AG.40. Разстояние между две пресичащи се линии
В координати 
FMP.3. ПЪЛНО УВЕЛИЧЕНИЕ
функции на няколко променливи - увеличението, получено от функцията, когато всички аргументи получат (обикновено ненулеви) увеличения. По-точно, нека функцията f е дефинирана в околност на точката
n-мерно пространство от променливи х 1,. . ., x p.Увеличаване
функция f в точката x (0) , където
Наречен пълно увеличение, ако се разглежда като функция от n възможни увеличения D х 1, . . ., Д x nаргументи x 1, . .., x p,само при условие, че точката x (0) + Dx принадлежи към домейна на функцията f. Заедно с линейните увеличения на функциите, ние разглеждаме частични увеличения D x k fфункция f в точката x (0) в променливата x k,т.е. такива увеличения Df, за които Dx yj =0, j=1, 2, . . ., к- 1, k+1, . . ., n, k -фиксиран (k=1, 2, . . ., n).
FMP.4. A: Частичното увеличение на функцията z \u003d (x, y) по отношение на x е разликата с частичното увеличение по отношение на
A: Частичната производна по отношение на x на функцията z \u003d (x, y) е границата на съотношението на частичното увеличение към увеличението Ax, когато последното клони към нула:
Други обозначения: По същия начин за променливи
ноа ти. 
Забелязвайки, че се определя при константа y и - при константа x, можем да формулираме правилото: частната производна по отношение на x на функцията z \u003d (x, y) е обичайната производна по отношение на x, изчислена по предположение, че y \u003d const. По същия начин, за да се изчисли частната производна по отношение на y, трябва да се вземе предвид x = const. По този начин правилата за изчисляване на частични производни са същите като в случай на функция на една променлива.
FMP.5. Непрекъснатост на функциите. Определяне на непрекъснатостта на функция
Функцията , се нарича непрекъсната в точката , ако е изпълнено едно от еквивалентните условия:
2) за произволна последователност ( x n) стойности, сближаващи се при н→ ∞ до точка х 0, съответната последователност ( f(x n)) стойностите на функцията се сближават за н→ ∞ към f(х 0);
3) или f(х) - f(х 0) → 0 като х - х 0 → 0;
4) така че или, което е същото,
f: ]х 0 - δ , х 0 + δ [ → ]f(х 0) - ε , f(х 0) + ε [.
От определението за непрекъснатост на функция fв точката х 0 следва това
Ако функцията fнепрекъснато във всяка точка от интервала] а, b[, след това функцията fНаречен непрекъснато на този интервал.
FMP.6. AT математически анализ, частична производна- едно от обобщенията на понятието производна за случая на функция на няколко променливи.
Изрично, частната производна на функцията fсе определя, както следва:
Функционална графика z = х² + xy + г². Частична производна в точка (1, 1, 3) при константа гсъответства на ъгъла на наклона на допирателната, успоредна на равнината xz.
Раздели на графиката, показана по-горе с равнина г= 1
Имайте предвид, че нотацията трябва да се разбира като цялосимвол, за разлика от обичайната производна на функция на една променлива, която може да бъде представена като съотношение на диференциалите на функцията и аргумента. Въпреки това, частната производна може да бъде представена и като отношение на диференциали, но в този случай е необходимо да се посочи с коя променлива се увеличава функцията: , където d x fе частичният диференциал на функцията f по отношение на променливата x. Често неразбирането на факта за целостта на символа е причина за грешки и недоразумения, като например съкращение в израз. (за подробности вижте Fikhtengolts, "Курс на диференциалното и интегралното смятане").
Геометрично, частната производна е производната по посока на една от координатните оси. Частична производна на функция fв точка по координата x kе равна на производната по посоката, в която стои единицата к-то място.
LA 76) Сист. ur-tion се нарича Крамер, ако броят на уравненията е равен на броя на неизвестните.
LA 77-78) Syst. се нарича съвместно, ако има поне едно решение, и несъвместимо в противен случай.
LA 79-80) Ставна система. се нарича определено, ако има само едно решение, и неопределено в противен случай.
LA 81) ... детерминантата на системата на Крамер беше различна от нула
LA 169) За да бъде системата непротиворечива, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата да бъде равен на ранга на разширената матрица = .
LA 170) Ако детерминантата на системата на Крамер е различна от нула, тогава системата е дефинирана и нейното решение може да се намери по формулите 
LA 171) 1. Намерете решението на системата от уравнения на Крамер по матричния метод; 2.. Нека напишем системата в матрична форма; 3. Изчислете детерминантата на системата, като използвате нейните свойства: 4. След това запишете обратната матрица A-1; 5. Следователно
LA 172) Хомогенна система от линейни уравнения AX = 0. Хомогенната система е винаги последователна, защото има поне едно решение
LA 173) Ако поне една от детерминантите , , не е равна на нула, то всички решения на система (1) ще се определят по формулите , , , където t е произволно число. Всяко отделно решение се получава при определена стойност на t.
LA 174) Множеството от решения е хомогенно. системите се наричат фундаментална система от решения, ако: 1) са линейно независими; 2) всяко решение на системата е линейна комбинация от решения.
AG118. Общото уравнение на равнината е...
Уравнението на равнината на изгледа се нарича общото уравнение на равнината.
AG119.Ако равнината a е описана от уравнението Ax+D=0, тогава...
PR 10.Какво е безкрайно малко количество и кои са основните му свойства?
OL 11. Какво се нарича безкрайно голямо? Каква е връзката й
с безкрайно малко?
PR12.KКоя ограничаваща връзка се нарича първа забележителна граница? Първата забележителна граница е граничната връзка
OL 13Коя ограничаваща връзка се нарича втората забележителна граница?
OL 14Какви двойки еквивалентни функции познавате?
CR64Какво представлява хармоничната серия? При какво условие се сближава?
Сериите на един вид се наричат хармоничен.
CR 65.Каква е сумата на безкрайна намаляваща прогресия?
CR66.Какво твърдение има предвид първата теорема за сравнение?
Нека има два положителни реда
Ако, поне от определена точка (да речем, за ), следва следното неравенство: , тогава сходимостта на реда предполага сходимост на реда или, което е същото, разминаването на реда следва от дивергенцията на серия.
CR67. Какво твърдение има предвид втората теорема за сравнение?
Нека се преструваме, че. Ако има ограничение
тогава двете серии се събират или разминават едновременно.
CR 45Формулирайте необходимия критерий за сходимост на редицата.
Ако редицата има крайна сума, тогава тя се нарича конвергентна.
CR 29Хармоничната серия е серия от формата.... Сближава се, когато
Сериите на един вид се наричат хармоничен.По този начин хармоничната серия се събира при и се разминава при .
AG 6. Подредена система от линейно независими вектори, лежащи на дадена права (в дадена равнина, в пространството), се нарича база на тази права (на тази равнина, в пространството), ако всеки вектор, лежащ на дадена права (в дадена равнина, пространство) ) може да се представи като линейна комбинация от вектори на тази линейно независима система.
Всяка двойка неколинеарни вектори, лежащи в дадена равнина, образува основа в тази равнина.
AG 7. Подредена система от линейно независими вектори, лежащи на дадена права (в дадена равнина, в пространството), се нарича база на тази права (на тази равнина, в пространството), ако всеки вектор, лежащ на дадена права (в дадена равнина, пространство) ) може да се представи като линейна комбинация от вектори на тази линейно независима система.
Всяка тройка от некомпланарни вектори образува основа в пространството.
AG 8, Коефициентите в разширението на вектор по базис се наричат координати на този вектор в даден базис. За да се намерят координатите на вектор с дадени начало и край, е необходимо да се извадят координатите на началото му от координатите на края на вектора: ако , , то .
AG 9.a)Нека построим вектор (вектор с начало в точката и край в точката се нарича точков радиус вектор ).
AG 10. Не, защото радианната мярка на ъгъла между два вектора винаги е затворена между и
AG 11. Скалар е всяко реално число. Точков продуктдва вектора и се нарича число, равно на произведението на техните модули и косинуса на ъгъла между тях.
AG 12. можем да изчислимразстояние между точките, базисни вектори, ъгъл между векторите.
AG 13. Кръстосаното произведение на вектор по вектор е третият вектор, който има следните свойства:
Дължината му е 
Векторът е перпендикулярен на равнината, съдържаща векторите и
ПРЕСЕЧАНЕ НА ПРАВИ Голям енциклопедичен речник
пресичащи се линииса прави в пространството, които не лежат в една равнина. * * * ПРЕКЪСВАНЕ НАПРАВЯ ПРЕСИЧВАНЕ ПРАВО, прави линии в пространството, които не лежат в една и съща равнина ... енциклопедичен речник
Кръстосани линииса прави в пространството, които не лежат в една равнина. През S. p. могат да се начертаят паралелни равнини, разстоянието между които се нарича разстояние между S. p. То е равно на най-късото разстояние между точките на S. p ... Велика съветска енциклопедия
ПРЕСЕЧАНЕ НА ПРАВИса прави в пространството, които не лежат в една равнина. Ъгълът между S. p. всеки от ъглите между две успоредни прави, минаващи през произволна точка в пространството. Ако a и b са насочващи вектори на S. p., тогава косинусът на ъгъла между S. p ... Математическа енциклопедия
ПРЕСЕЧАНЕ НА ПРАВИ- линии в пространството, които не лежат в една и съща равнина ... Естествени науки. енциклопедичен речник
Паралелни линии- Съдържание 1 В евклидовата геометрия 1.1 Свойства 2 В геометрията на Лобачевски ... Wikipedia
Ултрапаралелни линии- Съдържание 1 В евклидовата геометрия 1.1 Свойства 2 В геометрията на Лобачевски 3 Вижте също ... Wikipedia
ГЕОМЕТРИЯ НА РИМАН- елиптична геометрия, една от неевклидовите геометрии, т.е. геометрична, теория, основана на аксиоми, изискванията за които са различни от изискванията на аксиомите на евклидовата геометрия. За разлика от евклидовата геометрия в R. g. ... ... Математическа енциклопедия
В тази статия първо ще дефинираме ъгъла между косите линии и ще дадем графична илюстрация. След това отговаряме на въпроса: „Как да намерим ъгъла между косите линии, ако са известни координатите на векторите на посоката на тези линии в правоъгълна координатна система“? В заключение ще се упражним да намираме ъгъла между косите прави при решаване на примери и задачи.
Навигация в страницата.
Ъгъл между косите прави - определение.
Постепенно ще се доближим до дефинирането на ъгъла между пресичащите се прави.
Нека първо си припомним дефиницията на косите линии: две линии в триизмерното пространство се наричат кръстосванеако не лежат в една равнина. От това определение следва, че косите линии не се пресичат, не са успоредни и освен това не съвпадат, в противен случай и двете биха лежали в някаква равнина.
Представяме някои допълнителни спомагателни аргументи.
Нека в тримерното пространство са дадени две пресичащи се прави a и b. Нека построим правите a 1 и b 1 така, че да са успоредни съответно на косите прави a и b и да минават през някаква точка от пространството M 1 . Така ще получим две пресичащи се прави a 1 и b 1 . Нека ъгълът между пресичащите се прави a 1 и b 1 е равен на ъгъла . Сега нека построим прави a 2 и b 2 , успоредни съответно на коси прави a и b, минаващи през точката M 2 , която е различна от точката M 1 . Ъгълът между пресичащите се прави a 2 и b 2 също ще бъде равен на ъгъла. Това твърдение е вярно, тъй като линиите a 1 и b 1 ще съвпаднат съответно с линиите a 2 и b 2, ако извършите паралелен трансфер, при който точката M 1 отива към точката M 2. Така мярката на ъгъла между две прави, пресичащи се в точка М, съответно успоредни на дадените коси прави, не зависи от избора на точка М.
Вече сме готови да определим ъгъла между косите линии.
Определение.
Ъгъл между наклонени линиие ъгълът между две пресичащи се прави, които са съответно успоредни на дадените коси прави.
От дефиницията следва, че ъгълът между косите прави също няма да зависи от избора на точка M . Следователно, като точка M, можете да вземете всяка точка, принадлежаща на една от косите линии.
Даваме илюстрация на дефиницията на ъгъла между косите линии.
Намиране на ъгъла между косите линии.
Тъй като ъгълът между пресичащите се прави се определя чрез ъгъла между пресичащите се прави, намирането на ъгъла между пресичащите се прави се свежда до намиране на ъгъла между съответните пресичащи се прави в триизмерното пространство.
Несъмнено методите, изучавани в уроците по геометрия в гимназия. Тоест, след като завършите необходимите конструкции, е възможно да свържете желания ъгъл с всеки ъгъл, известен от условието, въз основа на равенството или сходството на фигурите, в някои случаи това ще помогне косинусова теорема, а понякога води и до резултата определение на синус, косинус и тангенс на ъгълправоъгълен триъгълник.
Въпреки това е много удобно да се реши проблемът с намирането на ъгъла между косите линии с помощта на метода на координатите. Това ще разгледаме.
Нека Oxyz бъде въведен в триизмерно пространство (обаче, в много задачи той трябва да бъде въведен независимо).
Нека си поставим задачата: да намерим ъгъла между пресичащите се прави a и b, които съответстват на някои уравнения на правата в пространството в правоъгълната координатна система Oxyz.
Нека го решим.
Да вземем произволна точка от тримерното пространство M и да приемем, че през нея минават правите a 1 и b 1, успоредни съответно на пресичащите се прави a и b. Тогава търсеният ъгъл между пресичащите се прави a и b е равен на ъгъла между пресичащите се прави a 1 и b 1 по дефиниция.
Така че ни остава да намерим ъгъла между пресичащите се прави a 1 и b 1 . За да приложим формулата за намиране на ъгъла между две пресичащи се прави в пространството, трябва да знаем координатите на насочващите вектори на правите a 1 и b 1 .
Как можем да ги получим? И това е много просто. Дефиницията на насочващия вектор на права линия ни позволява да твърдим, че множествата на насочващите вектори на успоредни прави линии съвпадат. Следователно като насочващи вектори на правите a 1 и b 1 можем да вземем насочващите вектори 
и 
прави a и b, съответно.
Така, ъгълът между две пресичащи се прави a и b се изчислява по формулата 
, където и са насочващите вектори на правите a и b, съответно.
Формула за намиране на косинуса на ъгъла между наклонени прави a и b има формата 
.
Позволява ви да намерите синуса на ъгъла между косите линии, ако косинусът е известен: 
.
Остава да анализираме решенията на примерите.
Пример.
Намерете ъгъла между косите прави a и b , които са определени в правоъгълната координатна система Oxyz от уравненията 
и 
.
Решение.
Каноничните уравнения на права линия в пространството ви позволяват незабавно да определите координатите на насочващия вектор на тази права линия - те се дават с числа в знаменателите на дроби, т.е. 
. Параметричните уравнения на права линия в пространството също позволяват незабавно записване на координатите на вектора на посоката - те са равни на коефициентите пред параметъра, т.е. 
- вектор на посоката прав . Така имаме всички необходими данни, за да приложим формулата, по която се изчислява ъгълът между косите линии: 
Отговор:
Ъгълът между дадените коси линии е .
Пример.
Намерете синуса и косинуса на ъгъла между косите прави, на които лежат ръбовете AD и BC на пирамидата ABCD, ако са известни координатите на нейните върхове:.
Решение.
Насочващите вектори на пресичащите се прави AD и BC са векторите и . Нека изчислим техните координати като разликата между съответните координати на крайната и началната точка на вектора: 
Според формулата 
можем да изчислим косинуса на ъгъла между дадените наклонени линии:
Сега изчисляваме синуса на ъгъла между косите линии: 
Отговор:
В заключение разглеждаме решението на задача, в която се изисква да се намери ъгълът между косите линии, а правоъгълната координатна система трябва да бъде въведена независимо.
Пример.
Даден е правоъгълен паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, в който AB=3 , AD=2 и AA 1 =7 единици. Точка E лежи на ръба AA 1 и го разделя спрямо 5 към 2, считано от точка A. Намерете ъгъла между косите прави BE и A 1 C.
Решение.
Тъй като ръбовете на кубоид в един връх са взаимно перпендикулярни, е удобно да се въведе правоъгълна координатна система и да се определи ъгълът между посочените коси линии, като се използва методът на координатите чрез ъгъла между векторите на посоката на тези линии.
Нека въведем правоъгълна координатна система Oxyz по следния начин: нека началото съвпада с върха A, оста Ox съвпада с правата AD, оста Oy с правата AB и оста Oz с правата AA 1.
Тогава точка B има координати, точка E - (ако е необходимо, вижте статията), точка A 1 - и точка C -. От координатите на тези точки можем да изчислим координатите на векторите и . Ние имаме 
, 
.
Остава да се приложи формулата за намиране на ъгъла между косите линии според координатите на векторите на посоката: 
Отговор:
Библиография.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Е.Г. Геометрия. Учебник за 10-11 клас на средното училище.
- Погорелов А.В., Геометрия. Учебник за 7-11 клас на учебните заведения.
- Бугров Я.С., Николски С.М. Висша математика. Том първи: Елементи на линейната алгебра и аналитичната геометрия.
- Илин В.А., Позняк Е.Г. Аналитична геометрия.
Правите l1 и l2 се наричат пресичащи се, ако не лежат в една равнина. Нека a и b са насочващите вектори на тези прави, а точките M1 и M2 принадлежат съответно на правите и l1 и l2
Тогава векторите a, b, M1M2> не са компланарни и следователно тяхното смесено произведение не е равно на нула, т.е. (a, b, M1M2>) =/= 0. Обратното също е вярно: ако (a, b, M1M2> ) =/= 0, тогава векторите a, b, M1M2> не са компланарни и, следователно, правите l1 и l2 не лежат в една и съща равнина, т.е., те се пресичат. По този начин две прави се пресичат, ако и само ако условие(a, b, M1M2>) =/= 0, където a и b са насочващите вектори на правите, а M1 и M2 са точките, принадлежащи съответно на дадените прави. Условието (a, b, M1M2>) = 0 е необходимо и достатъчно условие правите да лежат в една равнина. Ако линиите са дадени от техните канонични уравнения
тогава a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) и условие (2) се записва по следния начин:
Разстояние между пресичащите се линии
това е разстоянието между една от косите линии и равнина, успоредна на нея, минаваща през другата права Разстоянието между косите линии е разстоянието от някаква точка на една от косите линии до равнина, минаваща през другата права, успоредна на първият ред.
26. Дефиниция на елипса, канонично уравнение. Извеждане на каноничното уравнение. Имоти.
Елипса е геометричното място на точки в равнина, за която сумата от разстоянията до две фокусирани точки F1 и F2 на тази равнина, наречени фокуси, е постоянна стойност.Това не изключва съвпадението на фокусите на елипсата.координат система, така че елипсата ще бъде описана от уравнението (каноничното уравнение на елипсата): 
Описва елипса с център в началото, чиито оси съвпадат с координатните оси.
Ако от дясната страна има единица със знак минус, тогава полученото уравнение: 
описва въображаема елипса. Невъзможно е да се начертае такава елипса в реалната равнина.Нека означим фокусите като F1 и F2, а разстоянието между тях като 2c, а сумата от разстоянията от произволна точка на елипсата до фокусите като 2a
За да изведем уравнението на елипсата, избираме координатната система Oxy така, че фокусите F1 и F2 да лежат на оста Ox, а началото на координатите да съвпада със средата на сегмента F1F2. Тогава фокусите ще имат следните координати: u Нека M(x; y) е произволна точка от елипсата. Тогава, според определението за елипса, т.е.
Това всъщност е уравнението на елипса.
27. Дефиниция на хипербола, канонично уравнение. Извеждане на каноничното уравнение. Имоти
Хиперболата е геометрично място на точки в равнина, за която абсолютната стойност на разликата между разстоянията до две фиксирани точки F1 и F2 от тази равнина, наречени фокуси, е константа. Нека M(x;y) е произволна точка на хиперболата. Тогава според дефиницията на хипербола |MF 1 – MF 2 |=2a или MF 1 – MF 2 =±2a,
28. Дефиниция на парабола, канонично уравнение. Извеждане на каноничното уравнение. Имоти. Парабола е GMT на равнина, за която разстоянието до някаква фиксирана точка F на тази равнина е равно на разстоянието до някаква фиксирана права линия, също разположена в разглежданата равнина. F е фокусът на параболата; фиксираната права е директрисата на параболата. r=d, 
r=; d=x+p/2; (x-p/2) 2 +y 2 =(x+p/2) 2; x 2 -xp + p 2 / 4 + y 2 \u003d x 2 + px + p 2 / 4; г 2 =2px;
Имоти: 1. Параболата има ос на симетрия (оста на параболата); 2. Всички
параболата е разположена в дясната полуравнина на равнината Oxy при p>0, а в лявата
ако p<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.
| " |
Лекция: Пресечни, успоредни и коси прави; перпендикулярност на линиите
пресичащи се линии
Ако в равнината има няколко прави линии, тогава рано или късно те ще се пресичат произволно, или под прав ъгъл, или ще бъдат успоредни. Нека да разгледаме всеки случай.
Пресичащите се линии са тези линии, които имат поне една пресечна точка.
Може да попитате защо поне една линия не може да пресича друга линия два или три пъти. Прав си! Но линиите могат напълно да съвпадат една с друга. В този случай ще има безкраен брой общи точки.
Паралелизъм
Паралеленчовек може да назове онези линии, които никога няма да се пресичат, дори в безкрайност.
С други думи, паралелни са тези, които нямат нито една обща точка. Моля, обърнете внимание, че това определение е валидно само ако линиите са в една и съща равнина, но ако нямат общи точки, тъй като са в различни равнини, тогава те се считат за пресичащи се.
Примери за успоредни линии в живота: два срещуположни ръба на екрана на монитора, линии в тетрадки, както и много други части на неща, които имат квадратна, правоъгълна и други форми.
Когато искат да покажат писмено, че една права линия е успоредна на втората, тогава се използва следното обозначение a||b. Тази нотация казва, че права a е успоредна на права b.
Когато изучавате тази тема, е важно да разберете още едно твърдение: през някаква точка от равнината, която не принадлежи на дадена права, може да се начертае една успоредна права. Но обърнете внимание, отново корекцията е в самолета. Ако разгледаме триизмерното пространство, тогава е възможно да начертаем безкраен брой линии, които няма да се пресичат, но ще се пресичат.
Изявлението, описано по-горе, се нарича аксиома за успоредни прави.
Перпендикулярност
Директните линии могат да бъдат извикани само ако перпендикуляренако се пресичат под ъгъл 90 градуса.
В пространството, през определена точка на една права, могат да бъдат начертани безкраен брой перпендикулярни прави. Ако обаче говорим за равнина, тогава през една точка на права може да се начертае една перпендикулярна права.
Кръстосани линии. Секуща
Ако някои линии се пресичат в дадена точка под произволен ъгъл, те могат да бъдат наречени кръстосване.
Всички пресичащи се линии имат вертикални ъгли и съседни.
Ако ъглите, образувани от две пресичащи се прави, имат една обща страна, тогава те се наричат съседни:
Сумата на съседните ъгли е 180 градуса.
