ΑΓ.40. Απόσταση μεταξύ δύο τεμνόμενων γραμμών
Σε συντεταγμένες 
FMP.3. ΠΛΗΡΗΣ ΑΥΞΗΣΗ
συναρτήσεις πολλών μεταβλητών - η αύξηση που αποκτάται από τη συνάρτηση όταν όλα τα ορίσματα λαμβάνουν (γενικά, μη μηδενικές) αυξήσεις. Πιο συγκεκριμένα, ας οριστεί η συνάρτηση f σε μια γειτονιά του σημείου
ν-διάστατος χώρος μεταβλητών x 1,. . ., x σελ.Αύξηση
συνάρτηση f στο σημείο x (0) , όπου
που ονομάζεται πλήρης προσαύξηση εάν θεωρείται ως συνάρτηση n πιθανών αυξήσεων D x 1, . . ., Δ x nεπιχειρήματα x 1, . .., x p,υπό την προϋπόθεση μόνο ότι το σημείο x (0) + Dx ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Μαζί με τις γραμμικές αυξήσεις των συναρτήσεων, θεωρούμε μερικές αυξήσεις D x k fσυνάρτηση f στο σημείο x (0) της μεταβλητής x k,δηλ. τέτοιες αυξήσεις Df, για τις οποίες Dx yj =0, j=1, 2, . . ., κ- 1, k+1, . . ., n, k -σταθερό (k=1, 2, . . ., n).
FMP.4. Α: Η μερική αύξηση της συνάρτησης z \u003d (x, y) ως προς το x είναι η διαφορά με τη μερική αύξηση ως προς το
Α: Η μερική παράγωγος ως προς το x της συνάρτησης z \u003d (x, y) είναι το όριο του λόγου της μερικής αύξησης προς την αύξηση Ax όταν η τελευταία τείνει στο μηδέν:
Άλλοι χαρακτηρισμοί: Ομοίως για μεταβλητές
noah u. 
Παρατηρώντας ότι προσδιορίζεται στη σταθερά y και - στη σταθερά x, μπορούμε να διατυπώσουμε τον κανόνα: η μερική παράγωγος ως προς το x της συνάρτησης z \u003d (x, y) είναι η συνήθης παράγωγος ως προς το x, που υπολογίζεται σύμφωνα με το υπόθεση ότι το y \u003d συνεχίζει. Ομοίως, για να υπολογίσουμε τη μερική παράγωγο ως προς το y, πρέπει να λάβουμε υπόψη το x = const. Έτσι, οι κανόνες για τον υπολογισμό των μερικών παραγώγων είναι οι ίδιοι όπως στην περίπτωση μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής.
FMP.5. Συνέχεια λειτουργιών. Προσδιορισμός της συνέχειας μιας συνάρτησης
Η συνάρτηση , ονομάζεται συνεχής στο σημείο , εάν ικανοποιείται μία από τις ισοδύναμες συνθήκες:
2) για μια αυθαίρετη ακολουθία ( x n) τιμές, συγκλίνουσες σε n→ ∞ σε ένα σημείο Χ 0 , η αντίστοιχη ακολουθία ( φά(x n)) οι τιμές της συνάρτησης συγκλίνει για n→ ∞ προς φά(Χ 0);
3) ή φά(Χ) - φά(Χ 0) → 0 ως Χ - Χ 0 → 0;
4) έτσι ώστε ή, που είναι το ίδιο,
φά: ]Χ 0 - δ , Χ 0 + δ [ → ]φά(Χ 0) - ε , φά(Χ 0) + ε [.
Από τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης φάστο σημείο Χ 0 προκύπτει ότι
Εάν η συνάρτηση φάσυνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος ] ένα, σι[, μετά η συνάρτηση φάπου ονομάζεται συνεχής σε αυτό το διάστημα.
FMP.6. ΣΤΟ μαθηματική ανάλυση, μερική παράγωγο- μία από τις γενικεύσεις της έννοιας της παραγώγου στην περίπτωση συνάρτησης πολλών μεταβλητών.
Ρητά, η μερική παράγωγος της συνάρτησης φάορίζεται ως εξής:
Γράφημα συνάρτησης z = Χ² + xy + y². Μερική παράγωγος στο σημείο (1, 1, 3) σε σταθερά yαντιστοιχεί στη γωνία κλίσης της εφαπτομένης παράλληλης στο επίπεδο xz.
Τμήματα του γραφήματος που φαίνονται παραπάνω από ένα επίπεδο y= 1
Σημειώστε ότι ο συμβολισμός πρέπει να γίνει κατανοητός ως ολόκληροςσύμβολο, σε αντίθεση με τη συνήθη παράγωγο μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής, η οποία μπορεί να αναπαρασταθεί ως ο λόγος των διαφορικών της συνάρτησης και του ορίσματος. Ωστόσο, η μερική παράγωγος μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί ως λόγος διαφορικών, αλλά σε αυτήν την περίπτωση είναι απαραίτητο να υποδειχθεί με ποια μεταβλητή αυξάνεται η συνάρτηση: , όπου δ x στείναι το μερικό διαφορικό της συνάρτησης f ως προς τη μεταβλητή x. Συχνά μια παρανόηση του γεγονότος της ακεραιότητας ενός συμβόλου είναι η αιτία σφαλμάτων και παρεξηγήσεων, όπως, για παράδειγμα, μια συντομογραφία σε μια έκφραση. (για λεπτομέρειες, βλέπε Fikhtengolts, «Πορεία διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού»).
Γεωμετρικά, η μερική παράγωγος είναι η παράγωγος κατά την κατεύθυνση ενός από τους άξονες συντεταγμένων. Μερική παράγωγος συνάρτησης φάσε ένα σημείο κατά μήκος μιας συντεταγμένης x kείναι ίση με την παράγωγο ως προς την κατεύθυνση, όπου βρίσκεται η μονάδα κ-η θέση.
ΛΑ 76) Συστ. ur-tion ονομάζεται Cramer's εάν ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων.
ΛΑ 77-78) Συστ. ονομάζεται άρθρωση εάν έχει τουλάχιστον μία λύση, και ασύμβατη διαφορετικά.
LA 79-80) Κοινό σύστημα. λέγεται οριστική αν έχει μόνο μία λύση και αόριστο διαφορετικά.
LA 81) ... η ορίζουσα του συστήματος Cramer ήταν διαφορετική από το μηδέν
LA 169) Για να είναι το σύστημα συνεπές, είναι απαραίτητο και αρκετό η κατάταξη του πίνακα να είναι ίση με την κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα = .
LA 170) Εάν η ορίζουσα του συστήματος Cramer είναι διαφορετική από το μηδέν, τότε το σύστημα ορίζεται και η λύση του μπορεί να βρεθεί από τους τύπους 
LA 171) 1. Να βρείτε τη λύση του συστήματος εξισώσεων Cramer με τη μέθοδο του πίνακα. 2.. Ας γράψουμε το σύστημα σε μορφή μήτρας. 3. Υπολογίστε την ορίζουσα του συστήματος χρησιμοποιώντας τις ιδιότητές του: 4. Στη συνέχεια σημειώστε τον αντίστροφο πίνακα A-1. 5. Επομένως
LA 172) Ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων AX = 0. Το ομογενές σύστημα είναι πάντα συνεπές επειδή έχει τουλάχιστον μία λύση
LA 173) Αν τουλάχιστον μία από τις ορίζουσες , , δεν είναι ίση με μηδέν, τότε όλες οι λύσεις του συστήματος (1) θα προσδιορίζονται από τους τύπους , , , όπου t είναι ένας αυθαίρετος αριθμός. Κάθε μεμονωμένη λύση λαμβάνεται σε κάποια συγκεκριμένη τιμή t.
LA 174) Το σύνολο των διαλυμάτων είναι ομοιογενές. Τα συστήματα ονομάζονται θεμελιώδες σύστημα λύσεων εάν: 1) είναι γραμμικά ανεξάρτητα. 2) οποιαδήποτε λύση του συστήματος είναι ένας γραμμικός συνδυασμός λύσεων.
AG118. Η γενική εξίσωση του αεροπλάνου είναι…
Καλείται η εξίσωση του επιπέδου προβολής τη γενική εξίσωση του επιπέδου.
AG119.Αν το επίπεδο a περιγράφεται με την εξίσωση Ax+D=0, τότε...
PR 10.Τι είναι ένα απειροελάχιστο μέγεθος και ποιες οι βασικές του ιδιότητες;
OL 11. Τι λέγεται απείρως μεγάλο; Ποια είναι η σχέση της
με ένα απειροελάχιστο;
PR12.KΠοια περιοριστική σχέση ονομάζεται πρώτο αξιοσημείωτο όριο; Το πρώτο αξιοσημείωτο όριο είναι η σχέση ορίου
OL 13Ποια περιοριστική σχέση ονομάζεται δεύτερο αξιοσημείωτο όριο;
OL 14Ποια ζεύγη ισοδύναμων συναρτήσεων γνωρίζετε;
CR64Τι είναι η αρμονική σειρά; Κάτω από ποιες συνθήκες συγκλίνει;
Η σειρά ενός είδους ονομάζεται αρμονικός.
CR 65.Ποιο είναι το άθροισμα μιας άπειρης φθίνουσας προόδου;
CR66.Ποια δήλωση εννοείται με το πρώτο θεώρημα σύγκρισης;
Αφήστε να υπάρχουν δύο θετικές σειρές
Εάν, τουλάχιστον από ένα ορισμένο σημείο (ας πούμε, για ), ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: , τότε η σύγκλιση της σειράς συνεπάγεται τη σύγκλιση της σειράς ή, που είναι το ίδιο, η απόκλιση της σειράς προκύπτει από την απόκλιση της σειρά.
CR67. Ποια δήλωση εννοείται με το δεύτερο θεώρημα σύγκρισης;
Ας το προσποιηθούμε. Αν υπάρχει όριο
τότε και οι δύο σειρές συγκλίνουν ή αποκλίνουν ταυτόχρονα.
CR 45Να διατυπώσετε το απαιτούμενο κριτήριο για τη σύγκλιση της σειράς.
Αν η σειρά έχει πεπερασμένο άθροισμα, τότε ονομάζεται συγκλίνουσα.
CR 29Μια αρμονική σειρά είναι μια σειρά της μορφής…. Συγκλίνει όταν
Η σειρά ενός είδους ονομάζεται αρμονικός.Έτσι, η αρμονική σειρά συγκλίνει και αποκλίνει στο .
AG 6. Ένα διατεταγμένο σύστημα γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων που βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία (σε ένα δεδομένο επίπεδο, στο διάστημα) ονομάζεται βάση σε αυτήν την ευθεία (σε αυτό το επίπεδο, στο διάστημα), εάν οποιοδήποτε διάνυσμα βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία (στο ένα δεδομένο επίπεδο, χώρος) ) μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων αυτού του γραμμικά ανεξάρτητου συστήματος.
Οποιοδήποτε ζεύγος μη γραμμικών διανυσμάτων βρίσκεται σε ένα δεδομένο επίπεδο αποτελεί τη βάση σε αυτό το επίπεδο.
AG 7. Ένα διατεταγμένο σύστημα γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων που βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία (σε ένα δεδομένο επίπεδο, στο διάστημα) ονομάζεται βάση σε αυτήν την ευθεία (σε αυτό το επίπεδο, στο διάστημα), εάν οποιοδήποτε διάνυσμα βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία (στο ένα δεδομένο επίπεδο, χώρος) ) μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων αυτού του γραμμικά ανεξάρτητου συστήματος.
Οποιοδήποτε τριπλό μη ομοεπίπεδων διανυσμάτων σχηματίζει μια βάση στο χώρο.
AG 8, Οι συντελεστές στην επέκταση ενός διανύσματος ως βάσης ονομάζονται συντεταγμένες αυτού του διανύσματος σε μια δεδομένη βάση. Για να βρούμε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος με δεδομένη αρχή και τέλος, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε τις συντεταγμένες της αρχής του από τις συντεταγμένες του τέλους του διανύσματος: αν , , τότε .
ΑΓ 9.α)Ας κατασκευάσουμε ένα διάνυσμα (ένα διάνυσμα, με αρχή στο σημείο και τέλος στο σημείο, λέγεται διάνυσμα ακτίνας σημείου ).
ΑΓ 10. Όχι γιατί το ακτινικό μέτρο της γωνίας μεταξύ δύο διανυσμάτων περικλείεται πάντα μεταξύ και
ΑΓ 11. Κλιμακωτής είναι κάθε πραγματικός αριθμός. Προϊόν με τελείεςδύο διανύσματα και ονομάζεται αριθμός ίσος με το γινόμενο των μονάδων τους και το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας.
ΑΓ 12. μπορούμε να υπολογίσουμεαπόσταση μεταξύ σημείων, διανύσματα βάσης, γωνία μεταξύ διανυσμάτων.
ΑΓ 13. Το διασταυρούμενο γινόμενο ενός διανύσματος από ένα διάνυσμα είναι το τρίτο διάνυσμα που έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
Το μήκος του είναι 
Το διάνυσμα είναι κάθετο στο επίπεδο που περιέχει τα διανύσματα και
ΔΙΑΣΤΑΥΡΩΣΗ ΣΤΡΑΙΤΩΝ Μεγάλο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό
τεμνόμενες γραμμέςείναι γραμμές στο χώρο που δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. * * * Η ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΕΙ ΤΗ ΔΙΑΒΑΣΗ ΔΕΞΙΑ, ευθείες γραμμές στο διάστημα, όχι στο ίδιο επίπεδο ... εγκυκλοπαιδικό λεξικό
Διασταυρούμενες γραμμέςείναι γραμμές στο χώρο που δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Μπορούν να συρθούν παράλληλα επίπεδα μέσω του S. p., η απόσταση μεταξύ του οποίου ονομάζεται απόσταση μεταξύ του S. p. Είναι ίση με τη μικρότερη απόσταση μεταξύ των σημείων του S. p ... Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια
ΔΙΑΣΤΑΥΡΩΣΗ ΣΤΡΑΙΤΩΝείναι γραμμές στο χώρο που δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Η γωνία μεταξύ S. p. οποιαδήποτε από τις γωνίες μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών που διέρχονται από ένα αυθαίρετο σημείο του χώρου. Αν τα a και b είναι διανύσματα κατεύθυνσης του S. p., τότε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ του S. p ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια
ΔΙΑΣΤΑΥΡΩΣΗ ΣΤΡΑΙΤΩΝ- γραμμές στο διάστημα που δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ... Φυσικές Επιστήμες. εγκυκλοπαιδικό λεξικό
Παράλληλες γραμμές- Περιεχόμενα 1 Στην Ευκλείδεια γεωμετρία 1.1 Ιδιότητες 2 Στη γεωμετρία Lobachevsky ... Wikipedia
Υπερπαράλληλες γραμμές- Περιεχόμενα 1 Στην Ευκλείδεια γεωμετρία 1.1 Ιδιότητες 2 Στη γεωμετρία Lobachevsky 3 Δείτε επίσης ... Wikipedia
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ RIEMANN- ελλειπτική γεωμετρία, μια από τις μη ευκλείδειες γεωμετρίες, δηλαδή γεωμετρική, μια θεωρία που βασίζεται σε αξιώματα, οι απαιτήσεις για τις οποίες διαφέρουν από τις απαιτήσεις των αξιωμάτων της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Σε αντίθεση με την Ευκλείδεια γεωμετρία στο R. g. ... ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια
Σε αυτό το άρθρο, θα ορίσουμε πρώτα τη γωνία μεταξύ των λοξών γραμμών και θα δώσουμε μια γραφική απεικόνιση. Στη συνέχεια, απαντάμε στην ερώτηση: "Πώς να βρείτε τη γωνία μεταξύ λοξών γραμμών εάν είναι γνωστές οι συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης αυτών των γραμμών σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων"; Συμπερασματικά, θα εξασκηθούμε στην εύρεση της γωνίας μεταξύ λοξών γραμμών κατά την επίλυση παραδειγμάτων και προβλημάτων.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Γωνία μεταξύ λοξών γραμμών - ορισμός.
Σταδιακά θα προσεγγίσουμε τον ορισμό της γωνίας μεταξύ τεμνόμενων γραμμών.
Ας θυμηθούμε πρώτα τον ορισμό των λοξών γραμμών: δύο γραμμές σε τρισδιάστατο χώρο ονομάζονται διασταύρωσηαν δεν κείτονται στο ίδιο επίπεδο. Από αυτόν τον ορισμό προκύπτει ότι οι λοξές γραμμές δεν τέμνονται, δεν είναι παράλληλες και, επιπλέον, δεν συμπίπτουν, διαφορετικά θα βρίσκονταν και οι δύο σε κάποιο επίπεδο.
Παρουσιάζουμε μερικά επιπλέον βοηθητικά επιχειρήματα.
Έστω δύο τεμνόμενες ευθείες a και b σε τρισδιάστατο χώρο. Ας κατασκευάσουμε τις ευθείες a 1 και b 1 έτσι ώστε να είναι παράλληλες με τις λοξές ευθείες a και b, αντίστοιχα, και να διέρχονται από κάποιο σημείο του χώρου M 1 . Έτσι, θα πάρουμε δύο τεμνόμενες ευθείες a 1 και b 1 . Έστω η γωνία μεταξύ των τεμνόμενων ευθειών a 1 και b 1 ίση με τη γωνία . Τώρα ας κατασκευάσουμε ευθείες a 2 και b 2 , παράλληλες με τις λοξές γραμμές a και b, αντίστοιχα, που διέρχονται από το σημείο M 2 , το οποίο είναι διαφορετικό από το σημείο M 1 . Η γωνία μεταξύ των τεμνόμενων γραμμών a 2 και b 2 θα είναι επίσης ίση με τη γωνία. Αυτή η δήλωση είναι αληθής, αφού οι ευθείες a 1 και b 1 θα συμπίπτουν με τις ευθείες a 2 και b 2, αντίστοιχα, εάν εκτελέσετε μια παράλληλη μεταφορά, στην οποία το σημείο M 1 πηγαίνει στο σημείο M 2. Έτσι, το μέτρο της γωνίας μεταξύ δύο ευθειών που τέμνονται στο σημείο Μ, αντίστοιχα παράλληλες προς τις δεδομένες λοξές γραμμές, δεν εξαρτάται από την επιλογή του σημείου Μ.
Τώρα είμαστε έτοιμοι να ορίσουμε τη γωνία μεταξύ λοξών γραμμών.
Ορισμός.
Γωνία μεταξύ λοξών γραμμώνείναι η γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων γραμμών που είναι αντίστοιχα παράλληλες με τις δεδομένες λοξές γραμμές.
Από τον ορισμό προκύπτει ότι η γωνία μεταξύ των λοξών γραμμών δεν θα εξαρτάται επίσης από την επιλογή του σημείου M . Επομένως, ως σημείο M, μπορείτε να πάρετε οποιοδήποτε σημείο που ανήκει σε μία από τις λοξές γραμμές.
Δίνουμε μια απεικόνιση του ορισμού της γωνίας μεταξύ λοξών γραμμών.
Εύρεση της γωνίας μεταξύ λοξών γραμμών.
Εφόσον η γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών καθορίζεται μέσω της γωνίας μεταξύ τεμνόμενων γραμμών, η εύρεση της γωνίας μεταξύ τεμνόμενων γραμμών μειώνεται στην εύρεση της γωνίας μεταξύ των αντίστοιχων τεμνόμενων γραμμών στον τρισδιάστατο χώρο.
Αναμφίβολα, οι μέθοδοι που μελετήθηκαν στα μαθήματα γεωμετρίας στο Λύκειο. Δηλαδή, έχοντας ολοκληρώσει τις απαραίτητες κατασκευές, είναι δυνατή η σύνδεση της επιθυμητής γωνίας με οποιαδήποτε γωνία που είναι γνωστή από τη συνθήκη, με βάση την ισότητα ή την ομοιότητα των σχημάτων, σε ορισμένες περιπτώσεις θα βοηθήσει θεώρημα συνημιτόνου, και μερικές φορές οδηγεί στο αποτέλεσμα ορισμός ημιτόνου, συνημίτονος και εφαπτομένης γωνίαςορθογώνιο τρίγωνο.
Ωστόσο, είναι πολύ βολικό να λυθεί το πρόβλημα της εύρεσης της γωνίας μεταξύ λοξών γραμμών χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συντεταγμένων. Αυτό θα εξετάσουμε.
Αφήστε το Oxyz να εισαχθεί στον τρισδιάστατο χώρο (ωστόσο, σε πολλά προβλήματα πρέπει να εισαχθεί ανεξάρτητα).
Ας θέσουμε στον εαυτό μας το καθήκον: να βρούμε τη γωνία μεταξύ των τεμνόμενων ευθειών a και b, που αντιστοιχούν σε ορισμένες εξισώσεις της ευθείας στο χώρο στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz.
Ας το λύσουμε.
Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο σημείο του τρισδιάστατου χώρου M και ας υποθέσουμε ότι οι ευθείες a 1 και b 1 διέρχονται από αυτό, παράλληλες προς τις τεμνόμενες ευθείες a και b, αντίστοιχα. Τότε η απαιτούμενη γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών a και b είναι εξ ορισμού ίση με τη γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών a 1 και b 1.
Έτσι, μας μένει να βρούμε τη γωνία μεταξύ των τεμνόμενων ευθειών a 1 και b 1 . Για να εφαρμόσουμε τον τύπο για την εύρεση της γωνίας μεταξύ δύο τεμνόμενων γραμμών στο διάστημα, πρέπει να γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης των ευθειών a 1 και b 1 .
Πώς μπορούμε να τα αποκτήσουμε; Και είναι πολύ απλό. Ο ορισμός του κατευθυντικού διανύσματος μιας ευθείας γραμμής μας επιτρέπει να δηλώσουμε ότι τα σύνολα κατευθυνόμενων διανυσμάτων των παράλληλων ευθειών συμπίπτουν. Επομένως, ως διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών a 1 και b 1, μπορούμε να πάρουμε τα διανύσματα κατεύθυνσης 
και 
ευθείες α και β, αντίστοιχα.
Ετσι, Η γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων ευθειών a και b υπολογίζεται από τον τύπο 
, όπου και είναι τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών a και b, αντίστοιχα.
Τύπος εύρεσης του συνημίτονος της γωνίας μεταξύ λοξών γραμμώνα και β έχουν τη μορφή 
.
Σας επιτρέπει να βρείτε το ημίτονο της γωνίας μεταξύ λοξών γραμμών εάν το συνημίτονο είναι γνωστό: 
.
Μένει να αναλύσουμε τις λύσεις των παραδειγμάτων.
Παράδειγμα.
Βρείτε τη γωνία μεταξύ των λοξών γραμμών a και b , οι οποίες ορίζονται στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz από τις εξισώσεις 
και 
.
Λύση.
Οι κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής στο χώρο σας επιτρέπουν να προσδιορίσετε αμέσως τις συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος αυτής της ευθείας γραμμής - δίνονται με αριθμούς στους παρονομαστές των κλασμάτων, δηλαδή, 
. Οι παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής στο χώρο καθιστούν επίσης δυνατή την άμεση εγγραφή των συντεταγμένων του διανύσματος κατεύθυνσης - είναι ίσες με τους συντελεστές μπροστά από την παράμετρο, δηλαδή, 
- διάνυσμα κατεύθυνσης ευθεία . Έτσι, έχουμε όλα τα απαραίτητα δεδομένα για να εφαρμόσουμε τον τύπο με τον οποίο υπολογίζεται η γωνία μεταξύ λοξών γραμμών: 
Απάντηση:
Η γωνία μεταξύ των δεδομένων λοξών γραμμών είναι .
Παράδειγμα.
Να βρείτε το ημίτονο και το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των λοξών γραμμών στις οποίες βρίσκονται οι ακμές AD και BC της πυραμίδας ABCD, εάν είναι γνωστές οι συντεταγμένες των κορυφών της:.
Λύση.
Τα διανύσματα κατεύθυνσης των γραμμών διέλευσης AD και BC είναι τα διανύσματα και . Ας υπολογίσουμε τις συντεταγμένες τους ως τη διαφορά μεταξύ των αντίστοιχων συντεταγμένων των σημείων τέλους και έναρξης του διανύσματος: 
Σύμφωνα με τον τύπο 
μπορούμε να υπολογίσουμε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των δεδομένων λοξών γραμμών:
Τώρα υπολογίζουμε το ημίτονο της γωνίας μεταξύ των λοξών γραμμών: 
Απάντηση:
Συμπερασματικά, εξετάζουμε τη λύση ενός προβλήματος στο οποίο απαιτείται να βρεθεί η γωνία μεταξύ λοξών γραμμών και το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων πρέπει να εισαχθεί ανεξάρτητα.
Παράδειγμα.
Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, στο οποίο AB=3 , AD=2 και AA 1 =7 μονάδες. Το σημείο Ε βρίσκεται στην άκρη ΑΑ 1 και το διαιρεί σε σχέση με το 5 προς 2 μετρώντας από το σημείο Α. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των λοξών γραμμών BE και A 1 C.
Λύση.
Δεδομένου ότι οι άκρες ενός κυβοειδούς σε μία κορυφή είναι αμοιβαία κάθετες, είναι βολικό να εισαχθεί ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και να προσδιοριστεί η γωνία μεταξύ των υποδεικνυόμενων λοξών γραμμών χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συντεταγμένων μέσω της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης αυτών των γραμμών.
Ας εισαγάγουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz ως εξής: ας συμπίπτει η αρχή με την κορυφή A, ο άξονας Ox συμπίπτει με την ευθεία AD, ο άξονας Oy με την ευθεία AB και ο άξονας Oz με την ευθεία AA 1.
Τότε το σημείο Β έχει συντεταγμένες, το σημείο Ε - (αν χρειάζεται, δείτε το άρθρο), το σημείο Α 1 - και το σημείο Γ -. Από τις συντεταγμένες αυτών των σημείων, μπορούμε να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και . Εχουμε 
, 
.
Απομένει να εφαρμόσουμε τον τύπο για την εύρεση της γωνίας μεταξύ των λοξών γραμμών σύμφωνα με τις συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης: 
Απάντηση:
Βιβλιογραφία.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Γεωμετρία. Εγχειρίδιο για τις τάξεις 10-11 του Λυκείου.
- Pogorelov A.V., Γεωμετρία. Εγχειρίδιο για τις τάξεις 7-11 των εκπαιδευτικών ιδρυμάτων.
- Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Ανώτερα μαθηματικά. Τόμος Πρώτος: Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας και Αναλυτικής Γεωμετρίας.
- Ilyin V.A., Poznyak E.G. Αναλυτική γεωμετρία.
Οι ευθείες l1 και l2 ονομάζονται τεμνόμενες αν δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Έστω a και b τα διανύσματα κατεύθυνσης αυτών των ευθειών και τα σημεία M1 και M2 ανήκουν αντίστοιχα στις ευθείες και l1 και l2
Τότε τα διανύσματα a, b, M1M2> δεν είναι συνεπίπεδα, και επομένως το μικτό γινόμενο τους δεν είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή (a, b, M1M2>) =/= 0. Το αντίστροφο ισχύει επίσης: αν (a, b, M1M2> ) =/= 0, τότε τα διανύσματα a, b, M1M2> δεν είναι ομοεπίπεδα και, κατά συνέπεια, οι ευθείες l1 και l2 δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, δηλ. τέμνονται. Έτσι, δύο ευθείες τέμνονται αν και μόνο αν συνθήκη(a, b, M1M2>) =/= 0, όπου a και b είναι τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών, και M1 και M2 είναι τα σημεία που ανήκουν αντίστοιχα στις δεδομένες ευθείες. Η συνθήκη (a, b, M1M2>) = 0 είναι απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για να βρίσκονται οι ευθείες στο ίδιο επίπεδο. Αν οι ευθείες δίνονται από τις κανονικές τους εξισώσεις
τότε a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) και η συνθήκη (2) γράφεται ως εξής:
Απόσταση μεταξύ τεμνόμενων γραμμών
Αυτή είναι η απόσταση μεταξύ μιας από τις λοξές γραμμές και ενός επιπέδου παράλληλου προς αυτό που διέρχεται από την άλλη γραμμή Η απόσταση μεταξύ των λοξών γραμμών είναι η απόσταση από κάποιο σημείο μιας από τις λοξές γραμμές σε ένα επίπεδο που διέρχεται από την άλλη ευθεία παράλληλη προς η πρώτη γραμμή.
26. Ορισμός έλλειψης, κανονική εξίσωση. Παραγωγή της κανονικής εξίσωσης. Ιδιότητες.
Μια έλλειψη είναι ο τόπος των σημείων σε ένα επίπεδο για τον οποίο το άθροισμα των αποστάσεων σε δύο εστιασμένα σημεία F1 και F2 αυτού του επιπέδου, που ονομάζονται εστίες, είναι σταθερή τιμή. Αυτό δεν αποκλείει τη σύμπτωση των εστιών της έλλειψης. σύστημα τέτοιο ώστε η έλλειψη να περιγράφεται από την εξίσωση (η κανονική εξίσωση της έλλειψης): 
Περιγράφει μια έλλειψη με κέντρο την αρχή, της οποίας οι άξονες συμπίπτουν με τους άξονες συντεταγμένων.
Εάν στη δεξιά πλευρά υπάρχει μια μονάδα με σύμβολο μείον, τότε η εξίσωση που προκύπτει: 
περιγράφει μια φανταστική έλλειψη. Είναι αδύνατο να σχεδιάσουμε μια τέτοια έλλειψη στο πραγματικό επίπεδο. Ας χαρακτηρίσουμε τις εστίες ως F1 και F2 και την απόσταση μεταξύ τους ως 2c και το άθροισμα των αποστάσεων από ένα αυθαίρετο σημείο της έλλειψης στις εστίες ως 2a
Για να εξαγάγουμε την εξίσωση της έλλειψης, επιλέγουμε το σύστημα συντεταγμένων Oxy έτσι ώστε οι εστίες F1 και F2 να βρίσκονται στον άξονα Ox και η αρχή των συντεταγμένων να συμπίπτει με το μέσο του τμήματος F1F2. Τότε οι εστίες θα έχουν τις εξής συντεταγμένες: u Έστω M(x; y) ένα αυθαίρετο σημείο της έλλειψης. Τότε, σύμφωνα με τον ορισμό της έλλειψης, δηλ.
Αυτή, στην πραγματικότητα, είναι η εξίσωση μιας έλλειψης.
27. Ορισμός υπερβολής, κανονική εξίσωση. Παραγωγή της κανονικής εξίσωσης. Ιδιότητες
Μια υπερβολή είναι ένας τόπος σημείων σε ένα επίπεδο για τον οποίο η απόλυτη τιμή της διαφοράς μεταξύ των αποστάσεων σε δύο σταθερά σημεία F1 και F2 αυτού του επιπέδου, που ονομάζονται εστίες, είναι σταθερά. Έστω M(x;y) ένα αυθαίρετο σημείο της υπερβολής. Στη συνέχεια, σύμφωνα με τον ορισμό μιας υπερβολής |MF 1 – MF 2 |=2a ή MF 1 – MF 2 =±2a,
28. Ορισμός παραβολής, κανονική εξίσωση. Παραγωγή της κανονικής εξίσωσης. Ιδιότητες. Παραβολή είναι το GMT ενός επιπέδου για το οποίο η απόσταση από κάποιο σταθερό σημείο F αυτού του επιπέδου είναι ίση με την απόσταση από κάποια σταθερή ευθεία, που βρίσκεται επίσης στο υπό εξέταση επίπεδο. Το F είναι το επίκεντρο της παραβολής. η σταθερή ευθεία είναι η ευθεία της παραβολής. r=d, 
r=; d=x+p/2; (x-p/2) 2 +y 2 =(x+p/2) 2; x 2 -xp + p 2 / 4 + y 2 \u003d x 2 + px + p 2 / 4; y 2 =2 px;
Ιδιότητες: 1. Η παραβολή έχει άξονα συμμετρίας (ο άξονας της παραβολής). 2.Όλα
η παραβολή βρίσκεται στο δεξιό μισό επίπεδο του επιπέδου Oxy στο p>0 και στο αριστερό
αν σελ<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.
| " |
Διάλεξη: Τέμνουσες, παράλληλες και λοξές γραμμές. καθετότητα γραμμών
τεμνόμενες γραμμές
Εάν υπάρχουν πολλές ευθείες γραμμές στο επίπεδο, τότε αργά ή γρήγορα θα τέμνονται αυθαίρετα ή σε ορθή γωνία ή θα είναι παράλληλες. Ας ρίξουμε μια ματιά σε κάθε περίπτωση.
Οι τεμνόμενες γραμμές είναι εκείνες οι γραμμές που έχουν τουλάχιστον ένα σημείο τομής.
Μπορείτε να ρωτήσετε γιατί τουλάχιστον μια γραμμή δεν μπορεί να τέμνει μια άλλη γραμμή δύο ή τρεις φορές. Εχεις δίκιο! Αλλά οι γραμμές μπορεί να συμπίπτουν εντελώς μεταξύ τους. Σε αυτή την περίπτωση, θα υπάρχει άπειρος αριθμός κοινών σημείων.
Παραλληλισμός
Παράλληλομπορεί κανείς να ονομάσει εκείνες τις γραμμές που δεν θα τέμνονται ποτέ, ακόμη και στο άπειρο.
Με άλλα λόγια, παράλληλες είναι αυτές που δεν έχουν ούτε ένα κοινό σημείο. Σημειώστε ότι αυτός ο ορισμός ισχύει μόνο εάν οι ευθείες βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, αλλά εάν δεν έχουν κοινά σημεία, όντας σε διαφορετικά επίπεδα, τότε θεωρούνται τεμνόμενες.
Παραδείγματα παράλληλων γραμμών στη ζωή: δύο απέναντι άκρα της οθόνης της οθόνης, γραμμές σε σημειωματάρια, καθώς και πολλά άλλα μέρη πραγμάτων που έχουν τετράγωνα, ορθογώνια και άλλα σχήματα.
Όταν θέλουν να δείξουν γραπτώς ότι η μία ευθεία είναι παράλληλη με τη δεύτερη, τότε χρησιμοποιείται ο παρακάτω συμβολισμός a||b. Αυτή η σημείωση λέει ότι η ευθεία α είναι παράλληλη με την ευθεία β.
Όταν μελετάτε αυτό το θέμα, είναι σημαντικό να κατανοήσετε μια ακόμη δήλωση: μέσω κάποιου σημείου στο επίπεδο που δεν ανήκει σε μια δεδομένη ευθεία, μπορεί κανείς να σχεδιάσει μια παράλληλη ευθεία. Προσοχή όμως, και πάλι η διόρθωση είναι στο αεροπλάνο. Αν λάβουμε υπόψη τον τρισδιάστατο χώρο, τότε είναι δυνατόν να σχεδιάσουμε άπειρο αριθμό γραμμών που δεν θα τέμνονται, αλλά θα τέμνονται.
Η δήλωση που περιγράφεται παραπάνω ονομάζεται αξίωμα παράλληλων ευθειών.
Κάθετο
Οι άμεσες γραμμές μπορούν να καλούνται μόνο εάν κάθετοςαν τέμνονται υπό γωνία 90 μοιρών.
Στο χώρο, μέσα από ένα ορισμένο σημείο μιας ευθείας, μπορεί να σχεδιαστεί άπειρος αριθμός κάθετων ευθειών. Ωστόσο, αν μιλάμε για ένα επίπεδο, τότε μέσω ενός σημείου σε μια ευθεία, μπορεί κανείς να σχεδιάσει μια μόνο κάθετη ευθεία.
Διασταυρούμενες γραμμές. Διατέμνων
Αν κάποιες ευθείες τέμνονται σε κάποιο σημείο σε αυθαίρετη γωνία, μπορούν να κληθούν διασταύρωση.
Οποιεσδήποτε τεμνόμενες γραμμές έχουν κάθετες γωνίες και γειτονικές.
Αν οι γωνίες που σχηματίζονται από δύο τεμνόμενες ευθείες έχουν μια κοινή πλευρά, τότε ονομάζονται γειτονικές:
Οι γειτονικές γωνίες αθροίζονται έως και 180 μοίρες.
