Три знака за добра стратегия в лицето на несигурност. Стратегия при несигурност

Едно от най-важните условия за вземане на ефективно решение, насочено към постигане на целта във времева перспектива, е наличието на подходящо количество релевантна информация. Непълната информация, невъзможността за надеждно прогнозиране на бъдещи събития и фактори, които могат да повлияят на резултата от взетото решение, са признаци на несигурност. Доста голяма част от управленските решения се вземат в условия на несигурност. Потенциалът за несигурност е външната среда на организацията.

Вземането на решения при несигурност се свързва с концепцията за риск и се извършва с помощта на методите на изследването на операциите и теорията на статистическите решения. Най-общо задачата за вземане на решение при несигурност е представена под формата на таблица за ефективност (Таблица 1).

Маса 1.

където O n - условия на ситуацията, които не са точно известни, но за които могат да бъдат направени n-оферти (търсене, брой доставчици, удовлетвореност от материали);

P m - възможни стратегии, линии на поведение на решението.

За всяка двойка стратегия и среда има печалби -A mn .

Печалбите, посочени в таблицата, са изчислени показатели за ефективността на стратегията (решението) в различни ситуации.

Представената задача е насочена към вземане на решения при разработването на планове за развитие на предприятието, разработване на производствени програми, планове за пускане на нови видове продукти, посока на иновациите, избор на застрахователни стратегии, инвестиции, средства и др.

В теорията на статистическите решения се използва специален показател за риск, който показва рентабилността на възприетата стратегия в дадена ситуация, отчитайки нейната неопределеност. Рискът се изчислява като разликата между очаквания резултат от действията при наличие на точни данни за ситуацията и резултата, който може да бъде постигнат, ако тези данни са несигурни. Въз основа на тази разлика се изчислява таблица на рисковете за пускането на нов тип продукт. Таблицата на риска позволява да се оцени качеството на различни решения и да се установи пълнотата на прилагане на възможностите при наличие на риск. Избор най-доброто решениезависи от степента на несигурност.

В зависимост от степента на несигурност на ситуацията има 3 варианта за вземане на решения:

1. Избор на оптимално решение, когато са известни вероятностите за възможни сценарии. Оптималното решение се определя от максималните суми на продуктите на вероятностите на различни сценарии P(O 1) и съответните стойности на печалбите A (таблица 6 на ефективността) за всяко решение.

2. Избор на оптимално решение, когато вероятностите за възможни сценарии са неизвестни.

3. Избор на оптимално решение според принципите на подхода за оценка на резултата от действията.

При условия на неизвестна вероятност от ситуацията могат да се вземат следните решения:

а) max-min или „разчитайте на най-лошото“ - изборът на решение, което гарантира печалба при всякакви условия, не по-малко от най-голямата възможна при най-лошите условия;

б) мин. макс. риск при всякакви условия. Оптималното решение е това, за което рискът, максимален при различни сценарии, изглежда минимален.

За оптималното решение, в зависимост от линията на ориентация на вземащия решение, се взема решение, за което индикаторът G (критерий за песимизъм - оптимизъм на Хурвиц) ще бъде максимален:

където е минималното усилване, съответстващо на решението m;

Максималната печалба, съответстваща на решението m;

k - коефициент, характеризиращ линията на поведение (ориентация) на вземащия решение, .

Графично значение квъв връзка с линията на поведение може да се тълкува по следния начин:

k-стойност

0 0,25 0,5 0,75 1

Ориентировъчна линия при изчисление

за най-доброто за най-лошото

Задача:

Предлагат се 3 инвестиционни опции:

1) Инвестирайте всички налични средства в акциите на Neft-AG, което гарантира висок доход при подходящи условия;

2) Инвестирайте всички средства в GKO с гаранция за нисък и стабилен доход;

3) Инвестирайте част от средствата в акции на Neft-AG, част в GKO - т.е. за диверсификация на портфейла от фондове.

Перспективата се обозначава с три варианта на ситуацията (изход от събитията).

Вземете решение за проблема с инвестирането, като имате като първоначални данни таблицата за изплащане (Таблица 2).

Таблица 2.

P i - опция за решение;

O i - вариант на ситуацията;

O 1 - компанията Neft-AG - фалира, GKO - носи стабилен доход.

O 2 - компанията "Neft-AG" - процъфтява;

O 3 - криза в икономиката.

Нека да определим оптималното решение, при което печалбата при всякакви условия ще бъде не по-малка от най-голямата възможна при най-лошите условия (max-min).

От табл. 2 за решение P 1 най-малкото усилване ще бъде 0, за P 2 - 0,3, за P 3 - 0,25.

Най-голямата възможна печалба при най-лошите обстоятелства е 0,3, което съответства на решението P 2, т.е. при никакви сценарии решението P 2 няма да бъде най-лошото.

Оптималното решение, при условие че рискът се окаже минимален от максималните му стойности за различни решения, се определя от таблица 7. Матрицата на пазарите е предварително изчислена. В същото време максималният риск при вземане на решение е P 1 - 0,5; при P 2 - 0,49; при P 3 - 0,29. От редица максимални рискове като оптимално се приема решението P 3 с минимално ниво на риск 0,29.

Нека изчислим критерия за песимизъм - оптимизма на Хурвиц за различни решения в зависимост от стойността на приетия коефициент k.

За решение P 1

Решение:

Нека изчислим матрицата на инвестиционния риск (Таблица 3).

Таблица3.

При условие на равновероятност на ситуациите, техните вероятности са равни и са:

P(O 1)=P(O 2)=P(O 3)=0,33

Математически, очакването на печалби при условие на равновероятност на ситуациите се определя от израза:

W i =P(O i)*A ij,

където P(O i) е вероятността за бъдещата ситуация;

A ij е печалбата, съответстваща на i-тото решение при j-тата ситуация.

W 1 \u003d 0,33 * 0 + 0,33 * 0,99 + 0,33 * 0,1 \u003d 0,3597

W 2 \u003d 0,33 * 0,5 + 0,33 * 0,5 + 0,33 * 0,3 \u003d 0,329

W 3 \u003d 0,33 * 0,25 + 0,33 * 0,7 + 0,33 * 0,4 \u003d 0,445

При условия на равновероятност на бъдещи ситуации най-оптималното решение е P 3.

За други стойности на вероятностите на ситуацията решението може да е различно.

Избор на решение по критерия на Хурвиц:

за разтвор P 1: G 1 =0,495;

за разтвор P 2: G 2 =0,5*0,3+(1-0,5)*0,5=0,4;

за разтвор P 3: G 3 \u003d 0,5 * 0,25 + (1-0,5) * 0,7 \u003d 0,475.

При k=0,5 решението P 1 се приема като оптимално.

G i стойностите се изчисляват по подобен начин за други стойности на коефициента.

Получените стойности на G i са обобщени в таблица 4.

Таблица4.

Лицето, което взема решение в съответствие с избраното k i, взема оптималното решение с максимална стойност G i . Когато k i =0,75 - G max =0,362. За оптимално се приема решението P 1 или P 3.

Вижте P.N. Брюсов, стр. 3.8., A.N. Гърмаш, т. 3.3.2.

Несигурността ще се счита за такова състояние на познание на вземащия решение (DM), при което едно или повече алтернативни решения водят до блок възможни резултати, съответстващи на различни състояния на външната среда ("природа"), вероятностите за които са неизвестни. Това обикновено е така, защото няма надеждни данни, от които вероятностите могат да бъдат изчислени a posteriori, а също и защото няма начин да се изведат вероятности a priori. При тези условия елементите на теорията на игрите, по-специално игрите с природата, могат да се използват за определяне на най-добрите, така наречените рационални решения. В тях един играч (човек) се опитва да действа благоразумно, а вторият играч (природата) действа произволно.

Игри с природата- това са игри, в които несигурността е причинена не от съзнателното противопоставяне на противника, а от недостатъчната осведоменост за условията, в които действат страните. Например, времето в определен регион или потребителското търсене на определени продукти не е известно предварително.

Обикновено се представят условията за такава игра таблица за решения, в които редове A 1 , A 2 , ..., A m съответстват на стратегиите на вземащия решение (вземащия решение), а колоните B 1 , B 2 , ... B n - стратегии на природата; и ij е печалбата на вземащия решение, съответстваща на всяка двойка стратегии А i , В j .

В разглежданата ситуация при избор от множеството ( a 1 , a 2 ,..., a m ) най-доброто решениеобикновено използват следните критерии.

1. Критерий на Валд.Въз основа на принципа песимизъм(най-внимателен). При избора на решение трябва да се разчита на най-лошия сценарий от страна на природата. Препоръчително е да използвате стратегията maximin. Тя е избрана от състоянието

и съвпада с по-ниската цена на играта.

2. Максимален критерий.Избира се от условието

Максималният критерий е оптимистичен: смята се, че природата ще бъде най-благоприятна за човека.

където - степента на оптимизъм (показател песимизъм-оптимизъм) - варира в диапазона .

Критерият на Хурвиц се придържа към някаква междинна позиция, като взема предвид възможността както за най-лошото, така и за най-доброто поведение на природата. При = 1, критерият се превръща в критерия на Wald, при = 0, в максималния критерий. Влияе се от степента на отговорност на лицето, което взема решение за избора на стратегия. Колкото по-големи са последствията от грешните решения, толкова по-голямо е желанието за застраховане, толкова по-близо до едно.

4. Критерий на Савидж.Същността на критерия е да се избере такава стратегия, за да се предотвратят прекалено високи загуби, до които може да доведе. Разположен матрица на риска, чиито елементи показват каква загуба ще претърпи човек (фирма), ако за всяко природно състояние не избере най-добрата стратегия:

R=

Елементите на рисковата матрица се намират по формулата

,

където е максималният елемент в колоната на оригиналната матрица.

Когато се вземат решения в условия на несигурност, различните варианти трябва да се оценяват по няколко критерия. Ако препоръките съвпадат, можете да изберете най-доброто решение с повече увереност; ако препоръките си противоречат, окончателното решение трябва да се вземе, като се вземат предвид резултатите от допълнителни проучвания.

Пример.С наближаването на сезона на засаждане, фермерът има четири алтернативи: A 1 - да отглежда царевица, A 2 - пшеница, A 3 - зеленчуци или A 4 - да използва земята за пасище. Плащанията, свързани с тези възможности, зависят от количеството на валежите, които условно могат да бъдат разделени на четири категории: B 1 - силни валежи, B 2 - умерени, B 3 - слаби, B 4 - сух сезон.

Матрицата на изплащане се оценява, както следва:

Който управленско решениетрябва ли фермерът да вземе?

Решение.

Земята трябва да се използва за пасища.

2. Максимални критерии:

Макс.(80,90,150,35)=150.

Това е в съответствие със стратегия A 3 – отглеждане на зеленчуци.

2. Да използваме Критерият на Савидж. Нека направим матрица на риска, чиито елементи се намират по формулата

Оптималната стратегия се определя от израза

По този критерий трябва да се сее пшеница.

3. Да използваме Критерий на Хурвиц. Оптималната стратегия се определя от формулата

Да приемем, че степента на оптимизъм Тогава

тези. реши да отглежда зеленчуци.

4. Правилото за максимизиране на средната очаквана доходност.Приемайки това, което е известно разпределение на вероятноститеза различни природни състояния, например, тези състояния са еднакво вероятни (Правилото на Лаплас за равните възможности) тогава, за да се вземе решение, трябва да се намерят математическите очаквания на печалбата:

Тъй като М 2 има максимална стойност, трябва да се сее пшеница.

Заключение: два критерия едновременно препоръчват избора на стратегия за управление A 2 (сеят пшеница), два критерия препоръчват стратегия A 3 (отглеждат зеленчуци).

От таблицата се вижда, че оптималното поведение до голяма степен зависи от приетия критерий за избор на най-доброто решение, така че изборът на критерия е най-простият и най-отговорният въпрос в теорията на игрите.

Вземане на решения в условия на частична несигурност (виж П. Н. Брюсов, стр. 3.9).

Оптимална финансова транзакция по Парето.Разгледайте матрицата на следствията, i=1,2,…,m, j=1,2,…,n. алтернатива доминираАлтернатива на Парето, ако , j=1,2,…,n и поне за един индекс j това неравенство е строго. Доминираната алтернатива не може да бъде оптималното решение, т.к то по всички критерии не е „по-добро“ от доминиращата алтернатива. Алтернативата се нарича Оптимално по Парето(или Оптимално по Парето), ако не е намален от друга алтернатива.

Формират се всички оптимални решения по Парето Набор за оптималност по Парето.

Пример.За матрицата на следствията намерете набор от оптимални алтернативи по Парето.

В таблицата - възможни алтернативи (стратегии) ​​на вземащия решение, - едно от състоянията на несигурна реална ситуация.

Решение.

Стратегията доминира над стратегиите и . Затова изключваме 4-ти, 5-ти и 6-ти ред на матрицата.

Няма повече доминирани стратегии. Получаваме набора за оптималност по Парето, състоящ се от три алтернативи: , , .

Изборът на оптимална стратегия при риск и несигурност включва разглеждане на различни критерии за оптималност, разработени в рамките на така наречената „игра с природата“. Този модел предполага съзнателното действие само на един участник - т. нар. "играч", който в инвестиционния анализ е инвеститор, в границите на неговата неконтролирана обективна реалност. В същото време терминът „характер" описва набор от обективни фактори, които се променят независимо от желанието на играча-инвеститор, но имат решаващо влияние върху неговото инвестиционно решение. В инвестиционния анализ това е състоянието на инвестиционния пазар .

Инвеститорът има предсказуема оценка на възможните комбинации от тези фактори (условия на инвестиционния пазар (P.)), които се появяват случайно, независимо от неговите действия. В някои случаи прогнозите могат да съдържат оценка на вероятностите за настъпване на тези състояния (p), чиято сума за всички възможни варианти за развитие на инвестиционната ситуация е равна на 1.

Инвеститорът разработва варианти за възможни инвестиционни стратегии (А) и оценява възможната възвръщаемост на инвестицията за всяка стратегия и за всеки вариант на състоянието на инвестиционния пазар

Въз основа на тази информация може да се формира така наречената матрица на изплащане (таблица 11.1).

Таблица 11.1

Матрица на изплащане

Разликата между максималната печалба на играч в дадено природно състояние (max (u])) и печалбата от определена стратегия на поведение на играча, която може да бъде приложена в това природно състояние, се нарича риск на стратегия А. в естествено състояние P:

mu = maxC ^) _ ar]. (11.1)

По този начин рискът е част от най-големия инвестиционен доход в дадено състояние на инвестиционния пазар, който инвеститорът не получава в случай на използване на несъвършена инвестиционна стратегия.

За рисковете можете да изградите матрица на риска, подобна по форма на матрицата на изплащане.

Инвеститорът е изправен пред задачата да избере оптималната сред множеството възможни инвестиционни стратегии.

За да изберете оптималната инвестиционна стратегия в ситуация на несигурност (когато вероятностите не са известни), се използват следните критерии:

Максимален критерий - критерий за изключителен оптимизъм, според който се избира инвестиционна стратегия, която осигурява максималната печалба (доход) сред всички максимални печалби, разпределени за всяко от възможните състояния на инвестиционния пазар;

Критерий на Валд - така нареченият "критерий на песимиста", според който се приема, че всяко решение трябва да се очаква да има най-лошите последици и следователно е необходимо да се намери такъв вариант, при който най-лошият резултат ще бъде относително по-добър от другите лоши резултати. Тоест най-лошият резултат се намира за всяко състояние на инвестиционния пазар и след това от тях се избира инвестиционната стратегия с най-добър резултат сред тях;

Критерият Savage е критерий за минимаксен риск, подобен на критерия Wald, но осигурява анализ на избора според данните от матрицата на риска;

Критерият на Хурвиц е критерий за максимум-максимум, според който при избора на инвестиционна стратегия препоръчва избор на алтернатива с максимален среден резултат (в този случай има негласно предположение за еднаква вероятност за възникване за всички възможни състояния на инвестиционния пазар).

За избор на оптимална стратегия при рискови условия се използват следните критерии:

Критерий за математическо очакване - осигурява избор на инвестиционна стратегия, за която средната вероятностно претеглена печалба (очакване на печалбата, M) е максимална:

mg = Xa, o Pj-> max; (11.2)

Критерият на Лаплас е критерий за максимизиране на среднопретеглената стойност на оптималността на стратегията, според който при приблизително еднаква вероятност за настъпване на събития оптималната стратегия е тази, за която общата печалба за всички възможни състояния на инвестицията среда е максимална. Именно този критерий е в основата на сравнителната оценка на ефективността на проектите по критерия нетна настояща стойност.

Окончателният избор на оптимална инвестиционна стратегия се извършва въз основа на обобщение на резултатите от оценката по горните критерии. В същото време е препоръчително да се приеме за изпълнение стратегия, която е оптимална според повечето критерии.

Избор на алтернативи при несигурност

Изборът на най-доброто решение в условия на несигурност зависи основно от нейната степен, т.е. с каква информация разполага лицето, вземащо решение. Изборът на алтернативи в условия на несигурност, когато вероятностите за техните възможни варианти са неизвестни, но има принципи за подхода за оценка на резултатите от действията, осигурява използването на различни критерии.

Като се има предвид зависимостта от това, последствията от решенията могат да бъдат оценени чрез система от критерии, които предвиждат различна степен на риск.

1. Максимен критерий на Валд (критерий за краен песимизъм) - "разчитайте на най-лошото". В съответствие с него, ако се изисква гаранция, че печалбата при всякакви условия е не по-малка от най-голямата възможна при най-лошите условия, тогава оптималното решение ще бъде това, за което печалбата ще бъде максималната от всички минимални при различни условия. условия.

Този критерий ориентира вземащия решение към най-лошите условия и препоръчва избор на стратегия, за която печалбата е максимална. При други, по-благоприятни условия, използването на този критерий води до загуба на ефективността на системата или работата.

2. Минимаксният критерий на Савидж (минимизиране на високия риск) - "разчитайте на най-доброто." Когато се използва, осигурява най-малка стойностмаксималното количество риск. Критерият на Savage, подобно на критерия Wald, е критерий за краен песимизъм, но песимизмът се проявява във факта, че максималната загуба на печалба е сведена до минимум в сравнение с това, което може да бъде постигнато при дадени условия.

3. Критерий на Лаплас или Байс - Съсредоточете се върху средното.

Според този критерий, ако вероятността за състоянието на околната среда е неизвестна, вариантите на условията трябва да се приемат за равни. В този случай се избира алтернативата, характеризираща се с най-оценената цена, при равни вероятности. Критерият на Лаплас позволява условието на несигурност да бъде сведено до рискови условия. Нарича се критерий за рационалност, подходящ е за стратегически дългосрочни решения, като критериите, описани по-горе.

4. Критерий за краен оптимизъм - "вярвайте в късмета".

Максималният критерий предполага, че състоянието на околната среда ще бъде най-благоприятно, в тази връзка е изключително важно да се избере решение, което осигурява максимална печалба сред максимално възможните.

5 . Критерий за песимизъм - Оптимизмът на Хурвиц - "компромис".

Според този критерий, когато избирате решение в условия на несигурност, не трябва да се ръководите нито от краен песимизъм (винаги очаквайте най-лошото), нито от оптимизъм (всичко ще бъде за добро). Препоръчва се някакво средно решение. Тоест изключително важно е да избирате между две линии на поведение. Оптималното решение ще бъде това, за което индикаторът G ще бъде максимален.Този критерий има формата:

Ж =макс[ чмин a0+ (1 -ч)макс aij], (6)

където ч- коефициент, избран от експерт от интервала между 0 и 1. Използването на този коефициент внася допълнителна субективност при вземането на решения.

6. Критерий за очакване предназначени за избор на оптимална стратегия на поведение, ᴛ.ᴇ. да вземе поредица от решения:

7. Обобщен критерий на Хурвиц.

Нека разгледаме по-подробно начините за избор на решения във финансовата и икономическата област в опасност,ᴛ.ᴇ. при условия на околната среда. Математически модел на ситуации от този тип обикновено се нарича игра с външната среда (природата). Играта се играе от двама играчи - вземащият решение и природата. В същото време играчът действа съзнателно, опитвайки се да избере най-задоволителното решение за себе си, докато природата произволно проявява своите състояния обективно, без съзнателно да се противопоставя на играча, без да взема предвид възможния избор на играча на неговите стратегии и е абсолютно безразлична към резултата от играта. Следното е матрица на риска.

Под рискова ситуация се разбира, когато е възможно да се посочи не само възможни последствия(изплащане) на всяка алтернатива, но също и вероятностите за тяхното възникване. Основният критерий тук е математическото очакване. Останалите са от второстепенно значение.

Ако нито едно от състоянията на "средата" не може да се нарече по-вероятно от други, ᴛ.ᴇ. ако всички те са приблизително еднакво вероятни, тогава решението може да бъде взето с помощта на критерия на Лаплас. В този случай оптималното решение трябва да се счита за това, което съответства на най-големия размер на плащанията.

Когато два различни критерия предписват да се вземе едно и също решение, това се счита за допълнително потвърждение за неговата оптималност. Ако те сочат към различни решения, тогава предпочитание в рискова ситуация трябва да се даде на едно от тях, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ показва критерия на математическото очакване. Именно той е основният за тази ситуация.

Допълнителна информация може да ви помогне да направите по-добър избор. Възниква въпросът каква е максималната цена, която можете да платите за него, за да се възползвате от него. Теорията за вземане на решения, за да се отговори на този въпрос, предлага да се намери математическото очакване на изплащането, съответстващо на идеалната информация, и след това да се сравни с математическото очакване, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ може да се получи с обикновена информация. Разликата между тях се предлага да се счита за горна граница на цената на всяка информация.

Проектите трябва да предвиждат конкретни механизми

стабилизиране, осигуряване на защита на интересите на участниците в случай на неблагоприятна промяна в условията за изпълнение на проекта (дори ако целите на проекта не са напълно постигнати или изобщо не са постигнати) и предотвратяване на възможни действия на участници, които застрашават успешното му изпълнение. Възможно е да се намали степента на риска или да се преразпредели между участниците.

1. ОБЩА МЕТОДИКА ЗА ФОРМИРАНЕ НА КРИТЕРИИ

Същността на предложената методика за формиране на критерии е да се реализират следните точки.

1) От печалбите aij, i=1,…,m; j=1,…,n, играч A, ние съставяме матрицата A, като приемем, че тя удовлетворява горните условия: m³2, n³2 и не съдържа доминирани (в частност, дублирани) редове.

Печалбите aij на играч A, представени под формата на матрица A, дават възможност за по-добър преглед на резултатите от избора на стратегии Аi, i=1,…,m, от играч A за всяко природно състояние Пj, j =1,…,n.

2) Фиксираме разпределението на вероятностите qj=p(Пj), j=1,…,n, на природните състояния Пj, j=1,…n, отговарящи на условието (1), разбира се, ако те познати. Така точка 2 е включена в метода за формиране на критерий в случай на вземане на решение под риск.

3) Въз основа на точки 1 и 2, ние избираме естествено число l, 1£l£n и по определен начин изграждаме матрицата

Нека ги наречем коефициенти на формирания критерий. Те са предназначени да играят ролята на количествени оценки на някои субективни прояви на играч А (лицето, вземащо решение), а именно степента на увереност във вероятностното разпределение на природните състояния и степента на неговия песимизъм (оптимизъм) при вземане на решения.

5) Използвайки матрицата B и коефициентите l1,…, ll, на всяка стратегия Аi, i=1,…,m, на играч A, присвояваме номер

7) Да дефинираме оптималната стратегия.

Оптимална стратегия е стратегия Ak с максимален показател за ефективност, с други думи стратегия, чийто показател за ефективност Gk съвпада с цената на играта G:

Ясно е, че подобно определение на оптималната стратегия не предполага нейната уникалност.

Обърнете внимание, че според логиката на този параграф играч А, избирайки оптималната стратегия, максимизира индекса Gi (виж (5)). Това обстоятелство оправдава факта, че нарекохме този показател (в параграф 5) показател за ефективност.

2. ФОРМИРАНЕ НА НЯКОИ ИЗВЕСТНИ КРИТЕРИИ - СПЕЦИАЛНИ СЛУЧАИ НА ОБЩИЯ МЕТОД

Критерий на Бейс (, , , ).

1) Нека A е матрицата на печалбите на играч A.

2) Известни вероятности qj=p(Пj), j=1,…,n, природни състояния Пj, j=1,…,n, удовлетворяващи условие (1). Следователно говорим за вземане на решения в условията на риск.

3) Приемаме l=n и избираме матрица B равна на матрица A, т.е.

bij=aij за всички i=1,…,m и j=1,…,n.

4) Коефициентите l1,…,ln, се избират равни на съответните вероятности q1,…,qn, т.е. ll=qi, i=1,…,n. С това играч А изразява пълна увереност в истинността на разпределението на вероятностите q1,…,qn, природни състояния.

От (1) следва, че коефициентите lj, j=1,…,n удовлетворяват условие (3).

5) Индикаторът за ефективността на стратегията Аi според критерия на Байс ще бъде означен с Вi и го намираме по формулата (3):

Очевидно Вi е среднопретеглената печалба за стратегията Аi с тегла q1,…,qn.

Ако стратегията Аi се интерпретира като дискретна случайна променлива, която приема стойностите на изплащанията за всяко състояние на природата, тогава вероятностите за тези изплащания ще бъдат равни на вероятностите на състоянията на природата и тогава Вi е очакването на това случайна величина(виж (6)).

6) Цената на играта според критерия на Bayes, обозначена от нас като B, се определя по формулата (4):

7) Оптимална сред чистите стратегии според критерия на Байс е стратегията Ak, за която показателят за ефективност е максимален:

Критерий на Лаплас (, , , ).

2) Въз основа на теоретични или практически съображения се посочва, че нито едно от възможните състояния на природата Пj, j=1,…,n, не може да бъде предпочитано. Следователно всички природни състояния се считат за еднакво вероятни, т.е. qj=n-1, j=1,…,n. Този принцип се нарича принцип на Лаплас за „недостатъчната причина“. Вероятностите qj=n-1, j=1,…,n, отговарят на условие (1).

Тъй като вероятностите на природните състояния са известни: qj=n-1, j=1,…,n, тогава ние сме в ситуация на вземане на решение под риск.

3) Нека l=n и като матрица B можем да вземем матрицата, получена от матрицата A, ако всеки ред от последната се замени с произволна пермутация на нейните елементи. По-специално, можем да поставим B=A. В общия случай елементите на матрицата B имат вида bij=aikj(i), i=1,…, m; j=1,…,n, където aik1(i), aik2(i),…,aikn(i) е някаква пермутация на елементи ai1, ai2,…,ain i-ти редматрици а.

4) Нека коефициентите lj=n-1, j=1,…,n. Очевидно те отговарят на условие (2).

Изборът на коефициентите lj, j=1,…,n, по този начин потвърждава пълното доверие на играч А в принципа на Лаплас за недостатъчната причина.

5) Съгласно формулата (3) показателят за ефективността на стратегията Аi по критерия на Лаплас, означен от нас като Li, е равен на:

7) Оптималната стратегия Ak според критерия на Лаплас е стратегията с максимален показател за ефективност:

Обърнете внимание, че както следва от (7) и (8), индикаторът за ефективност Li ще бъде максимален тогава и само ако сумата е максимална и следователно числото може да се разглежда като индикатор за ефективността на стратегията Аi, и числото като цена на играта.

Тогава оптималната стратегия е тази с максимална печалба.

Критерий на Wald ( - ).

1) Да приемем, че A е матрицата на изплащане на играч A.

2) Вероятностите на природните състояния са неизвестни и няма начин да се получи статистическа информация за тях. Следователно играч А е в ситуация на вземане на решение в условия на несигурност.

3) Нека l=1 и

4) Нека коефициентът l1=1. Очевидно условие (2) е изпълнено.

5) Да обозначим показателя за ефективност на стратегията Аi по критерия на Валд като Wi. По силата на (9) и стойността на коефициента l1=1, съгласно формула (3) имаме:

По този начин индикаторът за ефективността на стратегията Аi според критерия на Валд е минималната печалба на играч А, когато той прилага тази стратегия.

6) Цената на играта по критерия на Валд, означена с W, се намира по формула (4):

7) Оптималната стратегия сред чистите стратегии според критерия на Wald е стратегията Ak с максимален показател за ефективност:

С други думи, според критерия на Валд, оптималната чиста стратегия сред чистите стратегии е чистата стратегия, за която минималната печалба е максималната сред минималните печалби на всички чисти стратегии. По този начин оптималната стратегия според критерия на Валд гарантира печалба не по-малка от максимина за всяко природно състояние:

По силата на (10) критерият на Валд е критерият за краен песимизъм на играч А, а количественият израз на този краен песимизъм е стойността на коефициента l1, равна на 1. Играч А, когато взема решение, действа според на принципа на най-голямата предпазливост.

Въпреки че арабската поговорка гласи: „Който се страхува от собствената си сянка, за него няма място под слънцето“, все пак този критерий е уместен в случаите, когато играч А не толкова иска да спечели, колкото не иска да загубиш. Използването на принципа на Валд в ежедневието се потвърждава от поговорки като „Измерете седем пъти - изрежете веднъж“, „Бог спасява сейфа“, „По-добре синигер в ръцете, отколкото кран в небето“.

Критерий на Ходж-Леман.

1) Да приемем, че матрицата на изплащане на играч А е матрица А.

2) Известни вероятности qi=p(Пj), j=1,…,n, природни състояния Пj, j=1,…,n, удовлетворяващи условие (1).

По този начин играч А трябва да вземе решение под риск.

3) Нека l=2,

· показател за ефективността на стратегията Аi по критерия на Байс.

Матрица B ще приеме формата

Очевидно тези коефициенти удовлетворяват условие (2).

5) Съгласно формула (3), като се вземат предвид (11), (12) и (13), показателят за ефективност на стратегията Аi по критерия на Ходж-Леман е равен на:

От дясната страна на формула (14) коефициентът lО е количествен показател за степента на доверие на играч А в това разпределение на вероятностите qi=p(Пj), j=1,…,n, на природните състояния Пj, j=1,…,n, а коефициентът (1 -l) количествено характеризира степента на песимизъм на играч A. Колкото повече доверие има играч A в даденото вероятностно разпределение на природните състояния, толкова по-малък е песимизмът и обратното.

6) Цената на играта по критерия на Ходж-Леман се намира по формулата (4):

7) Оптималната стратегия според критерия на Ходж-Леман е стратегията Ak с най-висок показател за ефективност:

Обърнете внимание, че критерият на Ходж-Леман е, така да се каже, междинен критерий между критериите на Бейс и Валд. Когато l=1, от (14) имаме: Gi=Bi и следователно критерият на Ходж-Леман се превръща в критерия на Байес. И когато l=0, от (14): Gi=Wi и, следователно, от критерия на Ходж-Леман, получаваме критерия на Валд.

Критерий на Гермайер.

1) Нека матрица A е матрицата на изплащане на играч A.

2) Дадени са вероятности qi=p(Пj), j=1,…,n, на природни състояния Пj, j=1,…,n, удовлетворяващи условие (1).

Че. Играч А е в рискова ситуация за вземане на решения

размер m x 1.

4) Поставяме l1=1. Условие (2) очевидно е изпълнено.

5) Индикаторът за ефективността на стратегията Аi по критерия на Гермайер се определя по формулата (3), като се вземат предвид (15) и фактът, че l1=1:

Ако играч А се придържа към стратегия Ai, тогава вероятността да спечели aij при тази стратегия и при природното състояние Пj очевидно е равна на вероятността qj за това природно състояние. Следователно, формула (16) показва, че показателят за ефективността на стратегията Аi според критерия Germeier е минималната печалба за тази стратегия, като се вземе предвид нейната вероятност.

6) Цената на играта по критерия Germeier се определя по формулата (4):

7) Оптималната стратегия според критерия на Germeier е стратегията Ak с най-висок показател за ефективност:

Обърнете внимание, че критерият на Гермайер може да се интерпретира като критерия на Валд, приложим към играта с матрицата

Критерият Гермайер, подобно на критерия Валд, е критерий за крайния песимизъм на играч А, но за разлика от критерия Валд, играч А, вземайки решение с максимална дискретност, взема предвид вероятностите на природните състояния.

При равномерно разпределение на вероятностите на природните състояния: qj=n-1, j=1,…,n, показателят за ефективност на стратегията Аi, поради формула (16), ще бъде равен на Gi=n -1aij и следователно критерият Germeier е еквивалентен на критерия Wald, т.е. стратегия, която е оптимална според критерия Germeier, е оптимална и според критерия Wald и обратно.

Критерии на произведенията.

1) Нека матрицата на печалбите на играч А е матрицата А, всички елементи на която са положителни:

aij>0, i=1,…,m; j=1,…,n.

2) Вероятностите qj=p(Пj), j=1,…,n, на природните състояния Пj, j=1,…,n, са известни и отговарят на условие (1).

3) Нека l=1 и

размер m x 1.

4) Нека l1=1. Условие (2) е изпълнено.

5) Индикаторът за ефективността на стратегията Аi по критерия продукти в съответствие с формули (3) и (17) е равен на

.

6) Цената на играта според критерия произведения се изчислява по формулата (4):

7) Оптималната стратегия по продуктовия критерий е стратегията Аk с най-висок показател за ефективност:

Обърнете внимание, че за критерия на продуктите е от съществено значение всички състояния на вероятностите на природните състояния и всички печалби на играч А да са положителни.

Максимален критерий (.-).

2) Вероятността на състоянията е неизвестна. Решението се взема в условия на несигурност.

3) Нека l=1 и

размер m x 1.

4) Коефициентът l1 се избира равен на 1: l1=1. В този случай условие (2) очевидно е изпълнено.

5) Показателят за ефективността на стратегията Аi по критерия максимум-максимум ще се обозначи с Мi и ще се определи по формула (3), като се вземе предвид (18) и фактът, че l1=1:

По този начин показателят за ефективността на стратегията Аi според критерия maximmax е най-голямата печалба за тази стратегия.

6) Цената на играта според максималния критерий, означен от нас като M, се определя по формулата (4):

Очевидно това е най-големият елемент от матрицата A.

7) Оптималната стратегия според критерия maximax е стратегията Ak с най-висок показател за ефективност:

От формула (19) заключаваме, че критерият maxmax е критерият за изключителен оптимизъм на играч A. Количествено това се изразява с факта, че l1=1. Този критерий е противоположен на критерия на Валд. Играч А, използвайки критерия максимум-максимум, предполага, че естеството на P ще бъде в най-благоприятното състояние за него и в резултат на това той се държи много фриволно, с настроение „пленник на шапка“, защото е сигурен от най-голямата печалба. В някои случаи обаче този критерий се използва съзнателно, например когато играч А е изправен пред дилема: или да получи най-голямата печалба, или да фалира. Ежедневното отразяване на такива ситуации се илюстрира с поговорките: „Пан или изгубен“, „Който не рискува, той не печели“ и др.

Оптималната стратегия по максималния критерий гарантира на играч А възможността за печалба, равна на максималния максимум.

.

Критерий песимизъм-оптимизъм на Хурвиц с индикатор за оптимизъм lО ( – ).

1) Нека A е матрицата на печалбите на играч A.

2) Вероятностите на природните състояния са неизвестни и няма начин да се получи надеждна статистическа информация за тях.

По този начин решението за избор на оптимална стратегия ще бъде взето в условия на несигурност.

3) Нека l=2. Матрица B елементи

4) Коефициентите l1 и l2 се избират, както следва:

Във формула (22) l е индикатор за оптимизъм, а (1-l) е индикатор за песимизма на играч А при избора на оптимална стратегия. Колкото по-близо е индикаторът за оптимизъм до единица, толкова по-близо до нула е индикаторът за песимизъм и толкова повече оптимизъм и по-малко песимизъм. И обратно. Ако l=0,5, то 1-l=0,5, т.е. показателите за оптимизъм и песимизъм са еднакви. Това означава, че играч А се държи неутрално при избора на стратегия.

Така числото l се избира в диапазона от 0 до 1, в зависимост от склонността на играч А да бъде оптимист или песимист.

6) Цената на играта по критерия на Хурвиц N се определя по формулата (5):

7) Оптималната стратегия Ak по критерия на Хурвиц съответства на показателя ефективност

Критерият на Хурвиц е междинен между критерия на Валд и критерия за максимум-максимум и се превръща в критерия на Валд при l=0 и в критерия за максимум-максимум при l=1.

Обобщен тест на Хурвиц с коефициенти l1,…, ln (, ).

1) Нека A е матрицата на печалбите на играч A.

2) Вероятностите на природните състояния са неизвестни. Така че решението се взема в условия на несигурност.

3) Матрица B се получава от матрица A чрез пермутиране на елементите на всеки от нейните редове в ненамаляващ ред:

bi1£bi2£…£bin, i=1,…,m.

Така първата колона на матрицата B съдържа минималните, а n-тата колона съдържа максималните печалби на стратегиите. С други думи, в 1-ва колона на матрица B има показатели за ефективността на стратегиите по критерия Wald, а в n-та колона - показатели за ефективността на стратегиите по критерия максимум-максимум.

4) Коефициентите l1,…, ln се избират така, че да отговарят на условия (2) според различната степен на склонност към оптимизъм на играч А. В този случай показателят за песимизма на играч А е числото

където е цялата част от числото , а показателят за оптимизма на играч А е числото

Очевидно lр+l0=1.

5) Индикаторът за ефективността на стратегията Аi според обобщения критерий на Хурвиц се определя по формулата (3):

6) Стойността на играта според обобщения критерий на Хурвиц се определя по формулата (4):

7) Оптималните стратегии се намират по стандартния начин: Аk е оптималната стратегия, ако Gk=G.

Имайте предвид, че обобщеният критерий на Хурвиц взема предвид всички печалби за всяка стратегия, което е необходимо за по-пълна картина на ефективността на стратегиите. Също така отбелязваме, че някои от горните критерии са специални случаи на обобщения критерий на Хурвиц.

Обърнете внимание, че ако B=A, тогава коефициентите lj, j=1,…,n, могат формално да се интерпретират като вероятностите на природните състояния и в този случай обобщеният критерий на Хурвиц съвпада с критерия на Байс.

Ако lj=n-1, j=1,…,n, тогава обобщеният критерий на Хурвиц се превръща в критерия на Лаплас.

Ако l1=1, l2=…=ln=0, тогава обобщеният критерий на Хурвиц е критерият на Валд.

Когато l1=…=ln-1=0, ln=1, от обобщения критерий на Хурвиц получаваме максимален критерий.

Ако l1=1-l, l2=…=ln-1=0, ln=l, където lн, тогава обобщеният критерий на Хурвиц е критерият на Хурвиц.

Ако В=А и qi=p(Пj), j=1,…,n – вероятности на природни състояния, които отговарят на условия (1), то при избор на коефициентите lj, j=1,…,n, както следва: l1 =1- l+lq1, lj=lqj, j=2,…,n, където lн, получаваме критерия на Ходж Леман от обобщения критерий на Хурвиц.

3. ПРОБЛЕМ ПРИ ПЪЛНА НЕСИГУРНОСТ

Да предположим, че инвеститор реши да построи определен тип жилище на определено място. Инвеститорът работи в условия на несигурност (непрозрачност на информацията) на жилищния пазар. За да формира представа за ситуацията на пазара на жилища към момента на завършване на строителството, той трябва да вземе предвид цените на недвижимите имоти, конкуренцията на пазара на жилища, съотношението на търсенето и предлагането, обменните курсове и много други. Статистиката показва, че един от основните компоненти на цената на жилището е неговото местоположение.

Помислете за математически модел на тази ситуация. Имаме игра с природата, където играч А е инвеститор, природата P е набор от възможни ситуации на жилищния пазар към момента на завършване на строителството, от които например пет състояния P1, P2, P3, P4, P5 от природата може да се формира. Известни са приблизителните вероятности на тези състояния q1=p(П1)»0,30; q2=p(P2)»0,20; q3=p(P3)»0,15; q4=p(P4)»0,10; q5=p(P5)»0,25. Да предположим, че играч А има четири (чисти) стратегии A1, A2, A3, A4, представляващи избора на конкретно място за изграждане на жилища. Много от тези места са ограничени от градоустройствените решения, цената на земята и т.н. Инвестиционната привлекателност на проекта се определя като процент на нарастване на доходите спрямо размера на капиталовите инвестиции, чиято оценка е известна за всяка стратегия и всяко природно състояние. Тези данни са представени в следната матрица на изплащане за играч A:

размер 4 х 5, в последния допълнителен ред на който са посочени вероятностите на природните състояния. Матрицата (24) не съдържа доминирани (в частност, дублирани) редове и всички нейни елементи са положителни.

Инвеститорът ще трябва да избере парцел по такъв начин, че да използва най-ефективно капиталовите инвестиции.

Изчислете показателите за ефективност на стратегиите

По критериите на Bayesian, Germeier и продукта, при условие че инвеститор A се доверява на даденото вероятностно разпределение на природните състояния,

според критерия на Лаплас, ако инвеститор А не се доверява на даденото вероятностно разпределение на природните състояния и не може да даде предпочитание на нито едно от разглежданите природни състояния,

· по критерия на Ходж-Леман с коефициент на доверие във вероятностите на природните състояния, например l=0,4,

· по критерия на Wald, критерия maximax, критерия песимизъм-оптимизъм на Hurwitz с индикатор за оптимизъм, например l=0,6, и по обобщения критерий на Hurwitz с коефициенти, например, l1=0,35; l2=0,24; l3=0,19; l4=0,13; l5=0,09.

Резултатите от изчисляването на показателите за ефективност и оптималните стратегии са представени в следната таблица:

Таблица с показатели за ефективност и оптимални стратегии

Обърнете внимание, че тъй като в критерия на Ходж-Леман индикаторът за доверието на играч А във вероятностното разпределение на състоянията, посочени в последния ред на матрицата (24), е l=0,4, тогава индикаторът за песимизма на играч А е 1- l=0,6.

В критерия на Хурвиц индикаторът за оптимизъм на играч А е равен на l=0,4 и следователно показателят за неговия песимизъм също е равен на 1-l=0,6.

В обобщения критерий на Хурвиц съгласно формула (23), индексът на песимизма

= 0,35+0,24+0,5×0,19=0,685

и съответно показателят за оптимизъм l0=1-0.685=0.315.

Така във всички приложени критерии, като се вземат предвид индивидуалните прояви на играч А към песимизъм и оптимизъм, играч А е по-склонен към песимистична оценка на ситуацията, отколкото към оптимистична, при приблизително еднакви показатели.

В резултат на прилагането на девет критерия виждаме, че оптималната стратегия А1 е 3 пъти, стратегия А3 - 6 пъти и стратегия А4 - 1 път. Следователно, ако инвеститор А няма основателни сериозни възражения, тогава стратегия A3 може да се счита за оптимална.