Позволявам f(х 1 , х 2) е функция на две променливи. По аналогия с едномерното преобразуване на Фурие можем да въведем двумерно преобразуване на Фурие:
Функцията при фиксирани стойности ω 1, ω 2 описва плоска вълна в равнината х 1 , х 2 (Фигура 19.1).
Величините ω 1 , ω 2 имат значението на пространствени честоти и размерността мм−1 , а функцията F(ω 1 , ω 2) определя спектъра на пространствените честоти. Сферичната леща може да изчисли спектъра на оптичен сигнал (Фигура 19.2). На фигура 19.2 са въведени следните обозначения: φ - фокусно разстояние,
Фигура 19.1 - Към дефиницията на пространствените честоти
Двумерното преобразуване на Фурие има всички свойства на едномерното преобразуване, освен това отбелязваме две допълнителни свойства, чието доказателство следва лесно от дефиницията на двумерното преобразуване на Фурие.
Фигура 19.2 - Изчисляване на спектъра на оптичния сигнал с помощта
сферична леща
Факторизация. Ако двуизмерният сигнал е факторизиран,
тогава неговият спектър също е факторизиран:
Радиална симетрия. Ако 2D сигналът е радиално симетричен, т.е
Къде е функцията на Бесел от нулев порядък. Формулата, която определя връзката между радиално симетричен двуизмерен сигнал и неговия пространствен спектър, се нарича преобразуване на Ханкел.
ЛЕКЦИЯ 20. Дискретно преобразуване на Фурие. нискочестотен филтър
Директната двумерна дискретна трансформация на Фурие (DFT) трансформира изображение, дадено в пространствена координатна система ( x, y), в двуизмерна дискретна трансформация на изображение, зададена в честотната координатна система ( u, v):
Обратното дискретно преобразуване на Фурие (IDFT) има формата:
Може да се види, че DFT е сложна трансформация. Модулът на тази трансформация представлява амплитудата на спектъра на изображението и се изчислява като квадратен корен от сумата от квадратите на реалната и имагинерната част на DFT. Фазата (ъгъл на отместване на фазата) се определя като аркутангенса на отношението на въображаемата част на DFT към реалната част. Енергийният спектър е равен на квадрата на амплитудата на спектъра или сумата от квадратите на въображаемата и реалната част на спектъра.
Теорема за навиване
Съгласно теоремата за конволюцията, конволюцията на две функции в пространствената област може да бъде получена чрез ODFT на произведението на тяхното DFT, т.е.
Филтрирането в честотната област ви позволява да изберете честотната характеристика на филтъра от DFT на изображението, осигурявайки необходимата трансформация на изображението. Помислете за честотната характеристика на най-често срещаните филтри.
Линейното филтриране на изображения може да се извърши както в пространствената, така и в честотната област. В този случай се счита, че "ниските" пространствени честоти съответстват на основното съдържание на изображението - фона и големите обекти, а "високите" пространствени честоти - малките обекти, малките детайли с големи форми и шума компонент.
Традиционно се използват методи, базирани на $\textit(Fourier transform)$ за преминаване към областта на пространствените честоти. AT последните годиниМетодите, базирани на $\textit(wavelet-transform)$, също се използват все по-често.
Преобразуване на Фурие.
Преобразуването на Фурие ви позволява да представите почти всяка функция или набор от данни като комбинация от тригонометрични функции като синус и косинус, което ви позволява да идентифицирате периодични компоненти в данните и да оцените техния принос към структурата на оригиналните данни или формата на функцията. Традиционно има три основни форми на преобразуването на Фурие: интегралното преобразуване на Фурие, серията на Фурие и дискретното преобразуване на Фурие.
Интегралното преобразуване на Фурие трансформира реална функция в двойка реални функции или една сложна функция в друга.
Реалната функция $f(x)$ може да бъде разширена по отношение на ортогонална система от тригонометрични функции, тоест тя може да бъде представена като
$$ f\left(x \right)=\int\limits_0^\infty (A\left(\omega \right)) \cos \left((2\pi \omega x) \right)d\omega -\ int\limits_0^\infty (B\left(\omega \right)) \sin \left((2\pi \omega x) \right)d\omega, $$
където $A(\omega)$ и $B(\omega)$ се наричат интегрални косинусови и синусови трансформации:
$$ A\left(\omega \right)=2\int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (f\left(x \right)) \cos \left((2\pi \omega x )\right)dx; \quad B\left(\omega \right)=2\int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (f\left(x \right)) \sin \left((2\pi \omega x )\right)dx. $$
Редът на Фурие представлява периодичната функция $f(x)$, дефинирана на интервала $$ във формата безкраен редчрез синуси и косинуси. Това означава, че периодичната функция $f(x)$ е свързана с безкрайна последователност от коефициенти на Фурие
$$ f\left(x \right)=\frac(A_0 )(2)+\sum\limits_(n=1)^\infty (A_n) \cos \left((\frac(2\pi xn)( b-a)) \right)+\sum\limits_(n=1)^\infty (B_n \sin \left((\frac(2\pi xn)(b-a)) \right)) , $$
$$ A_n =\frac(2)(b-a)\int\limits_a^b (f\left(x \right)) \cos \left((\frac(2\pi nx)(b-a)) \right)dx ; \quad B_n =\frac(2)(b-a)\int\limits_a^b (f\left(x \right)) \sin \left((\frac(2\pi nx)(b-a)) \right)dx . $$
Дискретното преобразуване на Фурие трансформира крайна последователност от реални числа в крайна последователност от коефициенти на Фурие.
Нека $\left\( (x_i ) \right\), i= 0,\ldots, N-1 $ е поредица от реални числа - например показания на яркостта на пиксела по линия на изображение. Тази последователност може да бъде представена като комбинация от крайни суми на формата
$$ x_i =a_0 +\sum\limits_(n=1)^(N/2) (a_n ) \cos \left((\frac(2\pi ni)(N)) \right)+\sum\limits_ (n=1)^(N/2) (b_n \sin \left((\frac(2\pi ni)(N)) \right)) , $$
$$ a_0 =\frac(1)(N)\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i ), \quad a_(N/2) =\frac(1)(N)\sum \limits_(i=0)^(N-1) (x_i ) \left((-1) \right)^i, \quad a_k =\frac(2)(N)\sum\limits_(i=0) ^(N-1) (x_i \cos \left((\frac(2\pi ik)(N)) \right)), $$
$$ b_k =\frac(2)(N)\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i \sin \left((\frac(2\pi ik)(N)) \right) ), \quad i\le k Основната разлика между трите форми на преобразуването на Фурие е, че ако интегралното преобразуване на Фурие е дефинирано върху цялата област на функцията $f(x)$, тогава серията и дискретното преобразуване на Фурие са дефинирани само върху дискретно множество от точки, което е безкрайно за редовете на Фурие и крайно за дискретните трансформации. Както може да се види от дефинициите на преобразуването на Фурие, най-голям интерес за системите за цифрова обработка на сигнали представлява дискретното преобразуване на Фурие. Данните, получени от цифрови медии или източници на информация, са подредени набори от числа, записани като вектори или матрици. Обикновено се приема, че входните данни за дискретна трансформация са еднаква извадка със стъпка $\Delta $, докато стойността $T=N\Delta $ се нарича дължина на записа или основен период. Основната честота е равна на $1/T$. Така при дискретното преобразуване на Фурие входните данни се разлагат на честоти, които са цяло число, кратно на основната честота. Максималната честота, определена от размерността на входните данни, е равна на $1/2 \Delta $ и се нарича $\it(честота на Найкуист)$. Отчитането на честотата на Найкуист е от съществено значение при използване на дискретно преобразуване. Ако входните данни имат периодични компоненти с честоти, надвишаващи честотата на Найкуист, тогава при изчисляване на дискретното преобразуване на Фурие високочестотните данни ще бъдат заменени с по-ниска честота, което може да доведе до грешки при интерпретирането на резултатите от дискретното преобразуване. Важен инструмент за анализ на данни също е $\it(енергиен спектър)$. Силата на сигнала на честотата $\omega $ се определя, както следва: $$ P \left(\omega \right)=\frac(1)(2)\left((A \left(\omega \right)^2+B \left(\omega \right)^2) \right ) . $$ Тази стойност често се нарича $\it(сигнална енергия)$ при честота $\omega $. Според теоремата на Парсевал общата енергия на входния сигнал е равна на сумата от енергиите по всички честоти. $$ E=\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i^2 ) =\sum\limits_(i=0)^(N/2) (P \left((\omega _i ) \вдясно)). $$ Графиката на мощност спрямо честота се нарича енергиен спектър или спектър на мощност. Енергийният спектър позволява да се разкрият скрити периодичности във входните данни и да се оцени приносът на определени честотни компоненти към структурата на входните данни. В допълнение към тригонометричната форма на дискретното преобразуване на Фурие, $\it(комплексно представяне)$ се използва широко. Сложната форма на преобразуването на Фурие се използва широко в многовариантния анализ и по-специално в обработката на изображения. Преходът от тригонометрична към сложна форма се извършва въз основа на формулата на Ойлер $$ e^(j\omega t)=\cos \omega t+j\sin \omega t, \quad j=\sqrt (-1) . $$ Ако входната последователност е $N$ комплексни числа, тогава нейното дискретно преобразуване на Фурие ще бъде $$ G_m =\frac(1)(N)\sum\limits_(n=1)^(N-1) (x_n ) e^(\frac(-2\pi jmn)(N)), $$ и обратната трансформация $$ x_m =\sum\limits_(n=1)^(N-1) (G_n ) e^(\frac(2\pi jmn)(N)). $$ Ако входната последователност е масив от реални числа, тогава за нея има както комплексна, така и синус-косинусова дискретна трансформация. Връзката на тези представяния се изразява по следния начин: $$ a_0 =G_0, \quad G_k =\left((a_k -jb_k) \right)/2, \quad 1\le k\le N/2; $$ останалите $N/2$ стойности на трансформацията са комплексно спрегнати и не носят допълнителна информация. Следователно графиката на спектъра на мощността на дискретното преобразуване на Фурие е симетрична по отношение на $N/2$. Най-простият начин за изчисляване на дискретното преобразуване на Фурие (DFT) е директното сумиране, което води до $N$ операции за коефициент. Има общо $N$ коефициенти, така че общата сложност е $O\left((N^2) \right)$. Този подход не е от практически интерес, тъй като има много по-ефективни начини за изчисляване на DFT, наречено бързо преобразуване на Фурие (FFT), което има $O (N\log N)$ сложност. FFT се прилага само за последователности, които имат дължина (брой елементи), която е кратна на степен 2. Най-общият принцип зад алгоритъма за FFT е да се раздели входната последователност на две последователности с половин дължина. Първата последователност се попълва с четни данни, а втората последователност с нечетни данни. Това прави възможно изчисляването на DFT коефициентите чрез две $N/2$ трансформации. Означаваме $\omega _m =e^(\frac(2\pi j)(m))$, тогава $G_m =\sum\limits_(n=1)^((N/2)-1) (x_(2n ) ) \omega _(N/2)^(mn) +\sum\limits_(n=1)^((N/2)-1) (x_(2n+1) ) \omega _(N/2) ^(mn) \omega _N^m $. За $m< N/2$ тогда можно записать $G_m =G_{\textrm{even}} \left(m \right)+G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Учитывая, что элементы ДПФ с индексом
б ольшим, чем $N/2$, являются комплексно сопряженными к элементам с индексами
меньшими $N/2$, можно записать $G_{m+(N/2)} =G_{\textrm{even}} \left(m \right)-G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Таким образом, можно вычислить БПФ длиной $N$,
используя два ДПФ длиной $N/2$. Полный алгоритм БПФ заключается в рекурсивном
выполнении вышеописанной процедуры, начиная с объединения одиночных элементов в пары,
затем в четверки и так до полного охвата исходного массива данных. Дискретното преобразуване на Фурие за двумерен масив от $M\times N$ числа се дефинира, както следва: $$ G_(uw) =\frac(1)(NM)\sum\limits_(n=1)^(N-1) (\sum\limits_(m=1)^(M-1) (x_(mn ) ) ) e^((-2\pi j\left[ (\frac(mu)(M)+\frac(nw)(N)) \right]) ), $$ и обратната трансформация $$ x_(mn) =\sum\limits_(u=1)^(N-1) (\sum\limits_(w=1)^(M-1) (G_(uw) ) ) e^( (2 \pi j\left[ (\frac(mu)(M)+\frac(nw)(N)) \right]) ). $$ В случай на обработка на изображения, компонентите на 2D трансформацията на Фурие се наричат $\textit(пространствени честоти)$. Важно свойство на двумерното преобразуване на Фурие е възможността за неговото изчисляване с помощта на едномерната FFT процедура: $$ G_(uw) =\frac(1)(N)\sum\limits_(n=1)^(N-1) ( \left[ (\frac(1)(M)\sum\limits_(m= 0)^(M-1) (x_(mn) e^(\frac(-2\pi jmw)(M))) ) \right] ) e^(\frac(-2\pi jnu)(N) ), $$ Тук изразът в квадратни скоби е едномерна трансформация на ред на матрицата с данни, която може да се извърши с едномерна FFT. По този начин, за да се получи двумерно преобразуване на Фурие, първо трябва да се изчислят едномерни трансформации на редове, да се запишат резултатите в оригиналната матрица и да се изчислят едномерни трансформации за колоните на получената матрица. При изчисляване на двумерното преобразуване на Фурие ниските честоти ще бъдат концентрирани в ъглите на матрицата, което не е много удобно за по-нататъшна обработка на получената информация. За да преведете представянето на двумерно преобразуване на Фурие, в което ниските честоти са концентрирани в центъра на матрицата, можете да извършите проста процедура, която се състои в умножаване на оригиналните данни по $-1^(m+n)$ . На фиг. 16 показва оригиналното изображение и неговото преобразуване на Фурие. Изображение в скала на сивото и неговото изображение на Фурие (изображения, получени в системата LabVIEW) Конволюцията на функции $s(t)$ и $r(t)$ се дефинира като $$ s\ast r\cong r\ast s\cong \int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (s(\tau)) r(t-\tau)d\tau . $$ На практика трябва да се справяте с дискретна конволюция, при която непрекъснатите функции се заменят с набори от стойности във възлите на равномерна мрежа (обикновено се взема целочислена мрежа): $$ (r\ast s)_j \cong \sum\limits_(k=-N)^P (s_(j-k) r_k). $$ Тук $-N$ и $P$ дефинират диапазон, извън който $r(t) = 0$. При изчисляване на конволюцията с помощта на преобразуването на Фурие се използва свойството на преобразуването на Фурие, според което произведението на образите на функциите в честотната област е еквивалентно на конволюцията на тези функции във времевата област. За да се изчисли съгласуването, е необходимо да се трансформират оригиналните данни в честотната област, т.е. да се изчисли тяхното преобразуване на Фурие, да се умножат резултатите от трансформацията и да се извърши обратното преобразуване на Фурие, като се възстанови първоначалното представяне. Единствената тънкост в работата на алгоритъма е свързана с факта, че в случай на дискретно преобразуване на Фурие (за разлика от непрекъснатото) се свиват две периодични функции, тоест нашите набори от стойности уточняват точно периодите на тези функции, а не само стойностите на някой отделен участък от оста. Тоест, алгоритъмът счита, че точката $x_(N )$ е последвана не от нула, а от точката $x_(0)$ и така нататък в кръг. Следователно, за да бъде правилно изчислена конволюцията, е необходимо да се присвои достатъчно дълга последователност от нули на сигнала. Методите за линейно филтриране са сред добре структурираните методи, за които са разработени ефективни изчислителни схеми, базирани на алгоритми за бърза конволюция и спектрален анализ. Като цяло алгоритмите за линейно филтриране извършват трансформация на формата $$ f"(x,y) = \int\int f(\zeta -x, \eta -y)K (\zeta , \eta) d \zeta d \eta , $$ където $K(\zeta ,\eta)$ е ядрото на линейната трансформация. При дискретно представяне на сигнала интегралът в тази формула се изражда в претеглена сума от проби от оригиналното изображение в рамките на определен отвор. В този случай изборът на ядрото $K(\zeta ,\eta)$ в съответствие с един или друг критерий за оптималност може да доведе до редица полезни свойства (изглаждане на Гаус при регуляризацията на проблема за числено диференциране на изображение и т.н.). Линейните методи за обработка се прилагат най-ефективно в честотната област. Използването на изображението на Фурие за извършване на филтриращи операции се дължи главно на по-високата производителност на такива операции. Като правило извършването на директното и обратното двуизмерно преобразуване на Фурие и умножаването по коефициентите на изображението на Фурие на филтъра отнема по-малко време, отколкото извършването на двуизмерна конволюция на оригиналното изображение. Алгоритмите за филтриране в честотната област се основават на теоремата за конволюцията. В двумерния случай конволюционната трансформация изглежда така: $$ G\left((u,v) \right)=H\left((u,v) \right)F\left((u,v) \right), $$ където $G$ е трансформацията на Фурие на резултата от конволюцията, $H$ е трансформацията на Фурие на филтъра и $F$ е трансформацията на Фурие на оригиналното изображение. Тоест в честотната област двумерната конволюция се заменя с поелементно умножение на изображенията на оригиналното изображение и съответния филтър. За да извършите събиране, трябва да направите следното: Връзката между филтърната функция в честотната област и пространствената област може да се определи с помощта на теоремата за навиване $$ \Phi \left[ (f\left((x,y) \right)\ast h(x,y)) \right]=F\left((u,v) \right)H\left(( u,v) \надясно), $$ $$ \Phi \left[ (f\left((x,y) \right)h(x,y)) \right]=F\left((u,v) \right)\ast H\left(( u,v)\вдясно). $$ Конволюцията на функция с импулсна функция може да бъде представена по следния начин: $$ \sum\limits_(x=0)^M (\sum\limits_(y=0)^N (s\left((x,y) \right)) ) \delta \left((x-x_0, y-y_0 ) \right)=s(x_0 ,y_0). $$ Преобразуване на Фурие на импулсната функция $$ F\left((u,v) \right)=\frac(1)(MN)\sum\limits_(x=0)^M (\sum\limits_(y=0)^N (\delta \ left((x,y) \right) ) ) e^( (-2\pi j\left((\frac(ux)(M)+\frac(vy)(N)) \right)) ) =\ frac(1)(MN). $$ Нека $f(x,y) = \delta (x,y)$, тогава конволюцията $$ f\left((x,y) \right)\ast h(x,y)=\frac(1)(MN)h\left((x,y) \right), $$ $$ \Phi \left[ (\delta \left((x,y) \right)\ast h(x,y)) \right]=\Phi \left[ (\delta \left((x,y) \right)) \right]H\left((u,v) \right)=\frac(1)(MN)H\left((u,v) \right). $$ От тези изрази може да се види, че филтърните функции в честотната и пространствената област са взаимосвързани чрез преобразуването на Фурие. За дадена филтърна функция на честотна област винаги можете да намерите съответния филтър за пространствена област чрез прилагане на обратното преобразуване на Фурие. Същото важи и за обратния случай. Използвайки тази връзка, е възможно да се определи процедурата за синтез на пространствени линейни филтри. ($\textit(Идеален нискочестотен филтър)$) $H(u,v)$ е $$H(u,v) = 1, \quad \mbox(if )D(u,v)< D_0 ,$$
$$H(u,v) = 0, \quad \mbox{если }D(u,v) \ge D_0 ,$$
где $D\left({u,v} \right)=\sqrt {\left({u-\frac{M}{2}} \right)^2+\left({v-\frac{N}{2}} \right)^2}$ - расстояние от центра частотной плоскости. ($\textit(Идеален високочестотен филтър)$) се получава чрез обръщане на идеалния нискочестотен филтър: $$ H"(u,v) = 1-H(u,v). $$ Тук нискочестотните компоненти са напълно потиснати, като се запазват високочестотните. Въпреки това, както в случая на идеален нискочестотен филтър, използването му е изпълнено с появата на значително изкривяване. Използват се различни подходи за проектиране на филтри с минимално изкривяване. Един от тях е синтез на филтри, базиран на показатели. Такива филтри въвеждат минимално изкривяване в полученото изображение и са удобни за синтез в честотната област. Широко използвано в обработката на изображения е семейство филтри, базирани на реалната функция на Гаус. $\textit(Low Pass Gaussian Filter)$ има формата $$ h\left(x \right)=\sqrt (2\pi ) \sigma Ae^(-2\left((\pi \sigma x) \right)^2) \mbox( и ) H\left( u \right)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma ^2)) $$ Колкото по-тесен е филтърният профил в честотната област (колкото по-голям е $\sigma $), толкова по-широк е той в пространствената област. ($\textit(High Pass Gaussian Filter)$) има формата $$ h\left(x \right)=\sqrt (2\pi ) \sigma _A Ae^(-2\left((\pi \sigma _A x) \right)^2)-\sqrt (2\pi ) \sigma _B Be^(-2\left((\pi \sigma _B x) \right)^2 ), $$ $$ H\left(u \right)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma _A^2 ))-Be^(-\frac(u^2)(2\sigma _B^2 )). $$ В двумерния случай ($\it(low-pass)$) филтърът на Гаус изглежда така: $$ H\left((u,v) \right)=e^(-\frac(D^2\left((u,v) \right))(2D_0^2 )). $$ ($\it(High-Pass)$) Гаусовият филтър има формата $$ H\left((u,v) \right)=1-e^(-\frac(D^2\left((u,v) \right))(2D_0^2 )). $$ Помислете за пример за филтриране на изображение (фиг. 1) в честотната област (фиг. 17 - 22). Обърнете внимание, че честотното филтриране на изображение може да има смисъл както за изглаждане ($\textit(нискочестотно филтриране)$), така и за подчертаване на контури и обекти с малък размер ($\textit(високочестотно филтриране)$). Както се вижда от фиг. 17, 19, тъй като "силата" на филтриране в нискочестотния компонент на изображението се увеличава, ефектът от "очевидното разфокусиране" или $\it(blur)$ на изображението става по-изразен. В същото време голяма част от информационното съдържание на изображението постепенно преминава във високочестотната компонента, където в началото се наблюдават само контурите на обектите (фиг. 18, 20 - 22). Нека сега да разгледаме поведението на високочестотните и нискочестотните филтри (Фиг. 23 - 28) при наличието на адитивен гаусов шум в изображението (Фиг. 7). Както се вижда от фиг. 23, 25, свойствата на нискочестотните филтри за потискане на адитивен случаен шум са подобни на свойствата на разгледаните по-рано линейни филтри - при достатъчна мощност на филтъра шумът се потиска, но цената за това е силно размиване на контурите и "разфокусиране" на цялото изображение. Високочестотният компонент на шумно изображение престава да бъде информативен, тъй като в допълнение към информацията за контура и обекта, компонентът на шума вече присъства напълно там (фиг. 27, 28). Използването на честотни методи е най-подходящо, когато са известни статистическият модел на шумовия процес и/или оптичната трансферна функция на канала за предаване на изображението. Удобно е да се вземат предвид такива априорни данни, като се избере обобщен контролируем (по параметри $\sigma$ и $\mu$) филтър със следната форма като възстановяващ филтър: $$ F(w_1,w_2)= \left[ ( \frac (1) (P(w_1,w_2))\right] \cdot \left[ (\frac ((\vert P(w_1,w_2) \vert )^2) (\vert P(w_1,w_2) \vert ^2 + \alpha \vert Q(w_1,w_2) \vert ^2) )\right]. $$ където $0< \sigma < 1$, $0 < \mu < 1$ - назначаемые параметры фильтра,
$P(w_{1}$, $w_{2})$ - передаточная функция системы, $Q(w_{1}$, $w_{2})$ -
стабилизатор фильтра, согласованный с энергетическим спектром фона. Выбор
параметров $\sigma = 1$, $\mu = 0$ приводит к чисто инверсной фильтрации,
$\sigma =\mu = 1$ к \it{винеровской фильтрации}, что позволяет получить изображение, близкое к
истинному в смысле минимума СКО при условии, что спектры
плотности мощности
изображения и его шумовой компоненты априорно известны. Для дальнейшего
улучшения эффекта сглаживания в алгоритм линейной (винеровской) фильтрации
вводят адаптацию, основанную на оценке локальных статистик: математического
ожидания $M(P)$ и дисперсии $\sigma (P)$. Этот алгоритм эффективно фильтрует
засоренные однородные поверхности (области) фона. Однако при попадании в
скользящее окно обработки неоднородных участков фона импульсная
характеристика фильтра сужается ввиду резкого изменения локальных статистик,
и эти неоднородности (контуры, пятна) передаются практически без
расфокусировки, свойственной неадаптивным методам линейной фильтрации. Предимствата на методите за линейно филтриране включват тяхното ясно физическо значение и лесен анализ на резултатите. Въпреки това, при рязко влошаване на съотношението сигнал/шум, с възможни варианти на площен шум и наличие на импулсен шум с висока амплитуда, линейните методи за предварителна обработка може да не са достатъчни. В тази ситуация нелинейните методи са много по-мощни. 19 Билет 1. Дилатационна операция 2. Пространствено-спектрални характеристики дилатационни операции. Нека A и B са множества от пространството Z 2 . Дилатацията на набор A по отношение на набор B (или по отношение на B) се означава с A⊕B и се определя като Може да се пренапише в следната форма: Множеството B ще се нарича структурообразуващо множество или дилатационен примитив. Уравнение (11) се основава на получаване на централно отражение на множеството B спрямо неговите начални координати (център B), след това преместване на това множество към точката z, разширяване на множеството A по протежение на B – множеството от всички такива измествания z, при което и A съвпадат в поне един елемент. Това определение не е единственото. Въпреки това, процедурата за разширяване е по някакъв начин подобна на операцията за навиване, която се извършва върху множества. Пространствени спектрални характеристики В съответствие с (1.8) двумерното преобразуване на Фурие се определя като където w x, w yса пространствени честоти. Квадратът на модула на спектъра M( w x, w y) = |Ф( w x, w y)| 2 може да се използва за изчисляване на редица характеристики. Функционална интеграция М(w x, w y) чрез ъгъла в равнината на пространствените честоти дава характеристика на пространствената честота, която е инвариантна по отношение на изместването и въртенето на изображението. С въвеждането на функцията М(w x, w y) в полярни координати, записваме тази характеристика във формуляра където р= арктан( w y/w x); r 2 = w x 2 +w y 2 . 20 билета 1. Ерозионна операция Дискретното двуизмерно преобразуване на Фурие на матрицата на образеца се дефинира като серия: където , а дискретното обратно преобразуване има формата: По аналогия с терминологията на непрекъснатото преобразуване на Фурие, променливите се наричат пространствени честоти. Трябва да се отбележи, че не всички изследователи използват определението (4.97), (4.98). Някои предпочитат да поставят всички мащабни константи в обратния израз, докато други обръщат знаците в ядрата. Тъй като ядрата на трансформацията са симетрични и разделими, двумерната трансформация може да се извърши като последователни едномерни трансформации върху редовете и колоните на матрицата на изображението. Основните функции на трансформация са експоненти с комплексни експоненти, които могат да бъдат разложени на синусови и косинусови компоненти. По този начин, Спектърът на изображението има много интересни структурни особености. Спектрален компонент в началото на честотната равнина равно на увеличението на нпъти средната (над оригиналната равнина) стойност на яркостта на изображението. Заместване в равенство (4.97) където и са константи, получаваме: За всякакви цели числа и вторият експоненциален фактор на равенство (4.101) става единица. Така при , което показва периодичността на честотната равнина. Този резултат е илюстриран на фигура 4.14, a. 2D спектърът на Фурие на изображението е по същество представяне на 2D полето като серия на Фурие. За да бъде валидно такова представяне, оригиналното изображение също трябва да има периодична структура, т.е. имат модел, който се повтаря вертикално и хоризонтално (фиг. 4.14, b). Така десният ръб на изображението е в съседство с левия, а горният ръб е в съседство с долния. Поради прекъсвания в стойностите на яркостта на тези места, в спектъра на изображението се появяват допълнителни компоненти, които лежат на координатните оси на честотната равнина. Тези компоненти не са свързани със стойностите на яркост на вътрешните пиксели на изображението, но са необходими за възпроизвеждане на неговите остри ръбове. Ако масив от образци на изображения описва поле на яркост, тогава числата ще бъдат реални и положителни. Спектърът на Фурие на това изображение обаче обикновено има сложни стойности. Тъй като спектърът съдържа компонент, представляващ реалната и въображаемата част, или фазата и модула на спектралните компоненти за всяка честота, може да изглежда, че преобразуването на Фурие увеличава размерите на изображението. Това обаче не е така, тъй като има симетрия при сложно конюгиране. Ако в равенството (4.101) зададем и равно на цели числа, то след комплексно спрежение получаваме равенството: С помощта на заместване и src=http://electrono.ru/wp-content/image_post/osncifr/pic126_15.gif> можем да покажем, че Поради наличието на сложна спрегната симетрия, почти половината от спектралните компоненти се оказват излишни, т.е. те могат да бъдат образувани от останалите компоненти (фиг. 4.15). Разбира се, хармониците, които не попадат в долната, а в дясната полуравнина, разбира се, могат да се считат за излишни компоненти. Анализът на Фурие при обработката на изображения се използва за същите цели, както при едномерните сигнали. Въпреки това, в честотната област изображенията не представляват никаква значима информация, което прави трансформацията на Фурие не толкова полезен инструмент за анализ на изображения. Например, когато преобразуване на Фурие се приложи към едномерен аудио сигнал, трудна за официална и сложна форма на вълната във времевата област се трансформира в лесен за разбиране спектър в честотната област. За сравнение, като вземем трансформацията на Фурие (трансформация на Фурие) на изображение, ние трансформираме подредена информация в пространствената област (пространствена област) в кодирана форма в честотната област (честотна област). Накратко, не очаквайте трансформацията на Фурие да ви помогне да разберете информацията, кодирана в изображенията. По същия начин, не се позовавайте на честотната област, когато проектирате филтър. Основната характеристика на изображенията е границата - линията, която ги разделя предметили регионот друг обектили области. Тъй като контурите в изображението съдържат широк диапазон от честотни компоненти, опитът да се промени изображението чрез манипулиране на честотния спектър е неефективна задача. Филтрите за обработка на изображения обикновено се проектират в пространствената област, където информацията се представя в най-простата и достъпна форма. При решаването на проблеми с обработката на изображения е по-скоро необходимо да се работи по отношение на операциите изглажданеи долни чертиконтури (пространствена област), отколкото по отношение на високочестотен филтъри нискочестотен филтър(честотен домейн). Въпреки това анализът на изображението на Фурие има няколко полезни свойства. Например, намоткав пространствената област съответства на умножениев честотната област. Това е важно, защото умножението е по-проста математическа операция от навиването. Както при 1D сигналите, това свойство позволява FFT конволюция и различни техники за деконволюция. други полезно свойствов честотната област е Теорема за сектора на Фурие, който установява съответствие между изображението и неговите проекции (изгледи на едно и също изображение от различни страни). Тази теорема формира теоретичната основа на такива направления като компютърна томография, флуороскопияшироко използвани в медицината и индустрията. Честотният спектър на изображението може да се изчисли по няколко начина, но най-практичният метод за изчисляване на спектъра е алгоритъмът FFT. Когато използвате алгоритъма FFT, оригиналното изображение трябва да съдържа нлинии и нколони и броя нтрябва да е кратно на степен 2, т.е. 256, 512, 1024 и и т.н. Ако изходното изображение не е кратно на степен 2 по измерение, тогава трябва да се добавят пиксели с нулева стойност, за да се подпълни изображението до желания размер. Поради факта, че преобразуването на Фурие запазва реда на информацията, амплитудите на нискочестотните компоненти ще бъдат разположени в ъглите на двумерния спектър, докато високочестотните компоненти ще бъдат в неговия център. Като пример, разгледайте резултата от преобразуването на Фурие на изображение от електронен микроскоп на входния етап на операционен усилвател (фиг. 4.16). Тъй като честотният домейн може да съдържа пиксели с отрицателни стойности, сивата скала на тези изображения се измества по такъв начин, че отрицателните стойности се възприемат като тъмни точки в изображението, нулевите стойности са сиви, а положителните стойности са ярък. Обикновено нискочестотните компоненти на спектъра на изображението са много по-големи по амплитуда от високочестотните, което обяснява наличието на много ярки и много тъмни точки в четирите ъгъла на изображението на спектъра (фиг. 4.16, b). Както се вижда от фигурата, типиченКомплексно представяне на преобразуването на Фурие.
Бързо преобразуване на Фурие.
Двумерно преобразуване на Фурие.
Конволюция чрез преобразуване на Фурие.
Филтриране на изображения в честотната област.
Функцията е инвариантна по отношение на мащаба
