Косинусова трансформация. Достатъчни условия за представителност на функция чрез интеграл на Фурие

На които вече доста им писна. И чувствам, че е настъпил моментът, когато е време да извлечем нови консерви от стратегическите запаси на теорията. Възможно ли е функцията да се разшири в серия по някакъв друг начин? Например, за да изразите отсечка от права линия чрез синуси и косинуси? Изглежда невероятно, но такива привидно далечни функции се поддават
"реюнион". В допълнение към познатите степени в теорията и практиката, има и други подходи за разширяване на функция в серия.

В този урок ще се запознаем с тригонометричния ред на Фурие, ще засегнем въпроса за неговата конвергенция и сумата и, разбира се, ще анализираме множество примери за разширяване на функции в ред на Фурие. Искрено исках да нарека статията „Серии на Фурие за манекени“, но това би било хитро, тъй като решаването на проблеми ще изисква познаване на други раздели на математическия анализ и известен практически опит. Следователно преамбюлът ще прилича на обучението на астронавтите =)

Първо, трябва да се подходи към изучаването на материалите на страницата страхотна форма. Сънен, отпочинал и трезвен. Без силни емоции за счупената лапа на хамстер и натрапчиви мисли за трудностите в живота на аквариумните рибки. Серията на Фурие не е трудна от гледна точка на разбиране, но практическите задачи просто изискват повишена концентрация на внимание - в идеалния случай човек трябва напълно да изостави външните стимули. Ситуацията се утежнява от факта, че няма лесен начин за проверка на решението и отговора. Така че, ако здравето ви е под средното, тогава е по-добре да направите нещо по-просто. Истина.

Второ, преди да полетите в космоса, трябва да проучите таблото космически кораб. Нека започнем със стойностите на функциите, върху които трябва да щракнете върху машината:

За всяка природна стойност:

един) . И всъщност, синусоидата "премигва" оста x през всяко "pi":
. В случай на отрицателни стойности на аргумента, резултатът, разбира се, ще бъде същият: .

2). Но не всички знаеха това. Косинусът "pi en" е еквивалентът на "мигаща светлина":

Отрицателният аргумент не променя случая: .

Може би достатъчно.

И трето, скъпи отряд космонавти, трябва да можете да ... интегрирам.
По-специално, разбира се подведете функция под диференциален знак, интегрирайте по частии бъдете в добри отношения с Формула на Нютон-Лайбниц. Да започнем важните предполетни упражнения. Силно не препоръчвам да го пропускате, така че по-късно да не се сплескате при нулева гравитация:

Пример 1

Изчисляване на определени интеграли

където приема природни ценности.

Решение: интегрирането се извършва върху променливата "x" и на този етап дискретната променлива "en" се счита за константа. Във всички интеграли поднесете функцията под знака на диференциала:

Кратка версия на решението, по която би било добре да се снима, изглежда така:

Свиквам с:

Останалите четири точки са сами. Опитайте се да се отнесете съвестно към задачата и подредете интегралите по кратък начин. Примерни решения в края на урока.

След КАЧЕСТВЕНО упражнение обличаме скафандри
и се готви да започнем!

Разлагане на функция в ред на Фурие върху интервала

Нека разгледаме функция, която дефиниранипоне на интервала (и евентуално на по-голям интервал). Ако тази функция е интегрируема на сегмента, тогава тя може да бъде разширена в тригонометрия Редица на Фурие:
, където са т.нар Коефициенти на Фурие.

В този случай номерът се обажда период на разлагане, а числото е полуживот разлагане.

Очевидно в общия случай редът на Фурие се състои от синуси и косинуси:

Наистина, нека го напишем подробно:

Нулевият член на серията обикновено се записва като .

Коефициентите на Фурие се изчисляват по следните формули:

Разбирам много добре, че новите термини все още са неясни за начинаещите да изучават темата: период на разлагане, половин цикъл, Коефициенти на Фуриеи други Не се паникьосвайте, не е сравнимо с вълнението преди излизане в открития космос. Нека разберем всичко в най-близкия пример, преди да изпълним, което е логично да се запитаме спешно практически въпроси:

Какво трябва да направите в следващите задачи?

Разгънете функцията в ред на Фурие. Освен това често се изисква да се начертае графика на функция, графика на сумата от редица, частична сума, а в случай на сложни професорски фантазии, да се направи нещо друго.

Как да разширим функция в ред на Фурие?

По същество трябва да намерите Коефициенти на Фурие, тоест съставете и изчислете три определени интеграли.

Моля, копирайте общата форма на реда на Фурие и трите работни формули в тетрадката си. Много се радвам, че някои от посетителите на сайта имат детска мечта да станат космонавти, които се сбъдват пред очите ми =)

Пример 2

Разгънете функцията в ред на Фурие на интервала . Постройте графика, графика на сумата от редица и частична сума.

Решение: първата част от задачата е да разширим функцията в ред на Фурие.

Началото е стандартно, не забравяйте да запишете, че:

В този проблем периодът на разширяване, полупериодът.

Развиваме функцията в ред на Фурие на интервала:

Използвайки подходящите формули, намираме Коефициенти на Фурие. Сега трябва да съставим и изчислим три определени интеграли. За удобство ще номерирам точките:

1) Първият интеграл е най-простият, но вече изисква око и око:

2) Използваме втората формула:

Този интеграл е добре известен и той го взема на парче:

При установяване на употреба метод за привеждане на функция под диференциален знак.

В разглежданата задача е по-удобно да се използва незабавно формула за интегриране по части в определен интеграл :

Няколко технически бележки. Първо, след прилагане на формулата целият израз трябва да бъде ограден в големи скоби, тъй като има константа пред оригиналния интеграл. Нека не го губим! Скобите могат да бъдат отворени на всяка следваща стъпка, аз го направих на последния ход. В първото "парче" ние показваме изключителна точност при заместването, както можете да видите, константата не работи и границите на интеграция са заменени в продукта. Това действие е отбелязано с квадратни скоби. Е, интеграла на второто "парче" от формулата ви е добре познат от тренировъчната задача ;-)

И най-важното - крайна концентрация на внимание!

3) Търсим третия коефициент на Фурие:

Получава се относителен на предходния интеграл, който също е интегрирани по части:

Този случай е малко по-сложен, ще коментирам следващите стъпки стъпка по стъпка:

(1) Целият израз е ограден в големи скоби.. Не исках да изглеждам като скука, те губят константата твърде често.

(2) В този случай веднага разширих тези големи скоби. Специално внимание посвещаваме на първото „парче“: постоянното пуши отстрани и не участва в подмяната на границите на интеграция (и) в продукта. С оглед на бъркотията на записа, отново е препоръчително да подчертаете това действие в квадратни скоби. С второто "парче" всичко е по-просто: тук фракцията се появи след отваряне на големи скоби, а константата - в резултат на интегриране на познатия интеграл ;-)

(3) В квадратни скоби извършваме трансформации, а в десния интеграл заместваме границите на интегриране.

(4) Изваждаме „мигача“ от квадратните скоби: , след което отваряме вътрешните скоби: .

(5) Съкращаваме 1 и -1 в скоби и правим последни опростявания.

Най-накрая намерих и трите коефициента на Фурие:

Заместете ги във формулата :

Не забравяйте да разделите наполовина. На последна стъпкаконстантата ("минус две"), независимо от "en", се изважда от сумата.

Така получихме разлагането на функцията в ред на Фурие на интервала:

Нека проучим въпроса за сходимостта на реда на Фурие. Ще обясня по-специално теорията Теорема на Дирихле, буквално "на пръсти", така че ако имате нужда от строга формулировка, моля, вижте учебника по математически анализ (например 2-ри том на Бохан; или 3-ти том на Фихтенхолц, но в него е по-трудно).

Във втората част на задачата е необходимо да се начертаят графика, графика на серия от суми и графика на частична сума.

Графиката на функцията е обичайната права линия в равнината, който е начертан с черна пунктирана линия:

Ние се занимаваме със сбора на серията. Както знаете, функционалните редове се събират във функции. В нашия случай конструираният ред на Фурие за всяка стойност на "x"се сближава към функцията, показана в червено. Тази функция подлежи на прекъсвания от 1-ви видв точки , но и определени в тях (червени точки на чертежа)

По този начин: . Лесно се вижда, че тя се различава значително от оригиналната функция, поради което в нотацията вместо знак за равенство се използва тилда.

Нека да проучим алгоритъм, чрез който е удобно да се конструира сумата на серия.

В централния интервал редът на Фурие се сближава към самата функция (централният червен сегмент съвпада с черната пунктирана линия на линейната функция).

Сега нека поговорим малко за природата на разглежданото тригонометрично разширение. Редица на Фурие включва само периодични функции (константа, синуси и косинуси), така че сумата от серията също е периодична функция.

Какво означава това в нашия конкретен пример? А това означава, че сумата от серията –задължително периодичнои червеният сегмент от интервала трябва да се повтаря безкрайно отляво и отдясно.

Мисля, че сега най-накрая стана ясно значението на фразата "период на разлагане". Просто казано, всеки път ситуацията се повтаря отново и отново.

На практика обикновено е достатъчно да се изобразят три периода на разлагане, както е направено на чертежа. Е, и още "пънове" от съседни периоди - за да стане ясно, че графиката продължава.

Особен интерес представляват точки на прекъсване от 1-ви род. В такива точки редът на Фурие се сближава до изолирани стойности, които се намират точно в средата на "скока" на прекъсването (червени точки на чертежа). Как да намерим ординатата на тези точки? Първо, нека намерим ординатата на "горния етаж": за това изчисляваме стойността на функцията в най-дясната точка на централния период на разширение: . За да изчислите ординатата на „долния етаж“, най-лесният начин е да вземете най-лявата стойност за същия период: . Ординатата на средната стойност е средноаритметичната стойност на сумата от "горната и долната част": . Хубав е фактът, че при изграждането на чертеж веднага ще видите дали средата е изчислена правилно или неправилно.

Нека да построим частична сума на редицата и в същото време да повторим значението на термина "конвергенция". Мотивът е известен от урока за сумата от числовата серия. Нека опишем подробно нашето богатство:

За да направите частичен сбор, трябва да запишете нула + още два члена от редицата. Това е,

На чертежа е показана графиката на функцията в зеленои, както можете да видите, тя „обвива“ цялата сума доста плътно. Ако разгледаме частична сума от пет термина от серията, тогава графиката на тази функция ще приближи червените линии още по-точно, ако има сто термина, тогава „зелената змия“ всъщност ще се слее напълно с червените сегменти, и т.н. Така редът на Фурие се сближава към сбора си.

Интересно е да се отбележи, че всяка частична сума е непрекъсната функция, но общата сума на серията все още е прекъсната.

На практика не е необичайно да се построи графика на частична сума. Как да го направя? В нашия случай е необходимо да се разгледа функцията на сегмента, да се изчислят нейните стойности в краищата на сегмента и в междинните точки (колкото повече точки смятате, толкова по-точна ще бъде графиката). След това трябва да маркирате тези точки на чертежа и внимателно да начертаете графика върху периода и след това да го „копирате“ в съседни интервали. Как иначе? В края на краищата, приближението също е периодична функция ... ... нейната графика по някакъв начин ми напомня за равномерен сърдечен ритъм на дисплея на медицинско устройство.

Разбира се, не е много удобно да се извърши конструкцията, тъй като трябва да бъдете изключително внимателни, като поддържате точност не по-малка от половин милиметър. Ще зарадвам обаче читателите, които са в противоречие с чертането - в "истинска" задача далеч не винаги е необходимо да се извърши чертеж, някъде в 50% от случаите е необходимо функцията да се разшири в ред на Фурие и това е то.

След като завършим чертежа, изпълняваме задачата:

Отговор:

При много задачи функцията страда разкъсване от 1-ви видточно в периода на разлагане:

Пример 3

Разгънете в ред на Фурие функцията, дадена на интервала. Начертайте графика на функцията и общата сума на редицата.

Предложената функция е дадена на части (и имайте предвид, само на сегмента)и издържат разкъсване от 1-ви видв точка . Възможно ли е да се изчислят коефициентите на Фурие? Няма проблем. Както лявата, така и дясната част на функцията са интегрируеми на своите интервали, така че интегралите във всяка от трите формули трябва да бъдат представени като сбор от два интеграла. Да видим например как се прави това за нулев коефициент:

Вторият интеграл се оказа равен на нула, което намали работата, но това не винаги е така.

Два други коефициента на Фурие се записват по подобен начин.

Как да покажа сумата на серия? На левия интервал рисуваме сегмент от права линия, а на интервала - сегмент от права линия (маркирайте участъка на оста с получер шрифт). Тоест, в интервала на разширение сумата от серията съвпада с функцията навсякъде, с изключение на три "лоши" точки. В точката на прекъсване на функцията редът на Фурие се сближава до изолирана стойност, която се намира точно в средата на „скока“ на прекъсването. Не е трудно да го видите устно: лява граница:, дясна граница: и, очевидно, ординатата на средната точка е 0,5.

Поради периодичността на сумата, картината трябва да бъде „умножена“ в съседни периоди, по-специално, изобразете едно и също нещо на интервалите и . В този случай в точките редът на Фурие се сближава с медианните стойности.

Всъщност тук няма нищо ново.

Опитайте се да разрешите този проблем сами. Приблизителна извадка за фин дизайн и рисуване в края на урока.

Развиване на функция в ред на Фурие върху произволен период

За произволен период на разширение, където "el" е всяко положително число, формулите за редицата на Фурие и коефициентите на Фурие се различават по малко сложния синус и косинус аргумент:

Ако , тогава получаваме формулите за интервала, с който сме започнали.

Алгоритъмът и принципите за решаване на проблема са напълно запазени, но техническата сложност на изчисленията се увеличава:

Пример 4

Разгънете функцията в ред на Фурие и начертайте сумата.

Решение: всъщност аналог на Пример № 3 с разкъсване от 1-ви видв точка . В този проблем периодът на разширяване, полупериодът. Функцията е дефинирана само на полуинтервала, но това не променя нещата - важно е и двете части на функцията да са интегрируеми.

Нека разширим функцията в ред на Фурие:

Тъй като функцията е прекъсната в началото, всеки коефициент на Фурие очевидно трябва да бъде записан като сбор от два интеграла:

1) Ще напиша първия интеграл възможно най-подробно:

2) Внимателно се вгледайте в повърхността на луната:

Втори интеграл вземете на части:

На какво трябва да обърнете специално внимание, след като отворим продължението на решението със звездичка?

Първо, ние не губим първия интеграл , където незабавно изпълняваме подвеждане под знака на диференциала. Второ, не забравяйте злополучната константа преди големите скоби и не се обърквайте от знаципри използване на формулата . Големите скоби, в края на краищата, е по-удобно да се отварят веднага в следващата стъпка.

Останалото е въпрос на техника, само недостатъчният опит в решаването на интеграли може да създаде трудности.

Да, не напразно изтъкнатите колеги на френския математик Фурие бяха възмутени - как се осмели да разложи функциите на тригонометрични серии?! =) Между другото, вероятно всеки се интересува от практическия смисъл на въпросната задача. Самият Фурие работи върху математически модел на топлопроводимост и впоследствие серията, наречена на негово име, започва да се използва за изследване на много периодични процеси, които очевидно са невидими за външния свят. Сега, между другото, се хванах на мисълта, че неслучайно сравних графиката на втория пример с периодичен сърдечен ритъм. Желаещите могат да се запознаят с практическото приложение Трансформации на Фуриеот източници на трети страни. ... Въпреки че е по-добре да не го правите - ще бъде запомнено като първа любов =)

3) Предвид многократно споменаваните слаби връзки, ние се занимаваме с третия коефициент:

Интегриране по части:

Заместваме намерените коефициенти на Фурие във формулата , като не забравяме да разделим нулевия коефициент наполовина:

Нека да начертаем сбора на серията. Нека накратко повторим процедурата: върху интервала изграждаме права, а върху интервала - права. С нулева стойност на "x" поставяме точка в средата на "скока" на празнината и "репликираме" графиката за съседни периоди:


В "кръстовищата" на периодите сумата също ще бъде равна на средните точки на "скока" на празнината.

Готов. Напомням ви, че самата функция е условно дефинирана само на полуинтервала и, очевидно, съвпада със сумата на серията на интервалите

Отговор:

Понякога частично дадена функция също е непрекъсната в периода на разширение. Най-простият пример: . Решение (Вижте Бохан том 2)е същото като в предишните два примера: въпреки непрекъснатост на функциятав точката всеки коефициент на Фурие се изразява като сбор от два интеграла.

В интервала на разпадане точки на прекъсване от 1-ви роди/или "съединителните" точки на графиката могат да бъдат повече (две, три и като цяло всякакви финалколичество). Ако една функция е интегрируема на всяка част, тогава тя също е разширима в ред на Фурие. Но от практически опит не помня такъв калай. Въпреки това има по-трудни задачи от току-що разгледаните, а в края на статията за всички има връзки към редове на Фурие с повишена сложност.

Междувременно нека се отпуснем, облегнати на столовете си и съзерцавайки безкрайните простори от звезди:

Пример 5

Разгънете функцията в ред на Фурие на интервала и начертайте сумата на реда.

В тази задача функцията непрекъснатовърху полуинтервала на разлагане, което опростява решението. Всичко е много подобно на Пример № 2. Няма бягство от космическия кораб - трябва да решите =) Приблизителна проба за дизайн в края на урока, графикът е приложен.

Разгъване в ред на Фурие на четни и нечетни функции

С четни и нечетни функции процесът на решаване на проблема е значително опростен. И ето защо. Нека се върнем към разширяването на функцията в ред на Фурие за период от "две пи" и произволна точка "два ейла" .

Да приемем, че нашата функция е четна. Общият член на серията, както можете да видите, съдържа четни косинуси и нечетни синуси. И ако разлагаме ЧЕТНА функция, тогава защо имаме нужда от нечетни синуси?! Нека нулираме ненужния коефициент: .

По този начин, четна функция се разширява в ред на Фурие само по косинуси:

Тъй като интеграли на четни функциинад сегмент на интеграция, симетричен по отношение на нула, може да бъде удвоен, тогава останалите коефициенти на Фурие също се опростяват.

За обхват:

За произволен интервал:

Примерите от учебници, които се намират в почти всеки учебник по смятане, включват разширения на четни функции . Освен това те многократно са се срещали в моята лична практика:

Пример 6

Дадена функция. Задължително:

1) разгънете функцията в ред на Фурие с период , където е произволно положително число;

2) запишете разширението на интервала, изградете функция и начертайте общата сума на серията.

Решение: в първия параграф се предлага да се реши проблема по общ начин и това е много удобно! Ще има нужда - просто заменете стойността си.

1) В този проблем периодът на разширяване, полупериодът. В хода на по-нататъшните действия, по-специално по време на интегрирането, "el" се счита за константа

Функцията е четна, което означава, че се разширява в ред на Фурие само по косинуси: .

Коефициентите на Фурие се търсят по формулите . Обърнете внимание на абсолютните им предимства. Първо, интеграцията се извършва върху положителния сегмент на разширението, което означава, че безопасно се отърваваме от модула , като се има предвид само "х" от два бр. И второ, интеграцията е значително опростена.

две:

Интегриране по части:

По този начин:
, докато константата , която не зависи от "en", се изважда от сумата.

Отговор:

2) Записваме разширението на интервала, за това заместваме желаната стойност на полупериода в общата формула:

Един от мощните инструменти за изучаване на проблемите на математическата физика е методът на интегралните трансформации. Нека функцията f(x) е дефинирана на интервала (a, 6), краен или безкраен. Интегралната трансформация на функцията f (x) е функцията, където K (x, w) е функция, фиксирана за дадена трансформация, наречена ядро ​​на трансформация (предполага се, че интегралът (*) съществува в своя правилен или неправилен смисъл ). §едно. Интеграл на Фурие Всяка функция f(x), която в сегмента [-f, I] отговаря на условията за разлагане в ред на Фурие, може да бъде представена в този сегмент чрез тригонометричен ред. : Преобразуване на Фурие Интеграл на Фурие Комплексна интегрална форма Преобразуване на Фурие Косинусови и синусови трансформации Амплитудни и фазови спектри Свойства на приложение Серията от дясната страна на уравнение (1) може да бъде записана в различна форма. За тази цел въвеждаме в него от формули (2) стойностите на коефициентите a» и op, изваждаме под знаците на интегралите cos ^ x и sin x (което е възможно, тъй като интеграционната променлива е m) O) и използвайте формулата за косинус на разликата. Ще имаме Ако функцията /(x) първоначално е била дефинирана на интервала на цифровата ос, по-голям от интервала [-1,1] (например, на цялата ос), тогава разширението (3) ще възпроизведе стойностите ​на тази функция само на интервала [-1, 1] и продължава по цялата реална ос като периодична функция с период 21 (фиг. 1). Следователно, ако функцията f(x) (най-общо казано, непериодична) е дефинирана върху цялата реална ос, във формула (3) може да се опита да премине към границата като I + oo. В този случай е естествено да се изисква да бъдат изпълнени следните условия: 1. f(x) удовлетворява условията за разлагане в ред на Фурие на всеки краен сегмент от оста xx\ 2. функцията f(x) е абсолютно интегрируема върху цялата реална ос (3) клони към нула при I -* + оо. Наистина, нека се опитаме да установим до какво ще стигне сумата от дясната страна на (3) в границата като I + oo. Нека приемем, че Тогава сумата от дясната страна на (3) ще приеме формата Поради абсолютната конвергенция на интеграла, тази сума за голям I се различава малко от израз, който прилича на интегралната сума за функцията на променлива £, съставена за интервала (0, + oo) на промяна. Следователно естествено е да се очаква, че за , сумата (5) преминава към интеграла С От друга страна, за фиксиран) следва от формулата (3 ), че получаваме и равенството Достатъчното условие за валидност на формула (7) се изразява със следната теорема. Теорема 1. Ако функцията f(x) е абсолютно интегрируема върху цялата реална ос и заедно с нейната производна има краен брой точки на прекъсване от първи вид на произволен сегмент [a, 6], то от ти вид на функция /(x), стойността на интеграла от дясната страна на (7) е равна на Формула (7) се нарича интегрална формула на Фурие, а интегралът от дясната й страна се нарича интеграл на Фурие. Ако използваме формулата за деня на косинуса на разликата, тогава формула (7) може да бъде записана като Функциите a(t), b(t) са аналози на съответните коефициенти на Фурие an и bn на 2n-периодична функция, но последните са дефинирани за дискретни стойности на n, докато a(0> HO са дефинирани за непрекъснати стойности на G(-oo, +oo). Комплексната форма на интеграла на Фурие Ако приемем f(x) за да бъде абсолютно интегрируема по цялата ос x, ние считаме интеграла, очевидно нечетна функция на Но тогава От друга страна, интегралът е четна функция на променливата, така че Следователно, интегралната формула на Фурие може да бъде написана както следва : Нека умножим равенството по въображаемата единица i и добавим към равенството (10). Това е сложната форма на интеграла на Фурие. Тук външното интегриране върху t се разбира в смисъла на главната стойност на Коши: § 2 Трансформация на Фурие Косинус и синус Преобразувания на Фурие Нека функ Правата f(x) е частично гладка на всеки краен сегмент от оста x и абсолютно интегрируема на цялата ос. Определение. Функцията, от която, по силата на формулата на Ойлер, ще имаме, се нарича преобразуване на Фурие на функцията f(r) (спектрална функция). Това е интегралното преобразуване на функцията / (r) в интервала (-oo, + oo) с ядро. Използвайки интегралната формула на Фурие, получаваме Това е така нареченото обратно преобразуване на Фурие, което дава прехода от F (t) към / (x). Понякога директно преобразуванеПреобразуването на Фурие се дава по следния начин: Тогава обратното преобразуване на Фурие се определя от формулата Преобразуването на Фурие на функцията /(x) също се дефинира както следва: Преобразуване на Фурие Интеграл на Фурие Комплексна форма на интегралното преобразуване на Фурие Косинус и синус на трансформиране Амплитудни и фазови спектри Свойства на приложението Тогава, от своя страна, С позицията коефициентът ^ е доста произволен: той може да влезе или във формула (1"), или във формула (2"). Пример 1. Намерете преобразуването на Фурие на функцията -4 Имаме Това равенство позволява диференциране по отношение на £ под знака на интеграла (интегралът, получен след диференциране, се събира равномерно, когато ( принадлежи на произволен краен сегмент): Интегрирайки по части, ще имаме получаваме откъде (C е константата на интегриране). Поставяйки £ = 0 в (4), намираме C = F(0). Поради (3) имаме Известно е, че По-специално, за) получаваме, че ) . Нека разгледаме функцията 4. За спектрите oyu на функцията F(t) получаваме Следователно (фиг. 2). Условието за абсолютна интегрируемост на функцията f(x) по цялата реална ос е много строго. Изключва, например, такива елементарни функции като f(x) = e1, за които преобразуването на Фурие (в разглежданата тук класическа форма) не съществува. Само тези функции имат преобразуване на Фурие, които клонят към нула достатъчно бързо за |x| -+ +oo (както в примери 1 и 2). 2.1. Косинус и синус трансформации на Фурие Използвайки формулата за косинус, разликата, пренаписваме интегралната формула на Фурие в следната форма: Нека f(x) е четна функция. Тогава, така че от равенство (5) имаме В случай на нечетно f(x), по подобен начин получаваме Ако f(x) е дадено само на (0, -foo), тогава формула (6) разширява f(x) към цялата ос Ox по четен начин, а формула (7) - по нечетен. (7) Определение. Функцията се нарича косинусово преобразуване на Фурие на функцията f(x). От (6) следва, че за четна функция f(x) Това означава, че f(x) от своя страна е косинусова трансформация за Fc(t). С други думи, функциите / и Fc са взаимно косинусови преобразувания. Определение. Функцията се нарича синусово преобразуване на Фурие на функцията f(x). От (7) получаваме това за странна функция f(x) т.е. f и Fs са взаимни синусови трансформации. Пример 3 (импулс под прав ъгъл). Нека f(t) е четна функция, дефинирана по следния начин: (фиг. 3). Нека използваме получения резултат за изчисляване на интеграла По силата на формула (9) имаме Фиг.3 0 0 В точката t = 0 функцията f(t) е непрекъсната и е равна на единица. Следователно от (12") получаваме 2.2. Амплитуден и фазов спектър на интеграла на Фурие. Нека функцията f(x), периодична с период 2m, бъде разширена в ред на Фурие. Това равенство може да бъде написано във формата, в която стигаме до понятията на амплитудния и фазовия спектър на периодична функция За непериодична функция f(x), дадена на (-oo, +oo), при определени условия се оказва възможно да се представи чрез интеграла на Фурие, който се разширява тази функция върху всички честоти (разширение в непрекъснатия честотен спектър Определение Спектралната функция или спектралната плътност на интеграла на Фурие е изразът (директното преобразуване на Фурие на функцията f се нарича амплитуден спектър, а функцията Ф ") \u003d -argSfc) е фазовият спектър на функцията / ("). Амплитуден спектър. A (£) служи като мярка за приноса на честотата t към функцията /(x) Пример 4. Намерете амплитудата и фазата спектри на функцията 4 Намерете спектралната функция От тук Графиките на тези функции са показани на фиг. 4. § 3. Свойства на трансформацията на Фурие 1. Линейност. Ако и G(0 са преобразуванията на Фурие на функциите f(x) и g(x), съответно, тогава за всяка константа a и p преобразуването на Фурие на функцията a f(x) + p g(x) ще бъде функцията a Използвайки свойството за линейност на интеграла, имаме. Така преобразуването на Фурие е линеен оператор. Означавайки го с ще напишем. Ако F(t) е преобразуването на Фурие на функция f(x), абсолютно интегрируема върху цялото реално ос, тогава F(t) е ограничена за всички. Нека функцията f(x) е абсолютно интегрируема по цялата ос - преобразуването на Фурие на функцията f (x). Тогава 3 "flts J. Нека f (x) е функция, чийто толеранс е преобразуването на Фурие, L е броят на свойствата Функцията fh (x) \u003d f (z-h) се нарича изместване на фундамента f (x). Използвайки дефиницията на преобразуването на Фурие , показват, че Проблем. Нека функция f(z) има преобразуване на Фурие F(0> h е реално число. Покажете, че 3. Преобразуване на Фурие и диференциация ooeresis. Нека абсолютно интегрируема функция f (x) има производна f " (x), което също е абсолютно интегрируемо по цялата ос О, значи /(n) клони към нула като |x| -» +oo. Ако приемем, че f "(x) е гладка функция, пишем Интегриране по части, имаме термина извън интеграла изчезва (тъй като и получаваме По този начин диференцирането на функцията / (x) съответства на умножението на нейната Фурие image ^ P /] по коефициента Ако функцията f (x) има гладки абсолютно интегрируеми производни до ред m включително и всички те, подобно на самата функция f(x), клонят към нула при интегриране по части правилният номер пъти, получаваме, че преобразуването на Фурие е много полезно именно защото замества операцията на диференциране с операцията на умножение по стойност и по този начин опростява проблема с интегрирането на някои видове диференциални уравнения. Тъй като преобразуването на Фурие на абсолютно интегрируемата функция f^k\x) е ограничена функция на (свойство 2), от връзка (2) получаваме следната оценка за: ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ФУРИЕ Интеграл на Фурие Комплексна форма на интегралното преобразуване на Фурие Косинус и синус на трансформацията Амплитудни и фазови спектри Свойства на приложението От тази оценка следва, че колкото повече функцията f(x) има абсолютно интегрируеми производни, толкова по-бързо нейното преобразуване на Фурие клони към нула при. Коментирайте. Условието е съвсем естествено, тъй като обичайната теория на интегралите на Фурие се занимава с процеси, които в един или друг смисъл имат начало и край, но не продължават безкрайно с приблизително еднаква интензивност. 4. Връзка между скоростта на затихване на функцията f(x) за |z| -» -f oo и плавността на неговата трансформация Fourm. Да приемем, че не само /(x), но и неговият продукт xf(x) е абсолютно интегрируема функция по цялата ос x. Тогава преобразуването на Фурие) ще бъде диференцируема функция. Наистина, формалното диференциране по отношение на параметъра £ на интегранта води до интеграл, който е абсолютно и равномерно сходящ по отношение на параметъра. Ако заедно с функцията f(x) функциите са абсолютно интегрируеми по цялата ос Ox, тогава процесът на диференциране може да продължи. Получаваме, че функцията има производни до порядък m включително, и по този начин, колкото по-бързо намалява функцията f(x), толкова по-гладка се получава функцията Теорема 2 (за свредлото). Нека са преобразуванията на Фурие на функциите /,(x) и f2(x), съответно. Тогава двойният интеграл от дясната страна се събира абсолютно. Нека поставим х. Тогава ще имаме или, променяйки реда на интегриране, Функцията се нарича конволюция на функции и се обозначава със символа Формула (1) вече може да бъде записана по следния начин: От тук е ясно, че преобразуването на Фурие на конволюцията на функциите f \ произведението на преобразуванията на Фурие на сгъваеми функции, Забележка. Лесно е да се установят следните свойства на конволюцията: 1) линейност: 2) комутативност: §4. Приложения на преобразуването на Фурие 1. Нека P(t) е линеен диференциален оператор от ред m с постоянни коефициенти. Използвайки формулата за преобразуване на Фурие на производните на функцията y(x), намираме " Разгледайте диференциалното уравнение, където P е диференциалният оператор, въведен по-горе. Нека приемем, че желаното решение y(x) има трансформацията на Фурие y (O. и функцията f(x) има трансформацията /(t). Прилагайки трансформацията на Фурие към уравнение (1), вместо диференциално алгебрично уравнение, получаваме алгебрично уравнение на оста по отношение на откъде, така че формално където символът означава обратното преобразуване на Фурие. Основното ограничение на приложимостта на този метод е свързано със следния факт. диференциално уравнениес постоянни коефициенти съдържа функции от формата eL*, eaz cos fix, eax sin px. Те не са абсолютно интегрируеми по оста -oo< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и

I. Трансформации на Фурие.

Определение 1.функция

Наречен Преобразуване на Фуриефункции .

Интегралът тук се разбира в смисъл на главна стойност

и се смята, че съществува.

Ако е абсолютно интегрируема функция върху ℝ, тогава, тъй като за , преобразуването на Фурие (1) има смисъл за всяка такава функция, а интегралът (1) се сближава абсолютно и равномерно по отношение на цялата линия ℝ.

Определение 2. Ако е преобразуването на Фурие на функцията
, след това свързаният интеграл

Разбирано в смисъла на основното значение, се нарича Интеграл на Фурие на функцията .

Пример 1Намерете преобразуването на Фурие на функция

Дадената функция е абсолютно интегрируема на , наистина,

Определение 3.Разбира се в смисъла на главната стойност на интегралите

Наречен съответно косинус-и функции на синусово преобразуване на Фурие .

Ако приемем , , , получаваме отчасти вече познатата ни връзка от реда на Фурие

Както се вижда от отношения (3), (4),

Формули (5), (6) показват, че трансформациите на Фурие са напълно дефинирани на цялата линия, ако са известни само за неотрицателни стойности на аргумента.

Пример 2Намерете косинус - и синус - преобразуване на Фурие на функция

Както е показано в пример 1, дадената функция е абсолютно интегрируема върху .

Нека намерим неговия косинус - трансформация на Фурие по формулата (3):

По същия начин не е трудно да се намери синус - преобразуването на Фурие на функцията f(х) по формула (4):

С помощта на примери 1 и 2 е лесно да се провери чрез директно заместване, че за f(х) съотношението (5) е изпълнено.

Ако функцията е реална, тогава формулите (5), (6) в този случай предполагат

Тъй като в този случай и са реални функции върху R, което е видно от техните определения (3), (4). Въпреки това, равенството (7) при условието също се получава директно от дефиницията (1) на преобразуването на Фурие, ако вземем предвид, че знакът за конюгиране може да бъде поставен под знака за интеграл. Последното наблюдение ни позволява да заключим, че всяка функция удовлетворява равенството

Също така е полезно да се отбележи, че ако е реална и четна функция, т.е. , тогава

ако е реална и нечетна функция, т.е. , тогава

И ако е чисто имагинерна функция, т.е. . , тогава

Обърнете внимание, че ако е функция с реална стойност, тогава интегралът на Фурие също може да бъде записан във формата

Където

Пример 3
(приемайки )

тъй като знаем стойността на интеграла на Дирихле

Функцията, разглеждана в примера, не е абсолютно интегрируема върху и нейното преобразуване на Фурие има прекъсвания. Фактът, че преобразуването на Фурие на абсолютно интегрируеми функции няма прекъсвания, се показва от следното

Лема 1. Ако функцията локално интегрируеми и абсолютно интегрируеми на , тогава

а) неговото преобразуване на Фурие определени за всяка стойност

б)

Припомнете си, че акое реална или комплексно стойностна функция, дефинирана върху отворено множество, след това функцията Наречен локално интегрируем на, Ако някой точкаима околност, в която функцията е интегрируема. По-специално, ако , условието за локална интегрируемост на функцията е очевидно еквивалентно на факта, че за всеки сегмент.

Пример 4Намерете преобразуването на Фурие на функцията :

Диференцирайки последния интеграл по отношение на параметъра и след това интегрирайки по части, намираме това

или

означава, , където е константа, която с помощта на интеграла на Ойлер-Поасон намираме от връзката

И така, открихме, че и в същото време показахме, че и .

Определение 4.Казват, че функцията , дефинирана в пунктиран квартал на точката, удовлетворява условията на Дини в точката, ако

а) в точката съществуват и двете едностранни граници

б) двата интеграла

съгласен съм абсолютно.

Абсолютна сходимост на интеграла означава абсолютната конвергенция на интеграла поне за някаква стойност на .

Достатъчни условия за представителност на функция чрез интеграл на Фурие.

Теорема 1.Ако е абсолютно интегрируем на и локално частично непрекъсната функция удовлетворява в точката Условия на Дини, тогава неговият интеграл на Фурие се събира в тази точка и към стойността

равна на половината от сумата на лявата и дясната граница на стойностите на функцията в тази точка.

Следствие 1.Ако функцията непрекъснато, има във всяка точка крайни едностранни производни и абсолютно интегрируеми върху , тогава се появява като със своя интеграл на Фурие

където Преобразуване на Фурие на функция .

Представянето на функция чрез интеграла на Фурие може да бъде пренаписано като:

Коментирайте.Условията върху функцията, формулирани в теорема 1 и следствие 1, са достатъчни, но не са необходими за възможността за такова представяне.

Пример 5Представете функцията като интеграл на Фурие, ако

Тази функция е нечетна и непрекъсната на ℝ, с изключение на точките , , .

Поради странността и реалността на функцията имаме:

и от равенствата (5) и (10) следва, че

В точките на непрекъснатост на функцията имаме:

Но функцията е странна, така че

тъй като интегралът се изчислява в смисъла на главната стойност.

Функцията е четна, така че

ако , . За , равенството

Ако приемем, оттук намираме

Ако поставим последния израз за , тогава

Ако приемем тук, намираме

Ако функция с реална стойност е частично непрекъсната във всеки сегмент от реалната линия, абсолютно интегрируема върху и има крайни едностранни производни във всяка точка, тогава в точките на непрекъснатост на функцията тя се представя като интеграл на Фурие

и в точките на прекъсване на функцията лявата страна на равенството (1) трябва да бъде заменена с

Ако непрекъсната абсолютно интегрируема функция във всяка точка има крайни едностранни производни във всяка точка, тогава в случая, когато тази функция е четна, равенството

а в случая, когато е нечетна функция, равенството

Пример 5'. Представете функцията като интеграл на Фурие, ако:

Тъй като е непрекъсната четна функция, тогава, използвайки формули (13.2), (13.2’), имаме

Със символа означаваме интеграла, разбиран в смисъла на главната стойност

Следствие 2.За всяка функция удовлетворяващи условията на следствие 1, има всички трансформации , , , и има равенства

Имайки предвид тези отношения, често се нарича трансформация (14). обратно преобразуване на Фуриеи вместо това пише , а самите равенства (15) се извикват Формула за преобразуване на Фурие.

Пример 6Нека и

Имайте предвид, че ако , след това за всяка функция

Нека вземем функция сега. Тогава

Ако вземем функция, която е нечетно продължение на функцията , тогава по цялата числена ос

Използвайки теорема 1, получаваме това

Всички интеграли тук се разбират в смисъл на главна стойност,

Разделяйки реалните и имагинерните части в последните два интеграла, намираме интегралите на Лаплас

Определение . функция

ще се нарича нормализирано преобразуване на Фурие.

Определение . Ако е нормализираното преобразуване на Фурие на функцията, тогава свързаният интеграл

Ще наричаме нормализирания интеграл на Фурие на функцията .

Ще разгледаме нормализираното преобразуване на Фурие (16).

За удобство въвеждаме следната нотация:

(тези. ).

В сравнение с предишната нотация, това е просто пренормиране: Следователно, по-специално, отношенията (15) ни позволяват да заключим, че

или по-кратко,

Определение 5.Операторът ще се нарича нормализирано преобразуване на Фурие, а операторът ще се нарича обратно нормализирано преобразуване на Фурие.

В лема 1 отбелязахме, че преобразуването на Фурие на всяка абсолютно интегрируема функция върху функция клони към нула в безкрайност. Следващите две твърдения заявяват, че подобно на коефициентите на Фурие, трансформацията на Фурие клони към нула, колкото по-бързо е, колкото по-гладка е функцията, от която е взета (в първото твърдение); реципрочен факт с това ще бъде, че колкото по-бързо функцията, от която е взето преобразуването на Фурие, клони към нула, толкова по-гладко е нейното преобразуване на Фурие (второ твърдение).

Твърдение 1(за връзката между гладкостта на функция и скоростта на намаляване на нейното преобразуване на Фурие). Ако и всички функции абсолютно интегрируеми на , тогава:

а) за всякакви

б)

Твърдение 2(за връзката между скоростта на затихване на функция и гладкостта на нейното преобразуване на Фурие). Ако локално интегрируема функция : е такава, че функцията абсолютно интегрируемиа , тогава:

а) Преобразуване на Фурие на функция принадлежи към класа

б) има неравенство

Представяме основните хардуерни свойства на преобразуването на Фурие.

Лема 2.Нека има преобразуване на Фурие за функциите и (съответно обратното преобразуване на Фурие), тогава каквито и да са числата и има преобразуване на Фурие (съответно обратното преобразуване на Фурие) и за функцията , и

(съответно).

Това свойство се нарича линейност на преобразуването на Фурие (съответно обратното преобразуване на Фурие).

Последица. .

Лема 3.Преобразуването на Фурие, както и обратното преобразуване, е трансформация едно към едно върху множеството от непрекъснати абсолютно интегрируеми функции по цялата ос, имащи едностранни производни във всяка точка.

Това означава, че if и са две функции от посочения тип и if (съответно, ако ), след това по цялата ос.

От твърдението на лема 1 можем да получим следната лема.

Лема 4.Ако последователността от абсолютно интегрируеми функции и абсолютно интегрируема функция са такива, че

тогава последователността равномерно по цялата ос се събира към функцията .

Нека сега изучим преобразуването на Фурие на навивки на две функции. За удобство променяме дефиницията на конволюцията, като добавяме допълнителен фактор

Теорема 2.Тогава нека функциите и са ограничени, непрекъснати и абсолютно интегрируеми на реалната ос

тези. преобразуването на Фурие на конволюцията на две функции е равно на произведението на преобразуванията на Фурие на тези функции.

Нека съставим обобщена таблица № 1 на свойствата на нормализираното преобразуване на Фурие, полезни при решаването на задачите по-долу.

Маса 1

функция	Нормализирано преобразуване на Фурие

Използвайки свойства 1-4 и 6, получаваме

Пример 7Намерете нормализираното преобразуване на Фурие на функция

Пример 4 показа това

сякаш

Според свойство 3 имаме:

По същия начин можете да съставите таблица № 2 за нормализираната обратна трансформация на Фурие:

Таблица номер 2

функция	Нормализирано обратно преобразуване на Фурие

Както преди, използвайки свойства 1-4 и 6, получаваме това

Пример 8Намерете нормализираното обратно преобразуване на Фурие на функция

Както следва от пример 6

Когато имаме:

Представяне на функцията във формата

използвайте свойство 6, когато

Варианти на задачи за разчетни и графични работи

1. Намерете синус - преобразуване на Фурие на функция

2. Намерете синус - преобразуване на Фурие на функция

3. Намиране на косинус - преобразуване на Фурие на функция

4. Намиране на косинус - преобразуване на Фурие на функция

5. Намерете синус - преобразуване на Фурие на функция

6. Намиране на косинус - преобразуване на Фурие на функция

7. Намерете синус - преобразуването на Фурие на функцията

8. Намиране на косинус - преобразуване на Фурие на функция

9. Намиране на косинус - преобразуване на Фурие на функция

10. Намерете синус - преобразуване на Фурие на функция

11. Намерете синус - преобразуване на Фурие на функция

12. Намерете трансформация на синус - функция

13. Намерете трансформация на синус - функция

14. Намиране на косинус - трансформация на функция

15. Намиране на косинус - трансформация на функция

16. Намерете преобразуването на Фурие на функция, ако:

17. Намерете преобразуването на Фурие на функция, ако:

18. Намерете преобразуването на Фурие на функция, ако:

19. Намерете преобразуването на Фурие на функция, ако:

20. Намерете преобразуването на Фурие на функция, ако:

21. Намерете преобразуването на Фурие на функция, ако:

22. Намерете нормализираното обратно преобразуване на Фурие на функция

използвайки формулата

24. Намерете нормализираното обратно преобразуване на Фурие на функция

използвайки формулата

26. Намерете нормализираното обратно преобразуване на Фурие на функция

използвайки формулата

28. Намерете нормализираното обратно преобразуване на Фурие на функция

използвайки формулата

30. Намерете нормализираното обратно преобразуване на Фурие на функция

използвайки формулата

23. Намерете нормализираното обратно преобразуване на Фурие на функция

използвайки формулата

25. Намерете нормализираното обратно преобразуване на Фурие на функция

използвайки формулата

27. Намерете нормализираното обратно преобразуване на Фурие на функция

използвайки формулата

29. Намерете нормализираното обратно преобразуване на Фурие на функция

използвайки формулата

31. Намерете нормализираното обратно преобразуване на Фурие на функция

използвайки формулата

32. Представете функция като интеграл на Фурие

33. Представете функция като интеграл на Фурие

34. Представете функция като интеграл на Фурие

35. Представете функция като интеграл на Фурие

36. Представете функция като интеграл на Фурие

37. Представете функция като интеграл на Фурие

38. Представете функция като интеграл на Фурие

39. Представете функция като интеграл на Фурие

40. Представете функция като интеграл на Фурие

41. Представете функция като интеграл на Фурие

42. Представете функция като интеграл на Фурие

43. Представете функцията като интеграл на Фурие, като я разширите по нечетен начин до интервала, ако:

44. Представете функцията като интеграл на Фурие, като я продължите по нечетен начин до интервала if.