Αφήνω φά(Χ 1 , Χ 2) είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών. Κατ' αναλογία με τον μονοδιάστατο μετασχηματισμό Fourier, μπορούμε να εισαγάγουμε έναν δισδιάστατο μετασχηματισμό Fourier:
Η συνάρτηση σε σταθερές τιμές ω 1 , ω 2 περιγράφει ένα επίπεδο κύμα στο επίπεδο Χ 1 , Χ 2 (Εικόνα 19.1).
Οι ποσότητες ω 1 , ω 2 έχουν την έννοια των χωρικών συχνοτήτων και της διάστασης mm−1 , και η συνάρτηση F(ω 1 , ω 2) καθορίζει το φάσμα των χωρικών συχνοτήτων. Ένας σφαιρικός φακός είναι ικανός να υπολογίσει το φάσμα ενός οπτικού σήματος (Εικόνα 19.2). Στο Σχήμα 19.2, εισάγονται οι ακόλουθες σημειώσεις: φ - εστιακή απόσταση,
Εικόνα 19.1 - Στον ορισμό των χωρικών συχνοτήτων
Ο δισδιάστατος μετασχηματισμός Fourier έχει όλες τις ιδιότητες του μονοδιάστατου μετασχηματισμού, επιπλέον, σημειώνουμε δύο πρόσθετες ιδιότητες, η απόδειξη των οποίων προκύπτει εύκολα από τον ορισμό του δισδιάστατου μετασχηματισμού Fourier.
Εικόνα 19.2 - Υπολογισμός του φάσματος του οπτικού σήματος χρησιμοποιώντας
σφαιρικός φακός
Παραγοντοποίηση. Εάν παραγοντοποιηθεί ένα δισδιάστατο σήμα,
τότε το φάσμα του παραγοντοποιείται επίσης:
Ακτινική συμμετρία. Αν το σήμα 2D είναι ακτινικά συμμετρικό, δηλαδή
Πού είναι η συνάρτηση Bessel μηδενικής τάξης. Ο τύπος που καθορίζει τη σχέση μεταξύ ενός ακτινικά συμμετρικού δισδιάστατου σήματος και του χωρικού του φάσματος ονομάζεται μετασχηματισμός Hankel.
ΔΙΑΛΕΞΗ 20. Διακριτός μετασχηματισμός Fourier. φίλτρο χαμηλής διέλευσης
Ο άμεσος δισδιάστατος διακριτός μετασχηματισμός Fourier (DFT) μετασχηματίζει μια εικόνα που δίνεται σε ένα χωρικό σύστημα συντεταγμένων ( x, y), σε έναν δισδιάστατο διακριτό μετασχηματισμό εικόνας που καθορίζεται στο σύστημα συντεταγμένων συχνότητας ( u, v):
Ο Αντίστροφος Διακριτής Μετασχηματισμός Φουριέ (IDFT) έχει τη μορφή:
Μπορεί να φανεί ότι το DFT είναι ένας πολύπλοκος μετασχηματισμός. Η μονάδα αυτού του μετασχηματισμού αντιπροσωπεύει το πλάτος του φάσματος της εικόνας και υπολογίζεται ως η τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των πραγματικών και φανταστικών μερών του DFT. Η φάση (γωνία μετατόπισης φάσης) ορίζεται ως η εφαπτομένη του τόξου του λόγου του φανταστικού τμήματος του DFT προς το πραγματικό τμήμα. Το ενεργειακό φάσμα είναι ίσο με το τετράγωνο του πλάτους του φάσματος ή το άθροισμα των τετραγώνων των φανταστικών και πραγματικών μερών του φάσματος.
Θεώρημα συνέλιξης
Σύμφωνα με το θεώρημα της συνέλιξης, η συνέλιξη δύο συναρτήσεων στο πεδίο του χώρου μπορεί να ληφθεί από το ODFT του γινομένου του DFT τους, δηλ.
Το φιλτράρισμα στον τομέα συχνότητας σάς επιτρέπει να χρησιμοποιήσετε το DFT της εικόνας για να επιλέξετε την απόκριση συχνότητας του φίλτρου που παρέχει τον απαραίτητο μετασχηματισμό εικόνας. Εξετάστε την απόκριση συχνότητας των πιο κοινών φίλτρων.
Το γραμμικό φιλτράρισμα των εικόνων μπορεί να πραγματοποιηθεί τόσο στο χώρο όσο και στον τομέα συχνότητας. Σε αυτήν την περίπτωση, θεωρείται ότι οι "χαμηλές" χωρικές συχνότητες αντιστοιχούν στο κύριο περιεχόμενο της εικόνας - το φόντο και τα αντικείμενα μεγάλου μεγέθους, και οι "υψηλές" χωρικές συχνότητες - τα μικρού μεγέθους αντικείμενα, οι μικρές λεπτομέρειες μεγάλων σχημάτων και ο θόρυβος συστατικό.
Παραδοσιακά, οι μέθοδοι που βασίζονται στο $\textit(μετασχηματισμός Fourier)$ χρησιμοποιούνται για τη μετάβαση στην περιοχή των χωρικών συχνοτήτων. ΣΤΟ τα τελευταία χρόνιαΟι μέθοδοι που βασίζονται στο $\textit(wavelet-transform)$ βρίσκουν επίσης αυξανόμενη χρήση.
Μετασχηματισμός Fourier.
Ο μετασχηματισμός Fourier σάς επιτρέπει να αναπαραστήσετε σχεδόν οποιαδήποτε συνάρτηση ή σύνολο δεδομένων ως συνδυασμό τριγωνομετρικών συναρτήσεων όπως το ημίτονο και το συνημίτονο, το οποίο σας επιτρέπει να αναγνωρίζετε περιοδικά στοιχεία στα δεδομένα και να αξιολογείτε τη συμβολή τους στη δομή των αρχικών δεδομένων ή στο σχήμα του η λειτουργία. Παραδοσιακά, υπάρχουν τρεις κύριες μορφές του μετασχηματισμού Fourier: ο ολοκληρωτικός μετασχηματισμός Fourier, η σειρά Fourier και ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier.
Ο ολοκληρωτικός μετασχηματισμός Fourier μετατρέπει μια πραγματική συνάρτηση σε ένα ζεύγος πραγματικών συναρτήσεων ή μια σύνθετη συνάρτηση σε μια άλλη.
Η πραγματική συνάρτηση $f(x)$ μπορεί να επεκταθεί ως προς ένα ορθογώνιο σύστημα τριγωνομετρικών συναρτήσεων, δηλαδή μπορεί να αναπαρασταθεί ως
$$ f\left(x \right)=\int\limits_0^\infty (A\left(\omega \right)) \cos \left((2\pi \omega x) \right)d\omega -\ int\limits_0^\infty (B\left(\omega \right)) \sin \left((2\pi \omega x) \right)d\omega , $$
όπου τα $A(\omega)$ και $B(\omega)$ ονομάζονται ακέραιοι μετασχηματισμοί συνημιτόνου και ημιτόνου:
$$ A\left(\omega \right)=2\int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (f\left(x \right)) \cos \left((2\pi \omega x )\δεξιά)dx; \quad B\left(\omega \right)=2\int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (f\left(x \right)) \sin \left((2\pi \omega x )\δεξιά)dx. $$
Η σειρά Fourier αντιπροσωπεύει την περιοδική συνάρτηση $f(x)$ που ορίζεται στο διάστημα $$ στη μορφή ατελείωτη σειράμε ημίτονο και συνημίτονο. Δηλαδή, η περιοδική συνάρτηση $f(x)$ σχετίζεται με μια άπειρη ακολουθία συντελεστών Fourier
$$ f\left(x \right)=\frac(A_0 )(2)+\sum\limits_(n=1)^\infty (A_n ) \cos \left((\frac(2\pi xn)( b-a)) \right)+\sum\limits_(n=1)^\infty (B_n \sin \left((\frac(2\pi xn)(b-a)) \right)) , $$
$$ A_n =\frac(2)(b-a)\int\limits_a^b (f\left(x \right)) \cos \left((\frac(2\pi nx)(b-a)) \right)dx ; \quad B_n =\frac(2)(b-a)\int\limits_a^b (f\left(x \right)) \sin \left((\frac(2\pi nx)(b-a)) \right)dx . $$
Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier μετατρέπει μια πεπερασμένη ακολουθία πραγματικών αριθμών σε μια πεπερασμένη ακολουθία συντελεστών Fourier.
Έστω $\left\( (x_i ) \right\), i= 0,\ldots, N-1 $ μια ακολουθία πραγματικών αριθμών - για παράδειγμα, μετρήσεις φωτεινότητας pixel κατά μήκος μιας γραμμής εικόνας. Αυτή η ακολουθία μπορεί να αναπαρασταθεί ως συνδυασμός πεπερασμένων αθροισμάτων της μορφής
$$ x_i =a_0 +\sum\limits_(n=1)^(N/2) (a_n ) \cos \left((\frac(2\pi ni)(N)) \right)+\sum\limits_ (n=1)^(N/2) (b_n \sin \left((\frac(2\pi ni)(N)) \right)) , $$
$$ a_0 =\frac(1)(N)\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i ) , \quad a_(N/2) =\frac(1)(N)\sum \limits_(i=0)^(N-1) (x_i ) \left((-1) \right)^i, \quad a_k =\frac(2)(N)\sum\limits_(i=0) ^(N-1) (x_i \cos \left((\frac(2\pi ik)(N)) \right)), $$
$$ b_k =\frac(2)(N)\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i \sin \left((\frac(2\pi ik)(N)) \δεξιά) ), \quad i\le k Η κύρια διαφορά μεταξύ των τριών μορφών του μετασχηματισμού Fourier είναι ότι αν ο ολοκληρωτικός μετασχηματισμός Fourier οριστεί σε ολόκληρο το πεδίο της συνάρτησης $f(x)$, τότε η σειρά και ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier ορίζονται μόνο σε ένα διακριτό σύνολο σημεία, τα οποία είναι άπειρα για τη σειρά Fourier και πεπερασμένα για τους διακριτούς μετασχηματισμούς. Όπως φαίνεται από τους ορισμούς του μετασχηματισμού Fourier, το μεγαλύτερο ενδιαφέρον για τα συστήματα επεξεργασίας ψηφιακών σημάτων είναι ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier. Τα δεδομένα που λαμβάνονται από ψηφιακά μέσα ή πηγές πληροφοριών είναι ταξινομημένα σύνολα αριθμών που γράφονται ως διανύσματα ή πίνακες. Συνήθως θεωρείται ότι τα δεδομένα εισόδου για έναν διακριτό μετασχηματισμό είναι ένα ομοιόμορφο δείγμα με βήμα $\Delta $, ενώ η τιμή $T=N\Delta $ ονομάζεται μήκος της εγγραφής ή η κύρια περίοδος. Η θεμελιώδης συχνότητα είναι ίση με $1/T$. Έτσι, στον διακριτό μετασχηματισμό Fourier, τα δεδομένα εισόδου αποσυντίθενται σε συχνότητες που είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της θεμελιώδους συχνότητας. Η μέγιστη συχνότητα που καθορίζεται από τη διάσταση των δεδομένων εισόδου είναι ίση με $1/2 \Delta $ και ονομάζεται $\it(Nyquist συχνότητα)$. Η λογιστική για τη συχνότητα Nyquist είναι απαραίτητη όταν χρησιμοποιείται ένας διακριτός μετασχηματισμός. Εάν τα δεδομένα εισόδου έχουν περιοδικές συνιστώσες με συχνότητες που υπερβαίνουν τη συχνότητα Nyquist, τότε κατά τον υπολογισμό του διακριτού μετασχηματισμού Fourier, τα δεδομένα υψηλής συχνότητας θα αντικατασταθούν από μια χαμηλότερη συχνότητα, η οποία μπορεί να οδηγήσει σε σφάλματα στην ερμηνεία των αποτελεσμάτων του διακριτού μετασχηματισμού. Ένα σημαντικό εργαλείο για την ανάλυση δεδομένων είναι επίσης το $\it(ενεργειακό φάσμα)$. Η ισχύς του σήματος στη συχνότητα $\omega $ προσδιορίζεται ως εξής: $$ P \left(\omega \right)=\frac(1)(2)\left((A \left(\omega \right)^2+B \left(\omega \right)^2) \right ) . $$ Αυτή η τιμή συχνά ονομάζεται $\it(ενέργεια σήματος)$ στη συχνότητα $\omega $. Σύμφωνα με το θεώρημα του Parseval, η συνολική ενέργεια του σήματος εισόδου είναι ίση με το άθροισμα των ενεργειών σε όλες τις συχνότητες. $$ E=\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i^2 ) =\sum\limits_(i=0)^(N/2) (P \left((\omega _i) \σωστά)) . $$ Ένα διάγραμμα ισχύος έναντι συχνότητας ονομάζεται ενεργειακό φάσμα ή φάσμα ισχύος. Το ενεργειακό φάσμα καθιστά δυνατή την αποκάλυψη κρυφών περιοδικοτήτων των δεδομένων εισόδου και την αξιολόγηση της συμβολής ορισμένων στοιχείων συχνότητας στη δομή των δεδομένων εισόδου. Εκτός από την τριγωνομετρική μορφή του διακριτού μετασχηματισμού Fourier, το $\it(σύνθετη αναπαράσταση)$ χρησιμοποιείται ευρέως. Η σύνθετη μορφή του μετασχηματισμού Fourier χρησιμοποιείται ευρέως στην πολυμεταβλητή ανάλυση και, ειδικότερα, στην επεξεργασία εικόνας. Η μετάβαση από την τριγωνομετρική στη σύνθετη μορφή πραγματοποιείται με βάση τον τύπο Euler $$ e^(j\omega t)=\cos \omega t+j\sin \omega t, \quad j=\sqrt (-1) . $$ Εάν η ακολουθία εισόδου είναι $N$ μιγαδικοί αριθμοί, τότε ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier θα είναι $$ G_m =\frac(1)(N)\sum\limits_(n=1)^(N-1) (x_n ) e^(\frac(-2\pi jmn)(N)), $$ και ο αντίστροφος μετασχηματισμός $$ x_m =\sum\limits_(n=1)^(N-1) (G_n ) e^(\frac(2\pi jmn)(N)). $$ Εάν η ακολουθία εισόδου είναι ένας πίνακας πραγματικών αριθμών, τότε υπάρχει τόσο μιγαδικός όσο και ημιτονοειδής διακριτός μετασχηματισμός. Η σχέση αυτών των παραστάσεων εκφράζεται ως εξής: $$ a_0 =G_0 , \quad G_k =\left((a_k -jb_k ) \right)/2, \quad 1\le k\le N/2; $$ οι υπόλοιπες τιμές $N/2$ του μετασχηματισμού είναι σύνθετες συζυγείς και δεν περιέχουν πρόσθετες πληροφορίες. Επομένως, το γράφημα του φάσματος ισχύος του διακριτού μετασχηματισμού Fourier είναι συμμετρικό ως προς το $N/2$. Ο απλούστερος τρόπος για τον υπολογισμό του Διακριτού Μετασχηματισμού Φουριέ (DFT) είναι η άμεση άθροιση, η οποία οδηγεί σε πράξεις $N$ ανά συντελεστή. Υπάρχουν συνολικά $N$ συντελεστές, επομένως η συνολική πολυπλοκότητα είναι $O\left((N^2) \right)$. Αυτή η προσέγγιση δεν έχει πρακτικό ενδιαφέρον, καθώς υπάρχουν πολύ πιο αποτελεσματικοί τρόποι υπολογισμού του DFT, που ονομάζεται γρήγορος μετασχηματισμός Fourier (FFT), ο οποίος έχει πολυπλοκότητα $O (N\log N)$. Το FFT ισχύει μόνο για ακολουθίες που έχουν μήκος (αριθμός στοιχείων) που είναι πολλαπλάσιο της ισχύος του 2. Η πιο γενική αρχή πίσω από τον αλγόριθμο FFT είναι ο διαχωρισμός της ακολουθίας εισόδου σε δύο ακολουθίες μισού μήκους. Η πρώτη ακολουθία είναι γεμάτη με ζυγά δεδομένα και η δεύτερη με περιττά. Αυτό καθιστά δυνατό τον υπολογισμό των συντελεστών DFT μέσω δύο μετασχηματισμών $N/2$. Συμβολίστε $\omega _m =e^(\frac(2\pi j)(m))$, μετά $G_m =\sum\limits_(n=1)^((N/2)-1) (x_(2n ) ) \omega _(N/2)^(mn) +\sum\limits_(n=1)^((N/2)-1) (x_(2n+1) ) \omega _(N/2) ^(mn) \omega _N^m $. Για $ εκ< N/2$ тогда можно записать $G_m =G_{\textrm{even}} \left(m \right)+G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Учитывая, что элементы ДПФ с индексом
б ольшим, чем $N/2$, являются комплексно сопряженными к элементам с индексами
меньшими $N/2$, можно записать $G_{m+(N/2)} =G_{\textrm{even}} \left(m \right)-G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Таким образом, можно вычислить БПФ длиной $N$,
используя два ДПФ длиной $N/2$. Полный алгоритм БПФ заключается в рекурсивном
выполнении вышеописанной процедуры, начиная с объединения одиночных элементов в пары,
затем в четверки и так до полного охвата исходного массива данных. Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier για έναν δισδιάστατο πίνακα αριθμών $M\times N$ ορίζεται ως εξής: $$ G_(uw) =\frac(1)(NM)\sum\limits_(n=1)^(N-1) (\sum\limits_(m=1)^(M-1) (x_(mn ) ) ) e^((-2\pi j\left[ (\frac(mu)(M)+\frac(nw)(N)) \δεξιά]) ), $$ και ο αντίστροφος μετασχηματισμός $$ x_(mn) =\sum\limits_(u=1)^(N-1) (\sum\limits_(w=1)^(M-1) (G_(uw) ) ) e^( (2 \pi j\αριστερά[ (\frac(mu)(M)+\frac(nw)(N)) \δεξιά]) ). $$ Στην περίπτωση της επεξεργασίας εικόνας, τα στοιχεία του 2D μετασχηματισμού Fourier ονομάζονται $\textit(χωρικές συχνότητες)$. Μια σημαντική ιδιότητα του δισδιάστατου μετασχηματισμού Fourier είναι η δυνατότητα υπολογισμού του χρησιμοποιώντας τη μονοδιάστατη διαδικασία FFT: $$ G_(uw) =\frac(1)(N)\sum\limits_(n=1)^(N-1) ( \αριστερά[ (\frac(1)(M)\sum\limits_(m= 0)^(M-1) (x_(mn) e^(\frac(-2\pi jmw)(M))) ) \right] ) e^(\frac(-2\pi jnu)(N) ), $$ Εδώ, η έκφραση σε αγκύλες είναι ένας μονοδιάστατος μετασχηματισμός σειρών του πίνακα δεδομένων, ο οποίος μπορεί να εκτελεστεί με ένα μονοδιάστατο FFT. Έτσι, για να ληφθεί ένας δισδιάστατος μετασχηματισμός Fourier, πρέπει πρώτα να υπολογιστούν οι μονοδιάστατοι μετασχηματισμοί σειρών, να γραφτούν τα αποτελέσματα στον αρχικό πίνακα και να υπολογιστούν μονοδιάστατοι μετασχηματισμοί για τις στήλες του προκύπτοντος πίνακα. Κατά τον υπολογισμό του δισδιάστατου μετασχηματισμού Fourier, οι χαμηλές συχνότητες θα συγκεντρωθούν στις γωνίες του πίνακα, κάτι που δεν είναι πολύ βολικό για την περαιτέρω επεξεργασία των πληροφοριών που λαμβάνονται. Για να μεταφράσετε την αναπαράσταση ενός δισδιάστατου μετασχηματισμού Fourier στον οποίο οι χαμηλές συχνότητες είναι συγκεντρωμένες στο κέντρο του πίνακα, μπορείτε να εκτελέσετε μια απλή διαδικασία, η οποία συνίσταται στον πολλαπλασιασμό των αρχικών δεδομένων με $-1^(m+n)$. Στο σχ. Το 16 δείχνει την αρχική εικόνα και τον μετασχηματισμό Fourier. Η εικόνα σε κλίμακα του γκρι και η εικόνα Fourier της (εικόνες που λαμβάνονται στο σύστημα LabVIEW) Η συνέλιξη των συναρτήσεων $s(t)$ και $r(t)$ ορίζεται ως $$ s\ast r\cong r\ast s\cong \int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (s(\tau)) r(t-\tau)d\tau . $$ Στην πράξη, κάποιος πρέπει να αντιμετωπίσει τη διακριτή συνέλιξη, στην οποία οι συνεχείς συναρτήσεις αντικαθίστανται από σύνολα τιμών στους κόμβους ενός ομοιόμορφου πλέγματος (συνήθως λαμβάνεται ένα πλέγμα ακέραιου αριθμού): $$ (r\ast s)_j \cong \sum\limits_(k=-N)^P (s_(j-k) r_k ). $$ Εδώ τα $-N$ και τα $P$ ορίζουν ένα εύρος πέρα από το οποίο $r(t) = 0$. Κατά τον υπολογισμό της συνέλιξης χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό Fourier, χρησιμοποιείται η ιδιότητα του μετασχηματισμού Fourier, σύμφωνα με την οποία το γινόμενο των εικόνων των συναρτήσεων στον τομέα συχνότητας είναι ισοδύναμο με τη συνέλιξη αυτών των συναρτήσεων στο πεδίο του χρόνου. Για τον υπολογισμό της συμφωνίας, είναι απαραίτητο να μετατραπούν τα αρχικά δεδομένα στον τομέα συχνότητας, δηλαδή να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός Fourier τους, να πολλαπλασιαστούν τα αποτελέσματα του μετασχηματισμού και να πραγματοποιηθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier, επαναφέροντας την αρχική αναπαράσταση. Η μόνη λεπτότητα στη λειτουργία του αλγορίθμου σχετίζεται με το γεγονός ότι στην περίπτωση ενός διακριτού μετασχηματισμού Fourier (σε αντίθεση με έναν συνεχή), συνελίσσονται δύο περιοδικές συναρτήσεις, δηλαδή τα σύνολα τιμών μας καθορίζουν ακριβώς τις περιόδους αυτών των συναρτήσεων και όχι μόνο τις τιμές σε κάποιο ξεχωριστό τμήμα του άξονα. Δηλαδή, ο αλγόριθμος θεωρεί ότι το σημείο $x_(N )$ ακολουθείται όχι από το μηδέν, αλλά από το σημείο $x_(0)$ και ούτω καθεξής σε κύκλο. Επομένως, για να υπολογιστεί σωστά η συνέλιξη, είναι απαραίτητο να αντιστοιχιστεί μια αρκετά μεγάλη ακολουθία μηδενικών στο σήμα. Οι μέθοδοι γραμμικού φιλτραρίσματος είναι μεταξύ των καλά δομημένων μεθόδων για τις οποίες έχουν αναπτυχθεί αποτελεσματικά υπολογιστικά σχήματα βασισμένα σε αλγόριθμους γρήγορης συνέλιξης και φασματική ανάλυση. Γενικά, οι αλγόριθμοι γραμμικού φιλτραρίσματος εκτελούν μετασχηματισμό της φόρμας $$ f"(x,y) = \int\int f(\zeta -x, \eta -y)K (\zeta , \eta) d \zeta d \eta , $$ όπου $K(\zeta ,\eta)$ είναι ο πυρήνας του γραμμικού μετασχηματισμού. Με μια διακριτή αναπαράσταση του σήματος, το ολοκλήρωμα σε αυτόν τον τύπο εκφυλίζεται σε ένα σταθμισμένο άθροισμα δειγμάτων της αρχικής εικόνας μέσα σε ένα συγκεκριμένο διάφραγμα. Σε αυτήν την περίπτωση, η επιλογή του πυρήνα $K(\zeta ,\eta)$ σύμφωνα με ένα ή άλλο κριτήριο βελτιστοποίησης μπορεί να οδηγήσει σε μια σειρά από χρήσιμες ιδιότητες (Gaussian smoothing στην κανονικοποίηση του προβλήματος της αριθμητικής διαφοροποίησης μιας εικόνας , και τα λοιπά.). Οι μέθοδοι γραμμικής επεξεργασίας εφαρμόζονται πιο αποτελεσματικά στον τομέα της συχνότητας. Η χρήση της εικόνας Fourier της εικόνας για την εκτέλεση λειτουργιών φιλτραρίσματος οφείλεται κυρίως στην υψηλότερη απόδοση τέτοιων λειτουργιών. Κατά κανόνα, η εκτέλεση του άμεσου και αντίστροφου δισδιάστατου μετασχηματισμού Fourier και ο πολλαπλασιασμός με τους συντελεστές της εικόνας Fourier του φίλτρου απαιτεί λιγότερο χρόνο από την εκτέλεση μιας δισδιάστατης συνέλιξης της αρχικής εικόνας. Οι αλγόριθμοι φιλτραρίσματος στον τομέα της συχνότητας βασίζονται στο θεώρημα της συνέλιξης. Στη δισδιάστατη περίπτωση, ο μετασχηματισμός συνέλιξης μοιάζει με αυτό: $$ G\left((u,v) \right)=H\left((u,v) \right)F\left((u,v) \right), $$ όπου $G$ είναι ο μετασχηματισμός Fourier του αποτελέσματος συνέλιξης, $H$ είναι ο μετασχηματισμός Fourier του φίλτρου και $F$ είναι ο μετασχηματισμός Fourier της αρχικής εικόνας. Δηλαδή, στον τομέα της συχνότητας, η δισδιάστατη συνέλιξη αντικαθίσταται από τον κατά στοιχείο πολλαπλασιασμό των εικόνων της αρχικής εικόνας και του αντίστοιχου φίλτρου. Για να εκτελέσετε τη συνάθροιση, πρέπει να κάνετε τα εξής: Η σχέση μεταξύ της συνάρτησης φίλτρου στον τομέα συχνότητας και του χωρικού τομέα μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνέλιξης $$ \Phi \left[ (f\left((x,y) \right)\ast h(x,y)) \right]=F\left((u,v) \right)H\left(( u,v) \δεξιά), $$ $$ \Phi \left[ (f\left((x,y) \right)h(x,y)) \right]=F\left((u,v) \right)\ast H\left(( u,v)\δεξιά). $$ Η συνέλιξη μιας συνάρτησης με μια συνάρτηση παλμού μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής: $$ \sum\limits_(x=0)^M (\sum\limits_(y=0)^N (s\left((x,y) \right)) ) \delta \left((x-x_0 , y-y_0 ) \right)=s(x_0,y_0). $$ Μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης ώθησης $$ F\left((u,v) \right)=\frac(1)(MN)\sum\limits_(x=0)^M (\sum\limits_(y=0)^N (\delta \ αριστερά((x,y) \right) ) ) e^( (-2\pi j\left((\frac(ux)(M)+\frac(vy)(N)) \right)) ) =\ frac(1) (MN). $$ Έστω $f(x,y) = \delta (x,y)$, μετά η συνέλιξη $$ f\left((x,y) \right)\ast h(x,y)=\frac(1)(MN)h\left((x,y) \right), $$ $$ \Phi \left[ (\delta \left((x,y) \right)\ast h(x,y)) \right]=\Phi \left[ (\delta \left((x,y) \δεξιά)) \right]H\left((u,v) \right)=\frac(1)(MN)H\left((u,v) \right). $$ Μπορεί να φανεί από αυτές τις εκφράσεις ότι οι συναρτήσεις φίλτρου στους τομείς συχνότητας και χωρικής διασύνδεσης διασυνδέονται μέσω του μετασχηματισμού Fourier. Για μια δεδομένη συνάρτηση φίλτρου τομέα συχνότητας, μπορείτε πάντα να βρείτε το αντίστοιχο φίλτρο χωρικού τομέα εφαρμόζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier. Το ίδιο ισχύει και για την αντίστροφη περίπτωση. Χρησιμοποιώντας αυτή τη σχέση, είναι δυνατό να προσδιοριστεί η διαδικασία για τη σύνθεση χωρικών γραμμικών φίλτρων. ($\textit(Ιδανικό χαμηλοπερατό φίλτρο)$) Το $H(u,v)$ είναι $$H(u,v) = 1, \quad \mbox(if )D(u,v)< D_0 ,$$
$$H(u,v) = 0, \quad \mbox{если }D(u,v) \ge D_0 ,$$
где $D\left({u,v} \right)=\sqrt {\left({u-\frac{M}{2}} \right)^2+\left({v-\frac{N}{2}} \right)^2}$ - расстояние от центра частотной плоскости. ($\textit(Ideal high-pass filter)$) προκύπτει με την αντιστροφή του ιδανικού φίλτρου χαμηλής διέλευσης: $$ H"(u,v) = 1-H(u,v). $$ Εδώ, τα εξαρτήματα χαμηλής συχνότητας καταστέλλονται πλήρως, διατηρώντας τα υψηλής συχνότητας. Ωστόσο, όπως και στην περίπτωση ενός ιδανικού φίλτρου χαμηλής διέλευσης, η χρήση του είναι γεμάτη με την εμφάνιση σημαντικής παραμόρφωσης. Διάφορες προσεγγίσεις χρησιμοποιούνται για το σχεδιασμό φίλτρων με ελάχιστη παραμόρφωση. Ένα από αυτά είναι η σύνθεση φίλτρων με βάση τους εκθέτες. Τέτοια φίλτρα εισάγουν ελάχιστη παραμόρφωση στην εικόνα που προκύπτει και είναι βολικά για σύνθεση στον τομέα της συχνότητας. Ευρέως χρησιμοποιούμενη στην επεξεργασία εικόνας είναι μια οικογένεια φίλτρων που βασίζονται στην πραγματική συνάρτηση Gauss. Το $\textit(Φίλτρο χαμηλών διέλευσης Gaussian)$ έχει τη μορφή $$ h\left(x \right)=\sqrt (2\pi ) \sigma Ae^(-2\left((\pi \sigma x) \right)^2) \mbox( and ) H\left( u \right)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma ^2)) $$ Όσο πιο στενό είναι το προφίλ φίλτρου στον τομέα συχνότητας (όσο μεγαλύτερο είναι το $\sigma $), τόσο πιο ευρύ είναι στον χωρικό τομέα. ($\textit(High Pass Gaussian Filter)$) έχει τη μορφή $$ h\left(x \right)=\sqrt (2\pi ) \sigma _A Ae^(-2\left((\pi \sigma _A x) \right)^2)-\sqrt (2\pi ) \sigma _B Be^(-2\left((\pi \sigma _B x) \right)^2 ), $$ $$ H\left(u \right)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma _A^2 ))-Be^(-\frac(u^2)(2\sigma _B^2 )). $$ Στη δισδιάστατη περίπτωση ($\it(low-pass)$) το φίλτρο Gauss μοιάζει με αυτό: $$ H\left((u,v) \right)=e^(-\frac(D^2\left((u,v) \right))(2D_0^2 )). $$ ($\it(High-Pass)$) Το φίλτρο Gauss έχει τη μορφή $$ H\left((u,v) \right)=1-e^(-\frac(D^2\left((u,v) \right))(2D_0^2 )). $$ Εξετάστε ένα παράδειγμα φιλτραρίσματος εικόνας (Εικ. 1) στον τομέα συχνότητας (Εικ. 17 - 22). Λάβετε υπόψη ότι το φιλτράρισμα συχνότητας μιας εικόνας μπορεί να έχει νόημα τόσο για την εξομάλυνση ($\textit(χαμηλοπερατό φιλτράρισμα)$) όσο και για την επισήμανση περιγραμμάτων και αντικειμένων μικρού μεγέθους ($\textit(φιλτράρισμα υψηλής διέλευσης)$). Όπως φαίνεται από το σχ. 17, 19, καθώς η «ισχύς» του φιλτραρίσματος αυξάνεται στο στοιχείο χαμηλής συχνότητας της εικόνας, το αποτέλεσμα της «φαινομενικής αποεστίασης» ή του $\it(blur)$ της εικόνας γίνεται πιο έντονο. Ταυτόχρονα, μεγάλο μέρος του πληροφοριακού περιεχομένου της εικόνας περνά σταδιακά στη συνιστώσα υψηλής συχνότητας, όπου στην αρχή παρατηρούνται μόνο τα περιγράμματα των αντικειμένων (Εικ. 18, 20 - 22). Ας εξετάσουμε τώρα τη συμπεριφορά των φίλτρων υψηλής και χαμηλής διέλευσης (Εικ. 23 - 28) με την παρουσία πρόσθετου Gaussian θορύβου στην εικόνα (Εικ. 7). Όπως φαίνεται από το σχ. 23, 25, οι ιδιότητες των φίλτρων χαμηλής συχνότητας για την καταστολή του πρόσθετου τυχαίου θορύβου είναι παρόμοιες με τις ιδιότητες των προηγουμένως θεωρούμενων γραμμικών φίλτρων - με επαρκή ισχύ φίλτρου, ο θόρυβος καταστέλλεται, αλλά η τιμή για αυτό είναι μια ισχυρή θόλωση των περιγραμμάτων και «απεστίαση» ολόκληρης της εικόνας. Το στοιχείο υψηλής συχνότητας της θορυβώδους εικόνας παύει να είναι ενημερωτικό, καθώς εκτός από τις πληροφορίες περιγράμματος και αντικειμένου, το στοιχείο θορύβου είναι πλέον πλήρως παρόν εκεί (Εικ. 27, 28). Η χρήση μεθόδων συχνότητας είναι πιο κατάλληλη όταν είναι γνωστό το στατιστικό μοντέλο της διαδικασίας θορύβου ή/και η λειτουργία οπτικής μεταφοράς του καναλιού μετάδοσης εικόνας. Είναι βολικό να ληφθούν υπόψη τέτοια a priori δεδομένα επιλέγοντας ένα γενικευμένο ελεγχόμενο φίλτρο (με παραμέτρους $\sigma$ και $\mu$) της ακόλουθης φόρμας ως φίλτρο επαναφοράς: $$ F(w_1,w_2)= \αριστερά[ ( \frac (1) (P(w_1,w_2)) )\right] \cdot \left[ (\frac ((\vert P(w_1,w_2) \vert )^2) (\vert P(w_1,w_2) \vert ^2 + \alpha \vert Q(w_1,w_2) \vert ^2) )\right]. $$ όπου $0< \sigma < 1$, $0 < \mu < 1$ - назначаемые параметры фильтра,
$P(w_{1}$, $w_{2})$ - передаточная функция системы, $Q(w_{1}$, $w_{2})$ -
стабилизатор фильтра, согласованный с энергетическим спектром фона. Выбор
параметров $\sigma = 1$, $\mu = 0$ приводит к чисто инверсной фильтрации,
$\sigma =\mu = 1$ к \it{винеровской фильтрации}, что позволяет получить изображение, близкое к
истинному в смысле минимума СКО при условии, что спектры
плотности мощности
изображения и его шумовой компоненты априорно известны. Для дальнейшего
улучшения эффекта сглаживания в алгоритм линейной (винеровской) фильтрации
вводят адаптацию, основанную на оценке локальных статистик: математического
ожидания $M(P)$ и дисперсии $\sigma (P)$. Этот алгоритм эффективно фильтрует
засоренные однородные поверхности (области) фона. Однако при попадании в
скользящее окно обработки неоднородных участков фона импульсная
характеристика фильтра сужается ввиду резкого изменения локальных статистик,
и эти неоднородности (контуры, пятна) передаются практически без
расфокусировки, свойственной неадаптивным методам линейной фильтрации. Τα πλεονεκτήματα των μεθόδων γραμμικού φιλτραρίσματος περιλαμβάνουν τη σαφή φυσική τους σημασία και την ευκολία ανάλυσης των αποτελεσμάτων. Ωστόσο, με απότομη επιδείνωση της αναλογίας σήματος προς θόρυβο, με πιθανές παραλλαγές τοπικού θορύβου και την παρουσία παλμικού θορύβου υψηλού πλάτους, οι μέθοδοι γραμμικής προεπεξεργασίας μπορεί να μην επαρκούν. Σε αυτήν την περίπτωση, οι μη γραμμικές μέθοδοι είναι πολύ πιο ισχυρές. 19 Εισιτήριο 1. Λειτουργία διαστολής 2. Χωροφασματικά χαρακτηριστικά επεμβάσεις διαστολής. Έστω σύνολα Α και Β από το διάστημα Z 2 . Η διαστολή ενός συνόλου Α σε σχέση με ένα σύνολο Β (ή σε σχέση με το Β) συμβολίζεται με Α⊕Β και ορίζεται ως Μπορεί να ξαναγραφτεί με την ακόλουθη μορφή: Το σύνολο Β θα ονομάζεται σύνολο σχηματισμού δομής ή πρωτόγονο διαστολής. (11) βασίζεται στην απόκτηση μιας κεντρικής ανάκλασης του συνόλου B σε σχέση με τις αρχικές του συντεταγμένες (κέντρο B), στη συνέχεια μετατοπίζοντας αυτό το σύνολο στο σημείο z, διαστέλλοντας το σύνολο A κατά μήκος του B - το σύνολο όλων αυτών των μετατοπίσεων z, στο οποίο και το Α συμπίπτουν σε τουλάχιστον ένα στοιχείο. Αυτός ο ορισμός δεν είναι ο μόνος. Ωστόσο, η διαδικασία διαστολής είναι κατά κάποιο τρόπο παρόμοια με τη λειτουργία συνέλιξης που εκτελείται στα σετ. Χωρικά φασματικά χαρακτηριστικά Σύμφωνα με το (1.8), ο δισδιάστατος μετασχηματισμός Fourier ορίζεται ως όπου w x, w yείναι χωρικές συχνότητες. Το τετράγωνο του συντελεστή του φάσματος M( w x, w y) = |Φ( w x, w y)| 2 μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό μιας σειράς χαρακτηριστικών. Ενοποίηση συναρτήσεων Μ(w x, w y) από τη γωνία στο επίπεδο των χωρικών συχνοτήτων δίνει ένα χαρακτηριστικό χωρικής συχνότητας που είναι αμετάβλητο σε σχέση με τη μετατόπιση και την περιστροφή της εικόνας. Με την εισαγωγή της συνάρτησης Μ(w x, w y) σε πολικές συντεταγμένες, γράφουμε αυτό το χαρακτηριστικό στη μορφή όπου q= Αρκτάν( w y/w x); r 2 = w x 2 +w y 2 . 20 εισιτήριο 1. Λειτουργία διάβρωσης Ο διακριτός δισδιάστατος μετασχηματισμός Fourier του πίνακα δείγματος εικόνας ορίζεται ως μια σειρά: όπου , και ο διακριτός αντίστροφος μετασχηματισμός έχει τη μορφή: Κατ' αναλογία με την ορολογία του συνεχούς μετασχηματισμού Fourier, οι μεταβλητές ονομάζονται χωρικές συχνότητες. Πρέπει να σημειωθεί ότι δεν χρησιμοποιούν όλοι οι ερευνητές τον ορισμό (4.97), (4.98). Μερικοί προτιμούν να βάζουν όλες τις σταθερές κλίμακας στην αντίστροφη έκφραση, ενώ άλλοι αντιστρέφουν τα πρόσημα στους πυρήνες. Δεδομένου ότι οι πυρήνες μετασχηματισμού είναι συμμετρικοί και διαχωρίσιμοι, ο δισδιάστατος μετασχηματισμός μπορεί να εκτελεστεί ως διαδοχικοί μονοδιάστατοι μετασχηματισμοί στις γραμμές και τις στήλες του πίνακα εικόνας. Οι βασικές συναρτήσεις μετασχηματισμού είναι εκθέτες με μιγαδικούς εκθέτες, οι οποίοι μπορούν να αποσυντεθούν σε συνιστώσες ημιτονοειδούς και συνημιτόνου. Με αυτόν τον τρόπο, Το φάσμα της εικόνας έχει πολλά ενδιαφέροντα δομικά χαρακτηριστικά. Φασματική συνιστώσα στην αρχή του επιπέδου συχνότητας ίση με την αύξηση σε Νφορές τη μέση τιμή (πάνω από το αρχικό επίπεδο) της φωτεινότητας της εικόνας. Αντικατάσταση στην ισότητα (4.97) όπου και είναι σταθερές, παίρνουμε: Για οποιεσδήποτε ακέραιες τιμές και ο δεύτερος εκθετικός παράγοντας ισότητας (4.101) γίνεται ένα. Έτσι, στις που δείχνει την περιοδικότητα του επιπέδου συχνότητας. Αυτό το αποτέλεσμα απεικονίζεται στο Σχήμα 4.14, α. Το 2D φάσμα Fourier μιας εικόνας είναι ουσιαστικά μια αναπαράσταση του 2D πεδίου ως σειρά Fourier. Για να είναι έγκυρη μια τέτοια αναπαράσταση, η αρχική εικόνα πρέπει να έχει και περιοδική δομή, δηλ. έχουν ένα σχέδιο που επαναλαμβάνεται κάθετα και οριζόντια (Εικ. 4.14, β). Έτσι, το δεξί άκρο της εικόνας βρίσκεται δίπλα στο αριστερό και το επάνω άκρο δίπλα στο κάτω μέρος. Λόγω των ασυνεχειών στις τιμές φωτεινότητας σε αυτά τα μέρη, εμφανίζονται πρόσθετα στοιχεία στο φάσμα της εικόνας, τα οποία βρίσκονται στους άξονες συντεταγμένων του επιπέδου συχνότητας. Αυτά τα στοιχεία δεν σχετίζονται με τις τιμές φωτεινότητας των εσωτερικών pixel της εικόνας, αλλά είναι απαραίτητα για την αναπαραγωγή των αιχμηρών άκρων της. Εάν μια σειρά δειγμάτων εικόνας περιγράφει ένα πεδίο φωτεινότητας, τότε οι αριθμοί θα είναι πραγματικοί και θετικοί. Ωστόσο, το φάσμα Fourier αυτής της εικόνας έχει γενικά σύνθετες τιμές. Δεδομένου ότι το φάσμα περιέχει μια συνιστώσα που αντιπροσωπεύει τα πραγματικά και φανταστικά μέρη, ή τη φάση και το μέτρο των φασματικών συνιστωσών για κάθε συχνότητα, μπορεί να φαίνεται ότι ο μετασχηματισμός Fourier αυξάνει τη διάσταση της εικόνας. Αυτό, όμως, δεν ισχύει, αφού έχει συμμετρία σε σύνθετη σύζευξη. Αν στην ισότητα (4.101) βάλουμε και ίσους με ακέραιους αριθμούς, τότε μετά από μιγαδική σύζευξη παίρνουμε την ισότητα: Με τη βοήθεια της αντικατάστασης και του src=http://electrono.ru/wp-content/image_post/osncifr/pic126_15.gif> μπορούμε να δείξουμε ότι Λόγω της παρουσίας σύνθετης συζυγούς συμμετρίας, σχεδόν τα μισά από τα φασματικά συστατικά αποδεικνύονται περιττά, δηλ. μπορούν να σχηματιστούν από τα υπόλοιπα συστατικά (Εικ. 4.15). Φυσικά, οι αρμονικές που δεν πέφτουν στο κατώτερο, αλλά στο δεξί ημιεπίπεδο μπορούν, φυσικά, να θεωρηθούν επιπλέον συστατικά. Η ανάλυση Fourier στην επεξεργασία εικόνας χρησιμοποιείται για τους ίδιους σκοπούς όπως και για τα μονοδιάστατα σήματα. Ωστόσο, στον τομέα της συχνότητας, οι εικόνες δεν αντιπροσωπεύουν καμία σημαντική πληροφορία, γεγονός που καθιστά τον μετασχηματισμό Fourier όχι τόσο χρήσιμο εργαλείο για την ανάλυση εικόνας. Για παράδειγμα, όταν ένας μετασχηματισμός Fourier εφαρμόζεται σε ένα μονοδιάστατο ηχητικό σήμα, ένα πεδίο χρόνου που είναι δύσκολο να επισημοποιηθεί και πολύπλοκη κυματομορφή μετατρέπεται σε ένα εύκολα κατανοητό φάσμα στον τομέα συχνοτήτων. Συγκριτικά, παίρνοντας τον μετασχηματισμό Fourier (μετασχηματισμός Fourier) μιας εικόνας, μετατρέπουμε διατεταγμένες πληροφορίες στο χωρικό πεδίο (χωρικό πεδίο) σε μια κωδικοποιημένη μορφή στον τομέα συχνότητας (τομέα συχνότητας). Εν ολίγοις, μην περιμένετε ο μετασχηματισμός Fourier να σας βοηθήσει να κατανοήσετε τις πληροφορίες που κωδικοποιούνται στις εικόνες. Ομοίως, μην αναφέρεστε στον τομέα συχνότητας όταν σχεδιάζετε ένα φίλτρο. Το κύριο χαρακτηριστικό γνώρισμα στις εικόνες είναι το περίγραμμα - η γραμμή που τη χωρίζει ένα αντικείμενοή περιοχήαπό άλλη αντικείμενοή περιοχές. Δεδομένου ότι τα περιγράμματα στην εικόνα περιέχουν ένα ευρύ φάσμα στοιχείων συχνότητας, η προσπάθεια αλλαγής της εικόνας με χειρισμό του φάσματος συχνοτήτων είναι αναποτελεσματική εργασία. Τα φίλτρα επεξεργασίας εικόνας σχεδιάζονται συνήθως στον χωρικό τομέα, όπου οι πληροφορίες παρουσιάζονται στην απλούστερη και πιο προσιτή μορφή τους. Κατά την επίλυση προβλημάτων επεξεργασίας εικόνας, είναι μάλλον απαραίτητο να λειτουργεί από την άποψη των λειτουργιών εξομάλυνσηκαι υπογραμμίζειπεριγράμματα (χωρικός τομέας) από ό,τι όσον αφορά φίλτρο υψηλής διέλευσηςκαι φίλτρο χαμηλής διέλευσης(τομέας συχνότητας). Παρόλα αυτά, η ανάλυση εικόνων Fourier έχει πολλές χρήσιμες ιδιότητες. Για παράδειγμα, περιελιγμόςστον χωρικό τομέα αντιστοιχεί σε πολλαπλασιασμόςστον τομέα της συχνότητας. Αυτό είναι σημαντικό γιατί ο πολλαπλασιασμός είναι μια απλούστερη μαθηματική πράξη από τη συνέλιξη. Όπως και με τα σήματα 1D, αυτή η ιδιότητα επιτρέπει τη συνέλιξη FFT και διάφορες τεχνικές αποσυνέλιξης. Αλλα χρήσιμη ιδιότηταστον τομέα συχνότητας είναι Θεώρημα τομέα Fourier, που καθιερώνει αντιστοιχίες μεταξύ της εικόνας και των προβολών της (όψεις της ίδιας εικόνας από διαφορετικές πλευρές). Αυτό το θεώρημα αποτελεί τη θεωρητική βάση τέτοιων κατευθύνσεων όπως αξονική τομογραφία, ακτινοσκόπησηχρησιμοποιείται ευρέως στην ιατρική και τη βιομηχανία. Το φάσμα συχνοτήτων μιας εικόνας μπορεί να υπολογιστεί με διάφορους τρόπους, αλλά η πιο πρακτική μέθοδος για τον υπολογισμό του φάσματος είναι ο αλγόριθμος FFT. Όταν χρησιμοποιείτε τον αλγόριθμο FFT, η αρχική εικόνα πρέπει να περιέχει Νγραμμές και Νστήλες και τον αριθμό Νπρέπει να είναι πολλαπλάσιο της δύναμης του 2, δηλ. 256, 512, 1024 και και τα λοιπά. Εάν η αρχική εικόνα δεν έχει ισχύ 2 σε διάσταση, τότε πρέπει να προστεθούν pixel μηδενικής τιμής για να συμπληρώσουν την εικόνα στο επιθυμητό μέγεθος. Λόγω του γεγονότος ότι ο μετασχηματισμός Fourier διατηρεί τη σειρά των πληροφοριών, τα πλάτη των στοιχείων χαμηλής συχνότητας θα βρίσκονται στις γωνίες του δισδιάστατου φάσματος, ενώ τα στοιχεία υψηλής συχνότητας θα βρίσκονται στο κέντρο του. Ως παράδειγμα, εξετάστε το αποτέλεσμα του μετασχηματισμού Fourier μιας εικόνας ηλεκτρονικού μικροσκοπίου του σταδίου εισόδου ενός λειτουργικού ενισχυτή (Εικ. 4.16). Δεδομένου ότι ο τομέας συχνότητας μπορεί να περιέχει pixel με αρνητικές τιμές, η κλίμακα του γκρι αυτών των εικόνων μετατοπίζεται με τέτοιο τρόπο ώστε οι αρνητικές τιμές να γίνονται αντιληπτές ως σκοτεινά σημεία στην εικόνα, οι μηδενικές τιμές είναι γκρι και οι θετικές τιμές είναι ΛΑΜΠΡΌΣ. Συνήθως, τα στοιχεία χαμηλής συχνότητας του φάσματος εικόνας είναι πολύ μεγαλύτερα σε πλάτος από τα υψηλής συχνότητας, γεγονός που εξηγεί την παρουσία πολύ φωτεινών και πολύ σκοτεινών κουκκίδων στις τέσσερις γωνίες της εικόνας φάσματος (Εικ. 4.16, β). Όπως φαίνεται από το σχήμα, ένα τυπικόΣύνθετη αναπαράσταση του μετασχηματισμού Fourier.
Γρήγορος μετασχηματισμός Fourier.
Δισδιάστατος μετασχηματισμός Fourier.
Συνέλιξη με χρήση του μετασχηματισμού Fourier.
Φιλτράρισμα εικόνων στον τομέα συχνότητας.
Το χαρακτηριστικό είναι αμετάβλητο ως προς την κλίμακα
