος, η σχέση

, (2) όπου δεν είναι όλα ίσα με μηδέν. Αφήστε . Επειτα

(3). Διαφοροποιήστε αυτήν την ταυτότητα n-1 φορές και,

αντικαθιστώντας αντί των λαμβανόμενων τιμών τους στην ορίζουσα Vronsky,

παίρνουμε:

Στην ορίζουσα Wronsky, η τελευταία στήλη είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των προηγούμενων n-1 στηλών και επομένως ισούται με μηδέν σε όλα τα σημεία του διαστήματος (a,b).

Θεώρημα 2.Αν οι συναρτήσεις y 1 ,..., y n είναι γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της εξίσωσης L[y] = 0, της οποίας όλοι οι συντελεστές είναι συνεχείς στο διάστημα (a,b), τότε το Wronskian αυτών των λύσεων είναι μη μηδενικό σε κάθε σημείο μεσοδιάστημα (α,β).

Απόδειξη.Ας υποθέσουμε το αντίθετο. Υπάρχει X 0 , όπου W(X 0)=0. Συνθέτουμε ένα σύστημα n εξισώσεων

Προφανώς, το σύστημα (5) έχει μια μη μηδενική λύση. Έστω (6).

Ας συνθέσουμε έναν γραμμικό συνδυασμό λύσεων y 1 ,..., y n .

Το Y(x) είναι λύση της εξίσωσης L[y] = 0. Επιπλέον, . Δυνάμει του θεωρήματος της μοναδικότητας, η λύση της εξίσωσης L[y] = 0 με μηδενικές αρχικές συνθήκες πρέπει να είναι μόνο μηδέν, ᴛ.ᴇ. .

Παίρνουμε την ταυτότητα , όπου δεν είναι όλα ίσα με μηδέν, που σημαίνει ότι τα y 1 ,..., y n εξαρτώνται γραμμικά, πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με την συνθήκη του θεωρήματος. Επομένως, δεν υπάρχει τέτοιο σημείο όπου W(X 0)=0.

Με βάση το Θεώρημα 1 και το Θεώρημα 2, μπορούμε να διατυπώσουμε τον ακόλουθο ισχυρισμό. Για n λύσεις της εξίσωσης L[y] = 0 να είναι γραμμικά ανεξάρτητες στο διάστημα (a,b), είναι εξαιρετικά σημαντικό και αρκετό το Wronskian τους να μην εξαφανίζεται σε κανένα σημείο αυτού του διαστήματος.

Οι ακόλουθες προφανείς ιδιότητες του Wronskian προκύπτουν επίσης από τα αποδεδειγμένα θεωρήματα.

1. Αν το Wronskian n λύσεων της εξίσωσης L[y] = 0 ισούται με μηδέν σε ένα σημείο x = x 0 από το διάστημα (a,b), στο οποίο όλοι οι συντελεστές p i (x) είναι συνεχείς, τότε είναι ίσο με μηδέν σε όλα τα ex σημεία αυτού του διαστήματος.
2. Αν το Wronskian n λύσεων της εξίσωσης L[y] = 0 είναι μη μηδέν σε ένα σημείο x = x 0 από το διάστημα (a,b), τότε είναι μη μηδέν σε όλα τα σημεία αυτού του διαστήματος.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, για τη γραμμικότητα n ανεξάρτητων λύσεων της εξίσωσης L[y] = 0 στο διάστημα (a,b), στο οποίο οι συντελεστές της εξίσωσης p i (x) είναι συνεχείς, είναι εξαιρετικά σημαντικό και επαρκές ότι Το Wronskian είναι διαφορετικό από το μηδέν ακόμη και σε ένα σημείο αυτού του διαστήματος.

Απαραίτητη προϋπόθεση για γραμμική εξάρτηση n συναρτήσεων. - έννοια και τύποι. Ταξινόμηση και χαρακτηριστικά της κατηγορίας "Απαραίτητη προϋπόθεση για τη γραμμική εξάρτηση n συναρτήσεων." 2017, 2018.

-

Εξοπλισμός χειρισμού πλοίων (Εξοπλισμός χειρισμού φορτίου επί του σκάφους) Διάλεξη Νο. 6 Θέμα: Εργαλεία φορτίου (Cargo gear) 6.1. Εξοπλισμός χειρισμού πλοίων (Επί του πλοίου εξοπλισμός διακίνησης φορτίου). 6.2. Γερανοί φορτίου. 6.3. Αναβαθμίδα. Υπερφόρτωση είναι η μετακίνηση εμπορευμάτων προς ή από ένα όχημα. Πολλά... .

- Γερανοί φορτίου

Πιστοποιητικά Κλάδος καθηκόντων Οι επιθεωρήσεις, οι πιστοποιήσεις και οι αρμοδιότητες κατανέμονται ως εξής: &... .

- Τον ξέρεις? Lo conoces;

Εκεί - allá Here - aqui Σε ένα καφέ - en el cafe Στη δουλειά - en el trabajo Στη θάλασσα - en el mar 1. Ξέρεις πού είναι το καφέ; 2. Ξέρεις πού είναι η Σάσα; 3. Ξέρετε πού είναι η βιβλιοθήκη; 4. Ξέρεις πού είναι τώρα η Olya; 5. Ξέρεις πού είναι τώρα η Νατάσα; Καλό απόγευμα! Εγώ... .

- Προσδιορισμός των Zmin και Xmin από την κατάσταση μη υποτιμολόγησης

Εικ.5.9. Σχετικά με το κόψιμο των δοντιών των τροχών. Ας εξετάσουμε πώς ο συντελεστής διάτμησης rack x σχετίζεται με τον αριθμό των δοντιών που μπορούν να κοπούν από το ράφι στον τροχό. Αφήστε τη ράγα να εγκατασταθεί στη θέση 1 (Εικ. 5.9.). Σε αυτήν την περίπτωση, η ευθεία κεφαλή του ράφι θα διασχίσει τη γραμμή εμπλοκής N-N, συμπεριλαμβανομένου ...

Έστω οι συναρτήσεις , έχουν παραγώγους του ορίου (n-1).

Εξετάστε την ορίζουσα: (1)

Το W(x) ονομάζεται ορίζουσα Wronsky για συναρτήσεις.

Θεώρημα 1.Εάν οι συναρτήσεις εξαρτώνται γραμμικά στο διάστημα (a, b), τότε το Wronskian W(x) τους είναι πανομοιότυπα ίσο με μηδέν σε αυτό το διάστημα.

Απόδειξη.Με την προϋπόθεση του θεωρήματος, η σχέση

, (2) όπου δεν είναι όλα ίσα με μηδέν. Αφήστε . Επειτα

(3). Διαφοροποιήστε αυτήν την ταυτότητα n-1 φορές και,

Αντικαθιστώντας αντί των λαμβανόμενων τιμών τους στην ορίζουσα Vronsky,

παίρνουμε:

(4).

Στην ορίζουσα Wronsky, η τελευταία στήλη είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των προηγούμενων n-1 στηλών και επομένως είναι μηδέν σε όλα τα σημεία του διαστήματος (a, b).

Θεώρημα 2.Αν οι συναρτήσεις y1,…, yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της εξίσωσης L[y] = 0, της οποίας όλοι οι συντελεστές είναι συνεχείς στο διάστημα (a, b), τότε το Wronskian αυτών των λύσεων είναι μη μηδενικό σε κάθε σημείο του διάστημα (α, β).

Απόδειξη.Ας υποθέσουμε το αντίθετο. Υπάρχει X0, όπου W(X0)=0. Συνθέτουμε ένα σύστημα n εξισώσεων

(5).

Προφανώς, το σύστημα (5) έχει μια μη μηδενική λύση. Έστω (6).

Ας συνθέσουμε έναν γραμμικό συνδυασμό λύσεων y1,…, yn.

Το Y(x) είναι λύση της εξίσωσης L[y] = 0. Επιπλέον, . Δυνάμει του θεωρήματος της μοναδικότητας, η λύση της εξίσωσης L[y] = 0 με μηδενικές αρχικές συνθήκες μπορεί να είναι μόνο μηδέν, δηλ.

Παίρνουμε την ταυτότητα , όπου δεν είναι όλα ίσα με μηδέν, που σημαίνει ότι τα y1,…, yn εξαρτώνται γραμμικά, πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με την συνθήκη του θεωρήματος. Επομένως, δεν υπάρχει τέτοιο σημείο όπου W(X0)=0.

Με βάση το Θεώρημα 1 και το Θεώρημα 2, μπορούμε να διατυπώσουμε τον ακόλουθο ισχυρισμό. Για n λύσεις της εξίσωσης L[y] = 0 να είναι γραμμικά ανεξάρτητες στο διάστημα (a, b), είναι απαραίτητο και αρκετό το Wronskian τους να μην εξαφανίζεται σε κανένα σημείο αυτού του διαστήματος.

Οι ακόλουθες προφανείς ιδιότητες του Wronskian προκύπτουν επίσης από τα αποδεδειγμένα θεωρήματα.

1. Αν το Wronskian n λύσεων της εξίσωσης L[y] = 0 ισούται με μηδέν σε ένα σημείο x = x0 από το διάστημα (a, b) στο οποίο όλοι οι συντελεστές pi(x) είναι συνεχείς, τότε είναι ίσο με μηδέν σε όλα τα σημεία αυτού του διαστήματος.
2. Αν το Wronskian n λύσεων της εξίσωσης L[y] = 0 είναι μη μηδενικό σε ένα σημείο x = x0 από το διάστημα (a, b), τότε είναι μη μηδενικό σε όλα τα σημεία αυτού του διαστήματος.

Έτσι, για τη γραμμικότητα n ανεξάρτητων λύσεων της εξίσωσης L[y] = 0 στο διάστημα (a, b), στο οποίο οι συντελεστές της εξίσωσης pi(x) είναι συνεχείς, είναι απαραίτητο και αρκετό το Wronskian τους να είναι μη μηδενικό τουλάχιστον σε ένα σημείο αυτού του διαστήματος.

Γραμμική εξάρτηση και γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων.
Βάση διανυσμάτων. Affine σύστημα συντεταγμένων

Στο κοινό υπάρχει ένα καρότσι με σοκολάτες και σήμερα κάθε επισκέπτης θα πάρει ένα γλυκό ζευγάρι - αναλυτική γεωμετρία με γραμμική άλγεβρα. Αυτό το άρθρο θα θίξει δύο ενότητες ανώτερων μαθηματικών ταυτόχρονα και θα δούμε πώς συνδυάζονται σε ένα περιτύλιγμα. Κάντε ένα διάλειμμα, φάτε Twix! ... βλασφημία, καλά, ανοησίες διαφωνούν. Αν και εντάξει, δεν θα σκοράρω, στο τέλος, θα πρέπει να υπάρχει μια θετική στάση στη μελέτη.

Γραμμική εξάρτηση διανυσμάτων, γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων, διανυσματική βάσηκαι άλλοι όροι δεν έχουν μόνο γεωμετρική ερμηνεία, αλλά, κυρίως, αλγεβρική σημασία. Η ίδια η έννοια του "διανύσματος" από την άποψη της γραμμικής άλγεβρας απέχει πολύ από το να είναι πάντα το "συνηθισμένο" διάνυσμα που μπορούμε να απεικονίσουμε σε ένα επίπεδο ή στο διάστημα. Δεν χρειάζεται να ψάξετε πολύ για απόδειξη, δοκιμάστε να σχεδιάσετε ένα διάνυσμα πενταδιάστατου χώρου . Ή το διάνυσμα καιρού, για το οποίο μόλις πήγα στο Gismeteo: - θερμοκρασία και ατμοσφαιρική πίεση, αντίστοιχα. Το παράδειγμα, φυσικά, είναι λανθασμένο από την άποψη των ιδιοτήτων του διανυσματικού χώρου, αλλά, ωστόσο, κανείς δεν απαγορεύει την επισημοποίηση αυτών των παραμέτρων ως διάνυσμα. Φθινοπωρινή ανάσα...

Όχι, δεν πρόκειται να σας κουράσω με τη θεωρία, γραμμικούς διανυσματικούς χώρους, το καθήκον είναι να καταλαβαίνουνορισμούς και θεωρήματα. Οι νέοι όροι (γραμμική εξάρτηση, ανεξαρτησία, γραμμικός συνδυασμός, βάση κ.λπ.) ισχύουν για όλα τα διανύσματα από αλγεβρική άποψη, αλλά παραδείγματα θα δοθούν γεωμετρικά. Έτσι, όλα είναι απλά, προσβάσιμα και οπτικά. Εκτός από τα προβλήματα της αναλυτικής γεωμετρίας, θα εξετάσουμε επίσης ορισμένες τυπικές εργασίες της άλγεβρας. Για να κυριαρχήσετε το υλικό, συνιστάται να εξοικειωθείτε με τα μαθήματα Διανύσματα για ανδρείκελακαι Πώς να υπολογίσετε την ορίζουσα;

Γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία επίπεδων διανυσμάτων.
Επίπεδη βάση και συγγενικό σύστημα συντεταγμένων

Σκεφτείτε το επίπεδο του γραφείου του υπολογιστή σας (μόνο ένα τραπέζι, κομοδίνο, πάτωμα, οροφή, ό,τι θέλετε). Η εργασία θα αποτελείται από τις ακόλουθες ενέργειες:

1) Επιλέξτε βάση αεροπλάνου. Σε γενικές γραμμές, η επιφάνεια του τραπεζιού έχει μήκος και πλάτος, επομένως είναι διαισθητικά σαφές ότι απαιτούνται δύο διανύσματα για την κατασκευή της βάσης. Ένα διάνυσμα σαφώς δεν είναι αρκετό, τρία διανύσματα είναι πάρα πολλά.

2) Με βάση την επιλεγμένη βάση ρυθμίστε το σύστημα συντεταγμένων(πλέγμα συντεταγμένων) για να εκχωρήσετε συντεταγμένες σε όλα τα στοιχεία του πίνακα.

Μην εκπλαγείτε, στην αρχή οι εξηγήσεις θα είναι στα δάχτυλα. Επιπλέον, στο δικό σου. Παρακαλώ τοποθετήστε δείκτηςαριστερόχειραςστην άκρη του τραπεζιού, ώστε να κοιτάζει την οθόνη. Αυτό θα είναι ένα διάνυσμα. Τώρα τοποθετήστε μικρό δάχτυλο του δεξιού χεριούστην άκρη του τραπεζιού με τον ίδιο τρόπο - έτσι ώστε να κατευθύνεται στην οθόνη της οθόνης. Αυτό θα είναι ένα διάνυσμα. Χαμογέλα, φαίνεσαι υπέροχη! Τι μπορεί να ειπωθεί για τα διανύσματα; Διανύσματα δεδομένων συγγραμμική, που σημαίνει γραμμικάεκφράζονται μεταξύ τους:
, καλά, ή αντίστροφα: , όπου είναι ένας μη μηδενικός αριθμός.

Μπορείτε να δείτε μια εικόνα αυτής της ενέργειας στο μάθημα. Διανύσματα για ανδρείκελα, όπου εξήγησα τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό.

Τα δάχτυλά σας θα βάλουν τη βάση στο επίπεδο του τραπεζιού του υπολογιστή; Προφανώς όχι. Τα συγγραμμικά διανύσματα ταξιδεύουν εμπρός και πίσω μόνοςκατεύθυνση, ενώ ένα επίπεδο έχει μήκος και πλάτος.

Τέτοια διανύσματα ονομάζονται γραμμικά εξαρτώμενη.

Αναφορά: Οι λέξεις «γραμμικό», «γραμμικό» δηλώνουν το γεγονός ότι δεν υπάρχουν τετράγωνα, κύβοι, άλλες δυνάμεις, λογάριθμοι, ημίτονο κ.λπ. σε μαθηματικές εξισώσεις, εκφράσεις. Υπάρχουν μόνο γραμμικές (1ου βαθμού) εκφράσεις και εξαρτήσεις.

Δύο επίπεδα διανύσματα γραμμικά εξαρτώμενηεάν και μόνο εάν είναι συγγραμμικές.

Σταυρώστε τα δάχτυλά σας στο τραπέζι έτσι ώστε να υπάρχει οποιαδήποτε γωνία μεταξύ τους εκτός από 0 ή 180 μοίρες. Δύο επίπεδα διανύσματαγραμμικά δενεξαρτώνται εάν και μόνο εάν δεν είναι συγγραμμικές. Έτσι, η βάση έχει ληφθεί. Δεν χρειάζεται να ντρέπεστε που η βάση αποδείχθηκε «λοξή» με μη κάθετα διανύσματα διαφόρων μηκών. Πολύ σύντομα θα δούμε ότι όχι μόνο μια γωνία 90 μοιρών είναι κατάλληλη για την κατασκευή του, και όχι μόνο μοναδιαία διανύσματα ίσου μήκους

Οποιοςεπίπεδο διάνυσμα ο μόνος τρόποςεπεκτάθηκε ως προς τη βάση:
, όπου είναι πραγματικοί αριθμοί . Οι αριθμοί καλούνται διανυσματικές συντεταγμένεςσε αυτή τη βάση.

Το λένε και αυτό διάνυσμαπαρουσιάζεται στη φόρμα γραμμικός συνδυασμόςδιανύσματα βάσης. Δηλαδή η έκφραση λέγεται διάνυσμα αποσύνθεσηςβάσηή γραμμικός συνδυασμόςδιανύσματα βάσης.

Για παράδειγμα, μπορεί κανείς να πει ότι ένα διάνυσμα διαστέλλεται σε μια ορθοκανονική βάση του επιπέδου ή μπορεί να πει κανείς ότι αναπαρίσταται ως ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων.

Ας διατυπώσουμε ορισμός βάσηςεπίσημα: βάση αεροπλάνουείναι ένα ζεύγος γραμμικά ανεξάρτητων (μη γραμμικών) διανυσμάτων, , όπου όποιοςτο επίπεδο διάνυσμα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων βάσης.

Το ουσιαστικό σημείο του ορισμού είναι το γεγονός ότι λαμβάνονται τα διανύσματα με μια ορισμένη σειρά. βάσεις Πρόκειται για δύο εντελώς διαφορετικές βάσεις! Όπως λένε, το μικρό δάχτυλο του αριστερού χεριού δεν μπορεί να μετακινηθεί στη θέση του μικρού δακτύλου του δεξιού χεριού.

Καταλάβαμε τη βάση, αλλά δεν αρκεί να ορίσετε το πλέγμα συντεταγμένων και να εκχωρήσετε συντεταγμένες σε κάθε στοιχείο στο γραφείο του υπολογιστή σας. Γιατί όχι αρκετά; Τα διανύσματα είναι ελεύθερα και περιφέρονται σε ολόκληρο το επίπεδο. Πώς, λοιπόν, αντιστοιχίζετε συντεταγμένες σε αυτές τις μικρές βρώμικες κουκκίδες που έχουν απομείνει από ένα άγριο Σαββατοκύριακο; Χρειάζεται ένα σημείο εκκίνησης. Και ένα τέτοιο σημείο αναφοράς είναι ένα σημείο γνωστό σε όλους - η προέλευση των συντεταγμένων. Κατανόηση του συστήματος συντεταγμένων:

Θα ξεκινήσω με το «σχολικό» σύστημα. Ήδη στο εισαγωγικό μάθημα Διανύσματα για ανδρείκελαΤόνισα μερικές από τις διαφορές μεταξύ ενός ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων και μιας ορθοκανονικής βάσης. Εδώ είναι η τυπική εικόνα:

Όταν μιλάμε για ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, τότε πιο συχνά σημαίνουν την αρχή, τους άξονες συντεταγμένων και την κλίμακα κατά μήκος των αξόνων. Δοκιμάστε να πληκτρολογήσετε "ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων" στη μηχανή αναζήτησης και θα δείτε ότι πολλές πηγές θα σας πουν για τους άξονες συντεταγμένων που είναι γνωστοί από την 5η-6η τάξη και πώς να σχεδιάσετε σημεία σε ένα επίπεδο.

Από την άλλη πλευρά, έχει κανείς την εντύπωση ότι ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων μπορεί να οριστεί καλά με όρους ορθοκανονικής βάσης. Και σχεδόν είναι. Η διατύπωση έχει ως εξής:

προέλευση, και ορθοκανονικήσύνολο βάσης Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων του αεροπλάνου . Δηλαδή ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σίγουραορίζεται από ένα μόνο σημείο και δύο μοναδιαία ορθογώνια διανύσματα. Γι' αυτό, βλέπετε το σχέδιο που έδωσα παραπάνω - στα γεωμετρικά προβλήματα, τόσο τα διανύσματα όσο και οι άξονες συντεταγμένων σχεδιάζονται συχνά (αλλά μακριά από πάντα).

Νομίζω ότι όλοι το καταλαβαίνουν με τη βοήθεια ενός σημείου (προέλευσης) και μιας ορθοκανονικής βάσης ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ ΣΗΜΕΙΟ του αεροπλάνου και ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ του αεροπλάνουμπορούν να εκχωρηθούν συντεταγμένες. Μεταφορικά μιλώντας, «τα πάντα στο αεροπλάνο μπορούν να αριθμηθούν».

Τα διανύσματα συντεταγμένων πρέπει να είναι μονάδες; Όχι, μπορεί να έχουν αυθαίρετο μη μηδενικό μήκος. Θεωρήστε ένα σημείο και δύο ορθογώνια διανύσματα αυθαίρετου μη μηδενικού μήκους:

Μια τέτοια βάση ονομάζεται ορθογώνιο. Η αρχή των συντεταγμένων με διανύσματα ορίζει το πλέγμα συντεταγμένων και οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου, οποιοδήποτε διάνυσμα έχει τις δικές του συντεταγμένες στη δεδομένη βάση. Για παράδειγμα, ή. Η προφανής ταλαιπωρία είναι ότι τα διανύσματα συντεταγμένων γενικάέχουν διαφορετικά μήκη εκτός της ενότητας. Εάν τα μήκη είναι ίσα με ένα, τότε προκύπτει η συνήθης ορθοκανονική βάση.

! Σημείωση : στην ορθογώνια βάση, καθώς και παρακάτω στις συγγενικές βάσεις του επιπέδου και του χώρου, θεωρούνται μονάδες κατά μήκος των αξόνων ΥΠΟΘΕΤΙΚΟΣ. Για παράδειγμα, μια μονάδα στην τετμημένη περιέχει 4 εκ., μια μονάδα στην τεταγμένη περιέχει 2 εκ. Αυτές οι πληροφορίες είναι αρκετές για να μετατρέψουν τις «μη τυπικές» συντεταγμένες σε «συνήθη εκατοστά» εάν είναι απαραίτητο.

Και η δεύτερη ερώτηση, η οποία στην πραγματικότητα έχει ήδη απαντηθεί - είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων βάσης κατ' ανάγκη ίση με 90 μοίρες; Δεν! Όπως λέει ο ορισμός, τα διανύσματα βάσης πρέπει να είναι μόνο μη γραμμικό. Κατά συνέπεια, η γωνία μπορεί να είναι οτιδήποτε εκτός από 0 και 180 μοίρες.

Κάλεσε ένα σημείο στο αεροπλάνο προέλευση, και μη γραμμικόφορείς, , σετ συγγενικό σύστημα συντεταγμένων του αεροπλάνου :

Μερικές φορές αυτό το σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται λοξόςΣύστημα. Τα σημεία και τα διανύσματα φαίνονται ως παραδείγματα στο σχέδιο:

Όπως καταλαβαίνετε, το συγγενικό σύστημα συντεταγμένων είναι ακόμα λιγότερο βολικό, οι τύποι για τα μήκη των διανυσμάτων και των τμημάτων, που εξετάσαμε στο δεύτερο μέρος του μαθήματος, δεν λειτουργούν σε αυτό. Διανύσματα για ανδρείκελα, πολλές νόστιμες φόρμουλες που σχετίζονται με κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτων. Αλλά οι κανόνες για την προσθήκη διανυσμάτων και τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό ισχύουν, οι τύποι για τη διαίρεση ενός τμήματος από αυτή την άποψη, καθώς και ορισμένοι άλλοι τύποι προβλημάτων που θα εξετάσουμε σύντομα.

Και το συμπέρασμα είναι ότι η πιο βολική συγκεκριμένη περίπτωση ενός συγγενικού συστήματος συντεταγμένων είναι το καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα. Επομένως, αυτή, η δική της, τις περισσότερες φορές πρέπει να τη δει κανείς. ... Ωστόσο, όλα σε αυτή τη ζωή είναι σχετικά - υπάρχουν πολλές καταστάσεις στις οποίες είναι σκόπιμο να υπάρχει μια λοξή (ή κάποια άλλη, για παράδειγμα, πολικός) σύστημα συντεταγμένων. Ναι, και ανθρωποειδή τέτοια συστήματα μπορεί να έρθουν σε γεύση =)

Ας περάσουμε στο πρακτικό κομμάτι. Όλα τα προβλήματα σε αυτό το μάθημα ισχύουν τόσο για ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων όσο και για τη γενική συγγενική περίπτωση. Δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο εδώ, όλο το υλικό είναι διαθέσιμο ακόμα και σε έναν μαθητή.

Πώς να προσδιορίσετε τη συγγραμμικότητα των επίπεδων διανυσμάτων;

Τυπικό πράγμα. Για δύο επίπεδα διανύσματα είναι συγγραμμικές, είναι απαραίτητο και επαρκές οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους να είναι ανάλογες.Ουσιαστικά πρόκειται για μια τελειοποίηση συντεταγμένη προς συντεταγμένη της προφανούς σχέσης .

Παράδειγμα 1

α) Ελέγξτε αν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά .
β) Τα διανύσματα αποτελούν βάση; ?

Λύση:
α) Μάθετε αν υπάρχει για διανύσματα συντελεστής αναλογικότητας, έτσι ώστε να πληρούνται οι ισότητες:

Θα σας πω σίγουρα για την "foppish" έκδοση της εφαρμογής αυτού του κανόνα, η οποία λειτουργεί αρκετά καλά στην πράξη. Η ιδέα είναι να συντάξουμε αμέσως μια αναλογία και να δούμε αν είναι σωστή:

Ας κάνουμε μια αναλογία από τους λόγους των αντίστοιχων συντεταγμένων των διανυσμάτων:

Συντομεύουμε:
, επομένως οι αντίστοιχες συντεταγμένες είναι ανάλογες, επομένως,

Η σχέση θα μπορούσε να γίνει και αντίστροφα, αυτή είναι μια ισοδύναμη επιλογή:

Για τον αυτοέλεγχο, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει το γεγονός ότι τα συγγραμμικά διανύσματα εκφράζονται γραμμικά το ένα μέσω του άλλου. Σε αυτή την περίπτωση υπάρχουν ισότητες . Η εγκυρότητά τους μπορεί εύκολα να ελεγχθεί μέσω στοιχειωδών πράξεων με διανύσματα:

β) Δύο επίπεδα διανύσματα αποτελούν βάση εάν δεν είναι συγγραμμικά (γραμμικά ανεξάρτητα). Εξετάζουμε διανύσματα για συγγραμμικότητα . Ας δημιουργήσουμε ένα σύστημα:

Από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι , από τη δεύτερη εξίσωση προκύπτει ότι , που σημαίνει το σύστημα είναι ασυνεπές(χωρίς λύσεις). Έτσι, οι αντίστοιχες συντεταγμένες των διανυσμάτων δεν είναι ανάλογες.

συμπέρασμα: τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και αποτελούν βάση.

Μια απλοποιημένη έκδοση της λύσης μοιάζει με αυτό:

Να συνθέσετε την αναλογία από τις αντίστοιχες συντεταγμένες των διανυσμάτων :
, επομένως, αυτά τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και αποτελούν βάση.

Συνήθως οι αναθεωρητές δεν απορρίπτουν αυτήν την επιλογή, αλλά δημιουργείται πρόβλημα σε περιπτώσεις όπου ορισμένες συντεταγμένες είναι ίσες με μηδέν. Σαν αυτό: . Ή όπως αυτό: . Ή όπως αυτό: . Πώς να επεξεργαστείτε την αναλογία εδώ; (Πραγματικά, δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν). Γι' αυτόν τον λόγο ονόμασα την απλοποιημένη λύση "foppish".

Απάντηση:α) , β) μορφή.

Ένα μικρό δημιουργικό παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 2

Σε ποια τιμή των διανυσμάτων παραμέτρων θα είναι συγγραμμική;

Στο διάλυμα του δείγματος, η παράμετρος βρίσκεται μέσω της αναλογίας.

Υπάρχει ένας κομψός αλγεβρικός τρόπος ελέγχου των διανυσμάτων για συγγραμμικότητα. Ας συστηματοποιήσουμε τις γνώσεις μας και ας τις προσθέσουμε απλώς ως το πέμπτο σημείο:

Για δύο επίπεδα διανύσματα, οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες:

2) Τα διανύσματα αποτελούν τη βάση.
3) τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά.

+ 5) η ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων, είναι μη μηδενική.

Αντίστοιχα, οι παρακάτω αντίθετες προτάσεις είναι ισοδύναμες:
1) τα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά.
2) τα διανύσματα δεν αποτελούν βάση.
3) τα διανύσματα είναι συγγραμμικά.
4) τα διανύσματα μπορούν να εκφραστούν γραμμικά μεταξύ τους.
+ 5) η ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων, ισούται με μηδέν.

Πραγματικά, πραγματικά το ελπίζω αυτή τη στιγμήκαταλαβαίνετε ήδη όλους τους ισχύοντες όρους και δηλώσεις.

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο νέο, πέμπτο σημείο: δύο επίπεδα διανύσματα είναι συγγραμμικές αν και μόνο αν η ορίζουσα που αποτελείται από τις συντεταγμένες των δεδομένων διανυσμάτων είναι ίση με μηδέν:. Για να χρησιμοποιήσετε αυτή τη δυνατότητα, φυσικά, πρέπει να είστε σε θέση βρείτε καθοριστικούς παράγοντες.

Θα αποφασίσουμεΠαράδειγμα 1 με τον δεύτερο τρόπο:

α) Να υπολογίσετε την ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων :
, άρα αυτά τα διανύσματα είναι συγγραμμικά.

β) Δύο επίπεδα διανύσματα αποτελούν βάση εάν δεν είναι συγγραμμικά (γραμμικά ανεξάρτητα). Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα που αποτελείται από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων :
, επομένως τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και αποτελούν βάση.

Απάντηση:α) , β) μορφή.

Φαίνεται πολύ πιο συμπαγές και πιο όμορφο από τη λύση με τις αναλογίες.

Με τη βοήθεια του εξεταζόμενου υλικού, είναι δυνατό να καθοριστεί όχι μόνο η συγγραμμικότητα των διανυσμάτων, αλλά και να αποδειχθεί ο παραλληλισμός τμημάτων, ευθειών. Εξετάστε μερικά προβλήματα με συγκεκριμένα γεωμετρικά σχήματα.

Παράδειγμα 3

Δίνονται κορυφές τετράπλευρου. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

Απόδειξη: Δεν χρειάζεται να δημιουργηθεί σχέδιο στο πρόβλημα, αφού η λύση θα είναι καθαρά αναλυτική. Θυμηθείτε τον ορισμό του παραλληλογράμμου:
Παραλληλόγραμμο Λέγεται ένα τετράπλευρο, στο οποίο οι απέναντι πλευρές είναι κατά ζεύγη παράλληλες.

Πρέπει λοιπόν να αποδείξουμε:
1) παραλληλισμός αντίθετων πλευρών και?
2) παραλληλισμός αντίθετων πλευρών και .

Αποδεικνύουμε:

1) Βρείτε τα διανύσματα:

2) Βρείτε τα διανύσματα:

Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο διάνυσμα ("σύμφωνα με το σχολείο" - ίσα διανύσματα). Η συγγραμμικότητα είναι αρκετά εμφανής, αλλά είναι καλύτερο να ληφθεί η απόφαση σωστά, με τη διάταξη. Υπολογίστε την ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων:
, άρα αυτά τα διανύσματα είναι συγγραμμικά και .

συμπέρασμα: Οι απέναντι πλευρές ενός τετράπλευρου είναι κατά ζεύγη παράλληλες, άρα είναι παραλληλόγραμμο εξ ορισμού. Q.E.D.

Περισσότερες καλές και διαφορετικές φιγούρες:

Παράδειγμα 4

Δίνονται κορυφές τετράπλευρου. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι τραπέζιο.

Για μια πιο αυστηρή διατύπωση της απόδειξης, είναι καλύτερο, φυσικά, να λάβουμε τον ορισμό του τραπεζοειδούς, αλλά αρκεί απλώς να θυμηθούμε πώς μοιάζει.

Αυτό είναι ένα καθήκον για ανεξάρτητη απόφαση. Ολοκληρωμένη λύση στο τέλος του μαθήματος.

Και τώρα ήρθε η ώρα να μετακινηθείτε σιγά σιγά από το αεροπλάνο στο διάστημα:

Πώς να προσδιορίσετε τη συγγραμμικότητα των διανυσμάτων του χώρου;

Ο κανόνας είναι πολύ παρόμοιος. Για να είναι συγγραμμικά δύο διανύσματα χώρου, είναι απαραίτητο και αρκετό οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους να είναι ανάλογες με.

Παράδειγμα 5

Μάθετε εάν τα ακόλουθα διανύσματα διαστήματος είναι συγγραμμικά:

ένα) ;
σι)
σε)

Λύση:
α) Ελέγξτε αν υπάρχει συντελεστής αναλογικότητας για τις αντίστοιχες συντεταγμένες των διανυσμάτων:

Το σύστημα δεν έχει λύση, πράγμα που σημαίνει ότι τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά.

Το "Απλοποιημένο" γίνεται με τον έλεγχο της αναλογίας. Σε αυτήν την περίπτωση:
– οι αντίστοιχες συντεταγμένες δεν είναι αναλογικές, πράγμα που σημαίνει ότι τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά.

Απάντηση:τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά.

β-γ) Αυτά είναι σημεία για αυτοτελή απόφαση. Δοκιμάστε το με δύο τρόπους.

Υπάρχει μια μέθοδος για τον έλεγχο χωρικών διανυσμάτων για συγγραμμικότητα και μέσω μιας ορίζουσας τρίτης τάξης, αυτή η μέθοδος καλύπτεται στο άρθρο Διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτων.

Ομοίως με την περίπτωση του επιπέδου, τα εξεταζόμενα εργαλεία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μελέτη του παραλληλισμού χωρικών τμημάτων και γραμμών.

Καλώς ήρθατε στη δεύτερη ενότητα:

Γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία τρισδιάστατων διανυσμάτων χώρου.
Χωρική βάση και συγγενικό σύστημα συντεταγμένων

Πολλές από τις κανονικότητες που έχουμε εξετάσει στο αεροπλάνο θα ισχύουν και για το διάστημα. Προσπάθησα να ελαχιστοποιήσω την περίληψη της θεωρίας, αφού η μερίδα του λέοντος των πληροφοριών έχει ήδη μασηθεί. Ωστόσο, σας συνιστώ να διαβάσετε προσεκτικά το εισαγωγικό μέρος, καθώς θα εμφανιστούν νέοι όροι και έννοιες.

Τώρα, αντί για το επίπεδο του πίνακα του υπολογιστή, ας εξετάσουμε τον τρισδιάστατο χώρο. Αρχικά, ας δημιουργήσουμε τη βάση του. Κάποιος είναι τώρα σε εσωτερικό χώρο, κάποιος είναι σε εξωτερικό χώρο, αλλά σε κάθε περίπτωση, δεν μπορούμε να ξεφύγουμε από τις τρεις διαστάσεις: πλάτος, μήκος και ύψος. Επομένως, απαιτούνται τρία χωρικά διανύσματα για την κατασκευή της βάσης. Ένα ή δύο διανύσματα δεν είναι αρκετά, το τέταρτο είναι περιττό.

Και πάλι ζεσταίνουμε στα δάχτυλα. Παρακαλώ σηκώστε το χέρι σας και απλώστε προς διαφορετικές κατευθύνσεις αντίχειρα, δείκτη και μεσαίο δάχτυλο. Αυτά θα είναι διανύσματα, κοιτάζουν σε διαφορετικές κατευθύνσεις, έχουν διαφορετικά μήκη και έχουν διαφορετικές γωνίες μεταξύ τους. Συγχαρητήρια, η βάση του τρισδιάστατου χώρου είναι έτοιμη! Παρεμπιπτόντως, δεν χρειάζεται να το αποδείξετε αυτό στους δασκάλους, ανεξάρτητα από το πώς στρίβετε τα δάχτυλά σας, αλλά δεν μπορείτε να ξεφύγετε από τους ορισμούς =)

Στη συνέχεια, θέτουμε μια σημαντική ερώτηση, εάν οποιαδήποτε τρία διανύσματα αποτελούν τη βάση ενός τρισδιάστατου χώρου? Πατήστε σταθερά τρία δάχτυλα στο επάνω μέρος του τραπεζιού του υπολογιστή. Τι συνέβη? Τρία διανύσματα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και, χοντρικά, έχουμε χάσει μία από τις μετρήσεις - το ύψος. Τέτοιοι φορείς είναι ομοεπίπεδηκαι, προφανώς, ότι δεν δημιουργείται η βάση του τρισδιάστατου χώρου.

Πρέπει να σημειωθεί ότι τα συνεπίπεδα διανύσματα δεν χρειάζεται να βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, μπορεί να είναι σε παράλληλα επίπεδα (απλώς μην το κάνετε με τα δάχτυλά σας, μόνο ο Σαλβαδόρ Νταλί βγήκε έτσι =)).

Ορισμός: ονομάζονται διανύσματα ομοεπίπεδηεάν υπάρχει επίπεδο στο οποίο είναι παράλληλα. Εδώ είναι λογικό να προσθέσουμε ότι αν δεν υπάρχει τέτοιο επίπεδο, τότε τα διανύσματα δεν θα είναι συνεπίπεδα.

Τρία συνεπίπεδα διανύσματα εξαρτώνται πάντα γραμμικά, δηλαδή εκφράζονται γραμμικά μεταξύ τους. Για απλότητα, φανταστείτε πάλι ότι βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Πρώτον, τα διανύσματα δεν είναι μόνο συνεπίπεδα, αλλά μπορούν επίσης να είναι συγγραμμικά, τότε οποιοδήποτε διάνυσμα μπορεί να εκφραστεί μέσω οποιουδήποτε διανύσματος. Στη δεύτερη περίπτωση, εάν, για παράδειγμα, τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά, τότε το τρίτο διάνυσμα εκφράζεται μέσω αυτών με μοναδικό τρόπο: (και γιατί είναι εύκολο να μαντέψει κανείς από τα υλικά της προηγούμενης ενότητας).

Η αντίθετη δήλωση ισχύει επίσης: τρία μη ομοεπίπεδα διανύσματα είναι πάντα γραμμικά ανεξάρτητα, δηλαδή σε καμία περίπτωση δεν εκφράζονται μεταξύ τους. Και, προφανώς, μόνο τέτοια διανύσματα μπορούν να αποτελέσουν τη βάση ενός τρισδιάστατου χώρου.

Ορισμός: Η βάση του τρισδιάστατου χώρουονομάζεται τριπλό γραμμικά ανεξάρτητων (μη ομοεπίπεδων) διανυσμάτων, λαμβάνονται με συγκεκριμένη σειρά, ενώ οποιοδήποτε διάνυσμα του χώρου ο μόνος τρόποςεπεκτείνεται στη δεδομένη βάση , όπου είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος στη δεδομένη βάση

Ως υπενθύμιση, μπορείτε επίσης να πείτε ότι ένα διάνυσμα αναπαρίσταται ως γραμμικός συνδυασμόςδιανύσματα βάσης.

Η έννοια του συστήματος συντεταγμένων εισάγεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως για την επίπεδη περίπτωση, ένα σημείο και οποιαδήποτε τρία γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα αρκούν:

προέλευση, και μη ομοεπίπεδηφορείς, λαμβάνονται με συγκεκριμένη σειρά, σετ συγγενικό σύστημα συντεταγμένων του τρισδιάστατου χώρου :

Φυσικά, το πλέγμα συντεταγμένων είναι "λοξό" και άβολο, αλλά, παρόλα αυτά, το κατασκευασμένο σύστημα συντεταγμένων μας επιτρέπει να σίγουραπροσδιορίστε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε διανύσματος και τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου στο χώρο. Παρόμοια με το επίπεδο, στο συγγενικό σύστημα συντεταγμένων του χώρου, ορισμένοι τύποι που έχω ήδη αναφέρει δεν θα λειτουργήσουν.

Η πιο οικεία και βολική ειδική περίπτωση ενός συστήματος συντεταγμένων συγγενών, όπως όλοι μπορούν να μαντέψουν, είναι ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων του χώρου:

σημείο στο διάστημα που ονομάζεται προέλευση, και ορθοκανονικήσύνολο βάσης Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων του χώρου . γνώριμη εικόνα:

Πριν προχωρήσουμε σε πρακτικές εργασίες, συστηματοποιούμε ξανά τις πληροφορίες:

Για τρία διανύσματα χώρου, οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες:
1) τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
2) Τα διανύσματα αποτελούν τη βάση.
3) τα διανύσματα δεν είναι ομοεπίπεδα.
4) τα διανύσματα δεν μπορούν να εκφραστούν γραμμικά μεταξύ τους.
5) η ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων, είναι διαφορετική από το μηδέν.

Οι αντίθετες δηλώσεις, νομίζω, είναι κατανοητές.

Η γραμμική εξάρτηση / ανεξαρτησία των διανυσμάτων χώρου ελέγχεται παραδοσιακά χρησιμοποιώντας την ορίζουσα (στοιχείο 5). Οι υπόλοιπες πρακτικές εργασίες θα έχουν έντονο αλγεβρικό χαρακτήρα. Ήρθε η ώρα να κρεμάσετε ένα γεωμετρικό ραβδί σε ένα καρφί και να κρατήσετε ένα γραμμικό ρόπαλο μπέιζμπολ άλγεβρας:

Τρία διανύσματα χώρουείναι ομοεπίπεδες αν και μόνο αν η ορίζουσα που αποτελείται από τις συντεταγμένες των δεδομένων διανυσμάτων είναι ίση με μηδέν: .

Εφιστώ την προσοχή σας σε μια μικρή τεχνική απόχρωση: οι συντεταγμένες των διανυσμάτων μπορούν να γραφτούν όχι μόνο σε στήλες, αλλά και σε σειρές (η τιμή της ορίζουσας δεν θα αλλάξει από αυτό - δείτε τις ιδιότητες των οριζόντων). Αλλά είναι πολύ καλύτερο στις στήλες, αφού είναι πιο ωφέλιμο για την επίλυση κάποιων πρακτικών προβλημάτων.

Για εκείνους τους αναγνώστες που έχουν ξεχάσει λίγο τις μεθόδους υπολογισμού οριζόντων ή ίσως δεν έχουν καθόλου προσανατολισμό, προτείνω ένα από τα παλαιότερα μαθήματά μου: Πώς να υπολογίσετε την ορίζουσα;

Παράδειγμα 6

Ελέγξτε εάν τα ακόλουθα διανύσματα αποτελούν τη βάση ενός τρισδιάστατου χώρου:

Λύση: Στην πραγματικότητα, η όλη λύση καταλήγει στον υπολογισμό της ορίζουσας.

α) Υπολογίστε την ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων (η ορίζουσα επεκτείνεται στην πρώτη γραμμή):

, που σημαίνει ότι τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα (όχι ομοεπίπεδα) και αποτελούν τη βάση ενός τρισδιάστατου χώρου.

Απάντηση: αυτά τα διανύσματα αποτελούν τη βάση

β) Αυτό είναι ένα σημείο για ανεξάρτητη απόφαση. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Υπάρχουν επίσης δημιουργικές εργασίες:

Παράδειγμα 7

Σε ποια τιμή της παραμέτρου τα διανύσματα θα είναι συνεπίπεδα;

Λύση: Τα διανύσματα είναι ομοεπίπεδα αν και μόνο αν η ορίζουσα που αποτελείται από τις συντεταγμένες των δεδομένων διανυσμάτων είναι ίση με μηδέν:

Ουσιαστικά απαιτείται η επίλυση μιας εξίσωσης με ορίζουσα. Πετάμε στα μηδενικά όπως οι χαρταετοί σε jerboas - είναι πιο κερδοφόρο να ανοίξουμε τον καθοριστικό παράγοντα στη δεύτερη γραμμή και να απαλλαγούμε αμέσως από τα μειονεκτήματα:

Πραγματοποιούμε περαιτέρω απλοποιήσεις και ανάγουμε την ύλη στην απλούστερη γραμμική εξίσωση:

Απάντηση: στο

Είναι εύκολο να το ελέγξετε εδώ, για αυτό πρέπει να αντικαταστήσετε την προκύπτουσα τιμή στην αρχική ορίζουσα και να βεβαιωθείτε ότι ανοίγοντάς το ξανά.

Εν κατακλείδι, ας εξετάσουμε ένα άλλο τυπικό πρόβλημα, το οποίο είναι περισσότερο αλγεβρικού χαρακτήρα και παραδοσιακά περιλαμβάνεται στο μάθημα της γραμμικής άλγεβρας. Είναι τόσο κοινό που αξίζει ένα ξεχωριστό θέμα:

Να αποδείξετε ότι 3 διανύσματα αποτελούν τη βάση ενός τρισδιάστατου χώρου
και βρείτε τις συντεταγμένες του 4ου διανύσματος στη δεδομένη βάση

Παράδειγμα 8

Δίνονται διανύσματα. Δείξτε ότι τα διανύσματα αποτελούν τη βάση του τρισδιάστατου χώρου και βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος σε αυτή τη βάση.

Λύση: Ας ασχοληθούμε πρώτα με την κατάσταση. Κατά συνθήκη, δίνονται τέσσερα διανύσματα και, όπως μπορείτε να δείτε, έχουν ήδη συντεταγμένες σε κάποια βάση. Ποια είναι η βάση - δεν μας ενδιαφέρει. Και το εξής είναι ενδιαφέρον: τρία διανύσματα μπορεί κάλλιστα να αποτελέσουν μια νέα βάση. Και το πρώτο βήμα είναι εντελώς το ίδιο με τη λύση του Παραδείγματος 6, είναι απαραίτητο να ελέγξετε εάν τα διανύσματα είναι πραγματικά γραμμικά ανεξάρτητα:

Υπολογίστε την ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων:

, επομένως τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και αποτελούν τη βάση ενός τρισδιάστατου χώρου.

Def.Σύστημα στοιχείων x 1 ,…,x m lin. Η παραγωγή V ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενη αν ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0) έτσι ώστε λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ .

Def.Ένα σύστημα στοιχείων x 1 ,…,x m ∈ V ονομάζεται γραμμικά ανεξάρτητο αν από την ισότητα λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ ⟹λ 1 =…= λ m =0.

Def.Ένα στοιχείο x ∈ V ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός στοιχείων x 1 ,…,x m ∈ V αν ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ έτσι ώστε x= λ 1 x 1 +…+ λ m x m .

Θεώρημα (κριτήριο γραμμικής εξάρτησης):Ένα σύστημα διανυσμάτων x 1 ,…,x m ∈ V εξαρτάται γραμμικά εάν και μόνο εάν τουλάχιστον ένα διάνυσμα του συστήματος εκφράζεται γραμμικά ως προς τα άλλα.

Έγγρ. Χρειάζομαι:Έστω x 1 ,…,x m γραμμικά εξαρτώμενο ⟹ ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0) έτσι ώστε λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 + λ m x m = θ. Έστω λ m ≠ 0, τότε

x m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.

Επάρκεια: Έστω τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα που εκφράζεται γραμμικά ως προς τα άλλα διανύσματα: x m = λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 (λ 1 ,…, λ m -1 ∈ ℝ) λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 +(-1) x m =0 λ m =(-1) ≠ 0 ⟹ x 1 ,…,x m - είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Ven. συνθήκη γραμμικής εξάρτησης:

Εάν το σύστημα περιέχει ένα μηδενικό στοιχείο ή ένα γραμμικά εξαρτώμενο υποσύστημα, τότε είναι γραμμικά εξαρτημένο.

λ 1 x 1 +…+ λ m x m = 0 – γραμμικά εξαρτώμενο σύστημα

1) Έστω x 1 = θ, τότε αυτή η ισότητα ισχύει για λ 1 =1 και λ 1 =…= λ m =0.

2) Έστω λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 ένα γραμμικά εξαρτώμενο υποσύστημα ⟹|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0 . Τότε για λ 1 =0 λαμβάνουμε επίσης |λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0 ⟹ λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 είναι ένα γραμμικά εξαρτώμενο σύστημα.

Βάση γραμμικού χώρου. Διανυσματικές συντεταγμένες στη δεδομένη βάση. Οι συντεταγμένες των αθροισμάτων των διανυσμάτων και το γινόμενο ενός διανύσματος με έναν αριθμό. Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για γραμμική εξάρτηση συστήματος διανυσμάτων.

Ορισμός: Ένα διατεταγμένο σύστημα στοιχείων e 1, ..., e n ενός γραμμικού χώρου V ονομάζεται βάση αυτού του χώρου εάν:

Α) e 1 ... e n είναι γραμμικά ανεξάρτητα

Β) ∀ x ∈ α 1 … α n έτσι ώστε x= α 1 e 1 +…+ α n e n

x= α 1 e 1 +…+ α n e n – επέκταση του στοιχείου x στη βάση e 1, …, e n

α 1 … α n ∈ ℝ είναι οι συντεταγμένες του στοιχείου x στη βάση e 1, …, e n

Θεώρημα: Εάν η βάση e 1, …, e n δίνεται στον γραμμικό χώρο V, τότε ∀ x ∈ V η στήλη των συντεταγμένων x στη βάση e 1, …, e n προσδιορίζεται μοναδικά (οι συντεταγμένες καθορίζονται μοναδικά)

Απόδειξη:Έστω x=α 1 e 1 +…+ α n e n και x=β 1 e 1 +…+β n e n

x= ⇔ = Θ, δηλ. e 1, …, e n είναι γραμμικά ανεξάρτητα, τότε - =0 ∀ i=1, …, n ⇔ = ∀ i=1, …, n h.t.d.

Θεώρημα: Έστω e 1, …, e n η βάση του γραμμικού χώρου V. Τα x, y είναι αυθαίρετα στοιχεία του διαστήματος V, το λ ∈ ℝ είναι ένας αυθαίρετος αριθμός. Όταν προστίθενται x και y, προστίθενται οι συντεταγμένες τους, όταν το x πολλαπλασιάζεται με λ, οι συντεταγμένες του x πολλαπλασιάζονται επίσης με λ.

Απόδειξη: x= (e 1, …, e n) και y= (e 1, …, e n)

x+y= + = (e 1, …, e n)

λx= λ ) = (e 1, …, e n)

Λήμμα 1: (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για τη γραμμική εξάρτηση ενός συστήματος διανυσμάτων)

Έστω e 1 …e n η βάση του χώρου V. Το σύστημα των στοιχείων f 1 , …, f k ∈ V εξαρτάται γραμμικά αν και μόνο εάν οι στήλες συντεταγμένων αυτών των στοιχείων στη βάση e 1, …, e n είναι γραμμικά εξαρτώμενη

Απόδειξη:επέκταση f 1 , …, f k στη βάση e 1, …, e n

f m =(e 1, …, e n) m=1, …, k

λ 1 f 1 +…+λ k f k =(e 1, …, e n)[ λ 1 +…+ λ n ] δηλ. λ 1 f 1 +…+λ k f k = Θ ⇔

⇔ λ 1 +…+ λ n = όπως απαιτείται.

13. Διάσταση γραμμικού χώρου. Θεώρημα για τη σχέση διάστασης και βάσης.
Ορισμός: Ένας γραμμικός χώρος V ονομάζεται n-διάστατος χώρος εάν υπάρχουν n γραμμικά ανεξάρτητα στοιχεία στο V και ένα σύστημα οποιωνδήποτε n + 1 στοιχείων του χώρου V εξαρτάται γραμμικά. Στην περίπτωση αυτή, n ονομάζεται διάσταση του γραμμικού χώρου V και συμβολίζεται dimV=n.

Ένας γραμμικός χώρος ονομάζεται απειροσδιάστατος εάν ∀N ∈ ℕ στον χώρο V υπάρχει ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα που περιέχει N στοιχεία.

Θεώρημα: 1) Εάν το V είναι ένας n-διάστατος γραμμικός χώρος, τότε οποιοδήποτε διατεταγμένο σύστημα n γραμμικά ανεξάρτητων στοιχείων αυτού του χώρου αποτελεί βάση. 2) Αν στον γραμμικό χώρο V υπάρχει βάση που αποτελείται από n στοιχεία, τότε η διάσταση του V είναι ίση με n (dimV=n).

Απόδειξη: 1) Έστω dimV=n ⇒ σε V ∃ n γραμμικά ανεξάρτητα στοιχεία e 1, …,e n . Αποδεικνύουμε ότι αυτά τα στοιχεία αποτελούν βάση, δηλαδή αποδεικνύουμε ότι το ∀ x ∈ V μπορεί να επεκταθεί ως e 1, …,e n . Ας προσθέσουμε x σε αυτά: e 1, …,e n , x – αυτό το σύστημα περιέχει n+1 διανύσματα, που σημαίνει ότι εξαρτάται γραμμικά. Εφόσον το e 1, …,e n είναι γραμμικά ανεξάρτητο, τότε από το Θεώρημα 2 Χεκφράζεται γραμμικά μέσω e 1, …,e n δηλ. ∃ ,…, έτσι ώστε x= α 1 e 1 +…+ α n e n . Άρα e 1, …,e n είναι η βάση του χώρου V. 2) Έστω e 1, …,e n η βάση του V, άρα υπάρχουν n γραμμικά ανεξάρτητα στοιχεία στο V ∃ n. Πάρτε αυθαίρετα f 1 ,…,f n ,f n +1 ∈ V – n+1 στοιχεία. Ας δείξουμε τη γραμμική τους εξάρτηση. Ας τα αναλύσουμε ως εξής:

f m =(e 1, …,e n) = όπου m = 1,…,n Ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα συντεταγμένων στηλών: A= Ο πίνακας περιέχει n γραμμές ⇒ RgA≤n. Αριθμός στηλών n+1 > n ≥ RgA ⇒ Οι στήλες του πίνακα A (δηλαδή οι στήλες των συντεταγμένων f 1 ,…,f n ,f n +1) εξαρτώνται γραμμικά. Από το Λήμμα 1 ⇒ ,…,f n ,f n +1 εξαρτώνται γραμμικά ⇒ dimV=n.

Συνέπεια:Εάν οποιαδήποτε βάση περιέχει n στοιχεία, τότε οποιαδήποτε άλλη βάση αυτού του χώρου περιέχει n στοιχεία.

Θεώρημα 2: Αν το σύστημα των διανυσμάτων x 1 ,… ,x m -1 , x m εξαρτάται γραμμικά και το υποσύστημά του x 1 ,… ,x m -1 είναι γραμμικά ανεξάρτητο, τότε το x m - εκφράζεται γραμμικά μέσω x 1 ,… ,x m -1

Απόδειξη: Επειδή x 1 ,… ,x m -1 , x m εξαρτάται γραμμικά, τότε ∃ , …, , ,

, …, | , | τέτοια που . Εάν , , …, | => x 1 ,… ,x m -1 είναι γραμμικά ανεξάρτητα, τα οποία δεν μπορούν να είναι. Άρα m = (-) x 1 +…+ (-) x m -1.

Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για τη γραμμική εξάρτηση δύο

διανύσματα είναι η συγγραμμικότητά τους.

2. Scalar προϊόν- μια πράξη σε δύο διανύσματα, το αποτέλεσμα της οποίας είναι ένας βαθμωτός (αριθμός) που δεν εξαρτάται από το σύστημα συντεταγμένων και χαρακτηρίζει τα μήκη των διανυσμάτων πολλαπλασιαστή και τη γωνία μεταξύ τους. Αυτή η πράξη αντιστοιχεί στον πολλαπλασιασμό μήκοςδεδομένο διάνυσμα x on προβολήένα άλλο διάνυσμα y στο δεδομένο διάνυσμα x. Αυτή η λειτουργία συνήθως θεωρείται ως αντικαταστατική και γραμμική σε κάθε παράγοντα.

Ιδιότητες προϊόντος Dot:

3. Τρία διανύσματα (ή περισσότερα) λέγονται ομοεπίπεδηαν, αν αναχθούν σε μια κοινή προέλευση, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.

Απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τη γραμμική εξάρτηση τριών διανυσμάτων είναι η ομοεπίπεδή τους.Τα τέσσερα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα. βάση στο χώρο ονομάζεται κάθε διατεταγμένο τριπλό μη ομοεπίπεδων διανυσμάτων. Μια βάση στο χώρο επιτρέπει σε κάποιον να συσχετίσει μοναδικά με κάθε διάνυσμα μια διατεταγμένη τριάδα αριθμών - τους συντελεστές της αναπαράστασης αυτού του διανύσματος σε έναν γραμμικό συνδυασμό διανυσμάτων της βάσης. Αντίθετα, με τη βοήθεια μιας βάσης, θα συσχετίσουμε ένα διάνυσμα με κάθε διατεταγμένη τριάδα αριθμών αν κάνουμε έναν γραμμικό συνδυασμό.Ορθογώνια βάση ονομάζεται ορθοκανονική , αν τα διανύσματά του είναι ίσα με ένα σε μήκος. Για μια ορθοκανονική βάση στο χώρο, η σημείωση χρησιμοποιείται συχνά. Θεώρημα:Σε ορθοκανονική βάση, οι συντεταγμένες των διανυσμάτων είναι οι αντίστοιχες ορθογώνιες προβολές αυτού του διανύσματος στις κατευθύνσεις των διανυσμάτων συντεταγμένων. Ένα τριπλό μη ομοεπίπεδων διανυσμάτων α, β, γπου ονομάζεται σωστά, αν ο παρατηρητής από την κοινή τους προέλευση παρακάμψει τα άκρα των διανυσμάτων α, β, γμε αυτή τη σειρά φαίνεται να προχωρά δεξιόστροφα. Σε διαφορετική περίπτωση α, β, γ - αριστερά τριπλό. Όλα τα δεξιά (ή τα αριστερά) τριπλάσια διανυσμάτων ονομάζονται εξίσου προσανατολισμένοι.Ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο σχηματίζεται από δύο αμοιβαία κάθετους άξονες συντεταγμένων ΒΟΔΙκαι OY. Οι άξονες συντεταγμένων τέμνονται σε ένα σημείο Ο, που ονομάζεται αρχή, κάθε άξονας έχει θετική κατεύθυνση. ΣΤΟ δεξί χέρισύστημα συντεταγμένων, η θετική φορά των αξόνων επιλέγεται έτσι ώστε με την κατεύθυνση του άξονα OYεπάνω, άξονας ΒΟΔΙκοίταξε προς τα δεξιά.

Τέσσερις γωνίες (I, II, III, IV) που σχηματίζονται από τους άξονες συντεταγμένων Χ"Χκαι Υ"Υ, ονομάζονται γωνίες συντεταγμένων ή τεταρτημόρια(βλ. εικ. 1).

εάν τα διανύσματα και σε σχέση με μια ορθοκανονική βάση στο επίπεδο έχουν συντεταγμένες και, αντίστοιχα, τότε το κλιμακωτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων υπολογίζεται από τον τύπο

4. Διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων α και βείναι μια πράξη πάνω τους, που ορίζεται μόνο σε τρισδιάστατο χώρο, το αποτέλεσμα της οποίας είναι διάνυσμαμε τα ακόλουθα

ιδιότητες:

Η γεωμετρική έννοια του διασταυρούμενου γινομένου των διανυσμάτων είναι η περιοχή ενός παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα. Απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τη συγγραμμικότητα ενός μη μηδενικού διανύσματος και ενός διανύσματος είναι η ύπαρξη ενός αριθμού που να ικανοποιεί την ισότητα .

Εάν δύο διανύσματα και ορίζονται από τις ορθογώνιες καρτεσιανές συντεταγμένες τους, ή ακριβέστερα, αναπαρίστανται σε μια κανονικοποιημένη βάση

και το σύστημα συντεταγμένων είναι σωστό, τότε το διανυσματικό γινόμενο τους έχει τη μορφή

Για να θυμάστε αυτόν τον τύπο, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε την ορίζουσα:

5. Μικτό προϊόνδιανύσματα - το βαθμωτό γινόμενο ενός διανύσματος και το διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτων και :

Μερικές φορές ονομάζεται τριπλό βαθμωτό προϊόνδιανύσματα, προφανώς λόγω του γεγονότος ότι το αποτέλεσμα είναι βαθμωτό (ακριβέστερα, ψευδοκλιμακωτή).

Γεωμετρική αίσθηση:Το δομοστοιχείο του μικτού προϊόντος είναι αριθμητικά ίσο με τον όγκο του παραλληλεπίπεδου που σχηματίζεται από τα διανύσματα.

Όταν ανταλλάσσονται δύο παράγοντες, το μικτό προϊόν αλλάζει πρόσημο στο αντίθετο:

Με μια κυκλική (κυκλική) μετάθεση παραγόντων, το μικτό προϊόν δεν αλλάζει:

Το μεικτό προϊόν είναι γραμμικό σε οποιονδήποτε παράγοντα.

Το μικτό γινόμενο είναι μηδέν εάν και μόνο εάν τα διανύσματα είναι συνεπίπεδα.

1. Συνθήκη συμβατότητας για διανύσματα: τρία διανύσματα είναι συνεπίπεδα αν και μόνο αν το μικτό γινόμενο τους είναι μηδέν.

§ Ένα τριπλό διανυσμάτων που περιέχει ένα ζεύγος συγγραμμικών διανυσμάτων είναι συνεπίπεδο.

§ Μικτό γινόμενο ομοεπίπεδων διανυσμάτων. Αυτό είναι ένα κριτήριο για την ομοεπίπεδη τριών διανυσμάτων.

§ Τα συνεπίπεδα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά. Αυτό είναι επίσης ένα κριτήριο για την ομοεπίπεδη.

§ Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε για συνεπίπεδους , εκτός από το ή . Πρόκειται για αναδιατύπωση της προηγούμενης ιδιότητας και αποτελεί και κριτήριο συνεπίπεδης.

§ Σε έναν τρισδιάστατο χώρο, 3 μη ομοεπίπεδα διανύσματα αποτελούν τη βάση. Δηλαδή, οποιοδήποτε διάνυσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως: . Τότε θα είναι οι συντεταγμένες στη δεδομένη βάση.

Το μικτό γινόμενο στο σωστό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (στην ορθοκανονική βάση) είναι ίσο με την ορίζουσα του πίνακα που αποτελείται από τα διανύσματα και :

§ 6. Γενική εξίσωση (πλήρης) του επιπέδου

όπου και είναι σταθερές, επιπλέον, και δεν είναι ίσες με μηδέν ταυτόχρονα. σε διανυσματική μορφή:

όπου είναι το διάνυσμα ακτίνας του σημείου , το διάνυσμα είναι κάθετο στο επίπεδο (κανονικό διάνυσμα). Συνημίτονα κατεύθυνσηςδιάνυσμα:

Εάν ένας από τους συντελεστές στην εξίσωση του επιπέδου είναι μηδέν, καλείται η εξίσωση ατελής. Όταν το επίπεδο διέρχεται από την αρχή των συντεταγμένων, όταν (ή , ) το P. είναι παράλληλο προς τον άξονα (αντίστοιχα ή ). Για ( , ή ), το επίπεδο είναι παράλληλο στο επίπεδο (ή , αντίστοιχα).

§ Εξίσωση επιπέδου σε τμήματα:

όπου , , είναι τα τμήματα που κόβονται από το επίπεδο στους άξονες και .

§ Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από ένα σημείο κάθετο στο κανονικό διάνυσμα :

σε διανυσματική μορφή:

(μεικτό γινόμενο διανυσμάτων), διαφορετικά

§ Κανονική (κανονικοποιημένη) εξίσωση επιπέδου

§ Γωνία μεταξύ δύο επιπέδων.Αν οι εξισώσεις Π. δίνονται με τη μορφή (1), τότε

Αν σε διανυσματική μορφή, τότε

§ Τα επίπεδα είναι παράλληλα, αν

Ή (Διανυσματικό προϊόν)

§ Τα επίπεδα είναι κάθετα, αν

Ή . (Scalar προϊόν)

7. Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία , όχι ξαπλωμένος στην ίδια γραμμή:

8. Η απόσταση από ένα σημείο σε ένα επίπεδο είναι η μικρότερη από τις αποστάσεις μεταξύ αυτού του σημείου και των σημείων του επιπέδου. Είναι γνωστό ότι η απόσταση από ένα σημείο σε ένα επίπεδο είναι ίση με το μήκος της καθέτου που πέφτει από αυτό το σημείο στο επίπεδο.

§ Απόκλιση σημείουαπό το επίπεδο που δίνεται από την κανονικοποιημένη εξίσωση

Εάν και η προέλευση βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές του αεροπλάνου, διαφορετικά . Η απόσταση από ένα σημείο σε ένα επίπεδο είναι

§ Η απόσταση από το σημείο στο επίπεδο που δίνεται από την εξίσωση υπολογίζεται από τον τύπο:

9. Δέσμη αεροπλάνου- η εξίσωση οποιουδήποτε Π. διέρχεται από την ευθεία τομής δύο επιπέδων

όπου α και β είναι οποιοιδήποτε αριθμοί που δεν ισούνται ταυτόχρονα με το μηδέν.

Για τα τρία επίπεδα που ορίζονται από τις γενικές τους εξισώσεις A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0, A 3 x+B 3 y+C 3 z+D 3 =0 ως προς το PDSC ανήκε σε μία δοκό, σωστή ή ακατάλληλη, είναι απαραίτητο και αρκετό η κατάταξη του πίνακα να είναι ίση είτε με δύο είτε με μία.
Θεώρημα 2. Έστω δύο επίπεδα π 1 και π 2 ως προς το PDSC από τις γενικές τους εξισώσεις: A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z +D 2 = 0. Προκειμένου το επίπεδο π 3, που δίνεται σε σχέση με το PDSC από τη γενική του εξίσωση A 3 x+B 3 y+C 3 z+D 3 =0, να ανήκει στη δέσμη που σχηματίζεται από τα επίπεδα π 1 και π 2, είναι απαραίτητο και επαρκές ότι η αριστερή πλευρά της εξίσωσης του επιπέδου π 3 παριστάνεται ως γραμμικός συνδυασμός των αριστερών τμημάτων των εξισώσεων των επιπέδων π 1 και π 2 .

10.Διάνυσμα παραμετρική εξίσωση ευθείας γραμμήςστο διάστημα:

όπου είναι το διάνυσμα ακτίνας κάποιου σταθερού σημείου ΜΤο 0 που βρίσκεται σε μια ευθεία γραμμή είναι ένα μη μηδενικό διάνυσμα συγγραμμικό σε αυτήν την ευθεία γραμμή, είναι το διάνυσμα ακτίνας ενός αυθαίρετου σημείου στην ευθεία γραμμή.

Παραμετρική εξίσωση ευθείας γραμμήςστο διάστημα:

Μ

Κανονική εξίσωση ευθείας γραμμήςστο διάστημα:

όπου είναι οι συντεταγμένες κάποιου σταθερού σημείου Μ 0 ξαπλωμένος σε ευθεία γραμμή. - συντεταγμένες ενός διανύσματος συγγραμμικού με αυτή τη γραμμή.

Γενική διανυσματική εξίσωση ευθείας γραμμήςστο διάστημα:

Δεδομένου ότι η ευθεία είναι η τομή δύο διαφορετικών μη παράλληλων επιπέδων, που δίνονται αντίστοιχα από τις γενικές εξισώσεις:

τότε η εξίσωση μιας ευθείας μπορεί να δοθεί από ένα σύστημα από αυτές τις εξισώσεις:

Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης και θα είναι ίση με τη γωνία μεταξύ των γραμμών. Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων βρίσκεται χρησιμοποιώντας το βαθμωτό γινόμενο. cosA=(ab)/IaI*IbI

Η γωνία μεταξύ ευθείας γραμμής και επιπέδου βρίσκεται με τον τύπο:

όπου (A; B; C;) είναι οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος του επιπέδου
(l;m;n;) κατευθυντικές διανυσματικές συντεταγμένες της ευθείας

Προϋποθέσεις για παραλληλισμό δύο ευθειών:

α) Αν οι ευθείες δίνονται από τις εξισώσεις (4) με κλίση, τότε απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τον παραλληλισμό τους είναι η ισότητα των κλίσεων τους:

κ 1 = κ 2 . (8)

β) Για την περίπτωση που οι ευθείες δίνονται με εξισώσεις στη γενική μορφή (6), απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τον παραλληλισμό τους είναι οι συντελεστές στις αντίστοιχες τρέχουσες συντεταγμένες στις εξισώσεις τους να είναι ανάλογοι, δηλ.

Προϋποθέσεις για την καθετότητα δύο ευθειών:

α) Στην περίπτωση που οι ευθείες δίνονται από τις εξισώσεις (4) με κλίση, απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για την καθετότητά τους είναι οι κλίσεις τους να είναι αντίστροφες σε μέγεθος και αντίθετες σε πρόσημο, δηλ.

β) Αν οι εξισώσεις των ευθειών δίνονται σε γενική μορφή (6), τότε προϋπόθεση για την καθετότητά τους (απαραίτητη και επαρκή) είναι να πληρούται η ισότητα

ΕΝΑ 1 ΕΝΑ 2 + σι 1 σι 2 = 0. (12)

Μια ευθεία λέγεται ότι είναι κάθετη σε ένα επίπεδο εάν είναι κάθετη σε οποιαδήποτε ευθεία σε αυτό το επίπεδο. Αν μια ευθεία είναι κάθετη σε καθεμία από τις δύο τεμνόμενες ευθείες ενός επιπέδου, τότε είναι κάθετη σε αυτό το επίπεδο. Για να είναι μια ευθεία και ένα επίπεδο παράλληλα, είναι απαραίτητο και αρκετό το κανονικό διάνυσμα προς το επίπεδο και το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας να είναι κάθετα. Για αυτό, είναι απαραίτητο το κλιμακωτό γινόμενο τους να είναι ίσο με μηδέν.

Για να είναι μια ευθεία και ένα επίπεδο κάθετα, είναι απαραίτητο και αρκετό το κανονικό διάνυσμα προς το επίπεδο και το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας να είναι συγγραμμικά. Αυτή η συνθήκη ικανοποιείται εάν το διασταυρούμενο γινόμενο αυτών των διανυσμάτων ήταν ίσο με μηδέν.

12. Στο διάστημα, η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία που δίνεται από μια παραμετρική εξίσωση

μπορεί να βρεθεί ως η ελάχιστη απόσταση από ένα δεδομένο σημείο σε ένα αυθαίρετο σημείο σε μια ευθεία γραμμή. Συντελεστής tαυτό το σημείο μπορεί να βρεθεί από τον τύπο

Απόσταση μεταξύ τεμνόμενων γραμμώνείναι το μήκος της κοινής τους καθέτου. Είναι ίση με την απόσταση μεταξύ των παράλληλων επιπέδων που διέρχονται από αυτές τις ευθείες.