Ръководство за диференциалните уравнения на Камке. Наръчник по обикновени диференциални уравнения - Е Камке

пер. с него. - 4-то издание, Рев. - М.: Наука: Гл. изд. физика и математика лит., 1971. - 576s.

ОТ ПРЕДГОВОРИЯ КЪМ ЧЕТВЪРТОТО ИЗДАНИЕ

„Наръчник на обикновения диференциални уравнения” на известния немски математик Ерих Камке (1890-1961) е уникално издание по обхват на материала и заема достойно място в световната математическа справочна литература.

Първото издание на руския превод на тази книга се появява през 1951 г. Последните две десетилетия бяха период на бързо развитие на изчислителната математика и компютърните технологии. Съвременните компютърни инструменти позволяват бързо и с голяма точност да се решават различни проблеми, които преди са изглеждали твърде тромави. По-специално, числените методи се използват широко в проблеми, свързани с обикновени диференциални уравнения. Независимо от това, възможността да се запише общото решение на едно или друго диференциално уравнение или система в затворена форма в много случаи има значителни предимства. Затова обширният справочен материал, който е събран в третата част на книгата на Е. Камке - около 1650 уравнения с решения - остава от голямо значение и сега.

В допълнение към посочения справочен материал книгата на Е. Камке съдържа представяне (макар и без доказателства) на основните понятия и най-важните резултати, свързани с обикновените диференциални уравнения. Той също така обхваща редица такива въпроси, които обикновено не са включени в учебниците по диференциални уравнения (например теорията на проблемите с гранични стойности и проблемите със собствените стойности).

Книгата на Е. Камке съдържа много факти и резултати, полезни в ежедневната работа, оказа се ценна и необходима за широк кръг от учени и специалисти в приложните области, за инженери и студенти. Три предишни издания на превода на този наръчник на руски бяха приветствани от читателите и отдавна разпродадени.

• Съдържание
• Предговор към четвъртото издание 11
• Някои обозначения 13
• Приети съкращения в библиографските указания 13
• ЧАСТ ПЪРВА
• ОБЩИ МЕТОДИ ЗА РЕШАВАНЕ Глава I. Диференциални уравнения от първи ред
• § 1. Диференциални уравнения, решени спрямо 19
• производна: при" =f(x,y); основни понятия
• 1.1. Означение и геометричен смисъл на диференциала 19
• уравнения
• 1.2. Наличие и уникалност на решение 20
• § 2. Диференциални уравнения, решени спрямо 21
• производна: при" =f(x,y); методи на решение
• 2.1. Метод на полилинията 21
• 2.2. Метод на последователни приближения на Пикард-Линдельоф 23
• 2.3. Приложение на степенна редица 24
• 2.4. По-общ случай на разширяване на серията 25
• 2.5. Разширение в серия в параметър 27
• 2.6. Връзка с частни диференциални уравнения 27
• 2.7. Теореми за оценка 28
• 2.8. Поведение на решения за големи стойности х 30
• § 3. Диференциални уравнения, нерешени спрямо 32
• производна: F(y", y, x)=0
• 3.1. Относно решенията и методите за решаване 32
• 3.2. Правилни и единични линейни елементи 33
• § 4. Решаване на частни форми на диференциални уравнения от първите 34
• поръчка
• 4.1. Диференциални уравнения с разделими променливи 35
• 4.2. y"=f(ax+by+c) 35
• 4.3. Линейни диференциални уравнения 35.
• 4.4. Асимптотично поведение на решенията
• 4.5. Уравнение на Бернули y"+f(x)y+g(x)y a =0 38
• 4.6. Хомогенни диференциални уравнения и техните редукции 38
• 4.7. Обобщени хомогенни уравнения 40
• 4.8. Специално уравнение на Рикати: y "+ ay 2 \u003d bx a 40
• 4.9. Общо уравнение на Рикати: y"=f(x)y 2 +g(x)y+h(x) 41
• 4.10. Уравнение на Абел от първи род 44
• 4.11. Уравнение на Абел от втори род 47
• 4.12. Уравнение в общите диференциали 49
• 4.13. Интегриращ фактор 49
• 4.14. F(y",y,x)=0, "интегриране чрез диференциране" 50
• 4.15. (а) y=G(x, y"); (б) x=G(y, y") 50 4.16. (а) G(y ",x)=0; (b) G(y y)=Q 51
• 4L7. (a) y"=g(y); (6) x=g(y") 51
• 4.18. Уравнения на Клеро 52
• 4.19. Уравнение на Лагранж-Д'Аламбер 52
• 4.20. F(x, xy"-y, y")=0. Трансформация на Лежандро 53 Глава II. Произволни системи диференциални уравнения,
• разрешени по отношение на дериватите
• § 5. Основни понятия 54
• 5.1. Означения и геометричен смисъл на системата от диференциални уравнения
• 5.2. Наличие и уникалност на решение 54
• 5.3. Теорема за съществуване на Каратеодори 5 5
• 5.4. Зависимост на решението от началните условия и от параметрите 56
• 5.5. Проблеми с устойчивостта 57
• § 6. Методи за решаване 59
• 6.1. Метод на полилинията 59
• 6.2. Метод на последователни приближения на Пикард-Линдельоф 59
• 6.3. Приложение на степенна серия 60
• 6.4. Връзка с частни диференциални уравнения 61
• 6.5. Редукция на системата с помощта на известна връзка между решенията
• 6.6. Редукция на системата чрез диференциране и елиминиране 62
• 6.7. Теореми за оценка 62
• § 7. Автономни системи 63
• 7.1. Дефиниция и геометричен смисъл на автономна система 64
• 7.2. За поведението на интегрални криви в околност на особена точка в случая n = 2
• 7.3. Критерии за определяне вида на особена точка 66
• Глава III. Системи линейни диференциални уравнения
• § 8. Произволни линейни системи 70
• 8.1. Общи бележки 70
• 8.2. Теореми за съществуване и уникалност. Методи за решаване 70
• 8.3. Свеждане на нехомогенна система до хомогенна 71
• 8.4. Теореми за оценка 71
• § 9. Еднородни линейни системи 72
• 9.1. Свойства на разтвора. Основни системи за вземане на решения 72
• 9.2. Теореми за съществуване и методи за решаване 74
• 9.3. Свеждане на системата до система с по-малък брой уравнения 75
• 9.4. Спрегната система от диференциални уравнения 76
• 9.5. Самосъгласувани системи диференциални уравнения, 76
• 9.6. Конюгирани системи от диференциални форми; Тъждество на Лагранж, формула на Грийн
• 9.7. Фундаментални решения 78
• §десет. Еднородни линейни системи с особени точки 79
• 10.1. Класификация на особени точки 79
• 10.2. Слаби особени точки 80
• 10.3. Силно особени точки 82 §11. Поведение на решения за големи стойности х 83
• §12. Линейни системи, в зависимост от параметър 84
• §13. Линейни системи с постоянни коефициенти 86
• 13.1. Хомогенни системи 83
• 13.2. По-общи системи 87 Глава IV. Произволни диференциални уравнения n-ти ред
• § 14. Уравнения, разрешени по отношение на най-високата производна: 89
• yin)=f(x,y,y...,y(n-) )
• § петнадесет. Уравнения, които не са разрешени по отношение на най-високата производна: 90
• F(x,y,y...,y(n))=0
• 15.1. Уравнения в общите диференциали 90
• 15.2. Обобщени хомогенни уравнения 90
• 15.3. Уравнения, които не съдържат изрично x или при 91 Глава V. Линейни диференциални уравнения n-ти ред,
• §16. Произволни линейни диференциални уравнения n-ти ред 92
• 16.1. Общи бележки 92
• 16.2. Теореми за съществуване и уникалност. Методи за решаване 92
• 16.3. Елиминиране на производното (n-1)-ти ред 94
• 16.4. Свеждане на нехомогенно диференциално уравнение до хомогенно
• 16.5. Поведение на решения за големи стойности х 94
• §17. Хомогенни линейни диференциални уравнения n-ти ред 95
• 17.1. Свойства на решенията и теореми за съществуване 95
• 17.2. Намаляване на реда на диференциално уравнение 96
• 17.3. 0 нула решения 97
• 17.4. Фундаментални решения 97
• 17.5. Конюгирани, самосвързани и антисамосвързани диференциални форми
• 17.6. идентичност на Лагранж; Формули на Дирихле и Грийн 99
• 17.7. За решения на спрегнати уравнения и уравнения в тотални диференциали
• §осемнадесет. Хомогенни линейни диференциални уравнения с сингулярно 101
• точки
• 18.1. Класификация на особени точки 101
• 18.2. Случаят, когато точката x=E, редовно или слабо сингулярно 104
• 18.3. Случаят, когато точката x=inf е правилна или слабо сингулярна 108
• 18.4. Случаят, когато точката x=% силно специален 107
• 18.5. Случаят, когато точката x=inf е силно сингулярна 108
• 18.6. Диференциални уравнения с полиномиални коефициенти
• 18.7. Диференциални уравнения с периодични коефициенти
• 18.8. Диференциални уравнения с двойно периодични коефициенти
• 18.9. Случай на реална променлива 112
• §19. Решаване на линейни диференциални уравнения с помощта на 113
• определени интеграли 19.1. Общ принцип 113
• 19.2. Преобразуване на Лаплас 116
• 19.3 Специална трансформация на Лаплас 119
• 19.4. Трансформация на Мелин 120
• 19.5. Трансформация на Ойлер 121
• 19.6. Решение с помощта на двойни интеграли 123
• § 20. Поведение на разтворите при големи стойности х 124
• 20.1. Коефициенти на полином 124
• 20.2. По-общи коефициенти 125
• 20.3. Непрекъснати коефициенти 125
• 20.4. Теореми за трептене 126
• §21. Линейни диференциални уравнения n-ти ред в зависимост от 127
• параметър
• § 22. Някои специални видове линейни диференциали 129
• уравнения n-ти ред
• 22.1. Хомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти
• 22.2. Нехомогенни диференциални уравнения с константи 130
• 22.3. Уравнения на Ойлер 132
• 22.4. Уравнение на Лаплас 132
• 22.5. Уравнения с коефициенти на полином 133
• 22.6. Уравнение на Pochhammer 134
• Глава VI. Диференциални уравнения от втори ред
• § 23. Нелинейни диференциални уравнения от втори ред 139
• 23.1. Методи за решаване на определени видове нелинейни уравнения 139
• 23.2. Някои допълнителни забележки 140
• 23.3. Теореми за гранични стойности 141
• 23.4. Теорема за трептене 142
• § 24. Произволни линейни диференциални уравнения на втория 142
• поръчка
• 24.1. Общи бележки 142
• 24.2. Някои методи за решаване на 143
• 24.3. Теореми за оценка 144
• § 25. Хомогенни линейни диференциални уравнения от втори ред 145
• 25.1. Редукция на линейни диференциални уравнения от втори ред
• 25.2. Допълнителни бележки относно редуцирането на линейни уравнения от втори ред
• 25.3. Разгъване на решението в продължителна дроб 149
• 25.4. Общи забележки относно разтвора нули 150
• 25.5. Нули от решения на краен интервал 151
• 25.6. Поведението на решенията за x->inf 153
• 25.7. Линейни диференциални уравнения от втори ред с особени точки
• 25.8. Приблизителни решения. Асимптотични решения реална променлива
• 25.9. Асимптотични решения; комплексна променлива 161 25.10. WBC метод 162 Глава VII. Линейни диференциални уравнения на трето и четвърто
• поръчки
• § 26. Линейни диференциални уравнения от трети ред 163
• § 27. Линейни диференциални уравнения от четвърти ред 164 Глава VIII. Приближени методи за диференциално интегриране
• уравнения
• § 28. Приближено интегриране на диференциални уравнения 165
• първа поръчка
• 28.1. Методът на прекъснатите линии 165.
• 28.2. Допълнителен метод на половин стъпка 166
• 28.3. Метод на Рунге-Хайн-Кута 167
• 28.4. Комбиниране на интерполация и последователни приближения 168
• 28.5. Метод на Адамс 170
• 28.6. Допълнения към метода на Адамс 172
• § 29. Приближено интегриране на диференциални уравнения 174
• по-високи поръчки
• 29.1. Методи за приближено интегриране на системи от диференциални уравнения от първи ред
• 29.2. Методът на прекъснатата линия за диференциални уравнения от втори ред 176
• 29.3. Метод на Рунге-Кута за диференциални уравнения от втори ред
• 29.4. Метод на Адамс - Щормер за уравнението y"=f(x,y,y) 177
• 29.5. Метод на Адамс - Щормер за уравнението y"=f(x,y) 178
• 29.6. Методът на Блес за уравнение y"=f(x,y,y) 179
• ЧАСТ ДВЕ
• Проблеми с гранични стойности и проблеми със собствените стойности Глава I. Проблеми с гранични стойности и проблеми със собствените стойности за линейни
• диференциални уравнения n-ти ред
• § едно. Обща теориягранични проблеми 182
• 1.1. Нотиране и предварителни бележки 182
• 1.2. Условия за разрешимост на гранична задача 184
• 1.3. Проблем със спрегнати гранични стойности 185
• 1.4. Самосъгласувани гранични задачи 187
• 1.5. Функция на Грийн 188
• 1.6. Решаване на нехомогенна гранична задача с помощта на функцията на Грийн 190
• 1.7. Обобщена функция на Грийн 190
• § 2. Проблеми с гранични стойности и проблеми със собствените стойности за уравнение 193
• £w(y) + xx)y = 1(x)
• 2.1. Собствени стойности и собствени функции; характерна детерминанта ох)
• 2.2. Присъединен проблем със собствените стойности и резолвента на Грийн; пълна биортогонална система
• 2.3. Нормализирани гранични условия; редовни проблеми със собствените стойности 2.4. Собствени стойности за редовни и нередовни проблеми със собствените стойности
• 2.5. Разширяване на дадена функция в собствени функции на редовни и нерегулярни проблеми със собствените стойности
• 2.6. Самосъгласувани нормални проблеми със собствените стойности 200
• 2.7. Относно интегралните уравнения от тип Фредхолм 204
• 2.8. Връзка между гранични задачи и интегрални уравнения от типа на Фредхолм
• 2.9. Връзка между задачи за собствени стойности и интегрални уравнения от тип Фредхолм
• 2.10. За интегрални уравнения от тип Волтера 211
• 2.11. Връзка между гранични задачи и интегрални уравнения от типа на Волтера
• 2.12. Връзка между задачи за собствени стойности и интегрални уравнения от типа на Волтера
• 2.13. Връзка между проблемите със собствените стойности и вариационното смятане
• 2.14. Приложение към разширение на собствената функция 218
• 2.15. Допълнителни забележки 219
• § 3. Приблизителни методи за решаване на проблеми за собствените стойности и 222-
• гранични проблеми
• 3.1. Приблизителен метод Галеркин-Риц 222
• 3.2. Приблизителен метод на Грамел 224
• 3.3. Решаване на нееднородна гранична задача по метода на Галеркин-Риц
• 3.4. Метод на последователните приближения 226
• 3.5. Приближено решение на гранични задачи и задачи на собствените стойности по метода на крайните разлики
• 3.6. Метод на смущения 230
• 3.7. Оценки на собствената стойност 233
• 3.8. Преглед на начините за изчисляване на собствени стойности и 236 собствени функции
• § 4. Самосъпряжени задачи за собствени стойности за уравнение 238
• F(y)=W(y)
• 4.1. Постановка на проблем 238
• 4.2. Общи предварителни бележки 239
• 4.3. Нормални проблеми със собствените стойности 240
• 4.4. Проблеми с положително определени собствени стойности 241
• 4.5. Разширение на собствената функция 244
• § 5. Гранични и допълнителни условия в по-общ вид 247 Глава II. Проблеми с гранични стойности и проблеми със собствените стойности за системи
• линейни диференциални уравнения
• § 6. Гранични задачи и задачи за собствени стойности за системи 249
• линейни диференциални уравнения
• 6.1. Условия за нотация и разрешимост 249
• 6.2. Проблем със спрегнати гранични стойности 250
• 6.3. Матрицата на Грийн 252 6.4. Проблеми със собствените стойности 252-
• 6.5. Самосъгласувани проблеми със собствените стойности 253 Глава III. Проблеми с гранични стойности и проблеми със собствени стойности за уравнения
• по-ниски поръчки
• § 7. Задачи от първи ред 256
• 7.1. Линейни задачи 256
• 7.2. Нелинейни задачи 257
• § 8. Линейни гранични задачи от втори ред 257
• 8.1. Общи бележки 257
• 8.2. Функция на Грийн 258
• 8.3. Оценки за решения на гранични задачи от първи вид 259
• 8.4. Гранични условия за |х|->inf 259
• 8.5. Намиране на периодични решения 260
• 8.6. Един проблем с гранични стойности, свързан с изследването на флуиден поток 260
• § 9. Линейни задачи за собствени стойности от втори ред 261
• 9.1. Общи бележки 261
• 9.2 Самосъгласувани проблеми със собствените стойности 263
• 9.3. y"=F(x,)Cjz, z"=-G(x,h)y и граничните условия са самосъпряжени 266
• 9.4. Проблеми със собствените стойности и вариационният принцип 269
• 9.5. Относно практическото изчисляване на собствени стойности и собствени функции
• 9.6. Проблеми със собствените стойности, не непременно самосвързани 271
• 9.7. Допълнителни условия от по-обща форма 273
• 9.8. Проблеми със собствените стойности, съдържащи множество параметри
• 9.9. Диференциални уравнения със сингулярности в гранични точки 276
• 9.10. Проблеми със собствените стойности на безкраен интервал 277
• §десет. Проблеми с нелинейни гранични стойности и проблеми със собствените стойности 278
• втора поръчка
• 10.1. Проблеми с гранични стойности за краен интервал 278
• 10.2. Гранични задачи за полуограничен интервал 281
• 10.3. Проблеми със собствените стойности 282
• §единадесет. Проблеми с гранични стойности и проблеми със собствените стойности на Трета
• осми ред
• 11.1. Линейни проблеми със собствените стойности от трети ред 283
• 11.2. Линейни проблеми със собствените стойности от четвърти ред 284
• 11.3. Линейни задачи за система от две диференциални уравнения от втори ред
• 11.4. Нелинейни гранични задачи от четвърти ред 287
• 11.5. Проблеми със собствените стойности от по-висок порядък 288
• ЧАСТ ТРЕТА
• ОТДЕЛНИ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ
• Предварителни бележки 290 Глава I. Диференциални уравнения от първи ред
• 1-367. Диференциални уравнения от първа степен по отношение на U 294
• 368-517. Диференциални уравнения от втора степен по отношение на 334 518-544. Диференциални уравнения от трета степен по отношение на 354
• 545-576. Диференциални уравнения в по-общ вид 358Глава II. Линейни диференциални уравнения от втори ред
• 1-90. ай" + ... 363
• 91-145. (брадва + юй " + ... 385
• 146-221.x2 y" + ... 396
• 222-250. (x 2 ± a 2) y "+ ... 410
• 251-303. (ах 2 + bx + c) y " + ... 419
• 304-341. (ах 3 +...)y" + ... 435
• 342-396. (ах 4 +...)y" + ... 442
• 397-410. (О" +...)y" + ... 449
• 411-445. Други диференциални уравнения 454
• Ж лава III. Линейни диференциални уравнения от трети ред Глава IV. Линейни диференциални уравнения от четвърти ред Глава V. Пети и по-високи линейни диференциални уравнения
• Заповеди Глава VI. Нелинейни диференциални уравнения от втори ред
• 1-72. ay"=F(x,y,y) 485
• 73-103./(x);y"=F(x,;y,;y") 497
• 104- 187. / (x) xy "CR (x,; y,; y") 503
• 188-225. f(x,y)y"=F(x,y,y)) 514
• 226-249. Други диференциални уравнения 520Глава VII. Нелинейни диференциални уравнения на трети и повече
• Високи заповедиГлава VIII. Системи линейни диференциални уравнения
• Предварителни бележки 530
• 1-18. Системи от две диференциални уравнения от първи ред с 530
• постоянни коефициенти 19-25.
• Системи от две диференциални уравнения от първи ред с 534
• променливи коефициенти
• 26-43. Системи от две диференциални уравнения от порядък над 535
• първи
• 44-57. Системи от повече от две диференциални уравнения 538Глава IX. Системи нелинейни диференциални уравнения
• 1-17. Системи от две диференциални уравнения 541
• 18-29. Системи от повече от две диференциални уравнения 544
• ДОПЪЛНЕНИЯ
• За решаването на линейни хомогенни уравнения от втори ред (I. Zbornik) 547
• Допълнения към книгата на Е. Камке (Д. Митринович) 556
• Нов начин за класифициране на линейни диференциални уравнения и 568
• конструиране на тяхното общо решение с помощта на рекурсивни формули
• (И. Зборник)
• Индекс 571

Предговор към четвъртото издание
Някои обозначения
Допустими съкращения в библиографските указания
ЧАСТ ПЪРВА
ОБЩИ МЕТОДИ ЗА РЕШЕНИЕ
§ 1. Диференциални уравнения, решени спрямо производната: (формула) основни понятия
1.1. Означение и геометричен смисъл на диференциалното уравнение
1.2. Наличие и уникалност на решение
§ 2. Диференциални уравнения, решени спрямо производната: (формула); методи на решение
2.1. Полилинеен метод
2.2. Метод на последователни приближения на Пикард-Линдельоф
2.3. Приложение на степенните редове
2.4. По-общ случай на разширяване на серията
2.5. Разширяване на серията параметри
2.6. Връзка с частични диференциални уравнения
2.7. Теореми за оценка
2.8. Поведение на решенията за големи стойности (?)
§ 3. Диференциални уравнения, които не са разрешени по отношение на производната: (формула)
3.1. Относно решенията и методите за решаване
3.2. Редовни и специални линейни елементи
§ 4. Решаване на отделни видове диференциални уравнения от първи ред
4.1. Диференциални уравнения с разделими променливи
4.2. (формула)
4.3. Линейни диференциални уравнения
4.4. Асимптотично поведение на решения на линейни диференциални уравнения
4.5. Уравнение на Беднили (формула)
4.6. Хомогенни диференциални уравнения и техните редукции
4.7. Обобщени хомогенни уравнения
4.8. Специално уравнение на Рикати: (формула)
4.9. Общо уравнение на Рикати: (формула)
4.10. Уравнение на Абел от първи род
4.11. Уравнение на Абел от втори род
4.12. Уравнение в общите диференциали
4.13. Интегриращ фактор
4.14. (формула), "интегриране чрез диференциране"
4.15. (формула)
4.16. (формула)
4.17. (формула)
4.18. Уравнения на Клеро
4.19. Уравнение на Лагранж - д'Аламбер
4.20. (формула). Лежандрова трансформация
Глава II. Произволни системи от диференциални уравнения, решени по отношение на производни
§ 5. Основни понятия
5.1. Означения и геометричен смисъл на системата от диференциални уравнения
5.2. Наличие и уникалност на решение
5.3. Теорема за съществуване на Каратеодори
5.4. Зависимост на решението от началните условия и от параметрите
5.5. Проблеми с устойчивостта
§ 6. Методи за решаване
6.1. Полилинеен метод
6.2. Метод на последователни приближения на Пикард-Линдельоф
6.3. Приложение на степенните редове
6.4. Връзка с частични диференциални уравнения
6.5. Редукция на системата с помощта на известна връзка между решенията
6.6. Редукция на системата чрез диференциране и елиминиране
6.7. Теореми за оценка
§ 7. Автономни системи
7.1. Определение и геометричен смисъл на автономна система
7.2. За поведението на интегрални криви в околност на особена точка в случай n = 2
7.3. Критерии за определяне вида на особената точка
Глава III. Системи линейни диференциални уравнения
§ 8. Произволни линейни системи
8.1. Общи бележки
8.2. Теореми за съществуване и уникалност. Методи за решаване
8.3. Свеждане на нехомогенна система до хомогенна
8.4. Теореми за оценка
§ 9. Еднородни линейни системи
9.1. Свойства на разтвора. Фундаментални системи за решения
9.2. Теореми за съществуване и методи за решаване
9.3. Намаляване на системата до система с по-малко уравнения
9.4. Конюгирана система от диференциални уравнения
9.5. Самосъгласувани системи диференциални уравнения
9.6. Конюгирани системи от диференциални форми; Тъждество на Лагранж, формула на Грийн
9.7. Фундаментални решения
§ 10. Еднородни линейни системи с особени точки
10.1. Класификации на сингулярни точки
10.2. Слаби сингулярни точки
10.3. Силни сингулярни точки
§ 11. Поведение на решенията за големи стойности на x
§ 12. Линейни системи в зависимост от параметър
§ 13. Линейни системи с постоянни коефициенти
13.1. Хомогенни системи
13.2. По-общи системи
Глава IV. Произволни диференциални уравнения от n-ти ред
§ 14. Уравнения, разрешени по отношение на най-високата производна: (формула)
§ 15. Уравнения, нерешени по отношение на най-високата производна: (формула)
15.1. Уравнения в тотални диференциали
15.2. Обобщени хомогенни уравнения
15.3. Уравнения, които не съдържат изрично x или y
Глава V. Линейни диференциални уравнения от n-ти ред
§ 16. Произволни линейни диференциални уравнения от n-ти ред
16.1. Общи бележки
16.2. Теореми за съществуване и уникалност. Методи за решаване
16.3. Елиминиране на производна (n-1)-ти ред
16.4. Свеждане на нехомогенно диференциално уравнение до хомогенно
16.5. Поведение на решенията за големи стойности на x
§ 17. Хомогенни линейни диференциални уравнения от n-ти ред
17.1. Свойства на решенията и теореми за съществуване
17.2. Намаляване на реда на диференциално уравнение
17.3. На нули от решения
17.4. Фундаментални решения
17.5. Конюгирани, самосвързани и антисамосвързани диференциални форми
17.6. идентичност на Лагранж; Формули на Дирихле и Грийн
17.7. За решения на спрегнати уравнения и уравнения в тотални диференциали
§ 18. Еднородни линейни диференциални уравнения с особени точки
18.1. Класификация на особени точки
18.2. Случаят, когато точката (?) е правилна или слабо сингулярна
18.3. Случаят, когато точката (?) е правилна или слабо сингулярна
18.4. Случаят, когато точката (?) е силно сингулярна
18.5. Случаят, когато точката (?) е силно сингулярна
18.6. Диференциални уравнения с полиномиални коефициенти
18.7. Диференциални уравнения с периодични коефициенти
18.8. Диференциални уравнения с двойно периодични коефициенти
18.9. Реално променлив случай
§ 19. Решаване на линейни диференциални уравнения с помощта на определени интеграли
19.1. Общ принцип
19.2. Преобразуване на Лаплас
19.3. Специална трансформация на Лаплас
19.4. Трансформация на Мелин
19.5. трансформация на Ойлер
19.6. Решение с помощта на двойни интеграли
§ 20. Поведение на решенията за големи стойности на x
20.1. Полиномиални коефициенти
20.2. По-общи коефициенти
20.3. Непрекъснати коефициенти
20.4. Теореми за трептене
§ 21. Линейни диференциални уравнения от n-ти ред в зависимост от параметъра
§ 22. Някои специални видове линейни диференциални уравнения от n-ти ред
22.1. Хомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти
22.2. Нехомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти
22.3. Уравнения на Ойлер
22.4. Уравнение на Лаплас
22.5. Уравнения с коефициенти на полином
22.6. Уравнение на Похамер
Глава VI. Диференциални уравнения от втори ред
§ 23. Нелинейни диференциални уравнения от втори ред
23.1. Методи за решаване на определени видове нелинейни уравнения
23.2. Някои допълнителни бележки
23.3. Теореми за гранични стойности
23.4. Теорема за трептене
§ 24. Произволни линейни диференциални уравнения от втори ред
24.1. Общи бележки
24.2. Някои методи за решение
24.3. Теореми за оценка
§ 25. Хомогенни линейни диференциални уравнения от втори ред
25.1. Редукция на линейни диференциални уравнения от втори ред
25.2. Допълнителни бележки относно редуцирането на линейни уравнения от втори ред
25.3. Разгъване на решението в непрекъсната дроб
25.4. Общи бележки относно нулите на решенията
25.5. Нули на решения на краен интервал
25.6. Поведение на решенията за (?)
25.7. Линейни диференциални уравнения от втори ред с особени точки
25.8. Приблизителни решения. Асимптотични решения; реална променлива
25.9. Асимптотични решения; комплексна променлива
25.10. WBC метод
Глава VII. Линейни диференциални уравнения от трети и четвърти ред
§ 26. Линейни диференциални уравнения от трети ред
§ 27. Линейни диференциални уравнения от четвърти ред
Глава VIII. Приближени методи за интегриране на диференциални уравнения
§ 28. Приближено интегриране на диференциални уравнения от първи ред
28.1. Полилинеен метод
28.2. Допълнителен метод на половин стъпка
28.3. Метод Рунге-Хайн-Кута
28.4. Комбиниране на интерполация и последователни приближения
28.5. Метод на Адамс
28.6. Допълнения към метода на Адамс
§ 29. Приближено интегриране на диференциални уравнения от по-висок ред
29.1. Методи за приближено интегриране на системи от диференциални уравнения от първи ред
29.2. Методът на начупената линия за диференциални уравнения от втори ред
29.3. Метод на Runge*-Kutta за диференциални уравнения от този ред
29.4. Метод на Адамс - Стоермер за уравнение (формула)
29.5. Метод на Адамс - Стоермер за уравнение (формула)
29.6. Методът на Блес за уравнение (формула)
ЧАСТ ДВЕ
Проблеми с гранични стойности и собствени стойности
Глава I. Проблеми с гранични стойности и собствени стойности за линейни диференциални уравнения от n-ти ред
§ 1. Обща теория на граничните задачи
1.1. Нотиране и предварителни бележки
1.2. Условия за разрешимост на гранична задача
1.3. Проблем със спрегнати гранични стойности
1.4. Самосъгласувани гранични задачи
1.5. Функция на Грийн
1.6. Решаване на нехомогенна гранична задача с помощта на функцията на Грийн
1.7. Обобщена функция на Грийн
§ 2. Гранични задачи и задачи за собствени стойности за уравнение (формула)
2.1. Собствени стойности и собствени функции; характерна детерминанта (?)
2.2. Съвместна задача за собствени стойности и резолвента на Greya; пълна биортогонална система
2.3. Нормализирани гранични условия; редовни проблеми със собствените стойности
2.4. Собствени стойности за редовни и нередовни проблеми със собствените стойности
2.5. Разширяване на дадена функция в собствени функции на редовни и нерегулярни проблеми със собствените стойности
2.6. Самосъпряжени нормални проблеми със собствените стойности
2.7. За интегрални уравнения от тип Фредхолм
2.8. Връзка между гранични задачи и интегрални уравнения от типа на Фредхолм
2.9. Връзка между задачи за собствени стойности и интегрални уравнения от тип Фредхолм
2.10. За интегрални уравнения от типа на Волтера
2.11. Връзка между гранични задачи и интегрални уравнения от типа на Волтера
2.12. Връзка между задачи за собствени стойности и интегрални уравнения от типа на Волтера
2.13. Връзка между проблемите със собствените стойности и вариационното смятане
2.14. Приложение за разширение по отношение на собствени функции
2.15. допълнителни бележки
§ 3. Приближени методи за решаване на задачи със собствени стойности и гранични задачи
3.1. Приблизителен метод на Галеркин-Риц
3.2. Приблизителен метод на Грамел
3.3. Решаване на нееднородна гранична задача по метода на Галеркин-Риц
3.4. Метод на последователните приближения
3.5. Приближено решение на гранични задачи и задачи на собствените стойности по метода на крайните разлики
3.6. Пертурбационен метод
3.7. Оценки на собствените стойности
3.8. Преглед на начините за изчисляване на собствени стойности и собствени функции
§ 4. Самосъгласувани задачи за собствени стойности за уравнение (формула)
4.1. Формулиране на проблема
4.2. Общи предварителни
4.3. Нормални проблеми със собствените стойности
4.4. Проблеми с положително определени собствени стойности
4.5. Разлагане по отношение на собствени функции
§ 5. Гранични и допълнителни условия в по-общ вид
Глава II. Проблеми с гранични стойности и проблеми със собствените стойности за системи от линейни диференциални уравнения
§ 6. Гранични задачи и задачи за собствени стойности за системи от линейни диференциални уравнения
6.1. Нотация и условия за разрешимост
6.2. Проблем със спрегнати гранични стойности
6.3. Матрицата на Грийн
6.4. Проблеми със собствените стойности
6.5. Самосъгласувани проблеми със собствените стойности
Глава III. Проблеми с гранични стойности и проблеми със собствените стойности за уравнения от нисък ред
§ 7. Задачи от първи ред
7.1. Линейни задачи
7.2. Нелинейни проблеми
§ 8. Линейни гранични задачи от втори ред
8.1. Общи бележки
8.2. Функция на Грийн
8.3. Оценки за решения на гранични задачи от първи род
8.4. Гранични условия при (?)
8.5. Намиране на периодични решения
8.6. Един граничен проблем, свързан с изследването на потока на течности
§ 9. Линейни задачи за собствени стойности от втори ред
9.1. Общи бележки
9.2 Самосъгласувани проблеми със собствените стойности
9.3. (формула) и граничните условия са самосъпряжени
9.4. Проблеми със собствените стойности и вариационен принцип
9.5. Относно практическото изчисляване на собствени стойности и собствени функции
9.6. Проблеми със собствените стойности, не непременно самосвързани
9.7. Допълнителни условия от по-обща форма
9.8. Проблеми със собствените стойности, съдържащи множество параметри
9.9. Диференциални уравнения със сингулярности в гранични точки
9.10. Проблеми със собствените стойности на безкраен интервал
§ 10. Нелинейни гранични задачи и задачи за собствени стойности от втори ред
10.1. Задачи с гранични стойности за краен интервал
10.2. Задачи с гранични стойности за полуограничен интервал
10.3. Проблеми със собствените стойности
§ 11. Гранични задачи и задачи за собствени стойности от трети - осми ред
11.1. Линейни задачи за собствени стойности от трети ред
11.2. Линейни проблеми на собствените стойности от четвърти ред
11.3. Линейни задачи за система от две диференциални уравнения от втори ред
11.4. Нелинейни гранични задачи от четвърти ред
11.5. Проблеми със собствените стойности от по-висок порядък
ЧАСТ ТРЕТА ОТДЕЛНИ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ
Предварителни бележки
Глава I. Диференциални уравнения от първи ред
1-367. Диференциални уравнения от първа степен по отношение на (?)
368-517. Диференциални уравнения от втора степен по отношение на (?)
518-544. Диференциални уравнения от трета степен по отношение на (?)
545-576. Диференциални уравнения от по-общ вид
Глава II. Линейни диференциални уравнения от втори ред
1-90. (формула)
91-145. (формула)
146-221.(формула)
222-250. (формула)
251-303. (формула)
304-341. (формула)
342-396. (формула)
397-410. (формула)
411-445. Други диференциални уравнения
Глава III. Линейни диференциални уравнения от трети ред
Глава IV. Линейни диференциални уравнения от четвърти ред
Глава V. Линейни диференциални уравнения от пети и по-високи редове
Глава VI. Нелинейни диференциални уравнения от втори ред
1-72. (формула)
73-103. (формула)
104-187. (формула)
188-225. (формула)
226-249. Други диференциални уравнения
Глава VII. Нелинейни диференциални уравнения от трети и по-високи редове
Глава VIII. Системи линейни диференциални уравнения
Предварителни бележки
1-18. Системи от две диференциални уравнения от първи ред с постоянни коефициенти
19-25. Системи от две диференциални уравнения от първи ред с променливи коефициенти
26-43. Системи от две диференциални уравнения с порядък по-висок от първия
44-57. Системи от повече от две диференциални уравнения
Глава IX. Системи нелинейни диференциални уравнения
1-17. Системи от две диференциални уравнения
18-29. Системи от повече от две диференциални уравнения
ДОПЪЛНЕНИЯ
За решаването на линейни хомогенни уравнения от втори ред (I. Zbornik)
Допълнения към книгата на Е. Камке (Д. Митринович)
Нов начин за класифициране на линейни диференциални уравнения и конструиране на тяхното общо решение с помощта на рекурсивни формули (I. Zbornik)
Предметен индекс

Айнс Е.Л. Обикновени диференциални уравнения. Харков: ОНТИ, 1939

Андронов А.А., Леонтович Е.В., Гордън И.И., Майер А.Г. Качествена теория на динамичните системи от втори ред. Москва: Наука, 1966

Аносов Д.В. (съст.) Гладки динамични системи (Сборник преводи, Математика в чуждата наука N4). М.: Мир, 1977

Арнолд V.I., Козлов V.V., Neishtadt A.I. Математически аспекти на класическата и небесната механика. М.: ВИНИТИ, 1985

Барбашин Е.А. функции Ляпунов. Москва: Наука, 1970

Боголюбов Н.Н., Митрополски Ю.А. Асимптотични методи в теорията на нелинейните трептения (2-ро издание). Москва: Наука, 1974

Вазов В. Асимптотични разложения на решения на обикновени диференциални уравнения. М.: Мир, 1968

Weinberg M.M., Trenogin V.A. Теория на разклоненията на решенията на нелинейни уравнения. Москва: Наука, 1969

Голубев В.В. Лекции по аналитична теория на диференциалните уравнения. М.-Л.: Гостехтеориздат, 1950

Гурса Е. Курс математически анализ, том 2, част 2. Диференциални уравнения. М.-Л.: GTTI, 1933

Демидович Б.П. Лекции по математическа теорияустойчивост. Москва: Наука, 1967

Доброволски V.A. Есета върху развитието на аналитичната теория на диференциалните уравнения. Киев: Вища школа, 1974

Егоров Д. Интегриране на диференциални уравнения (3-то изд.). М.: Печат Яковлев, 1913

Еругин Н.П. Книга за четене общ обменен курсдиференциални уравнения (3-то издание). Минск: Наука и техника, 1979

Еругин Н.П. Линейни системи от обикновени диференциални уравнения с периодични и квазипериодични коефициенти. Минск: АН БССР, 1963

Еругин Н.П. Методът на Лапо-Данилевски в теорията на линейните диференциални уравнения. Л.: Ленинградски държавен университет, 1956

Зайцев В.Ф. Въведение в съвременния групов анализ. Част 1: Групи трансформации на равнината ( уроккъм курса). Санкт Петербург: Руски държавен педагогически университет им. А. И. Херцен, 1996

Зайцев В.Ф. Въведение в съвременния групов анализ. Част 2: Уравнения от първи ред и допустимите от тях точкови групи (учебник за спец. курс). Санкт Петербург: Руски държавен педагогически университет им. А. И. Херцен, 1996

Ибрагимов Н.Х. Азбука на груповия анализ. Москва: Знание, 1989

Ибрагимов Н.Х. Опит от групов анализ на обикновени диференциални уравнения. Москва: Знание, 1991

Каменков Г.В. Избрани произведения. Т.1. Стабилност на движението. Флуктуации. Аеродинамика. Москва: Наука, 1971

Каменков Г.В. Избрани произведения. Т.2. Устойчивост и трептения на нелинейни системи. Москва: Наука, 1972

Kamke E. Наръчник за обикновени диференциални уравнения (4-то издание). Москва: Наука, 1971

Каплански И. Въведение в диференциалната алгебра. М.: IL, 1959

Карташев А.П., Рождественски Б.Л. Обикновени диференциални уравнения и основи на вариационното смятане (2-ро издание). Москва: Наука, 1979

Coddington EA, Levinson N. Теория на обикновените диференциални уравнения. М.: IL, 1958

Козлов В.В. Симетрии, топология и резонанси в Хамилтонова механика. Ижевск: Издателство на Удмуртската държава. университет, 1995г

Collatz L. Проблеми със собствените стойности (с технически приложения). Москва: Наука, 1968

Cole J. Пертурбационни методи в приложната математика. М.: Мир, 1972

Коялович Б.М. Изследване на диференциалното уравнение ydy-ydx=Rdx. Санкт Петербург: Академия на науките, 1894

Красовски Н.Н. Някои проблеми на теорията на устойчивостта на движение. Москва: Физматлит, 1959

Kruskal M. Адиабатни инварианти. Асимптотична теория на уравненията на Хамилтън и други системи диференциални уравнения, чиито решения са приблизително периодични. М.: IL, 1962

Куренски М.К. Диференциални уравнения. Книга 1. Обикновени диференциални уравнения. Л .: Артилерийска академия, 1933 г

Лапо-Данилевски И.А. Приложение на функции от матрици към теорията на линейните системи от обикновени диференциални уравнения. М.: ГИТТЛ, 1957

Лапо-Данилевски И.А. Теория на функциите от матрици и системи от линейни диференциални уравнения. L.-M., GITTL, 1934

LaSalle J., Lefschetz S. Изследване на стабилността по директния метод на Ляпунов. М.: Мир, 1964

Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодични функции и диференциални уравнения. Москва: Московски държавен университет, 1978 г

Лефшец С. Геометрична теория на диференциалните уравнения. М.: IL, 1961

Ляпунов А.М. Общият проблем за стабилността на движението. M.-L.: GITTL, 1950

Малкин И.Г. Теория на устойчивостта на движение. Москва: Наука, 1966

Марченко В.А. Оператори на Sturm-Liouville и техните приложения. Киев: Наук. мисъл, 1977 г

Марченко В.А. Спектрална теория на операторите на Щурм-Лиувил. Киев: Наук. мисъл, 1972 г

Матвеев Н.М. Методи за интегриране на обикновени диференциални уравнения (3-то издание). М.: висше училище, 1967

Мищенко E.F., Розов N.X. Диференциални уравнения с малък параметър и релаксационни трептения. Москва: Наука, 1975

Моисеев Н.Н. Асимптотични методи на нелинейната механика. Москва: Наука, 1969

Мордухай-Болтовской Д. За интегрирането в крайна форма на линейни диференциални уравнения. Варшава, 1910 г

Наймарк М.А. Линейни диференциални оператори (2-ро издание). Москва: Наука, 1969

Немицки В.В., Степанов В.В. Качествена теория на диференциалните уравнения. М.-Л.: ОГИЗ, 1947

Плис В.А. Нелокални проблеми на теорията на трептенията. М.-Л.: Наука, 1964

Пономарев К.К. Съставяне на диференциални уравнения. Мн.: Виш. училище, 1973г

Понтрягин Л.С. Обикновени диференциални уравнения (4-то издание). Москва: Наука, 1974

Поанкаре А. За криви, определени от диференциални уравнения. M.-L., GITTL, 1947

Расулов ​​М.Л. Контурният интегрален метод и приложението му за изследване на задачи за диференциални уравнения. М.: Наука, 1964

Румянцев V.V., Oziraner A.S. Стабилност и стабилизация на движението по отношение на някои от променливите. Москва: Наука, 1987

Sansone J. Обикновени диференциални уравнения, том 1. Москва: IL, 1953

Въпреки това, в самото последно времеинтересът към диференциалните уравнения в частни производни от първи ред отново силно нараства. Два фактора допринесоха за това. На първо място се оказа, че така наречените обобщени решения на квазилинейни уравнения от първи ред представляват изключителен интерес за приложения (например в теорията на ударните вълни в газовата динамика и др.). В допълнение, теорията на системите от диференциални уравнения в частни производни е стъпила далеч напред. Въпреки това, към днешна дата няма монография на руски език, която да събира и представя всички факти, натрупани в теорията на частичните диференциални уравнения от първи ред, с изключение на добре известната книга на Н. М. Гюн-

ПРЕДГОВОР КЪМ РУСКОТО ИЗДАНИЕ

тера, който отдавна се е превърнал в библиографска рядкост. Тази книга до известна степен запълва тази празнина.

Името на професор Е. Камке от Тюбингенския университет е познато на съветските математици. Той притежава голям брой трудове по диференциални уравнения и някои други клонове на математиката, както и няколко книги с образователен характер. По-специално, неговата монография "Интегралът на Лебег-Стилтьес" е преведена на руски и публикувана през 1959 г. Три издания на руски през 1951, 1961, 1965 г. са издадени от "Наръчник по обикновени диференциални уравнения", който е превод на първия том на "Gewohnliche Differenlialglelchungen" на книгата на Е. Камке "Differentialgleichungen (Losungsmethoden und L6sungen)".

„Handbook of First-Order Partial Differential Equations“ е превод на втория том на същата книга. Събрани са около 500 уравнения с решения. В допълнение към този материал, истински наръчниксъдържа кратко (без доказателство) представяне на редица теоретични въпроси, включително тези, които не са включени в обичайните курсове на диференциалните уравнения, например теореми за съществуване, уникалност и др.

При подготовката на руското издание обширната библиография, налична в книгата, беше преработена. Препратките към стари и недостъпни чуждестранни учебници бяха заменени по възможност с препратки към местна и преводна литература. Всички отбелязани неточности, грешки и правописни грешки са коригирани. Всички вмъквания, коментари и допълнения, направени в книгата по време на редакцията, са оградени в квадратни скоби.

Това ръководство, създадено в началото на четиридесетте години (и оттогава многократно препечатано в ГДР без никакви промени), несъмнено вече не отразява напълно постиженията, които сега са налични в теорията на частичните диференциални уравнения от първи ред. По този начин справочникът не намери отражение на теорията на обобщените решения на квазилинейните уравнения, разработена през известни произведенияИ. М. Гелфанда, О. А. Олейник и др.. Могат да се цитират примери за скорошни резултати, които не са включени в книгата, по въпроси, пряко засегнати в ръководството. Не са обхванати в наръчника и теорията на уравненията на Пфаф. Изглежда обаче, че дори и в този си вид книгата несъмнено ще се окаже полезно ръководство за класическата теория на частичните диференциални уравнения от първи ред.

Обобщението на уравненията, дадено в книгата, чиито решения могат да бъдат записани в окончателен вид, е много интересно и полезно, но, разбира се, не е изчерпателно. Той е съставен от автора въз основа на произведения, появили се преди началото на четиридесетте години.

НЯКОИ ЗАБЕЛЕЖКИ

x, y; хей xp; yi .... yn - независими променливи, r- (x (, xn) a, b, c; A, B, C - константи, постоянни коефициенти, @, @ (x, y), @ (r) - отворени област, област в равнината (x, y), в пространството на променливите xt,...,xn [обикновено областта на непрекъснатост на коефициентите и решенията. - бел. ред.], g - поддомейн @, F, f - обща функция,

fi - произволна функция, r;r(x, y); z - ty(x....., xn) - желана функция, решение,

Dg _ dg _ dg _ dg

p~~dx "q~~dy~" Pv~lx^" qv~~dy~^"

x, |A, k, n - индекси на сумиране,

\n)~n! (n - t)! "

/g„...zln\

det | zkv\ - детерминанта на матрицата I.....I.

\gsh - gpp I

ДОПУСТИМИ СЪКРАЩЕНИЯ В БИБЛИОГРАФСКИ УКАЗАНИЯ

Гюнтер - Н. М. Гюнтер, Интегриране на частични диференциални уравнения от първи ред, GTTI, 1934 г.

Камке - Е. Камке, Наръчник по обикновени диференциални уравнения, Наука, 1964 г.

Курант - Р. Курант, Частични диференциални уравнения, Мир, 1964 г.

Петровски - И. Г. Петровски, Лекции по теория на обикновените диференциални уравнения, "Наука", 1964 г.

Степанов - В. В. Степанов, Курс по диференциални уравнения, Физмат-гиз, 1959 г.

Камке, DQlen-E. Kamke, Differentialgleichungen reeller Funktionen, Лайпциг, 1944 г.

Съкращения на имената периодични изданиясъответстват на общоприетите и поради това са пропуснати в превода; вижте обаче K a m до e. - Прибл. ред.]

ЧАСТ ПЪРВА

ОБЩИ МЕТОДИ ЗА РЕШЕНИЕ

[Следната литература е посветена на въпросите, разгледани в първата част:

Име: Наръчник по обикновени диференциални уравнения.

„Наръчник по обикновени диференциални уравнения“ на известния немски математик Ерих Камке (1890 – 1961) е уникално издание по отношение на обхвата на материала и заема достойно място в световната справочна математическа литература.
Първото издание на руския превод на тази книга се появява през 1951 г. Последните две десетилетия бяха период на бързо развитие на изчислителната математика и компютърните технологии. Съвременните компютърни инструменти позволяват бързо и с голяма точност да се решават различни проблеми, които преди са изглеждали твърде тромави. По-специално, числените методи се използват широко в проблеми, свързани с обикновени диференциални уравнения. Независимо от това, възможността да се запише общото решение на едно или друго диференциално уравнение или система в затворена форма в много случаи има значителни предимства. Затова обширният справочен материал, който е събран в третата част на книгата на Е. Камке - около 1650 уравнения с решения - остава от голямо значение и сега.

В допълнение към посочения справочен материал книгата на Е. Камке съдържа представяне (макар и без доказателства) на основните понятия и най-важните резултати, свързани с обикновените диференциални уравнения. Той също така обхваща редица такива въпроси, които обикновено не са включени в учебниците по диференциални уравнения (например теорията на проблемите с гранични стойности и проблемите със собствените стойности).
Книгата на Е. Камке съдържа много факти и резултати, полезни в ежедневната работа, оказа се ценна и необходима за широк кръг от учени и специалисти в приложните области, за инженери и студенти. Три предишни издания на превода на този наръчник на руски бяха приветствани от читателите и отдавна разпродадени.
Руският превод е сверен отново с шестото немско издание (1959 г.); коригирани неточности, грешки и правописни грешки. Всички вмъквания, коментари и добавки, направени в текста от редактора и преводача, са оградени в квадратни скоби. В края на книгата, под заглавието „Допълнения“, има съкратени преводи (извършени от Н. Х. Розов) на онези няколко статии от списания, допълващи справочната част, които авторът спомена в шестото немско издание.

ЧАСТ ПЪРВА
ОБЩИ МЕТОДИ ЗА РЕШЕНИЕ
Глава I
§ 1. Разрешени диференциални уравнения по отношение на
производна: y" \u003d f (x, y); основни понятия
1.1. Означение и геометричен смисъл на диференциала
уравнения
1.2. Наличие и уникалност на решение
§ 2. Разрешени диференциални уравнения по отношение на
производна: y" \u003d f (x, y); методи за решение
2.1. Полилинеен метод
2.2. Метод на последователни приближения на Пикард-Линдельоф
2.3. Приложение на степенните редове
2.4. По-общ случай на разширяване на серията25
2.5. Разширение в серия в параметър 27
2.6. Връзка с частични диференциални уравнения27
2.7. Теореми за оценка 28
2.8. Поведение на решенията за големи стойности x 30
§ 3. Диференциални уравнения, неразрешени спрямо 32
производна: F(y", y, x)=0
3.1. Относно решенията и методите за решаване 32
3.2. Правилни и единични линейни елементи33
§ 4. Решаване на частни форми на диференциални уравнения от първите 34
поръчка
4.1. Диференциални уравнения с разделими променливи 35
4.2. y"=f(ax+by+c) 35
4.3. Линейни диференциални уравнения 35.
4.4. Асимптотично поведение на решения на линейни диференциални уравнения
4.5. Уравнение на Бернули y"+f(x)y+g(x)ya=0 38
4.6. Хомогенни диференциални уравнения и техните редукции38
4.7. Обобщени хомогенни уравнения 40
4.8. Специално уравнение на Рикати: y "+ y2 \u003d bxa 40
4.9. Общо уравнение на Рикати: y"=f(x)y2+g(x)y+h(x)41
4.10. Уравнение на Абел от първи вид44
4.11. Уравнение на Абел от втори род47
4.12. Уравнение в общите диференциали 49
4.13. Интегриращ фактор 49
4.14. F(y",y,x)=0, "интегриране чрез диференциране" 50
4.15. (a) y=G(x, y"); (b) x=G(y, y") 50
4.16. (a) G(y ",x)=0; (b) G(y\y)=Q 51
4.17. (a) y"=g(y); (6) x=g(y") 51
4.18. Уравнения на Клеро 52
4.19. Уравнение на Лагранж-Д'Аламбер 52
4.20. F(x, xy"-y, y")=0. Трансформация на Лежандро53
Глава II. Произволни системи от диференциални уравнения, решени по отношение на производни
§ 5. Основни понятия54
5.1. Означения и геометричен смисъл на системата от диференциални уравнения
5.2. Наличие и уникалност на решение 54
5.3. Теорема за съществуване на Каратеодори 5 5
5.4. Зависимост на решението от началните условия и параметри56
5.5. Проблеми с устойчивостта57
§ 6. Методи за решаване 59
6.1. Метод на полилинията59
6.2. Метод на последователни приближения на Пикард-Линдельоф59
6.3. Приложение на степенна серия 60
6.4. Връзка с частни диференциални уравнения 61
6.5. Редукция на системата с помощта на известна връзка между решенията
6.6. Редукция на системата чрез диференциране и елиминиране 62
6.7. Теореми за оценка 62
§ 7. Автономни системи 63
7.1. Дефиниция и геометричен смисъл на автономна система 64
7.2. За поведението на интегрални криви в околност на особена точка в случай n = 2
7.3. Критерии за определяне вида на особена точка 66
Глава III.
§ 8. Произволни линейни системи70
8.1. Общи бележки70
8.2. Теореми за съществуване и уникалност. Методи за решаване70
8.3. Свеждане на нехомогенна система до хомогенна71
8.4. Теореми за оценка 71
§ 9. Еднородни линейни системи72
9.1. Свойства на разтвора. Основни системи за вземане на решения 72
9.2. Теореми за съществуване и методи за решаване 74
9.3. Намаляване на системата до система с по-малко уравнения75
9.4. Спрегната система от диференциални уравнения76
9.5. Самосъгласувани системи диференциални уравнения, 76
9.6. Конюгирани системи от диференциални форми; Тъждество на Лагранж, формула на Грийн
9.7. Фундаментални решения78
§десет. Еднородни линейни системи с особени точки 79
10.1. Класификация на особени точки 79
10.2. Слаби сингулярни точки80
10.3. Силно особени точки 82
§единадесет. Поведение на решенията за големи стойности на x 83
§12. Линейни системи в зависимост от параметър84
§13. Линейни системи с постоянни коефициенти 86
13.1. Хомогенни системи 83
13.2. По-общи системи 87
Глава IV. Произволни диференциални уравнения от n-ти ред
§ 14. Уравнения, разрешени по отношение на най-високата производна: 89
yin)=f(x,y,y\...,y(n-\))
§ петнадесет. Уравнения, които не са разрешени по отношение на най-високата производна:90
F(x,y,y\...,y(n))=0
15.1. Уравнения в тотални диференциали90
15.2. Обобщени хомогенни уравнения 90
15.3. Уравнения, които не съдържат изрично x или y 91
Глава V Линейни диференциални уравнения от n-ти ред,
§16. Произволни линейни диференциални уравнения от n-ти ред92
16.1. Общи бележки92
16.2. Теореми за съществуване и уникалност. Методи за решаване92
16.3. Елиминиране на производната от (n-1) ред94
16.4. Свеждане на нехомогенно диференциално уравнение до хомогенно
16.5. Поведение на решенията за големи стойности на x94
§17. Хомогенни линейни диференциални уравнения от n-ти ред 95
17.1. Свойства на решенията и теореми за съществуване 95
17.2. Понижаване на реда на диференциално уравнение96
17.3. 0 нула решения 97
17.4. Фундаментални решения 97
17.5. Конюгирани, самосвързани и антисамосвързани диференциални форми
17.6. идентичност на Лагранж; Формули на Дирихле и Грийн 99
17.7. Относно решения на съпряжени уравнения и уравнения в тотални диференциали
§осемнадесет. Хомогенни линейни диференциални уравнения с сингулярност101
точки
18.1. Класификация на особени точки 101
18.2. Случаят, когато точката x=E е правилна или слабо сингулярна104
18.3. Случаят, когато точката x=inf е правилна или слабо сингулярна108
18.4. Случаят, когато точката x = % е силно сингулярна 107
18.5. Случаят, когато точката x=inf е силно сингулярна 108
18.6. Диференциални уравнения с полиномиални коефициенти
18.7. Диференциални уравнения с периодични коефициенти
18.8. Диференциални уравнения с двойно периодични коефициенти
18.9. Случаят на реална променлива112
§19. Решаване на линейни диференциални уравнения с помощта на 113
определени интеграли
19.1. Общ принцип 113
19.2. Преобразуване на Лаплас 116
19.3 Специална трансформация на Лаплас 119
19.4. Трансформация на Мелин 120
19.5. Трансформация на Ойлер 121
19.6. Решение с помощта на двойни интеграли 123
§ 20. Поведение на решенията за големи стойности на x 124
20.1. Полиномни коефициенти124
20.2. По-общи коефициенти 125
20.3. Непрекъснати коефициенти 125
20.4. Теореми за трептене126
§21. Линейни диференциални уравнения от n-ти ред в зависимост от127
параметър
§ 22. Някои специални видове линейни диференциали129
уравнения от n-ти ред
22.1. Хомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти
22.2. Нехомогенни диференциални уравнения с константи130
22.3. Уравнения на Ойлер 132
22.4. Уравнение на Лаплас132
22.5. Уравнения с коефициенти на полином133
22.6. Уравнение на Похамер134
Глава VI. Диференциални уравнения от втори ред
§ 23. Нелинейни диференциални уравнения от втори ред 139
23.1. Методи за решаване на определени видове нелинейни уравнения 139
23.2. Някои допълнителни забележки140
23.3. Теореми за гранични стойности 141
23.4. Теорема за трептене 142
§ 24. Произволни линейни диференциални уравнения на втория 142
поръчка
24.1. Общи бележки142
24.2. Някои методи за решаване на 143
24.3. Теореми за оценка 144
§ 25. Хомогенни линейни диференциални уравнения от втори ред 145
25.1. Редукция на линейни диференциални уравнения от втори ред
25.2. Допълнителни бележки относно редуцирането на линейни уравнения от втори ред
25.3. Разгъване на решението в продължителна дроб 149
25.4. Общи бележки относно решението нули150
25.5. Нули на решения на краен интервал151
25.6. Поведение на решенията за x->inf 153
25.7. Линейни диференциални уравнения от втори ред с особени точки
25.8. Приблизителни решения. Асимптотични решения реална променлива
25.9. Асимптотични решения; комплексна променлива161
25.10. WBC метод 162
Глава VII. Линейни диференциални уравнения на трето и четвърто
поръчки
§ 26. Линейни диференциални уравнения от трети ред163
§ 27. Линейни диференциални уравнения от четвърти ред 164
Глава VIII. Приближени методи за диференциално интегриране
уравнения
§ 28. Приближено интегриране на диференциални уравнения 165
първа поръчка
28.1. Методът на прекъснатите линии165.
28.2. Допълнителен метод на половин стъпка 166
28.3. Метод на Рунге-Хайн-Кута 167
28.4. Комбиниране на интерполация и последователни приближения168
28.5. Метод на Адамс 170
28.6. Допълнения към метода на Адамс 172
§ 29. Приближено интегриране на диференциални уравнения 174
по-високи поръчки
29.1. Методи за приближено интегриране на системи от диференциални уравнения от първи ред
29.2. Методът на прекъснатата линия за диференциални уравнения от втори ред 176
29.3. Метод на Рунге-Кута за диференциални уравнения от втори ред
29.4. Метод на Адамс - Щормър за уравнението y "=f (x, y, y) 177
29.5. Метод на Адамс - Щормър за уравнението y "=f (x, y) 178
29.6. Методът на Блес за уравнението y"=f(x,y,y) 179

ЧАСТ ДВЕ
Проблеми с гранични стойности и собствени стойности
Глава I Проблеми с гранични стойности и проблеми със собствените стойности за линейни
диференциални уравнения от n-ти ред
§ 1. Обща теория на граничните задачи182
1.1. Нотиране и предварителни бележки 182
1.2. Условия за разрешимост на гранична задача184
1.3. Проблем със спрегнати гранични стойности 185
1.4. Самосъгласувани гранични задачи 187
1.5. Функция на Грийн 188
1.6. Решаване на нехомогенна гранична задача с помощта на функцията на Грийн 190
1.7. Обобщена функция на Грийн 190
§ 2. Проблеми с гранични стойности и проблеми със собствените стойности за уравнение 193
£SHU(Y)+YX)Y = 1(X)
2.1. Собствени стойности и собствени функции; характерна детерминанта A(X)
2.2. Присъединен проблем със собствените стойности и резолвента на Грийн; пълна биортогонална система
2.3. Нормализирани гранични условия; редовни проблеми със собствените стойности
2.4. Собствени стойности за редовни и нередовни проблеми със собствените стойности
2.5. Разширяване на дадена функция в собствени функции на редовни и нерегулярни проблеми със собствените стойности
2.6. Самосъгласувани нормални проблеми със собствените стойности 200
2.7. Относно интегралните уравнения от тип Фредхолм 204
2.8. Връзка между гранични задачи и интегрални уравнения от типа на Фредхолм
2.9. Връзка между задачи за собствени стойности и интегрални уравнения от тип Фредхолм
2.10. Относно интегралните уравнения от тип Волтера211
2.11. Връзка между гранични задачи и интегрални уравнения от типа на Волтера
2.12. Връзка между задачи за собствени стойности и интегрални уравнения от типа на Волтера
2.13. Връзка между проблемите със собствените стойности и вариационното смятане
2.14. Приложение за разширение по отношение на собствените функции218
2.15. Допълнителни бележки219
§ 3. Приблизителни методи за решаване на проблеми на собствените стойности u222-
гранични проблеми
3.1. Приблизителен метод на Галеркин-Риц222
3.2. Приблизителен метод на Грамел224
3.3. Решаване на нееднородна гранична задача по метода на Галеркин-Риц
3.4. Метод на последователните приближения 226
3.5. Приближено решение на гранични задачи и задачи на собствените стойности по метода на крайните разлики
3.6. Метод на смущения 230
3.7. Оценки на собствената стойност 233
3.8. Преглед на начините за изчисляване на собствени стойности и 236 собствени функции
§ 4. Самосъпряжени задачи за собствени стойности за уравнение238
F(y)=W(y)
4.1. Постановка на проблем 238
4.2. Общи предварителни бележки 239
4.3. Нормални проблеми със собствените стойности 240
4.4. Проблеми с положително определени собствени стойности 241
4.5. Разширение на собствената функция 244
§ 5. Гранични и допълнителни условия от по-общ вид 247
Глава II. Проблеми с гранични стойности и проблеми със собствените стойности за системи
линейни диференциални уравнения
§ 6. Гранични задачи и задачи за собствени стойности за системи 249
линейни диференциални уравнения
6.1. Условия за нотация и разрешимост 249
6.2. Проблем със спрегнати гранични стойности 250
6.3. Зелена матрица252
6.4. Проблеми със собствените стойности 252-
6.5. Самосъгласувани проблеми със собствените стойности 253
Глава III. Проблеми с гранични стойности и проблеми със собствени стойности за уравнения
по-ниски поръчки
§ 7. Задачи от първи ред256
7.1. Линейни задачи 256
7.2. Нелинейни задачи 257
§ 8. Линейни гранични задачи от втори ред257
8.1. Общи бележки 257
8.2. Функция на Грийн 258
8.3. Оценки за решения на гранични задачи от първи вид259
8.4. Гранични условия за |х|->inf259
8.5. Намиране на периодични решения 260
8.6. Един проблем с гранични стойности, свързан с изследването на флуиден поток 260
§ 9. Линейни задачи за собствени стойности от втори ред 261
9.1. Общи бележки 261
9.2 Самосъгласувани проблеми със собствените стойности 263
9.3. y"=F(x,)Cjz, z"=-G(x,h)y и граничните условия са самосъпряжени266
9.4. Проблеми със собствените стойности и вариационният принцип269
9.5. Относно практическото изчисляване на собствени стойности и собствени функции
9.6. Проблеми със собствените стойности, не непременно самосвързани271
9.7. Допълнителни условия от по-обща форма273
9.8. Проблеми със собствените стойности, съдържащи множество параметри
9.9. Диференциални уравнения със сингулярности в гранични точки 276
9.10. Проблеми със собствените стойности на безкраен интервал 277
§десет. Проблеми с нелинейни гранични стойности и проблеми със собствените стойности 278
втора поръчка
10.1. Проблеми с гранични стойности за краен интервал 278
10.2. Гранични задачи за полуограничен интервал 281
10.3. Проблеми със собствените стойности282
§единадесет. Проблеми с гранични стойности и проблеми със собствените стойности на Трета
осми ред
11.1. Линейни задачи за собствени стойности от трети ред283
11.2. Линейни проблеми със собствените стойности от четвърти ред 284
11.3. Линейни задачи за система от две диференциални уравнения от втори ред
11.4. Нелинейни гранични задачи от четвърти ред 287
11.5. Проблеми със собствените стойности от по-висок порядък288

ЧАСТ ТРЕТА
ОТДЕЛНИ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ
Предварителни бележки 290
Глава I Диференциални уравнения от първи ред
1-367. Диференциал, уравнения от първа степен по отношение на U 294
368-517. Диференциални уравнения от втора степен по отношение на 334
518-544. Диференциални уравнения от трета степен по отношение на 354
545-576. Диференциални уравнения от по-обща форма358
Глава II. Линейни диференциални уравнения от втори ред
1-90. ай" + ...363
91-145. (брадва + юй " + ... 385
146-221.x2 y" + ... 396
222-250. (x2 ± a2) y "+ ... 410
251-303. (ax2 + bx + c) y" + ... 419
304-341. (ax3 +...)y" + ...435
342-396. (ax4 +...)y" + ...442
397-410. (ah "+ ...) y" + ... 449
411-445. Други диференциални уравнения 454
Глава III. Линейни диференциални уравнения от трети ред
Глава IV. Линейни диференциални уравнения от четвърти ред
Глава V Линейни диференциални уравнения от пети и по-високи
поръчки
Глава VI. Нелинейни диференциални уравнения от втори ред
1-72. ay"=F(x,y,y)485
73-103./(x);y"=F(x,;y,;y") 497
104- 187. / (x) xy "CR (x,; y,; y") 503
188-225. f(x,y)y"=F(x,y,y)) 514
226-249. Други диференциални уравнения 520
Глава VII. Нелинейни диференциални уравнения на трети и повече
високи поръчки
Глава VIII. Системи линейни диференциални уравнения
Предварителни бележки 530
1-18. Системи от две диференциални уравнения от първи ред с530
постоянни коефициенти 19-25.
Системи от две диференциални уравнения от първи ред с534
променливи коефициенти
26-43. Системи от две диференциални уравнения от по-висок порядък535
първи
44-57. Системи от повече от две диференциални уравнения538
Глава IX. Системи нелинейни диференциални уравнения
1-17. Системи от две диференциални уравнения541
18-29. Системи от повече от две диференциални уравнения 544
ДОПЪЛНЕНИЯ
За решаването на линейни хомогенни уравнения от втори ред (I. Zbornik) 547
Допълнения към книгата на Е. Камке (Д. Митринович) 556
Нов начин за класифициране на линейни диференциални уравнения и 568
конструиране на тяхното общо решение с помощта на рекурсивни формули
(И. Зборник)
Индекс 571