Η μέθοδος 22 ελαχίστων τετραγώνων αποτελείται. Γραμμικής παλινδρόμησης

Τραπέζι 4

x n

y n

Τραπέζι 5

y i

0,705

0,495

0,426

0,357

0,368

0,406

0,549

0,768

Πίνακας 6

№0

Χ

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

y

3,030

3,142

3,358

3,463

3,772

3,251

3,170

3,665

№ 1

3,314

3,278

3,262

3,292

3,332

3,397

3,487

3,563

№ 2

1,045

1,162

1,264

1,172

1,070

0,898

0,656

0,344

№ 3

6,715

6,735

6,750

6,741

6,645

6,639

6,647

6,612

№ 4

2,325

2,515

2,638

2,700

2,696

2,626

2,491

2,291

№ 5

1.752

1,762

1,777

1,797

1,821

1,850

1,884

1,944

№ 6

1,924

1,710

1,525

1,370

1,264

1,190

1,148

1,127

№ 7

1,025

1,144

1,336

1,419

1,479

1,530

1,568

1,248

№ 8

5,785

5,685

5,605

5,545

5,505

5,480

5,495

5,510

№ 9

4,052

4,092

4,152

4,234

4,338

4,468

4,599

Προσεγγίζουμε τη συνάρτηση με ένα πολυώνυμο 2ου βαθμού. Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε τους συντελεστές του κανονικού συστήματος εξισώσεων:

, ,

Ας συνθέσουμε ένα κανονικό σύστημα ελαχίστων τετραγώνων, το οποίο έχει τη μορφή:

Η λύση του συστήματος είναι εύκολο να βρεθεί:, , .

Έτσι, το πολυώνυμο του 2ου βαθμού βρίσκεται: .

Θεωρητικό υπόβαθρο

Επιστροφή στη σελίδα<Введение в вычислительную математику. Примеры>

Παράδειγμα 2. Εύρεση του βέλτιστου βαθμού ενός πολυωνύμου.

Επιστροφή στη σελίδα<Введение в вычислительную математику. Примеры>

Παράδειγμα 3. Παραγωγή κανονικού συστήματος εξισώσεων για την εύρεση των παραμέτρων μιας εμπειρικής εξάρτησης.

Ας εξαγάγουμε ένα σύστημα εξισώσεων για τον προσδιορισμό των συντελεστών και των συναρτήσεων , το οποίο εκτελεί την προσέγγιση ρίζας-μέσος τετραγώνου της δεδομένης συνάρτησης ως προς τα σημεία. Συνθέστε μια συνάρτηση και γράψτε την απαραίτητη ακραία συνθήκη για αυτό:

Τότε το κανονικό σύστημα θα πάρει τη μορφή:

Πήρα γραμμικό σύστημαεξισώσεις για άγνωστες παραμέτρους και που λύνονται εύκολα.

Θεωρητικό υπόβαθρο

Επιστροφή στη σελίδα<Введение в вычислительную математику. Примеры>

Παράδειγμα.

Πειραματικά δεδομένα για τις τιμές των μεταβλητών Χκαι στοδίνονται στον πίνακα.

Ως αποτέλεσμα της ευθυγράμμισής τους, η συνάρτηση

Χρησιμοποιώντας μέθοδος ελάχιστου τετραγώνου, προσεγγίστε αυτά τα δεδομένα με μια γραμμική εξάρτηση y=ax+b(βρείτε επιλογές ένακαι σι). Μάθετε ποια από τις δύο γραμμές είναι καλύτερη (με την έννοια της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων) ευθυγραμμίζει τα πειραματικά δεδομένα. Κάντε ένα σχέδιο.

Η ουσία της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων (LSM).

Το πρόβλημα είναι να βρούμε τους συντελεστές γραμμική εξάρτηση, για το οποίο η συνάρτηση δύο μεταβλητών ένακαι σιδέχεται μικρότερη τιμή. Με δεδομένα δηλαδή ένακαι σιτο άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων των πειραματικών δεδομένων από την ευθεία που βρέθηκε θα είναι το μικρότερο. Αυτό είναι το όλο νόημα της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων.

Έτσι, η λύση του παραδείγματος ανάγεται στην εύρεση του άκρου μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών.

Παραγωγή τύπων εύρεσης συντελεστών.

Καταρτίζεται και λύνεται ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. Εύρεση μερικών παραγώγων συναρτήσεων κατά μεταβλητές ένακαι σι, εξισώνουμε αυτές τις παραγώγους με μηδέν.

Λύνουμε το προκύπτον σύστημα εξισώσεων με οποιαδήποτε μέθοδο (π.χ μέθοδος αντικατάστασηςή μέθοδος Cramer) και λάβετε τύπους για την εύρεση συντελεστών χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (LSM).

Με δεδομένα ένακαι σιλειτουργία παίρνει τη μικρότερη τιμή. Η απόδειξη αυτού του γεγονότος δίνεται παρακάτω στο κείμενο στο τέλος της σελίδας.

Αυτή είναι η όλη μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. Τύπος για την εύρεση της παραμέτρου έναπεριέχει τα αθροίσματα , , και την παράμετρο nείναι η ποσότητα των πειραματικών δεδομένων. Οι τιμές αυτών των ποσών συνιστάται να υπολογίζονται χωριστά.

Συντελεστής σιβρέθηκε μετά τον υπολογισμό ένα.

Ήρθε η ώρα να θυμηθούμε το αρχικό παράδειγμα.

Λύση.

Στο παράδειγμά μας n=5. Συμπληρώνουμε τον πίνακα για τη διευκόλυνση του υπολογισμού των ποσών που περιλαμβάνονται στους τύπους των απαιτούμενων συντελεστών.

Οι τιμές στην τέταρτη σειρά του πίνακα λαμβάνονται πολλαπλασιάζοντας τις τιμές της 2ης σειράς με τις τιμές της 3ης σειράς για κάθε αριθμό Εγώ.

Οι τιμές στην πέμπτη σειρά του πίνακα λαμβάνονται με τον τετραγωνισμό των τιμών της 2ης σειράς για κάθε αριθμό Εγώ.

Οι τιμές της τελευταίας στήλης του πίνακα είναι τα αθροίσματα των τιμών στις σειρές.

Χρησιμοποιούμε τους τύπους της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων για να βρούμε τους συντελεστές ένακαι σι. Αντικαθιστούμε σε αυτά τις αντίστοιχες τιμές από την τελευταία στήλη του πίνακα:

Συνεπώς, y=0,165x+2,184είναι η επιθυμητή προσεγγιστική ευθεία.

Μένει να μάθουμε ποια από τις γραμμές y=0,165x+2,184ή προσεγγίζει καλύτερα τα αρχικά δεδομένα, δηλαδή να κάνει μια εκτίμηση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.

Εκτίμηση του σφάλματος της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων.

Για να γίνει αυτό, πρέπει να υπολογίσετε τα αθροίσματα των τετραγωνικών αποκλίσεων των αρχικών δεδομένων από αυτές τις γραμμές και , μια μικρότερη τιμή αντιστοιχεί σε μια γραμμή που προσεγγίζει καλύτερα τα αρχικά δεδομένα όσον αφορά τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.

Από τότε η γραμμή y=0,165x+2,184προσεγγίζει καλύτερα τα αρχικά δεδομένα.

Γραφική απεικόνιση της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων (LSM).

Όλα φαίνονται υπέροχα στα charts. Η κόκκινη γραμμή είναι η γραμμή που βρέθηκε y=0,165x+2,184, η μπλε γραμμή είναι , οι ροζ κουκκίδες είναι τα αρχικά δεδομένα.

Σε τι χρησιμεύει, σε τι χρησιμεύουν όλες αυτές οι προσεγγίσεις;

Προσωπικά χρησιμοποιώ για την επίλυση προβλημάτων εξομάλυνσης δεδομένων, προβλημάτων παρεμβολής και παρέκτασης (στο αρχικό παράδειγμα, θα μπορούσε να σας ζητηθεί να βρείτε την τιμή της παρατηρούμενης τιμής yστο x=3ή πότε x=6σύμφωνα με τη μέθοδο MNC). Αλλά θα μιλήσουμε περισσότερα για αυτό αργότερα σε άλλη ενότητα του ιστότοπου.

Αρχή σελίδας

Απόδειξη.

Έτσι όταν βρεθεί ένακαι σιη συνάρτηση παίρνει τη μικρότερη τιμή, είναι απαραίτητο σε αυτό το σημείο ο πίνακας της τετραγωνικής μορφής του διαφορικού δεύτερης τάξης για τη συνάρτηση ήταν θετική οριστική. Ας το δείξουμε.

Η διαφορά δεύτερης τάξης έχει τη μορφή:

Αυτό είναι

Επομένως, ο πίνακας της τετραγωνικής μορφής έχει τη μορφή

και οι τιμές των στοιχείων δεν εξαρτώνται από ένακαι σι.

Ας δείξουμε ότι ο πίνακας είναι θετικός ορισμένος. Αυτό απαιτεί οι δευτερεύουσες γωνίες να είναι θετικές.

Γωνιακό μινόρε πρώτης τάξης . Η ανισότητα είναι αυστηρή, αφού τα σημεία δεν συμπίπτουν. Αυτό θα υπονοηθεί στα ακόλουθα.

Γωνιακό μινόρε δεύτερης τάξης

Ας το αποδείξουμε μέθοδος μαθηματικής επαγωγής.

συμπέρασμα: βρέθηκαν τιμές ένακαι σιαντιστοιχούν στη μικρότερη τιμή της συνάρτησης , επομένως, είναι οι επιθυμητές παράμετροι για τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.

Κατάλαβες ποτέ;
Παραγγείλετε μια λύση

Αρχή σελίδας

Ανάπτυξη πρόβλεψης με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Παράδειγμα λύσης προβλήματος

Παρέκταση - αυτή είναι μια μέθοδος επιστημονικής έρευνας, η οποία βασίζεται στη διάδοση προηγούμενων και παρόντων τάσεων, προτύπων, σχέσεων με τη μελλοντική ανάπτυξη του αντικειμένου της πρόβλεψης. Οι μέθοδοι παρέκτασης περιλαμβάνουν Μέθοδος κινούμενου μέσου όρου, μέθοδος εκθετικής εξομάλυνσης, μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων.

Ουσία μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων συνίσταται στην ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των τετραγωνικών αποκλίσεων μεταξύ των παρατηρούμενων και των υπολογισμένων τιμών. Οι υπολογισμένες τιμές βρίσκονται σύμφωνα με την επιλεγμένη εξίσωση - την εξίσωση παλινδρόμησης. Όσο μικρότερη είναι η απόσταση μεταξύ των πραγματικών τιμών και των υπολογισμένων, τόσο πιο ακριβής είναι η πρόβλεψη με βάση την εξίσωση παλινδρόμησης.

Η θεωρητική ανάλυση της ουσίας του υπό μελέτη φαινομένου, η μεταβολή του οποίου εμφανίζεται από μια χρονοσειρά, χρησιμεύει ως βάση για την επιλογή μιας καμπύλης. Μερικές φορές λαμβάνονται υπόψη σκέψεις σχετικά με τη φύση της ανάπτυξης των επιπέδων της σειράς. Έτσι, εάν η αύξηση της παραγωγής αναμένεται με αριθμητική πρόοδο, τότε η εξομάλυνση εκτελείται σε ευθεία γραμμή. Εάν αποδειχθεί ότι η ανάπτυξη είναι εκθετική, τότε η εξομάλυνση πρέπει να γίνει σύμφωνα με την εκθετική συνάρτηση.

Ο τύπος εργασίας της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων : Y t+1 = a*X + b, όπου t + 1 είναι η περίοδος πρόβλεψης. Уt+1 – προβλεπόμενος δείκτης. Τα α και β είναι συντελεστές. Το Χ είναι σύμβολο του χρόνου.

Οι συντελεστές α και β υπολογίζονται σύμφωνα με τους ακόλουθους τύπους:

όπου, Uf - οι πραγματικές τιμές της σειράς δυναμικών. n είναι ο αριθμός των επιπέδων στη χρονοσειρά.

Η εξομάλυνση των χρονοσειρών με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων χρησιμεύει για να αντικατοπτρίζει τα πρότυπα ανάπτυξης του υπό μελέτη φαινομένου. Στην αναλυτική έκφραση μιας τάσης, ο χρόνος θεωρείται ως ανεξάρτητη μεταβλητή και τα επίπεδα της σειράς ενεργούν ως συνάρτηση αυτής της ανεξάρτητης μεταβλητής.

Η εξέλιξη ενός φαινομένου δεν εξαρτάται από το πόσα χρόνια έχουν περάσει από την αφετηρία, αλλά από το ποιοι παράγοντες επηρέασαν την εξέλιξή του, προς ποια κατεύθυνση και με ποια ένταση. Από αυτό είναι σαφές ότι η ανάπτυξη ενός φαινομένου στο χρόνο εμφανίζεται ως αποτέλεσμα της δράσης αυτών των παραγόντων.

Η σωστή ρύθμιση του τύπου της καμπύλης, του τύπου της αναλυτικής εξάρτησης από το χρόνο είναι ένα από τα πιο δύσκολα καθήκοντα της προ-προγνωστικής ανάλυσης. .

Η επιλογή του τύπου συνάρτησης που περιγράφει την τάση, οι παράμετροι της οποίας καθορίζονται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, είναι στις περισσότερες περιπτώσεις εμπειρική, κατασκευάζοντας έναν αριθμό συναρτήσεων και συγκρίνοντάς τες μεταξύ τους με την τιμή του μέσου όρου της ρίζας. -τετράγωνο σφάλμα που υπολογίζεται από τον τύπο:

όπου Uf - οι πραγματικές τιμές της σειράς δυναμικών. Ur – υπολογισμένες (εξομαλυνόμενες) τιμές της χρονοσειράς. n είναι ο αριθμός των επιπέδων στη χρονοσειρά. p είναι ο αριθμός των παραμέτρων που ορίζονται στους τύπους που περιγράφουν την τάση (τάση ανάπτυξης).

Μειονεκτήματα της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων :

• κατά την προσπάθεια περιγραφής του υπό μελέτη οικονομικού φαινομένου χρησιμοποιώντας μια μαθηματική εξίσωση, η πρόβλεψη θα είναι ακριβής για σύντομο χρονικό διάστημα και η εξίσωση παλινδρόμησης θα πρέπει να υπολογιστεί εκ νέου καθώς γίνονται διαθέσιμες νέες πληροφορίες.
• την πολυπλοκότητα της επιλογής της εξίσωσης παλινδρόμησης, η οποία είναι επιλύσιμη με τη χρήση τυπικών προγραμμάτων υπολογιστή.

Ένα παράδειγμα χρήσης της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων για την ανάπτυξη μιας πρόβλεψης

Μια εργασία . Υπάρχουν στοιχεία που χαρακτηρίζουν το επίπεδο ανεργίας στην περιοχή, %

• Κατασκευάστε μια πρόβλεψη του ποσοστού ανεργίας στην περιοχή για τους μήνες Νοέμβριο, Δεκέμβριο, Ιανουάριο, χρησιμοποιώντας τις μεθόδους: κινούμενος μέσος όρος, εκθετική εξομάλυνση, ελάχιστα τετράγωνα.
• Υπολογίστε τα σφάλματα στις προκύπτουσες προβλέψεις χρησιμοποιώντας κάθε μέθοδο.
• Συγκρίνετε τα αποτελέσματα που προέκυψαν, βγάλτε συμπεράσματα.

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Για τη λύση, θα συντάξουμε έναν πίνακα στον οποίο θα κάνουμε τους απαραίτητους υπολογισμούς:

ε = 28,63/10 = 2,86% ακρίβεια πρόβλεψηςυψηλός.

συμπέρασμα : Σύγκριση των αποτελεσμάτων που προέκυψαν στους υπολογισμούς μέθοδος κινούμενου μέσου όρου , εκθετική εξομάλυνση και τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, μπορούμε να πούμε ότι το μέσο σχετικό σφάλμα στους υπολογισμούς με τη μέθοδο της εκθετικής εξομάλυνσης εμπίπτει στο 20-50%. Αυτό σημαίνει ότι η ακρίβεια της πρόβλεψης σε αυτή την περίπτωση είναι μόνο ικανοποιητική.

Στην πρώτη και στην τρίτη περίπτωση, η ακρίβεια πρόβλεψης είναι υψηλή, αφού το μέσο σχετικό σφάλμα είναι μικρότερο από 10%. Αλλά η μέθοδος του κινούμενου μέσου όρου κατέστησε δυνατή την απόκτηση πιο αξιόπιστων αποτελεσμάτων (πρόβλεψη Νοεμβρίου - 1,52%, πρόβλεψη Δεκεμβρίου - 1,53%, πρόβλεψη Ιανουαρίου - 1,49%), καθώς το μέσο σχετικό σφάλμα κατά τη χρήση αυτής της μεθόδου είναι το μικρότερο - 1 ,13%.

Μέθοδος ελάχιστου τετραγώνου

Άλλα σχετικά άρθρα:

Κατάλογος πηγών που χρησιμοποιήθηκαν

1. Επιστημονικές και μεθοδολογικές συστάσεις για τη διάγνωση κοινωνικών κινδύνων και την πρόβλεψη προκλήσεων, απειλών και κοινωνικές συνέπειες. Ρωσικό Κρατικό Κοινωνικό Πανεπιστήμιο. Μόσχα. 2010;
2. Vladimirova L.P. Πρόβλεψη και προγραμματισμός σε συνθήκες αγοράς: Proc. επίδομα. M .: Εκδοτικός Οίκος "Dashkov and Co", 2001;
3. Novikova N.V., Pozdeeva O.G. Πρόβλεψη Εθνική οικονομία: Διδακτικό βοήθημα. Αικατερινούπολη: Εκδοτικός Οίκος Ural. κατάσταση οικονομία πανεπιστήμιο, 2007;
4. Slutskin L.N. Μάθημα MBA στην επιχειρηματική πρόβλεψη. Μόσχα: Alpina Business Books, 2006.

Πρόγραμμα MNE

Εισαγάγετε δεδομένα

Δεδομένα και Προσέγγιση y = a + b x

Εγώ- αριθμός του πειραματικού σημείου.
x i- την τιμή της σταθερής παραμέτρου στο σημείο Εγώ;
y i- την τιμή της μετρούμενης παραμέτρου στο σημείο Εγώ;
ω i- μέτρηση βάρους στο σημείο Εγώ;
y i, υπολογ.- τη διαφορά μεταξύ της μετρούμενης τιμής και της τιμής που υπολογίζεται από την παλινδρόμηση yστο σημείο Εγώ;
S x i (x i)- εκτίμηση σφάλματος x iκατά τη μέτρηση yστο σημείο Εγώ.

Δεδομένα και Προσέγγιση y = kx

Κάντε κλικ στο γράφημα

Εγχειρίδιο χρήστη για το διαδικτυακό πρόγραμμα MNC.

Στο πεδίο δεδομένων, εισαγάγετε σε κάθε ξεχωριστή γραμμή τις τιμές των «x» και «y» σε ένα πειραματικό σημείο. Οι τιμές πρέπει να διαχωρίζονται με κενό διάστημα (κενό ή καρτέλα).

Η τρίτη τιμή μπορεί να είναι το σημείο βάρους του «w». Εάν το βάρος του σημείου δεν καθορίζεται, τότε είναι ίσο με ένα. Στη συντριπτική πλειοψηφία των περιπτώσεων, τα βάρη των πειραματικών σημείων είναι άγνωστα ή δεν υπολογίζονται. όλα τα πειραματικά δεδομένα θεωρούνται ισοδύναμα. Μερικές φορές τα βάρη στο μελετημένο εύρος τιμών δεν είναι σίγουρα ισοδύναμα και μπορούν ακόμη και να υπολογιστούν θεωρητικά. Για παράδειγμα, στη φασματοφωτομετρία, τα βάρη μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας απλούς τύπους, αν και βασικά όλοι το παραμελούν για να μειώσουν το κόστος εργασίας.

Τα δεδομένα μπορούν να επικολληθούν στο πρόχειρο από ένα υπολογιστικό φύλλο της σουίτας γραφείου, όπως το Excel από το Microsoft Office ή το Calc από το Open Office. Για να το κάνετε αυτό, στο υπολογιστικό φύλλο, επιλέξτε το εύρος των δεδομένων προς αντιγραφή, αντιγράψτε στο πρόχειρο και επικολλήστε τα δεδομένα στο πεδίο δεδομένων αυτής της σελίδας.

Για τον υπολογισμό με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, απαιτούνται τουλάχιστον δύο σημεία για τον προσδιορισμό δύο συντελεστών «b» - την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της ευθείας γραμμής και «a» - την τιμή που αποκόπτεται από την ευθεία γραμμή στο «y». άξονας.

Για να εκτιμηθεί το σφάλμα των υπολογισμένων συντελεστών παλινδρόμησης, είναι απαραίτητο να ορίσετε τον αριθμό των πειραματικών σημείων σε περισσότερα από δύο.

Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων (LSM).

Όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των πειραματικών σημείων, τόσο πιο ακριβής είναι η στατιστική εκτίμηση των συντελεστών (λόγω της μείωσης του συντελεστή του Μαθητή) και τόσο πιο κοντά είναι η εκτίμηση στην εκτίμηση του γενικού δείγματος.

Η απόκτηση τιμών σε κάθε πειραματικό σημείο συνδέεται συχνά με σημαντικό κόστος εργασίας, επομένως, συχνά πραγματοποιείται ένας συμβιβαστικός αριθμός πειραμάτων, ο οποίος δίνει μια εύπεπτη εκτίμηση και δεν οδηγεί σε υπερβολικό κόστος εργασίας. Κατά κανόνα, ο αριθμός των πειραματικών σημείων για μια γραμμική εξάρτηση ελαχίστων τετραγώνων με δύο συντελεστές επιλέγεται στην περιοχή 5-7 σημείων.

Μια σύντομη θεωρία των ελαχίστων τετραγώνων για τη γραμμική εξάρτηση

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σύνολο πειραματικών δεδομένων με τη μορφή ζευγών τιμών [`y_i`, `x_i`], όπου το "i" είναι ο αριθμός μιας πειραματικής μέτρησης από το 1 έως το "n". `y_i` - η τιμή της μετρούμενης τιμής στο σημείο `i`. `x_i` - η τιμή της παραμέτρου που ορίσαμε στο σημείο `i`.

Ένα παράδειγμα είναι η λειτουργία του νόμου του Ohm. Αλλάζοντας την τάση (διαφορά δυναμικού) μεταξύ των τμημάτων του ηλεκτρικού κυκλώματος, μετράμε την ποσότητα του ρεύματος που διέρχεται από αυτό το τμήμα. Η Φυσική μας δίνει την εξάρτηση που βρέθηκε πειραματικά:

`I=U/R`,
όπου "I" - τρέχουσα ισχύς. `R` - αντίσταση; `U` - τάση.

Σε αυτήν την περίπτωση, «y_i» είναι η μετρούμενη τιμή ρεύματος και «x_i» είναι η τιμή τάσης.

Ως άλλο παράδειγμα, εξετάστε την απορρόφηση του φωτός από ένα διάλυμα μιας ουσίας σε διάλυμα. Η Χημεία μας δίνει τον τύπο:

«A = εl C»,
όπου «A» είναι η οπτική πυκνότητα του διαλύματος. `ε` - διαπερατότητα διαλυμένης ουσίας; `l` - μήκος διαδρομής όταν το φως διέρχεται από μια κυψελίδα με διάλυμα. «C» είναι η συγκέντρωση της διαλυμένης ουσίας.

Σε αυτήν την περίπτωση, «y_i» είναι η μετρούμενη οπτική πυκνότητα «A» και «x_i» είναι η συγκέντρωση της ουσίας που ορίσαμε.

Θα εξετάσουμε την περίπτωση όταν το σχετικό σφάλμα στη ρύθμιση του `x_i` είναι πολύ μικρότερο από το σχετικό σφάλμα στη μέτρηση του `y_i`. Θα υποθέσουμε επίσης ότι όλες οι μετρούμενες τιμές του `y_i` είναι τυχαίες και κανονικά κατανεμημένες, δηλ. υπακούω κανονικός νόμοςδιανομή.

Στην περίπτωση μιας γραμμικής εξάρτησης του «y» από το «x», μπορούμε να γράψουμε τη θεωρητική εξάρτηση:
`y = a + bx`.

Από γεωμετρική άποψη, ο συντελεστής «b» υποδηλώνει την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της ευθείας στον άξονα «x» και ο συντελεστής «a» - την τιμή του «y» στο σημείο τομής του ευθεία με τον άξονα `y` (για `x = 0`).

Εύρεση των παραμέτρων της γραμμής παλινδρόμησης.

Σε ένα πείραμα, οι μετρούμενες τιμές του «y_i» δεν μπορούν να βρίσκονται ακριβώς στη θεωρητική γραμμή λόγω σφαλμάτων μέτρησης, τα οποία είναι πάντα εγγενή στην πραγματική ζωή. Επομένως, μια γραμμική εξίσωση πρέπει να αντιπροσωπεύεται από ένα σύστημα εξισώσεων:
`y_i = a + b x_i + ε_i` (1),
όπου «ε_i» είναι το άγνωστο σφάλμα μέτρησης του «y» στο «i» πείραμα.

Η εξάρτηση (1) ονομάζεται επίσης οπισθοδρόμηση, δηλ. η εξάρτηση των δύο μεγεθών μεταξύ τους με στατιστική σημασία.

Το καθήκον της αποκατάστασης της εξάρτησης είναι να βρεθούν οι συντελεστές `a` και `b` από τα πειραματικά σημεία [`y_i`, `x_i`].

Για να βρεθούν οι συντελεστές συνήθως χρησιμοποιείται «a» και «b». μέθοδος ελάχιστου τετραγώνου(ΜΝΚ). Είναι μια ειδική περίπτωση της αρχής της μέγιστης πιθανότητας.

Ας ξαναγράψουμε το (1) ως `ε_i = y_i - a - b x_i`.

Τότε το άθροισμα των τετραγωνικών σφαλμάτων θα είναι
`Φ = sum_(i=1)^(n) ε_i^2 = sum_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2`. (2)

Η αρχή της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων είναι η ελαχιστοποίηση του αθροίσματος (2) σε σχέση με τις παραμέτρους «a» και «b».

Το ελάχιστο επιτυγχάνεται όταν οι μερικές παράγωγοι του αθροίσματος (2) ως προς τους συντελεστές «a» και «b» είναι ίσες με μηδέν:
`frac(μερικό Φ)(μερικό a) = frac(μερικό άθροισμα_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2)(μερικό a) = 0`
`frac(μερικό Φ)(μερικό b) = frac(μερικό άθροισμα_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2)(μερικό b) = 0`

Επεκτείνοντας τις παραγώγους, λαμβάνουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους:
`sum_(i=1)^(n) (2a + 2bx_i - 2y_i) = sum_(i=1)^(n) (a + bx_i - y_i) = 0`
`sum_(i=1)^(n) (2bx_i^2 + 2ax_i - 2x_iy_i) = sum_(i=1)^(n) (bx_i^2 + ax_i - x_iy_i) = 0`

Ανοίγουμε τις αγκύλες και μεταφέρουμε τα αθροίσματα ανεξάρτητα από τους επιθυμητούς συντελεστές στο άλλο μισό, παίρνουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων:
`sum_(i=1)^(n) y_i = a n + b sum_(i=1)^(n) bx_i`
`sum_(i=1)^(n) x_iy_i = a sum_(i=1)^(n) x_i + b sum_(i=1)^(n) x_i^2`

Λύνοντας το σύστημα που προκύπτει, βρίσκουμε τύπους για τους συντελεστές «a» και «b»:

`a = frac(sum_(i=1)^(n) y_i sum_(i=1)^(n) x_i^2 - sum_(i=1)^(n) x_i sum_(i=1)^(n ) x_iy_i) (n sum_(i=1)^(n) x_i^2 — (άθροισμα_(i=1)^(n) x_i)^2)` (3.1)

`b = frac(n sum_(i=1)^(n) x_iy_i - sum_(i=1)^(n) x_i sum_(i=1)^(n) y_i) (n sum_(i=1)^ (n) x_i^2 - (άθροισμα_(i=1)^(n) x_i)^2)` (3.2)

Αυτοί οι τύποι έχουν λύσεις όταν `n > 1` (η γραμμή μπορεί να σχεδιαστεί χρησιμοποιώντας τουλάχιστον 2 σημεία) και όταν η ορίζουσα `D = n sum_(i=1)^(n) x_i^2 — (sum_(i= 1 )^(n) x_i)^2 != 0`, δηλ. όταν τα σημεία `x_i` στο πείραμα είναι διαφορετικά (δηλαδή όταν η γραμμή δεν είναι κάθετη).

Εκτίμηση σφαλμάτων στους συντελεστές της γραμμής παλινδρόμησης

Για μια πιο ακριβή εκτίμηση του σφάλματος στον υπολογισμό των συντελεστών «a» και «b», είναι επιθυμητός ένας μεγάλος αριθμός πειραματικών σημείων. Όταν `n = 2`, είναι αδύνατο να εκτιμηθεί το σφάλμα των συντελεστών, γιατί η κατά προσέγγιση γραμμή θα περάσει μοναδικά από δύο σημεία.

Προσδιορίζεται το σφάλμα της τυχαίας μεταβλητής `V` νόμος συσσώρευσης σφαλμάτων
`S_V^2 = άθροισμα_(i=1)^p (frac(μερικό f)(μερικό z_i))^2 S_(z_i)^2`,
όπου "p" είναι ο αριθμός των παραμέτρων "z_i" με σφάλμα "S_(z_i)" που επηρεάζουν το σφάλμα "S_V".
Το "f" είναι μια συνάρτηση εξάρτησης του "V" στο "z_i".

Ας γράψουμε τον νόμο της συσσώρευσης σφαλμάτων για το σφάλμα των συντελεστών «a» και «b»
`S_a^2 = sum_(i=1)^(n)(frac(μερικό a)(μερικό y_i))^2 S_(y_i)^2 + sum_(i=1)^(n)(frac(μερικό a )(μερικό x_i))^2 S_(x_i)^2 = S_y^2 sum_(i=1)^(n)(frac(μερικό α)(μερικό y_i))^2 `,
`S_b^2 = sum_(i=1)^(n)(frac(μερικό b)(μερικό y_i))^2 S_(y_i)^2 + sum_(i=1)^(n)(frac(μερικό b )(μερικό x_i))^2 S_(x_i)^2 = S_y^2 sum_(i=1)^(n)(frac(μερικό β)(μερικό y_i))^2 `,
επειδή `S_(x_i)^2 = 0` (προηγουμένως κάναμε κράτηση ότι το σφάλμα του `x` είναι αμελητέο).

`S_y^2 = S_(y_i)^2` - το σφάλμα (διακύμανση, τετραγωνική τυπική απόκλιση) στη διάσταση `y`, με την προϋπόθεση ότι το σφάλμα είναι ομοιόμορφο για όλες τις τιμές `y`.

Αντικαθιστώντας τους τύπους για τον υπολογισμό των «a» και «b» στις παραστάσεις που προκύπτουν, παίρνουμε

`S_a^2 = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) (sum_(i=1)^(n) x_i^2 - x_i sum_(i=1)^(n) x_i)^2 ) (D^2) = S_y^2 frac((n sum_(i=1)^(n) x_i^2 - (sum_(i=1)^(n) x_i)^2) sum_(i=1) ^(n) x_i^2) (D^2) = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) x_i^2) (D)` (4.1)

`S_b^2 = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) (n x_i - sum_(i=1)^(n) x_i)^2) (D^2) = S_y^2 frac( n (n sum_(i=1)^(n) x_i^2 - (άθροισμα_(i=1)^(n) x_i)^2)) (D^2) = S_y^2 frac(n) (D) ` (4.2)

Στα περισσότερα πραγματικά πειράματα, η τιμή του «Sy» δεν μετριέται. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθούν πολλές παράλληλες μετρήσεις (πειράματα) σε ένα ή περισσότερα σημεία του σχεδίου, γεγονός που αυξάνει τον χρόνο (και πιθανώς το κόστος) του πειράματος. Επομένως, συνήθως θεωρείται ότι η απόκλιση του «y» από τη γραμμή παλινδρόμησης μπορεί να θεωρηθεί τυχαία. Η εκτίμηση διακύμανσης `y` σε αυτήν την περίπτωση υπολογίζεται από τον τύπο.

`S_y^2 = S_(y, υπόλοιπο)^2 = frac(sum_(i=1)^n (y_i - a - b x_i)^2) (n-2)`.

Ο διαιρέτης `n-2` εμφανίζεται επειδή έχουμε μειώσει τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας λόγω του υπολογισμού δύο συντελεστών για το ίδιο δείγμα πειραματικών δεδομένων.

Αυτή η εκτίμηση ονομάζεται επίσης υπολειπόμενη διακύμανση σε σχέση με τη γραμμή παλινδρόμησης `S_(y, υπόλοιπο)^2`.

Η αξιολόγηση της σημαντικότητας των συντελεστών γίνεται με κριτήριο του Μαθητή

`t_a = frac(|a|) (S_a)`, `t_b = frac(|b|) (S_b)`

Εάν τα υπολογιζόμενα κριτήρια «t_a», «t_b» είναι λιγότερα από τα κριτήρια του πίνακα «t(P, n-2)», τότε θεωρείται ότι ο αντίστοιχος συντελεστής δεν διαφέρει σημαντικά από το μηδέν με δεδομένη πιθανότητα «P».

Για να αξιολογήσετε την ποιότητα της περιγραφής μιας γραμμικής σχέσης, μπορείτε να συγκρίνετε τα "S_(y, rest)^2" και "S_(bar y)" σε σχέση με τον μέσο όρο χρησιμοποιώντας το κριτήριο Fisher.

`S_(bar y) = frac(sum_(i=1)^n (y_i - bar y)^2) (n-1) = frac(sum_(i=1)^n (y_i - (sum_(i= 1)^n y_i) /n)^2) (n-1)` - εκτίμηση δείγματος της διακύμανσης του `y` σε σχέση με τον μέσο όρο.

Για να αξιολογηθεί η αποτελεσματικότητα της εξίσωσης παλινδρόμησης για την περιγραφή της εξάρτησης, υπολογίζεται ο συντελεστής Fisher
`F = S_(γραμμή y) / S_(y, υπόλοιπο)^2`,
που συγκρίνεται με τον πίνακα Fisher συντελεστή «F(p, n-1, n-2)».

Εάν «F > F(P, n-1, n-2)», η διαφορά μεταξύ της περιγραφής της εξάρτησης «y = f(x)» με χρήση της εξίσωσης παλινδρόμησης και της περιγραφής που χρησιμοποιεί τον μέσο όρο θεωρείται στατιστικά σημαντική με πιθανότητα «Π». Εκείνοι. η παλινδρόμηση περιγράφει την εξάρτηση καλύτερα από την εξάπλωση του «y» γύρω από το μέσο όρο.

Κάντε κλικ στο γράφημα
για να προσθέσετε τιμές στον πίνακα

Μέθοδος ελάχιστου τετραγώνου. Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων σημαίνει τον προσδιορισμό άγνωστων παραμέτρων a, b, c, την αποδεκτή συναρτησιακή εξάρτηση

Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων σημαίνει τον προσδιορισμό άγνωστων παραμέτρων α, β, γ,…αποδεκτή λειτουργική εξάρτηση

y = f(x,a,b,c,…),

που θα παρείχε ένα ελάχιστο του μέσου τετραγώνου (διακύμανση) του σφάλματος

, (24)

όπου x i , y i - σύνολο ζευγών αριθμών που προέκυψαν από το πείραμα.

Εφόσον η συνθήκη για το άκρο μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών είναι η συνθήκη ότι οι μερικές παράγωγοί της είναι ίσες με μηδέν, τότε οι παράμετροι α, β, γ,…καθορίζονται από το σύστημα των εξισώσεων:

; ; ; … (25)

Πρέπει να θυμόμαστε ότι η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων χρησιμοποιείται για την επιλογή παραμέτρων μετά τη μορφή της συνάρτησης y = f(x)ορίζεται.

Εάν από θεωρητικές εκτιμήσεις είναι αδύνατο να εξαχθούν συμπεράσματα σχετικά με το ποιος θα πρέπει να είναι ο εμπειρικός τύπος, τότε πρέπει να καθοδηγείται από οπτικές αναπαραστάσεις, κυρίως μια γραφική αναπαράσταση των παρατηρούμενων δεδομένων.

Στην πράξη, τις περισσότερες φορές περιορίζεται στους ακόλουθους τύπους λειτουργιών:

1) γραμμικό ;

2) τετραγωνικό α .

Εάν κάποια φυσική ποσότητα εξαρτάται από μια άλλη ποσότητα, τότε αυτή η εξάρτηση μπορεί να διερευνηθεί μετρώντας το y σε διαφορετικές τιμές του x. Ως αποτέλεσμα των μετρήσεων, προκύπτει μια σειρά τιμών:

x 1 , x 2 , ..., x i , ... , x n ;

y 1 , y 2 , ..., y i , ... , y n .

Με βάση τα δεδομένα ενός τέτοιου πειράματος, είναι δυνατή η γραφική παράσταση της εξάρτησης y = ƒ(x). Η καμπύλη που προκύπτει καθιστά δυνατή την κρίση της μορφής της συνάρτησης ƒ(x). Ωστόσο, οι σταθεροί συντελεστές που εισέρχονται σε αυτή τη συνάρτηση παραμένουν άγνωστοι. Μπορούν να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Τα πειραματικά σημεία, κατά κανόνα, δεν βρίσκονται ακριβώς στην καμπύλη. Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων απαιτεί το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων των πειραματικών σημείων από την καμπύλη, δηλ. Το 2 ήταν το μικρότερο.

Στην πράξη, αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται πιο συχνά (και πιο απλά) στην περίπτωση μιας γραμμικής σχέσης, δηλ. πότε

y=kxή y = a + bx.

Η γραμμική εξάρτηση είναι πολύ διαδεδομένη στη φυσική. Και ακόμη και όταν η εξάρτηση είναι μη γραμμική, συνήθως προσπαθούν να δημιουργήσουν ένα γράφημα με τέτοιο τρόπο ώστε να πάρουν μια ευθεία γραμμή. Για παράδειγμα, εάν υποτεθεί ότι ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού n σχετίζεται με το μήκος κύματος λ του φωτεινού κύματος με τη σχέση n = a + b/λ 2 , τότε η εξάρτηση του n από το λ -2 απεικονίζεται στο γράφημα .

Σκεφτείτε την εξάρτηση y=kx(ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή). Ας συνθέσουμε την τιμή φ το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων των σημείων μας από την ευθεία

Η τιμή του φ είναι πάντα θετική και αποδεικνύεται ότι είναι όσο μικρότερη, τόσο πιο κοντά βρίσκονται τα σημεία μας στην ευθεία. Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων δηλώνει ότι για το k πρέπει να επιλέξουμε μια τέτοια τιμή στην οποία το φ έχει ελάχιστο

ή
(19)

Ο υπολογισμός δείχνει ότι το σφάλμα ρίζας μέσου τετραγώνου στον προσδιορισμό της τιμής του k είναι ίσο με

, (20)
όπου n είναι ο αριθμός των διαστάσεων.

Ας εξετάσουμε τώρα μια κάπως πιο δύσκολη περίπτωση, όταν τα σημεία πρέπει να ικανοποιούν τον τύπο y = a + bx(ευθεία γραμμή που δεν διέρχεται από την αρχή).

Η εργασία είναι να βρείτε το δεδομένο σύνολο τιμών x i, y i καλύτερες αξίεςα και β.

Και πάλι συνθέτουμε ένα τετραγωνικό σχήμα φ ίσο με το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων των σημείων x i , y i από την ευθεία

και βρείτε τις τιμές a και b για τις οποίες το φ έχει ελάχιστο

;

.

Η κοινή λύση αυτών των εξισώσεων δίνει

(21)

Τα σφάλματα ρίζας-μέσου τετραγώνου για τον προσδιορισμό του a και του b είναι ίσα

(23)

.  (24)

Κατά την επεξεργασία των αποτελεσμάτων των μετρήσεων με αυτήν τη μέθοδο, είναι βολικό να συνοψίζονται όλα τα δεδομένα σε έναν πίνακα στον οποίο έχουν υπολογιστεί προκαταρκτικά όλα τα ποσά που περιλαμβάνονται στους τύπους (19)(24). Οι μορφές αυτών των πινάκων φαίνονται στα παρακάτω παραδείγματα.

Παράδειγμα 1Μελετήθηκε η βασική εξίσωση της δυναμικής περιστροφική κίνησηε = M/J (ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή). Για διάφορες τιμές της στιγμής M, μετρήθηκε η γωνιακή επιτάχυνση ε ενός συγκεκριμένου σώματος. Απαιτείται ο προσδιορισμός της ροπής αδράνειας αυτού του σώματος. Τα αποτελέσματα των μετρήσεων της ροπής δύναμης και της γωνιακής επιτάχυνσης παρατίθενται στη δεύτερη και τρίτη στήλη πίνακες 5.

Πίνακας 5

Με τον τύπο (19) προσδιορίζουμε:

.

Για να προσδιορίσουμε το σφάλμα ρίζας μέσου τετραγώνου, χρησιμοποιούμε τον τύπο (20)

0.005775κιλό-ένας · Μ -2 .

Με τον τύπο (18) έχουμε

SJ = (2,996 0,005775)/0,3337 = 0,05185 kg m 2.

Με δεδομένη την αξιοπιστία P = 0,95 , σύμφωνα με τον πίνακα των συντελεστών Student για n = 5, βρίσκουμε t = 2,78 και προσδιορίζουμε το απόλυτο σφάλμα ΔJ = 2,78 0,05185 = 0,1441 ≈ 0,2 kg m 2.

Γράφουμε τα αποτελέσματα με τη μορφή:

J = (3,0 ± 0,2) kg m 2;

Παράδειγμα 2Υπολογίζουμε τον συντελεστή θερμοκρασίας αντίστασης του μετάλλου χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Η αντίσταση εξαρτάται από τη θερμοκρασία σύμφωνα με έναν γραμμικό νόμο

R t \u003d R 0 (1 + α t °) \u003d R 0 + R 0 α t °.

Ο ελεύθερος όρος καθορίζει την αντίσταση R 0 σε θερμοκρασία 0 ° C και ο γωνιακός συντελεστής είναι το γινόμενο του συντελεστή θερμοκρασίας α και της αντίστασης R 0 .

Τα αποτελέσματα των μετρήσεων και των υπολογισμών δίνονται στον πίνακα ( βλέπε πίνακα 6).

Πίνακας 6

Με τους τύπους (21), (22) προσδιορίζουμε

R 0 = ¯ R- α R 0 ¯ t = 1,4005 - 0,002645 85,83333 = 1,1735 Ωμ.

Ας βρούμε ένα σφάλμα στον ορισμό του α. Αφού , τότε με τον τύπο (18) έχουμε:

.

Χρησιμοποιώντας τους τύπους (23), (24) έχουμε

;

0.014126 Ωμ.

Με δεδομένη την αξιοπιστία P = 0,95, σύμφωνα με τον πίνακα των συντελεστών Student για n = 6, βρίσκουμε t = 2,57 και προσδιορίζουμε το απόλυτο σφάλμα Δα = 2,57 0,000132 = 0,000338 μοίρα -1.

α = (23 ± 4) 10 -4 χαλάζι-1 στο P = 0,95.

Παράδειγμα 3Απαιτείται να προσδιοριστεί η ακτίνα καμπυλότητας του φακού από τους δακτυλίους του Νεύτωνα. Μετρήθηκαν οι ακτίνες των δακτυλίων του Νεύτωνα r m και προσδιορίστηκαν οι αριθμοί αυτών των δακτυλίων m. Οι ακτίνες των δακτυλίων του Νεύτωνα σχετίζονται με την ακτίνα καμπυλότητας του φακού R και τον αριθμό του δακτυλίου από την εξίσωση

r 2 m = mλR - 2d 0 R,

όπου d 0 το πάχος του διακένου μεταξύ του φακού και της επίπεδης παράλληλης πλάκας (ή παραμόρφωση φακού),

λ είναι το μήκος κύματος του προσπίπτοντος φωτός.

λ = (600 ± 6) nm;
r 2 m = y;
m = x;
λR = b;
-2d 0 R = a,

τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή y = a + bx.

Εισάγονται τα αποτελέσματα των μετρήσεων και των υπολογισμών πίνακας 7.

Πίνακας 7

Η προσέγγιση των πειραματικών δεδομένων είναι μια μέθοδος που βασίζεται στην αντικατάσταση των πειραματικά ληφθέντων δεδομένων με μια αναλυτική συνάρτηση που περνά ή συμπίπτει πιο κοντά στα κομβικά σημεία με τις αρχικές τιμές (δεδομένα που λαμβάνονται κατά το πείραμα ή το πείραμα). Υπάρχουν επί του παρόντος δύο τρόποι για να ορίσετε μια αναλυτική συνάρτηση:

Κατασκευάζοντας ένα πολυώνυμο παρεμβολής n-βαθμών που περνά απευθείας σε όλα τα σημείαδεδομένης σειράς δεδομένων. Σε αυτήν την περίπτωση, η συνάρτηση προσέγγισης αναπαρίσταται ως: ένα πολυώνυμο παρεμβολής στη μορφή Lagrange ή ένα πολυώνυμο παρεμβολής στη μορφή Newton.

Κατασκευάζοντας ένα πολυώνυμο προσεγγιστικό n βαθμού που περνά κοντά σε σημείααπό τον δεδομένο πίνακα δεδομένων. Έτσι, η συνάρτηση προσέγγισης εξομαλύνει όλους τους τυχαίους θορύβους (ή σφάλματα) που μπορεί να προκύψουν κατά τη διάρκεια του πειράματος: οι μετρούμενες τιμές κατά τη διάρκεια του πειράματος εξαρτώνται από τυχαίους παράγοντες που κυμαίνονται σύμφωνα με τους δικούς τους τυχαίους νόμους (λάθη μέτρησης ή οργάνου, ανακρίβεια ή πειραματικά Σφάλματα). Σε αυτή την περίπτωση, η συνάρτηση προσέγγισης καθορίζεται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.

Μέθοδος ελάχιστου τετραγώνου(στην Αγγλική Λογοτεχνία Ordinary Least Squares, OLS) - μαθηματική μέθοδος, με βάση τον ορισμό μιας προσεγγιστικής συνάρτησης, η οποία είναι χτισμένη στην πλησιέστερη γειτνίαση με τα σημεία από μια δεδομένη σειρά πειραματικών δεδομένων. Η εγγύτητα της αρχικής και της προσεγγιστικής συνάρτησης F(x) καθορίζεται από ένα αριθμητικό μέτρο, δηλαδή: το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων των πειραματικών δεδομένων από την προσεγγιστική καμπύλη F(x) πρέπει να είναι το μικρότερο.

Καμπύλη προσαρμογής κατασκευασμένη με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων

Χρησιμοποιείται η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων:

Για την επίλυση υπερκαθορισμένων συστημάτων εξισώσεων όταν ο αριθμός των εξισώσεων υπερβαίνει τον αριθμό των αγνώστων.

Να αναζητήσει λύση στην περίπτωση συνηθισμένων (όχι υπερκαθορισμένων) μη γραμμικών συστημάτων εξισώσεων.

Για την προσέγγιση των τιμών των σημείων με κάποια κατά προσέγγιση συνάρτηση.

Η συνάρτηση προσέγγισης με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων προσδιορίζεται από τη συνθήκη του ελάχιστου αθροίσματος των τετραγωνικών αποκλίσεων της υπολογισμένης προσεγγιστικής συνάρτησης από μια δεδομένη σειρά πειραματικών δεδομένων. Αυτό το κριτήριο της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων γράφεται ως η ακόλουθη έκφραση:

Τιμές της υπολογισμένης συνάρτησης προσέγγισης σε κομβικά σημεία,

Καθορισμένη σειρά πειραματικών δεδομένων σε κομβικά σημεία .

Το τετραγωνικό κριτήριο έχει μια σειρά από «καλές» ιδιότητες, όπως η διαφοροποίηση, παρέχοντας μια μοναδική λύση στο πρόβλημα προσέγγισης με συναρτήσεις πολυωνυμικής προσέγγισης.

Ανάλογα με τις συνθήκες του προβλήματος, η προσεγγιστική συνάρτηση είναι ένα πολυώνυμο βαθμού m

Ο βαθμός της προσεγγιστικής συνάρτησης δεν εξαρτάται από τον αριθμό των κομβικών σημείων, αλλά η διάστασή της πρέπει πάντα να είναι μικρότερη από τη διάσταση (αριθμός σημείων) του δεδομένου πίνακα πειραματικών δεδομένων.

∙ Αν ο βαθμός της προσεγγιστικής συνάρτησης είναι m=1, τότε προσεγγίζουμε τη συνάρτηση πίνακα με ευθεία γραμμή (γραμμική παλινδρόμηση).

∙ Αν ο βαθμός της προσεγγιστικής συνάρτησης είναι m=2, τότε προσεγγίζουμε τη συνάρτηση πίνακα με τετραγωνική παραβολή (τετραγωνική προσέγγιση).

∙ Αν ο βαθμός της προσεγγιστικής συνάρτησης είναι m=3, τότε προσεγγίζουμε τη συνάρτηση πίνακα με κυβική παραβολή (κυβική προσέγγιση).

Στη γενική περίπτωση, όταν απαιτείται η κατασκευή ενός προσεγγιστικού πολυωνύμου βαθμού m για δεδομένες τιμές πίνακα, η συνθήκη για το ελάχιστο άθροισμα τετραγωνικών αποκλίσεων σε όλα τα κομβικά σημεία ξαναγράφεται με την ακόλουθη μορφή:

- άγνωστοι συντελεστές του κατά προσέγγιση πολυωνύμου βαθμού m.

Ο αριθμός των καθορισμένων τιμών πίνακα.

Απαραίτητη προϋπόθεση για την ύπαρξη ενός ελάχιστου συνάρτησης είναι η ισότητα προς το μηδέν των μερικών παραγώγων της σε σχέση με άγνωστες μεταβλητές . Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων:

Ας μετατρέψουμε το προκύπτον γραμμικό σύστημα εξισώσεων: ανοίξτε τις αγκύλες και μετακινήστε τους ελεύθερους όρους στη δεξιά πλευρά της παράστασης. Ως αποτέλεσμα, το προκύπτον σύστημα γραμμικών αλγεβρικών παραστάσεων θα γραφτεί με την ακόλουθη μορφή:

Αυτό το σύστημα γραμμικών αλγεβρικών παραστάσεων μπορεί να ξαναγραφτεί σε μορφή πίνακα:

Ως αποτέλεσμα, προέκυψε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων διάστασης m + 1, το οποίο αποτελείται από m + 1 αγνώστους. Αυτό το σύστημα μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε μέθοδο για την επίλυση γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (για παράδειγμα, τη μέθοδο Gauss). Ως αποτέλεσμα της λύσης, θα βρεθούν άγνωστες παράμετροι της συνάρτησης προσέγγισης που παρέχουν το ελάχιστο άθροισμα τετραγωνικών αποκλίσεων της προσεγγιστικής συνάρτησης από τα αρχικά δεδομένα, δηλ. την καλύτερη δυνατή τετραγωνική προσέγγιση. Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι αν αλλάξει έστω και μία τιμή των αρχικών δεδομένων, όλοι οι συντελεστές θα αλλάξουν τις τιμές τους, αφού καθορίζονται πλήρως από τα αρχικά δεδομένα.

Προσέγγιση των αρχικών δεδομένων με γραμμική εξάρτηση

(γραμμικής παλινδρόμησης)

Ως παράδειγμα, εξετάστε τη μέθοδο για τον προσδιορισμό της συνάρτησης προσέγγισης, η οποία δίνεται ως γραμμική σχέση. Σύμφωνα με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, η συνθήκη για το ελάχιστο άθροισμα τετραγωνικών αποκλίσεων γράφεται ως εξής:

Συντεταγμένες κομβικών σημείων του πίνακα.

Άγνωστοι συντελεστές της προσεγγιστικής συνάρτησης, η οποία δίνεται ως γραμμική σχέση.

Απαραίτητη προϋπόθεση για την ύπαρξη ενός ελάχιστου μιας συνάρτησης είναι η ισότητα προς το μηδέν των μερικών παραγώγων της ως προς άγνωστες μεταβλητές. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων:

Ας μετατρέψουμε το γραμμικό σύστημα εξισώσεων που προκύπτει.

Λύνουμε το προκύπτον σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Οι συντελεστές της προσεγγιστικής συνάρτησης στην αναλυτική μορφή προσδιορίζονται ως εξής (μέθοδος Cramer):

Αυτοί οι συντελεστές παρέχουν την κατασκευή μιας γραμμικής συνάρτησης προσέγγισης σύμφωνα με το κριτήριο για την ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των τετραγώνων της συνάρτησης προσέγγισης από δεδομένες τιμές πίνακα (πειραματικά δεδομένα).

Αλγόριθμος για την υλοποίηση της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων

1. Αρχικά δεδομένα:

Δίνεται μια σειρά πειραματικών δεδομένων με τον αριθμό των μετρήσεων N

Δίνεται ο βαθμός του προσεγγιστικού πολυωνύμου (m).

2. Αλγόριθμος υπολογισμού:

2.1. Οι συντελεστές προσδιορίζονται για την κατασκευή ενός συστήματος εξισώσεων με διάσταση

Συντελεστές του συστήματος εξισώσεων (αριστερή πλευρά της εξίσωσης)

- δείκτης του αριθμού στήλης του τετραγωνικού πίνακα του συστήματος εξισώσεων

Ελεύθερα μέλη του συστήματος γραμμικών εξισώσεων ( δεξί μέροςεξισώσεις)

- δείκτης του αριθμού σειράς του τετραγωνικού πίνακα του συστήματος εξισώσεων

2.2. Σχηματισμός συστήματος γραμμικών εξισώσεων με διάσταση .

2.3. Λύση συστήματος γραμμικών εξισώσεων για τον προσδιορισμό των άγνωστων συντελεστών του προσεγγιστικού πολυωνύμου βαθμού m.

2.4 Προσδιορισμός του αθροίσματος των τετραγωνικών αποκλίσεων του κατά προσέγγιση πολυωνύμου από τις αρχικές τιμές σε όλα τα κομβικά σημεία

Η ευρεθείσα τιμή του αθροίσματος των τετραγωνικών αποκλίσεων είναι η ελάχιστη δυνατή.

Προσέγγιση με άλλες συναρτήσεις

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι κατά την προσέγγιση των αρχικών δεδομένων σύμφωνα με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, μια λογαριθμική συνάρτηση, μια εκθετική συνάρτηση και μια συνάρτηση ισχύος χρησιμοποιούνται μερικές φορές ως συνάρτηση προσέγγισης.

Προσέγγιση καταγραφής

Εξετάστε την περίπτωση που η προσεγγιστική συνάρτηση δίνεται από μια λογαριθμική συνάρτηση της μορφής:

Έχει πολλές εφαρμογές, καθώς επιτρέπει μια κατά προσέγγιση αναπαράσταση μιας δεδομένης συνάρτησης από άλλες απλούστερες. Το LSM μπορεί να είναι εξαιρετικά χρήσιμο στην επεξεργασία των παρατηρήσεων και χρησιμοποιείται ενεργά για την εκτίμηση ορισμένων ποσοτήτων από τα αποτελέσματα μετρήσεων άλλων που περιέχουν τυχαία σφάλματα. Σε αυτό το άρθρο, θα μάθετε πώς να εφαρμόζετε υπολογισμούς ελαχίστων τετραγώνων στο Excel.

Δήλωση του προβλήματος σε συγκεκριμένο παράδειγμα

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο δείκτες X και Y. Επιπλέον, το Y εξαρτάται από το X. Επειδή το OLS μας ενδιαφέρει από την άποψη της ανάλυσης παλινδρόμησης (στο Excel, οι μέθοδοι του υλοποιούνται χρησιμοποιώντας ενσωματωμένες συναρτήσεις), θα πρέπει να προχωρήσουμε αμέσως να εξετάσει ένα συγκεκριμένο πρόβλημα.

Έτσι, ας είναι το X η περιοχή πώλησης ενός παντοπωλείου, μετρημένη σε τετραγωνικά μέτρα, και το Y είναι ο ετήσιος κύκλος εργασιών, που ορίζεται σε εκατομμύρια ρούβλια.

Απαιτείται να γίνει πρόβλεψη για το τι τζίρο (Υ) θα έχει το κατάστημα αν έχει τον έναν ή τον άλλο χώρο λιανικής. Προφανώς, η συνάρτηση Y = f (X) αυξάνεται, αφού η υπεραγορά πουλάει περισσότερα αγαθά από το περίπτερο.

Λίγα λόγια για την ορθότητα των αρχικών δεδομένων που χρησιμοποιούνται για την πρόβλεψη

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν πίνακα κατασκευασμένο με δεδομένα για n καταστήματα.

Σύμφωνα με τις μαθηματικές στατιστικές, τα αποτελέσματα θα είναι λίγο πολύ σωστά εάν εξεταστούν τα δεδομένα για τουλάχιστον 5-6 αντικείμενα. Επίσης, δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν «ανώμαλα» αποτελέσματα. Συγκεκριμένα, μια ελίτ μικρή μπουτίκ μπορεί να έχει τζίρο πολλαπλάσιο από τον τζίρο μεγάλων καταστημάτων της κατηγορίας «masmarket».

Η ουσία της μεθόδου

Τα δεδομένα του πίνακα μπορούν να εμφανιστούν στο καρτεσιανό επίπεδο ως σημεία M 1 (x 1, y 1), ... M n (x n, y n). Τώρα η λύση του προβλήματος θα περιοριστεί στην επιλογή μιας προσεγγιστικής συνάρτησης y = f (x), η οποία έχει μια γραφική παράσταση που περνά όσο το δυνατόν πιο κοντά στα σημεία M 1, M 2, .. M n .

Φυσικά, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ένα πολυώνυμο υψηλού βαθμού, αλλά αυτή η επιλογή δεν είναι μόνο δύσκολη στην εφαρμογή, αλλά απλά λανθασμένη, καθώς δεν θα αντικατοπτρίζει την κύρια τάση που πρέπει να εντοπιστεί. Η πιο λογική λύση είναι να αναζητήσετε μια ευθεία γραμμή y = ax + b, η οποία προσεγγίζει καλύτερα τα πειραματικά δεδομένα, και πιο συγκεκριμένα, τους συντελεστές - a και b.

Βαθμολογία ακρίβειας

Για κάθε προσέγγιση, ιδιαίτερη σημασία έχει η εκτίμηση της ακρίβειάς της. Σημειώστε με e i τη διαφορά (απόκλιση) μεταξύ των λειτουργικών και πειραματικών τιμών για το σημείο x i, δηλ. e i = y i - f (x i).

Προφανώς, για να αξιολογήσετε την ακρίβεια της προσέγγισης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το άθροισμα των αποκλίσεων, δηλ., όταν επιλέγετε μια ευθεία γραμμή για μια κατά προσέγγιση αναπαράσταση της εξάρτησης του X από το Y, θα πρέπει να προτιμάτε αυτή που έχει τη μικρότερη τιμή το άθροισμα e i σε όλα τα υπό εξέταση σημεία. Ωστόσο, δεν είναι όλα τόσο απλά, αφού μαζί με τις θετικές αποκλίσεις, πρακτικά θα υπάρχουν και αρνητικές.

Μπορείτε να λύσετε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τις μονάδες απόκλισης ή τα τετράγωνά τους. Η τελευταία μέθοδος είναι η πιο ευρέως χρησιμοποιούμενη. Χρησιμοποιείται σε πολλούς τομείς, συμπεριλαμβανομένης της ανάλυσης παλινδρόμησης (στο Excel, η εφαρμογή του πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας δύο ενσωματωμένες συναρτήσεις) και έχει αποδειχθεί από καιρό ότι είναι αποτελεσματική.

Μέθοδος ελάχιστου τετραγώνου

Στο Excel, όπως γνωρίζετε, υπάρχει μια ενσωματωμένη λειτουργία αυτόματης άθροισης που σας επιτρέπει να υπολογίσετε τις τιμές όλων των τιμών που βρίσκονται στην επιλεγμένη περιοχή. Έτσι, τίποτα δεν θα μας εμποδίσει να υπολογίσουμε την τιμή της παράστασης (e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 + ... e n 2).

Στη μαθηματική σημειογραφία, αυτό μοιάζει με:

Δεδομένου ότι αρχικά ελήφθη η απόφαση να γίνει προσέγγιση χρησιμοποιώντας μια ευθεία γραμμή, έχουμε:

Έτσι, το έργο της εύρεσης μιας ευθείας γραμμής που περιγράφει καλύτερα μια συγκεκριμένη σχέση μεταξύ X και Y ισοδυναμεί με τον υπολογισμό του ελάχιστου συνάρτησης δύο μεταβλητών:

Αυτό απαιτεί την εξίσωση με μηδέν μερικών παραγώγων σε σχέση με τις νέες μεταβλητές a και b και την επίλυση ενός αρχέγονου συστήματος που αποτελείται από δύο εξισώσεις με 2 άγνωστα της μορφής:

Μετά από απλούς μετασχηματισμούς, συμπεριλαμβανομένης της διαίρεσης με το 2 και του χειρισμού των αθροισμάτων, παίρνουμε:

Λύνοντάς το, για παράδειγμα, με τη μέθοδο του Cramer, λαμβάνουμε ένα ακίνητο σημείο με ορισμένους συντελεστές a * και b * . Αυτό είναι το ελάχιστο, δηλαδή για να προβλέψουμε τι τζίρο θα έχει το κατάστημα για μια συγκεκριμένη περιοχή, είναι κατάλληλη η ευθεία γραμμή y = a * x + b *, η οποία είναι ένα μοντέλο παλινδρόμησης για το εν λόγω παράδειγμα. Φυσικά, δεν θα σας επιτρέψει να βρείτε το ακριβές αποτέλεσμα, αλλά θα σας βοηθήσει να πάρετε μια ιδέα για το αν η αγορά ενός καταστήματος με πίστωση για μια συγκεκριμένη περιοχή θα αποδώσει.

Πώς να εφαρμόσετε τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων στο Excel

Το Excel έχει μια συνάρτηση για τον υπολογισμό της τιμής των ελαχίστων τετραγώνων. Έχει την εξής μορφή: TREND (γνωστές τιμές Y, γνωστές τιμές X, νέες τιμές X, σταθερά). Ας εφαρμόσουμε τον τύπο για τον υπολογισμό του OLS στο Excel στον πίνακά μας.

Για να το κάνετε αυτό, στο κελί στο οποίο θα πρέπει να εμφανίζεται το αποτέλεσμα του υπολογισμού με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων στο Excel, εισαγάγετε το σύμβολο "=" και επιλέξτε τη συνάρτηση "TREND". Στο παράθυρο που ανοίγει, συμπληρώστε τα κατάλληλα πεδία, επισημαίνοντας:

• εύρος γνωστών τιμών για το Y (σε αυτήν την περίπτωση δεδομένα για τον κύκλο εργασιών).
• εύρος x 1 , …x n , δηλαδή το μέγεθος του χώρου λιανικής.
• και γνωστές και άγνωστες τιμές του x, για τις οποίες πρέπει να μάθετε το μέγεθος του κύκλου εργασιών (για πληροφορίες σχετικά με τη θέση τους στο φύλλο εργασίας, δείτε παρακάτω).

Επιπλέον, υπάρχει μια λογική μεταβλητή "Const" στον τύπο. Εάν εισαγάγετε 1 στο πεδίο που αντιστοιχεί σε αυτό, τότε αυτό θα σημαίνει ότι πρέπει να πραγματοποιηθούν υπολογισμοί, με την προϋπόθεση ότι b \u003d 0.

Εάν πρέπει να γνωρίζετε την πρόβλεψη για περισσότερες από μία τιμές x, τότε μετά την εισαγωγή του τύπου, δεν πρέπει να πατήσετε "Enter", αλλά πρέπει να πληκτρολογήσετε τον συνδυασμό "Shift" + "Control" + "Enter" ("Enter" ) στο πληκτρολόγιο.

Μερικά Χαρακτηριστικά

Η ανάλυση παλινδρόμησης μπορεί να είναι προσβάσιμη ακόμη και σε ομοιώματα. Ο τύπος του Excel για την πρόβλεψη της τιμής ενός πίνακα άγνωστων μεταβλητών - "TREND" - μπορεί να χρησιμοποιηθεί ακόμα και από όσους δεν έχουν ακούσει ποτέ για τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Αρκεί μόνο να γνωρίζουμε κάποια χαρακτηριστικά της δουλειάς του. Συγκεκριμένα:

• Εάν τοποθετήσετε το εύρος των γνωστών τιμών της μεταβλητής y σε μία γραμμή ή στήλη, τότε κάθε γραμμή (στήλη) με γνωστές τιμές x θα γίνει αντιληπτή από το πρόγραμμα ως ξεχωριστή μεταβλητή.
• Εάν η περιοχή με γνωστό x δεν καθορίζεται στο παράθυρο TREND, τότε σε περίπτωση χρήσης της συνάρτησης στο Excel, το πρόγραμμα θα τη θεωρήσει ως πίνακα που αποτελείται από ακέραιους αριθμούς, ο αριθμός των οποίων αντιστοιχεί στο εύρος με τις δεδομένες τιμές της μεταβλητής y.
• Για να εξάγετε έναν πίνακα "προβλεπόμενων" τιμών, η έκφραση τάσης πρέπει να εισαχθεί ως τύπος πίνακα.
• Εάν δεν καθορίζονται νέες τιμές x, τότε η συνάρτηση TREND τις θεωρεί ίσες με τις γνωστές. Εάν δεν καθορίζονται, τότε ο πίνακας 1 λαμβάνεται ως όρισμα. 2; 3; 4;…, το οποίο είναι ανάλογο με το εύρος με τις ήδη δεδομένες παραμέτρους y.
• Το εύρος που περιέχει τις νέες τιμές x πρέπει να έχει τις ίδιες ή περισσότερες σειρές ή στήλες με το εύρος με τις δεδομένες τιμές y. Με άλλα λόγια, πρέπει να είναι ανάλογη με τις ανεξάρτητες μεταβλητές.
• Ένας πίνακας με γνωστές τιμές x μπορεί να περιέχει πολλές μεταβλητές. Ωστόσο, εάν μιλάμε μόνο για ένα, τότε απαιτείται οι περιοχές με τις δεδομένες τιμές των x και y να είναι ανάλογες. Στην περίπτωση πολλών μεταβλητών, είναι απαραίτητο το εύρος με τις δεδομένες τιμές y να χωράει σε μία στήλη ή μία γραμμή.

Λειτουργία FORECAST

Υλοποιείται χρησιμοποιώντας διάφορες λειτουργίες. Ένα από αυτά ονομάζεται «ΠΡΟΒΛΕΨΗ». Είναι παρόμοιο με το TREND, δηλαδή δίνει το αποτέλεσμα των υπολογισμών χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Ωστόσο, μόνο για ένα Χ, για το οποίο η τιμή του Υ είναι άγνωστη.

Τώρα γνωρίζετε τους τύπους του Excel για ανδρείκελα που σας επιτρέπουν να προβλέψετε την τιμή της μελλοντικής τιμής ενός δείκτη σύμφωνα με μια γραμμική τάση.

Παρόμοιο περιεχόμενο

Οροι

Τι σημαίνει στην αριθμολογία;

Οροι

Η έννοια του ονόματος amal, amala Ερμηνεία της σημασίας των γραμμάτων του ονόματος Amal

Οροι

Χριστουγεννιάτικη περίοδος και Χριστουγεννιάτικη μαντεία για το μέλλον

ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ

Τι σημαίνει ένα όνειρο με σπασμένο καθρέφτη;

2022-08-25 20:45:12

Ένας σπασμένος καθρέφτης σε ένα όνειρο θεωρείται προμήνυμα επερχόμενων κακοτυχιών και μια δύσκολη στιγμή στη ζωή του ονειροπόλου. Για να καταλάβετε γιατί ονειρεύεται ένας σπασμένος καθρέφτης, πρέπει να θυμάστε το όνειρό σας ...

Βρήκα χαρτονομίσματα σε ένα όνειρο: μια λεπτομερής ερμηνεία της Ερμηνείας των ονείρων για να χάσω χρήματα μεγάλους χάρτινους λογαριασμούς

2022-08-25 20:45:12

σύμφωνα με το βιβλίο των ονείρων του Μίλερ Αν ονειρευτείτε ότι βρήκατε χρήματα σημαίνει μικρές ανησυχίες, αλλά μεγάλη ευτυχία. Θα ακολουθήσει αλλαγή. Η πληρωμή χρημάτων είναι αποτυχία. Η απόκτηση χρυσού είναι τεράστια...

Η έννοια του ύπνου: ένας σπασμένος καθρέφτης ονειρεύεται Γιατί ονειρεύεται ένας σπασμένος καθρέφτης

2022-08-25 20:45:12

Από αμνημονεύτων χρόνων, οι άνθρωποι έδιναν σε κάποια είδη οικιακής χρήσης ιδιαίτερες, και συχνά μαγικές ιδιότητες. Οι ερμηνείες πέρασαν από γενιά σε γενιά, γεννώντας νέες πεποιθήσεις. Χωρίς αμφιβολία ο καθρέφτης...

Λάθος δήλωση Προσευχή στον Θεό

2022-07-30 03:10:05

Στη σύγχρονη οικονομία, ιδιαίτερη σημασία έχει η επιχειρηματική φήμη, η κατάλληλη προστασία της οποίας διασφαλίζει την προβλεψιμότητα της επιχειρηματικής ανάπτυξης και τη ζήτηση για ειδικό στην αγορά εργασίας. Σκεφτείτε...

Αγάπη στα γράμματα επιφανών προσώπων

2022-07-30 03:10:05

Ο Evgeny Mikhailovich είναι πλούσιος ... Αυτό που κινεί τον ήλιο και τα φώτα. Η αγάπη στα γράμματα των επιφανών ανθρώπων MARIANA ALCAFORADO - CHEVALIER DE CHAMILLY ... Μπορώ ποτέ να απαλλαγώ από τα βάσανα μέχρι να δω ...

Όταν εμφανίστηκε η εθνικότητα "Ρώσος".

2022-07-30 03:10:05

λατ. natio - φυλή, λαός) - κοινωνικοοικονομικό, πολιτιστικό και πολιτικό. και πνευματική κοινότητα ανθρώπων. Διαμορφώθηκε ιστορικά, χαρακτηρίζεται από την ενότητα της επικράτειας, της οικονομίας, της γλώσσας, του πολιτισμού και της ψυχολογίας.

Η εικόνα και το θέμα του ποιητή στη λογοτεχνία της Ρωσίας Το θέμα του ποιητή και της ποίησης

2022-07-30 03:10:05

1. «Δεν είμαι ποιητής, αλλά πολίτης...».2. Ο Πούσκιν είναι ποιητής-τραγουδιστής και ποιητής-προφήτης.3. «Ο γελοιοποιημένος προφήτης».4. «Πρέπει να είσαι πολίτης.» Οι αρχές του 19ου αιώνα, καλυμμένες με δόξα και βροντή νικών στον Πατριωτικό Πόλεμο του 1812...

Διάλογος στα γερμανικά

2022-06-29 02:49:11

Σε αυτό το μάθημα, με εικόνες, το σχέδιο μαθήματος: 1. ΜΑΘΕΤΕ ΛΕΞΕΙΣ (διαβάζοντας, απαντώντας σε ερωτήσεις: τι έχω. Απαντήσεις: Έχω λευκό μπλουζάκι, μαύρο παλτό κ.λπ. Μην ξεχνάτε. Είναι κατηγορούμενο! ) 2. περάστε τις εξετάσεις ...

Τι να μαγειρέψετε με μπρόκολο

2022-06-09 09:18:07

Πώς να μαγειρέψετε το μπρόκολο ώστε να μην είναι μόνο υγιεινό, αλλά και νόστιμο; Τι μπορεί να μαγειρευτεί από φρέσκο ​​και κατεψυγμένο μπρόκολο; Συνταγές για μαγείρεμα σε αργή κουζίνα, σε ταψί και στο φούρνο ....

Φαγόπυρο με μανιτάρια και κοτόπουλο ψημένο στο φούρνο με ξινή κρέμα συνταγή μαγειρέματος Βήμα προς βήμα μαγείρεμα με φωτογραφία φαγόπυρου με μανιτάρια και κοτόπουλο

2022-06-09 09:18:07

30/01/2019 Υλικά: 1. Φαγόπυρο - 180 γρ. ξερό 2. Κρεμμύδι - 140 γρ. (1 τεμ.) 3. Καρότο - 90 γρ. (1 τεμ.) 4. μανιτάρια - 150 γρ., καθαρισμένα 5. φιλέτο κοτόπουλο - 370 γρ. 6....

Η ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΩΝ ΣΥΝΤΑΚΤΩΝ

Πόσα γραμμάρια βρασμένο φαγόπυρο σε μια κουταλιά της σούπας;

2022-06-09 09:18:07

Σύνθεση, ιστορία, παραγωγή και δύναμη αψέντιου

2022-06-09 09:18:07

Κοτολέτες στήθους κοτόπουλου - ζουμερές, απαλές και αφράτες

2022-06-09 09:18:07

ΔΗΜΟΦΗΜΕΝΑ ΥΛΙΚΑ

Τηγανίτες βρώμης - υγιεινές συνταγές για το καλύτερο πιάτο πρωινού Συνταγή για τηγανίτες με πίτουρο και κεφίρ

2022-06-09 09:18:07

Τα καλύτερα ποιήματα μεγάλων ποιητών

2022-05-29 03:59:45

Βιάτσεσλαβ Λεονίντοβιτς Κοντράτιεφ

2022-05-29 03:59:45

ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ

• εξωραϊσμός
• Παράθυρο
• εξωραϊσμός
• Παιδική
• Επιφάνειες δρόμων
• Κουζίνα
• σχεδιασμός τοπίου
• Υπνοδωμάτιο