Средната аритметична стойност има редица свойства, които по-пълно разкриват нейната същност и опростяват изчислението:
1. Произведението на средната стойност и сумата от честотите винаги е равно на сумата от произведенията на варианта и честотите, т.е.
2. Средната аритметична стойност на сумата от вариращите стойности е равна на сумата от средните аритметични стойности на тези стойности:
3. Алгебричната сума на отклоненията на отделните стойности на атрибута от средната е нула:
4. Сумата на квадратите на отклоненията на опциите от средната стойност е по-малка от сумата на квадратите на отклоненията от всяка друга произволна стойност, т.е.:
5. Ако всички варианти на серията се намалят или увеличат с едно и също число, тогава средната стойност ще намалее със същото число:
6. Ако всички варианти на серията се намалят или увеличат с фактор, тогава средната стойност също ще намалее или се увеличи с фактор:
7. Ако всички честоти (тегла) се увеличат или намалят с фактор, тогава средноаритметичната стойност няма да се промени:
Този метод се основава на използването на математическите свойства на средното аритметично. В този случай средната стойност се изчислява по формулата: , където i е стойността на равен интервал или всяко постоянно число, което не е равно на 0; m 1 - момент от първи ред, който се изчислява по формулата: 
; А е всяко постоянно число.
18 ПРОСТИ ХАРМОНИЧНИ СРЕДНО И ПРЕТЕГЛЕНИ.
Средно хармоничносе използва в случаите, когато честотата е неизвестна (f i), а обемът на изследвания признак е известен (x i *f i =M i).
Използвайки пример 2, определяме средната работна заплата през 2001 г.
В оригиналната информация от 2001г. няма данни за броя на заетите, но не е трудно да се изчисли като съотношение на фонда за работна заплата към средната работна заплата.
Тогава 
2769,4 рубли, т.е. средна работна заплата през 2001 г -2769,4 рубли.
В този случай се използва средната хармонична стойност: ,
където M i е фондът за работна заплата в отделен цех; x i - заплата в отделен магазин.
Следователно средната хармонична се използва, когато един от факторите е неизвестен, но продуктът "M" е известен.
Средната хармонична се използва за изчисляване на средната производителност на труда, средния процент на изпълнение на нормите, средната работна заплата и др.
Ако произведенията на "M" са равни едно на друго, тогава се използва хармоничното просто средно: , където n е броят на опциите.
СРЕДНА ГЕОМЕТРИЧНА И СРЕДНА ХРОНОЛОГИЧНА СРЕДНА.
Средната геометрична се използва за анализ на динамиката на явленията и ви позволява да определите средния фактор на растеж. При изчисляване на средното геометрично, индивидуалните стойности на чертата обикновено представляват относителни показатели за динамика, изградени под формата на верижни стойности, като съотношение на всяко ниво от серията към предишното ниво.
, - верижни коефициенти на растеж;
n е броят на факторите на растеж на веригата.
Ако първоначалните данни са дадени към определени дати, тогава средното ниво на атрибута се определя по формулата за хронологична средна стойност. Ако интервалите между датите (моментите) са равни, тогава средното ниво се определя по формулата на средната хронологична проста.
Нека разгледаме изчислението му на конкретни примери.
Пример. Налични са следните данни за балансите на депозитите на домакинствата в руските банки през първата половина на 1997 г. (в началото на месеца):
Средното салдо по депозитите на населението за първото полугодие на 1997 г. (по формулата на средното хронологично време на престой) възлиза на.
Диапазон на вариация (или диапазон на вариация) -е разликата между максималните и минималните стойности на функцията:
В нашия пример диапазонът на изменение на сменната продукция на работниците е: в първа бригада R=105-95=10 деца, във втора бригада R=125-75=50 деца. (5 пъти повече). Това предполага, че продукцията на 1-ва бригада е по-„стабилна“, но втората бригада има повече резерви за растеж на продукцията, т.к. ако всички работници достигнат максималната производителност за тази бригада, тя може да произведе 3 * 125 = 375 части, а в 1-ва бригада само 105 * 3 = 315 части.
Ако екстремните стойности на атрибута не са типични за популацията, тогава се използват квартилни или децилни диапазони. Квартилният диапазон RQ= Q3-Q1 обхваща 50% от населението, първият децилен диапазон RD1 = D9-D1 покрива 80% от данните, вторият децилен диапазон RD2= D8-D2 покрива 60%.
Недостатъкът на индикатора за диапазон на вариация е, че неговата стойност не отразява всички колебания на признака.
Най-простият обобщаващ показател, който отразява всички колебания на даден признак, е средно линейно отклонение, което е средноаритметичното на абсолютните отклонения на отделните опции от средната им стойност:
,
за групирани данни 
,
където хi е стойността на атрибута в дискретна серия или средата на интервала в интервалното разпределение.
В горните формули разликите в числителя се вземат по модул, в противен случай, според свойството на средната аритметична стойност, числителят винаги ще бъде равен на нула. Следователно средното линейно отклонение рядко се използва в статистическата практика, само в случаите, когато сумирането на показателите без отчитане на знака има икономически смисъл. С негова помощ се анализират например съставът на служителите, рентабилността на производството, външнотърговският оборот.
Дисперсия на характеристикитее средният квадрат на отклоненията на варианта от средната им стойност:
проста вариация 
,
претеглена дисперсия 
.
Формулата за изчисляване на дисперсията може да бъде опростена:
По този начин дисперсията е равна на разликата между средната стойност на квадратите на варианта и квадрата на средната стойност на варианта на съвкупността: 
.
Въпреки това, поради сумирането на квадратните отклонения, дисперсията дава изкривена представа за отклоненията, така че средната стойност се изчислява от нея. стандартно отклонение, което показва колко средно се отклоняват конкретните варианти на признака от средната им стойност. Изчислено чрез извличане корен квадратенот дисперсия:
за негрупирани данни 
,
за вариационната серия 
как по-малка стойностдисперсия и стандартно отклонение, колкото по-хомогенна е популацията, толкова по-надеждна (типична) ще бъде средната стойност.
Средното линейно и средно квадратично отклонение са наименувани числа, т.е. изразени са в мерни единици на признака, идентични са по съдържание и близки по стойност.
Препоръчително е да се изчислят абсолютните показатели за вариация с помощта на таблици.
Таблица 3 - Изчисляване на характеристиките на вариацията (на примера на периода на данните за смяната на продукцията на работните екипи)
Брой работници |
Средата на интервала |
Прогнозни стойности |
|||||
Обща сума: |
|||||||
Средна производителност на смени на работниците: 
Средно линейно отклонение: 
Изходна дисперсия: 
Стандартното отклонение на продукцията на отделните работници от средната продукция:
.
1 Изчисляване на дисперсията по метода на моментите
Изчисляването на отклоненията е свързано с тромави изчисления (особено ако средната стойност е изразена като голямо число с няколко знака след десетичната запетая). Изчисленията могат да бъдат опростени чрез използване на опростена формула и дисперсионни свойства.
Дисперсията има следните свойства:
- ако всички стойности на атрибута са намалени или увеличени с една и съща стойност A, тогава дисперсията няма да намалее от това:
,
, тогава или 
Използвайки свойствата на дисперсията и първо намалявайки всички варианти на съвкупността със стойността A и след това разделяйки на стойността на интервала h, получаваме формула за изчисляване на дисперсията във вариационни серии с равни интервали начин на моменти:
,
където е дисперсията, изчислена по метода на моментите;
h е стойността на интервала на вариационната серия;
– нови (трансформирани) вариантни стойности;
A е постоянна стойност, която се използва като среда на интервала с най-висока честота; или вариантът с най-висока честота; 
е квадратът на момента от първи ред;
е момент от втори ред.
Нека изчислим дисперсията по метода на моментите въз основа на данните за сменната продукция на работния екип.
Таблица 4 - Изчисляване на дисперсията по метода на моментите
Групи производствени работници, бр. |
Брой работници |
Средата на интервала |
Прогнозни стойности |
||
Процедура за изчисление:
- изчислете дисперсията:
2 Изчисляване на дисперсията на алтернативен признак
Сред знаците, изследвани от статистиката, има такива, които имат само две взаимно изключващи се значения. Това са алтернативни знаци. Дадени са им две количествени стойности, съответно: опции 1 и 0. Честотата на опции 1, която е означена с p, е делът на единиците, които имат тази характеристика. Разликата 1-p=q е честотата на опциите 0. Така,
xi |
|
Средно аритметично на алтернативен признак 
, тъй като p+q=1.
Дисперсия на характеристиките
, защото 1-p=q
По този начин дисперсията на алтернативен признак е равна на произведението от съотношението единици, които притежават дадената характеристика, и дела на единиците, които нямат тази характеристика.
Ако стойностите 1 и 0 са еднакво често срещани, т.е. p=q, дисперсията достига своя максимум pq=0,25.
Вариантната променлива се използва в извадкови проучвания, например качество на продукта.
3 Междугрупова дисперсия. Правило за добавяне на дисперсии
Дисперсията, за разлика от други характеристики на вариацията, е добавъчна величина. Тоест в съвкупността, която е разделена на групи според факторния критерий х , резултатна дисперсия гможе да се разложи на дисперсия във всяка група (вътре в групата) и дисперсия между групите (между групата). Тогава, наред с изследването на вариацията на признака в цялата популация като цяло, става възможно да се изследва вариацията във всяка група, както и между тези групи.
Обща дисперсияизмерва вариацията на черта привърху цялата съвкупност под влиянието на всички фактори, предизвикали тази вариация (отклонения). Тя е равна на средния квадрат на отклоненията на отделните стойности на признака приот общата средна стойност и може да се изчисли като проста или претеглена дисперсия.
Междугрупова дисперсияхарактеризира вариацията на ефективния признак при, породени от влиянието на знак-фактора хв основата на групирането. Той характеризира вариацията на груповите средни стойности и е равен на средния квадрат на отклоненията на груповите средни от общата средна стойност: 
,
където е средноаритметичната стойност на i-та група;
– брой единици в i-та група (честота на i-та група);
е общата средна стойност на популацията.
Вътрешногрупова дисперсияотразява случайната вариация, т.е. тази част от вариацията, която е причинена от влиянието на неотчетени фактори и не зависи от фактора-атрибут, лежащ в основата на групирането. Характеризира вариацията на индивидуалните стойности спрямо груповите средни стойности, равна е на средния квадрат на отклоненията на индивидуалните стойности на чертата прив рамките на група от средната аритметична стойност на тази група (средна група) и се изчислява като проста или претеглена дисперсия за всяка група: 
или 
,
където е броят на единиците в групата.
Въз основа на вътрешногруповите дисперсии за всяка група е възможно да се определи общата средна стойност на дисперсиите в рамките на групата:
.
Връзката между трите дисперсии се нарича правила за добавяне на дисперсии, според която общата дисперсия е равна на сумата от междугруповата дисперсия и средната от вътрешногруповите дисперсии:
Пример. При изследване на влиянието на тарифната категория (квалификация) на работниците върху нивото на производителност на труда им бяха получени следните данни.
Таблица 5 - Разпределение на работниците по средночасова продукция.
№ п/п |
Работници 4-та категория |
Работници от 5-та категория |
|||||
Тренирам |
Тренирам |
||||||
1 |
7 |
7-10=-3 |
9 |
1 |
14 |
14-15=-1 |
1 |
В този пример работниците са разделени на две групи според фактора х- квалификации, които се характеризират с техния ранг. Ефективният признак - производство - варира както под негово влияние (междугрупова вариация), така и поради други случайни фактори (вътрешногрупова вариация). Предизвикателството е да се измерят тези вариации, като се използват три вариации: обща, междугрупова и вътрегрупова. Емпиричният коефициент на детерминация показва съотношението на вариацията на получената характеристика припод влияние на факторен знак х. Останалата част от общата вариация припричинени от промени в други фактори.
В примера емпиричният коефициент на детерминация е: 
или 66,7%,
Това означава, че 66,7% от изменението на производителността на труда на работниците се дължи на различията в квалификацията, а 33,3% се дължи на влиянието на други фактори.
Емпирична корелационна връзкапоказва плътността на връзката между групирането и ефективните характеристики. Изчислява се като корен квадратен от емпиричния коефициент на детерминация:
Емпиричното съотношение на корелация, както и , могат да приемат стойности от 0 до 1.
Ако няма връзка, тогава =0. В този случай =0, т.е. груповите средни са равни едно на друго и няма междугрупова вариация. Това означава, че групиращият признак - факторът не влияе върху формирането на общата вариация.
Ако връзката е функционална, тогава =1. В този случай дисперсията на груповите средни стойности е равна на общата дисперсия (), т.е. няма вътрешногрупова вариация. Това означава, че функцията за групиране напълно определя вариацията на получената характеристика, която се изследва.
Колкото стойността на корелационната връзка е по-близка до единица, толкова по-близо, по-близко до функционалната зависимост е връзката между признаците.
За качествена оценка на близостта на връзката между знаците се използват отношенията на Чадок.
В примера 
, което показва тясна връзка между производителността на работниците и тяхната квалификация.
Където A е условна нула, равна на варианта с максимална честота (средата на интервала с максимална честота), h е стъпката на интервала,
Сервизно задание. Използвайки онлайн калкулатора, средната стойност се изчислява по метода на моментите. Резултатът от решението се изготвя във формат Word.
Инструкция. За да получите решение, трябва да попълните първоначалните данни и да изберете опциите за отчет за форматиране в Word.
Алгоритъм за намиране на средната по метода на моментите
Пример. Разходите за работно време за хомогенна технологична операция се разпределят между работниците, както следва:
Задължително за дефиниране средна стойностразходите за работно време и стандартното отклонение по метода на моментите; коефициентът на вариация; режим и медиана.Таблица за изчисляване на показатели.
| Групи | Среден интервал, x i | Количество, фи | x i f i | Кумулативна честота, S | (x-x ) 2 f |
| 5 - 10 | 7.5 | 20 | 150 | 20 | 4600.56 |
| 15 - 20 | 17.5 | 25 | 437.5 | 45 | 667.36 |
| 20 - 25 | 22.5 | 50 | 1125 | 95 | 1.39 |
| 25 - 30 | 27.5 | 30 | 825 | 125 | 700.83 |
| 30 - 35 | 32.5 | 15 | 487.5 | 140 | 1450.42 |
| 35 - 40 | 37.5 | 10 | 375 | 150 | 2200.28 |
| 150 | 3400 | 9620.83 |
Мода
където x 0 е началото на модалния интервал; h е стойността на интервала; f 2 -честота, съответстваща на модалния интервал; f 1 - премодална честота; f 3 - постмодална честота.
Избираме 20 като начало на интервала, тъй като именно този интервал представлява най-голямото число.
Най-често срещаната стойност на серията е 22,78 min.
Медиана
Медианата е интервалът 20 - 25, т.к в този интервал натрупаната честота S е по-голяма от медианното число (медианата е първият интервал, чиято натрупана честота S надвишава половината от общата сума на честотите).
Така 50% от единиците на съвкупността ще бъдат под 23 минути.
.
Намираме A = 22,5, интервална стъпка h = 5.
Средно квадратни отклонения по метода на моментите.
| x c | x*i | x * i f i | 2 f i |
| 7.5 | -3 | -60 | 180 |
| 17.5 | -1 | -25 | 25 |
| 22.5 | 0 | 0 | 0 |
| 27.5 | 1 | 30 | 30 |
| 32.5 | 2 | 30 | 60 |
| 37.5 | 3 | 30 | 90 |
| 5 | 385 |
мин. 
Стандартно отклонение.
мин.
Коефициентът на вариация- мярка за относителното разпространение на стойностите на съвкупността: показва каква част от средната стойност на това количество е нейното средно разпространение.
Защото v>30%, но v<70%, то вариация умеренная.
Пример
За да оценим серията на разпространение, намираме следните показатели:среднопретеглена стойност
Средната стойност на изследвания признак по метода на моментите.
където A е условна нула, равна на варианта с максимална честота (средата на интервала с максимална честота), h е интервалната стъпка.
4. Четни и нечетни.
В четните вариационни серии сумата от честотите или общият брой наблюдения се изразява като четно число, в нечетните вариационни серии като нечетно число.
5. Симетрични и асиметрични.
В симетрични вариационни серии всички видове средни стойности съвпадат или са много близки (мода, медиана, средно аритметично).
В зависимост от характера на изучаваните явления, от конкретните задачи и цели на статистическото изследване, както и от съдържанието на изходния материал, в санитарната статистика се използват следните видове средни стойности:
Структурни средни (мода, медиана);
средноаритметично;
среден хармоник;
Средната геометрична
средно прогресивен.
Мода (M o) - стойността на променливия признак, който се среща по-често в изследваната популация, т.е. опция, съответстваща на най-високата честота. Намира се директно от структурата на вариационния ред, без да се прибягва до изчисления. Обикновено това е стойност, много близка до средноаритметичната и е много удобна на практика.
Медиана (M e) - разделяне на вариационната серия (класирана, т.е. стойностите на опцията са подредени във възходящ или низходящ ред) на две равни половини. Медианата се изчислява с помощта на така наречената нечетна серия, която се получава чрез последователно сумиране на честотите. Ако сумата от честотите съответства на четно число, тогава медианата условно се приема като средноаритметично от двете средни стойности.
Режимът и медианата се прилагат в случай на отворена популация, т.е. когато най-големите или най-малките опции нямат точна количествена характеристика (например под 15 години, 50 и повече години и др.). В този случай не може да се изчисли средноаритметичната стойност (параметричните характеристики).
Средно аритметично аз аритметика - най-често срещаната стойност. Средната аритметична стойност обикновено се означава с М.
Правете разлика между проста средна аритметична и среднопретеглена стойност.
просто аритметично средно изчислено:
— в случаите, когато съвкупността е представена чрез прост списък от знания за атрибут за всяка единица;
— ако броят на повторенията на всеки вариант не може да бъде определен;
— ако броят на повторенията на всеки вариант е близък един до друг.
Простата средна аритметична стойност се изчислява по формулата:
където V - индивидуални стойности на атрибута; n е броят на отделните стойности; - знак за сумиране.
По този начин простата средна стойност е съотношението на сбора на варианта към броя на наблюденията.
Пример: определяне на средната продължителност на престоя на легло за 10 пациенти с пневмония:
16 дни - 1 пациент; 17–1; 18–1; 19–1; 20–1; 21–1; 22–1; 23–1; 26–1; 31–1.
легло-ден.
Средно аритметично претеглено се изчислява в случаите, когато отделните стойности на характеристиката се повтарят. Може да се изчисли по два начина:
1. Директно (средно аритметично или директен метод) по формулата:
където P е честотата (броят случаи) на наблюдения на всяка опция.
По този начин среднопретеглената аритметична стойност е съотношението на сумата от продуктите на варианта по честота към броя на наблюденията.
2. Чрез изчисляване на отклонения от условната средна (по метода на моментите).
Основата за изчисляване на среднопретеглената аритметична стойност е:
— групиран материал по варианти на количествен признак;
— всички опции трябва да бъдат подредени във възходящ или низходящ ред на стойността на атрибута (класирана серия).
За да се изчисли по метода на моментите, необходимото условие е еднакъв размер на всички интервали.
Според метода на моментите средноаритметичната стойност се изчислява по формулата:
,
където M o е условната средна стойност, която често се приема като стойност на характеристиката, съответстваща на най-високата честота, т.е. който се повтаря по-често (Режим).
i - стойност на интервала.
а - условно отклонение от условията на средната, което представлява последователна поредица от числа (1, 2 и т.н.) със знак + за опцията за голяма условна средна и със знак - (-1, -2 и т.н.) .) за опцията, които са под средните. Условното отклонение от варианта, взет за условно средно, е 0.
P - честоти.
Общият брой наблюдения или n.
Пример: определете директно средната височина на 8-годишните момчета (таблица 1).
маса 1
|
Височина в см |
Момчета П |
Централна вариант V |
|
Централният вариант, средата на интервала, се определя като полусума от началните стойности на две съседни групи:
; 
и т.н.
Продуктът VP се получава чрез умножаване на централните варианти по честотите; и т.н. След това получените продукти се добавят и се получават 
, което се разделя на броя наблюдения (100) и се получава среднопретеглената аритметична стойност.
см.
Ще решим същата задача с помощта на метода на моментите, за което е съставена следната таблица 2:
Таблица 2
|
Височина в cm (V) |
Момчета П |
||
Приемаме 122 като M o, защото от 100 наблюдения 33 души са с ръст 122 см. Намираме условните отклонения (а) от условната средна в съответствие с горното. След това получаваме произведението на условните отклонения по честоти (aP) и обобщаваме получените стойности (). Резултатът ще бъде 17. Накрая заместваме данните във формулата.
Имот 1.Средната аритметична константа е равна на тази константа: at
Имот 2.Алгебричната сума на отклоненията на отделните стойности на атрибута от средната аритметична е нула: 
за негрупирани данни и 
за разпределителни редове.
Това свойство означава, че сумата от положителните отклонения е равна на сумата от отрицателните отклонения, т.е. всички отклонения, дължащи се на случайни причини, взаимно се компенсират.
Имот 3.Сумата от квадратните отклонения на отделните стойности на атрибута от средноаритметичното е минималното число: 
за негрупирани данни и 
за разпределителни редове. Това свойство означава, че сумата от квадратните отклонения на отделните стойности на черта от средната аритметична винаги е по-малка от сумата на отклоненията на вариантите на чертата от всяка друга стойност, дори ако се различава малко от средната.
Второто и третото свойство на средноаритметичното се използват за проверка на правилността на изчисляването на средната стойност; при изучаване на моделите на промени в нивата на поредица от динамика; за намиране на параметрите на регресионното уравнение при изучаване на корелацията между характеристиките.
И трите първи свойства изразяват съществените характеристики на средното като статистическа категория.
Следните свойства на средната стойност се считат за изчислителни, тъй като имат известно практическо значение.
Имот 4.Ако всички тегла (честоти) се разделят на някакво постоянно число d, тогава средното аритметично няма да се промени, тъй като това намаление ще засегне еднакво както числителя, така и знаменателя на формулата за изчисляване на средната стойност.
От това свойство следват две важни следствия.
Следствие 1.Ако всички тегла са равни, тогава изчисляването на среднопретеглената аритметична стойност може да бъде заменено с изчисляването на простата средна аритметична стойност.
Следствие 2. Абсолютните стойности на честотите (тегла) могат да бъдат заменени с техните специфични тегла.
Имот 5.Ако всички опции се разделят или умножат по някакво постоянно число d, тогава средното аритметично ще намалее или се увеличи с d пъти.
Имот 6.Ако всички опции се намалят или увеличат с постоянно число А, тогава подобни промени ще настъпят със средната стойност.
Приложените свойства на средноаритметичното могат да бъдат илюстрирани чрез прилагане на метода за изчисляване на средната от условното начало (метод на моментите).
Средно аритметично по пътя на моментитеизчислено по формулата:
където A е средата на всеки интервал (предпочитание се дава на централния);
d е стойността на равния интервал или най-големия кратен делител на интервалите;
m 1 е моментът от първи ред.
Момент на първи редсе определя, както следва:
.
Ще илюстрираме техниката на прилагане на този метод на изчисление, като използваме данните от предишния пример.
Таблица 5.6
| Трудов стаж, години | Брой работници | Интервал x | |||
| до 5 | 2,5 | -10 | -2 | -28 | |
| 5-10 | 7,5 | -5 | -1 | -22 | |
| 10-15 | 12,5 | ||||
| 15-20 | 17,5 | +5 | +1 | +25 | |
| 20 и повече | 22,5 | +10 | +2 | +22 | |
| Обща сума | х | х | х | -3 |
Както се вижда от изчисленията, дадени в табл. 5.6 една от техните стойности 12.5 се изважда от всички опции, което е равно на нула и служи като условна отправна точка. В резултат на разделяне на разликите на стойността на интервала - 5, се получават нови варианти.
Според резултатите от табл. 5.6 имаме: 
.
Резултатът от изчисленията по метода на моментите е подобен на резултата, получен с помощта на основния метод на изчисление чрез среднопретеглената аритметична стойност.
Структурни средни
За разлика от средните стойности на степента, които се изчисляват въз основа на използването на всички варианти на стойностите на атрибутите, структурните средни действат като специфични стойности, които съвпадат с добре дефинирани варианти на сериите на разпределение. Модата и медианата характеризират стойността на варианта, заемащ определена позиция в диапазонираната вариационна серия.
Модае стойността на характеристиката, която се среща най-често в тази популация. В серията вариации това ще бъде вариантът с най-висока честота.
Намиране на режим в дискретна серияразпределението не изисква изчисления. Като погледнете колоната за честота, намерете най-високата честота.
Например разпределението на работниците в едно предприятие по квалификация се характеризира с данните в табл. 5.7.
Таблица 5.7
Най-високата честота в тази серия на разпределение е 80, което означава, че режимът е равен на четвъртата цифра. Следователно най-често се срещат работници с четвърта категория.
Ако серията на разпределение е интервална, тогава само модалният интервал се задава от най-високата честота и след това режимът вече се изчислява по формулата:
,
където е долната граница на модалния интервал;
е стойността на модалния интервал;
е честотата на модалния интервал;
е честотата на премодалния интервал;
е честотата на постмодалния интервал.
Изчисляваме режима според данните, дадени в табл. 5.8.
Таблица 5.8
Това означава, че най-често предприятията имат печалба от 726 милиона рубли.
Практическото приложение на модата е ограничено.Те се ръководят от значението на модата при определяне на най-популярните размери обувки и облекла при планиране на тяхното производство и продажба, при изучаване на цените на пазарите на едро и дребно (метод на основния масив). Режимът се използва вместо средната стойност при изчисляване на възможните запаси от добив.
Медианасъответства на варианта в центъра на класираната серия на разпространение. Това е стойността на характеристиката, която разделя цялата популация на две равни части.
Позицията на медианата се определя от нейния номер (N).
където е броят на единиците на съвкупността. Използваме данните от примера, даден в табл. 5.7 за определяне на медианата.
, т.е. медианата е равна на средноаритметичната стойност на 100-та и 110-та стойност на характеристиката. Въз основа на натрупаните честоти определяме, че 100-та и 110-та единица от серията имат стойност на характеристиката, равна на четвъртата цифра, т.е. медианата е четвъртата цифра.
Медианата в интервалния ред на разпределението се определя по следния ред.
1. Натрупаните честоти се изчисляват за тази класирана серия на разпределение.
2. Въз основа на натрупаните честоти се установява среден интервал. Намира се там, където първата кумулативна честота е равна или по-голяма от половината от населението (от всички честоти).
3. Медианата се изчислява по формулата:
,
където е долната граница на средния интервал;
– интервална стойност;
е сумата от всички честоти;
е сумата от натрупаните честоти, предхождащи средния интервал;
е честотата на средния интервал.
Изчислете медианата според таблицата. 5.8.
Първата натрупана честота, която е равна на половината от населението 30, означава, че медианата е в диапазона 500-700.
Това означава, че половината от предприятията реализират печалба до 676 милиона рубли, а другата половина над 676 милиона рубли.
Медианата често се използва вместо средната, когато популацията е хетерогенна, тъй като не се влияе от екстремните стойности на атрибута. Практическото приложение на медианата също е свързано със свойството й за минималност. Абсолютната сума на отклоненията на отделните стойности от медианата е най-малката стойност. Следователно медианата се използва в изчисленията при проектиране на местоположението на обекти, които ще се използват от различни организации и лица.
