Είναι πρακτικά δύσκολο να βρεις μια τέτοια τιμή Με, στο οποίο (β-α)στ(γ)θα ήταν ακριβώς ίσο με . Για να αποκτήσετε μια πιο ακριβή τιμή, η περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς χωρίζεται σε nορθογώνια των οποίων τα ύψη είναι ίσα y 0, y 1, y 2, …,y n -1και θεμέλια.

Εάν συνοψίσουμε τις περιοχές των ορθογωνίων που καλύπτουν την περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς με ένα μειονέκτημα, η συνάρτηση δεν φθίνει, τότε αντί για τον τύπο, χρησιμοποιείται ο τύπος

Αν υπερβαίνει, τότε

Οι αξίες βρίσκονται από τις ισότητες. Αυτοί οι τύποι ονομάζονται τύπους ορθογωνίουκαι να δώσει ένα κατά προσέγγιση αποτέλεσμα. Με την αύξηση nτο αποτέλεσμα γίνεται πιο ακριβές.

Παράδειγμα 1 . Υπολογίστε από τον τύπο των ορθογωνίων

Χωρίζουμε το διάστημα της ολοκλήρωσης σε 5 μέρη. Επειτα . Χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή ή έναν πίνακα, βρίσκουμε τις τιμές του ολοκληρώματος (με ακρίβεια 4 δεκαδικών ψηφίων):

Σύμφωνα με τον τύπο των ορθογωνίων (με ένα μειονέκτημα)

Από την άλλη, σύμφωνα με τον τύπο Newton-Leibniz

Ας βρούμε το σχετικό σφάλμα υπολογισμού χρησιμοποιώντας τον τύπο των ορθογωνίων:

Υπολογισμός ολοκληρωμάτων με τραπεζοειδείς τύπους. Εκτίμηση σφάλματος:

Η γεωμετρική έννοια της ακόλουθης μεθόδου για τον κατά προσέγγιση υπολογισμό των ολοκληρωμάτων είναι η εύρεση του εμβαδού ενός περίπου ίσου μεγέθους "ευθύγραμμου" τραπεζοειδούς.

Ας είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το εμβαδόν Ένα 1 AmBB 1καμπυλόγραμμο τραπεζοειδές, που εκφράζεται με τον τύπο .

Ας αντικαταστήσουμε το τόξο AmBχορδή ΑΒκαι αντί για την περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς Ένα 1 AmBB 1υπολογίστε το εμβαδόν του τραπεζοειδούς A 1 ABB 1: , όπου ΑΑ 1και ΒΒ 1 - η βάση του τραπεζοειδούς, και Α 1 Β 1 είναι το ύψος του.

Σημαίνω f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B.τραπεζοειδές ύψος A 1 B 1 \u003d b-a,τετράγωνο . Επομένως, ή

Αυτό το λεγόμενο μικρό τραπεζοειδές τύπο.

Παράδειγμα 2. Πλάτος ποταμού 26 μ, μετρήσεις βάθους στη διατομή του ποταμού κάθε 2 μέδωσε τα ακόλουθα αποτελέσματα.

Τραπεζοειδής μέθοδοςείναι μία από τις μεθόδους αριθμητικής ολοκλήρωσης. Σας επιτρέπει να υπολογίζετε καθορισμένα ολοκληρώματα με προκαθορισμένο βαθμό ακρίβειας.

Αρχικά, περιγράφουμε την ουσία της μεθόδου τραπεζοειδούς και εξάγουμε τον τύπο τραπεζοειδούς. Στη συνέχεια, γράφουμε μια εκτίμηση του απόλυτου σφάλματος της μεθόδου και αναλύουμε λεπτομερώς τη λύση τυπικών παραδειγμάτων. Εν κατακλείδι, ας συγκρίνουμε τη μέθοδο των τραπεζοειδών με τη μέθοδο των ορθογωνίων.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Η ουσία της τραπεζοειδούς μεθόδου.

Ας θέσουμε στους εαυτούς μας την ακόλουθη εργασία: ας χρειαστεί να υπολογίσουμε κατά προσέγγιση το οριστικό ολοκλήρωμα , όπου το ολοκλήρωμα y=f(x) είναι συνεχές στο διάστημα .

Ας διαιρέσουμε το τμήμα σε n ίσα διαστήματα μήκους h με σημεία . Σε αυτήν την περίπτωση, το βήμα διαμερίσματος βρίσκεται καθώς οι κόμβοι προσδιορίζονται από την ισότητα .

Εξετάστε το ολοκλήρωμα σε στοιχειώδη διαστήματα .

Τέσσερις περιπτώσεις είναι δυνατές (το σχήμα δείχνει την απλούστερη από αυτές, στην οποία τα πάντα μειώνονται καθώς το n αυξάνεται άπειρα):

Σε κάθε τμήμα ας αντικαταστήσουμε τη συνάρτηση y=f(x) με ευθύγραμμο τμήμα που διέρχεται από τα σημεία με συντεταγμένες και . Τους απεικονίζουμε στο σχήμα με μπλε γραμμές:

Ως κατά προσέγγιση τιμή του ολοκληρώματος, παίρνουμε την παράσταση , δηλαδή ας πάρουμε .

Ας μάθουμε τι σημαίνει η γραπτή κατά προσέγγιση ισότητα με γεωμετρική έννοια. Αυτό θα καταστήσει δυνατό να κατανοήσουμε γιατί η εξεταζόμενη μέθοδος αριθμητικής ολοκλήρωσης ονομάζεται τραπεζοειδής μέθοδος.

Γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν ενός τραπεζίου βρίσκεται ως το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των βάσεων επί του ύψους. Επομένως, στην πρώτη περίπτωση, το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι περίπου ίσο με το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς με βάσεις και ύψος h, στην τελευταία περίπτωση, το οριστικό ολοκλήρωμα είναι περίπου ίσο με το εμβαδόν του τραπεζοειδούς με τις βάσεις και το ύψος h λαμβάνεται με το σύμβολο μείον. Στη δεύτερη και στην τρίτη περίπτωση, η κατά προσέγγιση τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ των περιοχών των κόκκινων και μπλε περιοχών που φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

Έτσι, καταλήξαμε η ουσία της τραπεζοειδούς μεθόδου, που συνίσταται στην αναπαράσταση ενός ορισμένου ολοκληρώματος ως άθροισμα των ολοκληρωμάτων της μορφής σε κάθε στοιχειώδες διάστημα και στην επόμενη κατά προσέγγιση αντικατάσταση .

Τραπεζοειδής τύπος.

Όπως μπορείτε να δείτε, επιτυγχάνεται η απαιτούμενη ακρίβεια.

Λίγα λόγια για τα λάθη.

Θεωρητικά, η κατά προσέγγιση τιμή ενός ορισμένου ολοκληρώματος, που υπολογίζεται με την τραπεζοειδή μέθοδο, τείνει στην πραγματική τιμή στο . Ωστόσο, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη το γεγονός ότι οι περισσότεροι ενδιάμεσοι υπολογισμοί πραγματοποιούνται κατά προσέγγιση, και για μεγάλο n, το υπολογιστικό σφάλμα αρχίζει να συσσωρεύεται.

Ας ρίξουμε μια ματιά στις εκτιμήσεις των απόλυτων σφαλμάτων της τραπεζοειδούς μεθόδου και της μεθόδου των μέσων ορθογωνίων .

Κάποιος μπορεί να αναμένει το μισό σφάλμα για ένα δεδομένο n όταν χρησιμοποιείται η μέθοδος των ορθογωνίων με τον ίδιο όγκο υπολογιστικής εργασίας, δηλαδή, η χρήση αυτής της μεθόδου είναι, κατά τα άλλα, προτιμότερη. Αυτό ισχύει όταν είναι γνωστές οι τιμές της συνάρτησης στα μεσαία σημεία των στοιχειωδών τμημάτων. Αλλά μερικές φορές οι ενσωματώσιμες συναρτήσεις προσδιορίζονται όχι αναλυτικά, αλλά ως ένα σύνολο τιμών στους κόμβους. Σε αυτή την περίπτωση, δεν θα μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο των μεσαίων ορθογωνίων, αλλά θα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο τραπεζοειδούς.

Οι μέθοδοι δεξιών και αριστερών ορθογωνίων είναι κατώτερες από τη μέθοδο των τραπεζοειδών ως προς την ακρίβεια του αποτελέσματος για έναν δεδομένο αριθμό διαμερισμάτων του τμήματος ολοκλήρωσης.

Πώς να υπολογίσετε ένα ορισμένο ολοκλήρωμα
χρησιμοποιώντας τον τραπεζοειδή τύπο και τη μέθοδο Simpson;

Οι αριθμητικές μέθοδοι είναι ένα αρκετά μεγάλο τμήμα ανώτερων μαθηματικών και τα σοβαρά εγχειρίδια για αυτό το θέμα έχουν εκατοντάδες σελίδες. Στην πράξη, σε δοκιμές, ορισμένες εργασίες προτείνονται παραδοσιακά για επίλυση με αριθμητικές μεθόδους και μία από τις κοινές εργασίες είναι ο κατά προσέγγιση υπολογισμός οριστικά ολοκληρώματα. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσω δύο μεθόδους για τον κατά προσέγγιση υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος − τραπεζοειδής μέθοδοςκαι μέθοδος Simpson.

Τι πρέπει να γνωρίζετε για να κατακτήσετε αυτές τις μεθόδους; Ακούγεται αστείο, αλλά μπορεί να μην μπορείτε να πάρετε ολοκληρώματα καθόλου. Και ακόμη και δεν καταλαβαίνω τι είναι τα ολοκληρώματα. Από τα τεχνικά μέσα, θα χρειαστείτε έναν μικροϋπολογιστή. Ναι, ναι, περιμένουμε συνηθισμένους σχολικούς υπολογισμούς. Ακόμα καλύτερα, κατεβάστε την ημιαυτόματη αριθμομηχανή μου για τη μέθοδο τραπεζοειδούς και τη μέθοδο Simpson. Η αριθμομηχανή είναι γραμμένη σε Excel και θα σας επιτρέψει να μειώσετε το χρόνο για την επίλυση και την επεξεργασία εργασιών στο δεκαπλάσιο. Περιλαμβάνεται εγχειρίδιο βίντεο για τσαγιέρες Excel! Παρεμπιπτόντως, το πρώτο βίντεο με τη φωνή μου.

Αρχικά, ας αναρωτηθούμε, γιατί χρειαζόμαστε καθόλου κατά προσέγγιση υπολογισμούς; Φαίνεται ότι είναι δυνατό να βρεθεί η αντιπαράγωγος της συνάρτησης και να χρησιμοποιηθεί ο τύπος Newton-Leibniz, υπολογίζοντας την ακριβή τιμή ενός συγκεκριμένου ολοκληρώματος. Ως απάντηση στην ερώτηση, ας εξετάσουμε αμέσως ένα παράδειγμα επίδειξης με μια εικόνα.

Υπολογίστε ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Όλα θα ήταν καλά, αλλά σε αυτό το παράδειγμα δεν λαμβάνεται το ολοκλήρωμα - πριν δεν ληφθείτε, το λεγόμενο ολοκληρωτικός λογάριθμος. Υπάρχει καν αυτό το αναπόσπαστο; Ας απεικονίσουμε το γράφημα του ολοκληρώματος στο σχέδιο:

Ολα ειναι καλά. Το ολοκλήρωμα είναι συνεχές στο διάστημα και το οριστικό ολοκλήρωμα είναι αριθμητικά ίσο με τη σκιασμένη περιοχή. Ναι, αυτό είναι μόνο ένα εμπόδιο - το αναπόσπαστο δεν έχει ληφθεί. Και σε τέτοιες περιπτώσεις, αριθμητικές μέθοδοι έρχονται στη διάσωση. Σε αυτή την περίπτωση, το πρόβλημα παρουσιάζεται σε δύο διατυπώσεις:

1) Να υπολογίσετε το οριστικό ολοκλήρωμα κατά προσέγγιση , στρογγυλοποιώντας το αποτέλεσμα σε ένα συγκεκριμένο δεκαδικό ψηφίο. Για παράδειγμα, έως δύο δεκαδικά ψηφία, έως τρία δεκαδικά ψηφία κ.λπ. Ας υποθέσουμε ότι λαμβάνετε μια κατά προσέγγιση απάντηση 5.347. Στην πραγματικότητα, μπορεί να μην είναι απολύτως σωστό (στην πραγματικότητα, ας πούμε ότι η πιο ακριβής απάντηση είναι 5.343). Το καθήκον μας είναι μόνο σε αυτόγια να στρογγυλοποιήσετε το αποτέλεσμα σε τρία δεκαδικά ψηφία.

2) Υπολογίστε το οριστικό ολοκλήρωμα κατά προσέγγιση, με μια ορισμένη ακρίβεια. Για παράδειγμα, να υπολογίσετε το οριστικό ολοκλήρωμα περίπου με ακρίβεια 0,001. Τι σημαίνει? Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρούμε μια τέτοια κατά προσέγγιση τιμή που modulo (με τον ένα ή τον άλλο τρόπο)διαφέρει από την αλήθεια κατά όχι περισσότερο από 0,001.

Υπάρχουν πολλές βασικές μέθοδοι για τον κατά προσέγγιση υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος που εμφανίζεται σε προβλήματα:

Το τμήμα της ολοκλήρωσης χωρίζεται σε πολλά μέρη και κατασκευάζεται μια κλιμακωτή φιγούρα, η οποία είναι κοντά στην περιοχή στην επιθυμητή περιοχή:

Μην κρίνετε αυστηρά από τα σχέδια, η ακρίβεια δεν είναι τέλεια - βοηθούν μόνο στην κατανόηση της ουσίας των μεθόδων.

Η ιδέα είναι παρόμοια. Το τμήμα ολοκλήρωσης χωρίζεται σε πολλά ενδιάμεσα τμήματα και προσεγγίζει το γράφημα του ολοκλήρωσης σπασμένη γραμμήγραμμή:

Άρα το εμβαδόν μας (μπλε σκίαση) προσεγγίζεται με το άθροισμα των εμβαδών των τραπεζοειδών (κόκκινο). Εξ ου και το όνομα της μεθόδου. Είναι εύκολο να δούμε ότι η μέθοδος του τραπεζοειδούς δίνει πολύ καλύτερη προσέγγιση από τη μέθοδο του ορθογωνίου (με τον ίδιο αριθμό τμημάτων διαμερισμάτων). Και, φυσικά, όσο πιο μικρά ενδιάμεσα τμήματα θεωρούμε, τόσο μεγαλύτερη θα είναι η ακρίβεια. Η τραπεζοειδής μέθοδος συναντάται κατά καιρούς σε πρακτικές εργασίες και σε αυτό το άρθρο θα αναλυθούν αρκετά παραδείγματα.

Μέθοδος Simpson (μέθοδος παραβολής). Αυτός είναι ένας πιο τέλειος τρόπος - το γράφημα του ολοκληρωτή δεν προσεγγίζεται από μια διακεκομμένη γραμμή, αλλά από μικρές παραβολές. Πόσα ενδιάμεσα τμήματα - τόσες μικρές παραβολές. Αν πάρουμε τα ίδια τρία τμήματα, τότε η μέθοδος Simpson θα δώσει ακόμη πιο ακριβή προσέγγιση από τη μέθοδο του ορθογωνίου ή της τραπεζοειδούς.

Δεν βλέπω το νόημα στη δημιουργία ενός σχεδίου, αφού οπτικά η προσέγγιση θα υπερτεθεί στο γράφημα της συνάρτησης (η διακεκομμένη γραμμή της προηγούμενης παραγράφου - και ακόμη και τότε σχεδόν συνέπεσε).

Η εργασία του υπολογισμού ενός ορισμένου ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τον τύπο Simpson είναι η πιο δημοφιλής εργασία στην πράξη. Και η μέθοδος των παραβολών θα δοθεί μεγάλη προσοχή.

Πώς να υπολογίσετε ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του τραπεζοειδούς;

Πρώτον, ο γενικός τύπος. Ίσως δεν θα είναι ξεκάθαρο σε όλους και όχι αμέσως ... Ναι, ο Karlsson είναι μαζί σας - πρακτικά παραδείγματα θα ξεκαθαρίσουν τα πάντα! Ηρεμία. Μόνο ηρεμία.

Θεωρήστε το οριστικό ολοκλήρωμα, όπου είναι μια συνάρτηση συνεχής στο τμήμα. Ας χωρίσουμε το τμήμα σε ίσοςτμήματα:
. Σε αυτή την περίπτωση, προφανώς: (κατώτερο όριο ολοκλήρωσης) και (ανώτατο όριο ολοκλήρωσης). σημεία επίσης λέγεται κόμβους.

Τότε το οριστικό ολοκλήρωμα μπορεί να υπολογιστεί κατά προσέγγιση με τον τραπεζοειδή τύπο:
, όπου:
βήμα;
είναι οι τιμές του ολοκληρώματος σε σημεία .

Παράδειγμα 1

Υπολογίστε ένα περίπου ορισμένο ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον τραπεζοειδή τύπο. Στρογγυλοποιήστε τα αποτελέσματα σε τρία δεκαδικά ψηφία.

α) Διαίρεση του τμήματος ολοκλήρωσης σε 3 μέρη.
β) Διαίρεση του τμήματος ολοκλήρωσης σε 5 μέρη.

Λύση:
α) Ειδικά για τα ανδρείκελα, έδεσα την πρώτη παράγραφο με το σχέδιο, που απέδειξε ξεκάθαρα την αρχή της μεθόδου. Αν θα είναι δύσκολο, δείτε το σχέδιο κατά τη διάρκεια των σχολίων, εδώ είναι ένα κομμάτι του:

Κατά συνθήκη, το τμήμα ολοκλήρωσης πρέπει να χωριστεί σε 3 μέρη, δηλαδή .
Υπολογίστε το μήκος κάθε τμήματος του διαμερίσματος: . Παράμετρος, θυμίζω, ονομάζεται επίσης βήμα.

Πόσα σημεία (κόμβοι διαμερισμάτων) θα υπάρχουν; Θα είναι ένα ακόμααπό τον αριθμό των τμημάτων:

Λοιπόν, η γενική φόρμουλα των τραπεζοειδών μειώνεται σε ένα ευχάριστο μέγεθος:

Για υπολογισμούς, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν κανονικό μικροϋπολογιστή:

Σημειώστε ότι, σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος, όλοι οι υπολογισμοί θα πρέπει να στρογγυλοποιηθούν στο 3ο δεκαδικό ψηφίο.

Τελικά:

Από γεωμετρική άποψη, υπολογίσαμε το άθροισμα των εμβαδών τριών τραπεζοειδών (δείτε την παραπάνω εικόνα).

β) Χωρίζουμε το τμήμα ολοκλήρωσης σε 5 ίσα μέρη, δηλαδή . Γιατί χρειάζεται αυτό; Για να μην πέσει ο Phobos-Grunt στον ωκεανό - αυξάνοντας τον αριθμό των τμημάτων, αυξάνουμε την ακρίβεια των υπολογισμών.

Αν , τότε ο τραπεζοειδής τύπος παίρνει την ακόλουθη μορφή:

Ας βρούμε το βήμα κατάτμησης:
, δηλαδή το μήκος κάθε ενδιάμεσου τμήματος είναι 0,6.

Όταν τελειώνετε την εργασία, είναι βολικό να συντάσσετε όλους τους υπολογισμούς με έναν πίνακα υπολογισμών:

Στην πρώτη γραμμή γράφουμε "μετρητής"

Νομίζω ότι όλοι μπορούν να δουν πώς σχηματίζεται η δεύτερη γραμμή - πρώτα σημειώνουμε το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης, παίρνουμε τις υπόλοιπες τιμές προσθέτοντας διαδοχικά το βήμα.

Με ποια αρχή γεμίζει η ουσία, επίσης, νομίζω, σχεδόν όλοι κατάλαβαν. Για παράδειγμα, αν , τότε . Αυτό που λέγεται, σκεφτείτε, μην είστε τεμπέλης.

Σαν άποτέλεσμα:

Λοιπόν, υπάρχει πραγματικά μια διευκρίνιση και μάλιστα σοβαρή! Αν για 3 τμήματα του διαμερίσματος η κατά προσέγγιση τιμή ήταν, τότε για 5 τμήματα . Έτσι, με υψηλό βαθμό βεβαιότητας, μπορεί να υποστηριχθεί ότι, τουλάχιστον .

Παράδειγμα 2

Υπολογίστε ένα κατά προσέγγιση καθορισμένο ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον τραπεζοειδή τύπο με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων (έως 0,01).

Λύση:Σχεδόν το ίδιο πρόβλημα, αλλά σε ελαφρώς διαφορετική διατύπωση. Η θεμελιώδης διαφορά από το Παράδειγμα 1 είναι ότι εμείς δεν ξέρουμε, ΣΕ ΠΟΣΑ τμήματα για να χωριστεί το τμήμα ολοκλήρωσης προκειμένου να ληφθούν δύο σωστά δεκαδικά ψηφία. Με άλλα λόγια, δεν γνωρίζουμε την αξία του .

Υπάρχει ένας ειδικός τύπος που σας επιτρέπει να προσδιορίσετε τον αριθμό των τμημάτων διαμερισμάτων για να διασφαλίσετε ότι επιτυγχάνεται η απαιτούμενη ακρίβεια, αλλά στην πράξη είναι συχνά δύσκολο να εφαρμοστεί. Ως εκ τούτου, είναι πλεονεκτικό να χρησιμοποιηθεί μια απλοποιημένη προσέγγιση.

Πρώτον, το τμήμα ολοκλήρωσης χωρίζεται σε πολλά μεγάλα τμήματα, κατά κανόνα, σε 2-3-4-5. Ας χωρίσουμε το τμήμα ολοκλήρωσης, για παράδειγμα, στα ίδια 5 μέρη. Ο τύπος είναι ήδη γνωστός:

Και το βήμα, φυσικά, είναι επίσης γνωστό:

Αλλά τίθεται ένα άλλο ερώτημα, σε ποιο ψηφίο πρέπει να στρογγυλοποιηθούν τα αποτελέσματα; Η συνθήκη δεν λέει τίποτα για το πόσα δεκαδικά ψηφία να αφήσετε. Η γενική σύσταση είναι: Στην απαιτούμενη ακρίβεια πρέπει να προστεθούν 2-3 ψηφία. Σε αυτήν την περίπτωση, η απαιτούμενη ακρίβεια είναι 0,01. Σύμφωνα με τη σύσταση, μετά το κόμμα, για πιστότητα, αφήνουμε πέντε χαρακτήρες (τέσσερις θα μπορούσαν να ήταν):

Σαν άποτέλεσμα:
, συμβολίζουμε την προσέγγιση με .

Μετά το πρωτεύον αποτέλεσμα, ο αριθμός των τμημάτων διπλό. Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να διαιρεθεί σε 10 τμήματα. Και όταν ο αριθμός των τμημάτων αυξάνεται, τότε έρχεται στο μυαλό μια λαμπερή σκέψη ότι το να βάλεις τα δάχτυλα σε έναν μικροϋπολογιστή είναι ήδη κάπως κουρασμένο. Επομένως, προτείνω για άλλη μια φορά να κατεβάσετε και να χρησιμοποιήσετε την ημιαυτόματη αριθμομηχανή μου (σύνδεσμος στην αρχή του μαθήματος).

Για τον τραπεζοειδή τύπο παίρνει την ακόλουθη μορφή:

Στην έντυπη έκδοση, η καταχώρηση μπορεί να μεταφερθεί με ασφάλεια στην επόμενη γραμμή.

Ας υπολογίσουμε το βήμα κατάτμησης:

Τα αποτελέσματα των υπολογισμών συνοψίζονται στον πίνακα:


Όταν τελειώνετε σε ένα σημειωματάριο, συμφέρει να μετατρέψετε ένα μακρύ τραπέζι σε τραπέζι δύο ορόφων.

Σαν άποτέλεσμα:

Τώρα υπολογίζουμε την απόκλιση μεταξύ των προσεγγίσεων:

Εδώ χρησιμοποιούμε το σύμβολο modulo, μιας και μας ενδιαφέρει απόλυτη διαφορά, και όχι ποιο αποτέλεσμα είναι μεγαλύτερο, αλλά ποιο είναι μικρότερο.

Όσο για περαιτέρω ενέργειες, προσωπικά συνάντησα 2 λύσεις στην πράξη:

1) Ο πρώτος τρόπος είναι μια «συγκριτική κεφαλή». Από την προκύπτουσα εκτίμηση σφάλματος περισσότεροαπό την απαιτούμενη ακρίβεια: , τότε είναι απαραίτητο να διπλασιαστεί ο αριθμός των τμημάτων του διαμερίσματος μέχρι και να υπολογιστεί ήδη . Με τη βοήθεια μιας αριθμομηχανής Excel, το τελικό αποτέλεσμα μπορεί να επιτευχθεί σε λίγα δευτερόλεπτα:. Τώρα υπολογίζουμε ξανά το σφάλμα: . Λήφθηκε βαθμολογία πιο λιγοαπό την απαιτούμενη ακρίβεια: , επομένως, οι υπολογισμοί έχουν ολοκληρωθεί. Μένει να στρογγυλοποιήσουμε το τελευταίο (πιο ακριβές) αποτέλεσμα σε δύο δεκαδικά ψηφία και να δώσουμε μια απάντηση.

2) Μια άλλη, πιο αποτελεσματική μέθοδος βασίζεται στη χρήση του λεγόμενου Κανόνες Runge, σύμφωνα με την οποία κάνουμε λάθος στην εκτίμηση του οριστικού ολοκληρώματος, στην πραγματικότητα, όχι περισσότερο από . Στο πρόβλημά μας: , έτσι, η ανάγκη για υπολογισμό εξαφανίζεται. Ωστόσο, για την ταχύτητα της λύσης σε αυτήν την περίπτωση, έπρεπε να πληρώσουμε με ακρίβεια: . Ωστόσο, αυτό το αποτέλεσμα είναι αποδεκτό, αφού το "όριο σφάλματος" μας είναι ακριβώς το ένα εκατοστό.

Τι να επιλέξω; Εστιάστε στο εκπαιδευτικό σας εγχειρίδιο ή στις προτιμήσεις του δασκάλου.

Απάντηση: με ακρίβεια 0,01 (όταν χρησιμοποιείτε τον κανόνα του Runge).

Παράδειγμα 3

Υπολογίστε ένα περίπου ορισμένο ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον τραπεζοειδή τύπο με ακρίβεια 0,001.

Πριν από εσάς είναι πάλι ένα ολοκλήρωμα που δεν έχει ληφθεί (σχεδόν αναπόσπαστο συνημίτονο). Στο διάλυμα του δείγματος, στο πρώτο βήμα, πραγματοποιήθηκε διαίρεση σε 4 τμήματα, δηλαδή, . Μια ολοκληρωμένη λύση και ένα κατά προσέγγιση δείγμα φινιρίσματος στο τέλος του μαθήματος.

Πώς να υπολογίσετε το οριστικό ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον τύπο του Simpson;

Εάν αναζητούσατε μόνο τη μέθοδο Simpson σε αυτήν τη σελίδα, τότε σας συνιστώ να διαβάσετε πρώτα την αρχή του μαθήματος και να δείτε τουλάχιστον το πρώτο παράδειγμα. Για το λόγο ότι πολλές ιδέες και τεχνικές θα είναι παρόμοιες με την τραπεζοειδή μέθοδο.

Και πάλι, ας ξεκινήσουμε με τον γενικό τύπο
Θεωρήστε το οριστικό ολοκλήρωμα, όπου είναι μια συνάρτηση συνεχής στο τμήμα. Ας χωρίσουμε το τμήμα σε ακόμη καιποσό ίσοςτμήματα. Ένας ζυγός αριθμός τμημάτων συμβολίζεται με .

Στην πράξη, τα τμήματα μπορεί να είναι:
δύο:
τέσσερις:
οκτώ:
δέκα:
είκοσι:
Δεν θυμάμαι άλλες επιλογές.

Προσοχή!Ο αριθμός νοείται ως ΕΝΑΣ ΑΡΙΘΜΟΣ. Αυτό είναι, ΕΙΝΑΙ ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΟμειώστε, για παράδειγμα, κατά δύο, παίρνοντας . Εγγραφή μόνο σημαίνειότι ο αριθμός των τμημάτων εξίσου. Και δεν υπάρχουν περικοπές για να μιλήσουμε.

Οπότε το διαμέρισμα μας μοιάζει με αυτό:

Οι όροι είναι παρόμοιοι με εκείνους της τραπεζοειδούς μεθόδου:
Οι τελείες λέγονται κόμβους.

Φόρμουλα Simpsonγια τον κατά προσέγγιση υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος έχει την εξής μορφή:
, όπου:
- το μήκος καθενός από τα μικρά τμήματα ή βήμα;
είναι οι τιμές του ολοκληρώματος στα σημεία .

Αναλυτικά αυτή η συσσώρευση, θα αναλύσω τον τύπο με περισσότερες λεπτομέρειες:
είναι το άθροισμα της πρώτης και της τελευταίας τιμής του ολοκληρώματος.
είναι το άθροισμα των μελών με ακόμη καιδείκτες πολλαπλασιασμένοι επί 2.
είναι το άθροισμα των μελών με Περιττόςο δείκτης πολλαπλασιάζεται επί 4.

Παράδειγμα 4

Υπολογίστε το κατά προσέγγιση ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον τύπο του Simpson με ακρίβεια 0,001. Ο διαχωρισμός ξεκινά με δύο τμήματα

Το αναπόσπαστο, παρεμπιπτόντως, και πάλι δεν λαμβάνεται.

Λύση:Εφιστώ αμέσως την προσοχή στο είδος της εργασίας - είναι απαραίτητο να υπολογιστεί ένα συγκεκριμένο ολοκλήρωμα με μια ορισμένη ακρίβεια. Το τι σημαίνει αυτό έχει ήδη σχολιαστεί στην αρχή του άρθρου, καθώς και σε συγκεκριμένα παραδείγματα της προηγούμενης παραγράφου. Όσον αφορά τη μέθοδο τραπεζοειδούς, υπάρχει ένας τύπος που θα σας επιτρέψει να προσδιορίσετε αμέσως τον απαιτούμενο αριθμό τμημάτων (την τιμή "en") προκειμένου να διασφαλίσετε την απαιτούμενη ακρίβεια. Είναι αλήθεια ότι θα πρέπει να βρούμε την τέταρτη παράγωγο και να λύσουμε το ακραίο πρόβλημα. Ποιος κατάλαβε τι εννοώ και υπολόγισε τον όγκο της δουλειάς, χαμογέλασε. Ωστόσο, δεν υπάρχει λόγος για γέλια εδώ, η εύρεση του τέταρτου παραγώγου ενός τέτοιου ολοκληρώματος δεν θα είναι πλέον ένας μεγαβοτάνος, αλλά ένας κλινικός ψυχοπαθής. Ως εκ τούτου, στην πράξη, σχεδόν πάντα χρησιμοποιείται μια απλοποιημένη μέθοδος για την εκτίμηση του σφάλματος.

Αρχίζουμε να αποφασίζουμε. Εάν έχουμε δύο τμήματα κατάτμησης, τότε οι κόμβοι θα είναι ένα ακόμα: . Και η φόρμουλα του Simpson έχει μια πολύ συμπαγή μορφή:

Ας υπολογίσουμε το βήμα κατάτμησης:

Ας συμπληρώσουμε τον πίνακα υπολογισμού:

Για άλλη μια φορά σχολιάζω πώς γεμίζει ο πίνακας:

Στην επάνω γραμμή γράφουμε τον «μετρητή» των δεικτών

Στη δεύτερη γραμμή, γράφουμε πρώτα το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης και μετά προσθέτουμε διαδοχικά το βήμα.

Στην τρίτη γραμμή εισάγουμε τις τιμές του ολοκληρωτή. Για παράδειγμα, αν , τότε . Πόσα δεκαδικά ψηφία να αφήσω;Πράγματι, η κατάσταση και πάλι δεν λέει τίποτα για αυτό. Η αρχή είναι η ίδια όπως στην τραπεζοειδή μέθοδο, εξετάζουμε την απαιτούμενη ακρίβεια: 0,001. Και προσθέστε επιπλέον 2-3 ψηφία. Δηλαδή, πρέπει να στρογγυλοποιήσετε μέχρι 5-6 δεκαδικά ψηφία.

Σαν άποτέλεσμα:

Το πρώτο αποτέλεσμα έχει ληφθεί. Τώρα διπλόαριθμός τμημάτων έως τέσσερα: . Ο τύπος του Simpson για αυτό το διαμέρισμα έχει την ακόλουθη μορφή:

Ας υπολογίσουμε το βήμα κατάτμησης:

Ας συμπληρώσουμε τον πίνακα υπολογισμού:


Με αυτόν τον τρόπο:

Ας βρούμε την απόλυτη τιμή της διαφοράς μεταξύ των προσεγγίσεων:

Ο κανόνας του Runge για τη μέθοδο του Simpson είναι νόστιμος. Εάν κατά τη χρήση μέθοδος μεσαίου ορθογωνίουκαι τη μέθοδο του τραπεζοειδούς, μας δίνεται μια «τέρψη» του ενός τρίτου, τώρα - όσο το ένα δέκατο πέμπτο:
, και η ακρίβεια δεν υποφέρει πλέον εδώ:

Αλλά για λόγους πληρότητας, θα δώσω επίσης μια «απλή» λύση, όπου πρέπει να κάνετε ένα επιπλέον βήμα: αφού η ακρίβεια είναι μεγαλύτερη από την απαιτούμενη: , τότε είναι απαραίτητο να διπλασιαστεί ξανά ο αριθμός των τμημάτων: .

Η φόρμουλα του Simpson αυξάνεται με άλματα και όρια:

Ας υπολογίσουμε το βήμα:

Ας συμπληρώσουμε ξανά το υπολογιστικό φύλλο:

Με αυτόν τον τρόπο:

Σημειώστε ότι εδώ είναι επιθυμητό να περιγράψετε τους υπολογισμούς με περισσότερες λεπτομέρειες, καθώς ο τύπος του Simpson είναι αρκετά δυσκίνητος και αν χτυπήσετε αμέσως:
, τότε αυτό το ποτό θα μοιάζει με hack. Και με μια πιο λεπτομερή καταγραφή, ο δάσκαλος θα έχει την ευνοϊκή εντύπωση ότι σβήσατε ευσυνείδητα τα πλήκτρα του μικροϋπολογιστή για μια καλή ώρα. Λεπτομερείς υπολογισμοί για "σκληρές" περιπτώσεις υπάρχουν στην αριθμομηχανή μου.

Υπολογίζουμε το σφάλμα:

Το σφάλμα είναι μικρότερο από την απαιτούμενη ακρίβεια: . Απομένει να κάνουμε την πιο ακριβή προσέγγιση , να την στρογγυλοποιήσουμε μέχρι τρία δεκαδικά ψηφία και να γράψουμε:

Απάντηση: με ακρίβεια 0,001

Παράδειγμα 5

Υπολογίστε το κατά προσέγγιση ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον τύπο Simpson με ακρίβεια 0,0001. Ο διαχωρισμός ξεκινά με δύο τμήματα

Αυτό είναι ένα παράδειγμα "φτιάξ' το μόνος σου". Ένα παράδειγμα τελικής πινελιάς και μια απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Στο τελευταίο μέρος του μαθήματος, θα εξετάσουμε μερικά ακόμη κοινά παραδείγματα.

Παράδειγμα 6

Υπολογίστε την κατά προσέγγιση τιμή ενός ορισμένου ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τον τύπο Simpson, διαιρώντας το τμήμα ολοκλήρωσης σε 10 μέρη. Οι υπολογισμοί πραγματοποιούνται με ακρίβεια τριών δεκαδικών ψηφίων.

Αφήστε τη διαίρεση του τμήματος σε μέρη, να ληφθεί ξανά. Αντικαταστήστε κατά προσέγγιση την περιοχή κάτω από το γράφημα, που βρίσκεται πάνω από το διάστημα διαχωρισμού, με την περιοχή του τραπεζοειδούς, οι παράλληλες βάσεις του οποίου είναι τα τμήματα που καθορίζουν τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος, δηλαδή, και (βλ. Εικ.).

Τότε η περιοχή ενός τέτοιου τραπεζοειδούς είναι προφανώς ίση με

Συνοψίζοντας όλες τις περιοχές, παίρνουμε το τετράγωνο τραπεζοειδής τύπος:

Αυτός είναι ο ίδιος τύπος που προέκυψε συνδυάζοντας τους τύπους του αριστερού και του δεξιού ορθογωνίου, στον οποίο συμβολίσαμε τη δεξιά πλευρά με .

Σημειώστε ότι κατά τον υπολογισμό του εμβαδού κάθε επόμενου τραπεζοειδούς, αρκεί να υπολογίσετε την τιμή της συνάρτησης μόνο σε ένα νέο σημείο - στο δεξί άκρο του επόμενου διαστήματος, καθώς το σημείο ήταν το δεξιό άκρο του προηγούμενου τμήματος και η τιμή σε αυτό το σημείο έχει ήδη υπολογιστεί κατά την εύρεση της περιοχής του προηγούμενου τραπεζοειδούς.

Εάν όλα τα τμήματα του διαμερίσματος επιλεγούν να έχουν το ίδιο μήκος, τότε ο τραπεζοειδής τύπος παίρνει τη μορφή

Όλες οι τιμές της συνάρτησης εκτός από και εμφανίζονται δύο φορές σε αυτόν τον τύπο. Επομένως, συνδυάζοντας ίσους όρους, μπορούμε να γράψουμε τον τραπεζοειδή τύπο στη μορφή

Έστω η συνάρτηση να έχει μια δεύτερη παράγωγο που διατηρεί το πρόσημο στο διάστημα . Όπως φαίνεται εύκολα από το προηγούμενο σχήμα, η φύση του σφάλματος αυτού του τύπου τετραγωνισμού είναι η εξής: εάν , δηλαδή, εάν το γράφημα είναι κυρτό προς τα πάνω, τότε και, επομένως, ; αν το γράφημα έχει επίσης κυρτότητα προς τα κάτω, τότε και .

Αν το συγκρίνουμε με τις τιμές του σφάλματος του τύπου των κεντρικών ορθογωνίων που μελετήθηκαν παραπάνω, τότε βλέπουμε ότι για συναρτήσεις των οποίων η δεύτερη παράγωγος διατηρεί το πρόσημά της στο διάστημα ολοκλήρωσης, τα σημάδια των σφαλμάτων είναι αντίθετα. Υπάρχει η επιθυμία να συνδυαστεί ο τύπος των τραπεζοειδών και ο τύπος των κεντρικών ορθογωνίων έτσι ώστε αυτά τα σφάλματα να αντισταθμίζονται όσο το δυνατόν περισσότερο. Για να κατανοήσουμε ποιος συνδυασμός τύπων πρέπει να ληφθεί, πρέπει να μάθουμε τι μέγεθος έχουν αυτά τα σφάλματα και, ανάλογα με την επιλογή βήμα. Αυτές οι εκτιμήσεις σφαλμάτων είναι επίσης ανεξάρτητης σημασίας, καθώς καθιστούν δυνατή τη διαπίστωση της ακρίβειας της κατά προσέγγιση τιμής του ολοκληρώματος που λαμβάνεται με την εφαρμογή του αντίστοιχου τύπου τετραγωνισμού.

Η μέθοδος Monte Carlo για τον υπολογισμό μονοδιάστατων ολοκληρωμάτων συνήθως δεν χρησιμοποιείται, καθώς οι τύποι τετραγωνισμού είναι πιο βολικοί για την απόκτηση υψηλής ακρίβειας. Αυτή η μέθοδος αποδεικνύεται πιο αποτελεσματική κατά τον υπολογισμό πολλαπλών ολοκληρωμάτων, όταν οι τύποι κυβισμού είναι πολύ περίπλοκοι και απαιτούν μεγάλο αριθμό υπολογισμών για να επιτευχθεί ένα μικρό σφάλμα.

Όταν χρησιμοποιούνται τύποι τετραγωνισμού ή κυβισμού, ο αριθμός των πράξεων αυξάνεται γρήγορα με την αύξηση της διάστασης του ολοκληρώματος. Για παράδειγμα, εάν για να υπολογιστεί ένα μονοδιάστατο ολοκλήρωμα με την τραπεζοειδή μέθοδο με δεδομένη ακρίβεια, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το άθροισμα της σειράς Νόρους, τότε για να υπολογίσετε το διπλό ολοκλήρωμα με την ίδια μέθοδο, είναι απαραίτητο να προσθέσετε σειρά Ν 2 όροι, και για το τριπλό ολοκλήρωμα ο αριθμός των όρων είναι της τάξης Ν 3 .

Αριθμός δοκιμών Ναπαιτείται για την επίτευξη της καθορισμένης ακρίβειας ε κατά προσέγγιση τιμή, στη μέθοδο Monte Carlo υπάρχει μια ποσότητα παραγγελίας και δεν εξαρτάται από τη διάσταση του ολοκληρώματος .

Το ακόλουθο κριτήριο επιλογής εφαρμόζεται μεταξύ του τύπου κυβισμού R-η τάξη ακρίβειας και η μέθοδος Monte Carlo για υπολογισμό με ακρίβεια ε πολλαπλό ολοκλήρωμα της συνάρτησης Μμεταβλητές:

1) αν ο αριθμός των διαστάσεων m < 2R, είναι καλύτερο να χρησιμοποιείτε τύπους κυβισμού ή τετραγωνισμού;

2) αν μ > 2R – Μέθοδος Μόντε Κάρλο.

Για παράδειγμα, εάν R= 1, είναι πιο πλεονεκτικό να υπολογίζουμε τριπλά ολοκληρώματα με τη μέθοδο Monte Carlo και μονοδιάστατα ολοκληρώματα - με τύπους τετραγωνισμού.

Αν ένα R= 2, είναι καλύτερο να υπολογίσετε πενταδιάστατα ολοκληρώματα με τη μέθοδο Monte Carlo και μονοδιάστατα, διπλά και τριπλά ολοκληρώματα - με τύπους τετραγωνισμού ή κυβισμού.

Ας εξετάσουμε συγκεκριμένους τύπους της μεθόδου Monte Carlo για τον υπολογισμό πολλαπλών ολοκληρωμάτων, οι οποίοι προκύπτουν με τη μέθοδο που χρησιμοποιήθηκε για την εξαγωγή του τύπου (9.7).

Έστω ότι απαιτείται να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα

Ας τρέξουμε μια σειρά από Ντεστ τυχαίων σημείων ( x i, y i), όπου x i ένα, σι], ένα y iομοιόμορφα κατανεμημένα στο διάστημα [ Με, ρε]. Ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα (9.9) με τον τύπο

Για το τριπλό ολοκλήρωμα, παίρνουμε ομοίως τον τύπο

όπου x iομοιόμορφα κατανεμημένα στο διάστημα [ ένα, σι], y i– στο τμήμα [ Με, ρε], ένα z i– στο τμήμα [ R, q]; Νείναι ο αριθμός των δοκιμών.

Για Μ-διπλώστε ολοκλήρωμα, ο τύπος της μεθόδου Monte Carlo έχει τη μορφή