Помислете за резултата от интерференцията на две синусоидални равнинни вълни с еднаква амплитуда и честота, разпространяващи се в противоположни посоки. За простота на разсъжденията приемаме, че уравненията на тези вълни имат формата:
Това означава, че в началото и двете вълни предизвикват трептения в една и съща фаза. В точка А с координата x общата стойност на осцилиращото количество, съгласно принципа на суперпозицията (виж § 19), е
Това уравнение показва, че в резултат на интерференцията на права и обратна вълна във всяка точка на средата (с фиксирана координата) възниква хармонично трептене със същата честота, но с амплитуда
в зависимост от стойността на x-координатата. В точки в средата, където изобщо няма вибрации: тези точки се наричат възли на вибрации.
В точките, където амплитудата на трептенията има най-голяма стойност, тези точки се наричат антиноди на трептенията. Лесно е да се покаже, че разстоянието между съседните възли или съседните антиноди е равно на разстоянието между антинода и най-близкия възел е равно на Когато x се промени с косинус във формула (5.16), той обръща знака си (аргументът му се променя на така ако в рамките на една полувълна - от един възел към друг - частиците на средата се отклониха в една посока, тогава в рамките на съседната полувълна частиците на средата ще се отклонят в обратна посока.
Вълновият процес в среда, описан с формула (5.16), се нарича стояща вълна. Графично стояща вълна може да бъде изобразена, както е показано на фиг. 1.61. Да приемем, че у има изместване на точките на средата от състоянието на равновесие; тогава формула (5.16) описва "стояща вълна на изместване". В даден момент от времето, когато всички точки на средата имат максимални премествания, чиято посока в зависимост от стойността на координатата x се определя от знака.Тези премествания са показани на фиг. 1.61 с плътни стрелки. След една четвърт от периода, когато преместванията на всички точки на средата са равни на нула; частиците на средата преминават през линията с различни скорости. След друга четвърт от периода, когато частиците на средата отново ще имат максимални премествания, но в обратна посока; тези отмествания са показани в
ориз. 1.61 пунктирани стрелки. Точките са антивъзлите на стоящата вълна на изместване; точки възли на тази вълна.
Характерните характеристики на стоящата вълна, за разлика от конвенционалната разпространяваща се или пътуваща вълна, са следните (което означава плоски вълни при липса на затихване):
1) при стояща вълна амплитудите на трептенията са различни в различните части на системата; системата има възли и антиноди на трептения. При "пътуваща" вълна тези амплитуди са еднакви навсякъде;
2) в областта на системата от един възел до съседния, всички точки на средата осцилират в една и съща фаза; при преминаване към съседен участък фазите на трептенията се обръщат. При бягаща вълна фазите на трептенията, съгласно формула (5.2), зависят от координатите на точките;
3) при стояща вълна няма еднопосочен пренос на енергия, както е при пътуващата вълна.
При описване на колебателни процеси в еластични системи осцилиращата стойност y може да се приеме не само като преместване или скорост на частиците на системата, но и като стойност на относителната деформация или стойността на напрежението при натиск, опън или срязване и т.н. В същото време в стояща вълна на местата, където се образуват антиноди на скоростите на частиците, се намират деформационни възли и обратно, скоростните възли съвпадат с деформационните антиноди. Трансформацията на енергията от кинетична в потенциална и обратно се извършва в рамките на участъка на системата от антинода до съседния възел. Можем да приемем, че всяка такава секция не обменя енергия със съседните секции. Имайте предвид, че трансформацията на кинетичната енергия на движещите се частици в потенциалната енергия на деформираните участъци от средата се случва два пъти за един период.
По-горе, като се има предвид интерференцията на директни и обратни вълни (виж изрази (5.16)), ние не се интересувахме от произхода на тези вълни. Нека сега приемем, че средата, в която се разпространяват вибрации, има ограничени размери, например вибрациите се предизвикват в някакво твърдо тяло - в прът или струна, в колона от течност или газ и т.н. Вълна, разпространяваща се в такава среда ( тяло) , се отразява от границите, следователно в обема на това тяло непрекъснато възниква интерференция на вълни, причинени от външен източник и отразени от границите.
Обмисли най-простият пример; да предположим, че в точка (фиг. 1.62) на прът или струна се възбужда колебателно движение с честота с помощта на външен синусоидален източник; ние избираме началото на референцията за време, така че в този момент изместването да се изразява с формулата
където амплитудата на трептене в точката Вълната, предизвикана в пръта, ще се отрази от втория край на пръта 0% и ще отиде в обратната посока
посока. Нека намерим резултата от интерференцията на директни и отразени вълни в определена точка на пръта с координата x. За по-лесно разсъждение приемаме, че няма поглъщане на вибрационна енергия в пръта и следователно амплитудите на директните и отразените вълни са равни.
В даден момент от времето, когато изместването на осцилиращите частици в точка е равно на y, в друга точка на пръта, изместването, причинено от директна вълна, ще бъде, според вълновата формула, равно на
Отразената вълна също преминава през същата точка А. Да се намери изместването, причинено в точка А от отразената вълна (в същото време е необходимо да се изчисли времето, през което вълната ще пътува от до и обратно до точката, тъй като изместването, причинено в точката от отразената вълна, ще бъде равна на
В този случай се приема, че в отразяващия край на пръта в процеса на отражение няма рязка промяна във фазата на трептене; в някои случаи възниква такава фазова промяна (наречена загуба на фаза) и трябва да се вземе предвид.
Добавянето на вибрации, причинени в различни точки на пръта от директни и отразени вълни, дава стояща вълна; наистина ли,
където е някаква постоянна фаза, независима от координатата x и количеството
е амплитудата на трептене в точката; тя зависи от координатата x, т.е. тя е различна в различните места на пръта.
Нека намерим координатите на тези точки на пръта, в които се образуват възлите и антинодите на стоящата вълна. Косинусът се превръща в нула или единица се появява при стойности на аргумент, които са кратни на
където е цяло число. При нечетна стойност на това число косинусът се равнява на нуль и формулата (5.19) дава координатите на възлите на стоящата вълна; дори ние получаваме координатите на антинодите.
По-горе бяха добавени само две вълни: директна, идваща от и отразена, разпространяваща се от. Трябва обаче да се има предвид, че отразената вълна на границата на пръта ще се отрази отново и ще отиде в посоката на директната вълна. Такива отражения
ще има много от краищата на пръта и затова е необходимо да се намери резултатът от намесата не на две, а на всички вълни, съществуващи едновременно в пръта.
Да приемем, че външен източник на вибрации е причинил вълни в пръта за известно време, след което потокът от вибрационна енергия отвън е спрял. През това време в пръта са се появили отражения, където е времето, през което вълната е преминала от единия край на пръта до другия. Следователно в пръта ще съществуват едновременно вълни, движещи се в посока напред и вълни, пътуващи в обратна посока.
Да приемем, че в резултат на интерференцията на една двойка вълни (директни и отразени) преместването в точка А се оказа равно на y. Нека намерим условието, при което всички премествания y, причинени от всяка двойка вълни, имат еднакви посоки в точка А на пръта и следователно се сумират. За тази цел фазите на трептенията, причинени от всяка двойка вълни в дадена точка, трябва да се различават от фазата на трептенията, причинени от следващата двойка вълни. Но всяка вълна отново се връща в точка А със същата посока на разпространение само след известно време, т.е. тя изостава във фаза, като се равнява на това забавяне, където е цяло число, получаваме
т.е. цял брой полувълни трябва да пасват по дължината на пръта. Обърнете внимание, че при това условие фазите на всички вълни, пътуващи от в посока напред, се различават една от друга по това, където е цяло число; по абсолютно същия начин фазите на всички вълни, пътуващи от в обратна посока, се различават една от друга с .ще се променят; ще се увеличи само амплитудата на трептенията. Ако максималната амплитуда на трептенията по време на интерференцията на две вълни, съгласно формула (5.18), е равна, то при интерференцията на много вълни тя ще бъде по-голяма. Нека го обозначим, тъй като тогава разпределението на амплитудата на трептене по пръта вместо израза (5.18) ще се определя от формулата
Изрази (5.19) и (5.20) определят точките, в които косинусът има стойности или 1:
където е цяло число Координатите на възлите на стоящата вълна ще бъдат получени от тази формула за нечетни стойности след това, в зависимост от дължината на пръта, т.е. стойността
координатите на антивъзла ще бъдат получени с четни стойности
На фиг. 1.63 схематично показва стояща вълна в прът, чиято дължина; точките са антивъзлите, точките са възлите на тази стояща вълна.
В гл. беше показано, че при липса на периодични външни въздействия характерът на кодиращите движения в системата и преди всичко основната величина - честотата на трептене - се определят от размерите и физическите свойства на системата. Всяка осцилаторна система има свое собствено, присъщо колебателно движение; тази флуктуация може да се наблюдава, ако системата бъде изведена от равновесие и след това външните влияния се елиминират.
В гл. 4 часа Разгледах предимно колебателни системи със групирани параметри, в които едни тела (точка) притежават инерционна маса, а други тела (пружини) притежават еластични свойства. За разлика от тях, осцилаторни системи, в които масата и еластичността са присъщи на всеки елементарен обем, се наричат системи с разпределени параметри. Те включват обсъдените по-горе пръти, струни, както и колони от течност или газ (при духови музикални инструменти) и т.н. За такива системи стоящите вълни са естествени вибрации; основната характеристика на тези вълни - дължината на вълната или разпределението на възлите и антивъзлите, както и честотата на трептенията - се определя само от размера и свойствата на системата. Стоящи вълни могат да съществуват и при липса на външно (периодично) въздействие върху системата; това действие е необходимо само за предизвикване или поддържане на стоящи вълни в системата или за промяна на амплитудите на трептенията. По-специално, ако външно въздействие върху система с разпределени параметри се извършва с честота, равна на честотата на нейните собствени трептения, т.е. честотата на стояща вълна, тогава възниква явлението резонанс, което беше разгледано в гл. 5. за различните честоти е едно и също.
По този начин в системи с разпределени параметри естествените трептения - стоящите вълни - се характеризират с цял спектър от честоти, които са кратни една на друга. Най-малката от тези честоти, съответстваща на най-голямата дължина на вълната, се нарича основна честота; останалите) са обертонове или хармоници.
Всяка система се характеризира не само с наличието на такъв спектър от трептения, но и с определено разпределение на енергията между трептения с различни честоти. За музикалните инструменти това разпределение придава на звука особена характеристика, така наречения звуков тембър, който е различен за различните инструменти.
Горните изчисления се отнасят за свободна осцилираща "пръчка с дължина. Въпреки това, обикновено имаме пръти, фиксирани в единия или двата края (например вибриращи струни), или има една или повече точки по дължината на пръта. движенията са възли на принудително изместване. Например,
ако е необходимо да се получат стоящи вълни в пръта в една, две, три точки на фиксиране и т.н., тогава тези точки не могат да бъдат избрани произволно, а трябва да бъдат разположени по протежение на пръта, така че да са във възлите на образуваната стояща вълна . Това е показано например на фиг. 1.64. На същата фигура пунктираната линия показва преместванията на точките на пръта по време на вибрации; антивъзлите на изместване винаги се образуват в свободните краища, а възлите на изместване във фиксираните краища. За осцилиращи въздушни колони в тръби възлите на преместване (и скорости) се получават при отразяващи плътни стени; в отворените краища на тръбите се образуват антиноди на премествания и скорости.
6.1 Стоящи вълни в еластична среда
Според принципа на суперпозицията, когато няколко вълни едновременно се разпространяват в еластична среда, възниква тяхното наслагване и вълните не се смущават една друга: вибрациите на частиците на средата са векторната сума на вибрациите, които частиците биха направили при разпространението на всяка от вълните поотделно .
Вълните, които създават трептения на средата, фазовите разлики между които са постоянни във всяка точка на пространството, се наричат съгласуван.
При добавяне на кохерентни вълни възниква феноменът намеса, което се състои в това, че в едни точки на пространството вълните взаимно се засилват, а в други точки отслабват. Важен случай на интерференция се наблюдава, когато се наслагват две противоположни равнинни вълни с еднаква честота и амплитуда. Получените трептения се наричат стояща вълна. Най-често стоящите вълни възникват, когато пътуваща вълна се отразява от препятствие. В този случай падащата вълна и отразената към нея вълна, когато се сумират, дават стояща вълна.
Получаваме уравнението на стоящата вълна. Нека вземем две равнинни хармонични вълни, разпространяващи се една към друга по оста хи имат еднаква честота и амплитуда:
където 
- фазата на трептения на точките на средата по време на преминаването на първата вълна;
- фазата на трептене на точките на средата по време на преминаването на втората вълна.
Фазова разлика във всяка точка на оста хмрежата няма да зависи от времето, т.е. ще бъде постоянно:
Следователно и двете вълни ще бъдат кохерентни.
Трептенията на частиците на средата в резултат на добавянето на разглежданите вълни ще бъдат както следва:
Трансформираме сумата от косинусите на ъглите съгласно правилото (4.4) и получаваме:
Пренареждайки факторите, получаваме:
За да опростим израза, избираме началото така, че фазовата разлика 
и произхода на времето, така че сумата от фазите да е равна на нула: 
.
Тогава уравнението за сумата на вълните ще приеме формата:
Уравнение (6.6) се нарича уравнение на стояща вълна. От него се вижда, че честотата на стоящата вълна е равна на честотата на пътуващата вълна, а амплитудата, за разлика от пътуващата вълна, зависи от разстоянието от началото:
. (6.7)
Като се вземе предвид (6.7), уравнението на стоящата вълна приема формата:
. (6.8)
Така точките на средата осцилират с честота, съвпадаща с честотата на пътуващата вълна, и с амплитуда а, в зависимост от позицията на точката върху оста х. Съответно амплитудата се променя според косинусния закон и има свои собствени максимуми и минимуми (фиг. 6.1).
 |
За да визуализираме местоположението на минимумите и максимумите на амплитудата, заместваме, съгласно (5.29), вълновото число с неговата стойност:
Тогава изразът (6.7) за амплитудата приема формата
(6.10)
От това става ясно, че амплитудата на преместване е максимална при 
, т.е. в точки, чиято координата отговаря на условието:
, (6.11)
където 
Оттук получаваме координатите на точките, където амплитудата на преместване е максимална:
; (6.12)
Наричат се точките, в които амплитудата на трептенията на средата е максимална вълнови антиноди.
Амплитудата на вълната е нула в точките, където 
. Координатите на такива точки, т.нар вълнови възли, отговаря на условието:
, (6.13)
където
От (6.13) се вижда, че координатите на възлите имат стойностите:
, (6.14)
На фиг. 6.2 показва приблизителен изглед на стояща вълна, местоположението на възлите и антинодите е маркирано. Вижда се, че съседните възли и антиноди на преместването са отдалечени един от друг на еднакво разстояние.
 |
Намерете разстоянието между съседни антиноди и възли. От (6.12) получаваме разстоянието между антивъзлите:
(6.15)
Разстоянието между възлите се получава от (6.14):
(6.16)
От получените съотношения (6.15) и (6.16) се вижда, че разстоянието между съседни възли, както и между съседни антивъзли, е постоянно и равно на; възли и антиноди са изместени един спрямо друг с (фиг. 6.3).
От дефиницията на дължината на вълната можем да напишем израз за дължината на стоящата вълна: тя е равна на половината от дължината на пътуващата вълна:
Нека напишем, като вземем предвид (6.17), изрази за координатите на възли и антиноди:
, (6.18)
, 
(6.19)
Коефициентът , който определя амплитудата на стоящата вълна, променя знака си при преминаване през нулевата стойност, в резултат на което фазата на трептенията от противоположните страни на възела се различава с . Следователно всички точки, лежащи от различни страни на възела, осцилират в противофаза. Всички точки между съседни възли осцилират във фаза.
 |
Възлите условно разделят средата на автономни области, в които хармоничните трептения възникват независимо. Няма трансфер на движение между регионите и следователно няма енергиен поток между регионите. Тоест няма предаване на смущението по оста. Следователно вълната се нарича стояща.
И така, стояща вълна се образува от две противоположно насочени пътуващи вълни с еднакви честоти и амплитуди. Векторите на Umov на всяка от тези вълни са равни по модул и противоположни по посока и при сумиране дават нула. Следователно стоящата вълна не пренася енергия.
6.2 Примери за стоящи вълни
6.2.1 Стояща вълна в струна
Помислете за низ с дължина Л, фиксирани в двата края (фиг. 6.4).
Нека поставим оста по струната хтака че левият край на низа да има координатата х=0, и вдясно х=L. В струната възникват вибрации, описани с уравнението:
Нека запишем граничните условия за разглеждания низ. Тъй като краищата му са фиксирани, тогава в точки с координати х=0и х=Lбез колебание:
(6.22)
Нека намерим уравнението на вибрациите на струната въз основа на написаните гранични условия. Записваме уравнение (6.20) за левия край на низа, като вземем предвид (6.21):
Съотношението (6.23) е валидно за всяко време Tв два случая:
1. 
. Това е възможно, ако няма вибрации в струната (). Този случай не представлява интерес и няма да го разглеждаме.
2. . Ето фазата. Този случай ще ни позволи да получим уравнението за вибрациите на струната.
Нека заместим получената фазова стойност в граничното условие (6.22) за десния край на низа:
. (6.25)
Като се има предвид това
, (6.26)
от (6.25) получаваме:
Отново възникват два случая, в които отношението (6.27) е изпълнено. Случаят, когато няма вибрации в струната (), няма да разглеждаме.
Във втория случай трябва да е изпълнено равенството:
и това е възможно само когато аргументът синус е кратно на цяло число:
Изхвърляме стойността, т.к в този случай, което би означавало или нулева дължина на низа ( L=0) или вълна-нов номер k=0. Като се има предвид връзката (6.9) между вълновото число и дължината на вълната, става ясно, че за да бъде вълновото число равно на нула, дължината на вълната трябва да е безкрайна и това би означавало липса на трептения.
От (6.28) се вижда, че вълновото число по време на вибрации на струна, фиксирана в двата края, може да приема само определени дискретни стойности:
Като вземем предвид (6.9), записваме (6.30) като:
откъдето извличаме израза за възможните дължини на вълните в низа:
С други думи, по дължината на низа Лтрябва да е цяло число нполувълна:
Съответните честоти на трептене могат да бъдат определени от (5.7):
Ето фазовата скорост на вълната, която според (5.102) зависи от линейната плътност на струната и силата на опън на струната:
Замествайки (6.34) в (6.33), получаваме израз, описващ възможните честоти на вибрация на струната:
, (6.36)
Честотите се наричат естествени честотиструни. честота (кога н = 1):
(6.37)
Наречен основна честота(или основен тон) низове. Честотите, определени при n>1Наречен обертоновеили хармоници. Хармоничното число е n-1. Например честота:
съответства на първия хармоник, а честотата:
съответства на втория хармоник и т.н. Тъй като една струна може да бъде представена като дискретна система с безкраен брой степени на свобода, всяка хармонична е модавибрации на струните. В общия случай вибрациите на струните са суперпозиция на моди.
 |
Всеки хармоник има своя собствена дължина на вълната. За основния тон (с n= 1) дължина на вълната:
за първия и втория хармоник, съответно (при n= 2 и n= 3) дължините на вълните ще бъдат:
Фигура 6.5 показва изглед на няколко режима на вибрация, извършвани от струна.
По този начин струна с фиксирани краища реализира изключителен случай в рамките на класическата физика - дискретен спектър от честота на трептене (или дължини на вълните). Еластичен прът с един или двата захванати края се държи по същия начин, както и колебанията във въздушния стълб в тръбите, които ще бъдат обсъдени в следващите раздели.
6.2.2 Влияние на началните условия върху движението
непрекъснат низ. Анализ на Фурие
Вибрациите на струна със захванати краища, в допълнение към дискретен спектър от вибрационни честоти, имат още едно важно свойство: специфичната форма на вибрациите на струната зависи от метода на възбуждане на вибрациите, т.е. от началните условия. Нека разгледаме по-подробно.
Уравнение (6.20), което описва един вид на стояща вълна в струна, е конкретно решение на диференциалното вълново уравнение (5.61). Тъй като вибрацията на една струна се състои от всички възможни режими (за една струна - безкраен брой), тогава общото решение на вълновото уравнение (5.61) се състои от безкраен брой частни решения:
, (6.43)
където азе номерът на режима на трептене. Изразът (6.43) е написан, като се има предвид, че краищата на низа са фиксирани:
а също и като се вземе предвид честотната връзка азти режим и неговото вълново число:
(6.46)
Тук 
– вълново число азта мода;
е вълновото число на 1-ва мода;
Нека намерим стойността на началната фаза за всеки режим на трептене. За това, на времето t=0нека придадем на низа форма, описана от функцията f 0 (х), изразът, за който получаваме от (6.43):
. (6.47)
На фиг. 6.6 показва пример за формата на низ, описан от моята функция f 0 (х).
 |
В момента във времето t=0низът все още е в покой, т.е. скоростта на всички негови точки е равна на нула. От (6.43) намираме израз за скоростта на точките на низа:
и чрез заместване в него t=0, получаваме израз за скоростта на точките на струната в началния момент от време:
. (6.49)
Тъй като в началния момент скоростта е равна на нула, то изразът (6.49) ще бъде равен на нула за всички точки на низа, ако . От това следва, че началната фаза за всички режими също е нула (). Имайки това предвид, изразът (6.43), който описва движението на струната, приема формата:
, (6.50)
и изразът (6.47), който описва първоначалната форма на низа, изглежда така:
. (6.51)
Стояща вълна в струна се описва с функция, която е периодична на интервала , където е равна на две дължини на струна (фиг. 6.7):
Това се вижда от факта, че периодичността на интервала означава:
Следователно,
което ни води до израз (6.52).
от математически анализизвестно е, че всяка периодична функция може да бъде разширена с висока точност в ред на Фурие:
, (6.57)
където , , са коефициентите на Фурие.
Глава 7
Вълни. вълново уравнение
В допълнение към движенията, които вече разгледахме, в почти всички области на физиката има друг вид движение - вълни. Отличителна чертаТова движение, което го прави уникален, е, че във вълната не се разпространяват частиците материя, а промените в тяхното състояние (смущения).
Нар. смущения, които се разпространяват в пространството във времето вълни . Вълните са механични и електромагнитни.
еластични вълни са разпространяващи се смущения на еластичната среда.
Смущението на еластична среда е всяко отклонение на частиците на тази среда от равновесното положение. Смущенията възникват в резултат на деформация на средата на някое от нейните места.
Наборът от всички точки, до които е достигнала вълната този моментвреме, образува повърхност т.нар фронт на вълната .
Според формата на фронта вълните се делят на сферични и плоски. Посока определя се разпространението на вълновия фронтперпендикулярно на вълновия фронт, т.нар лъч . За сферичната вълна лъчите са радиално разминаващ се лъч. За плоска вълна лъчът е лъч от успоредни прави.
Във всяка механична вълна съществуват два вида движение едновременно: трептене на частиците на средата и разпространение на смущение.
Вълна, при която трептенията на частиците на средата и разпространението на смущението протичат в една и съща посока, се нарича надлъжно (фиг.7.2 а).
Вълна, при която частиците на средата осцилират перпендикулярно на посоката на разпространение на смущенията, се нарича напречен (Фиг. 7.2 b).
При надлъжната вълна смущенията представляват компресия (или разреждане) на средата, а при напречната вълна те са измествания (срязвания) на едни слоеве на средата спрямо други. Надлъжните вълни могат да се разпространяват във всички среди (течни, твърди и газообразни), докато напречните вълни могат да се разпространяват само в твърди.
Всяка вълна се разпространява с определена скорост . Под скорост на вълната υ разберете скоростта на разпространение на смущението.Скоростта на вълната се определя от свойствата на средата, в която се разпространява тази вълна. AT твърди веществаскоростта на надлъжните вълни е по-голяма от скоростта на напречните вълни.
Дължина на вълнатаλ е разстоянието, на което вълната се разпространява за време, равно на периода на трептене в нейния източник. Тъй като скоростта на вълната е постоянна величина (за дадена среда), изминатото от вълната разстояние е равно на произведението на скоростта и времето на нейното разпространение. Така че дължината на вълната
От уравнение (7.1) следва, че частиците, разделени една от друга с интервал λ, осцилират в една и съща фаза. Тогава можем да дадем следната дефиниция на дължината на вълната: дължината на вълната е разстоянието между две най-близки точки, осцилиращи в една и съща фаза.
Нека изведем уравнението на плоска вълна, което ни позволява да определим изместването на всяка точка от вълната по всяко време. Нека вълната се разпространява по лъча от източника с някаква скорост v.
Източникът възбужда прости хармонични трептения, а изместването на всяка точка от вълната във всеки момент от времето се определя от уравнението
S = Asinωt (7. 2)
Тогава точката на средата, която се намира на разстояние х от източника на вълната, също ще извършва хармонични трептения, но със закъснение във времето със стойност, т.е. времето, необходимо на вибрациите да се разпространят от източника до тази точка. Преместването на осцилиращата точка спрямо равновесното положение във всеки момент от времето ще бъде описано от съотношението
Това е уравнението на равнинната вълна. Тази вълна се характеризира със следните параметри:
· S - преместване от положението на равновесната точка на еластичната среда, до която е достигнало трептенето;
· ω - циклична честота на генерираните от източника трептения, с които трептят и точките на средата;
· υ - скоростта на разпространение на вълната (фазова скорост);
x – разстоянието до тази точка от средата, до която е достигнало трептенето и чието преместване е равно на S;
· t – времето, отчитано от началото на трептенията;
Въвеждайки дължината на вълната λ в израза (7.3), уравнението на равнинната вълна може да бъде написано, както следва:
(7. 4)
|
Вълнова интерференция. стоящи вълни. Уравнение на стояща вълна
Стоящите вълни се образуват в резултат на интерференцията на две противоположни равнинни вълни с еднаква честота ω и амплитуда A.
Представете си, че в точката S има вибратор, от който се разпространява плоска вълна по лъча SO. След като достигне препятствието в точка О, вълната ще се отрази и ще тръгне в обратна посока, т.е. две пътуващи равнинни вълни се разпространяват по лъча: напред и назад. Тези две вълни са кохерентни, тъй като са генерирани от един и същ източник и, насложени една върху друга, ще си взаимодействат.
Осцилаторното състояние на средата, възникващо в резултат на интерференция, се нарича стояща вълна.
Нека напишем уравнението на правата и обратната пътуваща вълна:
прав - 
; обратен - 
където S 1 и S 2 са преместването на произволна точка от лъча SO. Като се вземе предвид формулата за синуса на сумата, полученото изместване е равно на
По този начин уравнението на стоящата вълна има формата
Коефициентът cosωt показва, че всички точки на средата върху лъча SO извършват прости хармонични трептения с честота . Изразът се нарича амплитуда на стоящата вълна. Както можете да видите, амплитудата се определя от позицията на точката върху SO(x) лъча.
Максимална стойностамплитудите ще имат точки, за които
Или (n = 0, 1, 2,….)
откъде, или 
(4.70)
антиноди на стояща вълна .
Минимална стойност, равно на нула, ще има онези точки, за които
Или 
(n=0, 1, 2,….)
от къде или 
(4.71)
Точки с такива координати се наричат възли на стояща вълна . Сравнявайки изразите (4.70) и (4.71), виждаме, че разстоянието между съседни антиноди и съседни възли е равно на λ/2.
На фигурата плътната линия показва изместването на осцилиращите точки на средата в даден момент от времето, пунктираната крива показва позицията на същите точки през T / 2. Всяка точка осцилира с амплитуда, определена от нейното разстояние от вибратора (x).
За разлика от пътуващата вълна, при стоящата вълна няма трансфер на енергия. Енергията просто преминава от потенциална (с максимално изместване на точките на средата от равновесното положение) към кинетична (когато точките преминават през равновесното положение) в границите между възлите, които остават неподвижни.
Всички точки на стояща вълна в границите между възлите трептят в една и съща фаза, а от противоположните страни на възела - в противофаза.
Стоящи вълни възникват например в опъната в двата края струна, когато в нея се възбуждат напречни вибрации. Освен това в местата на закрепване има възли на стояща вълна.
Ако във въздушен стълб, който е отворен в единия край (звукова вълна), се установи стояща вълна, тогава в отворения край се образува антинод, а в противоположния край се образува възел.
Звук. Доплер ефект
Надлъжните еластични вълни, разпространяващи се в газ, течност и твърди тела, са невидими. Въпреки това, при определени условия те могат да бъдат чути. Така че, ако възбудим вибрации на дълга стоманена линийка, захваната в менгеме, тогава няма да чуем генерираните от нея вълни. Но ако скъсим изпъкналата част на линийката и по този начин увеличим честотата на нейните трептения, тогава ще открием, че линийката ще започне да звучи.
Наричат се еластични вълни, които предизвикват слухови усещания при хората звукови вълниили просто звук.
Човешкото ухо е способно да възприема еластични механични вълни с честота ν от 16 Hz до 20 000 Hz. Еластични вълни с честота ν<16Гц называют инфразвуком, а волны с частотой ν>20000 Hz - ултразвуков.
Честотите в диапазона от 16 Hz до 20 000 Hz се наричат звук. Всяко тяло (твърдо, течно или газообразно), което трепти със звукова честота, създава звукова вълна в околната среда.
В газовете и течностите звуковите вълни се разпространяват под формата на вълни на надлъжно свиване и разреждане. Компресията и разреждането на средата, което възниква в резултат на вибрации на източника на звук (струни, крака на камертон, гласни струни и др.), След известно време достигат до човешкото ухо и, принуждавайки тъпанчето да прави принудителни вибрации, предизвикват определени слухови усещания у човек.
Звуковите вълни не могат да се разпространяват във вакуум, защото там няма какво да вибрира. Това може да се провери чрез прост експеримент. Ако поставим електрически звънец под стъкления купол на въздушна помпа, докато въздухът се изпомпва, ще открием, че звукът ще става все по-слаб и по-слаб, докато спре напълно.
звук в газове. Известно е, че по време на гръмотевична буря първо виждаме светкавица и едва след това чуваме гръм. Това забавяне възниква, защото скоростта на звука във въздуха е много по-малка от скоростта на светлината. Скоростта на звука във въздуха е измерена за първи път от френския учен Марин Мерсен през 1646 г. При температура +20ºС тя е равна на 343 m/s, т.е. 1235 км/ч
Скоростта на звука зависи от температурата на средата. Тя се увеличава с повишаване на температурата и намалява с понижаване на температурата.
Скоростта на звука не зависи от плътността на газа, в който се разпространява този звук. Това обаче зависи от масата на неговите молекули. Колкото по-голяма е масата на газовите молекули, толкова по-ниска е скоростта на звука в нея. И така, при температура
0 ºС скоростта на звука във водорода е 1284m/s, а в въглероден двуокис- 259 м/с.
Звук в течности. Скоростта на звука в течностите обикновено е по-голяма от скоростта на звука в газовете. Скоростта на звука във водата е измерена за първи път през 1826 г. Експериментите са проведени на Женевското езеро в Швейцария. На една лодка запалиха барут и в същото време удариха камбаната, спусната във водата. Звукът на тази камбана, с помощта на специален клаксон, също спуснат във водата, беше уловен на друга лодка, която се намираше на разстояние 14 км от първата. Скоростта на звука във вода се определя от разликата във времето между светкавицата и пристигането на звуковия сигнал. При температура 8 ºС тя се оказа равна на 1435m/s.
В течностите скоростта на звука обикновено намалява с повишаване на температурата. Водата е изключение от това правило. При него скоростта на звука се увеличава с повишаване на температурата и достига максимум при температура 74 ºС, а с по-нататъшно повишаване на температурата намалява.
Трябва да се каже, че човешкото ухо не „работи“ добре под вода. По-голямата част от звука в този случай се отразява от тъпанчето и следователно не предизвиква слухови усещания. Именно това някога е дало повод на нашите предци да се замислят подводен свят"свят на тишината". Оттук и изразът „ням като риба“. Въпреки това, дори Леонардо да Винчи предложи да слушате подводни звуци, като поставите ухото си на гребло, спуснато във водата. Използвайки този метод, можете да се уверите, че рибите всъщност са доста приказливи.
Звук в твърди тела. Скоростта на звука в твърди тела е дори по-голяма, отколкото в течности. Само тук трябва да се има предвид, че в твърди тела могат да се разпространяват както надлъжни, така и напречни вълни. Скоростта на тези вълни, както знаем, е различна. Например в стоманата напречните вълни се разпространяват със скорост 3300 m/s, а надлъжните вълни със скорост 6100 m/s. Фактът, че скоростта на звука в твърдо тяло е по-голяма от тази във въздуха, може да се провери по следния начин. Ако вашият приятел удари единия край на релсата, а вие поставите ухото си в другия край, ще се чуят два удара. Звукът ще достигне до ухото ви първо през релсата, а след това във въздуха.
Земята има добра проводимост. Затова в старите времена по време на обсада в крепостните стени са били поставяни „слушатели“, които по звука, предаван от земята, са можели да определят дали врагът се окопава до стените или не. Поставянето на ухо на земята също направи възможно откриването на приближаването на вражеската кавалерия.
В допълнение към звуковите звуци в земната кора се разпространяват инфразвукови вълни, които човешкото ухо вече не възприема. Такива вълни могат да възникнат при земетресения.
Мощни инфразвукови вълни, разпространяващи се както в земята, така и във въздуха, възникват по време на вулканични изригвания и експлозии на атомни бомби. Източниците на инфразвук могат да бъдат също въздушни вихри в атмосферата, изхвърляне на товари, изстрели, вятър, течащи хребети морски вълни, работещи двигатели на реактивни самолети и др.
Ултразвукът също не се възприема от човешкото ухо. Въпреки това, някои животни, като прилепи и делфини, могат да го излъчват и улавят. В технологията се използват специални устройства за производство на ултразвук.
Ако няколко вълни се разпространяват едновременно в една среда, тогава трептенията на частиците на средата се оказват геометричната сума на трептенията, които частиците биха направили при разпространението на всяка от вълните поотделно. Следователно вълните просто се припокриват една с друга, без да си пречат. Това твърдение се нарича принцип на суперпозиция на вълните. Принципът на суперпозицията гласи, че движението, причинено от разпространението на няколко вълни едновременно, отново е определен вълнов процес. Такъв процес например е звукът на оркестър. Възниква от едновременното възбуждане на звукови вибрации на въздуха от отделни музикални инструменти. Забележително е, че когато вълните се наслагват, могат да възникнат специални явления. Те се наричат ефекти на добавяне или, както се казва, суперпозиция на вълни. Сред тези ефекти най-важни са интерференцията и дифракцията.
Интерференцията е явление на продължително във времето преразпределение на енергията на вибрациите в пространството, в резултат на което вибрациите се усилват на едни места и отслабват на други. Това явление възниква при добавяне на вълни с фазова разлика, която се запазва във времето, така наречените кохерентни вълни. Интерференцията на голям брой вълни обикновено се нарича дифракция. Няма фундаментална разлика между интерференция и дифракция. Естеството на тези явления е едно и също. Ние се ограничаваме до обсъждането само на един много важен интерференчен ефект, който е образуването на стоящи вълни.
Необходимо условие за образуването на стоящи вълни е наличието на граници, които отразяват падащите върху тях вълни. Стоящите вълни се образуват в резултат на добавянето на падащи и отразени вълни. Такива явления са доста чести. И така, всеки тон от звука на всеки музикален инструмент се възбужда от стояща вълна. Тази вълна се формира или в струна (струнни инструменти), или във въздушен стълб (духови инструменти). Отражателните граници в тези случаи са точките на закрепване на струната и повърхностите на вътрешните кухини на духовите инструменти.
Всяка стояща вълна има следните свойства. Цялата област на пространството, в която се възбужда вълната, може да бъде разделена на клетки по такъв начин, че трептенията напълно да липсват на границите на клетките. Точките, разположени на тези граници, се наричат възли на стоящата вълна. Фазите на трептенията във вътрешните точки на всяка клетка са еднакви. Трептенията в съседните клетки се извършват една към друга, тоест в противофаза. В рамките на една клетка амплитудата на трептенията варира в пространството и на някое място достига максималната си стойност. Точките, в които това се наблюдава, се наричат антиноди на стоящата вълна. И накрая, характерно свойство на стоящите вълни е дискретността на техния честотен спектър. При стояща вълна трептенията могат да възникнат само със строго определени честоти, а преходът от една от тях към друга става скок.
Помислете за прост пример за стояща вълна. Да предположим, че низ с ограничена дължина е опънат по оста; краищата му са твърдо фиксирани, а левият край е в началото на координатите. Тогава координатата на десния край ще бъде . Да възбудим вълна в струна
,
разпространявайки се отляво надясно. Вълната ще се отрази от десния край на струната. Да приемем, че това се случва без загуба на енергия. В този случай отразената вълна ще има същата амплитуда и същата честота като падащата вълна. Следователно отразената вълна трябва да има формата:
Неговата фаза съдържа константа, която определя промяната на фазата при отражение. Тъй като отражението възниква в двата края на струната и без загуба на енергия, вълни с еднаква честота ще се разпространяват едновременно в струната. Следователно при добавяне трябва да възникне смущение. Нека намерим получената вълна.
Това е уравнението на стоящата вълна. От това следва, че във всяка точка на струната възникват вибрации с определена честота. В този случай амплитудата на трептенията в дадена точка е равна на
.
Тъй като краищата на струната са фиксирани, там няма вибрации. От условието следва, че . Така че завършваме с:
.
Сега е ясно, че в точките, където , изобщо няма трептения. Тези точки са възлите на стоящата вълна. Там, където , амплитудата на трептенията е максимална, тя е равна на удвоената стойност на амплитудата на добавените трептения. Тези точки са антивъзлите на стоящата вълна. Появата на антиноди и възли е именно интерференцията: на някои места трептенията се усилват, а на други изчезват. Разстоянието между съседен възел и антинод се намира от очевидното условие: . Защото тогава. Следователно разстоянието между съседни възли е .
От уравнението на стоящата вълна се вижда, че факторът 
при преминаване през нула променя знака. В съответствие с това фазата на трептенията от различните страни на възела се различава с . Това означава, че точките, разположени от противоположните страни на възела, осцилират в противофаза. Всички точки, затворени между два съседни възела, осцилират в една и съща фаза.
По този начин, когато се добавят падащите и отразените вълни, наистина е възможно да се получи моделът на вълново движение, който беше характеризиран по-рано. В този случай клетките, които бяха обсъдени в едномерния случай, са сегменти, затворени между съседни възли и имащи дължина.
И накрая, нека се уверим, че вълната, която разгледахме, може да съществува само при строго определени честоти на трептене. Нека използваме факта, че няма вибрации в десния край на струната, т.е. Оттук се оказва, че. Това равенство е възможно, ако , където е произволно положително цяло число.
Ако в средата се разпространяват едновременно няколко вълни, тогава трептенията на частиците на средата се оказват геометричната сума на трептенията, които частиците биха направили при разпространението на всяка от вълните поотделно. Следователно вълните просто се припокриват една с друга, без да си пречат. Това твърдение се нарича принцип на суперпозиция (суперпозиция) на вълните.
В случай, че трептенията, причинени от отделни вълни във всяка от точките на средата, имат постоянна фазова разлика, вълните се наричат кохерентни. (По-строга дефиниция на кохерентността ще бъде дадена в § 120.) Когато кохерентните вълни се добавят заедно, възниква явлението интерференция, което се състои в това, че трептенията в някои точки се засилват, а в други точки се отслабват взаимно.
Много важен случай на интерференция се наблюдава, когато се наслагват две насрещно разпространяващи се равнинни вълни с еднаква амплитуда. Полученият колебателен процес се нарича стояща вълна. На практика стоящите вълни възникват, когато вълните се отразяват от препятствия. Вълната, падаща върху преградата, и отразената вълна, бягаща към нея, насложени една върху друга, дават стояща вълна.
Нека напишем уравненията на две равнинни вълни, разпространяващи се по оста x в противоположни посоки:
Като съберем тези уравнения и трансформираме резултата с помощта на формулата за сумата от косинусите, получаваме
Уравнение (99.1) е уравнението на стоящата вълна. За да го опростим, избираме началото така, че разликата да стане равна на нула, а началото - така че сборът да се окаже нула.Освен това заместваме вълновото число k с неговата стойност
Тогава уравнение (99.1) приема формата
От (99.2) се вижда, че във всяка точка на стоящата вълна възникват трептения със същата честота, както при насрещните вълни, а амплитудата зависи от x:
амплитудата на трептене достига максималната си стойност. Тези точки се наричат антиноди на стоящата вълна. От (99.3) се получават стойностите на координатите на антинода:
Трябва да се има предвид, че антинодът не е една точка, а равнина, чиито точки имат стойностите на x-координатата, определени по формулата (99.4).
В точки, чиито координати отговарят на условието
амплитудата на трептенията изчезва. Тези точки се наричат възли на стоящата вълна. Точките на средата, разположени във възлите, не трептят. Координатите на възлите имат значение
Възелът, подобно на антинода, не е единична точка, а равнина, чиито точки имат стойности на x-координата, определени по формула (99.5).
От формули (99.4) и (99.5) следва, че разстоянието между съседните антиноди, както и разстоянието между съседните възли, е равно на . Антинодите и възлите са изместени един спрямо друг с една четвърт от дължината на вълната.
Нека се обърнем отново към уравнение (99.2). Множителят променя знака при преминаване през нула. В съответствие с това фазата на трептенията от противоположните страни на възела се различава с Това означава, че точките, разположени от противоположните страни на възела, трептят в противофаза. Всички точки, затворени между два съседни възела, осцилират във фаза (т.е. в една и съща фаза). На фиг. 99.1 е дадена серия от "моментни снимки" на отклонения на точки от равновесното положение.
Първата "снимка" отговаря на момента, в който отклоненията достигат най-голямата си абсолютна стойност. Следващите "снимки" са направени на интервали от четвърт период. Стрелките показват скоростите на частиците.
Диференцирайки уравнение (99.2) веднъж по t и друг път по x, намираме изрази за скоростта на частиците и за деформацията на средата:
Уравнение (99.6) описва стояща вълна на скорост, а (99.7) - стояща вълна на деформация.
На фиг. Сравняват се 99.2 "моментни снимки" на преместване, скорост и деформация за времеви моменти 0 и. От графиките се вижда, че възлите и антивъзлите на скоростта съвпадат с възлите и антивъзлите на преместването; възлите и антивъзлите на деформацията съвпадат съответно с антивъзлите и възлите на преместването. При достигане на максималните стойности той изчезва и обратно.
Съответно два пъти за период енергията на стоящата вълна се трансформира или напълно в потенциална, концентрирана главно в близост до възлите на вълната (където се намират антинодите на деформацията), след това напълно в кинетична, концентрирана главно близо до антинодите на вълна (където се намират антивъзлите на скоростта). В резултат на това има пренос на енергия от всеки възел към антивъзли, съседни на него и обратно. Осредненият във времето енергиен поток във всеки участък от вълната е равен на нула.
