Ο αριθμητικός μέσος όρος έχει μια σειρά από ιδιότητες που αποκαλύπτουν πληρέστερα την ουσία του και απλοποιούν τον υπολογισμό:
1. Το γινόμενο του μέσου όρου και του αθροίσματος των συχνοτήτων είναι πάντα ίσο με το άθροισμα των γινομένων της παραλλαγής και των συχνοτήτων, δηλ.
2. Ο αριθμητικός μέσος όρος του αθροίσματος των μεταβαλλόμενων μεγεθών είναι ίσος με το άθροισμα των αριθμητικών μέσων αυτών των μεγεθών:
3. Το αλγεβρικό άθροισμα των αποκλίσεων των επιμέρους τιμών του χαρακτηριστικού από τον μέσο όρο είναι μηδέν:
4. Το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων των επιλογών από τον μέσο όρο είναι μικρότερο από το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων από οποιαδήποτε άλλη αυθαίρετη τιμή, δηλ.:
5. Εάν όλες οι παραλλαγές της σειράς μειωθούν ή αυξηθούν κατά τον ίδιο αριθμό, τότε ο μέσος όρος θα μειωθεί κατά τον ίδιο αριθμό:
6. Εάν όλες οι παραλλαγές της σειράς μειωθούν ή αυξηθούν κατά έναν παράγοντα, τότε ο μέσος όρος θα μειωθεί ή θα αυξηθεί επίσης κατά έναν παράγοντα:
7. Εάν όλες οι συχνότητες (βάρη) αυξηθούν ή μειωθούν κατά έναν παράγοντα, τότε ο αριθμητικός μέσος όρος δεν θα αλλάξει:
Αυτή η μέθοδος βασίζεται στη χρήση των μαθηματικών ιδιοτήτων του αριθμητικού μέσου όρου. Σε αυτήν την περίπτωση, η μέση τιμή υπολογίζεται από τον τύπο: , όπου i είναι η τιμή ενός ίσου διαστήματος ή οποιουδήποτε σταθερού αριθμού που δεν ισούται με 0. m 1 - στιγμή της πρώτης σειράς, η οποία υπολογίζεται από τον τύπο: 
; Α είναι οποιοσδήποτε σταθερός αριθμός.
18 ΑΠΛΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ ΚΑΙ ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΟΣ.
Μέση αρμονικήχρησιμοποιείται σε περιπτώσεις όπου η συχνότητα είναι άγνωστη (f i), και ο όγκος του χαρακτηριστικού που μελετήθηκε είναι γνωστός (x i *f i =M i).
Χρησιμοποιώντας το παράδειγμα 2, προσδιορίζουμε τον μέσο μισθό το 2001.
Στις αρχικές πληροφορίες του 2001. Δεν υπάρχουν στοιχεία για τον αριθμό των εργαζομένων, αλλά δεν είναι δύσκολο να υπολογιστεί ως η αναλογία του μισθολογίου προς τον μέσο μισθό.
Επειτα 
2769,4 ρούβλια, δηλ. μέσο μισθό το 2001 -2769,4 ρούβλια.
Σε αυτή την περίπτωση, χρησιμοποιείται ο αρμονικός μέσος όρος:
όπου M i είναι το ταμείο μισθών σε ξεχωριστό συνεργείο. x i - μισθός σε ξεχωριστό κατάστημα.
Επομένως, ο αρμονικός μέσος όρος χρησιμοποιείται όταν ένας από τους παράγοντες είναι άγνωστος, αλλά το γινόμενο "Μ" είναι γνωστό.
Ο αρμονικός μέσος όρος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της μέσης παραγωγικότητας της εργασίας, του μέσου ποσοστού συμμόρφωσης με τους κανόνες, του μέσου μισθού κ.λπ.
Αν τα γινόμενα του "Μ" είναι ίσα μεταξύ τους, τότε χρησιμοποιείται ο αρμονικός απλός μέσος όρος: , όπου n είναι ο αριθμός των επιλογών.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ.
Ο γεωμετρικός μέσος όρος χρησιμοποιείται για την ανάλυση της δυναμικής των φαινομένων και σας επιτρέπει να προσδιορίσετε τον μέσο ρυθμό ανάπτυξης. Κατά τον υπολογισμό του γεωμετρικού μέσου όρου, οι επιμέρους τιμές ενός χαρακτηριστικού αντιπροσωπεύουν συνήθως σχετικούς δείκτες δυναμικής, χτισμένους με τη μορφή τιμών αλυσίδας, ως αναλογία κάθε επιπέδου της σειράς προς το προηγούμενο επίπεδο.
, - αλυσιδωτοί συντελεστές ανάπτυξης.
n είναι ο αριθμός των αλυσιδωτών αυξητικών παραγόντων.
Εάν τα αρχικά δεδομένα δίνονται σε συγκεκριμένες ημερομηνίες, τότε το μέσο επίπεδο του χαρακτηριστικού καθορίζεται από τον τύπο του χρονολογικού μέσου όρου. Εάν τα μεσοδιαστήματα μεταξύ ημερομηνιών (στιγμών) είναι ίσα, τότε το μέσο επίπεδο καθορίζεται από τον τύπο του μέσου χρονολογικού απλού.
Ας εξετάσουμε τον υπολογισμό του σε συγκεκριμένα παραδείγματα.
Παράδειγμα. Τα ακόλουθα στοιχεία είναι διαθέσιμα για τα υπόλοιπα των καταθέσεων των νοικοκυριών στις ρωσικές τράπεζες το πρώτο εξάμηνο του 1997 (στις αρχές του μήνα):
Το μέσο υπόλοιπο των καταθέσεων του πληθυσμού για το πρώτο εξάμηνο του 1997 (σύμφωνα με τον τύπο του μέσου χρονικού χρόνου αδράνειας) ανήλθε σε.
Εύρος παραλλαγής (ή εύρος παραλλαγής) -είναι η διαφορά μεταξύ της μέγιστης και της ελάχιστης τιμής του χαρακτηριστικού:
Στο παράδειγμά μας, το εύρος διακύμανσης της παραγωγής εργαζομένων με βάρδια είναι: στην πρώτη ταξιαρχία R=105-95=10 παιδιά, στη δεύτερη ταξιαρχία R=125-75=50 παιδιά. (5 φορές περισσότερο). Αυτό υποδηλώνει ότι η παραγωγή της 1ης ταξιαρχίας είναι πιο «σταθερή», αλλά η δεύτερη ταξιαρχία έχει περισσότερα αποθέματα για την αύξηση της παραγωγής, επειδή. εάν όλοι οι εργαζόμενοι φτάσουν τη μέγιστη απόδοση για αυτήν την ταξιαρχία, μπορεί να παράγει 3 * 125 = 375 εξαρτήματα και στην 1η ταξιαρχία μόνο 105 * 3 = 315 μέρη.
Εάν οι ακραίες τιμές του χαρακτηριστικού δεν είναι τυπικές για τον πληθυσμό, τότε χρησιμοποιούνται τεταρτημόρια ή δεκαδικά εύρη. Το εύρος τεταρτημορίων RQ= Q3-Q1 καλύπτει το 50% του πληθυσμού, το πρώτο εύρος δεκατιανών RD1 = D9-D1 καλύπτει το 80% των δεδομένων, το δεύτερο εύρος δεκατιανών RD2= D8-D2 καλύπτει το 60%.
Το μειονέκτημα του δείκτη εύρους διακύμανσης είναι, αλλά ότι η τιμή του δεν αντικατοπτρίζει όλες τις διακυμάνσεις του χαρακτηριστικού.
Ο απλούστερος γενικευτικός δείκτης που αντανακλά όλες τις διακυμάνσεις ενός χαρακτηριστικού είναι μέση γραμμική απόκλιση, που είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των απόλυτων αποκλίσεων των επιμέρους επιλογών από τη μέση τιμή τους:
,
για ομαδοποιημένα δεδομένα 
,
όπου хi είναι η τιμή του χαρακτηριστικού σε μια διακριτή σειρά ή το μέσο του διαστήματος στην κατανομή διαστήματος.
Στους παραπάνω τύπους, οι διαφορές στον αριθμητή λαμβάνονται modulo, διαφορετικά, σύμφωνα με την ιδιότητα του αριθμητικού μέσου όρου, ο αριθμητής θα είναι πάντα ίσος με μηδέν. Επομένως, η μέση γραμμική απόκλιση χρησιμοποιείται σπάνια στη στατιστική πρακτική, μόνο σε εκείνες τις περιπτώσεις όπου η άθροιση των δεικτών χωρίς να ληφθεί υπόψη το πρόσημο έχει οικονομική λογική. Με τη βοήθειά του, για παράδειγμα, αναλύεται η σύνθεση των εργαζομένων, η κερδοφορία της παραγωγής και ο κύκλος εργασιών του εξωτερικού εμπορίου.
Διακύμανση χαρακτηριστικώνείναι το μέσο τετράγωνο των αποκλίσεων της παραλλαγής από τη μέση τιμή τους:
απλή διακύμανση 
,
σταθμισμένη διακύμανση 
.
Ο τύπος για τον υπολογισμό της διακύμανσης μπορεί να απλοποιηθεί:
Έτσι, η διακύμανση είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ του μέσου όρου των τετραγώνων της παραλλαγής και του τετραγώνου του μέσου όρου της παραλλαγής του πληθυσμού: 
.
Ωστόσο, λόγω του αθροίσματος των τετραγωνικών αποκλίσεων, η διακύμανση δίνει μια παραμορφωμένη ιδέα των αποκλίσεων, επομένως ο μέσος όρος υπολογίζεται από αυτήν. τυπική απόκλιση, το οποίο δείχνει πόσο οι συγκεκριμένες παραλλαγές του χαρακτηριστικού αποκλίνουν κατά μέσο όρο από τη μέση τιμή τους. Υπολογίζεται με εξαγωγή τετραγωνική ρίζααπό διασπορά:
για μη ομαδοποιημένα δεδομένα 
,
για τη σειρά παραλλαγής 
Πως μικρότερη αξίαδιασπορά και τυπική απόκλιση, όσο πιο ομοιογενής είναι ο πληθυσμός, τόσο πιο αξιόπιστη (τυπική) θα είναι η μέση τιμή.
Η μέση γραμμική και η μέση τετραγωνική απόκλιση ονομάζονται αριθμοί, δηλ. εκφράζονται σε μονάδες μέτρησης του χαρακτηριστικού, είναι πανομοιότυπα ως προς το περιεχόμενο και κοντά σε τιμή.
Συνιστάται ο υπολογισμός των απόλυτων δεικτών διακύμανσης χρησιμοποιώντας πίνακες.
Πίνακας 3 - Υπολογισμός των χαρακτηριστικών διακύμανσης (στο παράδειγμα της περιόδου δεδομένων για την παραγωγή βάρδιας των ομάδων εργασίας)
Αριθμός εργαζομένων |
Το μέσο του διαστήματος |
Εκτιμώμενες τιμές |
|||||
Σύνολο: |
|||||||
Μέση μετατόπιση παραγωγής εργαζομένων: 
Μέση γραμμική απόκλιση: 
Διασπορά εξόδου: 
Η τυπική απόκλιση της παραγωγής μεμονωμένων εργαζομένων από τη μέση παραγωγή:
.
1 Υπολογισμός της διασποράς με τη μέθοδο των ροπών
Ο υπολογισμός των αποκλίσεων σχετίζεται με δυσκίνητους υπολογισμούς (ειδικά αν η μέση τιμή εκφράζεται ως μεγάλος αριθμός με πολλά δεκαδικά ψηφία). Οι υπολογισμοί μπορούν να απλοποιηθούν χρησιμοποιώντας έναν απλοποιημένο τύπο και ιδιότητες διασποράς.
Η διασπορά έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
- εάν όλες οι τιμές του χαρακτηριστικού μειωθούν ή αυξηθούν κατά την ίδια τιμή Α, τότε η διακύμανση δεν θα μειωθεί από αυτό:
,
, τότε ή 
Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της διακύμανσης και πρώτα μειώνοντας όλες τις παραλλαγές του πληθυσμού με την τιμή A και στη συνέχεια διαιρώντας με την τιμή του διαστήματος h, λαμβάνουμε έναν τύπο για τον υπολογισμό της διακύμανσης σε μεταβλητές σειρές με ίσα διαστήματα τρόπος στιγμών:
,
πού υπολογίζεται η διασπορά με τη μέθοδο των ροπών;
h είναι η τιμή του διαστήματος της σειράς μεταβολών.
– νέες (μετασχηματισμένες) τιμές παραλλαγής.
Το A είναι μια σταθερή τιμή, η οποία χρησιμοποιείται ως το μέσο του διαστήματος με την υψηλότερη συχνότητα. ή την παραλλαγή με την υψηλότερη συχνότητα. 
είναι το τετράγωνο της στιγμής της πρώτης τάξης.
είναι μια στιγμή δεύτερης τάξης.
Ας υπολογίσουμε τη διακύμανση με τη μέθοδο των ροπών με βάση τα δεδομένα για την έξοδο μετατόπισης της ομάδας εργασίας.
Πίνακας 4 - Υπολογισμός διασποράς με τη μέθοδο των ροπών
Ομάδες εργατών παραγωγής, τεμ. |
Αριθμός εργαζομένων |
Το μέσο του διαστήματος |
Εκτιμώμενες τιμές |
||
Διαδικασία υπολογισμού:
- υπολογίστε τη διακύμανση:
2 Υπολογισμός της διακύμανσης ενός εναλλακτικού χαρακτηριστικού
Μεταξύ των ζωδίων που μελετήθηκαν από τις στατιστικές, υπάρχουν εκείνα που έχουν μόνο δύο αμοιβαία αποκλειστικές έννοιες. Αυτά είναι εναλλακτικά σημάδια. Τους δίνονται δύο ποσοτικές τιμές, αντίστοιχα: επιλογές 1 και 0. Η συχνότητα των επιλογών 1, που συμβολίζεται με p, είναι η αναλογία των μονάδων που έχουν αυτό το χαρακτηριστικό. Η διαφορά 1-p=q είναι η συχνότητα των επιλογών 0. Έτσι,
xi |
|
Αριθμητικός μέσος όρος εναλλακτικού χαρακτηριστικού 
, αφού p+q=1.
Διακύμανση χαρακτηριστικών
, επειδή 1-p=q
Έτσι, η διακύμανση ενός εναλλακτικού χαρακτηριστικού είναι ίση με το γινόμενο της αναλογίας των μονάδων που έχουν αυτό το χαρακτηριστικό και του ποσοστού των μονάδων που δεν έχουν αυτό το χαρακτηριστικό.
Εάν οι τιμές 1 και 0 είναι εξίσου συχνές, δηλαδή p=q, η διακύμανση φτάνει στο μέγιστο pq=0,25.
Η μεταβλητή διακύμανσης χρησιμοποιείται σε δειγματοληπτικές έρευνες, για παράδειγμα, η ποιότητα του προϊόντος.
3 Διασπορά μεταξύ ομάδων. Κανόνας προσθήκης διακύμανσης
Η διασπορά, σε αντίθεση με άλλα χαρακτηριστικά παραλλαγής, είναι μια αθροιστική ποσότητα. Δηλαδή στο άθροισμα, το οποίο χωρίζεται σε ομάδες σύμφωνα με το κριτήριο του παράγοντα Χ , προκύπτουσα διακύμανση yμπορεί να αποσυντεθεί σε διακύμανση εντός κάθε ομάδας (εντός ομάδας) και διακύμανση μεταξύ ομάδων (μεταξύ ομάδας). Στη συνέχεια, παράλληλα με τη μελέτη της διακύμανσης του χαρακτηριστικού σε ολόκληρο τον πληθυσμό ως σύνολο, καθίσταται δυνατή η μελέτη της παραλλαγής σε κάθε ομάδα, καθώς και μεταξύ αυτών των ομάδων.
Συνολική διακύμανσημετρά την παραλλαγή ενός χαρακτηριστικού στοσε ολόκληρο τον πληθυσμό υπό την επίδραση όλων των παραγόντων που προκάλεσαν αυτή τη διακύμανση (αποκλίσεις). Είναι ίσο με το μέσο τετράγωνο των αποκλίσεων των επιμέρους τιμών του χαρακτηριστικού στοτου συνολικού μέσου όρου και μπορεί να υπολογιστεί ως απλή ή σταθμισμένη διακύμανση.
Διαομαδική διακύμανσηχαρακτηρίζει την παραλλαγή του αποτελεσματικού χαρακτηριστικού στο, που προκαλείται από την επιρροή του παράγοντα πρόσημου Χκάτω από την ομαδοποίηση. Χαρακτηρίζει τη διακύμανση των μέσων της ομάδας και ισούται με το μέσο τετράγωνο των αποκλίσεων των μέσων της ομάδας από το συνολικό μέσο όρο: 
,
πού είναι ο αριθμητικός μέσος όρος της i-ης ομάδας;
– αριθμός μονάδων της i-ης ομάδας (συχνότητα της i-ης ομάδας).
είναι ο συνολικός μέσος όρος του πληθυσμού.
Διακύμανση εντός ομάδαςαντικατοπτρίζει την τυχαία διακύμανση, δηλαδή εκείνο το μέρος της παραλλαγής που προκαλείται από την επίδραση μη λογιστικών παραγόντων και δεν εξαρτάται από το χαρακτηριστικό-παράγοντα που βρίσκεται κάτω από την ομαδοποίηση. Χαρακτηρίζει τη διακύμανση των μεμονωμένων τιμών σε σχέση με τους μέσους όρους της ομάδας, είναι ίσος με το μέσο τετράγωνο των αποκλίσεων των μεμονωμένων τιμών του χαρακτηριστικού στοεντός μιας ομάδας από τον αριθμητικό μέσο όρο αυτής της ομάδας (μέσος όρος ομάδας) και υπολογίζεται ως απλή ή σταθμισμένη διακύμανση για κάθε ομάδα: 
ή 
,
πού είναι ο αριθμός των μονάδων στην ομάδα.
Με βάση τις διακυμάνσεις εντός της ομάδας για κάθε ομάδα, είναι δυνατός ο προσδιορισμός ο συνολικός μέσος όρος των διακυμάνσεων εντός της ομάδας:
.
Η σχέση μεταξύ των τριών διακυμάνσεων ονομάζεται κανόνες προσθήκης διακύμανσης, σύμφωνα με την οποία η συνολική διακύμανση ισούται με το άθροισμα της διαομαδικής διακύμανσης και του μέσου όρου των ενδοομαδικών διακυμάνσεων:
Παράδειγμα. Κατά τη μελέτη της επιρροής της δασμολογικής κατηγορίας (προσόντα) των εργαζομένων στο επίπεδο παραγωγικότητας της εργασίας τους, προέκυψαν τα ακόλουθα δεδομένα.
Πίνακας 5 - Κατανομή εργαζομένων κατά μέση ωριαία παραγωγή.
№ p/p |
Εργάτες 4ης κατηγορίας |
Εργάτες 5ης κατηγορίας |
|||||
Εκτέλεση |
Εκτέλεση |
||||||
1 |
7 |
7-10=-3 |
9 |
1 |
14 |
14-15=-1 |
1 |
Σε αυτό το παράδειγμα, οι εργαζόμενοι χωρίζονται σε δύο ομάδες ανάλογα με τον παράγοντα Χ- προσόντα, τα οποία χαρακτηρίζονται από τον βαθμό τους. Το αποτελεσματικό χαρακτηριστικό - παραγωγή - ποικίλλει τόσο υπό την επιρροή του (intergroup variation) όσο και λόγω άλλων τυχαίων παραγόντων (intragroup variation). Η πρόκληση είναι να μετρηθούν αυτές οι παραλλαγές χρησιμοποιώντας τρεις διακυμάνσεις: σύνολο, μεταξύ ομάδας και εντός ομάδας. Ο εμπειρικός συντελεστής προσδιορισμού δείχνει την αναλογία της διακύμανσης του προκύπτοντος χαρακτηριστικού στουπό την επίδραση ενός παραγοντικού σημείου Χ. Η υπόλοιπη συνολική παραλλαγή στοπροκαλείται από αλλαγές σε άλλους παράγοντες.
Στο παράδειγμα, ο εμπειρικός συντελεστής προσδιορισμού είναι: 
ή 66,7%,
Αυτό σημαίνει ότι το 66,7% της διακύμανσης στην παραγωγικότητα της εργασίας των εργαζομένων οφείλεται σε διαφορές στα προσόντα και το 33,3% στην επίδραση άλλων παραγόντων.
Εμπειρική σχέση συσχέτισηςδείχνει τη στενότητα της σχέσης μεταξύ της ομαδοποίησης και των αποτελεσματικών χαρακτηριστικών. Υπολογίζεται ως η τετραγωνική ρίζα του εμπειρικού συντελεστή προσδιορισμού:
Η εμπειρική αναλογία συσχέτισης, καθώς και το , μπορεί να πάρει τιμές από 0 έως 1.
Εάν δεν υπάρχει σύνδεση, τότε =0. Σε αυτήν την περίπτωση, =0, δηλαδή, τα μέσα της ομάδας είναι ίσα μεταξύ τους και δεν υπάρχει διαομαδική παραλλαγή. Αυτό σημαίνει ότι το σύμβολο ομαδοποίησης - ο παράγοντας δεν επηρεάζει το σχηματισμό της γενικής παραλλαγής.
Εάν η σχέση είναι λειτουργική, τότε =1. Σε αυτήν την περίπτωση, η διακύμανση των μέσων της ομάδας είναι ίση με τη συνολική διακύμανση (), δηλαδή, δεν υπάρχει διακύμανση εντός της ομάδας. Αυτό σημαίνει ότι το χαρακτηριστικό ομαδοποίησης καθορίζει πλήρως την παραλλαγή του προκύπτοντος χαρακτηριστικού που μελετάται.
Όσο πιο κοντά είναι η τιμή της σχέσης συσχέτισης στο ένα, τόσο πιο κοντά, πιο κοντά στη λειτουργική εξάρτηση, η σχέση μεταξύ των χαρακτηριστικών.
Για μια ποιοτική αξιολόγηση της εγγύτητας της σύνδεσης μεταξύ των ζωδίων, χρησιμοποιούνται οι σχέσεις Chaddock.
Στο παράδειγμα 
, που υποδηλώνει στενή σχέση μεταξύ της παραγωγικότητας των εργαζομένων και των προσόντων τους.
Όπου το Α είναι ένα υπό όρους μηδέν ίσο με την παραλλαγή με τη μέγιστη συχνότητα (το μέσο του διαστήματος με τη μέγιστη συχνότητα), το h είναι το βήμα του διαστήματος,
Ανάθεση υπηρεσίας. Χρησιμοποιώντας την ηλεκτρονική αριθμομηχανή, η μέση τιμή υπολογίζεται με τη μέθοδο των ροπών. Το αποτέλεσμα της απόφασης συντάσσεται σε μορφή Word.
Εντολή. Για να λάβετε μια λύση, πρέπει να συμπληρώσετε τα αρχικά δεδομένα και να επιλέξετε τις επιλογές αναφοράς για μορφοποίηση στο Word.
Αλγόριθμος για την εύρεση του μέσου όρου με τη μέθοδο των ροπών
Παράδειγμα. Το κόστος του χρόνου εργασίας για μια ομοιογενή τεχνολογική λειτουργία κατανεμήθηκε μεταξύ των εργαζομένων ως εξής:
Απαιτείται να καθοριστεί μέση αξίατο κόστος του χρόνου εργασίας και η τυπική απόκλιση με τη μέθοδο των ροπών. ο συντελεστής διακύμανσης· λειτουργία και διάμεσος.Πίνακας υπολογισμού δεικτών.
| Ομάδες | Διάστημα μέση, x i | Ποσότητα, fi | x i f i | Σωρευτική συχνότητα, S | (x-x ) 2 f |
| 5 - 10 | 7.5 | 20 | 150 | 20 | 4600.56 |
| 15 - 20 | 17.5 | 25 | 437.5 | 45 | 667.36 |
| 20 - 25 | 22.5 | 50 | 1125 | 95 | 1.39 |
| 25 - 30 | 27.5 | 30 | 825 | 125 | 700.83 |
| 30 - 35 | 32.5 | 15 | 487.5 | 140 | 1450.42 |
| 35 - 40 | 37.5 | 10 | 375 | 150 | 2200.28 |
| 150 | 3400 | 9620.83 |
Μόδα
όπου x 0 είναι η αρχή του τροπικού διαστήματος. h είναι η τιμή του διαστήματος. f 2 -συχνότητα που αντιστοιχεί στο τροπικό διάστημα. f 1 - προτροπική συχνότητα. f 3 - μετατροπική συχνότητα.
Επιλέγουμε το 20 ως αρχή του διαστήματος, αφού αυτό το διάστημα είναι που αντιστοιχεί στον μεγαλύτερο αριθμό.
Η πιο κοινή τιμή της σειράς είναι 22,78 λεπτά.
Διάμεσος
Η διάμεσος είναι το διάστημα 20 - 25, επειδή Σε αυτό το διάστημα, η συσσωρευμένη συχνότητα S είναι μεγαλύτερη από τον διάμεσο αριθμό (η διάμεσος είναι το πρώτο διάστημα, η συσσωρευμένη συχνότητα S του οποίου υπερβαίνει το ήμισυ του συνολικού αθροίσματος των συχνοτήτων).
Έτσι, το 50% των μονάδων πληθυσμού θα είναι λιγότερο από 23 λεπτά.
.
Βρίσκουμε Α = 22,5, διάστημα βήμα h = 5.
Μέσες τετραγωνικές αποκλίσεις με τη μέθοδο των ροπών.
| x γ | x*i | x * i f i | 2 στ i |
| 7.5 | -3 | -60 | 180 |
| 17.5 | -1 | -25 | 25 |
| 22.5 | 0 | 0 | 0 |
| 27.5 | 1 | 30 | 30 |
| 32.5 | 2 | 30 | 60 |
| 37.5 | 3 | 30 | 90 |
| 5 | 385 |
ελάχ. 
Τυπική απόκλιση.
ελάχ.
Ο συντελεστής διακύμανσης- ένα μέτρο της σχετικής διασποράς των τιμών του πληθυσμού: δείχνει ποια αναλογία της μέσης τιμής αυτής της ποσότητας είναι η μέση εξάπλωση της.
Επειδή v>30% αλλά v<70%, то вариация умеренная.
Παράδειγμα
Για να αξιολογήσουμε τη σειρά διανομής, βρίσκουμε τους ακόλουθους δείκτες:σταθμισμένος μέσος όρος
Η μέση τιμή του γνωρίσματος που μελετήθηκε με τη μέθοδο των ροπών.
όπου το Α είναι ένα υπό όρους μηδέν ίσο με την παραλλαγή με τη μέγιστη συχνότητα (το μέσο του διαστήματος με τη μέγιστη συχνότητα), το h είναι το βήμα του διαστήματος.
4. Ζυγός και περιττός.
Σε ζυγές μεταβλητές σειρές, το άθροισμα των συχνοτήτων ή ο συνολικός αριθμός των παρατηρήσεων εκφράζεται ως άρτιος αριθμός, σε περιττές μεταβλητές σειρές, ως περιττός αριθμός.
5. Συμμετρικά και ασύμμετρα.
Σε μια σειρά συμμετρικών παραλλαγών, όλοι οι τύποι μέσων όρων συμπίπτουν ή είναι πολύ κοντά (τρόπος λειτουργίας, διάμεσος, αριθμητικός μέσος όρος).
Ανάλογα με τη φύση των φαινομένων που μελετώνται, με τα συγκεκριμένα καθήκοντα και τους στόχους της στατιστικής μελέτης, καθώς και με το περιεχόμενο του αρχικού υλικού, στις υγειονομικές στατιστικές χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι τύποι μέσων όρων:
Διαρθρωτικοί μέσοι όροι (τρόπος λειτουργίας, διάμεσος).
αριθμητικός μέσος όρος;
μέση αρμονική?
Το γεωμετρικό μέσο
μέτρια προοδευτική.
Μόδα (M o) - την τιμή του μεταβλητού χαρακτηριστικού, που είναι πιο συνηθισμένο στον πληθυσμό που μελετήθηκε, δηλ. επιλογή που αντιστοιχεί στην υψηλότερη συχνότητα. Βρίσκεται απευθείας από τη δομή της σειράς παραλλαγών, χωρίς να καταφεύγουμε σε υπολογισμούς. Συνήθως είναι μια τιμή πολύ κοντά στον αριθμητικό μέσο όρο και είναι πολύ βολικό στην πράξη.
Διάμεσος (M e) - διαίρεση της μεταβλητής σειράς (κατάταξη, δηλ. οι τιμές της παραλλαγής ταξινομούνται σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά) σε δύο ίσα μισά. Η διάμεσος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τη λεγόμενη περιττή σειρά, η οποία προκύπτει αθροίζοντας διαδοχικά τις συχνότητες. Εάν το άθροισμα των συχνοτήτων αντιστοιχεί σε έναν ζυγό αριθμό, τότε η διάμεσος λαμβάνεται συμβατικά ως ο αριθμητικός μέσος όρος των δύο μέσων τιμών.
Ο τρόπος και η διάμεσος εφαρμόζονται στην περίπτωση ανοιχτού πληθυσμού, δηλ. όταν οι μεγαλύτερες ή οι μικρότερες επιλογές δεν έχουν ακριβή ποσοτικά χαρακτηριστικά (για παράδειγμα, ηλικίας κάτω των 15 ετών, 50 ετών και άνω, κ.λπ.). Στην περίπτωση αυτή, ο αριθμητικός μέσος όρος (παραμετρικά χαρακτηριστικά) δεν μπορεί να υπολογιστεί.
Μέση τιμή εγώ αριθμητική - η πιο κοινή τιμή. Ο αριθμητικός μέσος όρος συνήθως συμβολίζεται με Μ.
Διάκριση μεταξύ απλού αριθμητικού μέσου και σταθμισμένου μέσου όρου.
απλός αριθμητικός μέσος όρος υπολογίζεται:
— στις περιπτώσεις που το σύνολο αντιπροσωπεύεται από έναν απλό κατάλογο γνώσεων ενός χαρακτηριστικού για κάθε μονάδα·
— εάν ο αριθμός των επαναλήψεων κάθε παραλλαγής δεν μπορεί να προσδιοριστεί·
— εάν οι αριθμοί των επαναλήψεων κάθε παραλλαγής είναι κοντά ο ένας στον άλλο.
Ο απλός αριθμητικός μέσος όρος υπολογίζεται από τον τύπο:
όπου V - μεμονωμένες τιμές του χαρακτηριστικού. n είναι ο αριθμός των μεμονωμένων τιμών. - σημάδι άθροισης.
Έτσι, ο απλός μέσος όρος είναι ο λόγος του αθροίσματος της παραλλαγής προς τον αριθμό των παρατηρήσεων.
Παράδειγμα: προσδιορίστε τη μέση διάρκεια παραμονής στο κρεβάτι για 10 ασθενείς με πνευμονία:
16 ημέρες - 1 ασθενής; 17–1; 18–1; 19–1; 20–1; 21–1; 22–1; 23–1; 26–1; 31–1.
κρεβάτι-ημέρα.
Αριθμητικός σταθμισμένος μέσος όρος υπολογίζεται σε περιπτώσεις που επαναλαμβάνονται οι επιμέρους τιμές του χαρακτηριστικού. Μπορεί να υπολογιστεί με δύο τρόπους:
1. Απευθείας (αριθμητικός μέσος όρος ή άμεση μέθοδος) σύμφωνα με τον τύπο:
όπου P είναι η συχνότητα (αριθμός περιπτώσεων) των παρατηρήσεων κάθε επιλογής.
Έτσι, ο σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος είναι ο λόγος του αθροίσματος των γινομένων της παραλλαγής με τη συχνότητα προς τον αριθμό των παρατηρήσεων.
2. Υπολογίζοντας τις αποκλίσεις από τον υπό όρους μέσο όρο (σύμφωνα με τη μέθοδο των ροπών).
Η βάση για τον υπολογισμό του σταθμισμένου αριθμητικού μέσου όρου είναι:
— ομαδοποιημένο υλικό σύμφωνα με παραλλαγές ενός ποσοτικού χαρακτηριστικού·
— όλες οι επιλογές πρέπει να ταξινομούνται με αύξουσα ή φθίνουσα σειρά της τιμής του χαρακτηριστικού (κατάταξη σειρά).
Για τον υπολογισμό με τη μέθοδο των ροπών, απαραίτητη προϋπόθεση είναι το ίδιο μέγεθος όλων των διαστημάτων.
Σύμφωνα με τη μέθοδο των ροπών, ο αριθμητικός μέσος όρος υπολογίζεται από τον τύπο:
,
όπου M o είναι ο υπό όρους μέσος όρος, ο οποίος συχνά λαμβάνεται ως η τιμή του χαρακτηριστικού που αντιστοιχεί στην υψηλότερη συχνότητα, δηλ. που επαναλαμβάνεται συχνότερα (Mode).
i - τιμή διαστήματος.
α - υπό όρους απόκλιση από τις συνθήκες του μέσου όρου, που είναι μια διαδοχική σειρά αριθμών (1, 2, κ.λπ.) με σύμβολο + για την επιλογή του μεγάλου μέσου όρου υπό όρους και με το πρόσημο - (-1, -2, κ.λπ. .) για την επιλογή, που είναι κάτω από το μέσο όρο. Η υπό όρους απόκλιση από την παραλλαγή που λαμβάνεται ως μέσος όρος υπό όρους είναι 0.
P - συχνότητες.
Ο συνολικός αριθμός παρατηρήσεων ή n.
Παράδειγμα: προσδιορίστε απευθείας το μέσο ύψος των αγοριών 8 ετών (πίνακας 1).
Τραπέζι 1
|
Ύψος σε cm |
Αγόρια Π |
Κεντρικός επιλογή V |
|
Η κεντρική παραλλαγή, το μέσο του διαστήματος, ορίζεται ως το ημιάθροισμα των αρχικών τιμών δύο γειτονικών ομάδων:
; 
και τα λοιπά.
Το γινόμενο VP προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τις κεντρικές παραλλαγές με τις συχνότητες. και τα λοιπά. Στη συνέχεια, τα προϊόντα που προκύπτουν προστίθενται και παίρνουν 
, το οποίο διαιρείται με τον αριθμό των παρατηρήσεων (100) και προκύπτει ο σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος.
εκ.
Θα λύσουμε το ίδιο πρόβλημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ροπών, για την οποία συντάσσεται ο ακόλουθος πίνακας 2:
Πίνακας 2
|
Ύψος σε cm (V) |
Αγόρια Π |
||
Παίρνουμε το 122 ως Μ ο, γιατί από 100 παρατηρήσεις, 33 άτομα είχαν ύψος 122 cm. Βρίσκουμε τις υπό όρους αποκλίσεις (α) από τον υπό όρους μέσο όρο σύμφωνα με τα παραπάνω. Στη συνέχεια, λαμβάνουμε το γινόμενο των αποκλίσεων υπό όρους κατά συχνότητες (aP) και συνοψίζουμε τις λαμβανόμενες τιμές (). Το αποτέλεσμα θα είναι 17. Τέλος, αντικαθιστούμε τα δεδομένα στον τύπο.
Ιδιοκτησία 1.Η αριθμητική μέση σταθερά είναι ίση με αυτή τη σταθερά: στο
Ιδιοκτησία 2.Το αλγεβρικό άθροισμα των αποκλίσεων των επιμέρους τιμών του χαρακτηριστικού από τον αριθμητικό μέσο όρο είναι μηδέν: 
για μη ομαδοποιημένα δεδομένα και 
για σειρές διανομής.
Αυτή η ιδιότητα σημαίνει ότι το άθροισμα των θετικών αποκλίσεων είναι ίσο με το άθροισμα των αρνητικών αποκλίσεων, δηλ. όλες οι αποκλίσεις που οφείλονται σε τυχαίες αιτίες αλληλοεξουδετερώνονται.
Ιδιοκτησία 3.Το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων των επιμέρους τιμών του χαρακτηριστικού από τον αριθμητικό μέσο όρο είναι ο ελάχιστος αριθμός: 
για μη ομαδοποιημένα δεδομένα και 
για σειρές διανομής. Αυτή η ιδιότητα σημαίνει ότι το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων των μεμονωμένων τιμών ενός χαρακτηριστικού από τον αριθμητικό μέσο όρο είναι πάντα μικρότερο από το άθροισμα των αποκλίσεων των παραλλαγών του χαρακτηριστικού από οποιαδήποτε άλλη τιμή, ακόμα κι αν διαφέρει ελάχιστα από τον μέσο όρο.
Η δεύτερη και η τρίτη ιδιότητες του αριθμητικού μέσου όρου χρησιμοποιούνται για την επαλήθευση της ορθότητας του υπολογισμού της μέσης τιμής. κατά τη μελέτη των προτύπων αλλαγών στα επίπεδα μιας σειράς δυναμικών. να βρείτε τις παραμέτρους της εξίσωσης παλινδρόμησης κατά τη μελέτη της συσχέτισης μεταξύ των χαρακτηριστικών.
Και οι τρεις πρώτες ιδιότητες εκφράζουν τα ουσιαστικά χαρακτηριστικά του μέσου όρου ως στατιστική κατηγορία.
Οι ακόλουθες ιδιότητες του μέσου όρου θεωρούνται υπολογιστικές επειδή έχουν κάποια πρακτική σημασία.
Ιδιοκτησία 4.Εάν όλα τα βάρη (συχνότητες) διαιρεθούν με κάποιο σταθερό αριθμό d, τότε ο αριθμητικός μέσος όρος δεν θα αλλάξει, αφού αυτή η μείωση θα επηρεάσει εξίσου τόσο τον αριθμητή όσο και τον παρονομαστή του τύπου για τον υπολογισμό του μέσου όρου.
Δύο σημαντικές συνέπειες προκύπτουν από αυτή την ιδιότητα.
Συνέπεια 1.Εάν όλα τα βάρη είναι ίσα, τότε ο υπολογισμός του αριθμητικού σταθμισμένου μέσου όρου μπορεί να αντικατασταθεί από τον υπολογισμό του απλού αριθμητικού μέσου όρου.
Συνέπεια 2. Οι απόλυτες τιμές των συχνοτήτων (βάρη) μπορούν να αντικατασταθούν από τα ειδικά βάρη τους.
Ιδιοκτησία 5.Εάν όλες οι επιλογές διαιρεθούν ή πολλαπλασιαστούν με κάποιο σταθερό αριθμό d, τότε ο αριθμητικός μέσος όρος θα μειωθεί ή θα αυξηθεί κατά d φορές.
Ιδιοκτησία 6.Εάν όλες οι επιλογές μειωθούν ή αυξηθούν κατά έναν σταθερό αριθμό Α, τότε παρόμοιες αλλαγές θα συμβούν με τον μέσο όρο.
Οι εφαρμοζόμενες ιδιότητες του αριθμητικού μέσου όρου μπορούν να απεικονιστούν με την εφαρμογή της μεθόδου υπολογισμού του μέσου όρου από την υπό όρους αρχή (η μέθοδος των ροπών).
Αριθμητικός μέσος στον τρόπο των στιγμώνυπολογίζεται με τον τύπο:
όπου το Α είναι το μέσο οποιουδήποτε διαστήματος (προτίμηση δίνεται στο κεντρικό).
d είναι η τιμή του ίσου διαστήματος ή του μεγαλύτερου πολλαπλού διαιρέτη των διαστημάτων.
m 1 είναι η στιγμή της πρώτης σειράς.
Η στιγμή της πρώτης παραγγελίαςορίζεται ως εξής:
.
Θα επεξηγήσουμε την τεχνική εφαρμογής αυτής της μεθόδου υπολογισμού χρησιμοποιώντας τα δεδομένα του προηγούμενου παραδείγματος.
Πίνακας 5.6
| Εργασιακή εμπειρία, χρόνια | Αριθμός εργαζομένων | Διάστημα x | |||
| έως 5 | 2,5 | -10 | -2 | -28 | |
| 5-10 | 7,5 | -5 | -1 | -22 | |
| 10-15 | 12,5 | ||||
| 15-20 | 17,5 | +5 | +1 | +25 | |
| 20 και άνω | 22,5 | +10 | +2 | +22 | |
| Σύνολο | Χ | Χ | Χ | -3 |
Όπως φαίνεται από τους υπολογισμούς που δίνονται στον Πίνακα. 5.6 μία από τις τιμές τους 12.5 αφαιρείται από όλες τις επιλογές, η οποία ισούται με μηδέν και χρησιμεύει ως σημείο αναφοράς υπό όρους. Ως αποτέλεσμα της διαίρεσης των διαφορών με την τιμή του διαστήματος - 5, λαμβάνονται νέες παραλλαγές.
Σύμφωνα με τα αποτελέσματα του Πίνακα. 5.6 έχουμε: 
.
Το αποτέλεσμα των υπολογισμών με τη μέθοδο των ροπών είναι παρόμοιο με το αποτέλεσμα που προέκυψε χρησιμοποιώντας την κύρια μέθοδο υπολογισμού με τον αριθμητικό σταθμισμένο μέσο όρο.
Διαρθρωτικοί μέσοι όροι
Σε αντίθεση με τους μέσους όρους power-law, οι οποίοι υπολογίζονται με βάση τη χρήση όλων των παραλλαγών των τιμών των χαρακτηριστικών, οι δομικοί μέσοι όροι λειτουργούν ως συγκεκριμένες τιμές που συμπίπτουν με καλά καθορισμένες παραλλαγές της σειράς διανομής. Ο τρόπος λειτουργίας και η διάμεσος χαρακτηρίζουν την τιμή της παραλλαγής που καταλαμβάνει μια συγκεκριμένη θέση στη σειρά εύρος παραλλαγής.
Μόδαείναι η τιμή του χαρακτηριστικού που εμφανίζεται πιο συχνά σε αυτόν τον πληθυσμό. Στη σειρά παραλλαγής, αυτή θα είναι η παραλλαγή με την υψηλότερη συχνότητα.
Εύρεση τρόπου λειτουργίας σε μια διακριτή σειράη διανομή δεν απαιτεί υπολογισμούς. Βλέποντας τη στήλη συχνότητας, βρείτε την υψηλότερη συχνότητα.
Για παράδειγμα, η κατανομή των εργαζομένων σε μια επιχείρηση με βάση τα προσόντα χαρακτηρίζεται από τα δεδομένα του Πίνακα. 5.7.
Πίνακας 5.7
Η υψηλότερη συχνότητα σε αυτήν τη σειρά διανομής είναι 80, που σημαίνει ότι η λειτουργία είναι ίση με το τέταρτο ψηφίο. Κατά συνέπεια, οι εργαζόμενοι με την τέταρτη κατηγορία συναντώνται συχνότερα.
Εάν η σειρά κατανομής είναι διαλειμματική, τότε μόνο το τροπικό διάστημα ορίζεται από την υψηλότερη συχνότητα και, στη συνέχεια, η λειτουργία υπολογίζεται ήδη από τον τύπο:
,
πού είναι το κατώτερο όριο του διαστήματος των τρόπων;
είναι η τιμή του τροπικού διαστήματος.
είναι η συχνότητα του τροπικού διαστήματος.
είναι η συχνότητα του προτροπικού διαστήματος.
είναι η συχνότητα του μετατροπικού διαστήματος.
Υπολογίζουμε τη λειτουργία σύμφωνα με τα δεδομένα που δίνονται στον Πίνακα. 5.8.
Πίνακας 5.8
Αυτό σημαίνει ότι τις περισσότερες φορές οι επιχειρήσεις έχουν κέρδη 726 εκατομμυρίων ρούβλια.
Η πρακτική εφαρμογή της μόδας είναι περιορισμένη.Καθοδηγούνται από τη σημασία της μόδας κατά τον καθορισμό των πιο δημοφιλών μεγεθών παπουτσιών και ρούχων κατά τον προγραμματισμό της παραγωγής και πώλησής τους, όταν μελετούν τις τιμές σε αγορές χονδρικής και λιανικής (η κύρια μέθοδος συστοιχίας). Η λειτουργία χρησιμοποιείται αντί του μέσου όρου κατά τον υπολογισμό πιθανών αποθεμάτων παραγωγής.
Διάμεσοςαντιστοιχεί στην παραλλαγή στο κέντρο της σειράς κατάταξης διανομής. Αυτή είναι η τιμή του χαρακτηριστικού που χωρίζει ολόκληρο τον πληθυσμό σε δύο ίσα μέρη.
Η θέση της διάμεσης τιμής καθορίζεται από τον αριθμό της (N).
πού είναι ο αριθμός των πληθυσμιακών μονάδων. Χρησιμοποιούμε τα δεδομένα του παραδείγματος που δίνεται στον Πίνακα. 5.7 για τον προσδιορισμό της διάμεσης τιμής.
, δηλ. η διάμεσος είναι ίση με τον αριθμητικό μέσο όρο της 100ης και 110ης τιμής του χαρακτηριστικού. Με βάση τις συσσωρευμένες συχνότητες, προσδιορίζουμε ότι η 100η και η 110η μονάδα της σειράς έχουν τιμή χαρακτηριστικού ίση με το τέταρτο ψηφίο, δηλ. η διάμεσος είναι το τέταρτο ψηφίο.
Η διάμεσος στη σειρά διαστημάτων της κατανομής προσδιορίζεται με την ακόλουθη σειρά.
1. Οι συσσωρευμένες συχνότητες υπολογίζονται για αυτήν τη σειρά κατάταξης διανομής.
2. Με βάση τις συσσωρευμένες συχνότητες, καθορίζεται ένα διάμεσο διάστημα. Βρίσκεται όπου η πρώτη αθροιστική συχνότητα είναι ίση ή μεγαλύτερη από το μισό του πληθυσμού (όλων των συχνοτήτων).
3. Η διάμεσος υπολογίζεται με τον τύπο:
,
πού είναι το κατώτερο όριο του διάμεσου διαστήματος;
– τιμή διαστήματος.
είναι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων.
είναι το άθροισμα των συσσωρευμένων συχνοτήτων που προηγούνται του διάμεσου διαστήματος.
είναι η συχνότητα του διάμεσου διαστήματος.
Υπολογίστε τη διάμεσο σύμφωνα με τον πίνακα. 5.8.
Η πρώτη συσσωρευμένη συχνότητα, η οποία είναι ίση με το ήμισυ του πληθυσμού 30, σημαίνει ότι η διάμεσος είναι στην περιοχή 500-700.
Αυτό σημαίνει ότι οι μισές επιχειρήσεις πραγματοποιούν κέρδη έως και 676 εκατομμύρια ρούβλια και οι άλλες μισές πάνω από 676 εκατομμύρια ρούβλια.
Ο διάμεσος χρησιμοποιείται συχνά αντί του μέσου όρου όταν ο πληθυσμός είναι ετερογενής επειδή δεν επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές του χαρακτηριστικού. Η πρακτική εφαρμογή του μέσου όρου σχετίζεται επίσης με την ιδιότητα ελάχιστης του. Το απόλυτο άθροισμα των αποκλίσεων των μεμονωμένων τιμών από τη διάμεσο είναι η μικρότερη τιμή. Επομένως, η διάμεσος χρησιμοποιείται στους υπολογισμούς κατά τον σχεδιασμό της θέσης των αντικειμένων που θα χρησιμοποιηθούν από διάφορους οργανισμούς και άτομα.
