Cr 4 εφαρμογή των ιδιοτήτων της τετραγωνικής ρίζας. Αριθμητική τετραγωνική ρίζα (8 τάξη)

Τίτλος: Ανεξάρτητος και χαρτιά δοκιμήςστην άλγεβρα και τη γεωμετρία για την 8η τάξη.

Το εγχειρίδιο περιέχει ανεξάρτητη και ελεγκτική εργασία για όλα τα πιο σημαντικά θέματα του μαθήματος της 8ης τάξης της Άλγεβρας και της Γεωμετρίας.

Τα έργα αποτελούνται από 6 παραλλαγές τριών επιπέδων δυσκολίας. Το διδακτικό υλικό έχει σχεδιαστεί για να οργανώνει διαφοροποιημένη ανεξάρτητη εργασία των μαθητών.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ
ΑΛΓΕΒΡΑ 4
Γ-1 Ορθολογική έκφραση. Αναγωγή κλασμάτων 4
Γ-2 Προσθήκη και αφαίρεση κλασμάτων 5
Κ-1 Ορθολογικά κλάσματα. Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων 7
Γ-3 Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων. Αύξηση ενός κλάσματος στη δύναμη του 10
Γ-4 Μετασχηματισμός ορθολογικών εκφράσεων 12
C-5 Αντίστροφη αναλογικότητα και το διάγραμμα της 14
Κ-2 Ορθολογικά κλάσματα 16
Γ-6 Αριθμητική τετραγωνική ρίζα 18
Γ-7 Εξίσωση x2 = α. Συνάρτηση y = y[x 20
C-8 Τετραγωνική ρίζα προϊόντος, κλάσμα, ισχύς 22
Κ-3 Αριθμητική τετραγωνική ρίζα και οι ιδιότητές της 24
Γ-9 Εισαγωγή και πολλαπλασιασμός σε τετραγωνικές ρίζες 27
C-10 Μετατροπή εκφράσεων που περιέχουν τετραγωνικές ρίζες 28
Κ-4 Εφαρμογή ιδιοτήτων της αριθμητικής τετραγωνική ρίζα 30
Γ-11 Ημιτελείς δευτεροβάθμιες εξισώσεις 32
C-12 Quadratic Root Formula 33
С-13 Επίλυση προβλημάτων με χρήση τετραγωνικών εξισώσεων. Θεώρημα Vieta 34
Κ-5 Τετραγωνικές εξισώσεις 36
C-14 Κλασματικές ορθολογικές εξισώσεις 38
Γ-15 Εφαρμογή κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων. Επίλυση προβλημάτων 39
Κ-6 Κλασματικές Ορθολογικές Εξισώσεις 40
Γ-16 Ιδιότητες αριθμητικών ανισώσεων 43
Κ-7 Αριθμητικές ανισώσεις και οι ιδιότητές τους 44
С-17 Γραμμικές ανισότητες με μία μεταβλητή 47
С-18 Συστήματα γραμμικών ανισοτήτων 48
K-8 Γραμμικές ανισώσεις και συστήματα ανισώσεων με μία μεταβλητή 50
C-19 Βαθμός με αρνητικό δείκτη 52
Κ-9 Βαθμός με ακέραιο εκθέτη 54
K-10 Ετήσια δοκιμή 56
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (Σύμφωνα με τον Pogorelov) 58
Γ-1 Ιδιότητες και χαρακτηριστικά παραλληλογράμμου". 58
Γ-2 Ορθογώνιο. Ρόμβος. Τετράγωνο 60
Κ-1 Παραλληλόγραμμο 62
Γ-3 Θεώρημα του Θαλή. Μέση γραμμή τριγώνου 63
C-4 Trapeze. Μέση γραμμή του τραπεζοειδούς 66
K-2 Trapeze. Μέσες γραμμές τριγώνου και τραπεζοειδούς .... 68
Γ-5 Πυθαγόρειο θεώρημα 70
Θεώρημα С-6, αντίστροφα με το Πυθαγόρειο θεώρημα. Κάθετες και πλάγιες 71
Γ-7 Ανισότητα τριγώνου 73
K-3 Πυθαγόρειο θεώρημα 74
C-8 Επίλυση ορθογωνίων τριγώνων 76
Γ-9 Ιδιότητες τριγωνομετρικών συναρτήσεων 78
Κ-4 Ορθογώνιο τρίγωνο (συνοπτική δοκιμή) 80
С-10 Συντεταγμένες του μέσου τμήματος. Απόσταση μεταξύ σημείων. Εξίσωση κύκλου 82
Γ-11 Εξίσωση ευθείας γραμμής 84
Κ-5 Καρτεσιανές συντεταγμένες 86
С-12 Κίνηση και οι ιδιότητές του. Κεντρική και αξονική συμμετρία. στροφή 88
Γ-13. Παράλληλη μεταφορά 90
Γ-14 Η έννοια του διανύσματος. Διανυσματική ισότητα 92
C-15 Πράξεις με διανύσματα σε μορφή συντεταγμένων. Συγγραμμικά διανύσματα 94
C-16 Πράξεις με διανύσματα σε γεωμετρική μορφή 95
C-17 Dot προϊόν 98
Κ-6 Διανύσματα 99
K-7 Ετήσια δοκιμή 102
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (Σύμφωνα με τον Atanasyan) 104
Γ-1 Ιδιότητες και χαρακτηριστικά παραλληλογράμμου 104
Γ-2 Ορθογώνιο. Ρόμβος. Πλατεία 106
Κ-1 Τετράγωνα 108
Γ-3 Εμβαδόν ορθογωνίου, τετράγωνο 109
Γ-4 Εμβαδόν παραλληλογράμμου, ρόμβος, τρίγωνο 111
C-5 Τραπεζοειδής περιοχή 113
Γ-6 Πυθαγόρειο Θεώρημα 114
Τετράγωνα Κ-2. Πυθαγόρειο θεώρημα 116
Γ-7 Ορισμός ομοειδών τριγώνων. Ιδιότητα διχοτόμου γωνίας τριγώνου 118
С-8 Σημάδια ομοιότητας τριγώνων 120
Κ-3 Ομοιότητα τριγώνων 122
Γ-9 Εφαρμογή της ομοιότητας στην επίλυση προβλημάτων 124
Γ-10 Σχέσεις μεταξύ πλευρών και γωνιών ορθογωνίου τριγώνου 126
Κ-4 Εφαρμογή της ομοιότητας στην επίλυση προβλημάτων. Σχέσεις μεταξύ πλευρών και γωνιών ορθογωνίου τριγώνου 128
C-11 Εφαπτομένη στον κύκλο 130
C-12 Κεντρικές και εγγεγραμμένες γωνίες 132
Γ-13 Θεώρημα για το γινόμενο τμημάτων τεμνόμενων χορδών. Αξιοσημείωτα σημεία τριγώνου 134
C-14 Ενεπίγραφοι και περιγεγραμμένοι κύκλοι 136
Κ-5 Κύκλος 137
C-15 Διάνυσμα πρόσθεση και αφαίρεση 139
C-16 Διανυσματικός πολλαπλασιασμός με τον αριθμό 141
C-17 Μέση γραμμή τραπεζίου 142
Κ-6 Διανύσματα. Εφαρμογή διανυσμάτων στην επίλυση προβλημάτων 144
K-7 Ετήσια δοκιμή 146
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 148
ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ 157

ΠΡΟΛΟΓΟΣ .
1. Ένα σχετικά μικρό βιβλίο περιέχει ένα πλήρες σετ δοκιμών (συμπεριλαμβανομένων των τελικών τεστ) για ολόκληρο το μάθημα της άλγεβρας και της γεωμετρίας της 8ης τάξης, επομένως αρκεί να αγοράσετε ένα σετ βιβλίων ανά τάξη.
Οι εξετάσεις έχουν σχεδιαστεί για το μάθημα, ανεξάρτητη εργασία- 20-35 λεπτά, ανάλογα με το θέμα. Για τη διευκόλυνση της χρήσης του βιβλίου, ο τίτλος κάθε ανεξάρτητης και ελεγκτικής εργασίας αντικατοπτρίζει τη θεματολογία της.

2. Η συλλογή σάς επιτρέπει να πραγματοποιείτε διαφοροποιημένο έλεγχο της γνώσης, καθώς οι εργασίες χωρίζονται σε τρία επίπεδα πολυπλοκότητας Α, Β και Γ. Το επίπεδο Α αντιστοιχεί στις υποχρεωτικές απαιτήσεις του προγράμματος, Β - το μέσο επίπεδο πολυπλοκότητας, επίπεδο Γ Οι εργασίες προορίζονται για μαθητές που δείχνουν αυξημένο ενδιαφέρον για τα μαθηματικά, καθώς και για χρήση σε τάξεις, σχολεία, γυμνάσια και λύκεια με εις βάθος μελέτη των μαθηματικών. Για κάθε επίπεδο δίνονται 2 ισοδύναμες επιλογές η μία δίπλα στην άλλη (όπως συνήθως γράφονται στον πίνακα), άρα ένα βιβλίο ανά θρανίο αρκεί για το μάθημα.

ΔΩΡΕΑΝ Λήψη ηλεκτρονικό βιβλίοσε βολική μορφή, παρακολουθήστε και διαβάστε:
Κατεβάστε το βιβλίο Ανεξάρτητη και δοκιμαστική εργασία στην άλγεβρα και τη γεωμετρία για την 8η τάξη. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004 - fileskachat.com, γρήγορη και δωρεάν λήψη.

• Ανεξάρτητη και ελεγκτική εργασία για τη γεωμετρία για την τάξη 11. Goloborodko V.V., Ershova A.P., 2004
• Ανεξάρτητη και ελεγκτική εργασία στην άλγεβρα και τη γεωμετρία για την 9η τάξη. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004
• Ανεξάρτητη και ελεγκτική εργασία στην άλγεβρα και τη γεωμετρία, τάξη 8, Ershova A.P., Goloborodko V.V., Ershova A.S., 2013

\(\sqrt(a)=b\) εάν \(b^2=a\), όπου \(a≥0,b≥0\)

Παραδείγματα:

\(\sqrt(49)=7\) επειδή \(7^2=49\)
\(\sqrt(0.04)=0.2\),επειδή \(0.2^2=0.04\)

Πώς να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού;

Για να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού, πρέπει να αναρωτηθείτε: ποιος αριθμός στο τετράγωνο θα δώσει την έκφραση κάτω από τη ρίζα;

Για παράδειγμα. Εξαγωγή της ρίζας: a)\(\sqrt(2500)\); β) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); γ) \(\sqrt(0.001)\); δ) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

α) Ποιος αριθμός στο τετράγωνο θα δώσει \(2500\);

\(\sqrt(2500)=50\)

β) Ποιος αριθμός στο τετράγωνο θα δώσει \(\frac(4)(9)\) ;

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

γ) Ποιος αριθμός στο τετράγωνο θα δώσει \(0,0001\);

\(\sqrt(0,0001)=0,01\)

δ) Ποιος τετράγωνος αριθμός θα δώσει το \(\sqrt(1\frac(13)(36))\); Για να απαντήσετε στην ερώτηση, πρέπει να μεταφράσετε σε λάθος.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

Σχόλιο: Αν και \(-50\), \(-\frac(2)(3)\) , \(-0,01\),\(- \frac(7)(6)\) απαντούν επίσης στις ερωτήσεις που δίνονται , αλλά δεν λαμβάνονται υπόψη, αφού η τετραγωνική ρίζα είναι πάντα θετική.

Η κύρια ιδιότητα της ρίζας

Όπως γνωρίζετε, στα μαθηματικά, κάθε ενέργεια έχει αντίστροφο. Η πρόσθεση έχει αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός έχει διαίρεση. Το αντίθετο του τετραγωνισμού είναι η λήψη της τετραγωνικής ρίζας. Επομένως, αυτές οι ενέργειες αλληλοεξουδετερώνονται:

\((\sqrt(a))^2=a\)

Αυτή είναι η κύρια ιδιότητα της ρίζας, η οποία χρησιμοποιείται συχνότερα (συμπεριλαμβανομένου του OGE)

Παράδειγμα . (εργασία από την ΟΓΕ). Βρείτε την τιμή της παράστασης \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)

Λύση :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

Παράδειγμα . (εργασία από την ΟΓΕ). Βρείτε την τιμή της παράστασης \((\sqrt(85)-1)^2\)

Λύση:

Φυσικά, όταν εργάζεστε με τετραγωνική ρίζα, πρέπει να χρησιμοποιείτε άλλες.

Παράδειγμα . (εργασία από την ΟΓΕ). Βρείτε την τιμή της παράστασης \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)
Λύση:

Απάντηση: \(220\)

4 κανόνες που πάντα ξεχνιούνται

Η ρίζα δεν εξάγεται πάντα

Παράδειγμα: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) κ.λπ. - Η εξαγωγή ρίζας από έναν αριθμό δεν είναι πάντα δυνατή και αυτό είναι φυσιολογικό!

Ρίζα ενός αριθμού, επίσης ένας αριθμός

Δεν χρειάζεται να χειριστείτε τα \(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\) με οποιονδήποτε ειδικό τρόπο. Αυτοί είναι αριθμοί, αλλά όχι ακέραιοι, ναι, αλλά δεν μετρώνται όλα στον κόσμο μας σε ακέραιους αριθμούς.

Η ρίζα λαμβάνεται μόνο από μη αρνητικούς αριθμούς

Επομένως, στα σχολικά βιβλία δεν θα δείτε τέτοιες καταχωρήσεις \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\), κ.λπ.

Ξανακοίταξα το πιάτο... Και, πάμε!

Ας ξεκινήσουμε με ένα απλό:

Περίμενε ένα λεπτό. αυτό, που σημαίνει ότι μπορούμε να το γράψουμε ως εξής:

Το έπιασα? Εδώ είναι το επόμενο για εσάς:

Οι ρίζες των αριθμών που προκύπτουν δεν εξάγονται ακριβώς; Μην ανησυχείτε, εδώ είναι μερικά παραδείγματα:

Τι γίνεται όμως αν δεν υπάρχουν δύο πολλαπλασιαστές, αλλά περισσότεροι; Ιδιο! Ο τύπος πολλαπλασιασμού ρίζας λειτουργεί με οποιονδήποτε αριθμό παραγόντων:

Τώρα εντελώς ανεξάρτητο:

Απαντήσεις:Μπράβο! Συμφωνώ, όλα είναι πολύ εύκολα, το κύριο πράγμα είναι να γνωρίζετε τον πίνακα πολλαπλασιασμού!

Διαίρεση ρίζας

Καταλάβαμε τον πολλαπλασιασμό των ριζών, τώρα ας προχωρήσουμε στην ιδιότητα της διαίρεσης.

Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι ο τύπος γενικά μοιάζει με αυτό:

Και αυτό σημαίνει ότι η ρίζα του πηλίκου είναι ίση με το πηλίκο των ριζών.

Λοιπόν, ας δούμε παραδείγματα:

Αυτό είναι όλη η επιστήμη. Και ιδού ένα παράδειγμα:

Όλα δεν είναι τόσο ομαλά όσο στο πρώτο παράδειγμα, αλλά όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο.

Τι γίνεται αν η έκφραση μοιάζει με αυτό:

Απλά πρέπει να εφαρμόσετε τον τύπο αντίστροφα:

Και ιδού ένα παράδειγμα:

Μπορείτε επίσης να δείτε αυτήν την έκφραση:

Όλα είναι ίδια, μόνο εδώ πρέπει να θυμάστε πώς να μεταφράζετε κλάσματα (αν δεν θυμάστε, κοιτάξτε το θέμα και επιστρέψτε!). Θυμηθήκατε; Τώρα αποφασίζουμε!

Είμαι σίγουρος ότι αντιμετωπίσατε τα πάντα, τα πάντα, τώρα ας προσπαθήσουμε να χτίσουμε ρίζες σε ένα βαθμό.

Εκθεσιμότητα

Τι συμβαίνει αν η τετραγωνική ρίζα είναι τετράγωνο; Είναι απλό, θυμηθείτε την έννοια της τετραγωνικής ρίζας ενός αριθμού - αυτός είναι ένας αριθμός του οποίου η τετραγωνική ρίζα είναι ίση με.

Λοιπόν, αν τετραγωνίσουμε έναν αριθμό του οποίου η τετραγωνική ρίζα είναι ίση, τότε τι παίρνουμε;

Λοιπόν, φυσικά,!

Ας δούμε παραδείγματα:

Όλα είναι απλά, σωστά; Και αν η ρίζα είναι σε διαφορετικό βαθμό; Είναι εντάξει!

Μείνετε στην ίδια λογική και θυμηθείτε τις ιδιότητες και τις πιθανές ενέργειες με δυνάμεις.

Διαβάστε τη θεωρία για το θέμα "" και όλα θα σας γίνουν εξαιρετικά ξεκάθαρα.

Για παράδειγμα, εδώ είναι μια έκφραση:

Σε αυτό το παράδειγμα, ο βαθμός είναι άρτιος, αλλά τι γίνεται αν είναι περιττός; Και πάλι, εφαρμόστε τις ιδιότητες ισχύος και συνυπολογίστε τα πάντα:

Με αυτό, όλα φαίνεται να είναι ξεκάθαρα, αλλά πώς να εξαγάγετε τη ρίζα από έναν αριθμό σε ένα βαθμό; Εδώ, για παράδειγμα, είναι αυτό:

Πολύ απλό, σωστά; Τι γίνεται αν ο βαθμός είναι μεγαλύτερος από δύο; Ακολουθούμε την ίδια λογική χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των μοιρών:

Λοιπόν, είναι όλα ξεκάθαρα; Στη συνέχεια, λύστε τα δικά σας παραδείγματα:

Και ιδού οι απαντήσεις:

Εισαγωγή κάτω από το πρόσημο της ρίζας

Τι απλά δεν έχουμε μάθει να κάνουμε με τις ρίζες! Απομένει μόνο να εξασκηθείτε στην εισαγωγή του αριθμού κάτω από το σύμβολο της ρίζας!

Είναι αρκετά εύκολο!

Ας πούμε ότι έχουμε έναν αριθμό

Τι μπορούμε να κάνουμε με αυτό; Λοιπόν, φυσικά, κρύψτε το τριπλό κάτω από τη ρίζα, ενώ να θυμάστε ότι το τριπλό είναι η τετραγωνική ρίζα του!

Γιατί το χρειαζόμαστε; Ναι, απλώς για να επεκτείνουμε τις δυνατότητές μας κατά την επίλυση παραδειγμάτων:

Πώς σας φαίνεται αυτή η ιδιότητα των ριζών; Κάνει τη ζωή πολύ πιο εύκολη; Για μένα, αυτό είναι σωστό! Μόνο πρέπει να θυμόμαστε ότι μπορούμε να εισάγουμε μόνο θετικούς αριθμούς κάτω από το πρόσημο της τετραγωνικής ρίζας.

Δοκιμάστε αυτό το παράδειγμα μόνοι σας:
Κατάφερες? Ας δούμε τι πρέπει να πάρετε:

Μπράβο! Καταφέρατε να εισάγετε έναν αριθμό κάτω από το σύμβολο της ρίζας! Ας προχωρήσουμε σε κάτι εξίσου σημαντικό - σκεφτείτε πώς να συγκρίνετε αριθμούς που περιέχουν τετραγωνική ρίζα!

Σύγκριση ρίζας

Γιατί πρέπει να μάθουμε να συγκρίνουμε αριθμούς που περιέχουν τετραγωνική ρίζα;

Πολύ απλό. Συχνά, σε μεγάλες και μεγάλες εκφράσεις που συναντάμε στις εξετάσεις, παίρνουμε μια παράλογη απάντηση (θυμάστε τι είναι; Έχουμε ήδη μιλήσει για αυτό σήμερα!)

Πρέπει να τοποθετήσουμε τις λαμβανόμενες απαντήσεις στη γραμμή συντεταγμένων, για παράδειγμα, για να καθορίσουμε ποιο διάστημα είναι κατάλληλο για την επίλυση της εξίσωσης. Και εδώ είναι που προκύπτει το εμπόδιο: δεν υπάρχει αριθμομηχανή στις εξετάσεις, και χωρίς αυτήν, πώς να φανταστείτε ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος και ποιος μικρότερος; Αυτό είναι!

Για παράδειγμα, προσδιορίστε ποιο είναι μεγαλύτερο: ή;

Δεν θα το πεις αμέσως. Λοιπόν, ας χρησιμοποιήσουμε την αναλυμένη ιδιότητα της προσθήκης ενός αριθμού κάτω από το σύμβολο της ρίζας;

Στη συνέχεια, προωθήστε:

Λοιπόν, προφανώς, όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός κάτω από το σημάδι της ρίζας, τόσο μεγαλύτερη είναι η ίδια η ρίζα!

Εκείνοι. αν σημαίνει .

Από αυτό συμπεραίνουμε σταθερά ότι Και κανείς δεν θα μας πείσει για το αντίθετο!

Εξαγωγή ριζών από μεγάλους αριθμούς

Πριν από αυτό, εισαγάγαμε έναν παράγοντα κάτω από το σημάδι της ρίζας, αλλά πώς να τον βγάλουμε; Απλά πρέπει να το συνυπολογίσετε και να εξαγάγετε ό,τι εξάγεται!

Ήταν δυνατό να πάμε αντίθετα και να αποσυντεθούμε σε άλλους παράγοντες:

Δεν είναι κακό, σωστά; Οποιαδήποτε από αυτές τις προσεγγίσεις είναι σωστή, αποφασίστε πώς αισθάνεστε άνετα.

Το Factoring είναι πολύ χρήσιμο κατά την επίλυση τέτοιων μη τυπικών εργασιών όπως αυτή:

Δεν φοβόμαστε, ενεργούμε! Αποσυνθέτουμε κάθε παράγοντα κάτω από τη ρίζα σε ξεχωριστούς παράγοντες:

Και τώρα δοκιμάστε το μόνοι σας (χωρίς αριθμομηχανή! Δεν θα είναι στις εξετάσεις):

Είναι αυτό το τέλος? Δεν σταματάμε στα μισά!

Αυτό είναι όλο, δεν είναι τόσο τρομακτικό, σωστά;

Συνέβη; Μπράβο έχεις δίκιο!

Δοκιμάστε τώρα αυτό το παράδειγμα:

Και ένα παράδειγμα είναι ένα σκληρό καρύδι, οπότε δεν μπορείτε να καταλάβετε αμέσως πώς να το προσεγγίσετε. Εμείς, φυσικά, είμαστε στα δόντια.

Λοιπόν, ας ξεκινήσουμε το factoring, σωστά; Αμέσως, σημειώνουμε ότι μπορείτε να διαιρέσετε έναν αριθμό με (θυμηθείτε τα σημάδια διαιρετότητας):

Και τώρα, δοκιμάστε το μόνοι σας (πάλι, χωρίς αριθμομηχανή!):

Λοιπόν, λειτούργησε; Μπράβο έχεις δίκιο!

Ανακεφαλαίωση

1. Η τετραγωνική ρίζα (αριθμητική τετραγωνική ρίζα) ενός μη αρνητικού αριθμού είναι ένας μη αρνητικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι ίσο.
   .
2. Αν πάρουμε απλώς την τετραγωνική ρίζα ενός πράγματος, παίρνουμε πάντα ένα μη αρνητικό αποτέλεσμα.
3. Αριθμητικές ιδιότητες ρίζας:
4. Κατά τη σύγκριση των τετραγωνικών ριζών, πρέπει να θυμόμαστε ότι όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός κάτω από το σύμβολο της ρίζας, τόσο μεγαλύτερη είναι η ίδια η ρίζα.

Πώς σας αρέσει η τετραγωνική ρίζα; Ολα ΕΝΤΑΞΕΙ?

Προσπαθήσαμε να σας εξηγήσουμε χωρίς νερό όλα όσα πρέπει να γνωρίζετε στις εξετάσεις για την τετραγωνική ρίζα.

Είναι η σειρά σου. Γράψτε μας αν αυτό το θέμα σας είναι δύσκολο ή όχι.

Μάθατε κάτι νέο ή όλα ήταν ήδη τόσο ξεκάθαρα.

Γράψτε στα σχόλια και καλή επιτυχία στις εξετάσεις!

Σε αυτό το άρθρο, θα αναλύσουμε τα κύρια ιδιότητες της ρίζας. Ας ξεκινήσουμε με τις ιδιότητες της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας, ας δώσουμε τις διατυπώσεις τους και δώσουμε αποδείξεις. Μετά από αυτό, θα ασχοληθούμε με τις ιδιότητες της αριθμητικής ρίζας του nου βαθμού.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Ιδιότητες τετραγωνικής ρίζας

Σε αυτή την ενότητα, θα ασχοληθούμε με τα ακόλουθα κύρια ιδιότητες της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας:

Σε καθεμία από τις γραπτές ισότητες, το αριστερό και το δεξί μέρος μπορούν να εναλλάσσονται, για παράδειγμα, η ισότητα μπορεί να ξαναγραφτεί ως . Σε αυτήν την «αντίστροφη» μορφή, οι ιδιότητες της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας εφαρμόζονται όταν απλοποίηση των εκφράσεωντόσο συχνά όσο και στην «άμεση» μορφή.

Η απόδειξη των δύο πρώτων ιδιοτήτων βασίζεται στον ορισμό της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας και στο . Και για να δικαιολογήσετε την τελευταία ιδιότητα της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας, πρέπει να θυμάστε.

Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με απόδειξη της ιδιότητας της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας του γινομένου δύο μη αρνητικών αριθμών: . Για να γίνει αυτό, σύμφωνα με τον ορισμό της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας, αρκεί να δείξουμε ότι είναι ένας μη αρνητικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι ίσο με a b . Ας το κάνουμε. Η τιμή της παράστασης είναι μη αρνητική ως το γινόμενο μη αρνητικών αριθμών. Η ιδιότητα του βαθμού του γινομένου δύο αριθμών μας επιτρέπει να γράψουμε την ισότητα , και δεδομένου ότι με τον ορισμό της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας και , τότε .

Ομοίως, αποδεικνύεται ότι η αριθμητική τετραγωνική ρίζα του γινομένου των k μη αρνητικών παραγόντων a 1 , a 2 , …, a k ισούται με το γινόμενο των αριθμητικών τετραγωνικών ριζών αυτών των παραγόντων. Πραγματικά, . Από αυτή την ισότητα προκύπτει ότι .

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα: και .

Τώρα ας αποδείξουμε ιδιότητα της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας ενός πηλίκου: . ιδιωτική περιουσία σε φυσικός βαθμόςμας επιτρέπει να γράψουμε την ισότητα , ένα , ενώ υπάρχει ένας μη αρνητικός αριθμός. Αυτή είναι η απόδειξη.

Για παράδειγμα, και .

Ήρθε η ώρα να αποσυναρμολογηθεί ιδιότητα της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας του τετραγώνου ενός αριθμού, με τη μορφή ισότητας γράφεται ως . Για να το αποδείξετε, εξετάστε δύο περιπτώσεις: για a≥0 και για a<0 .

Είναι προφανές ότι για a≥0 η ισότητα ισχύει. Είναι επίσης εύκολο να δούμε ότι για α<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 και (−a) 2 =a 2 . Με αυτόν τον τρόπο, , που έπρεπε να αποδειχτεί.

Ορίστε μερικά παραδείγματα: και .

Η ιδιότητα της τετραγωνικής ρίζας που μόλις αποδείχθηκε μας επιτρέπει να δικαιολογήσουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα, όπου a είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός και m είναι οποιοσδήποτε. Πράγματι, η ιδιότητα εκθέσεως μας επιτρέπει να αντικαταστήσουμε τον βαθμό a 2 m από την έκφραση (a m) 2, τότε .

Για παράδειγμα, και .

Ιδιότητες της νης ρίζας

Ας αναφέρουμε πρώτα τα κύρια ιδιότητες της νης ρίζας:

Όλες οι γραπτές ισότητες παραμένουν έγκυρες εάν η αριστερή και η δεξιά πλευρά εναλλάσσονται σε αυτές. Σε αυτή τη μορφή, χρησιμοποιούνται επίσης συχνά, κυρίως κατά την απλοποίηση και τη μετατροπή εκφράσεων.

Η απόδειξη όλων των φωνημένων ιδιοτήτων της ρίζας βασίζεται στον ορισμό της αριθμητικής ρίζας του nου βαθμού, στις ιδιότητες του βαθμού και στον ορισμό της ενότητας του αριθμού. Ας τα αποδείξουμε με σειρά προτεραιότητας.

Ας ξεκινήσουμε με την απόδειξη ιδιότητες της νης ρίζας ενός προϊόντος . Για τα μη αρνητικά a και b, η τιμή της παράστασης είναι επίσης μη αρνητική, όπως και το γινόμενο των μη αρνητικών αριθμών. Η ιδιότητα προϊόντος των φυσικών δυνάμεων μας επιτρέπει να γράψουμε την ισότητα . Εξ ορισμού της αριθμητικής ρίζας του nου βαθμού και, επομένως, . Αυτό αποδεικνύει τη θεωρούμενη ιδιότητα της ρίζας.

Αυτή η ιδιότητα αποδεικνύεται ομοίως για το γινόμενο των k παραγόντων: για μη αρνητικούς αριθμούς a 1 , a 2 , ..., a n και .

Ακολουθούν παραδείγματα χρήσης της ιδιότητας της ρίζας του nου βαθμού του προϊόντος: και .

Ας αποδείξουμε ιδιότητα ρίζας του πηλίκου. Για a≥0 και b>0, η συνθήκη ικανοποιείται και .

Ας δείξουμε παραδείγματα: και .

Προχωράμε. Ας αποδείξουμε ιδιότητα της νης ρίζας ενός αριθμού στη δύναμη του n. Θα το αποδείξουμε δηλαδή για κάθε πραγματικό α και φυσικό μ . Για a≥0 έχουμε και , που αποδεικνύει την ισότητα , και την ισότητα προφανώς. Για ένα<0 имеем и (η τελευταία μετάβαση ισχύει λόγω της ιδιότητας ισχύος με άρτιο εκθέτη), η οποία αποδεικνύει την ισότητα , και είναι αλήθεια λόγω του γεγονότος ότι όταν μιλάμε για τη ρίζα ενός περιττού βαθμού, πήραμε για οποιονδήποτε μη αρνητικό αριθμό c .

Ακολουθούν παραδείγματα χρήσης της ιδιότητας αναλυμένης ρίζας: και .

Προχωράμε στην απόδειξη της ιδιότητας της ρίζας από τη ρίζα. Ας ανταλλάξουμε το δεξί και το αριστερό μέρος, δηλαδή θα αποδείξουμε την εγκυρότητα της ισότητας , που θα σημαίνει την εγκυρότητα της αρχικής ισότητας. Για έναν μη αρνητικό αριθμό α, η τετραγωνική ρίζα της φόρμας είναι ένας μη αρνητικός αριθμός. Υπενθυμίζοντας την ιδιότητα της αύξησης μιας δύναμης σε μια δύναμη και χρησιμοποιώντας τον ορισμό της ρίζας, μπορούμε να γράψουμε μια αλυσίδα ισοτήτων της μορφής . Αυτό αποδεικνύει τη θεωρούμενη ιδιότητα μιας ρίζας από μια ρίζα.

Παρομοίως αποδεικνύεται η ιδιότητα της ρίζας από ρίζα από ρίζα κ.ο.κ. Πραγματικά, .

Για παράδειγμα, και .

Ας αποδείξουμε το εξής Ιδιότητα μείωσης εκθέτη ρίζας. Για να γίνει αυτό, λόγω του ορισμού της ρίζας, αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ένας μη αρνητικός αριθμός που, όταν αυξάνεται στη δύναμη του n m, είναι ίσος με a m. Ας το κάνουμε. Είναι σαφές ότι αν ο αριθμός α είναι μη αρνητικός, τότε η ν-η ρίζα του αριθμού α είναι μη αρνητικός αριθμός. Εν , που συμπληρώνει την απόδειξη.

Ακολουθεί ένα παράδειγμα χρήσης της ιδιότητας αναλυμένης ρίζας: .

Ας αποδείξουμε την ακόλουθη ιδιότητα, την ιδιότητα της ρίζας του βαθμού της μορφής . Είναι προφανές ότι για a≥0 ο βαθμός είναι ένας μη αρνητικός αριθμός. Επιπλέον, η nη ισχύς του είναι ίση με a m, πράγματι, . Αυτό αποδεικνύει τη θεωρούμενη ιδιότητα του πτυχίου.

Για παράδειγμα, .

Ας προχωρήσουμε. Ας αποδείξουμε ότι για τυχόν θετικούς αριθμούς a και b για τους οποίους η συνθήκη α , δηλαδή a≥b . Και αυτό έρχεται σε αντίθεση με την προϋπόθεση α

Για παράδειγμα, δίνουμε τη σωστή ανισότητα .

Τέλος, μένει να αποδειχθεί η τελευταία ιδιότητα της νης ρίζας. Ας αποδείξουμε πρώτα το πρώτο μέρος αυτής της ιδιότητας, δηλαδή θα αποδείξουμε ότι για m>n και 0 . Στη συνέχεια, λόγω των ιδιοτήτων ενός βαθμού με φυσικό εκθέτη, η ανισότητα , δηλαδή a n ≤ a m . Και η προκύπτουσα ανισότητα για m>n και 0

Ομοίως, με αντίφαση, αποδεικνύεται ότι για m>n και a>1 η συνθήκη ικανοποιείται.

Ας δώσουμε παραδείγματα εφαρμογής της αποδεδειγμένης ιδιότητας της ρίζας σε συγκεκριμένους αριθμούς. Για παράδειγμα, οι ανισότητες και είναι αλήθεια.

Βιβλιογραφία.