Θυμηθείτε τον ορισμό της πυκνότητας πιθανότητας.
Εισάγουμε τώρα την έννοια της ομοιόμορφης κατανομής πιθανοτήτων:
Ορισμός 2
Μια κατανομή ονομάζεται ομοιόμορφη εάν, σε ένα διάστημα που περιέχει όλες τις πιθανές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής, η πυκνότητα κατανομής είναι σταθερή, δηλαδή:
Εικόνα 1.
Βρείτε την τιμή της σταθεράς $\ C$ χρησιμοποιώντας την ακόλουθη ιδιότητα πυκνότητας κατανομής: $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=1$
\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=\int\limits^a_(-\infty )(0dx)+\int\limits ^b_a(Cdx)+\int\limits^(+\infty )_b(0dx)=0+Cb-Ca+0=C(b-a)\] \ \
Έτσι, η συνάρτηση πυκνότητας ομοιόμορφης κατανομής έχει τη μορφή:
Σχήμα 2.
Το γράφημα έχει την ακόλουθη μορφή (Εικ. 1):
Σχήμα 3. Πυκνότητα ομοιόμορφης κατανομής πιθανοτήτων
Ομοιόμορφη Συνάρτηση Κατανομής Πιθανοτήτων
Ας βρούμε τώρα τη συνάρτηση κατανομής για μια ομοιόμορφη κατανομή.
Για να το κάνουμε αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε τον ακόλουθο τύπο: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$
- Για $x ≤ a$, σύμφωνα με τον τύπο, παίρνουμε:
- Για $ a
- Για $x> 2$, σύμφωνα με τον τύπο, παίρνουμε:
Έτσι, η συνάρτηση διανομής έχει τη μορφή:
Εικόνα 4
Το γράφημα έχει την ακόλουθη μορφή (Εικ. 2):
Εικόνα 5. Συνάρτηση ομοιόμορφης κατανομής πιθανότητας.
Πιθανότητα τυχαίας μεταβλητής να πέσει στο διάστημα $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ κάτω από μια ομοιόμορφη κατανομή πιθανοτήτων
Για να βρούμε την πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να πέσει στο διάστημα $(\alpha ,\beta)$ με ομοιόμορφη κατανομή πιθανότητας, θα χρησιμοποιήσουμε τον ακόλουθο τύπο:
Αναμενόμενη αξία:
Τυπική απόκλιση:
Παραδείγματα επίλυσης του προβλήματος για ομοιόμορφη κατανομή πιθανοτήτων
Παράδειγμα 1
Το διάστημα μεταξύ των τρόλεϊ είναι 9 λεπτά.
Συγκεντρώστε τη συνάρτηση διανομής και την πυκνότητα διανομής της τυχαίας μεταβλητής $X$ που περιμένει τους επιβάτες του τρόλεϊ.
Βρείτε την πιθανότητα ο επιβάτης να περιμένει το τρόλεϊ σε λιγότερο από τρία λεπτά.
Βρείτε την πιθανότητα ο επιβάτης να περιμένει το τρόλεϊ σε τουλάχιστον 4 λεπτά.
Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση
- Εφόσον η συνεχής τυχαία μεταβλητή $X$ της αναμονής για το τρόλεϊ κατανέμεται ομοιόμορφα, τότε $a=0,\ b=9$.
Έτσι, η πυκνότητα κατανομής, σύμφωνα με τον τύπο της συνάρτησης πυκνότητας της ομοιόμορφης κατανομής πιθανότητας, έχει τη μορφή:
Εικόνα 6
Σύμφωνα με τον τύπο της συνάρτησης ομοιόμορφης κατανομής πιθανότητας, στην περίπτωσή μας, η συνάρτηση κατανομής έχει τη μορφή:
Εικόνα 7
- Αυτή η ερώτηση μπορεί να αναδιατυπωθεί ως εξής: βρείτε την πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή ομοιόμορφης κατανομής να πέσει στο διάστημα $\left(6,9\right).$
Παίρνουμε:
\ \ \
Έτσι, η συνάρτηση πυκνότητας ομοιόμορφης κατανομής έχει τη μορφή:
Σχήμα 2.
Το γράφημα έχει την ακόλουθη μορφή (Εικ. 1):
Σχήμα 3. Πυκνότητα ομοιόμορφης κατανομής πιθανοτήτων
Ομοιόμορφη Συνάρτηση Κατανομής Πιθανοτήτων
Ας βρούμε τώρα τη συνάρτηση κατανομής για μια ομοιόμορφη κατανομή.
Για να το κάνουμε αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε τον ακόλουθο τύπο: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$
- Για $x ≤ a$, σύμφωνα με τον τύπο, παίρνουμε:
- Για $ a
- Για $x> 2$, σύμφωνα με τον τύπο, παίρνουμε:
Έτσι, η συνάρτηση διανομής έχει τη μορφή:
Εικόνα 4
Το γράφημα έχει την ακόλουθη μορφή (Εικ. 2):
Εικόνα 5. Συνάρτηση ομοιόμορφης κατανομής πιθανότητας.
Πιθανότητα τυχαίας μεταβλητής να πέσει στο διάστημα $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ κάτω από μια ομοιόμορφη κατανομή πιθανοτήτων
Για να βρούμε την πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να πέσει στο διάστημα $(\alpha ,\beta)$ με ομοιόμορφη κατανομή πιθανότητας, θα χρησιμοποιήσουμε τον ακόλουθο τύπο:
Αναμενόμενη αξία:
Τυπική απόκλιση:
Παραδείγματα επίλυσης του προβλήματος για ομοιόμορφη κατανομή πιθανοτήτων
Παράδειγμα 1
Το διάστημα μεταξύ των τρόλεϊ είναι 9 λεπτά.
Συγκεντρώστε τη συνάρτηση διανομής και την πυκνότητα διανομής της τυχαίας μεταβλητής $X$ που περιμένει τους επιβάτες του τρόλεϊ.
Βρείτε την πιθανότητα ο επιβάτης να περιμένει το τρόλεϊ σε λιγότερο από τρία λεπτά.
Βρείτε την πιθανότητα ο επιβάτης να περιμένει το τρόλεϊ σε τουλάχιστον 4 λεπτά.
Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση
- Εφόσον η συνεχής τυχαία μεταβλητή $X$ της αναμονής για το τρόλεϊ κατανέμεται ομοιόμορφα, τότε $a=0,\ b=9$.
Έτσι, η πυκνότητα κατανομής, σύμφωνα με τον τύπο της συνάρτησης πυκνότητας της ομοιόμορφης κατανομής πιθανότητας, έχει τη μορφή:
Εικόνα 6
Σύμφωνα με τον τύπο της συνάρτησης ομοιόμορφης κατανομής πιθανότητας, στην περίπτωσή μας, η συνάρτηση κατανομής έχει τη μορφή:
Εικόνα 7
- Αυτή η ερώτηση μπορεί να αναδιατυπωθεί ως εξής: βρείτε την πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή ομοιόμορφης κατανομής να πέσει στο διάστημα $\left(6,9\right).$
Παίρνουμε:
\}
