Παραδείγματα επίλυσης σειρών Fourier. Επέκταση σειράς Fourier άρτιων και περιττών συναρτήσεων Ανισότητα Bessel Ισότητα Parseval

Η συνάρτηση ορίζεται για όλες τις τιμές Χ που ονομάζεται περιοδικός, αν υπάρχει τέτοιος αριθμός T (T≠ 0), αυτό για οποιαδήποτε αξία Χισότητα f(x + T) = f(x). Αριθμός Τσε αυτή την περίπτωση είναι η περίοδος της συνάρτησης.

Ιδιότητες περιοδικών συναρτήσεων:

1) Άθροισμα, διαφορά, γινόμενο και πηλίκο συναρτήσεων περιοδικής περιόδου Τείναι μια περιοδική συνάρτηση της περιόδου Τ.

2) Αν η συνάρτηση f(x)έχει περίοδο Τ, μετά η συνάρτηση φαξ)έχει περίοδο

Πράγματι, για οποιοδήποτε επιχείρημα Χ:

(πολλαπλασιάζοντας το όρισμα με έναν αριθμό σημαίνει συμπίεση ή επέκταση του γραφήματος αυτής της συνάρτησης κατά μήκος του άξονα OH)

Για παράδειγμα, μια συνάρτηση έχει περίοδο , η περίοδος μιας συνάρτησης είναι

3) Αν f(x)περιοδική λειτουργία περιόδου Τ, τότε οποιαδήποτε δύο ολοκληρώματα αυτής της συνάρτησης είναι ίσα, λαμβανόμενα στο διάστημα μήκους Τ(υποτίθεται ότι υπάρχουν αυτά τα ολοκληρώματα).

Σειρά Fourier για συνάρτηση με περίοδο T= .

Μια τριγωνομετρική σειρά είναι μια σειρά της μορφής:

ή εν ολίγοις,

Όπου , , , , , … , , , … είναι πραγματικοί αριθμοί, που ονομάζονται συντελεστές της σειράς.

Κάθε όρος της τριγωνομετρικής σειράς είναι μια περιοδική συνάρτηση της περιόδου (γιατί - έχει οποιαδήποτε

περίοδος, και η περίοδος () είναι , και ως εκ τούτου ). Κάθε όρος (), με n= 1,2,3… είναι μια αναλυτική έκφραση μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης, όπου ΕΝΑ- εύρος,

αρχική φάση. Λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω, παίρνουμε: εάν η τριγωνομετρική σειρά συγκλίνει σε ένα τμήμα του μήκους της περιόδου, τότε συγκλίνει σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα και το άθροισμά της είναι μια περιοδική συνάρτηση της περιόδου.

Έστω η τριγωνομετρική σειρά να συγκλίνει ομοιόμορφα σε ένα τμήμα (και επομένως σε οποιοδήποτε τμήμα) και το άθροισμά της είναι ίσο με . Για να προσδιορίσουμε τους συντελεστές αυτής της σειράς, χρησιμοποιούμε τις ακόλουθες ισότητες:

Χρησιμοποιούμε επίσης τις παρακάτω ιδιότητες.

1) Όπως είναι γνωστό, το άθροισμα μιας σειράς που αποτελείται από συνεχείς συναρτήσεις ομοιόμορφα συγκλίνουσες σε ένα συγκεκριμένο τμήμα είναι από μόνο του μια συνεχής συνάρτηση σε αυτό το τμήμα. Δεδομένου αυτού, παίρνουμε ότι το άθροισμα μιας τριγωνομετρικής σειράς που συγκλίνει ομοιόμορφα σε ένα τμήμα είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ολόκληρο τον πραγματικό άξονα.

2) Η ομοιόμορφη σύγκλιση της σειράς σε ένα τμήμα δεν θα παραβιαστεί εάν όλοι οι όροι της σειράς πολλαπλασιαστούν με μια συνάρτηση που είναι συνεχής σε αυτό το τμήμα.

Συγκεκριμένα, η ομοιόμορφη σύγκλιση σε ένα τμήμα μιας δεδομένης τριγωνομετρικής σειράς δεν θα παραβιαστεί εάν όλα τα μέλη της σειράς πολλαπλασιαστούν με ή επί .

Κατά συνθήκη

Ως αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης κάθε προς όρο της ομοιόμορφα συγκλίνουσας σειράς (4.2) και λαμβάνοντας υπόψη τις παραπάνω ισότητες (4.1) (ορθογωνικότητα τριγωνομετρικών συναρτήσεων), λαμβάνουμε:

Επομένως, ο συντελεστής

Πολλαπλασιάζοντας την ισότητα (4.2) με , ενσωματώνοντας αυτήν την ισότητα στο εύρος από έως και, λαμβάνοντας υπόψη τις παραπάνω εκφράσεις (4.1), λαμβάνουμε:

Επομένως, ο συντελεστής

Ομοίως, πολλαπλασιάζοντας την ισότητα (4.2) με και ενσωματώνοντάς την εντός των ορίων από έως , λαμβάνοντας υπόψη τις ισότητες (4.1), έχουμε:

Επομένως, ο συντελεστής

Έτσι, λαμβάνονται οι ακόλουθες εκφράσεις για τους συντελεστές της σειράς Fourier:

Επαρκή κριτήρια για την επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά Fourier.Θυμηθείτε ότι το σημείο Χ o διακοπή λειτουργίας f(x)ονομάζεται σημείο ασυνέχειας του πρώτου είδους εάν υπάρχουν πεπερασμένα όρια δεξιά και αριστερά της συνάρτησης f(x)στην περιοχή του σημείου.

Όριο στα δεξιά

Αριστερό όριο.

Θεώρημα (Dirichlet).Εάν η συνάρτηση f(x)έχει περίοδο και είναι συνεχές στο τμήμα ή έχει πεπερασμένο αριθμό σημείων ασυνέχειας του πρώτου είδους και, επιπλέον, το τμήμα μπορεί να χωριστεί σε έναν πεπερασμένο αριθμό τμημάτων έτσι ώστε μέσα σε καθένα από αυτά f(x)είναι μονότονη, τότε η σειρά Fourier για τη συνάρτηση f(x)συγκλίνει για όλες τις τιμές Χ. Επιπλέον, στα σημεία συνέχειας της συνάρτησης f(x)το άθροισμά του είναι f(x), και στα σημεία ασυνέχειας της συνάρτησης f(x)το άθροισμά του είναι, δηλ. ο αριθμητικός μέσος όρος των οριακών τιμών αριστερά και δεξιά. Επιπλέον, η σειρά Fourier για τη λειτουργία f(x)συγκλίνει ομοιόμορφα σε οποιοδήποτε τμήμα που μαζί με τα άκρα του ανήκει στο διάστημα της συνέχειας της συνάρτησης f(x).

Παράδειγμα: επεκτείνετε τη συνάρτηση σε μια σειρά Fourier

Ικανοποίηση της συνθήκης.

Λύση.Λειτουργία f(x)ικανοποιεί τις συνθήκες επέκτασης Fourier, οπότε μπορούμε να γράψουμε:

Σύμφωνα με τους τύπους (4.3), μπορεί κανείς να λάβει τις ακόλουθες τιμές των συντελεστών της σειράς Fourier:

Κατά τον υπολογισμό των συντελεστών της σειράς Fourier χρησιμοποιήθηκε ο τύπος "ολοκλήρωση ανά μέρη".

Και ως εκ τούτου

Σειρές Fourier για άρτιες και περιττές συναρτήσεις με περίοδο T = .

Χρησιμοποιούμε την ακόλουθη ιδιότητα του ολοκληρώματος έναντι ενός συμμετρικού ως προς x=0σπιθαμή:

Αν ένα f(x)- περιττή συνάρτηση,

αν f(x)είναι μια άρτια συνάρτηση.

Σημειώστε ότι το γινόμενο δύο άρτιων ή δύο περιττών συναρτήσεων είναι μια άρτια συνάρτηση και το γινόμενο μιας άρτιας συνάρτησης και μιας περιττής συνάρτησης είναι μια περιττή συνάρτηση. Άσε τώρα f(x)- ακόμη και περιοδική συνάρτηση με περίοδο , που ικανοποιεί τις προϋποθέσεις επέκτασης σε σειρά Fourier. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας την παραπάνω ιδιότητα των ολοκληρωμάτων, παίρνουμε:

Έτσι, η σειρά Fourier για μια άρτια συνάρτηση περιέχει μόνο άρτιες συναρτήσεις - συνημίτονα και γράφεται ως εξής:

και τους συντελεστές bn = 0.

Με το ίδιο επιχείρημα, καταλαβαίνουμε ότι αν f(x) -μια περιττή περιοδική συνάρτηση που ικανοποιεί τις συνθήκες επέκτασης σε μια σειρά Fourier, επομένως, η σειρά Fourier για μια περιττή συνάρτηση περιέχει μόνο περιττές συναρτήσεις - ημίτονο και γράφεται ως εξής:

εν an=0στο n=0, 1,…

Παράδειγμα:επεκτείνετε σε μια σειρά Fourier μια περιοδική συνάρτηση

Από τη δεδομένη περιττή συνάρτηση f(x)ικανοποιεί τις συνθήκες επέκτασης Fourier, λοιπόν

ή, που είναι το ίδιο,

Και η σειρά Fourier για αυτή τη λειτουργία f(x)μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Σειρά Fourier για συναρτήσεις οποιασδήποτε περιόδου T=2 μεγάλο.

Αφήνω f(x)- περιοδική λειτουργία οποιασδήποτε περιόδου T=2l(μεγάλο-μισή περίοδος), τμηματικά-λείο ή τμηματικά-μονότονο στο διάστημα [ -Ι, λ]. Υποθέτοντας x=at,λάβετε τη συνάρτηση Λίπος)διαφωνία t,της οποίας η περίοδος είναι . Ας διαλέξουμε έναώστε η περίοδος της συνάρτησης Λίπος)ήταν ίσο με , δηλ. T = 2l

Λύση.Λειτουργία f(x)- περιττό, ικανοποιώντας τις συνθήκες επέκτασης σε σειρά Fourier, επομένως, με βάση τους τύπους (4.12) και (4.13), έχουμε:

(κατά τον υπολογισμό του ολοκληρώματος χρησιμοποιήθηκε ο τύπος "ολοκλήρωση ανά μέρη").

Κοντά στο FourierΗ συνάρτηση f (x) στο διάστημα (-π; π) ονομάζεται τριγωνομετρική σειρά της μορφής:
, όπου

Η σειρά Fourier της συνάρτησης f (x) στο διάστημα (-l; l) ονομάζεται τριγωνομετρική σειρά της μορφής:
, όπου

Ραντεβού. Ηλεκτρονική αριθμομηχανήπροορίζεται για την επέκταση της συνάρτησης f(x) στη σειρά Fourier.

Για συναρτήσεις modulo (π.χ. |x|), χρησιμοποιήστε διαστολή συνημιτόνου.

Κανόνες εισαγωγής συναρτήσεων:

Για συναρτήσεις modulo, χρησιμοποιήστε την επέκταση συνημιτόνου. Για παράδειγμα, για |x| είναι απαραίτητο να εισαχθεί μια συνάρτηση χωρίς ενότητα, π.χ. Χ .

Σειρά Fourier τμηματικά-συνεχής, τμηματικά-μονότονη και περιορισμένη στο διάστημα (- μεγάλο;μεγάλο) της συνάρτησης συγκλίνει σε ολόκληρο τον πραγματικό άξονα.

Το άθροισμα της σειράς Fourier S(x):

• είναι μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο 2 μεγάλο. Μια συνάρτηση u(x) ονομάζεται περιοδική με περίοδο Τ (ή Τ-περιοδική) αν για όλα τα x του πεδίου ορισμού R, u(x+T)=u(x).
• στο μεσοδιάστημα (- μεγάλο;μεγάλο) συμπίπτει με τη συνάρτηση φά(Χ), εκτός από τα σημεία διακοπής
• σε σημεία ασυνέχειας (πρώτου είδους, αφού η συνάρτηση είναι περιορισμένη) της συνάρτησης φά(Χ) και παίρνει μέσες τιμές στα άκρα του διαστήματος:

.
Λένε ότι η συνάρτηση επεκτείνεται σε μια σειρά Fourier στο διάστημα (- μεγάλο;μεγάλο): .

Αν ένα φά(Χ) είναι μια άρτια συνάρτηση, τότε μόνο άρτιες συναρτήσεις συμμετέχουν στην επέκτασή της, δηλαδή, b n=0.
Αν ένα φά(Χ) είναι μια περιττή συνάρτηση, τότε μόνο περιττές συναρτήσεις συμμετέχουν στην επέκτασή της, δηλαδή, a n=0

Κοντά στο Fourier λειτουργίες φά(Χ) στο διάστημα (0; μεγάλο) από συνημίτονα πολλαπλών τόξων η σειρά ονομάζεται:
, όπου
.
Κοντά στο Fourier λειτουργίες φά(Χ) στο διάστημα (0; μεγάλο) από ημίτονο πολλαπλών τόξων η σειρά ονομάζεται:
, όπου .
Το άθροισμα της σειράς Fourier πάνω από τα συνημίτονα πολλαπλών τόξων είναι μια άρτια περιοδική συνάρτηση με περίοδο 2 μεγάλο, που συμπίπτει με φά(Χ) στο διάστημα (0; μεγάλο) σε σημεία συνέχειας.
Το άθροισμα της σειράς Fourier πάνω από τα ημιτόνια πολλαπλών τόξων είναι μια περιττή περιοδική συνάρτηση με περίοδο 2 μεγάλο, που συμπίπτει με φά(Χ) στο διάστημα (0; μεγάλο) σε σημεία συνέχειας.
Η σειρά Fourier για μια δεδομένη συνάρτηση σε ένα δεδομένο διάστημα έχει την ιδιότητα της μοναδικότητας, δηλαδή, εάν η επέκταση λαμβάνεται με οποιονδήποτε άλλο τρόπο εκτός από τη χρήση τύπων, για παράδειγμα, επιλέγοντας συντελεστές, τότε αυτοί οι συντελεστές συμπίπτουν με αυτούς που υπολογίζονται από τους τύπους .

Παράδειγμα #1. Αναπτύξτε τη συνάρτηση f(x)=1:
α) σε μια πλήρη σειρά Fourier στο διάστημα(-π ;π);
β) σε μια σειρά κατά μήκος των ημιτόνων πολλαπλών τόξων στο διάστημα(0;π); σχεδιάστε την προκύπτουσα σειρά Fourier
Λύση:
α) Η επέκταση στη σειρά Fourier στο διάστημα (-π; π) έχει τη μορφή:
,
και όλους τους συντελεστές b n=0, γιατί αυτή η συνάρτηση είναι άρτια. έτσι,

Προφανώς η ισότητα θα ικανοποιηθεί αν πάρουμε
ένα 0 =2, ένα 1 =ένα 2 =ένα 3 =…=0
Δυνάμει της ιδιότητας μοναδικότητας, αυτοί είναι οι επιθυμητοί συντελεστές. Έτσι, η απαιτούμενη επέκταση είναι: ή απλώς 1=1.
Σε αυτήν την περίπτωση, όταν η σειρά συμπίπτει πανομοιότυπα με τη συνάρτησή της, το γράφημα της σειράς Fourier συμπίπτει με το γράφημα της συνάρτησης σε ολόκληρη την πραγματική γραμμή.
β) Η διαστολή στο διάστημα (0;π) ως προς τα ημίτονο πολλαπλών τόξων έχει τη μορφή:
Είναι προφανώς αδύνατο να επιλέξουμε τους συντελεστές έτσι ώστε η ισότητα να ισχύει πανομοιότυπα. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για να υπολογίσουμε τους συντελεστές:


Έτσι, για ακόμη n (n=2κ) έχουμε b n=0, για περιττό ( n=2κ-1) -
Τελικά, .
Ας σχεδιάσουμε την προκύπτουσα σειρά Fourier χρησιμοποιώντας τις ιδιότητές της (βλ. παραπάνω).
Πρώτα απ 'όλα, χτίζουμε ένα γράφημα αυτής της συνάρτησης σε ένα δεδομένο διάστημα. Περαιτέρω, εκμεταλλευόμενοι την περιττότητα του αθροίσματος της σειράς, συνεχίζουμε το γράφημα συμμετρικά προς την αρχή:

Συνεχίζουμε περιοδικά σε όλο τον αριθμητικό άξονα:


Και τέλος, στα σημεία διακοπής, συμπληρώνουμε τις μέσες τιμές (μεταξύ του δεξιού και του αριστερού ορίου):

Παράδειγμα #2. Λειτουργία επέκτασης στο διάστημα (0;6) κατά μήκος των ημιτόνων πολλαπλών τόξων.
Λύση: Η επιθυμητή επέκταση έχει τη μορφή:

Δεδομένου ότι τόσο το αριστερό όσο και το δεξί μέρος της ισότητας περιέχουν μόνο συναρτήσεις sin διαφορετικών ορισμάτων, θα πρέπει να ελέγξετε αν τα ορίσματα των ημιτόνων στο αριστερό και το δεξί μέρος της ισότητας συμπίπτουν για οποιεσδήποτε τιμές του n (φυσικό!)
ή , από όπου n =18. Αυτό σημαίνει ότι ένας τέτοιος όρος περιέχεται στη δεξιά πλευρά και ο συντελεστής για αυτόν πρέπει να συμπίπτει με τον συντελεστή στην αριστερή πλευρά: σι 18 =1;
ή , από όπου n =4. Που σημαίνει, σι 4 =-5.
Έτσι, χρησιμοποιώντας την επιλογή των συντελεστών, ήταν δυνατό να επιτευχθεί η επιθυμητή επέκταση.

Ένας από τους τύπους συναρτησιακών σειρών είναι η τριγωνομετρική σειρά

Το καθήκον είναι να επιλέξετε τους συντελεστές της σειράς έτσι ώστε να συγκλίνει σε μια συνάρτηση που δίνεται στο διάστημα [-π, π]. Με άλλα λόγια, απαιτείται η επέκταση της δεδομένης συνάρτησης σε μια τριγωνομετρική σειρά. Μια επαρκής προϋπόθεση για τη δυνατότητα επίλυσης αυτού του προβλήματος είναι η συνάρτηση να είναι τμηματικά συνεχής και διαφοροποιήσιμη τμηματικά στο διάστημα [-π, π], δηλ. το διάστημα [-π, π] να μπορεί να διαιρεθεί σε έναν πεπερασμένο αριθμό μερικών διαστημάτων , σε καθεμία από τις οποίες η δεδομένη συνάρτηση είναι συνεχής και έχει παράγωγο (στα άκρα των επιμέρους διαστημάτων η συνάρτηση πρέπει να έχει πεπερασμένα μονόπλευρα όρια και μονόπλευρες παραγώγους, για τον υπολογισμό των οποίων λαμβάνεται το μονόπλευρο όριό της ως τιμή της συνάρτησης στο τέλος του μερικού διαστήματος). Η συνθήκη της τμηματικής διαφορισιμότητας μπορεί να αντικατασταθεί από την συνθήκη της τμηματικής μονοτονίας της συνάρτησης, δηλ. την απαίτηση η συνάρτηση να είναι μονότονη σε καθένα από τα επιμέρους διαστήματα. Επαρκής προϋπόθεση για την επέκταση μιας συνάρτησης στο διάστημα [-π, π] σε μια τριγωνομετρική σειρά είναι επίσης η απαίτηση η συνάρτηση να έχει περιορισμένη μεταβολή σε αυτό το διάστημα. Σύμφωνα με τον ορισμό της συνάρτησης f(x) έχει μια οριοθετημένη αλλαγή σε ένα διάστημα εάν, για οποιαδήποτε διαίρεση αυτού του διαστήματος σε πεπερασμένο αριθμό διαστημάτων

μέγεθος

που οριοθετείται παραπάνω από τον ίδιο αριθμό.

Είναι με τέτοιες λειτουργίες που πρέπει να αντιμετωπίσει κανείς για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων.

Όταν εκτελείτε οποιοδήποτε από τα τρία επαρκείς προϋποθέσειςη συνάρτηση f(x) αντιπροσωπεύεται στο διάστημα [-π, π] από μια τριγωνομετρική σειρά της οποίας οι συντελεστές καθορίζονται από τους τύπους

Με τέτοιους συντελεστές καλείται η τριγωνομετρική σειρά κοντά στη Φουριέ. Αυτή η σειρά συγκλίνει σε f(x) σε κάθε σημείο της συνέχειάς της. στα σημεία διακοπής, συγκλίνει στον αριθμητικό μέσο όρο της αριστερής και της δεξιάς οριακής τιμής, δηλ. k, εάν το x είναι σημείο διακοπής (Εικ. 1). στα όρια του τμήματος, η σειρά συγκλίνει σε .

Εικόνα 1.

Η συνάρτηση που εκφράζεται από τη σειρά Fourier είναι μια περιοδική συνάρτηση, και επομένως η σειρά που μεταγλωττίζεται για τη συνάρτηση που δίνεται στο τμήμα [-π, π] συγκλίνει έξω από αυτό το τμήμα σε μια περιοδική συνέχεια αυτής της συνάρτησης (Εικ. 2).

Σχήμα 2.

Εάν η σειρά Fourier αντιπροσωπεύει τη συνάρτηση f(x), που δίνεται σε ένα αυθαίρετο διάστημα [α, α+2π] μήκους 2π, τότε οι συντελεστές της σειράς a 0 , a k , b k (συντελεστές Fourier) μπορούν να προσδιοριστούν από τους υποδεικνυόμενους τύπους, στους οποίους τα όρια ολοκλήρωσης αντικαθίστανται από α και α+2π. Γενικά, δεδομένου ότι οι τύποι για τα 0 , a k , b k περιέχουν συναρτήσεις με περίοδο 2π, η ολοκλήρωση μπορεί να πραγματοποιηθεί σε οποιοδήποτε διάστημα με μήκος 2π.

Η σειρά Fourier μπορεί να χρησιμοποιηθεί για μια κατά προσέγγιση αναπαράσταση της συνάρτησης, δηλαδή: η συνάρτηση f(x) αντικαθίσταται από το άθροισμα s n (x) των πρώτων όρων της σειράς Fourier, που είναι περίπου ίσο με αυτήν:

Η παράσταση s n (x), όπου a 0 , a k , b k είναι οι συντελεστές Fourier της συνάρτησης f(x), σε σύγκριση με άλλες εκφράσεις της ίδιας μορφής με την ίδια τιμή n, αλλά με διαφορετικούς συντελεστές, οδηγεί στο ελάχιστη τυπική απόκλιση s n (x) της f(x), η οποία ορίζεται ως

Ορισμένες απλοποιήσεις είναι δυνατές ανάλογα με το είδος της συμμετρίας της συνάρτησης. Αν η συνάρτηση είναι άρτια, δηλ. f(-x)=f(x), τότε

και η συνάρτηση επεκτείνεται σε μια σειρά σε συνημίτονα. Αν η συνάρτηση είναι περιττή, δηλ. f(-x)=-f(x), τότε

και η συνάρτηση επεκτείνεται σε μια σειρά ως προς τα ημιτόνια. Εάν η συνάρτηση ικανοποιεί τη συνθήκη f(x+π)=-f(x), δηλ. η καμπύλη που αναφέρεται στο μισό τμήμα μήκους 2π είναι κατοπτρική εικόνα του άλλου μισού της καμπύλης, τότε

Η συνάρτηση μπορεί να οριστεί όχι μόνο σε ένα τμήμα μήκους 2π, αλλά και σε ένα τμήμα οποιουδήποτε μήκους 2l. Εάν ικανοποιεί τις παραπάνω προϋποθέσεις σε αυτό το τμήμα, τότε μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά Fourier της ακόλουθης μορφής:

όπου οι συντελεστές της σειράς υπολογίζονται από τους τύπους

Στον πίνακα. Δίνονται 1 επεκτάσεις ορισμένων συναρτήσεων.

Τραπέζι 1.

Η τριγωνομετρική σειρά μπορεί επίσης να γραφτεί με την ακόλουθη μορφή:

Η σειρά Fourier της συνάρτησης f(x) συγκλίνει όσο πιο γρήγορα, τόσο πιο ομαλή είναι η συνάρτηση. Αν η συνάρτηση f (x) και οι παράγωγοί της f "(x), f" (x), ..., f k -1 (x) είναι παντού συνεχείς, και η f (k) (x) επιτρέπει μόνο σημεία ασυνέχειας του 1ο είδος σε έναν πεπερασμένο αριθμό, τότε οι συντελεστές Fourier a n , b n της συνάρτησης f (x) θα είναι

Το σύμβολο υποδηλώνει μια τιμή τέτοια ώστε

Η επέκταση σε μια τριγωνομετρική σειρά ονομάζεται αρμονική ανάλυση και οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις που περιλαμβάνονται σε αυτή τη σειρά ονομάζονται αρμονικές. Ο υπολογισμός των αρμονικών των συστατικών ονομάζεται αρμονική σύνθεση.

Κατά τον υπολογισμό των δομών, είναι συχνά απαραίτητο να επεκταθεί σε μια σειρά Fourier διάφορες λειτουργίεςδίνεται από γραφήματα και απεικονίζει κυρίως το φορτίο. Στον πίνακα. 2 και 3, δίνονται διαστολές για ορισμένες λειτουργίες χαρακτηριστικές φορτίων, συμπεριλαμβανομένων των σειρών που αντιστοιχούν σε συγκεντρωμένες δυνάμεις.

Πίνακας 2.

Γράφημα συνάρτησης	Σειρά Fourier	n

2. Προσδιορισμός των συντελεστών της σειράς με τους τύπους Fourier.

Έστω μια περιοδική συνάρτηση ƒ(x) με περίοδο 2π τέτοια ώστε να παριστάνεται από μια τριγωνομετρική σειρά που συγκλίνει σε μια δεδομένη συνάρτηση στο διάστημα (-π, π), δηλ. είναι το άθροισμα αυτής της σειράς:

Έστω ότι το ολοκλήρωμα της συνάρτησης στην αριστερή πλευρά αυτής της ισότητας είναι ίσο με το άθροισμα των ολοκληρωμάτων των όρων αυτής της σειράς. Αυτό θα ισχύει αν υποθέσουμε ότι η σειρά αριθμών που αποτελείται από τους συντελεστές της δεδομένης τριγωνομετρικής σειράς συγκλίνει απόλυτα, δηλ. η θετική σειρά αριθμών συγκλίνει

Η σειρά (1) είναι μείζονα και μπορεί να ενσωματωθεί ανά όρο στο διάστημα (-π, π). Ενσωματώνουμε και τα δύο μέρη της ισότητας (2):

Υπολογίζουμε ξεχωριστά κάθε ολοκλήρωμα που εμφανίζεται στη δεξιά πλευρά:

,

,

Με αυτόν τον τρόπο, , όπου

. (4)

Εκτίμηση των συντελεστών Fourier. (Μπουγκρόφ)

Θεώρημα 1. Έστω μια συνάρτηση ƒ(x) περιόδου 2π να έχει συνεχή παράγωγο ƒ (s) (x) τάξης s που ικανοποιεί την ανισότητα σε ολόκληρο τον πραγματικό άξονα:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

τότε οι συντελεστές Fourier της συνάρτησης ƒ ικανοποιούν την ανισότητα

Απόδειξη. Ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα και λαμβάνοντας υπόψη αυτό

ƒ(-π) = ƒ(π), έχουμε

Ενσωματώνοντας τη δεξιά πλευρά του (7) διαδοχικά, λαμβάνοντας υπόψη ότι οι παράγωγοι ƒ ΄ , …, ƒ (s-1) είναι συνεχείς και παίρνουν τις ίδιες τιμές στα σημεία t = -π και t = π, επίσης ως εκτίμηση (5), λαμβάνουμε την πρώτη εκτίμηση (6).

Η δεύτερη εκτίμηση (6) λαμβάνεται με παρόμοιο τρόπο.

Θεώρημα 2. Οι συντελεστές Fourier ƒ(x) ικανοποιούν την ανισότητα

(8)

Απόδειξη. Εχουμε

(9)

Εισάγοντας μια αλλαγή μεταβλητής σε αυτήν την περίπτωση και λαμβάνοντας υπόψη ότι η ƒ(x) είναι μια περιοδική συνάρτηση, λαμβάνουμε

Προσθέτοντας (9) και (10), παίρνουμε

Πραγματοποιούμε την απόδειξη για το b k με παρόμοιο τρόπο.

Συνέπεια. Αν η συνάρτηση ƒ(x) είναι συνεχής, τότε οι συντελεστές Fourier της τείνουν στο μηδέν: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

Χώρος συναρτήσεων με βαθμωτό γινόμενο.

Μια συνάρτηση ƒ(x) ονομάζεται τμηματικά συνεχής σε ένα τμήμα εάν είναι συνεχής σε αυτό το τμήμα, εκτός ίσως από έναν πεπερασμένο αριθμό σημείων όπου έχει ασυνέχειες του πρώτου είδους. Τέτοια σημεία μπορούν να προστεθούν και να πολλαπλασιαστούν με πραγματικούς αριθμούς και, ως αποτέλεσμα, μπορούν να ληφθούν και πάλι τμηματικά-συνεχείς συναρτήσεις σε ένα τμήμα.

Το κλιμακωτό γινόμενο δύο τμηματικά συνεχών σε (α< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Προφανώς, για οποιεσδήποτε τμηματικές-συνεχείς συναρτήσεις ƒ , φ , ψ ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:

1) (ƒ , φ) =(φ, ƒ);

2) (ƒ , ƒ) και η ισότητα (ƒ , ƒ) = 0 υπονοεί ότι ƒ(x) =0 στις , αποκλείοντας, ίσως, έναν πεπερασμένο αριθμό σημείων x.

3) (α ƒ + β φ , ψ) = α (ƒ , ψ) + β (φ , ψ),

όπου α, β είναι αυθαίρετοι πραγματικοί αριθμοί.

Το σύνολο όλων των τμηματικών συνεχών συναρτήσεων που ορίζονται στο διάστημα , για το οποίο εισάγεται το βαθμωτό γινόμενο σύμφωνα με τον τύπο (11), θα υποδηλώσουμε: και κλήσης χώρου

Παρατήρηση 1.

Στα μαθηματικά, ένα διάστημα = (a, b) είναι ένα σύνολο συναρτήσεων ƒ(x) που μπορούν να ολοκληρωθούν με την έννοια Lebesgue μαζί με τα τετράγωνά τους, για τα οποία το βαθμωτό γινόμενο εισάγεται με τον τύπο (11). Ο εν λόγω χώρος είναι μέρος του . Το διάστημα έχει πολλές από τις ιδιότητες του χώρου, αλλά όχι όλες.

Οι ιδιότητες 1), 2), 3) υποδηλώνουν τη σημαντική ανισότητα Bunyakovskii | (ƒ , φ) | ≤ (ƒ , ƒ) ½ (φ , φ) ½ , που στη γλώσσα των ολοκληρωμάτων μοιάζει με αυτό:

αξία

ονομάζεται κανόνας της συνάρτησης f.

Ο κανόνας έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

1) || στ || ≥ 0, ενώ η ισότητα μπορεί να είναι μόνο για τη μηδενική συνάρτηση f = 0, δηλ. τη συνάρτηση ίση με μηδέν, εκτός ίσως από έναν πεπερασμένο αριθμό σημείων.

2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || φ ||;

3) || α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

όπου α είναι ένας πραγματικός αριθμός.

Η δεύτερη ιδιότητα στη γλώσσα των ολοκληρωμάτων μοιάζει με αυτό:

και ονομάζεται ανισότητα Minkowski.

Λέγεται ότι μια ακολουθία συναρτήσεων ( f n ), ανήκει σε , συγκλίνει σε μια συνάρτηση ανήκει με την έννοια του μέσου τετραγώνου στο (ή αλλιώς στον κανόνα), αν

Σημειώστε ότι εάν η ακολουθία των συναρτήσεων ƒ n (x) συγκλίνει ομοιόμορφα στη συνάρτηση ƒ(x) στο τμήμα , τότε για αρκετά μεγάλο n η διαφορά ƒ(x) - ƒ n (x) σε απόλυτη τιμή πρέπει να είναι μικρή για όλα x από το τμήμα .

Εάν το ƒ n (x) τείνει στο ƒ(x) με τη μέση τετραγωνική έννοια στο τμήμα , τότε η υποδεικνυόμενη διαφορά μπορεί να μην είναι μικρή για μεγάλα n παντού στο . Σε ορισμένα σημεία του τμήματος, αυτή η διαφορά μπορεί να είναι μεγάλη, αλλά είναι σημαντικό μόνο το ολοκλήρωμα του τετραγώνου του πάνω από το τμήμα να είναι μικρό για μεγάλα n.

Παράδειγμα. Έστω σε μια δεδομένη συνεχή τμηματικά γραμμική συνάρτηση ƒ n (x) (n = 1, 2,…) που φαίνεται στο σχήμα, και

(Bugrov, σελ. 281, εικ. 120)

Για κάθε φυσικό ν

και, κατά συνέπεια, αυτή η ακολουθία συναρτήσεων, αν και συγκλίνει στο μηδέν ως n → ∞, δεν είναι ομοιόμορφη. Εν τω μεταξύ

δηλ., η ακολουθία των συναρτήσεων (f n (x)) τείνει στο μηδέν με την έννοια του μέσου τετραγώνου στο .

Από τα στοιχεία κάποιας ακολουθίας συναρτήσεων ƒ 1 , ƒ 2 , ƒ 3 ,… (που ανήκουν σε ) κατασκευάζουμε μια σειρά

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

Το άθροισμα των πρώτων n μελών του

σ n = ƒ 1 + ƒ 2 + … + ƒ n

υπάρχει μια συνάρτηση που ανήκει στο . Αν συμβεί ότι υπάρχει μια συνάρτηση ƒ τέτοια που

|| ƒ-σ n || → 0 (n → ∞),

τότε λέμε ότι η σειρά (12) συγκλίνει στη συνάρτηση ƒ με την έννοια του μέσου τετραγώνου και γράψτε

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

Παρατήρηση 2.

Μπορεί κανείς να θεωρήσει το διάστημα = (a, b) των συναρτήσεων μιγαδικής αξίας ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x), όπου ƒ 1 (x) και ƒ 2 (x) είναι πραγματικές τμηματικές συνεχείς συναρτήσεις . Σε αυτό το διάστημα, οι συναρτήσεις πολλαπλασιάζονται με μιγαδικούς αριθμούς και το κλιμακωτό γινόμενο των συναρτήσεων ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) και φ(x) = φ 1 (x) + i φ 2 (x) ορίζεται ως εξής:

και η νόρμα ƒ ορίζεται ως η τιμή

αντίγραφο

1 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ NOVOSIBIRSK FACULTY OF physics R. K. Belkheeva ΣΕΙΡΑ FOURIER ΣΕ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Φροντιστήριο Novosibirsk 211

2 UDC BBK V161 B44 B44 Σειρά Belkheeva R. K. Fourier σε παραδείγματα και προβλήματα: Textbook / Novosib. κατάσταση un-t. Novosibirsk, s. ISBN Β οδηγός μελέτηςπαρουσιάζονται οι βασικές πληροφορίες για τις σειρές Fourier, δίνονται παραδείγματα για κάθε θέμα που μελετάται. Ένα παράδειγμα εφαρμογής της μεθόδου Fourier για την επίλυση του προβλήματος των εγκάρσιων κραδασμών μιας χορδής αναλύεται λεπτομερώς. Δίνεται ενδεικτικό υλικό. Υπάρχουν εργασίες για ανεξάρτητη λύση. Προορίζεται για φοιτητές και καθηγητές της Σχολής Φυσικής του Κρατικού Πανεπιστημίου του Νοβοσιμπίρσκ. Δημοσιεύεται σύμφωνα με την απόφαση της Μεθοδολογικής Επιτροπής της Σχολής Φυσικής του NSU. Κριτής Δρ φυσ.-μαθηματικά. Επιστήμες. V. A. Aleksandrov ISBN γ Νοβοσιμπίρσκ Κρατικό Πανεπιστήμιο, 211 c Belkheeva R. K., 211

3 1. Επέκταση σειράς Fourier μιας 2π-περιοδικής συνάρτησης Ορισμός. Η σειρά Fourier της συνάρτησης f(x) είναι η συναρτησιακή σειρά a 2 + (a n cosnx + b n sin nx), (1) όπου οι συντελεστές a n, b n υπολογίζονται με τους τύπους: a n = 1 π b n = 1 π f (x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) Οι τύποι (2) (3) ονομάζονται τύποι Euler Fourier . Το γεγονός ότι η συνάρτηση f(x) αντιστοιχεί στη σειρά Fourier (1) γράφεται ως τύπος f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) και λένε ότι δεξί μέροςΟ τύπος (4) είναι η επίσημη σειρά Fourier της συνάρτησης f(x). Με άλλα λόγια, ο τύπος (4) σημαίνει μόνο ότι οι συντελεστές a n, b n βρίσκονται από τους τύπους (2), (3). 3

4 Ορισμός. Μια 2π-περιοδική συνάρτηση f(x) ονομάζεται τμηματικά ομαλή αν το διάστημα [, π] περιέχει έναν πεπερασμένο αριθμό σημείων = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 Εικ. 1. Γράφημα της συνάρτησης f(x) nx + π n n 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = b n = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, για περιττό n, για άρτιο n, f(x ) sin nxdx = επειδή η συνάρτηση f(x) είναι άρτια. Γράφουμε την επίσημη σειρά Fourier για τη συνάρτηση f(x): f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2.

6 Βρείτε αν η συνάρτηση f(x) είναι κατά τμήματα ομαλή. Εφόσον είναι συνεχής, υπολογίζουμε μόνο τα όρια (6) στα τελικά σημεία του διαστήματος x = ±π και στο σημείο θραύσης x = : και f(π h) f(π) π h π lim = lim h + h h + h = 1, f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + h h + h f(+ h) f(+) + h lim = lim = 1, h + h h + h = 1 , f(h) f () h () lim = lim = 1. h + h h + h Τα όρια υπάρχουν και είναι πεπερασμένα, επομένως η συνάρτηση είναι τμηματικά ομαλή. Με το θεώρημα της σημειακής σύγκλισης, η σειρά Fourier συγκλίνει στον αριθμό f(x) σε κάθε σημείο, δηλ. f(x) = π 2 4 π k= cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) Τα σχήματα 2 και 3 δείχνουν τον χαρακτήρα της προσέγγισης των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier S n (x), όπου S n (x) = a n 2 + (a k coskx + b k sin kx), k=1, στη συνάρτηση f(x) στο διάστημα [, π] . 6

7 Εικ. Εικ. 2. Γράφημα της συνάρτησης f(x) με υπερτιθέμενες γραφικές παραστάσεις μερικών αθροισμάτων S (x) = a 2 και S 1(x) = a 2 + a 1 cos x 3. Γράφημα της συνάρτησης f (x) με ένα γράφημα μερικού αθροίσματος σε υπέρθεση S 99 (x) \u003d a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 Αντικαθιστώντας στο (7) x = παίρνουμε: = π 2 4 π k= 1 (2k + 1) 2, από όπου βρίσκουμε το άθροισμα της σειράς αριθμών: = π2 8. Γνωρίζοντας το άθροισμα αυτής της σειράς, είναι εύκολο να βρεθεί το ακόλουθο άθροισμα Έχουμε: S = ( ) S = ()= π S, άρα S = π2 6, δηλαδή 1 n = π Το άθροισμα αυτής της διάσημης σειράς βρέθηκε για πρώτη φορά από τον Leonhard Euler. Βρίσκεται συχνά στη μαθηματική ανάλυση και τις εφαρμογές της. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2. Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση, βρείτε τη σειρά Fourier της συνάρτησης που δίνεται από τον τύπο f(x) = x για x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 Εικ. 4. Γράφημα της συνάρτησης f(x) Η συνάρτηση f(x) είναι συνεχώς διαφορίσιμη στο διάστημα (, π). Στα σημεία x = ±π, έχει πεπερασμένα όρια (5): f() =, f(π) = π. Επιπλέον, υπάρχουν πεπερασμένα όρια (6): f(+ h) f(+) lim = 1 και h + h f(π h) f(π +) lim = 1. h + h Επομένως, η f(x) είναι τμηματικά ομαλή λειτουργία. Εφόσον η συνάρτηση f(x) είναι περιττή, τότε a n =. Οι συντελεστές b n βρίσκονται με ολοκλήρωση κατά μέρη: b n = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2(1 )n+ ένα. n Ας συνθέσουμε την επίσημη σειρά Fourier της συνάρτησης 2(1) n+1 f(x) sin nx. n 9 cosnxdx ] =

10 Σύμφωνα με το θεώρημα σημειακής σύγκλισης για μια τμηματικά ομαλή 2π-περιοδική συνάρτηση, η σειρά Fourier της συνάρτησης f(x) συγκλίνει στο άθροισμα: 2(1) n+1 sin nx = n f(x) = x αν π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 Εικ. Εικ. 6. Γράφημα της συνάρτησης f(x) με υπερτιθέμενη τη γραφική παράσταση του μερικού αθροίσματος S 2 (x). 7. Γράφημα της συνάρτησης f(x) με υπέρθεση τη γραφική παράσταση του μερικού αθροίσματος S 3 (x) 11

12 Εικ. 8. Γράφημα της συνάρτησης f(x) με υπέρθεση τη γραφική παράσταση του μερικού αθροίσματος S 99 (x) Χρησιμοποιούμε τη σειρά Fourier που προέκυψε για να βρούμε τα αθροίσματα δύο αριθμητικών σειρών. Βάζουμε (8) x = π/2. Τότε 2 () +... = π 2, ή = n= (1) n 2n + 1 = π 4. Βρήκαμε εύκολα το άθροισμα της γνωστής σειράς Leibniz. Βάζοντας x = π/3 στο (8), βρίσκουμε () +... = π 2 3, ή (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k

13 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3. Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση, βρείτε τη σειρά Fourier της συνάρτησης f(x) = sin x, υποθέτοντας ότι έχει περίοδο 2π, και 1 να υπολογίσετε το άθροισμα της σειράς αριθμών 4n 2 1. Λύση. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) φαίνεται στο σχ. 9. Προφανώς, η f(x) = sin x είναι συνεχής άρτια συνάρτηση με περίοδο π. Αλλά 2π είναι και η περίοδος της συνάρτησης f(x). Ρύζι. 9. Γράφημα της συνάρτησης f(x) Ας υπολογίσουμε τους συντελεστές Fourier. Όλα b n = επειδή η συνάρτηση είναι άρτια. Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικούς τύπους, υπολογίζουμε ένα n για n 1: a n = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos( 1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 ( 4 1 αν n = 2k, = π n 2 1 αν n = 2 χιλ

14 Αυτός ο υπολογισμός δεν μας επιτρέπει να βρούμε τον συντελεστή a 1 γιατί στο n = 1 ο παρονομαστής πηγαίνει στο μηδέν. Επομένως, υπολογίζουμε απευθείας τον συντελεστή a 1: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. Εφόσον η f(x) είναι συνεχώς διαφορίσιμη στα (,) και (, π) και στα σημεία kπ, (k είναι ακέραιος), υπάρχουν πεπερασμένα όρια (5) και (6), η σειρά Fourier της συνάρτησης συγκλίνει στο αυτό σε κάθε σημείο: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x 1. Γράφημα της συνάρτησης f(x) με υπέρθεση τη γραφική παράσταση του μερικού αθροίσματος S(x) 14

15 Εικ. Εικ. 11. Γράφημα της συνάρτησης f(x) με υπερτιθέμενη τη γραφική παράσταση του μερικού αθροίσματος S 1 (x). Εικ. 12. Γράφημα της συνάρτησης f(x) με υπερτιθέμενη τη γραφική παράσταση του μερικού αθροίσματος S 2 (x). 13. Γράφημα της συνάρτησης f(x) με υπέρθεση τη γραφική παράσταση του μερικού αθροίσματος S 99 (x) 15

16 1 Υπολογίστε το άθροισμα της σειράς αριθμών. Για να γίνει αυτό, βάζουμε 4n 2 1 σε (9) x =. Τότε cosnx = 1 για όλα τα n = 1, 2,... και Επομένως, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4. Ας αποδείξουμε ότι αν μια τμηματικά ομαλή συνεχής συνάρτηση f(x) ικανοποιεί τη συνθήκη f(x π) = f(x) για όλα τα x (δηλαδή είναι π-περιοδική) , τότε a 2n 1 = b 2n 1 = για όλα τα n 1, και αντίστροφα, εάν a 2n 1 = b 2n 1 = για όλα τα n 1, τότε η f(x) είναι π-περιοδική. Λύση. Έστω η συνάρτηση f(x) π-περιοδική. Ας υπολογίσουμε τους συντελεστές Fourier του a 2n 1 και b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f(x ) cos (2n 1)xdx. Στο πρώτο ολοκλήρωμα κάνουμε την αλλαγή της μεταβλητής x = t π : f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt. 16

17 Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t και f(t π) = f(t), παίρνουμε: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos( 2n 1)x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. Ομοίως αποδεικνύεται ότι b 2n 1 =. Αντίστροφα, έστω a 2n 1 = b 2n 1 =. Εφόσον η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής, τότε, με το θεώρημα για την αναπαραστασιμότητα μιας συνάρτησης σε ένα σημείο από τη σειρά Fourier, έχουμε Τότε f(x π) = f(x) = (a 2n cos 2nx + b 2n αμαρτία 2nx). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sin 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f(x), που σημαίνει ότι η f(x) είναι μια π-περιοδική συνάρτηση. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Ας αποδείξουμε ότι αν μια τμηματικά ομαλή συνάρτηση f(x) ικανοποιεί τη συνθήκη f(x) = f(x) για όλα τα x, τότε a = και a 2n = b 2n = για όλα τα n 1, και αντίστροφα , αν a = a 2n = b 2n =, τότε f(x π) = f(x) για όλα τα x. Λύση. Έστω η συνάρτηση f(x) ικανοποιεί τη συνθήκη f(x π) = f(x). Ας υπολογίσουμε τους συντελεστές Fourier του: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f(x) cos nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. Στο πρώτο ολοκλήρωμα κάνουμε την αλλαγή της μεταβλητής x = t π. Τότε f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι cos n(t π) = (1) n cosnt και f(t π) = f(t), παίρνουμε: a n = 1 π ((1) n) f(t) cosnt dt = αν n ζυγός, = 2 π f(t) cos nt dt, αν το n είναι περιττό. π Ομοίως αποδεικνύεται ότι b 2n =. Αντίστροφα, έστω a = a 2n = b 2n =, για όλα τα n 1. Εφόσον η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής, τότε, με το θεώρημα για την αναπαραστασιμότητα μιας συνάρτησης σε ένα σημείο, η σειρά Fourier της ικανοποιεί την ισότητα f( x) = (a 2n 1 cos ( 2n 1)x + b 2n 1 sin (2n 1)x). δεκαοχτώ

19 Τότε = f(x π) = = = f(x). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6. Ας μελετήσουμε πώς να επεκτείνουμε τη συνάρτηση f(x) που μπορεί να ολοκληρωθεί στο διάστημα [, π/2] στο διάστημα [, π], έτσι ώστε η σειρά Fourier της να έχει τη μορφή: a 2n 1 cos(2n 1) Χ. (1) Λύση. Αφήστε το γράφημα της συνάρτησης να έχει τη μορφή που φαίνεται στο Σχ. 14. Εφόσον στη σειρά (1) a = a 2n = b 2n = για όλα τα n, από το Παράδειγμα 5 προκύπτει ότι η συνάρτηση f(x) πρέπει να ικανοποιεί την ισότητα f(x π) = f(x) για όλα τα x. Αυτή η παρατήρηση δίνει έναν τρόπο επέκτασης της συνάρτησης f(x) στο διάστημα [, /2] : f(x) = f(x+π), εικ. 15. Από το γεγονός ότι η σειρά (1) περιέχει μόνο συνημίτονα, συμπεραίνουμε ότι η συνεχιζόμενη συνάρτηση f (x) πρέπει να είναι άρτια (δηλαδή, η γραφική παράσταση της πρέπει να είναι συμμετρική ως προς τον άξονα Oy), Εικ.

20 Εικ. 14. Γράφημα της συνάρτησης f(x) 15. Γράφημα της συνέχειας της συνάρτησης f(x) στο διάστημα [, /2] 2

21 Έτσι, η επιθυμητή συνάρτηση έχει τη μορφή που φαίνεται στην εικ. 16. Εικ. 16. Γράφημα της συνέχειας της συνάρτησης f(x) στο διάστημα [, π] Συνοψίζοντας, συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση πρέπει να συνεχιστεί ως εξής: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), δηλαδή το διάστημα [π/2, π], η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) είναι κεντρικά συμμετρική ως προς το σημείο (π/2,) και στο διάστημα [, π], η γραφική παράσταση της είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα Oy. 21

22 ΓΕΝΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΩΝ 3 6 Έστω l >. Θεωρήστε δύο συνθήκες: α) f(l x) = f(x); β) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. Από γεωμετρική άποψη, η συνθήκη (α) σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) είναι συμμετρική ως προς την κατακόρυφη ευθεία x = l/2 και η συνθήκη (β) ότι η γραφική παράσταση f(x) είναι κεντρικά συμμετρικό ως προς το σημείο (l/2;) στην τετμημένη του άξονα. Τότε είναι αληθείς οι ακόλουθες προτάσεις: 1) αν η συνάρτηση f(x) είναι άρτια και η συνθήκη (α) ικανοποιείται, τότε b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... = ; 2) εάν η συνάρτηση f(x) είναι άρτια και η συνθήκη (b) ικανοποιείται, τότε b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) αν η συνάρτηση f(x) είναι περιττή και η συνθήκη (a) ικανοποιείται, τότε a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) αν η συνάρτηση f(x) είναι περιττή και η συνθήκη (b) ικανοποιείται, τότε a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Στα προβλήματα 1 7 σχεδιάστε γραφικές παραστάσεις και βρείτε τη σειρά Fourier για τις συναρτήσεις, (υποθέτοντας ότι έχουν περίοδο 2π: αν< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 ( 1 εάν /2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. Επέκταση συνάρτησης που δίνεται στο διάστημα [, π] μόνο ως ημίτονο ή μόνο ως συνημίτονο Έστω συνάρτηση f στο διάστημα [, π]. Για να το επεκτείνουμε σε αυτό το διάστημα σε μια σειρά Fourier, επεκτείνουμε πρώτα τη f στο διάστημα [, π] με αυθαίρετο τρόπο και μετά χρησιμοποιούμε τους τύπους Euler Fourier. Η αυθαιρεσία στη συνέχεια μιας συνάρτησης οδηγεί στο γεγονός ότι για την ίδια συνάρτηση f: [, π] R μπορούμε να λάβουμε διαφορετικές σειρές Fourier. Αλλά είναι δυνατό να χρησιμοποιηθεί αυτή η αυθαιρεσία με τέτοιο τρόπο ώστε να ληφθεί μια επέκταση μόνο σε ημίτονο ή μόνο σε συνημίτονα: στην πρώτη περίπτωση, αρκεί να συνεχίσουμε το f με περιττό τρόπο και στη δεύτερη, με άρτιο τρόπο. Αλγόριθμος λύσης 1. Συνεχίστε τη συνάρτηση με περιττό (ζυγό) τρόπο στο (,) και στη συνέχεια περιοδικά με περίοδο 2π συνεχίστε τη συνάρτηση σε ολόκληρο τον άξονα. 2. Υπολογίστε τους συντελεστές Fourier. 3. Να συνθέσετε τη σειρά Fourier της συνάρτησης f(x). 4. Ελέγξτε τις συνθήκες για τη σύγκλιση της σειράς. 5. Καθορίστε τη συνάρτηση στην οποία θα συγκλίνει αυτή η σειρά. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7. Αναπτύξτε τη συνάρτηση f(x) = cosx,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 Εικ. 17. Γράφημα της συνεχιζόμενης συνάρτησης Προφανώς, η συνάρτηση f (x) είναι τμηματικά ομαλή. Ας υπολογίσουμε τους συντελεστές Fourier: a n = για όλα τα n επειδή η συνάρτηση f (x) είναι περιττή. Αν n 1, τότε b n = 2 π f(x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = π n + 1 n 1 = 1 (1) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1 εάν n = 2 k + 1, (1)n+1 (n 1) + (n + 1) = π ( n + 1)(n 1) 2 2n αν n = 2k. π n 2 1 Για n = 1 στους προηγούμενους υπολογισμούς, ο παρονομαστής εξαφανίζεται, οπότε ο συντελεστής b 1 μπορεί να υπολογιστεί απευθείας.

26 Ουσιαστικά: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. Να συνθέσετε τη σειρά Fourier της συνάρτησης f (x) : f (x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx. Εφόσον η συνάρτηση f (x) είναι τμηματικά ομαλή, τότε, με το θεώρημα σημειακής σύγκλισης, η σειρά Fourier της συνάρτησης f (x) συγκλίνει στο άθροισμα cosx αν π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 Εικ. Εικ. 18. Γράφημα της συνάρτησης f (x) με υπερτιθέμενη τη γραφική παράσταση του μερικού αθροίσματος S 1 (x). 19. Γράφημα της συνάρτησης f(x) με υπέρθεση τη γραφική παράσταση του μερικού αθροίσματος S 2 (x) 27

28 Εικ. Εικ. 2. Γράφημα της συνάρτησης f (x) με υπέρθεση της γραφικής παράστασης του μερικού αθροίσματος S 3 (x). Το 21 δείχνει γραφήματα της συνάρτησης f (x) και το μερικό άθροισμά της S 99 (x). Ρύζι. 21. Γράφημα της συνάρτησης f (x) με μια γραφική παράσταση του μερικού αθροίσματος S 99 (x) 28 πάνω της

29 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8. Ας επεκτείνουμε τη συνάρτηση f(x) = e ax, a >, x [, π], σε μια σειρά Fourier μόνο σε συνημίτονα. Λύση. Συνεχίζουμε τη συνάρτηση με άρτιο τρόπο στο (,) (δηλαδή, έτσι ώστε η ισότητα f(x) = f(x) να ισχύει για όλα τα x (, π)), και στη συνέχεια περιοδικά με περίοδο 2π σε ολόκληρο το πραγματικό άξονας. Λαμβάνουμε τη συνάρτηση f (x), η γραφική παράσταση της οποίας φαίνεται στο Σχ. 22. Συνάρτηση f (x) σε σημεία 22. Η γραφική παράσταση της συνεχιζόμενης συνάρτησης f (x) x = kπ, το k είναι ακέραιος, έχει συστροφές. Ας υπολογίσουμε τους συντελεστές Fourier: b n =, αφού η f (x) είναι άρτια. Ενσωματώνοντας ανά εξαρτήματα, παίρνουμε 29

30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f(x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa (eaπ cosnπ 1 ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2n2 e ax cos nxdx = 2 π a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a a n. 2 Επομένως, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Εφόσον η f (x) είναι συνεχής, σύμφωνα με το θεώρημα της σημειακής σύγκλισης, η σειρά Fourier της συγκλίνει στη f (x). Επομένως, για όλα τα x [, π] έχουμε f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Τα σχήματα δείχνουν τη σταδιακή προσέγγιση των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier σε μια δεδομένη ασυνεχή συνάρτηση. 3

31 Εικ. 23. Γραφήματα συναρτήσεων f (x) και S (x) 24. Γραφήματα συναρτήσεων f (x) και S 1 (x) 25. Γραφήματα συναρτήσεων f (x) και S 2 (x) 26. Γραφήματα συναρτήσεων f (x) και S 3 (x) 31

32 Εικ. 27. Γραφήματα συναρτήσεων f (x) και S 4 (x) 28. Γραφήματα των συναρτήσεων f (x) και S 99 (x) ΠΡΟΒΛΗΜΑ 9. Να αναπτύξετε τη συνάρτηση f (x) = cos x, x π, σε μια σειρά Fourier μόνο σε συνημίτονα. 1. Αναπτύξτε τη συνάρτηση f (x) \u003d e ax, a >, x π, σε μια σειρά Fourier μόνο ως προς τα ημιτόνια. 11. Αναπτύξτε τη συνάρτηση f (x) \u003d x 2, x π, σε μια σειρά Fourier μόνο σε ημίτονο. 12. Αναπτύξτε τη συνάρτηση f (x) \u003d sin ax, x π, σε μια σειρά Fourier μόνο ως προς τα συνημίτονα. 13. Αναπτύξτε τη συνάρτηση f (x) \u003d x sin x, x π, σε μια σειρά Fourier μόνο σε ημίτονο. Απαντήσεις 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [ 1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) n 1 π n + 2 ] n 3 ((1)n 1) sin nx. 32

33 12. Αν το a δεν είναι ακέραιος, τότε sin ax = 1 cosaπ (1 + +2a cos 2nx ) + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2; αν a = 2m είναι ζυγός αριθμός, τότε sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; αν a = 2m 1 είναι θετικός περιττός αριθμός, τότε sin(2m 1)x = 2 ( cos 2nx ) 1 + 2(2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Σειρά Fourier μιας συνάρτησης με αυθαίρετη περίοδο Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση f(x) ορίζεται στο διάστημα [ l, l], l >. Αντικαθιστώντας x = ly, y π, λαμβάνουμε τη συνάρτηση g(y) = f(ly/π) που ορίζεται στο διάστημα π [, π]. Αυτή η συνάρτηση g(y) αντιστοιχεί στην (τυπική) σειρά Fourier () ly f = g(y) a π 2 + (a n cosny + b n sin ny), της οποίας οι συντελεστές βρίσκονται από τους τύπους Euler Fourier: a n = 1 π g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2,..., 33

34 b n = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2,.... π l, λαμβάνουμε μια ελαφρώς τροποποιημένη τριγωνομετρική σειρά για τη συνάρτηση f(x): όπου f(x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l l (a n cos πnx l f(x) cos πnx l f(x) sin πnx l + b n sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2 ,..., (12) dx, n = 1, 2,.... (13) Οι τύποι (11) (13) λέγεται ότι ορίζουν την επέκταση σε μια σειρά Fourier μιας συνάρτησης με αυθαίρετη περίοδο. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9. Βρείτε τη σειρά Fourier της συνάρτησης που δίνεται στο διάστημα (l, l) από την παράσταση ( A εάν l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 l l f(x) dx = 1 l A dx + 1 l l B dx = A + B, l l a n = 1 l l l f(x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 l l A cos πnx l = A + π n l b n = 1 l dx + 1 l l B cos πnx l sin πn = αν n, l l A sin πnx l f(x) sin πnx l dx + 1 l l dx = B sin πnx l = B A (1 cosπn). πn Να συνθέσετε τη σειρά Fourier της συνάρτησης f (x) : f(x) A + B π (B A Αφού cosπn = (1) n, τότε n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l για n = 2k παίρνουμε b n = b 2k =, για n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2(B A) π(2k 1).

36 Επομένως f(x) A + B (B A) π (sin πx + 1 3πx sin + 1 5πx sin +... l 3 l 5 l Σύμφωνα με το θεώρημα της σημειακής σύγκλισης, η σειρά Fourier της συνάρτησης f(x) συγκλίνει στο άθροισμα A, αν l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 Εικ. 29. Γράφημα της συνάρτησης f (x) με επάλληλες γραφικές παραστάσεις των αρμονικών S (x) = a 2 και S 1 (x) = b 1 sinx. Για λόγους σαφήνειας, τα γραφήματα των τριών υψηλότερων αρμονικών S 3 (x) \u003d b 3 sin 3πx, S l 5 (x) \u003d b 5 sin 5πx l και S 7 (x) \u003d b 7 sin 7πx μετατοπίζονται κατακόρυφα μέχρι l 37

38 Εικ. Εικ. 3. Γράφημα της συνάρτησης f(x) με υπέρθεση της γραφικής παράστασης του μερικού αθροίσματος S 99 (x). 31. Θραύσμα εικ. 3 σε άλλη κλίμακα 38

39 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Σε προβλήματα, επεκτείνετε τις καθορισμένες συναρτήσεις στη σειρά Fourier σε δεδομένα χρονικά διαστήματα. 14. f(x) = x 1, (1, 1). 15. f(x) = ch2x, (2, 2] f(x) = x (1 x), (1, 1]. 17. f(x) = cos π x, [ 1, 1] f(x ) = αμαρτία π x, (1, 1).( 2 1 αν 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18. f(x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f(x) = al 4 2) 1 (4n 2)πx cos, π 2 (2n 1) 2 l β) f(x) = 4al (1) n 1 (2n 1) πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23. α) f(x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x... β) f( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π)+ 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Μιγαδική μορφή της σειράς Fourier Αποσύνθεση f(x) = c n e inx, όπου c n = 1 2π f (x)e inx dx, n = ±1, ±2,..., ονομάζεται μιγαδική μορφή της σειράς Fourier. Η συνάρτηση επεκτείνεται σε μια σύνθετη σειρά Fourier υπό τις ίδιες συνθήκες υπό τις οποίες επεκτείνεται σε μια πραγματική σειρά Fourier. τέσσερις

41 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Να βρείτε τη σειρά Fourier στη μιγαδική μορφή της συνάρτησης που δίνεται από τον τύπο f(x) = e ax στο διάστημα [, π), όπου a είναι πραγματικός αριθμός. Λύση. Ας υπολογίσουμε τους συντελεστές: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in)x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a in) π(a in) Η σύνθετη σειρά Fourier της συνάρτησης f έχει τη μορφή f(x) sh aπ π n= (1) n a σε einx. Ας επαληθεύσουμε ότι η συνάρτηση f(x) είναι τμηματικά ομαλή: στο διάστημα (, π) είναι συνεχώς διαφορίσιμη και στα σημεία x = ±π υπάρχουν πεπερασμένα όρια (5), (6) lim h + ea( +h) = e aπ, lim h + ea(π h) = e aπ, e a(+h) e a(+) lim h + h = ae aπ e a(π h) e a(π), lim h + h = ae aπ. Επομένως, η συνάρτηση f(x) μπορεί να παρασταθεί από μια σειρά Fourier sh aπ π n= (1) n a στο einx, η οποία συγκλίνει στο άθροισμα: ( e S(x) = ax αν π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 11. Να βρείτε τη σειρά Fourier στη μιγαδική και πραγματική μορφή της συνάρτησης που δίνεται από τον τύπο f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, όπου α< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Θυμηθείτε ότι το άθροισμα μιας άπειρης γεωμετρικής προόδου με παρονομαστή q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 Τώρα ας βρούμε τη σειρά Fourier σε πραγματική μορφή. Για να γίνει αυτό, ομαδοποιούμε τους όρους με αριθμούς n και n για n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Αφού c = 1, τότε 2 = 2a n cos nx. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Αυτή είναι μια σειρά Fourier στην πραγματική μορφή της συνάρτησης f(x). Έτσι, χωρίς να υπολογίσουμε ούτε ένα ολοκλήρωμα, βρήκαμε τη σειρά Fourier της συνάρτησης. Με αυτόν τον τρόπο, υπολογίσαμε ένα σκληρό ολοκλήρωμα ανάλογα με την παράμετρο cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a(z z 1) f(x) = 2i (1 a(z z 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1)z 2 2 (z a)(z a 1) = = i 2 + i () a 2 z a + a 1. z a 1 Επεκτείνουμε καθένα από τα απλά κλάσματα σύμφωνα με τον τύπο της γεωμετρικής προόδου: + a z a = a 1 z 1 a = a a n z z n, n= z a 1 z a = az = a n z n. n= Αυτό είναι δυνατό γιατί az = a/z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, ή, πιο συνοπτικά, c n = 1 2i a n sgnn. Έτσι, η σειρά Fourier βρίσκεται σε σύνθετη μορφή. Ομαδοποιώντας όρους με αριθμούς n και n, λαμβάνουμε τη σειρά Fourier της συνάρτησης σε πραγματική μορφή: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 (1 2i an e inx 1 2i an e inx n= +) = c n e inx = a n sin nx. Και πάλι, καταφέραμε να υπολογίσουμε το ακόλουθο μιγαδικό ολοκλήρωμα: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 24. Χρησιμοποιώντας το (15), υπολογίστε το ολοκλήρωμα cos nxdx 1 2a cosx + a 2 για το πραγματικό a, a > Χρησιμοποιώντας το (16), υπολογίστε το ολοκλήρωμα sin x sin nxdx για το πραγματικό a, a > a cosx + a2 Σε προβλήματα , βρείτε τη σειρά Fourier σε μιγαδική μορφή για συναρτήσεις. 26. f(x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Θεώρημα ισότητας Lyapunov (ισότητα Lyapunov). Έστω μια συνάρτηση f: [, π] R τέτοια ώστε f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Επομένως, η ισότητα Lyapunov για τη συνάρτηση f(x) παίρνει τη μορφή: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. Από την τελευταία ισότητα για ένα π βρίσκουμε sin 2 na n 2 = a(π a) 2 Υποθέτοντας a = π 2, λαμβάνουμε sin2 na = 1 για n = 2k 1 και sin 2 na = για n = 2k. Επομένως, k=1 1 (2k 1) 2 = π2 8. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 14. Ας γράψουμε την ισότητα Lyapunov για τη συνάρτηση f(x) = x cosx, x [, π] και να τη χρησιμοποιήσουμε για να βρούμε το άθροισμα του αριθμού σειρά (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Λύση. Οι άμεσοι υπολογισμοί δίνουν = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Εφόσον η f(x) είναι άρτια συνάρτηση, τότε για όλα τα n έχουμε b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1 )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1) (n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2 εάν n = 2k, 2 εάν n = 2k + 1. Ο συντελεστής a 1 πρέπει να υπολογιστεί χωριστά, αφού στον γενικό τύπο για n = 1 ο παρονομαστής του κλάσματος εξαφανίζεται . = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Έτσι, η ισότητα Lyapunov για τη συνάρτηση f(x) έχει τη μορφή: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π 2 1) = π π ΠΡΟΒΛΗΜΑ 32. Γράψτε την ισότητα Lyapunov για τη συνάρτηση ( x f(x) = 2 πx αν x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Απαντήσεις + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, όπου c n είναι ο συντελεστής Fourier 2π της f(x), και d n είναι οι συναρτήσεις του συντελεστή Fourier g(x). 6. Διαφοροποίηση σειράς Fourier Έστω f: R R μια συνεχώς διαφοροποιήσιμη 2π-περιοδική συνάρτηση. Η σειρά Fourier του έχει τη μορφή: f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). Η παράγωγος f (x) αυτής της συνάρτησης θα είναι μια συνεχής και 2π-περιοδική συνάρτηση, για την οποία μπορεί να γραφεί μια τυπική σειρά Fourier: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx), όπου a, a n , b n, n = 1 , 2,... Συντελεστές Fourier της συνάρτησης f (x). 51

52 Θεώρημα (για τη διαφοροποίηση των σειρών Fourier ανά όρο). Σύμφωνα με τις παραπάνω παραδοχές, αληθεύουν οι ισότητες a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 15. Έστω μια τμηματικά ομαλή συνάρτηση f(x) συνεχής στο διάστημα [, π]. Ας αποδείξουμε ότι όταν η συνθήκη f(x)dx = ικανοποιείται, ισχύει η ανισότητα 2 dx 2 dx, που ονομάζεται ανισότητα του Steklov, και επαληθεύουμε ότι η ισότητα σε αυτήν πραγματοποιείται μόνο για συναρτήσεις της μορφής f(x) = A. cosx. Με άλλα λόγια, η ανισότητα του Steklov δίνει συνθήκες υπό τις οποίες η μικρότητα της παραγώγου (σε rms) συνεπάγεται τη μικρότητα της συνάρτησης (σε rms). Λύση. Ας επεκτείνουμε τη συνάρτηση f(x) στο διάστημα [, ] ομοιόμορφα. Να συμβολίσετε την εκτεταμένη συνάρτηση με το ίδιο σύμβολο f(x). Τότε η συνεχιζόμενη συνάρτηση θα είναι συνεχής και τμηματικά ομαλή στο διάστημα [, π]. Εφόσον η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής, τότε η f 2 (x) είναι συνεχής στο διάστημα και 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Εφόσον η συνεχιζόμενη συνάρτηση είναι άρτια, τότε b n =, a = κατά συνθήκη. Κατά συνέπεια, η ισότητα Lyapunov παίρνει τη μορφή 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Ας βεβαιωθούμε ότι η f (x) ικανοποιεί το συμπέρασμα του θεωρήματος για τη διαφοροποίηση κατά όρο της σειράς Fourier, δηλαδή ότι a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. Έστω η παράγωγος f (x) υφίσταται διαλείμματα στα σημεία x 1, x 2,..., x N στο διάστημα [, π]. Σημειώστε x =, x N+1 = π. Ας διαιρέσουμε το διάστημα ολοκλήρωσης [, π] σε διαστήματα N +1 (x, x 1),..., (x N, x N+1), σε καθένα από τα οποία η f(x) είναι συνεχώς διαφορίσιμη. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα προσθετικότητας του ολοκληρώματος και στη συνέχεια ολοκληρώνοντας με μέρη, παίρνουμε: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f(x ) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [( f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= Ομοίως, παίρνουμε ένα n = nb n. Δείξαμε ότι το θεώρημα για τη διαφοροποίηση όρων προς όρο της σειράς Fourier για μια συνεχή τμηματικά ομαλή 2π-περιοδική συνάρτηση της οποίας η παράγωγος στο διάστημα [, π] υφίσταται ασυνέχειες του πρώτου είδους είναι αληθές. Άρα f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx, αφού a =, a n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2,.... Επειδή 2dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Εφόσον κάθε όρος της σειράς στο (18) είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον αντίστοιχο όρο της σειράς στο (17), τότε 2 dx 2 dx. Υπενθυμίζοντας ότι η f(x) είναι άρτια συνέχεια της αρχικής συνάρτησης, έχουμε 2 dx 2 dx. Πράγμα που αποδεικνύει την ισότητα Steklov. Ας εξετάσουμε τώρα για ποιες συναρτήσεις ισχύει η ισότητα στην ανισότητα του Steklov. Αν για τουλάχιστον ένα n 2, ο συντελεστής a n είναι μη μηδενικός, τότε a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 37. Έστω μια τμηματικά ομαλή συνάρτηση f(x) συνεχής στο διάστημα [, π]. Αποδείξτε ότι υπό τη συνθήκη f() = f(π) = ισχύει η ανισότητα 2 dx 2 dx, που ονομάζεται επίσης ανισότητα του Steklov, και βεβαιωθείτε ότι η ισότητα σε αυτήν ισχύει μόνο για συναρτήσεις της μορφής f(x) = B sin x . 38. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [, π] και έχει μέσα (με πιθανή εξαίρεση μόνο έναν πεπερασμένο αριθμό σημείων) μια τετραγωνικά ολοκληρωτή παράγωγο f(x). Αποδείξτε ότι εάν ικανοποιούνται οι συνθήκες f() = f(π) και f(x) dx =, τότε ισχύει η ανισότητα 2 dx 2 dx, που ονομάζεται ανισότητα Wirtinger, και η ισότητα σε αυτήν λαμβάνει χώρα μόνο για συναρτήσεις του μορφή f(x) = A cosx + B sinx. 56

57 7. Εφαρμογή της σειράς Fourier για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων Κατά τη μελέτη ενός πραγματικού αντικειμένου (φαινόμενα της φύσης, διαδικασία παραγωγής, συστήματα ελέγχου κ.λπ.), δύο παράγοντες αποδεικνύονται σημαντικοί: το επίπεδο της συσσωρευμένης γνώσης σχετικά με το αντικείμενο που μελετάται και ο βαθμός ανάπτυξης της μαθηματικής συσκευής. Στο παρόν στάδιο της επιστημονικής έρευνας, έχει αναπτυχθεί η ακόλουθη αλυσίδα: ένα φαινόμενο, ένα φυσικό μοντέλο και ένα μαθηματικό μοντέλο. Η φυσική διατύπωση (μοντέλο) του προβλήματος έχει ως εξής: προσδιορίζονται οι προϋποθέσεις για την ανάπτυξη της διαδικασίας και οι κύριοι παράγοντες που την επηρεάζουν. Η μαθηματική διατύπωση (μοντέλο) συνίσταται στην περιγραφή των παραγόντων και των συνθηκών που επιλέγονται στη φυσική διατύπωση με τη μορφή ενός συστήματος εξισώσεων (αλγεβρικό, διαφορικό, ολοκλήρωμα κ.λπ.). Ένα πρόβλημα λέγεται ότι τίθεται καλά εάν, σε έναν συγκεκριμένο λειτουργικό χώρο, υπάρχει η λύση του προβλήματος, εξαρτάται μοναδικά και συνεχώς από τις αρχικές και οριακές συνθήκες. Το μαθηματικό μοντέλο δεν είναι πανομοιότυπο με το αντικείμενο που εξετάζουμε, αλλά είναι η κατά προσέγγιση περιγραφή του.Παραγωγή της εξίσωσης ελεύθερων μικρών εγκάρσιων κραδασμών της χορδής Θα ακολουθήσουμε το σχολικό βιβλίο. Αφήστε τα άκρα της χορδής να είναι σταθερά και η ίδια η χορδή να είναι τεντωμένη. Εάν η χορδή βγει από την ισορροπία (για παράδειγμα, τραβώντας την ή χτυπώντας την), τότε η χορδή θα ξεκινήσει 57

58 διστάζω. Θα υποθέσουμε ότι όλα τα σημεία της χορδής κινούνται κάθετα στη θέση ισορροπίας της (εγκάρσιες δονήσεις) και σε κάθε χρονική στιγμή η χορδή βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο. Ας πάρουμε ένα σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων xou σε αυτό το επίπεδο. Τότε, εάν την αρχική στιγμή t = η συμβολοσειρά βρισκόταν κατά μήκος του άξονα Ox, τότε u θα σημαίνει την απόκλιση της συμβολοσειράς από τη θέση ισορροπίας, δηλαδή τη θέση του σημείου συμβολοσειράς με την τετμημένη x σε αυθαίρετο χρόνο t. αντιστοιχεί στην τιμή της συνάρτησης u(x, t). Για κάθε σταθερή τιμή του t, η γραφική παράσταση της συνάρτησης u(x, t) αντιπροσωπεύει το σχήμα της δονούμενης χορδής τη στιγμή t (Εικ. 32). Σε μια σταθερή τιμή του x, η συνάρτηση u(x, t) δίνει το νόμο της κίνησης ενός σημείου με την τετμημένη x κατά μήκος μιας ευθείας παράλληλης προς τον άξονα Ou, η παράγωγος u t είναι η ταχύτητα αυτής της κίνησης και η δεύτερη η παράγωγος 2 u t 2 είναι η επιτάχυνση. Ρύζι. 32. Δυνάμεις που εφαρμόζονται σε ένα άπειρο μικρό τμήμα μιας συμβολοσειράς Ας γράψουμε μια εξίσωση που πρέπει να ικανοποιεί η συνάρτηση u(x, t). Για να γίνει αυτό, κάνουμε μερικές πιο απλοποιητικές υποθέσεις. Θα υποθέσουμε ότι η χορδή είναι απολύτως εύκαμπτη.

59 coy, δηλαδή, θα υποθέσουμε ότι η χορδή δεν αντέχει στο λύγισμα. Αυτό σημαίνει ότι οι τάσεις που προκύπτουν στη χορδή κατευθύνονται πάντα εφαπτομενικά στο στιγμιαίο προφίλ της. Η χορδή υποτίθεται ότι είναι ελαστική και υπόκειται στο νόμο του Hooke. Αυτό σημαίνει ότι η αλλαγή στο μέγεθος της δύναμης τάσης είναι ανάλογη με τη μεταβολή στο μήκος της χορδής. Ας υποθέσουμε ότι η συμβολοσειρά είναι ομοιογενής. αυτό σημαίνει ότι η γραμμική του πυκνότητα ρ είναι σταθερή. Παραμελούμε τις εξωτερικές δυνάμεις. Αυτό σημαίνει ότι εξετάζουμε ελεύθερες ταλαντώσεις. Θα μελετήσουμε μόνο μικρές δονήσεις μιας χορδής. Αν συμβολίσουμε με ϕ(x, t) τη γωνία μεταξύ του άξονα της τετμημένης και της εφαπτομένης στη χορδή στο σημείο με την τετμημένη x τη χρονική στιγμή t, τότε η προϋπόθεση για μικρές ταλαντώσεις είναι ότι η τιμή του ϕ 2 (x, t) μπορεί να παραμεληθεί σε σύγκριση με το ϕ (x, t), δηλαδή, ϕ 2. Επειδή η γωνία ϕ είναι μικρή, τότε cos ϕ 1, ϕ sin ϕ tg ϕ u, επομένως, η τιμή (u x x,) 2 μπορεί επίσης να παραμεληθεί. Από αυτό προκύπτει αμέσως ότι στη διαδικασία της ταλάντωσης μπορούμε να παραβλέψουμε την αλλαγή στο μήκος οποιουδήποτε τμήματος της χορδής. Πράγματι, το μήκος ενός κομματιού χορδής M 1 M 2 που προβάλλεται στο διάστημα του άξονα x, όπου x 2 = x 1 + x, είναι ίσο με l = x 2 x () 2 u dx x. x Ας δείξουμε ότι, σύμφωνα με τις υποθέσεις μας, η τιμή της δύναμης τάσης T θα είναι σταθερή σε ολόκληρη τη χορδή. Για να γίνει αυτό, παίρνουμε μέρος της συμβολοσειράς M 1 M 2 (Εικ. 32) τη στιγμή t και αντικαθιστούμε τη δράση των απορριπτόμενων εξαρτημάτων

60 kov από τις δυνάμεις τάσης T 1 και T 2. Εφόσον, σύμφωνα με τη συνθήκη, όλα τα σημεία της χορδής κινούνται παράλληλα με τον άξονα Ou και δεν υπάρχουν εξωτερικές δυνάμεις, το άθροισμα των προβολών των δυνάμεων τάσης στον άξονα Ox πρέπει να είναι ίσο με μηδέν: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. Επομένως, λόγω της μικρότητας των γωνιών ϕ 1 = ϕ(x 1, t) και ϕ 2 = ϕ(x 2, t), συμπεραίνουμε ότι T 1 = T 2. Σημειώστε γενική σημασία T 1 \u003d T 2 έως T. Τώρα υπολογίζουμε το άθροισμα των προβολών F u των ίδιων δυνάμεων στον άξονα Ou: F u \u003d T sin ϕ (x 2, t) T sin ϕ (x 1, t) . (2) Επειδή για μικρές γωνίες sin ϕ(x, t) tg ϕ(x, t), και tg ϕ(x, t) u(x, t)/ x, η εξίσωση (2) μπορεί να ξαναγραφτεί ως F u T (tan ϕ(x 2, t) tan ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x . Εφόσον το σημείο x 1 επιλέγεται αυθαίρετα, τότε F u T 2 u x2(x, t) x. Αφού βρεθούν όλες οι δυνάμεις που δρουν στο τμήμα M 1 M 2, εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα σε αυτό, σύμφωνα με τον οποίο το γινόμενο της μάζας και της επιτάχυνσης είναι ίσο με το άθροισμα όλων των ενεργών δυνάμεων. Η μάζα ενός κομματιού χορδής M 1 M 2 είναι ίση με m = ρ l ρ x και η επιτάχυνση είναι ίση με 2 u(x, t). Η εξίσωση t 2 του Νεύτωνα έχει τη μορφή: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, όπου α 2 = T ρ είναι ένας σταθερός θετικός αριθμός. 6

61 Μειώνοντας κατά x, παίρνουμε 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t). (21) Ως αποτέλεσμα, λάβαμε μια γραμμική ομοιογενή μερική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Ονομάζεται εξίσωση δόνησης χορδής ή μονοδιάστατη κυματική εξίσωση. Η εξίσωση (21) είναι ουσιαστικά μια αναδιατύπωση του νόμου του Νεύτωνα και περιγράφει την κίνηση μιας χορδής. Αλλά στη φυσική διατύπωση του προβλήματος, υπήρχαν απαιτήσεις ότι τα άκρα της χορδής είναι σταθερά και η θέση της χορδής σε κάποια χρονική στιγμή είναι γνωστή. Θα γράψουμε αυτές τις συνθήκες σε εξισώσεις ως εξής: α) θα υποθέσουμε ότι τα άκρα της χορδής είναι σταθερά στα σημεία x = και x = l, δηλ. θα υποθέσουμε ότι για όλα τα t οι σχέσεις u(, t) = , u(l, t ) = ; (22) β) θα υποθέσουμε ότι τη στιγμή t = η θέση της συμβολοσειράς συμπίπτει με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x), δηλ. θα υποθέσουμε ότι για όλα τα x [, l] η ισότητα u(x, ) = f( x); (23) γ) θα υποθέσουμε ότι τη στιγμή t = στο σημείο της χορδής με την τετμημένη x δίνεται ταχύτητα g(x), δηλαδή θα υποθέσουμε ότι u (x,) = g(x). (24) t Οι σχέσεις (22) ονομάζονται οριακές συνθήκες και οι σχέσεις (23) και (24) ονομάζονται αρχικές συνθήκες. Μαθηματικό μοντέλο ελεύθερου μικρού εγκάρσιου 61

62 δονήσεις χορδής είναι ότι είναι απαραίτητο να λυθεί η εξίσωση (21) με οριακές συνθήκες (22) και αρχικές συνθήκες (23) και (24) Επίλυση της εξίσωσης ελεύθερων μικρών εγκάρσιων κραδασμών της χορδής με τη μέθοδο Fourier< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. Αντικαθιστώντας το (25) στο (21), παίρνουμε: X T = α 2 X T, (26) ή T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x). (27) Λέγεται ότι υπήρξε διαχωρισμός μεταβλητών. Εφόσον το x και το t δεν εξαρτώνται το ένα από το άλλο, η αριστερή πλευρά στο (27) δεν εξαρτάται από το x, αλλά η δεξιά πλευρά δεν εξαρτάται από το t και η συνολική τιμή αυτών των αναλογιών είναι 62

Το 63 πρέπει να είναι σταθερό, το οποίο συμβολίζουμε με λ: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. Από αυτό παίρνουμε δύο συνηθισμένα διαφορικές εξισώσεις: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) Στην περίπτωση αυτή, οι οριακές συνθήκες (22) παίρνουν τη μορφή X()T(t) = και X(l)T(t) =. Εφόσον πρέπει να εκπληρωθούν για όλα τα t, t >, τότε X() = X(l) =. (3) Ας βρούμε λύσεις στην εξίσωση (28) που ικανοποιούν τις συνοριακές συνθήκες (3). Ας εξετάσουμε τρεις περιπτώσεις. Περίπτωση 1: λ >. Σημειώστε λ = β 2. Η εξίσωση (28) παίρνει τη μορφή X (x) β 2 X(x) =. Η χαρακτηριστική της εξίσωση k 2 β 2 = έχει ρίζες k = ±β. Επομένως, η γενική λύση της Εξ. (28) έχει τη μορφή X(x) = C e βx + De βx. Πρέπει να επιλέξουμε τις σταθερές C και D έτσι ώστε να πληρούνται οι οριακές συνθήκες (3), δηλαδή X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. Αφού το β, τότε αυτό το σύστημα εξισώσεων έχει μοναδική λύση C = D =. Εξ ου και X(x) και 63

64 u(x, t). Έτσι, στην περίπτωση 1 έχουμε λάβει μια ασήμαντη λύση, την οποία δεν θα εξετάσουμε περαιτέρω. Περίπτωση 2: λ =. Τότε η εξίσωση (28) παίρνει τη μορφή X (x) = και η λύση της δίνεται προφανώς από τον τύπο: X(x) = C x+d. Αντικαθιστώντας αυτή τη λύση στις οριακές συνθήκες (3), λαμβάνουμε X() = D = και X(l) = Cl =, επομένως C = D =. Εξ ου και X(x) και u(x, t), και έχουμε πάλι μια ασήμαντη λύση. Περίπτωση 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 Στη συνέχεια, θα εκχωρήσουμε στο n μόνο θετικές τιμές n = 1, 2,..., αφού για αρνητικό n θα προκύψουν λύσεις της ίδιας μορφής (nπ). Οι τιμές λ n = είναι ονομάζονται ιδιοτιμές, και οι συναρτήσεις X n (x) = C n sin πnx ιδιοσυναρτήσεις της διαφορικής εξίσωσης (28) με οριακές συνθήκες (3). Τώρα ας λύσουμε την εξίσωση (29). Για αυτόν, η χαρακτηριστική εξίσωση έχει τη μορφή k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Εφόσον ανακαλύψαμε παραπάνω ότι οι μη τετριμμένες λύσεις X(x) της Εξ. (28) υπάρχουν μόνο για αρνητικό λ ίσο με λ = n2 π 2, είναι αυτές οι λ που θα εξετάσουμε παρακάτω. Οι ρίζες της εξίσωσης (32) είναι k = ±iα λ, και οι λύσεις της εξίσωσης (29) έχουν τη μορφή: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) l l όπου A n και Τα B n είναι αυθαίρετες σταθερές. Αντικαθιστώντας τους τύπους (31) και (33) στον (25), βρίσκουμε συγκεκριμένες λύσεις της εξίσωσης (21) που ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες (22): (u n (x, t) = B n cos πnαt + A n sin πnαt) C n αμαρτία pnx. l l l Εισάγοντας τον παράγοντα C n σε αγκύλες και εισάγοντας τον συμβολισμό C n A n = b n και B n C n = a n, γράφουμε u n (X, T) ως (u n (x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt ) αμαρτία pnx. (34) l l l 65

66 Οι δονήσεις της χορδής που αντιστοιχούν στις λύσεις u n (x, t) ονομάζονται φυσικές δονήσεις της χορδής. Εφόσον η εξίσωση (21) και οι οριακές συνθήκες (22) είναι γραμμικές και ομοιογενείς, τότε ένας γραμμικός συνδυασμός λύσεων (34) (u(x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx (35) l l l θα είναι λύση της εξίσωσης (21 ) που ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες (22) με ειδική επιλογή των συντελεστών a n και b n, που εξασφαλίζει την ομοιόμορφη σύγκλιση της σειράς. Τώρα επιλέγουμε τους συντελεστές a n και b n της λύσης (35) έτσι ώστε να ικανοποιεί όχι μόνο τις οριακές συνθήκες, αλλά και τις αρχικές συνθήκες (23) και (24), όπου τα f(x), g(x) δίνονται συναρτήσεις ( επιπλέον, f() = f (l) = g() = g(l) =). Υποθέτουμε ότι οι συναρτήσεις f(x) και g(x) ικανοποιούν τις συνθήκες επέκτασης Fourier. Αντικαθιστώντας την τιμή t = σε (35), λαμβάνουμε u(x,) = a n sin πnx l = f(x). Διαφοροποιώντας τη σειρά (35) ως προς το t και αντικαθιστώντας το t =, λαμβάνουμε u t (x,) = πnα b n sin πnx l l = g(x), και αυτή είναι η επέκταση των συναρτήσεων f(x) και g(x) στη σειρά Fourier. Επομένως, a n = 2 l l f(x) sin πnx l dx, b n = 2 l g(x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 Αντικαθιστώντας τις παραστάσεις για τους συντελεστές a n και b n στη σειρά (35), λαμβάνουμε μια λύση στην εξίσωση (21) που ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες (22) και τις αρχικές συνθήκες (23) και (24). Έτσι, λύσαμε το πρόβλημα των ελεύθερων μικρών εγκάρσιων κραδασμών μιας χορδής. Ας διευκρινίσουμε τη φυσική σημασία των ιδιοσυναρτήσεων u n (x, t) του προβλήματος των ελεύθερων δονήσεων μιας χορδής, που ορίζονται από τον τύπο (34). Ας το ξαναγράψουμε ως όπου u n (x, t) = α n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctg b n. l a n Ο τύπος (37) δείχνει ότι όλα τα σημεία της χορδής εκτελούν αρμονικές ταλαντώσεις με την ίδια συχνότητα ω n = πnα και φάση πnα δ n. Το πλάτος ταλάντωσης εξαρτάται από το l l την τετμημένη x του σημείου χορδής και είναι ίσο με α n sin πnx. Με μια τέτοια ταλάντωση, όλα τα σημεία της χορδής φτάνουν ταυτόχρονα τη μέγιστη απόκλιση l προς τη μία ή την άλλη κατεύθυνση και ταυτόχρονα περνούν τη θέση ισορροπίας. Τέτοιες ταλαντώσεις ονομάζονται στάσιμα κύματα. Ένα στάσιμο κύμα θα έχει n + 1 σταθερά σημεία που δίνονται από τις ρίζες της εξίσωσης sin πnx = στο διάστημα [, l]. Τα σταθερά σημεία ονομάζονται κόμβοι του στάσιμου κύματος. Στη μέση μεταξύ των κόμβων - l mi είναι τα σημεία στα οποία οι αποκλίσεις φτάνουν στο μέγιστο. τέτοια σημεία ονομάζονται αντικόμβοι. Κάθε χορδή μπορεί να έχει τις δικές της ταλαντώσεις αυστηρά καθορισμένων συχνοτήτων ω n = πnα, n = 1, 2,.... Αυτές οι συχνότητες ονομάζονται φυσικές συχνότητες της χορδής. Ο χαμηλότερος τόνος l που μπορεί να παράγει μια χορδή καθορίζεται από τον ίδιο 67

68 χαμηλή φυσική συχνότητα ω 1 = π T και ονομάζεται θεμελιώδης τόνος της χορδής. Οι υπόλοιποι τόνοι που αντιστοιχούν σε l ρ συχνότητες ω n, n = 2, 3,..., ονομάζονται υπέρτονοι ή αρμονικές. Για λόγους σαφήνειας, θα απεικονίσουμε τα τυπικά προφίλ μιας χορδής που εκπέμπει τον βασικό τόνο (Εικ. 33), τον πρώτο τόνο (Εικ. 34) και τον δεύτερο τόνο (Εικ. 35). Ρύζι. Εικ. 33. Προφίλ της χορδής που εκπέμπει τον θεμελιώδη τόνο. Εικ. 34. Προφίλ μιας χορδής που εκπέμπει τον πρώτο τόνο. Εικ. 35. Προφίλ μιας χορδής που εκπέμπει δεύτερο τόνο Εάν η χορδή εκτελεί ελεύθερες δονήσεις που καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες, τότε η συνάρτηση u(x, t) αναπαρίσταται, όπως φαίνεται από τον τύπο (35), ως άθροισμα μεμονωμένες αρμονικές. Έτσι αυθαίρετη ταλάντωση 68

Η 69η χορδή είναι μια υπέρθεση στάσιμων κυμάτων. Σε αυτήν την περίπτωση, η φύση του ήχου της χορδής (τόνος, ένταση ήχου, χροιά) θα εξαρτηθεί από την αναλογία μεταξύ των πλατών των μεμονωμένων αρμονικών.Ισχύς, ύψος και χροιά του ήχου Μια δονούμενη χορδή διεγείρει τις δονήσεις του αέρα που αντιλαμβάνεται ο άνθρωπος αυτί ως ήχος που εκπέμπεται από μια χορδή. Η ισχύς του ήχου χαρακτηρίζεται από την ενέργεια ή το πλάτος των δονήσεων: όσο μεγαλύτερη είναι η ενέργεια, τόσο μεγαλύτερη είναι η ισχύς του ήχου. Το ύψος ενός ήχου καθορίζεται από τη συχνότητα ή την περίοδο ταλάντωσής του: όσο μεγαλύτερη είναι η συχνότητα, τόσο υψηλότερος είναι ο ήχος. Η χροιά του ήχου καθορίζεται από την παρουσία των χροιών, την κατανομή της ενέργειας στις αρμονικές, δηλαδή τη μέθοδο διέγερσης των δονήσεων. Τα πλάτη των επισημάνσεων είναι, μιλώντας γενικά, μικρότερα από το πλάτος του θεμελιώδους, και οι φάσεις των αποχρώσεων μπορεί να είναι αυθαίρετες. Το αυτί μας δεν είναι ευαίσθητο στη φάση των ταλαντώσεων. Συγκρίνετε, για παράδειγμα, τις δύο καμπύλες στο Σχ. 36, δανεισμένο από . Πρόκειται για ηχογράφηση ήχου με τον ίδιο θεμελιώδη τόνο, που εξάγεται από το κλαρίνο (α) και το πιάνο (β). Και οι δύο ήχοι δεν είναι απλές ημιτονοειδείς ταλαντώσεις. Η θεμελιώδης συχνότητα του ήχου και στις δύο περιπτώσεις είναι η ίδια και αυτό δημιουργεί τον ίδιο τόνο. Αλλά τα μοτίβα καμπυλών είναι διαφορετικά επειδή διαφορετικοί τόνοι υπερτίθενται στον θεμελιώδη τόνο. Κατά μία έννοια, αυτά τα σχέδια δείχνουν τι είναι η χροιά. 69

Εξισώσεις υπερβολικού τύπου. Δονήσεις μιας άπειρης και ημι-άπειρης χορδής. Μέθοδος Fourier Μέθοδος Fourier Μόνιμα κύματα 4 Διάλεξη 4.1 Εξισώσεις υπερβολικού τύπου. Διακυμάνσεις του απείρου και του ημι-άπειρου

ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΟΛΥΤΕΙΝΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΑΕΡΟΠΟΡΙΑΣ ΜΟΣΧΑΣ V.M. Lyubimov, E.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Σουρίνοφ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΑΣ Ομοσπονδιακό κρατικό προϋπολογισμό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης MATI Ρωσικό Κρατικό Τεχνολογικό Πανεπιστήμιο με το όνομα K. E. Tsiolkovsky

Υπουργείο Παιδείας της Δημοκρατίας της Λευκορωσίας Κρατικό Τεχνολογικό Πανεπιστήμιο Vitebsk Θέμα. «Σειρά» Τμήμα Θεωρητικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών. που αναπτύχθηκε από τον Αναπλ. Ε.Β. Ντουνίνα. Κύριος

Ομοσπονδιακή Υπηρεσία για την Εκπαίδευση Ομοσπονδιακό Κρατικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης ΝΟΤΙΟ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Methodical

Θέμα Σειρά Fourier Πρακτικό μάθημα Σειρά Fourier σε ορθογώνια συστήματα συναρτήσεων Χώρος τμηματικών συνεχών συναρτήσεων Γενικευμένη σειρά Fourier 3 Ανισότητα Bessel και σύγκλιση της σειράς Fourier Χώρος

ΘΕΩΡΙΑ ΣΕΙΡΩΝ Η θεωρία των σειρών είναι το πιο σημαντικό συστατικό της μαθηματικής ανάλυσης και βρίσκει τόσο θεωρητικές όσο και πολυάριθμες πρακτικές εφαρμογές. Διάκριση μεταξύ αριθμητικής και συναρτησιακής σειράς.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σειρά Fourier 4 Η έννοια μιας περιοδικής συνάρτησης 4 Τριγωνομετρικό πολυώνυμο 6 3 Ορθογώνια συστήματα συναρτήσεων 4 Τριγωνομετρική σειρά Fourier 3 5 Σειρές Fourier για άρτιες και περιττές συναρτήσεις 6 6 Αποσύνθεση

Ομοσπονδιακή Υπηρεσία Εκπαίδευσης Κρατικό Πανεπιστήμιο Γεωδαισίας και Χαρτογραφίας της Μόσχας (MIIGAiK) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΚΑΙ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΓΙΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ στο μάθημα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διάλεξη 4. Αρμονική ανάλυση. Σειρά Fourier Περιοδικές συναρτήσεις. Αρμονική ανάλυση Στην επιστήμη και την τεχνολογία, συχνά πρέπει να αντιμετωπίσουμε περιοδικά φαινόμενα, δηλαδή με αυτά που επαναλαμβάνονται

ΘΕΜΑ V ΣΕΙΡΑ FOURIER ΔΙΑΛΕΞΗ 6 Επέκταση μιας περιοδικής συνάρτησης σε μια σειρά Fourier Πολλές διεργασίες που συμβαίνουν στη φύση και την τεχνολογία έχουν τις ιδιότητες να επαναλαμβάνονται σε ορισμένα διαστήματα Τέτοιες διεργασίες

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΩΝ ΑΝΩΤΕΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ "ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΕΙΡΑ ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ" ΜΕΡΟΣ III ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΣΕΙΡΑ Περιεχόμενα Σειρά Αριθμητική σειρά Σύγκλιση και απόκλιση

6 Σειρά Fourier 6 Ορθογώνια συστήματα συναρτήσεων Σειρές Fourier ως προς ένα ορθογώνιο σύστημα συναρτήσεων Οι συναρτήσεις ϕ () και ψ (), που ορίζονται και μπορούν να ολοκληρωθούν στο τμήμα [, ], ονομάζονται ορθογώνιες σε αυτό το τμήμα εάν

ΟΡΙΣΤΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΟΣ. Ολοκληρωτικά αθροίσματα και οριστικό ολοκλήρωμα Έστω μια συνάρτηση y = f () που ορίζεται στο τμήμα [, b ], όπου< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

5 Σειρά ισχύος 5 Σειρά ισχύος: ορισμός, πεδίο σύγκλισης Οι σειρές συναρτήσεων της μορφής (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) οι αριθμοί ονομάζονται σειρές ισχύος Αριθμοί

ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΕΥΚΟΡΩΣΙΑΣ ΣΧΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τμήμα Ανώτατων Μαθηματικών Διδακτικό βοήθημα για φοιτητές της Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Πληροφορικής

Ας δούμε μερικά παραδείγματα. Παράδειγμα. Ας βρούμε το άθροισμα μιας άπειρης γεωμετρικής προόδου Ο τύπος για τον κοινό όρο αυτής της σειράς είναι a+aq+...+aq n +... (a). a n = aq n. Ας υπολογίσουμε τα επιμέρους αθροίσματά του. Αν q =, τότε

Εργασία 1.1. Βρείτε λύσεις y = y(x) της διαφορικής εξίσωσης που δεν είναι πανομοιότυπα μηδέν στην υποδεικνυόμενη περιοχή και ικανοποιούν τις δεδομένες οριακές συνθήκες (το πρόβλημα Sturm-Liouville) Λύση: Σκεφτείτε

Μαθηματική ανάλυση Θέμα: Ορισμένο ολοκλήρωμα Ακατάλληλα ολοκληρώματα Λέκτορας Pakhomova E.G. 2017 ΚΕΦΑΛΑΙΟ II. Ορισμένο ολοκλήρωμα και οι εφαρμογές του 1. Ορισμένο ολοκλήρωμα και οι ιδιότητές του 1. Εργασίες,

Διάλεξη 8 4 Πρόβλημα Sturm-Liouville

Επεξηγήσεις στο κείμενο: το πρόσημο διαβάζεται ως "ισοδύναμο" και σημαίνει ότι οι εξισώσεις στα δεξιά του σημείου και στα αριστερά του σημείου έχουν το ίδιο σύνολο λύσεων, το σύμβολο IR υποδηλώνει το σύνολο των πραγματικών αριθμών, το πρόσημο ΣΕ

82 4. Ενότητα 4. Λειτουργική και ισχύς σειρά 4.2. Μάθημα 3 4.2. Μάθημα 3 4.2.. Επέκταση Taylor μιας συνάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ 4.2.. Έστω η συνάρτηση y = f(x) απεριόριστα διαφορίσιμη σε κάποια γειτονιά

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΑΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΚΟΣ ΚΡΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ "ΣΑΜΑΡΑ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ" Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών

Ομοσπονδιακή Υπηρεσία Σιδηροδρομικών Μεταφορών Ural State University of Railway Transport Department "Higher and Applied Mathematics" N. P. Chuev Elements of Harmonic Analysis Methodical

Διάλεξη 3 Σειρές Taylor and Maclaurin Εφαρμογή της σειράς ισχύος Επέκταση λειτουργιών σε σειρές ισχύος Taylor και Maclaurin Για εφαρμογές, είναι σημαντικό να μπορείτε να επεκτείνετε μια δεδομένη συνάρτηση σε μια σειρά ισχύος, αυτές οι συναρτήσεις

S A Lavrenchenko wwwwrckoru Διάλεξη Μετασχηματισμός Fourier Έννοια του ολοκληρωτικού μετασχηματισμού Η μέθοδος των ολοκληρωτικών μετασχηματισμών είναι μια από τις ισχυρές μεθόδους της μαθηματικής φυσικής και είναι μια ισχυρή λύση

Ολοκληρωσιμότητα μιας συνάρτησης (σύμφωνα με τον Riemann) και ενός ορισμένου ολοκληρώματος Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων 1. Η σταθερή συνάρτηση f(x) = C είναι ολοκληρωμένη στο , αφού για οποιεσδήποτε διαμερίσεις και οποιαδήποτε επιλογή σημείων ξ i το ολοκλήρωμα

Φυσικά, καθήκον. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση Riemann, εάν 0, m m R(), εάν, m, m 0, και το κλάσμα είναι μη αναγώγιμο, το 0, εάν είναι παράλογο, είναι ασυνεχής σε κάθε ορθολογικό σημείο και συνεχής σε κάθε ανορθολογικό. Λύση.

1 2 Πίνακας περιεχομένων 1 σειρά Fourier 5 1.1 Τριγωνομετρική σειρά Fourier .................. 5 1.2 Only sin & cos ............. ............ 7 1.3 Σειρές Fourier σε μιγαδική μορφή............. 11 1,4 f(x) = c k?......... ......

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 1. Μερικές διαφορικές εξισώσεις

Διάλεξη 4. Εξισώσεις κυμάτων 1. Παραγωγή της εξίσωσης των κραδασμών χορδής 2. Εξίσωση διαμήκων δονήσεων ράβδου 3. Αρχικές συνθήκες, οριακές συνθήκες 4. Δήλωση προβλήματος 1. Παραγωγή της εξίσωσης δονήσεων χορδής

1. Ηλεκτροστατική 1 1. Ηλεκτροστατική Μάθημα 6 Διαχωρισμός μεταβλητών σε καρτεσιανές συντεταγμένες 1.1. (Πρόβλημα 1.49) Το z = επίπεδο είναι φορτισμένο με πυκνότητα σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), όπου σ, α, β είναι σταθερές.

Ενότητα Θέμα Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων Ιδιότητες ομοιόμορφης σύγκλισης ακολουθιών και σειρών Σειρά ισχύος Διάλεξη Ορισμοί ακολουθιών και σειρών συναρτήσεων Ομοιόμορφα

Εξισώσεις παραβολικού τύπου. Μέθοδος διαχωρισμού μεταβλητών Πρόβλημα ομογενούς οριακής τιμής Συνάρτηση πηγής Ανομοιογενής εξίσωση θερμότητας 7 Διάλεξη 7.1 Εξισώσεις παραβολικού τύπου. Μέθοδος διαχωρισμού

Διάλεξη Αριθμητική σειρά Σημάδια σύγκλισης Αριθμητική σειρά Σημεία σύγκλισης Μια άπειρη έκφραση μιας αριθμητικής ακολουθίας + + + +, που αποτελείται από μέλη μιας άπειρης, ονομάζεται αριθμητική σειρά

35 7 Τριγωνομετρική σειρά Fourier Σειρά Fourier για περιοδικές συναρτήσεις με περίοδο T. Έστω f(x) μια τμηματικά συνεχής περιοδική συνάρτηση με περίοδο T. Θεωρήστε το βασικό τριγωνομετρικό σύστημα

Τμήμα Μεταλλουργίας Τμήμα Ανώτατων Μαθηματικών

Τμήμα Μαθηματικών και Πληροφορικής Στοιχεία Ανώτερων Μαθηματικών Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό συγκρότημα για μαθητές δευτεροβάθμιας επαγγελματικής εκπαίδευσης που σπουδάζουν με χρήση τεχνολογιών εξ αποστάσεως Ενότητα Διαφορικός λογισμός Συντάχθηκε από:

9. Αντιπαράγωγο και αόριστο ολοκλήρωμα 9.. Έστω η συνάρτηση f() στο διάστημα I R. Η συνάρτηση F () ονομάζεται αντιπαράγωγη συνάρτηση f() στο διάστημα I, εάν F () = f() για οποιοδήποτε I, και η αντιπαράγωγος

ΔΙΑΦΟΡΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η έννοια της παραγώγου, η γεωμετρική και φυσική της σημασία Προβλήματα που οδηγούν στην έννοια της παραγώγου Ορισμός της εφαπτομένης S στην ευθεία y f (x) στο σημείο A x ; φά(

Εξισώσεις υπερβολικού τύπου. Δονήσεις μιας άπειρης και ημι-άπειρης χορδής. Μέθοδος d'Alembert Άπειρη συμβολοσειρά. Τύπος d'Alembert Ημι-άπειρη χορδή 3 Διάλεξη 3.1 Εξισώσεις υπερβολικού τύπου.

Τίτλος Εισαγωγή. Βασικές έννοιες.... 4 1. Ολοκληρωμένες εξισώσεις Volterra... 5 Επιλογές εργασίας για το σπίτι.... 8 2. Επίλυση της εξίσωσης ολοκληρωτικού Volterra. 10 επιλογές για εργασίες για το σπίτι.... 11

ΣΕΙΡΕΣ. Αριθμητικές γραμμές. Βασικοί ορισμοί Έστω μια άπειρη ακολουθία αριθμών Η έκφραση (άπειρο άθροισμα) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= ονομάζεται α σειρά αριθμών. Αριθμοί

8. Σειρά ισχύος 8.. Συναρτησιακή σειρά της μορφής c n (z) n, (8.) n= όπου c n είναι αριθμητική ακολουθία, R είναι σταθερός αριθμός και z R ονομάζεται σειρά ισχύος με συντελεστές c n . Με την αλλαγή των μεταβλητών

~ ~ Αόριστα και οριστικά ολοκληρώματα Η έννοια του αντιπαραγώγου και του αορίστου ολοκληρώματος. Ορισμός: Μια συνάρτηση F ονομάζεται αντιπαράγωγος σε σχέση με μια συνάρτηση f εάν αυτές οι συναρτήσεις συσχετίζονται ως εξής

3724 ΣΕΙΡΑ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΠΥΛΛΟΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΩΝ 1 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΩΝ «ΣΕΙΡΑ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΑΙ ΚΥΠΛΟΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΩΝ» 11 Αριθμητική σειρά Η έννοια της σειράς αριθμών Ιδιότητες της σειράς αριθμών Ένα απαραίτητο κριτήριο για σύγκλιση

ΤΡΩΩ. ΟΡΓΑΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΗ ΣΕΙΡΑ NOVOSIBIRSK 200 2 ΡΩΣΙΚΟ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ SEI HPE «NOVOSIBIRSK STATE PEDAGGOGICAL UNIVERSITY» E.M. Rudoy ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ.

ΔΙΑΛΕΞΗ Ν 7 .Ισχύς

ΤΕΤΑΡΧΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ Σχόλιο Οι εργασίες με παραμέτρους είναι παραδοσιακά πολύπλοκες εργασίες στη δομή USE, που απαιτούν από τον αιτούντα όχι μόνο να κατέχει όλες τις μεθόδους και τεχνικές για την επίλυση διαφόρων

Διαφορικός λογισμός Εισαγωγή στη μαθηματική ανάλυση Όριο ακολουθίας και συνάρτησης. Αποκάλυψη αβεβαιοτήτων εντός. Παράγωγος συνάρτησης. Κανόνες διαφοροποίησης. Εφαρμογή της παραγώγου

Σειρά Fourier Ορθογώνια συστήματα συναρτήσεων Από την άποψη της άλγεβρας, η ισότητα όπου είναι συναρτήσεις μιας δεδομένης τάξης και είναι συντελεστές από R ή C σημαίνει απλώς ότι το διάνυσμα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων Β

1. Ορισμένο ολοκλήρωμα 1.1. Έστω f μια περιορισμένη συνάρτηση που ορίζεται στο τμήμα [, b] R. Ένα διαμέρισμα του τμήματος [, b] είναι ένα σύνολο σημείων τ = (x, x 1,..., x n 1, x n ) [, b ] τέτοιο ώστε = x< x 1 < < x n 1

Ch Σειρά ισχύος a a a Μια σειρά της μορφής a a a a () ονομάζεται σειρά ισχύος, όπου, a, είναι σταθερές, που ονομάζονται συντελεστές της σειράς. Μερικές φορές μια σειρά ισχύος μιας γενικότερης μορφής θεωρείται: a a (a) a ( α) α (α) (), όπου