Умножение на матрици: примери, алгоритъм на действия, свойства на продукта. Матрични операции Умножение на матрици от 3-ти ред

Матрицата се определя като правоъгълна маса , геометрично е правоъгълник с размери и . Две матрици - два правоъгълника: с размери и , с размери и . При разглеждане на операцията за добавяне на матрици беше установено изискване за съответствие на размерите на правоъгълниците: =, =. Това изискване осигурява взаимодействието на матриците във векторни системи:

=
-
- …-
- верига от струни

=
-
- …-
- верига от колони,

Освен това, ако матрицата представени на диаграмата , след това матрицата трябва да бъдат представени в същата диаграма. Но най-важното: матриците взаимодействат с групи от елементи - вектори!

Ако дефинираме операцията на матрично умножение във формата: · =, тогава възниква въпросът: колко реда и колони има матрицата ? Това определи само две възможни схеми за взаимодействие на матриците по време на тяхното умножение:

1* : ляв матричен ред ↔ дясна матрична колона,

2* : лява колона на матрицата ↔ десен ред на матрицата.

За схема 1* : в матрица . За схема 2* : в матрица толкова реда, колкото е матрицата , толкова колони, колкото е матрицата .

На практика използването на схемата 1* , което е съкратено като правило: ред колона .

Коментирайте: От дефиницията на произведението на матрици следва: елемент е равно на скаларното произведение на низа- матрици на колона- матрици .

Свойства на операцията умножение на матрица по матрица :

1* .
≠
- не комутативен (не комутативен);

2* .
=
=
- асоциативен (асоциативен).

3* .
=
+
- разпределителен (разпределителен).

Коментирайте: забележка: в собственост 1* в общия случай може да се окаже, че матрицата
съществува и матрицата
не съществува!

Във връзка с въвеждането на операцията на матрично произведение възниква въпросът: как да се извърши произведението на матриците и за да получите матрица, транспонирана по отношение на матрицата . Ако означим транспонираните матрици като:
,
и
, то следната теорема е вярна.

1) Представете си произведението на матриците:
като схема за изчисление на елемента матрици :

2). Като вземем предвид определението за транспониране на матрица, представяме и равенството
=
под формата на подобна схема:

Виждаме: елемент матрици
равен на елемент C.◄ матрици

Коментирайте: Дефиницията на транспонирането на матрица и доказаната теорема за транспонирането на произведението на матриците ще бъдат използвани многократно при разглеждане на детерминанти и матрици на линейни трансформации във векторни пространства.

Пример 4–05 : Изчислете произведението на матрици: ° С =А б =

.

Решение:

А и б :

° С б ;

° С б ;

Използването на технологичен шаблон под формата на таблица ще ви позволи да разработите алгоритъма за изчисляване на произведението на матриците и да предпазите от грешки в изчисленията. Нека проследим изчислението на колона-1 на матрицата ° С: =
, =
.

Отговор: ° С=
.

Пример 4–06 : Изчислете произведението на матрици: ° С =А б =

.

Решение:

Таблицата показва схемата за изчисляване на произведението на матриците А и б :

▫ за изчисляване на колона-1 на матрица ° С над матрицата поставяме колона-1 на матрицата б ;

▫ за изчисляване на матрица колона-2 ° С над матрицата поставяме колона-2 на матрицата б ;

° С б ;

° С:

=, =, =.

Отговор: =
.

Пример 4–07 ° С=Аб=

.

Решение:

Таблицата показва схемата за изчисляване на произведението на матриците А и б :

▫ за изчисляване на колона-1 на матрица ° С над матрицата поставяме колона-1 на матрицата б ;

▫ за изчисляване на матрица колона-2 ° С над матрицата поставяме колона-2 на матрицата б ;

▫ за изчисляване на матрица колона-3 ° С над матрицата поставяме колона-3 от матрицата б ;

▫ за изчисляване на матрица колона-4 ° С над матрицата поставяме колона-4 от матрицата б .

(Продължение на таблицата).

Виждаме отговора от таблицата. Нека проследим изчислението на колона-1 на матрицата ° С:

=, =,

=, =.

Отговор: ° С=
.

Пример 4–08 :Compute: ° С=
, ако А =
.

Решение:

1) Нека напишем верига от ред-вектори на матрицата А:

(,0,0,...,0,...,0), (0,,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,...,),

и го умножете (скаларно) по колоната- матрици А: (0,0, 0, ... , ,...,0). Лесно се вижда това в матрицата ° С=
=
колона- приема формата (0,0, 0, ... , ,...,0). Това означава, че веригата от ред-вектори на матрицата ° С =
ще приеме формата:

(,0,0,...,0,...,0), (0, , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

2) Ако сега изчислим ° С=
=
, след това веригата от вектори-редове на матрицата ° С =
ще приеме формата:

(,0,0,...,0,...,0), (0, ,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,..., , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

3) Прилагане на метода на математическата индукция, за матрицата ° С =
можем да напишем:

(,0,0,...,0,...,0), (0, ,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,..., , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

Отговор: ° С=
.

Пример 4–09 : Докажете, че ако матриците Аи б- квадрат, и
≠
, тогава следните твърдения винаги са верни: a);

Решение:

1) Като се има предвид разпределителното свойство на матричното умножение:
=
+
, ние пишем:

.

2) Като се има предвид разпределителното свойство на матричното умножение:
=
+
, ние пишем:

.

Отговор: доказано.

Пример 4–10 : Намерете всички матрици, работещи с матрица: =.

Решение:

1) Нека имаме матрица: , така че
=
. Като се има предвид правилото за умножение на матрици, лесно е да се види, че умножението на тези матрици е възможно само ако матрицата - квадрат и същия размер като матрицата .

2) Да приемем: =
, и напишете израза
=
:

° С=Аб.

Виждаме отговора от таблицата.

3) Сега пишем израза
=
:

Таблицата показва схемата за изчисляване на произведението на матриците д=бА.

Виждаме отговора от таблицата.

4) Нека използваме равенството:
→ получаваме уравнения за изчисляване на матрицата :

3 а + д =3 а → д =0; 3 д + ж =3 д → ж =0; 3 b + д =a+ 3b → д =а ; 3 д + ч =d+ 3e → ч =0;

3 ч =g+ 3h → ч =ч ; 3 ° С + f =b+ 3c → f =b ; 3 f + к =e+ 3f → к =д ; 3 к =h+ 3k → ч =0.

5) Използвайки получените уравнения, можем да напишем: =
.

Отговор: =
.

Пример 4–11 :Докажете, че матрицата: =
удовлетворява уравнението: –(а+д) х+реклама–
=0.

Решение:

Коментирайте: въпросният пример е интересен с това, че демонстрира участие в матричен израз скаларен матрици:
=
.

1) Изчислете:
=

=
;
=
.

2) Заместете матрицата в уравнението : , или:

–
+
=
.

Отговор: доказано.

Пример 4–12 :Изчислете произведението на матрици: А= (4 0 -2 3 1) и б=: а) AB; б) BA.

Коментирайте: разглежданият пример е интересен с това, че е изключително изразително демонстрира неравенството :
.

Решение:

а)
= (4 3 + 0 1 + (-2) (-1) + 3 5 + 1 2) = (31) – матрица с един елемент;

б)
=
=
.

Отговор: матрици в текста.

дадени Инструментариумще ви помогне да научите как да матрични операции: събиране (изваждане) на матрици, транспониране на матрица, умножение на матрици, намиране на обратна на матрица. Целият материал е представен в проста и достъпна форма, дадени са подходящи примери, така че дори неподготвен човек може да се научи как да извършва действия с матрици. За самоконтрол и самотест можете да изтеглите безплатно матричен калкулатор >>>.

Ще се опитам да сведа до минимум теоретичните изчисления, на места са възможни обяснения „на пръсти“ и използването на ненаучни термини. Любителите на солидна теория, моля, не се занимавайте с критика, нашата задача е научете как да работите с матрици.

За СУПЕР БЪРЗА подготовка по темата (кой "гори") има интензивен pdf-курс Матрица, детерминанта и офсет!

Матрицата е правоъгълна таблица на някои елементи. Като елементище разгледаме числата, тоест числови матрици. ЕЛЕМЕНТе термин. Желателно е да запомните термина, често ще се среща, неслучайно използвах удебелен шрифт, за да го подчертая.

Обозначаване:матриците обикновено се означават с главни латински букви

Пример:Помислете за матрица две по три:

Тази матрица се състои от шест елементи:

Всички числа (елементи) вътре в матрицата съществуват сами по себе си, тоест не става въпрос за изваждане:

Това е просто таблица (набор) от числа!

Ние също ще се съгласим не пренареждайтеномер, освен ако в обяснението не е посочено друго. Всяко число има свое собствено местоположение и не можете да ги разбърквате!

Въпросната матрица има два реда:

и три колони:

СТАНДАРТ: когато говорим за размерите на матрицата, тогава първипосочете броя на редовете и едва след това - броя на колоните. Току-що разбихме матрицата две по три.

Ако броят на редовете и колоните на една матрица е еднакъв, тогава матрицата се нарича квадрат, например: е матрица три по три.

Ако матрицата има една колона или един ред, тогава такива матрици също се наричат вектори.

Всъщност ние знаем концепцията за матрица от училище, помислете например за точка с координати "x" и "y": . По същество координатите на точка се записват в матрица едно по две. Между другото, ето ви пример защо редът на числата има значение: и са две напълно различни точки от равнината.

Сега да преминем към изследването. матрични операции:

1) Действие едно. Премахване на минус от матрица (Въвеждане на минус в матрица).

Обратно към нашата матрица . Както вероятно сте забелязали, в тази матрица има твърде много отрицателни числа. Това е много неудобно по отношение на изпълнението. различни дейностис матрица е неудобно да пишете толкова много минуси и просто изглежда грозно в дизайна.

Нека преместим минуса извън матрицата, като променим знака на ВСЕКИ елемент от матрицата:

При нула, както разбирате, знакът не се променя, нула - също е нула в Африка.

Обратен пример: . Изглежда грозно.

Въвеждаме минус в матрицата, като променяме знака на ВСЕКИ елемент от матрицата:

Е, много по-красиво е. И най-важното, ще бъде ПО-ЛЕСНО да извършвате всякакви действия с матрицата. Защото има такава математика народна поличба: колкото повече минуси - толкова повече объркване и грешки.

2) Действие две. Умножение на матрица по число.

Пример:

Просто е, за да умножите матрица по число, трябва всекиумножете матричния елемент по даденото число. В случая три.

Друг полезен пример:

– умножение на матрица с дроб

Нека първо да видим какво да правим НЯМА НУЖДА:

НЕ Е НЕОБХОДИМО да въвеждате дроб в матрицата, първо, това само затруднява по-нататъшните действия с матрицата, и второ, затруднява учителя да провери решението (особено ако - крайният отговор на задачата).

И особено, НЯМА НУЖДАразделете всеки елемент от матрицата на минус седем:

От статията Математика за манекени или откъде да започна, помним, че десетичните дроби със запетая във висшата математика се опитват да избегнат по всякакъв възможен начин.

Единственото нещо желателнов този пример трябва да вмъкнете минус в матрицата:

Но ако ВСИЧКОматричните елементи бяха разделени на 7 без следа, тогава би било възможно (и необходимо!) да се раздели.

Пример:

В този случай можете ТРЯБВАумножете всички елементи на матрицата по , тъй като всички числа в матрицата се делят на 2 без следа.

Забележка: в теорията на висшата математика няма училищна концепция за "деление". Вместо израза „това е разделено на това“, винаги можете да кажете „това е умножено по дроб“. Тоест делението е частен случай на умножение.

3) Трето действие. Транспониране на матрица.

За да транспонирате матрица, трябва да запишете нейните редове в колоните на транспонираната матрица.

Пример:

Транспониране на матрица

Тук има само един ред и според правилото той трябва да бъде написан в колона:

е транспонираната матрица.

Транспонираната матрица обикновено се обозначава с горен индекс или черта в горния десен ъгъл.

Пример стъпка по стъпка:

Транспониране на матрица

Първо, пренаписваме първия ред в първата колона:

След това пренаписваме втория ред във втората колона:

И накрая, пренаписваме третия ред в третата колона:

Готов. Грубо казано, транспонирането означава да обърнете матрицата настрани.

4) Действие четири. Сума (разлика) на матрици.

Сумата от матрици е проста операция.
НЕ ВСИЧКИ МАТРИЦИ МОГАТ ДА БЪДАТ СГЪНАТИ. За събиране (изваждане) на матрици е необходимо те да са с ЕДНАКЪВ РАЗМЕР.

Например, ако е дадена матрица две по две, тогава тя може да бъде добавена само към матрица две по две и никаква друга!

Пример:

Добавяне на матрици и

За да добавите матрици, трябва да добавите съответните им елементи:

За разликата на матриците правилото е подобно, необходимо е да се намери разликата на съответните елементи.

Пример:

Намерете разликата на матриците ,

И как да решим този пример по-лесно, за да не се объркаме? Препоръчително е да се отървете от ненужните минуси, за това ще добавим минус към матрицата:

Забележка: в теорията на висшата математика няма училищна концепция за "изваждане". Вместо фразата „извадете това от това“, винаги можете да кажете „добавете отрицателно число към това“. Тоест изваждането е частен случай на събиране.

5) Действие пет. Матрично умножение.

Какви матрици могат да бъдат умножени?

За една матрица да бъде умножена по матрица, така че броят на колоните на матрицата да е равен на броя на редовете на матрицата.

Пример:
Възможно ли е да се умножи матрица по матрица?

Така че можете да умножите данните от матрицата.

Но ако матриците се пренаредят, тогава в този случай умножението вече не е възможно!

Следователно умножението е невъзможно:

Не са необичайни задачи с трик, когато от ученика се иска да умножи матрици, чието умножение е очевидно невъзможно.

Трябва да се отбележи, че в някои случаи е възможно да се умножават матрици и по двата начина.
Например за матрици и е възможно както умножение, така и умножение

Първо, КАКЪВ трябва да бъде резултатът от умножаването на три матрици? Котка няма да роди мишка. Ако умножението на матрицата е осъществимо, тогава резултатът също ще бъде матрица. Е, учителят ми по алгебра не вижда как обяснявам затвореността на алгебричната структура по отношение на нейните елементи =)

Продуктът на три матрици може да се изчисли по два начина:

1) намерете и след това умножете по матрицата "ce": ;

2) или първо намерете, след това изпълнете умножението.

Резултатите задължително ще съвпадат и на теория това свойство се нарича асоциативност на матричното умножение:

Пример 6

Умножете матриците по два начина

Алгоритъм решениядве стъпки: намерете произведението на две матрици, след това отново намерете произведението на две матрици.

1) Използвайте формулата

Действие едно:

Действие две:

2) Използвайте формулата

Действие едно:

Действие две:

Отговор:

По-познат и стандартен, разбира се, е първият начин за решаване, там "сякаш всичко е наред". Между другото, за поръчката. В разглежданата задача често възниква илюзията, че говорим за някаква пермутация на матрици. Те не са тук. Напомням ви отново, че в общия случай МАТРИЦИТЕ НЕ ТРЯБВА ДА СЕ ПОДМЕНЯТ. И така, във втория параграф, на втората стъпка, извършваме умножение, но в никакъв случай. С обикновените числа такъв номер би минал, но не и с матриците.

Свойството асоциативност на умножението е валидно не само за квадратни, но и за произволни матрици - стига да се умножават:

Пример 7

Намерете произведението на три матрици

Това е пример за „направи си сам“. В примерния разтвор изчисленията бяха извършени по два начина, анализирайте кой начин е по-изгоден и по-кратък.

Свойството асоциативност на матричното умножение се прилага за по-голям брой фактори.

Сега е време да се върнем към мощностите на матриците. Квадратът на матрицата се разглежда в самото начало и е на дневен ред.

Матриците са таблици от числа, които са свързани помежду си. На тях е възможно да се извършват редица различни операции, за които ще ви разкажем по-долу.

Размерът на матрицата се определя от нейния поръчки- броя на редовете $m$ и колоните $n$, които присъстват в него. Редовете са оформени от елементи, стоящи на хоризонтални линии, а колоните са оформени от елементи, стоящи на прави вертикални линии. Ако броят на редовете е еквивалентен на броя на колоните, редът на разглежданата таблица се определя само от една стойност $m = n$.

Забележка 1

За всеки елемент от матрицата номерът на реда, в който се намира, се записва първо в индекса, а номерът на колоната се записва на второ място, т.е. записът $a_(ij)$ означава, че елементът е в $i$-тия ред и в $j$- омовата колона.

Събиране и изваждане

И така, относно събирането и изваждането. Тези действия могат да се извършват само с матрици еднакъв размер.

За да се извършат тези действия, е необходимо да се извърши събиране или изваждане на всеки елемент от матрицата с елемента от друга матрица, който е в същата позиция като елемента в първата.

Като пример, нека намерим сумата $A+B$, където:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23)\\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \\ \end(pmatrix)$

и $B = \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33)\\ \end(pmatrix)$

Сумата на всеки елемент от новополучената матрична таблица $A + B$ е равна на $a_(ij) + b_(ij)$, например елементът с индекс $11$ е равен на $a_(11) + b_ (11)$ и целият резултат изглежда така:

$A + B = \begin(pmatrix) a_(11)+b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+ b_(13) \\ a_(21)+ b_(21) & a_(22)+b_(22) & a_(23)+ b_(23) \\ a_(31)+ b_(31) & a_(32)+ b_(32) & a_(33) + b_(33) ) \\ \end(pmatrix)$

Изваждането за две матрици $A-B$ се извършва по подобен начин, но всеки елемент от новата резултатна матрица ще се изчислява по формулата $a_(ij) – b_(ij)$.

Моля, обърнете внимание, че събирането и изваждането за матрици могат да се извършват само ако редът им е еднакъв.

Пример 1

Решете следните примери с матрици: $A + B$; $A-B$.

$A=\begin(pmatrix) 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ -2 & 0 & 7 \\ \end(pmatrix)$

$B=\begin(pmatrix) 0 & 3 & 2 \\ -4 & 0 & -1 \\ 0 & 7 & -3 \\ \end(pmatrix)$

Обяснение:

Действията се извършват съответно за всяка двойка елементи $a_(ij)$ и $b_(ij)$:

$A+B=\begin(pmatrix) 0+0 & 5+3 & 2+2 \\ 1-4 & -1+0 & 3 - 1\\ -2+0 & 0+7 & 7 - 3 \ \ \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) 0 & 8 & 4 \\ -3 & -1 & 2 \\ -2 & 7 & 4\\ \end(pmatrix)$

$A-B=\begin(pmatrix) 0-0 & 5-3 & 2-2 \\ 1+4 & -1-0 & 3 + 1\\ -2-0 & 0-7 & 7 + 3 \\ \ end(pmatrix)=\begin(pmatrix) 0 & 2 & 0 \\ 5 & -1 & 4 \\ -2 & -7 & 10 \\ \end(pmatrix)$

Умножение на матрица по число

За да се умножи матрична таблетка по някакво число, всеки от нейните елементи трябва да бъде умножен по това число, тоест всеки елемент от новата матрица $C$, която е резултат от произведението на $A$ по $λ$ , ще бъде равно на $с_(ij)= λ\cdot a_(ij)$.

Пример 2

Умножете $A$ по $λ$, където $A=\begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix)$ и $λ =5 $:

$A \cdot λ = 5 \cdot \begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 1 \cdot 5 & ​​​​0 \cdot 5 & 2 \cdot 5 \\ -1 \cdot 5 & 3 \cdot 5 & 0 \cdot 5 \\ 2 \cdot 5 & 1\cdot 5 & 3\cdot 5 \\ \end (pmatrix ) = \begin(pmatrix) 5 & 0 & 10 \\ -5 & 15 & 0 \\ 10 & 5 & 15 \\ \end(pmatrix)$.

Продукт на матрични таблици

Тази задача е малко по-трудна от предишните, но в същото време няма нищо трудно и в нея.

За да извършите умножението на две матрици $A \cdot B$, броят на колоните в $A$ трябва да съответства на броя на редовете в $B$.

Математически това може да се запише като:

$A_(m \times n)\cdot B_(n \times p) = C_(m \times p)$

Тоест, виждайки умножените оригинални матрици, можете веднага да определите редовете на получената нова. Например, ако трябва да умножите $A_(3 \times 2)$ и $B_(2 \times 3)$, резултатът ще бъде $3 \times 3$:

$\begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \\ a_(31) & a_(32) \\ \end(pmatrix) \times \begin(pmatrix ) b_(11) & b_(12) &b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) &b_(33) \\ \end( pmatrix) = \begin(pmatrix) & & \\ & & \\ & & \\ \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) (a_(11)b_(11) + a_(12)b_(21)) & (a_(11)b_(12) + a_(12)b_(22)) & (a_(11)b_(13) + a_(12)b_(23)) \\ (a_(21)b_(11) ) + a_(22)b_(21)) & (a_(21)b_(12) + a_(22)b_(22)) & (a_(11)b_(13) + a_(22)b_(23) ) \\ (a_(31)b_(11) + a_(32)b_(21)) & (a_(31)b_(12) + a_(32)b_(22)) & (a_(31)b_( 13) + a_(32)b_(23)) \\ \end(pmatrix)$

Ако броят на колоните на първия матричен множител не съвпада с броя на редовете на втория матричен множител, тогава умножението не може да бъде извършено.

Пример 3

Решете пример:

$A \times B = ?$ ако $A=\begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix)$ и $B = \ begin(pmatrix) 3 & - 1 & 2 \\ -4 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end(pmatrix)$.

$A \times B = \begin(pmatrix) (1 \cdot 3 + 0 \cdot (-4) + 2 \cdot 1) & (1 \cdot(-1) + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 2) \\ (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-4) + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot(-1) + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 0 \cdot 2) \\ (2 \cdot 3 + 1 \cdot (-4) + 3 \cdot 1) & 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1) & (2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2) \\ \end(pmatrix) $

$A \times B= \begin(pmatrix) (3 + 0+ 2) & (-1 + 0 + 2) & (2 + 0 + 4) \\ (-3-12+0) & (1 + 0) ) + 0) & (-2+6+0) \\ (6-4+3) & (-2 + 0 + 3) & (4 + 2 + 6) \\ \end(pmatrix) = \begin( pmatrix ) 5 & 1 & 6 \\ -15 & 1 & 4 \\ 5 & 1 & 12 \\ \end(pmatrix)$.

Намиране на детерминанта на матрица

Детерминантата на матрицата се обозначава като $Δ$ или $\det$.

Забележка 2

Детерминантата може да се намери само за квадратни матрици.

В най-простия случай, когато матрицата се състои само от един елемент, нейният детерминант е равен на този елемент: $det A = |a_(11)|= a_(11)$

Можете да изчислите детерминантата от матрица от втори ред, като следвате следното правило:

Определение 1

Детерминантата на матрица с размер 2 е равна на разликата между произведенията на елементите на главния диагонал и произведението на елементите на второстепенния диагонал:

$\begin(array)(|cc|) a_(11)& a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \\ \end(array) = a_(11) \cdot a_(22) - a_(12)\cdot a_(21)$

Ако детерминантата на матрицата е $3 \times 3$, тогава можете да я намерите с помощта на мнемоничните правила: Sarrus или триъгълници, можете също да разширите матрицата по ред или колона или да използвате трансформации на Гаус.

За определители по-голям размерМогат да се използват трансформации на Гаус и разширяване на линии.

Обратни матрици

По аналогия с обичайното умножение на число по неговата реципрочна $(1+\frac1x= 1)$, умножението на обратната матрица $A^(-1)$ по оригиналната матрица води до единичната матрица $E$.

Най-простият метод за решение при търсене на обратната матрица е Джордан Гаус. Единична матрица със същия размер се записва до матрицата на морското свинче и след това оригиналната матрица се редуцира до единична матрица с помощта на трансформации и всички извършени действия се повтарят с $E$.

Пример 4

Dana $A=\begin(pmatrix)(cc) 1& 2 \\ 3 & 4 \\ \end(pmatrix)$

Вземете обратна матрица.

Решение:

Записваме заедно $A$ и вдясно от него съответния размер $E$:

$ \begin(array)(cc|cc) 1& 2 & 1& 0\\ 3 & 4& 0 & 1 \\ \end(array)$

Получаваме нула в последния ред на първа позиция: добавяме към нея горната, умножена по $-3$:

$ \begin(array)(cc|cc) 1& 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end(array)$

Сега нулираме последния елемент от първия ред. За да направите това, добавете долния ред към горния ред:

$ \begin(array)(cc|cc) 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end(array)$

Разделяме второто на $-2$:

$ \begin(array)(cc|cc) 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & 1& 3/2 & -1/2 \\ \end(array)$

Получих резултата:

$A=\begin(pmatrix)(cc) -2& 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end(pmatrix)$

Транспониране на матрични таблици

Транспонирането е промяна на редове и колони в матрица или детерминанта на места, като същевременно се запазва техният първоначален ред. Детерминантата на транспонираната матрична таблица $A^T$ ще бъде равна на детерминантата на оригиналната матрица $A$.

Пример 5

Транспонирайте матрицата $A$ и проверете себе си, като намерите детерминантата на $A$ и таблицата на транспонираната матрица.

$A=\begin(pmatrix) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ - 1 & -2 & -3\\ \end(pmatrix)$

Решение:

Прилагаме метода на Sarrus за детерминантата:

$\det A= 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 \cdot (-2) - 2 \cdot 4 \cdot (-3) - 1 \cdot 6 \cdot (-2) - 3 \cdot 5 \cdot (-1) = -15 - 12 - 24+ 24 + 12 + 15 = $0.

Имаме изродена матрица.

Сега нека извършим транспонирането на $A$, за това ще хвърлим матрицата от дясната й страна:

$A^T = \begin(pmatrix) 1 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 3 & 6 & -3 \\ \end(pmatrix)$

Намерете детерминантата за $A^T$, като използвате същото правило:

$det A^T = 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 4 \cdot (-2) \cdot 3 + (-1) \cdot 2 \cdot 6 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) - 1 \cdot (-2) \cdot 6 - (- 1) \cdot 5 \cdot 3 = - 15 -24 - 12+24+12+15 = 0$.

И така, в предишния урок анализирахме правилата за събиране и изваждане на матрици. Това са толкова прости операции, че повечето ученици ги разбират буквално от самото начало.

Ти обаче се радваш рано. Безплатното свърши - да преминем към умножението. Веднага ще ви предупредя: умножаването на две матрици изобщо не е умножаване на числата в клетки с еднакви координати, както може би си мислите. Тук всичко е много по-забавно. И трябва да започнете с предварителни определения.

Съгласувани матрици

Една от най-важните характеристики на матрицата е нейният размер. Вече сме говорили за това сто пъти: $A=\left[ m\times n \right]$ означава, че матрицата има точно $m$ реда и $n$ колони. Вече обсъдихме как да не бъркаме редове с колони. Сега друго е важно.

Определение. Матрици от вида $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$, в които броят на колоните в първата матрица е същият като броя на редовете във втория, се наричат ​​последователни.

Още веднъж: броят на колоните в първата матрица е равен на броя на редовете във втората! От това получаваме две заключения наведнъж:

1. Ние се интересуваме от реда на матриците. Например, матриците $A=\left[ 3\times 2 \right]$ и $B=\left[ 2\times 5 \right]$ са последователни (2 колони в първата матрица и 2 реда във втората) , но обратното — матриците $B=\left[ 2\times 5 \right]$ и $A=\left[ 3\times 2 \right]$ вече не са съвместими (5 колони в първата матрица са, като беше, а не 3 реда във втория ).
2. Съгласуваността се проверява лесно, ако изпишете всички размери един след друг. Използвайки примера от предишния параграф: "3 2 2 5" - еднакви числа са в средата, така че матриците са последователни. Но „2 5 3 2“ не е съгласувано, защото в средата има различни числа.

Освен това капитанът изглежда намеква, че квадратни матрици с еднакъв размер $\left[ n\times n \right]$ винаги са последователни.

В математиката, когато редът на изброяване на обектите е важен (например в дефиницията, обсъдена по-горе, редът на матриците е важен), често се говори за подредени двойки. Срещнахме ги в училище: мисля, че е безсмислено, че координатите $\left(1;0 \right)$ и $\left(0;1 \right)$ определят различни точки в равнината.

И така: координатите също са подредени двойки, които са съставени от числа. Но нищо не ви пречи да направите такава двойка матрици. Тогава ще бъде възможно да се каже: „Подредена двойка матрици $\left(A;B \right)$ е последователна, ако броят на колоните в първата матрица е същият като броя на редовете във втората. "

Е, какво от това?

Определение за умножение

Разгледайте две последователни матрици: $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$. И ние дефинираме за тях операцията умножение.

Определение. Продуктът на две последователни матрици $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$ е новата матрица $C=\left[ m\times k \ дясно] $, чиито елементи се изчисляват по формулата:

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

Такъв продукт се обозначава по стандартния начин: $C=A\cdot B$.

За тези, които виждат това определение за първи път, веднага възникват два въпроса:

1. Що за дивеч е това?
2. Защо е толкова трудно?

Е, най-напред. Да започнем с първия въпрос. Какво означават всички тези индекси? И как да не правите грешки при работа с реални матрици?

На първо място, отбелязваме, че дългият ред за изчисляване на $((c)_(i;j))$ (специално поставете точка и запетая между индексите, за да не се объркате, но не е необходимо да ги поставяте общ - самият аз се уморих да пиша формулата в дефиницията) наистина се свежда до едно просто правило:

1. Вземете $i$-тия ред в първата матрица;
2. Вземете $j$-тата колона във втората матрица;
3. Получаваме две поредици от числа. Умножаваме елементите на тези последователности с еднакви числа и след това събираме получените продукти.

Този процес е лесен за разбиране от снимката:

Още веднъж: фиксираме реда $i$ в първата матрица, колоната $j$ във втората матрица, умножаваме елементите с еднакви числа и след това събираме получените продукти - получаваме $((c)_(ij ))$. И така за всички $1\le i\le m$ и $1\le j\le k$. Тези. общо ще има $m\times k$ такива "перверзии".

Всъщност вече се срещнахме с матрично умножение в училищната програма, само че в силно съкратена форма. Нека са дадени вектори:

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \right). \\ \край (подравняване)\]

Тогава тяхното скаларно произведение ще бъде точно сумата от продуктите по двойки:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

Всъщност в онези далечни години, когато дърветата бяха по-зелени и небето беше по-светло, ние просто умножихме вектора на реда $\overrightarrow(a)$ по вектора на колоната $\overrightarrow(b)$.

Днес нищо не се е променило. Просто сега има повече от тези вектори на редове и колони.

Но стига теория! Нека да разгледаме реални примери. И да започнем с най-простия случай - квадратни матрици.

Умножение на квадратни матрици

Задача 1. Извършете умножението:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(масив) \right]\]

Решение. И така, имаме две матрици: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ и $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Ясно е, че те са последователни (квадратни матрици с еднакъв размер винаги са последователни). Така че правим умножението:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \ начало(масив)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\край (масив) \right]=\left[ \begin(масив)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ край (масив)\десен]. \край (подравняване)\]

Това е всичко!

Отговор: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]$.

Задача 2. Изпълнете умножението:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(масив) \right]\]

Решение. Отново последователни матрици, така че извършваме следните действия:\[\]

\[\begin(подравняване) & \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)( r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ ляво(-3 \дясно) & 1\cdot 6+3\cdot \ляво(-2 \дясно) \\ 2\cdot 9+6\cdot \ляво(-3 \дясно) & 2\cdot 6+6\ cdot \left(-2 \right) \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right] . \край (подравняване)\]

Както можете да видите, резултатът е матрица, пълна с нули

Отговор: $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

От горните примери е очевидно, че умножението на матрици не е толкова сложна операция. Поне за квадратни матрици 2 на 2.

В процеса на изчисления съставихме междинна матрица, където директно нарисувахме какви числа са включени в конкретна клетка. Точно това трябва да се прави при решаването на реални проблеми.

Основни свойства на матричното произведение

Накратко. Матрично умножение:

1. Некомутативно: $A\cdot B\ne B\cdot A$ като цяло. Има, разбира се, специални матрици, за които равенството $A\cdot B=B\cdot A$ (например, ако $B=E$ е матрицата за идентичност), но в по-голямата част от случаите това не работи ;
2. Асоциативно: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. Тук няма опции: съседни матрици могат да се умножават, без да се притеснявате какво е отляво и отдясно на тези две матрици.
3. Разпределително: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ и $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $

А сега - всичко същото, но по-подробно.

Матричното умножение много прилича на класическото умножение на числа. Но има разлики, най-важната от които е тази матричното умножение е, най-общо казано, некомутативно.

Разгледайте отново матриците от Задача 1. Вече знаем тяхното пряко произведение:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(масив) \right]\]

Но ако разменим матриците, получаваме напълно различен резултат:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(масив) \right]=\left[ \begin(matrix) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end(matrix) )\вдясно]\]

Оказва се, че $A\cdot B\ne B\cdot A$. Освен това операцията за умножение е дефинирана само за последователните матрици $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$, но никой не гарантира, че те ще останат последователни, ако са разменени. Например, матриците $\left[ 2\times 3 \right]$ и $\left[ 3\times 5 \right]$ са доста последователни в този ред, но същите матрици $\left[ 3\times 5 \ дясно] $ и $\left[ 2\times 3 \right]$, написани в обратен ред, вече не съвпадат. тъга :(

Сред квадратните матрици с даден размер $n$ винаги ще има такива, които дават един и същ резултат както при умножение в пряк, така и в обратен ред. Как да опишем всички такива матрици (и колко от тях изобщо) е тема за отделен урок. Днес няма да говорим за това. :)

Матричното умножение обаче е асоциативно:

\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

Следователно, когато трябва да умножите няколко матрици подред наведнъж, изобщо не е необходимо да го правите предварително: напълно възможно е някои съседни матрици, когато се умножат, да дадат интересен резултат. Например нулева матрица, както в Задача 2, обсъдена по-горе.

В реални задачи най-често трябва да се умножават квадратни матрици с размер $\left[ n\times n \right]$. Наборът от всички такива матрици се означава с $((M)^(n))$ (т.е. записите $A=\left[ n\times n \right]$ и \ означават едно и също нещо) и ще определено съдържат матрица $E$, която се нарича матрица на идентичност.

Определение. Единичната матрица с размер $n$ е матрица $E$, така че за всяка квадратна матрица $A=\left[ n\times n \right]$ равенството е в сила:

Такава матрица винаги изглежда една и съща: има единици на главния й диагонал и нули във всички останали клетки.

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(align)\]

С други думи, ако трябва да умножите една матрица по сумата от две други, тогава можете да я умножите по всяка от тези „други две“ и след това да добавите резултатите. На практика обикновено трябва да извършите обратната операция: забелязваме същата матрица, изваждаме я от скобата, извършваме добавяне и по този начин опростяваме живота си. :)

Обърнете внимание, че за да опишем дистрибутивността, трябваше да напишем две формули: където сумата е във втория фактор и където сумата е в първия. Това се дължи именно на факта, че матричното умножение е некомутативно (и като цяло в некомутативната алгебра има много всякакви шеги, които дори не идват на ум при работа с обикновени числа). И ако например трябва да запишете това свойство по време на изпита, тогава не забравяйте да напишете и двете формули, в противен случай учителят може да се ядоса малко.

Добре, всичко това бяха приказки за квадратни матрици. Какво ще кажете за правоъгълниците?

Случаят на правоъгълни матрици

Но нищо - всичко е както при квадратните.

Задача 3. Изпълнете умножението:

\[\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(matrix) \ \\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]\]

Решение. Имаме две матрици: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ и $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Нека напишем числата, показващи размерите в един ред:

Както можете да видите, централните две числа са еднакви. Това означава, че матриците са последователни и могат да се умножават. И на изхода получаваме матрицата $C=\left[ 3\times 2 \right]$:

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(матрица) \\\end(матрица) \right]\cdot \left[ \begin(масив)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(масив) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\край (масив)\вдясно]. \край (подравняване)\]

Всичко е ясно: крайната матрица има 3 реда и 2 колони. Съвсем $=\left[ 3\times 2 \right]$.

Отговор: $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) \begin(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(array) & \begin(matrix) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(matrix) \\\end(array) \right]$.

Сега помислете за една от най-добрите задачи за обучение за тези, които тепърва започват да работят с матрици. В него е необходимо не просто да умножите две таблетки, но първо да определите: допустимо ли е такова умножение?

Задача 4. Намерете всички възможни произведения по двойки на матрици:

\\]; $B=\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(матрица) \\\end(матрица) \right]$; $C=\left[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

Решение. Първо, нека запишем размерите на матриците:

\;\ B=\left[ 4\times 2 \right];\ C=\left[ 2\times 2 \right]\]

Получаваме, че матрицата $A$ може да бъде съпоставена само с матрицата $B$, тъй като броят на колоните в $A$ е 4 и само $B$ има този брой редове. Следователно можем да намерим продукта:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(array) \right]=\ ляво[ \начало(масив)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\край (масив) \дясно]\]

Предлагам на читателя сам да изпълни междинните стъпки. Само ще отбележа, че е по-добре да определите размера на получената матрица предварително, дори преди каквито и да било изчисления:

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

С други думи, ние просто премахваме "преходните" коефициенти, които осигуряват съгласуваността на матриците.

Какви други варианти са възможни? Със сигурност е възможно да се намери $B\cdot A$, тъй като $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, така че подредената двойка $\ left(B ;A \right)$ е последователен и размерът на продукта ще бъде:

\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

Накратко, изходът ще бъде матрица $\left[ 4\times 4 \right]$, чиито коефициенти са лесни за изчисляване:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(array) \right]=\ ляво[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(масив) \right]\]

Очевидно можете също да съпоставите $C\cdot A$ и $B\cdot C$ и това е всичко. Затова просто записваме получените продукти:

Беше лесно.:)

Отговор: $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\край (масив) \right]$; $CA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(array) \right]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(array) \right]$.

Като цяло силно препоръчвам да направите тази задача сами. И още една подобна задача, която е в домашното. Тези на пръв поглед прости мисли ще ви помогнат да изработите всички ключови стъпки в матричното умножение.

Но историята не свършва дотук. Да преминем към специални случаи на умножение. :)

Редови вектори и колонни вектори

Една от най-често срещаните операции с матрици е умножението по матрица, която има един ред или една колона.

Определение. Колона вектор е $\left[ m\times 1 \right]$ матрица, т.е. състоящ се от няколко реда и само една колона.

Ред вектор е матрица с размер $\left[ 1\times n \right]$, т.е. състоящ се от един ред и няколко колони.

Всъщност вече сме се срещали с тези обекти. Например обикновен триизмерен вектор от стереометрия $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ не е нищо друго освен вектор ред. От теоретична гледна точка почти няма разлика между редове и колони. Трябва да внимавате само когато координирате със заобикалящите матрици на множителя.

Задача 5. Умножете:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]\]

Решение. Имаме произведение от последователни матрици: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. Намерете това парче:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35) )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\end(масив) \right]\]

Отговор: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]$.

Задача 6. Изпълнете умножението:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]\]

Решение. Отново всичко е последователно: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. Разглеждаме работата:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(масив) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)( r))5 & -19 & 5 \\\end(масив) \right]\]

Отговор: $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$.

Както можете да видите, когато умножавате вектор на ред и вектор на колона по квадратна матрица, изходът винаги е ред или колона с еднакъв размер. Този факт има много приложения - от решаването на линейни уравнения до всякакви координатни трансформации (които в крайна сметка също се свеждат до системи от уравнения, но да не говорим за тъжни неща).

Мисля, че тук всичко беше очевидно. Да преминем към последната част на днешния урок.

Матрично степенуване

Сред всички операции на умножение, степенуването заслужава специално внимание - това е, когато умножаваме един и същ обект сам по себе си няколко пъти. Матриците не са изключение, те също могат да бъдат повдигнати в различни степени.

Такива работи винаги са координирани:

\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

И те се обозначават по същия начин като обикновените степени:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \под скоба (A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \край (подравняване)\]

На пръв поглед всичко е просто. Да видим как изглежда на практика:

Задача 7. Повдигнете матрицата до определената мощност:

$((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))$

Решение. Добре, да строим. Нека първо го повдигнем на квадрат:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(2))=\left[ \begin(matrix ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(array) \right] \end(align)\]

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))=((\left[ \begin (матрица) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end( матрица) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right] \end(align)\]

Това е всичко.:)

Отговор: $\left[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Задача 8. Повишете матрицата до определената мощност:

\[((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))\]

Решение. Само не плачете сега за факта, че „дипломата е твърде висока“, „светът не е справедлив“ и „учителите напълно са загубили банките си“. Всъщност всичко е лесно:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))=((\left[ \begin (матрица) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right ] \right)= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \end(align)\ ]

Имайте предвид, че във втория ред използвахме асоциативност на умножението. Всъщност ние го използвахме в предишната задача, но там беше имплицитно.

Отговор: $\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Както можете да видите, няма нищо сложно в повдигането на матрица на степен. Последният пример може да бъде обобщен:

\[((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(n))=\left[ \begin(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Този факт е лесен за доказване математическа индукцияили директно умножение. Въпреки това, далеч не винаги е възможно да се уловят такива модели при рейз на степен. Затова бъдете внимателни: често е по-лесно и по-бързо да умножите няколко матрици "празни", отколкото да търсите някакви модели там.

Като цяло не търсете висш смисъл там, където го няма. И накрая, нека разгледаме степенуването на по-голяма матрица - колкото $\left[ 3\times 3 \right]$.

Проблем 9. Повишете матрицата до определената мощност:

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))\]

Решение. Да не търсим шаблони. Работим "чрез":

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))=(( \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (матрица)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(матрица) \right]\]

Нека започнем с повдигане на квадрат на тази матрица:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 2))=\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

Сега нека го кубираме:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 3))=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin( масив)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

Това е всичко. Проблема решен.

Отговор: $\left[ \begin(matrix) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matrix) \right]$.

Както можете да видите, количеството на изчисленията е станало по-голямо, но смисълът изобщо не се е променил. :)

Този урок може да приключи. Следващия път ще разгледаме обратната операция: ще търсим оригиналните множители, използвайки съществуващия продукт.

Както вероятно вече се досещате, ще говорим за обратната матрица и методите за нейното намиране.