Μαθηματικά 1. Από πού προήλθε η λέξη μαθηματικά 2. Ποιος επινόησε τα μαθηματικά; 3. Κύρια θέματα. 4. Ορισμός 5. Ετυμολογία Στην τελευταία διαφάνεια.

Από πού προήλθε η λέξη (πηγαίνετε στην προηγούμενη διαφάνεια) Τα μαθηματικά από τα ελληνικά - μελέτη, επιστήμη) είναι η επιστήμη των δομών, της τάξης και των σχέσεων, βασισμένη ιστορικά στις πράξεις μέτρησης, μέτρησης και περιγραφής του σχήματος των αντικειμένων. Τα μαθηματικά αντικείμενα δημιουργούνται εξιδανικεύοντας τις ιδιότητες πραγματικών ή άλλων μαθηματικών αντικειμένων και γράφοντας αυτές τις ιδιότητες σε μια επίσημη γλώσσα.

Ποιος επινόησε τα μαθηματικά (πηγαίνετε στο μενού) Ο πρώτος μαθηματικός συνήθως ονομάζεται Θαλής της Μιλήτου, ο οποίος έζησε τον 6ο αιώνα. προ ΧΡΙΣΤΟΥ μι. , ένας από τους λεγόμενους Επτά Σοφούς της Ελλάδας. Όπως και να έχει, ήταν ο πρώτος που δόμησε ολόκληρη τη βάση γνώσεων σχετικά με αυτό το θέμα, που έχει διαμορφωθεί από καιρό στον κόσμο που ήταν γνωστός σε αυτόν. Ωστόσο, ο συγγραφέας της πρώτης πραγματείας για τα μαθηματικά που έφτασε σε εμάς ήταν ο Ευκλείδης (III αιώνας π.Χ.). Και αυτός επάξια θεωρείται ο πατέρας αυτής της επιστήμης.

Κύρια θέματα (μεταβείτε στο μενού) Το πεδίο των μαθηματικών περιλαμβάνει μόνο εκείνες τις επιστήμες στις οποίες εξετάζεται είτε η σειρά είτε το μέτρο και δεν έχει καθόλου σημασία αν πρόκειται για αριθμούς, αριθμούς, αστέρια, ήχους ή οτιδήποτε άλλο στο οποίο αυτό το μέτρο βρίσκεται . Πρέπει λοιπόν να υπάρχει κάποια γενική επιστήμη που να εξηγεί τα πάντα σχετικά με την τάξη και το μέτρο, χωρίς να μπαίνει στη μελέτη συγκεκριμένων θεμάτων, και αυτή η επιστήμη πρέπει να ονομάζεται όχι με την ξένη, αλλά με την παλιά, ήδη κοινή ονομασία των Γενικών Μαθηματικών.

Ορισμός (μετάβαση στο μενού) Με βάση την κλασική μαθηματική ανάλυση σύγχρονη ανάλυση, που θεωρείται ως ένας από τους τρεις κύριους τομείς των μαθηματικών (μαζί με την άλγεβρα και τη γεωμετρία). Παράλληλα, ο όρος «μαθηματική ανάλυση» με την κλασική έννοια χρησιμοποιείται κυρίως σε προγράμματα σπουδώνκαι υλικά. Στην αγγλοαμερικανική παράδοση, η κλασική μαθηματική ανάλυση αντιστοιχεί στα προγράμματα μαθημάτων με την ονομασία "λογισμός"

Ετυμολογία (πηγαίνετε στο μενού) Η λέξη «μαθηματικά» προέρχεται από άλλα ελληνικά. , που σημαίνει μελέτη, γνώση, επιστήμη κ.λπ. Συγκεκριμένα στα λατινικά σημαίνει την τέχνη των μαθηματικών. Ο όρος είναι άλλος -ελληνικός. με τη σύγχρονη έννοια αυτής της λέξης, τα «μαθηματικά» βρίσκονται ήδη στα έργα του Αριστοτέλη (4ος αιώνας π.Χ.) στο «The Book of Selected Briefly on the Nine Muses and on the Seven Free Arts» (1672)

Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη των ποσοτικών σχέσεων και των χωρικών μορφών του πραγματικού κόσμου. Σε στενή σύνδεση με τις απαιτήσεις της επιστήμης και της τεχνολογίας, το απόθεμα των ποσοτικών σχέσεων και των χωρικών μορφών που μελετώνται από τα μαθηματικά διευρύνεται συνεχώς, έτσι ώστε ο παραπάνω ορισμός πρέπει να γίνει κατανοητός με τη γενικότερη έννοια.

Ο σκοπός της μελέτης των μαθηματικών είναι να αυξήσει τη γενική θεώρηση, την κουλτούρα της σκέψης, τη διαμόρφωση μιας επιστημονικής κοσμοθεωρίας.

Η κατανόηση της ανεξάρτητης θέσης των μαθηματικών ως ειδικής επιστήμης έγινε δυνατή μετά τη συσσώρευση αρκετά μεγάλου όγκου πραγματικού υλικού και προέκυψε για πρώτη φορά στην Αρχαία Ελλάδα τον 6ο-5ο αιώνα π.Χ. Αυτή ήταν η αρχή της περιόδου των στοιχειωδών μαθηματικών.

Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, η μαθηματική έρευνα ασχολήθηκε μόνο με ένα μάλλον περιορισμένο απόθεμα βασικών εννοιών που προέκυψαν με τις απλούστερες απαιτήσεις της οικονομικής ζωής. Παράλληλα, πραγματοποιείται ήδη ποιοτική βελτίωση των μαθηματικών ως επιστήμης.

Τα σύγχρονα μαθηματικά συχνά συγκρίνονται με μια μεγάλη πόλη. Αυτή είναι μια εξαιρετική σύγκριση, γιατί στα μαθηματικά, όπως και σε μια μεγάλη πόλη, υπάρχει μια συνεχής διαδικασία ανάπτυξης και βελτίωσης. Νέοι τομείς αναδύονται στα μαθηματικά, χτίζονται κομψές και βαθιές νέες θεωρίες, όπως η κατασκευή νέων γειτονιών και κτιρίων. Όμως η πρόοδος των μαθηματικών δεν περιορίζεται στην αλλαγή του προσώπου της πόλης λόγω της κατασκευής μιας νέας. Πρέπει να αλλάξουμε το παλιό. Οι παλιές θεωρίες περιλαμβάνονται σε νέες, πιο γενικές. υπάρχει ανάγκη ενίσχυσης των θεμελίων παλαιών κτιρίων. Πρέπει να δημιουργηθούν νέοι δρόμοι για να δημιουργηθούν συνδέσεις μεταξύ των απομακρυσμένων συνοικιών της μαθηματικής πόλης. Αλλά αυτό δεν είναι αρκετό - ο αρχιτεκτονικός σχεδιασμός απαιτεί σημαντική προσπάθεια, καθώς η διαφορά στα στυλ διαφόρων τομέων των μαθηματικών όχι μόνο χαλάει γενική εντύπωσηαπό την επιστήμη, αλλά και εμποδίζει την κατανόηση της επιστήμης στο σύνολό της, τη δημιουργία δεσμών μεταξύ των διαφόρων μερών της.

Μια άλλη σύγκριση χρησιμοποιείται συχνά: τα μαθηματικά παρομοιάζονται με ένα μεγάλο διακλαδισμένο δέντρο, το οποίο, συστηματικά, δίνει νέους βλαστούς. Κάθε κλάδος του δέντρου είναι ένας ή ο άλλος τομέας των μαθηματικών. Ο αριθμός των κλαδιών δεν παραμένει αμετάβλητος, καθώς τα νέα κλαδιά μεγαλώνουν, αναπτύσσονται μαζί στην αρχή αναπτύσσονται χωριστά, μερικά από τα κλαδιά στεγνώνουν, στερούνται θρεπτικούς χυμούς. Και οι δύο συγκρίσεις είναι επιτυχείς και αποδίδουν πολύ καλά την πραγματική κατάσταση των πραγμάτων.

Αναμφίβολα, η ζήτηση για ομορφιά παίζει σημαντικό ρόλο στην κατασκευή των μαθηματικών θεωριών. Είναι αυτονόητο ότι η αντίληψη της ομορφιάς είναι πολύ υποκειμενική και συχνά υπάρχουν αρκετά άσχημες ιδέες για αυτό. Και όμως πρέπει να εκπλαγεί κανείς με την ομοφωνία που βάζουν οι μαθηματικοί στην έννοια της «ομορφιάς»: το αποτέλεσμα θεωρείται όμορφο εάν από έναν μικρό αριθμό συνθηκών είναι δυνατό να εξαχθεί ένα γενικό συμπέρασμα σχετικά με ένα ευρύ φάσμα αντικειμένων. Μια μαθηματική παραγωγή θεωρείται όμορφη εάν είναι δυνατόν να αποδειχθεί ένα σημαντικό μαθηματικό γεγονός σε αυτήν με απλό και σύντομο συλλογισμό. Η ωριμότητα ενός μαθηματικού, το ταλέντο του μαντεύεται από το πόσο ανεπτυγμένη είναι η αίσθηση της ομορφιάς του. Τα αισθητικά πλήρη και μαθηματικά τέλεια αποτελέσματα είναι πιο εύκολα κατανοητά, θυμούνται και χρησιμοποιούνται. είναι ευκολότερο να εντοπιστεί η σχέση τους με άλλους τομείς γνώσης.

Τα μαθηματικά στην εποχή μας έχουν γίνει ένας επιστημονικός κλάδος με πολλούς τομείς έρευνας, τεράστιο αριθμό αποτελεσμάτων και μεθόδων. Τα μαθηματικά είναι πλέον τόσο σπουδαία που δεν είναι δυνατόν να τα καλύψει ένα άτομο σε όλα τα μέρη, δεν υπάρχει δυνατότητα να είναι καθολικός ειδικός σε αυτά. Η απώλεια των συνδέσεων μεταξύ των ξεχωριστών κατευθύνσεων του είναι σίγουρα αρνητική συνέπεια της ραγδαίας ανάπτυξης αυτής της επιστήμης. Ωστόσο, στη βάση της ανάπτυξης όλων των κλάδων των μαθηματικών υπάρχει ένα κοινό πράγμα - η προέλευση της ανάπτυξης, οι ρίζες του δέντρου των μαθηματικών.

Η γεωμετρία του Ευκλείδη ως η πρώτη θεωρία της φυσικής επιστήμης

• Τον 3ο αιώνα π.Χ. εμφανίστηκε στην Αλεξάνδρεια ένα βιβλίο του Ευκλείδη με το ίδιο όνομα, στη ρωσική μετάφραση των «Αρχών». Από τη λατινική ονομασία «Beginnings» προήλθε ο όρος «στοιχειώδης γεωμετρία». Αν και τα γραπτά των προκατόχων του Ευκλείδη δεν έχουν φτάσει σε εμάς, μπορούμε να σχηματίσουμε κάποια γνώμη για αυτά τα γραπτά από τα Στοιχεία του Ευκλείδη. Στις «Αρχές» υπάρχουν ενότητες που λογικά πολύ λίγο συνδέονται με άλλες ενότητες. Η εμφάνισή τους εξηγείται μόνο από το γεγονός ότι εισήχθησαν σύμφωνα με την παράδοση και αντιγράφουν τις «Αρχές» των προκατόχων του Ευκλείδη.

  Τα Στοιχεία του Ευκλείδη αποτελείται από 13 βιβλία. Τα βιβλία 1 - 6 είναι αφιερωμένα στην επιπεδομετρία, τα βιβλία 7 - 10 αφορούν αριθμητικές και ασύγκριτες ποσότητες που μπορούν να κατασκευαστούν χρησιμοποιώντας πυξίδα και ευθεία. Τα βιβλία 11 έως 13 ήταν αφιερωμένα στη στερεομετρία.

  Οι «Αρχές» ξεκινούν με μια παρουσίαση 23 ορισμών και 10 αξιωμάτων. Τα πρώτα πέντε αξιώματα είναι «γενικές έννοιες», τα υπόλοιπα ονομάζονται «αξίες». Τα δύο πρώτα αξιώματα καθορίζουν τις ενέργειες με τη βοήθεια ενός ιδανικού χάρακα, το τρίτο - με τη βοήθεια μιας ιδανικής πυξίδας. Το τέταρτο, «όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους», είναι περιττό, αφού μπορεί να συναχθεί από τα υπόλοιπα αξιώματα. Το τελευταίο, πέμπτο αξίωμα έλεγε: «Αν μια ευθεία πέφτει σε δύο ευθείες και σχηματίζει εσωτερικές μονόπλευρες γωνίες στο άθροισμα λιγότερων από δύο ευθειών, τότε, με απεριόριστη συνέχεια αυτών των δύο ευθειών, θα τέμνονται στην πλευρά όπου η οι γωνίες είναι μικρότερες από δύο γραμμές."

  Οι πέντε «γενικές έννοιες» του Ευκλείδη είναι οι αρχές μέτρησης μηκών, γωνιών, εμβαδών, όγκων: «ίσα με τα ίδια είναι ίσα μεταξύ τους», «αν προστεθούν ίσα σε ίσα, τα αθροίσματα είναι ίσα μεταξύ τους», «αν αφαιρεθούν τα ίσα από τα ίσα, τα υπόλοιπα είναι ίσα μεταξύ τους», «συνδυαζόμενα μεταξύ τους είναι ίσα μεταξύ τους», «το σύνολο είναι μεγαλύτερο από το μέρος».

  Μετά ήρθε η κριτική της γεωμετρίας του Ευκλείδη. Ο Ευκλείδης επικρίθηκε για τρεις λόγους: για το γεγονός ότι εξέτασε μόνο τέτοια γεωμετρικά μεγέθη που μπορούν να κατασκευαστούν χρησιμοποιώντας πυξίδα και ευθεία. για τη διάσπαση της γεωμετρίας και της αριθμητικής και την απόδειξη για ακέραιους αριθμούς ό,τι είχε ήδη αποδείξει για τα γεωμετρικά μεγέθη και, τέλος, για τα αξιώματα του Ευκλείδη. Το πέμπτο αξίωμα, το πιο δύσκολο αξίωμα του Ευκλείδη, έχει επικριθεί πιο έντονα. Πολλοί το θεώρησαν περιττό και ότι μπορεί και πρέπει να συνάγεται από άλλα αξιώματα. Άλλοι πίστευαν ότι έπρεπε να αντικατασταθεί από μια απλούστερη και πιο ενδεικτική, ισοδύναμη με αυτήν: «Μέσα από ένα σημείο έξω από μια ευθεία γραμμή, δεν μπορούν να σχεδιαστούν περισσότερες από μία ευθείες στο επίπεδό τους που δεν τέμνουν αυτήν την ευθεία γραμμή».

  Η κριτική του χάσματος μεταξύ γεωμετρίας και αριθμητικής οδήγησε στην επέκταση της έννοιας του αριθμού σε έναν πραγματικό αριθμό. Οι διαφωνίες σχετικά με το πέμπτο αξίωμα οδήγησαν στο γεγονός ότι στις αρχές του 19ου αιώνα, οι N.I. Lobachevsky, J. Bolyai και K.F. Gauss έχτισαν μια νέα γεωμετρία στην οποία πληρούνταν όλα τα αξιώματα της γεωμετρίας του Ευκλείδη, με εξαίρεση το πέμπτο αξίωμα. Αντικαταστάθηκε από την αντίθετη πρόταση: "Σε ένα επίπεδο που διέρχεται από ένα σημείο εκτός ευθείας, μπορούν να σχεδιαστούν περισσότερες από μία ευθείες που δεν τέμνουν τη δεδομένη." Αυτή η γεωμετρία ήταν τόσο συνεπής όσο και η γεωμετρία του Ευκλείδη.

  Κατασκευάστηκε το μοντέλο επιπεδομετρίας Lobachevsky στο ευκλείδειο επίπεδο Γάλλος μαθηματικόςΟ Ανρί Πουανκαρέ το 1882.

  Σχεδιάστε μια οριζόντια γραμμή στο ευκλείδειο επίπεδο. Αυτή η ευθεία ονομάζεται απόλυτη (x). Τα σημεία του ευκλείδειου επιπέδου που βρίσκονται πάνω από το απόλυτο είναι τα σημεία του επιπέδου Lobachevsky. Το αεροπλάνο Lobachevsky είναι ένα ανοιχτό ημιεπίπεδο που βρίσκεται πάνω από το απόλυτο. Τα μη ευκλείδεια τμήματα στο μοντέλο Πουανκαρέ είναι τόξα κύκλων με κέντρο το απόλυτο ή ευθύγραμμα τμήματα κάθετα στο απόλυτο (AB, CD). Το σχήμα στο επίπεδο Lobachevsky είναι το σχήμα ενός ανοιχτού ημιεπίπεδου που βρίσκεται πάνω από το απόλυτο (F). Η μη ευκλείδεια κίνηση είναι μια σύνθεση ενός πεπερασμένου αριθμού αντιστροφών που επικεντρώνονται στις απόλυτες και αξονικές συμμετρίες των οποίων οι άξονες είναι κάθετοι στο απόλυτο. Δύο μη ευκλείδεια τμήματα είναι ίσα εάν το ένα από αυτά μπορεί να μεταφραστεί στο άλλο με μια μη Ευκλείδεια κίνηση. Αυτές είναι οι βασικές έννοιες της αξιωματικής της επιπεδομετρίας του Lobachevsky.

  Όλα τα αξιώματα της επιπεδομετρίας του Lobachevsky είναι συνεπή. «Μια μη Ευκλείδεια γραμμή είναι ένα ημικύκλιο με άκρα στο απόλυτο ή μια ακτίνα με αρχή στο απόλυτο και κάθετη στο απόλυτο». Έτσι, ο ισχυρισμός του αξιώματος του παραλληλισμού του Λομπατσέφσκι ισχύει όχι μόνο για κάποια ευθεία α και ένα σημείο Α που δεν βρίσκονται σε αυτήν την ευθεία, αλλά και για κάθε ευθεία α και κάθε σημείο Α που δεν βρίσκεται σε αυτήν.

  Πίσω από τη γεωμετρία του Λομπατσέφσκι, προέκυψαν άλλες μη αντιφατικές γεωμετρίες: η προβολική γεωμετρία διαχωρίστηκε από την Ευκλείδεια, σχηματίστηκε πολυδιάστατη ευκλείδεια γεωμετρία, προέκυψε η γεωμετρία του Ρίμαν ( γενική θεωρίαχώροι με αυθαίρετο νόμο μέτρησης των μηκών) κ.λπ. Από την επιστήμη των μορφών σε έναν τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, η γεωμετρία σε 40 - 50 χρόνια έχει μετατραπεί σε ένα σύνολο από διάφορες θεωρίες, μόνο κάπως παρόμοιες με τον πρόγονό της - τη γεωμετρία του Ευκλείδη.

  Τα κύρια στάδια της διαμόρφωσης των σύγχρονων μαθηματικών. Δομή των σύγχρονων μαθηματικών

• Ο ακαδημαϊκός A.N. Kolmogorov προσδιορίζει τέσσερις περιόδους στην ανάπτυξη των μαθηματικών Kolmogorov A.N. - Μαθηματικά, μαθηματικά εγκυκλοπαιδικό λεξικό, Μόσχα, Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια, 1988: η γέννηση των μαθηματικών, στοιχειώδη μαθηματικά, μαθηματικά μεταβλητών, σύγχρονα μαθηματικά.

  Κατά την ανάπτυξη των στοιχειωδών μαθηματικών, η θεωρία των αριθμών σταδιακά ξεφεύγει από την αριθμητική. Η άλγεβρα δημιουργείται ως κυριολεκτικός λογισμός. Και το σύστημα παρουσίασης της στοιχειώδους γεωμετρίας που δημιούργησαν οι αρχαίοι Έλληνες -η γεωμετρία του Ευκλείδη- για δύο χιλιετίες μπροστά έγινε πρότυπο απαγωγικής κατασκευής μαθηματική θεωρία.

  Τον 17ο αιώνα, οι απαιτήσεις της φυσικής επιστήμης και της τεχνολογίας οδήγησαν στη δημιουργία μεθόδων που καθιστούν δυνατή τη μαθηματική μελέτη της κίνησης, τις διαδικασίες μεταβολής των ποσοτήτων και τη μεταμόρφωση των γεωμετρικών σχημάτων. Με τη χρήση μεταβλητών στην αναλυτική γεωμετρία και τη δημιουργία διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού ξεκινά η περίοδος των μαθηματικών των μεταβλητών. Οι μεγάλες ανακαλύψεις του 17ου αιώνα είναι η έννοια μιας απειροελάχιστης ποσότητας που εισήγαγαν οι Newton και Leibniz, η δημιουργία των θεμελίων για την ανάλυση απειροελάχιστων ποσοτήτων ( μαθηματική ανάλυση).

  Η έννοια της συνάρτησης έρχεται στο προσκήνιο. Η συνάρτηση γίνεται το κύριο αντικείμενο μελέτης. Η μελέτη μιας συνάρτησης οδηγεί στις βασικές έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης: όριο, παράγωγος, διαφορικό, ολοκλήρωμα.

  Σε αυτήν την εποχή ανήκει και η εμφάνιση της λαμπρής ιδέας του R. Descartes για τη μέθοδο των συντεταγμένων. Δημιουργείται αναλυτική γεωμετρία, η οποία επιτρέπει τη μελέτη γεωμετρικών αντικειμένων με μεθόδους άλγεβρας και ανάλυσης. Από την άλλη πλευρά, η μέθοδος των συντεταγμένων άνοιξε τη δυνατότητα μιας γεωμετρικής ερμηνείας αλγεβρικών και αναλυτικών γεγονότων.

  Η περαιτέρω ανάπτυξη των μαθηματικών οδήγησε στις αρχές του 19ου αιώνα στη διατύπωση του προβλήματος της μελέτης πιθανών τύπων ποσοτικών σχέσεων και χωρικών μορφών από μια αρκετά γενική σκοπιά.

  Η σύνδεση μεταξύ μαθηματικών και φυσικών επιστημών γίνεται όλο και πιο περίπλοκη. Νέες θεωρίες προκύπτουν και προκύπτουν όχι μόνο ως αποτέλεσμα των απαιτήσεων της φυσικής επιστήμης και της τεχνολογίας, αλλά και ως αποτέλεσμα της εσωτερικής ανάγκης των μαθηματικών. Ένα αξιοσημείωτο παράδειγμα μιας τέτοιας θεωρίας είναι η φανταστική γεωμετρία του N.I. Lobachevsky. Η ανάπτυξη των μαθηματικών τον 19ο και τον 20ο αιώνα μας επιτρέπει να την αποδώσουμε στην περίοδο των σύγχρονων μαθηματικών. Η ίδια η ανάπτυξη των μαθηματικών, η μαθηματοποίηση διαφόρων τομέων της επιστήμης, η διείσδυση μαθηματικές μεθόδουςσε πολλούς τομείς πρακτικής δραστηριότητας, η πρόοδος της τεχνολογίας των υπολογιστών οδήγησε στην εμφάνιση νέων μαθηματικών κλάδων, για παράδειγμα, επιχειρησιακή έρευνα, θεωρία παιγνίων, μαθηματικά οικονομικά και άλλα.

  Οι κύριες μέθοδοι στη μαθηματική έρευνα είναι οι μαθηματικές αποδείξεις - αυστηρός λογικός συλλογισμός. Η μαθηματική σκέψη δεν περιορίζεται στον λογικό συλλογισμό. Η μαθηματική διαίσθηση είναι απαραίτητη για τη σωστή διατύπωση του προβλήματος, για την αξιολόγηση της επιλογής της μεθόδου επίλυσής του.

  Στα μαθηματικά μελετώνται μαθηματικά μοντέλα αντικειμένων. Το ίδιο μαθηματικό μοντέλο μπορεί να περιγράψει τις ιδιότητες πραγματικών φαινομένων που απέχουν το ένα από το άλλο. Ναι, το ίδιο πράγμα διαφορική εξίσωσημπορεί να περιγράψει τις διαδικασίες αύξησης του πληθυσμού και την αποσύνθεση του ραδιενεργού υλικού. Για έναν μαθηματικό, δεν είναι η φύση των υπό εξέταση αντικειμένων που είναι σημαντική, αλλά οι σχέσεις που υπάρχουν μεταξύ τους.

  Υπάρχουν δύο είδη συλλογισμού στα μαθηματικά: η επαγωγική και η επαγωγική.

  Η επαγωγή είναι μια ερευνητική μέθοδος στην οποία ένα γενικό συμπέρασμα βασίζεται σε συγκεκριμένες υποθέσεις.

  Η έκπτωση είναι μια μέθοδος συλλογισμού μέσω της οποίας προκύπτει συμπέρασμα συγκεκριμένης φύσης από γενικές προϋποθέσεις.

  Τα μαθηματικά διαδραματίζουν σημαντικό ρόλο στην έρευνα των φυσικών επιστημών, της μηχανικής και των ανθρωπιστικών επιστημών. Ο λόγος για τη διείσδυση των μαθηματικών σε διάφορους κλάδους της γνώσης είναι ότι προσφέρει πολύ σαφή μοντέλα για τη μελέτη της περιβάλλουσας πραγματικότητας, σε αντίθεση με τα λιγότερο γενικά και πιο ασαφή μοντέλα που προσφέρουν άλλες επιστήμες. Χωρίς τα σύγχρονα μαθηματικά, με την ανεπτυγμένη λογική και υπολογιστική τους συσκευή, η πρόοδος σε διάφορους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας θα ήταν αδύνατη.

  Τα μαθηματικά δεν είναι μόνο ένα ισχυρό εργαλείο για την επίλυση εφαρμοσμένων προβλημάτων και μια καθολική γλώσσα της επιστήμης, αλλά και ένα στοιχείο μιας κοινής κουλτούρας.

  Βασικά χαρακτηριστικά της μαθηματικής σκέψης

• Σε αυτό το θέμα, ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει το χαρακτηριστικό της μαθηματικής σκέψης που δίνει ο A.Ya. Khinchin, ή μάλλον, η συγκεκριμένη ιστορική της μορφή - το στυλ της μαθηματικής σκέψης. Αποκαλύπτοντας την ουσία του στυλ της μαθηματικής σκέψης, ξεχωρίζει τέσσερα χαρακτηριστικά κοινά σε όλες τις εποχές που διακρίνουν αισθητά αυτό το στυλ από τα στυλ σκέψης σε άλλες επιστήμες.

  Πρώτον, ο μαθηματικός χαρακτηρίζεται από την κυριαρχία του λογικού σχήματος συλλογισμού που έχει φτάσει στο όριο. Ένας μαθηματικός που χάνει από τα μάτια του αυτό το σχήμα, τουλάχιστον προσωρινά, χάνει εντελώς την ικανότητα να σκέφτεται επιστημονικά. Αυτό το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό του στυλ της μαθηματικής σκέψης έχει μεγάλη αξία από μόνο του. Είναι προφανές ότι στο μέγιστο βαθμό σας επιτρέπει να παρακολουθείτε την ορθότητα της ροής της σκέψης και εγγυάται για σφάλματα. Αφετέρου, αναγκάζει τον στοχαστή να έχει μπροστά στα μάτια του το σύνολο των διαθέσιμων δυνατοτήτων κατά την ανάλυση και τον υποχρεώνει να λάβει υπόψη του καθεμία από αυτές χωρίς να χάσει ούτε μία (τέτοιες παραλείψεις είναι πολύ πιθανές και, μάλιστα, συχνά παρατηρούνται σε άλλα στυλ σκέψης).

  Δεύτερον, συνοπτικότητα, δηλ. η συνειδητή επιθυμία να βρίσκουμε πάντα το συντομότερο λογικό μονοπάτι που οδηγεί σε έναν δεδομένο στόχο, την ανελέητη απόρριψη όλων όσων είναι απολύτως απαραίτητα για την άψογη εγκυρότητα του επιχειρήματος. Ένα μαθηματικό δοκίμιο καλού ύφους, δεν ανέχεται κανένα "νερό", κανένα εξωραϊσμό, αποδυνάμωση της λογικής έντασης του τσαντισμού, απόσπασης της προσοχής στο πλάι. Η ακραία τσιγκουνιά, η αυστηρή αυστηρότητα της σκέψης και η παρουσίασή της αποτελούν αναπόσπαστο χαρακτηριστικό της μαθηματικής σκέψης. Αυτό το χαρακτηριστικό έχει μεγάλη αξία όχι μόνο για το μαθηματικό, αλλά και για κάθε άλλο σοβαρό συλλογισμό. Ο λακωνισμός, η επιθυμία να μην επιτρέπεται τίποτα περιττό, βοηθά τόσο τον ίδιο τον στοχαστή όσο και τον αναγνώστη ή τον ακροατή του να συγκεντρωθούν πλήρως αυτό το μάθημασκέψεις χωρίς να αποσπάται η προσοχή από παράπλευρες ιδέες και χωρίς να χάνεται η άμεση επαφή με την κύρια γραμμή συλλογισμού.

  Οι διαφωτιστές της επιστήμης, κατά κανόνα, σκέφτονται και εκφράζονται συνοπτικά σε όλους τους τομείς της γνώσης, ακόμη και όταν η σκέψη τους δημιουργεί και εκθέτει θεμελιωδώς νέες ιδέες. Τι μεγαλειώδης εντύπωση, για παράδειγμα, η ευγενής τσιγκουνιά της σκέψης και του λόγου των μεγαλύτερων δημιουργών της φυσικής: του Νεύτωνα, του Αϊνστάιν, του Νιλς Μπορ! Ίσως είναι δύσκολο να βρεθεί ένα πιο εντυπωσιακό παράδειγμα για το πόσο βαθιά επίδραση μπορεί να έχει το στυλ σκέψης των δημιουργών του στην ανάπτυξη της επιστήμης.

  Για τα μαθηματικά, η συνοπτική σκέψη είναι ένας αδιαμφισβήτητος νόμος, αγιοποιημένος για αιώνες. Οποιαδήποτε προσπάθεια επιβάρυνσης της παρουσίασης με όχι απαραίτητα απαραίτητες (ακόμη και ευχάριστες και συναρπαστικές για τους ακροατές) εικόνες, περισπασμούς, ρητορική τίθεται εκ των προτέρων υπό εύλογη υποψία και αυτόματα προκαλεί κριτική εγρήγορση.

  Τρίτον, μια σαφής ανατομή της πορείας του συλλογισμού. Εάν, για παράδειγμα, όταν αποδεικνύουμε μια πρόταση, πρέπει να εξετάσουμε τέσσερις πιθανές περιπτώσεις, καθεμία από τις οποίες μπορεί να αναλυθεί σε έναν ή άλλο αριθμό υποπεριπτώσεων, τότε σε κάθε στιγμή συλλογισμού, ο μαθηματικός πρέπει να θυμάται ξεκάθαρα σε ποια περίπτωση και υποπερίπτωση τώρα αποκτάται σκέψη και ποιες περιπτώσεις και υποπεριπτώσεις πρέπει ακόμη να εξετάσει. Με κάθε είδους διακλαδισμένες απαριθμήσεις, ο μαθηματικός πρέπει κάθε στιγμή να έχει επίγνωση της γενικής έννοιας για την οποία απαριθμεί τις έννοιες των συστατικών ειδών της. Στη συνηθισμένη, μη επιστημονική σκέψη, πολύ συχνά παρατηρούμε σύγχυση και άλματα σε τέτοιες περιπτώσεις, που οδηγούν σε σύγχυση και λάθη στο συλλογισμό. Συχνά συμβαίνει ότι ένα άτομο αρχίζει να απαριθμεί τα είδη ενός γένους και στη συνέχεια, ανεπαίσθητα στους ακροατές (και συχνά στον εαυτό του), χρησιμοποιώντας την ανεπαρκή λογική ευκρίνεια του συλλογισμού, πήδηξε σε ένα άλλο γένος και τελειώνει με τη δήλωση ότι και τα δύο γένη έχουν πλέον ταξινομηθεί? και οι ακροατές ή οι αναγνώστες δεν ξέρουν πού βρίσκεται το όριο μεταξύ των ειδών του πρώτου και του δεύτερου είδους.

  Προκειμένου να καταστήσουν αδύνατες τέτοιες σύγχυση και άλματα, οι μαθηματικοί έχουν κάνει από καιρό εκτεταμένη χρήση απλών εξωτερικών μεθόδων αρίθμησης εννοιών και κρίσεων, που μερικές φορές (αλλά πολύ λιγότερο συχνά) χρησιμοποιούνται σε άλλες επιστήμες. Αυτές οι πιθανές περιπτώσεις ή εκείνες οι γενικές έννοιες που θα πρέπει να ληφθούν υπόψη σε αυτό το σκεπτικό επαναριθμούνται εκ των προτέρων. Σε κάθε τέτοια περίπτωση, οι υποπεριπτώσεις που πρέπει να θεωρηθεί ότι περιέχει επαναριθμούνται επίσης (μερικές φορές, για διάκριση, χρησιμοποιώντας κάποιο άλλο σύστημα αρίθμησης). Πριν από κάθε παράγραφο, όπου ξεκινά η εξέταση μιας νέας υποπερίπτωσης, τίθεται ο προσδιορισμός που γίνεται αποδεκτός για αυτήν την υποπερίπτωση (για παράδειγμα: II 3 - αυτό σημαίνει ότι η εξέταση της τρίτης υποπερίπτωσης της δεύτερης περίπτωσης αρχίζει εδώ ή η περιγραφή της τρίτης τύπου δεύτερου είδους, αν μιλάμε για ταξινόμηση). Και ο αναγνώστης ξέρει ότι μέχρι να συναντήσει μια νέα αριθμητική ρουμπρίκα, όλα όσα παρουσιάζονται ισχύουν μόνο για αυτήν την περίπτωση και την υποπερίπτωση. Είναι αυτονόητο ότι μια τέτοια αρίθμηση είναι μόνο μια εξωτερική συσκευή, πολύ χρήσιμη, αλλά σε καμία περίπτωση υποχρεωτική, και ότι η ουσία του θέματος δεν βρίσκεται σε αυτήν, αλλά σε αυτήν τη διακριτή διαίρεση επιχειρηματολογίας ή ταξινόμησης, την οποία υποκινεί και επισημαίνει. από μόνο του.

  Τέταρτον, σχολαστική ακρίβεια συμβόλων, τύπων, εξισώσεων. Δηλαδή, «κάθε μαθηματικό σύμβολο έχει ένα αυστηρά καθορισμένο νόημα: η αντικατάστασή του με ένα άλλο σύμβολο ή η αναδιάταξη του σε άλλο μέρος, κατά κανόνα, συνεπάγεται παραμόρφωση και μερικές φορές πλήρη καταστροφή του νοήματος αυτής της δήλωσης».

  Έχοντας ξεχωρίσει τα κύρια χαρακτηριστικά του μαθηματικού στυλ σκέψης, ο A.Ya. Khinchin σημειώνει ότι τα μαθηματικά (ειδικά τα μαθηματικά των μεταβλητών) από τη φύση τους έχουν διαλεκτικό χαρακτήρα και επομένως συμβάλλουν στην ανάπτυξη της διαλεκτικής σκέψης. Πράγματι, στη διαδικασία της μαθηματικής σκέψης υπάρχει μια αλληλεπίδραση μεταξύ οπτικής (συγκεκριμένης) και εννοιολογικής (αφηρημένης). «Δεν μπορούμε να σκεφτούμε γραμμές», έγραψε ο Καντ, «χωρίς να το σχεδιάσουμε διανοητικά, δεν μπορούμε να σκεφτούμε τρεις διαστάσεις για τον εαυτό μας χωρίς να σχεδιάσουμε τρεις γραμμές κάθετες μεταξύ τους από ένα σημείο».

  Η αλληλεπίδραση συγκεκριμένης και αφηρημένης «οδήγησε» τη μαθηματική σκέψη στην ανάπτυξη νέων και νέων εννοιών και φιλοσοφικών κατηγοριών. Στα αρχαία μαθηματικά (μαθηματικά των σταθερών), αυτά ήταν ο «αριθμός» και ο «χώρος», τα οποία αρχικά αντικατοπτρίστηκαν στην αριθμητική και την ευκλείδεια γεωμετρία και αργότερα στην άλγεβρα και σε διάφορα γεωμετρικά συστήματα. Τα μαθηματικά των μεταβλητών «βασίστηκαν» σε έννοιες που αντανακλούσαν την κίνηση της ύλης - «πεπερασμένο», «άπειρο», «συνέχεια», «διακριτή», «άπειρα μικρό», «παράγωγο» κ.λπ.

  Αν μιλάμε για το τρέχον ιστορικό στάδιο στην ανάπτυξη της μαθηματικής γνώσης, τότε συμβαδίζει με την περαιτέρω ανάπτυξη των φιλοσοφικών κατηγοριών: η θεωρία των πιθανοτήτων «εξουσιάζει» τις κατηγορίες του δυνατού και του τυχαίου. Τοπολογία - κατηγορίες σχέσης και συνέχειας. θεωρία καταστροφών - κατηγορία άλματος; ομαδική θεωρία - κατηγορίες συμμετρίας και αρμονίας κ.λπ.

  Στη μαθηματική σκέψη, εκφράζονται τα κύρια μοτίβα κατασκευής λογικών συνδέσεων παρόμοιων σε μορφή. Με τη βοήθειά του, πραγματοποιείται η μετάβαση από τον ενικό (ας πούμε, από ορισμένες μαθηματικές μεθόδους - αξιωματικές, αλγοριθμικές, εποικοδομητικές, θεωρητικές συνόλων και άλλες) στις ειδικές και γενικές, σε γενικευμένες απαγωγικές κατασκευές. Η ενότητα των μεθόδων και του θέματος των μαθηματικών καθορίζει τις ιδιαιτερότητες της μαθηματικής σκέψης, μας επιτρέπει να μιλάμε για μια ειδική μαθηματική γλώσσα που όχι μόνο αντανακλά την πραγματικότητα, αλλά και συνθέτει, γενικεύει και προβλέπει την επιστημονική γνώση. Η δύναμη και η ομορφιά της μαθηματικής σκέψης βρίσκεται στην απόλυτη σαφήνεια της λογικής της, στην κομψότητα των κατασκευών και στην επιδέξια κατασκευή των αφαιρέσεων.

  Θεμελιωδώς νέες δυνατότητες νοητικής δραστηριότητας άνοιξαν με την εφεύρεση του υπολογιστή, με τη δημιουργία των μηχανικών μαθηματικών. Σημαντικές αλλαγές έχουν γίνει στη γλώσσα των μαθηματικών. Εάν η γλώσσα των κλασικών υπολογιστικών μαθηματικών αποτελούνταν από τύπους άλγεβρας, γεωμετρίας και ανάλυσης, εστιασμένες στην περιγραφή των συνεχών διεργασιών της φύσης, που μελετήθηκαν κυρίως στη μηχανική, την αστρονομία, τη φυσική, τότε η σύγχρονη γλώσσα της είναι η γλώσσα των αλγορίθμων και των προγραμμάτων, συμπεριλαμβανομένων η παλιά γλώσσα των τύπων ως ιδιαίτερη περίπτωση.

  Η γλώσσα των σύγχρονων υπολογιστικών μαθηματικών γίνεται όλο και πιο καθολική, ικανή να περιγράφει πολύπλοκα (πολυπαραμετρικά) συστήματα. Ταυτόχρονα, θα ήθελα να τονίσω ότι όσο τέλεια κι αν είναι η μαθηματική γλώσσα, ενισχυμένη από την τεχνολογία των ηλεκτρονικών υπολογιστών, δεν διακόπτει τους δεσμούς με την ποικιλόμορφη «ζωντανή», φυσική γλώσσα. λίγο από, καθομιλουμένηείναι η βάση μιας τεχνητής γλώσσας. Από αυτή την άποψη, η πρόσφατη ανακάλυψη επιστημόνων παρουσιάζει ενδιαφέρον. Το θέμα είναι ότι η αρχαία γλώσσα των Ινδιάνων Aymara, την οποία ομιλούν περίπου 2,5 εκατομμύρια άνθρωποι στη Βολιβία και το Περού, αποδείχθηκε εξαιρετικά βολική για την τεχνολογία των υπολογιστών. Ήδη από το 1610, ο Ιταλός Ιησουίτης ιεραπόστολος Ludovico Bertoni, ο οποίος συνέταξε το πρώτο λεξικό Aymara, σημείωσε την ιδιοφυΐα των δημιουργών του, που πέτυχαν υψηλή λογική καθαρότητα. Στην Aymara, για παράδειγμα, δεν υπάρχουν ακανόνιστα ρήματα και δεν υπάρχουν εξαιρέσεις από τους λίγους σαφείς γραμματικούς κανόνες. Αυτά τα χαρακτηριστικά της γλώσσας Aymara επέτρεψαν στον Βολιβιανό μαθηματικό Ivan Guzman de Rojas να δημιουργήσει ένα σύστημα ταυτόχρονης μετάφρασης σε υπολογιστή από οποιαδήποτε από τις πέντε ευρωπαϊκές γλώσσες που περιλαμβάνονται στο πρόγραμμα, η «γέφυρα» μεταξύ των οποίων είναι η γλώσσα Aymara. Ο υπολογιστής «Aymara», που δημιούργησε ένας Βολιβιανός επιστήμονας, εκτιμήθηκε ιδιαίτερα από τους ειδικούς. Συνοψίζοντας αυτό το μέρος της ερώτησης σχετικά με την ουσία του μαθηματικού στυλ σκέψης, θα πρέπει να σημειωθεί ότι το κύριο περιεχόμενο του είναι η κατανόηση της φύσης.

  Αξιωματική Μέθοδος

• Η αξιωματική είναι ο κύριος τρόπος κατασκευής μιας θεωρίας, από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα, επιβεβαιώνοντας την καθολικότητα και κάθε εφαρμογή της.

  Η κατασκευή μιας μαθηματικής θεωρίας βασίζεται στην αξιωματική μέθοδο. Η επιστημονική θεωρία βασίζεται σε ορισμένες αρχικές διατάξεις, που ονομάζονται αξιώματα, και όλες οι άλλες διατάξεις της θεωρίας λαμβάνονται ως λογικές συνέπειες των αξιωμάτων.

  Η αξιωματική μέθοδος εμφανίστηκε στην αρχαία Ελλάδα, και χρησιμοποιείται σήμερα σε όλες σχεδόν τις θεωρητικές επιστήμες, και κυρίως στα μαθηματικά.

  Συγκρίνοντας τρεις, από μια άποψη, συμπληρωματικές γεωμετρίες: Ευκλείδεια (παραβολική), Lobachevsky (υπερβολική) και Riemannian (ελλειπτική), πρέπει να σημειωθεί ότι, μαζί με ορισμένες ομοιότητες, υπάρχει μεγάλη διαφορά μεταξύ της σφαιρικής γεωμετρίας, στο ένα χέρι, και οι γεωμετρίες του Ευκλείδη και του Λομπατσέφσκι - από την άλλη.

  Η θεμελιώδης διαφορά μεταξύ της σύγχρονης γεωμετρίας είναι ότι πλέον αγκαλιάζει τις «γεωμετρίες» ενός άπειρου αριθμού διαφορετικών φανταστικών χώρων. Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι όλες αυτές οι γεωμετρίες είναι ερμηνείες της Ευκλείδειας γεωμετρίας και βασίζονται στην αξιωματική μέθοδο που χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Ευκλείδη.

  Με βάση την έρευνα, η αξιωματική μέθοδος έχει αναπτυχθεί και χρησιμοποιείται ευρέως. Ως ειδική περίπτωση εφαρμογής αυτής της μεθόδου είναι η μέθοδος των ιχνών στη στερεομετρία, η οποία επιτρέπει την επίλυση προβλημάτων σχετικά με την κατασκευή τομών σε πολύεδρα και ορισμένα άλλα προβλήματα θέσης.

  Η αξιωματική μέθοδος, που αναπτύχθηκε για πρώτη φορά στη γεωμετρία, έχει γίνει πλέον σημαντικό εργαλείο μελέτης σε άλλους κλάδους των μαθηματικών, της φυσικής και της μηχανικής. Επί του παρόντος, γίνονται εργασίες για τη βελτίωση και τη μελέτη της αξιωματικής μεθόδου κατασκευής μιας θεωρίας σε μεγαλύτερο βάθος.

  Η αξιωματική μέθοδος κατασκευής μιας επιστημονικής θεωρίας συνίσταται στην ανάδειξη των βασικών εννοιών, στη διατύπωση των αξιωμάτων των θεωριών και όλες οι άλλες προτάσεις προέρχονται με λογικό τρόπο, βασιζόμενοι σε αυτές. Είναι γνωστό ότι μια έννοια πρέπει να εξηγηθεί με τη βοήθεια άλλων, οι οποίες, με τη σειρά τους, ορίζονται επίσης με τη βοήθεια κάποιων γνωστών εννοιών. Έτσι, φτάνουμε σε στοιχειώδεις έννοιες που δεν μπορούν να οριστούν με όρους άλλων. Αυτές οι έννοιες ονομάζονται βασικές.

  Όταν αποδεικνύουμε μια δήλωση, ένα θεώρημα, βασιζόμαστε σε υποθέσεις που θεωρούνται ήδη αποδεδειγμένες. Αλλά και αυτές οι προϋποθέσεις αποδείχθηκαν, έπρεπε να τεκμηριωθούν. Τελικά φτάνουμε σε αναπόδεικτες δηλώσεις και τις αποδεχόμαστε χωρίς αποδείξεις. Αυτές οι προτάσεις ονομάζονται αξιώματα. Το σύνολο των αξιωμάτων πρέπει να είναι τέτοιο ώστε, βασιζόμενος σε αυτό, να μπορεί κανείς να αποδείξει περαιτέρω δηλώσεις.

  Έχοντας ξεχωρίσει τις κύριες έννοιες και διατυπώσαμε τα αξιώματα, στη συνέχεια εξάγουμε θεωρήματα και άλλες έννοιες με λογικό τρόπο. Αυτή είναι η λογική δομή της γεωμετρίας. Τα αξιώματα και οι βασικές έννοιες αποτελούν τα θεμέλια της επιπεδομετρίας.

  Δεδομένου ότι είναι αδύνατο να δοθεί ένας ενιαίος ορισμός των βασικών εννοιών για όλες τις γεωμετρίες, οι βασικές έννοιες της γεωμετρίας θα πρέπει να οριστούν ως αντικείμενα οποιασδήποτε φύσης που ικανοποιούν τα αξιώματα αυτής της γεωμετρίας. Έτσι, στην αξιωματική κατασκευή ενός γεωμετρικού συστήματος, ξεκινάμε από ένα ορισμένο σύστημα αξιωμάτων, ή αξιωματικά. Αυτά τα αξιώματα περιγράφουν τις ιδιότητες των βασικών εννοιών ενός γεωμετρικού συστήματος και μπορούμε να αναπαραστήσουμε τις βασικές έννοιες με τη μορφή αντικειμένων οποιασδήποτε φύσης που έχουν τις ιδιότητες που καθορίζονται στα αξιώματα.

  Αφού διατυπωθούν και αποδειχθούν οι πρώτες γεωμετρικές προτάσεις, καθίσταται δυνατή η απόδειξη ορισμένων προτάσεων (θεωρημάτων) με τη βοήθεια άλλων. Οι αποδείξεις πολλών θεωρημάτων αποδίδονται στον Πυθαγόρα και τον Δημόκριτο.

  Στον Ιπποκράτη Χίου πιστώνεται η σύνταξη του πρώτου συστηματική πορείαγεωμετρία βασισμένη σε ορισμούς και αξιώματα. Αυτό το μάθημα και οι επόμενες επεξεργασίες του ονομάστηκαν «Στοιχεία».

  Αξιωματική μέθοδος κατασκευής επιστημονικής θεωρίας

• Η δημιουργία μιας απαγωγικής ή αξιωματικής μεθόδου δόμησης της επιστήμης είναι ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα της μαθηματικής σκέψης. Απαιτούσε τη δουλειά πολλών γενεών επιστημόνων.

  Ένα αξιοσημείωτο χαρακτηριστικό του απαγωγικού συστήματος παρουσίασης είναι η απλότητα αυτής της κατασκευής, που καθιστά δυνατή την περιγραφή της με λίγες λέξεις.

  Το απαγωγικό σύστημα παρουσίασης περιορίζεται σε:

  1) στον κατάλογο των βασικών εννοιών,

  2) στην παρουσίαση των ορισμών,

  3) στην παρουσίαση των αξιωμάτων,

  4) στην παρουσίαση των θεωρημάτων,

  5) στην απόδειξη αυτών των θεωρημάτων.

  Το αξίωμα είναι μια δήλωση που γίνεται αποδεκτή χωρίς απόδειξη.

  Θεώρημα είναι μια δήλωση που προκύπτει από αξιώματα.

  Απόδειξη - συστατικόαπαγωγικό σύστημα, είναι ο συλλογισμός που δείχνει ότι η αλήθεια μιας πρότασης προκύπτει λογικά από την αλήθεια των προηγούμενων θεωρημάτων ή αξιωμάτων.

  Μέσα σε ένα απαγωγικό σύστημα, δύο ερωτήματα δεν μπορούν να επιλυθούν: 1) σχετικά με το νόημα των βασικών εννοιών, 2) σχετικά με την αλήθεια των αξιωμάτων. Αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι αυτά τα ερωτήματα είναι γενικά άλυτα.

  Η ιστορία της φυσικής επιστήμης δείχνει ότι η δυνατότητα μιας αξιωματικής κατασκευής μιας συγκεκριμένης επιστήμης εμφανίζεται μόνο σε ένα αρκετά υψηλό επίπεδο ανάπτυξης αυτής της επιστήμης, με βάση μεγάλο όγκο πραγματικού υλικού, το οποίο καθιστά δυνατό τον σαφή προσδιορισμό των βασικών συνδέσεις και σχέσεις που υπάρχουν μεταξύ των αντικειμένων που μελετά αυτή η επιστήμη.

  Ένα παράδειγμα της αξιωματικής κατασκευής της μαθηματικής επιστήμης είναι η στοιχειώδης γεωμετρία. Το σύστημα των αξιωμάτων της γεωμετρίας εξήγησε ο Ευκλείδης (περίπου το 300 π.Χ.) στο έργο «Αρχές» αξεπέραστο στη σημασία του. Αυτό το σύστημα έχει επιβιώσει σε μεγάλο βαθμό μέχρι σήμερα.

  Βασικές έννοιες: σημείο, γραμμή, επίπεδο βασικές εικόνες. βρίσκονται ανάμεσα, ανήκουν, κινούνται.

  Η στοιχειώδης γεωμετρία έχει 13 αξιώματα, τα οποία χωρίζονται σε πέντε ομάδες. Στην πέμπτη ομάδα, υπάρχει ένα αξίωμα σχετικά με τις παραλλήλους (υπόθεση V του Ευκλείδη): μέσω ενός σημείου σε ένα επίπεδο, μπορεί να σχεδιαστεί μόνο μία ευθεία γραμμή που δεν τέμνει αυτήν την ευθεία. Αυτό είναι το μόνο αξίωμα που προκάλεσε την ανάγκη για απόδειξη. Οι προσπάθειες να αποδειχθεί το πέμπτο αξίωμα απασχόλησαν τους μαθηματικούς για περισσότερες από 2 χιλιετίες, μέχρι το πρώτο μισό του 19ου αιώνα, δηλ. μέχρι τη στιγμή που ο Νικολάι Ιβάνοβιτς Λομπατσέφσκι απέδειξε στα γραπτά του την πλήρη απελπισία αυτών των προσπαθειών. Προς το παρόν, το μη αποδεικτικό του πέμπτου αξιώματος είναι ένα αυστηρά αποδεδειγμένο μαθηματικό γεγονός.

  Αξίωμα περί παράλληλου Ν.Ι. Ο Λομπατσέφσκι αντικατέστησε το αξίωμα: Έστω μια ευθεία γραμμή και ένα σημείο που βρίσκεται εκτός της ευθείας σε ένα δεδομένο επίπεδο. Μέσα από αυτό το σημείο, τουλάχιστον δύο παράλληλες ευθείες μπορούν να σχεδιαστούν στη δεδομένη ευθεία.

  Από το νέο σύστημα αξιωμάτων N.I. Ο Λομπατσέφσκι, με άψογη λογική αυστηρότητα, συνήγαγε ένα συνεκτικό σύστημα θεωρημάτων που συνιστούν το περιεχόμενο της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας. Και οι δύο γεωμετρίες του Ευκλείδη και του Λομπατσέφσκι είναι ίσες ως λογικά συστήματα.

  Τρεις μεγάλοι μαθηματικοί τον 19ο αιώνα σχεδόν ταυτόχρονα, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον, κατέληξαν στα ίδια αποτελέσματα του αναπόδεικτου του πέμπτου αξιώματος και στη δημιουργία της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας.

  Νικολάι Ιβάνοβιτς Λομπατσέφσκι (1792-1856)

  Καρλ Φρίντριχ Γκάους (1777-1855)

  Janos Bolyai (1802-1860)

  Μαθηματική απόδειξη

• Η κύρια μέθοδος στη μαθηματική έρευνα είναι η μαθηματική απόδειξη - ο αυστηρός λογικός συλλογισμός. Λόγω αντικειμενικής αναγκαιότητας, επισημαίνει το αντεπιστέλλον μέλος της Ρωσικής Ακαδημίας Επιστημών L.D. Kudryavtsev Kudryavtsev L.D. - Τα σύγχρονα μαθηματικά και η διδασκαλία τους, Μόσχα, Nauka, 1985, ο λογικός συλλογισμός (που από τη φύση του, αν είναι σωστός, είναι και αυστηρός) είναι μια μέθοδος μαθηματικών, τα μαθηματικά είναι αδιανόητα χωρίς αυτά. Πρέπει να σημειωθεί ότι η μαθηματική σκέψη δεν περιορίζεται στη λογική. Για τη σωστή διατύπωση του προβλήματος, για την αξιολόγηση των δεδομένων του, για την επιλογή σημαντικών από αυτά και για την επιλογή μιας μεθόδου επίλυσής του, απαιτείται επίσης μαθηματική διαίσθηση, η οποία καθιστά δυνατή την πρόβλεψη του επιθυμητού αποτελέσματος πριν προκύπτει, για να σκιαγραφηθεί η διαδρομή της έρευνας με τη βοήθεια εύλογου συλλογισμού. Αλλά η εγκυρότητα του υπό εξέταση γεγονότος αποδεικνύεται όχι με τον έλεγχο του σε μια σειρά παραδειγμάτων, ούτε με τη διεξαγωγή ορισμένων πειραμάτων (που από μόνο του παίζει μεγάλο ρόλο στη μαθηματική έρευνα), αλλά με έναν καθαρά λογικό τρόπο, σύμφωνα με την νόμους της τυπικής λογικής.

  Πιστεύεται ότι η μαθηματική απόδειξη είναι η απόλυτη αλήθεια. Μια απόφαση που βασίζεται σε καθαρή λογική απλά δεν μπορεί να είναι λάθος. Αλλά με την ανάπτυξη της επιστήμης και τα καθήκοντα ενώπιον των μαθηματικών γίνονται όλο και πιο περίπλοκα.

  «Έχουμε εισέλθει σε μια εποχή όπου η μαθηματική συσκευή έχει γίνει τόσο περίπλοκη και δυσκίνητη που με την πρώτη ματιά δεν είναι πλέον δυνατό να πούμε αν το πρόβλημα που αντιμετωπίζεται είναι αληθινό ή όχι», πιστεύει ο Keith Devlin από το Πανεπιστήμιο Stanford, Καλιφόρνια, ΗΠΑ. Αναφέρει ως παράδειγμα την «ταξινόμηση απλών πεπερασμένων ομάδων», η οποία διατυπώθηκε το 1980, αλλά δεν έχει ακόμη αποδοθεί πλήρης ακριβής απόδειξη. Πιθανότατα, το θεώρημα είναι αληθινό, αλλά είναι αδύνατο να πούμε με βεβαιότητα για αυτό.

  Ούτε μια λύση υπολογιστή δεν μπορεί να ονομαστεί ακριβής, επειδή τέτοιοι υπολογισμοί έχουν πάντα ένα σφάλμα. Το 1998, ο Hales πρότεινε μια λύση με τη βοήθεια υπολογιστή στο θεώρημα του Kepler, που διατυπώθηκε το 1611. Αυτό το θεώρημα περιγράφει την πυκνότερη συσσώρευση σφαιρών στο διάστημα. Η απόδειξη παρουσιάστηκε σε 300 σελίδες και περιείχε 40.000 γραμμές κώδικα μηχανής. 12 κριτές έλεγξαν τη λύση για ένα χρόνο, αλλά ποτέ δεν πέτυχαν 100% εμπιστοσύνη για την ορθότητα της απόδειξης και η μελέτη στάλθηκε για αναθεώρηση. Ως αποτέλεσμα, δημοσιεύτηκε μόνο μετά από τέσσερα χρόνια και χωρίς πλήρη πιστοποίηση των κριτών.

  Όλοι οι τελευταίοι υπολογισμοί για εφαρμοσμένα προβλήματα γίνονται σε υπολογιστή, αλλά οι επιστήμονες πιστεύουν ότι για μεγαλύτερη αξιοπιστία, οι μαθηματικοί υπολογισμοί θα πρέπει να παρουσιάζονται χωρίς σφάλματα.

  Η θεωρία της απόδειξης αναπτύσσεται στη λογική και περιλαμβάνει τρία δομικά στοιχεία: διατριβή (τι υποτίθεται ότι πρέπει να αποδειχθεί), επιχειρήματα (ένα σύνολο γεγονότων, γενικά αποδεκτές έννοιες, νόμοι κ.λπ. της σχετικής επιστήμης) και επίδειξη (η διαδικασία για ανάπτυξη αποδεικτικών στοιχείων· μια συνεπής αλυσίδα συμπερασμάτων όταν το nth συμπέρασμα γίνεται μία από τις προϋποθέσεις του n+1ου συμπερασμάτων). Διακρίνονται οι κανόνες απόδειξης, υποδεικνύονται πιθανά λογικά λάθη.

  Η μαθηματική απόδειξη έχει πολλά κοινά με τις αρχές που θεσπίζονται από την τυπική λογική. Επιπλέον, οι μαθηματικοί κανόνες συλλογισμού και πράξεων χρησίμευσαν προφανώς ως ένα από τα θεμέλια στην ανάπτυξη της αποδεικτικής διαδικασίας στη λογική. Ειδικότερα, οι ερευνητές της ιστορίας του σχηματισμού της τυπικής λογικής πιστεύουν ότι κάποτε, όταν ο Αριστοτέλης έκανε τα πρώτα βήματα για τη δημιουργία νόμων και κανόνων λογικής, στράφηκε στα μαθηματικά και στην άσκηση της νομικής δραστηριότητας. Σε αυτές τις πηγές, βρήκε υλικό για τις λογικές κατασκευές της συλληφθείσας θεωρίας.

  Τον 20ό αιώνα, η έννοια της απόδειξης έχασε το αυστηρό νόημά της, κάτι που συνέβη σε σχέση με την ανακάλυψη λογικών παραδόξων που κρύβονται στη θεωρία συνόλων και ιδιαίτερα σε σχέση με τα αποτελέσματα που έφεραν τα θεωρήματα του K. Gödel για την ατελότητα της επισημοποίησης.

  Πρώτα απ 'όλα, αυτό επηρέασε τα ίδια τα μαθηματικά, σε σχέση με τα οποία πιστεύεται ότι ο όρος "απόδειξη" δεν έχει ακριβής ορισμός. Αν όμως μια τέτοια άποψη (που ισχύει και σήμερα) επηρεάζει τα ίδια τα μαθηματικά, τότε καταλήγουν στο συμπέρασμα ότι η απόδειξη πρέπει να γίνει δεκτή όχι με τη λογική-μαθηματική, αλλά με την ψυχολογική έννοια. Επιπλέον, παρόμοια άποψη συναντάμε και στον ίδιο τον Αριστοτέλη, ο οποίος πίστευε ότι το να αποδεικνύουμε σημαίνει να διεξάγουμε έναν συλλογισμό που θα μας έπειθε σε τέτοιο βαθμό που, χρησιμοποιώντας τον, πείθουμε τους άλλους για την ορθότητα κάτι. Βρίσκουμε μια ορισμένη απόχρωση της ψυχολογικής προσέγγισης στην A.E. Yesenin-Volpin. Αντιτίθεται σθεναρά στην αποδοχή της αλήθειας χωρίς απόδειξη, συνδέοντάς τη με μια πράξη πίστης και γράφει περαιτέρω: «Ονομάζω την απόδειξη μιας κρίσης μια έντιμη μέθοδο που καθιστά αυτήν την κρίση αναμφισβήτητη». Ο Yesenin-Volpin αναφέρει ότι ο ορισμός του πρέπει ακόμη να διευκρινιστεί. Ταυτόχρονα, ο ίδιος ο χαρακτηρισμός των αποδεικτικών στοιχείων ως «τίμιας μεθόδου» δεν προδίδει έφεση σε ηθικοψυχολογική εκτίμηση;

  Ταυτόχρονα, η ανακάλυψη των θεωρητικών παραδόξων συνόλων και η εμφάνιση των θεωρημάτων του Γκόντελ μόλις συνέβαλαν στην ανάπτυξη της θεωρίας της μαθηματικής απόδειξης που ανέλαβαν οι διαισθησιολόγοι, ιδιαίτερα η κονστρουκτιβιστική κατεύθυνση, και ο D. Hilbert.

  Μερικές φορές πιστεύεται ότι η μαθηματική απόδειξη είναι καθολική και αντιπροσωπεύει μια ιδανική εκδοχή της επιστημονικής απόδειξης. Ωστόσο, δεν είναι η μόνη μέθοδος· υπάρχουν και άλλες μέθοδοι διαδικασιών και πράξεων που βασίζονται σε στοιχεία. Είναι αλήθεια μόνο ότι η μαθηματική απόδειξη έχει πολλά κοινά με την τυπική λογική που εφαρμόζεται στις φυσικές επιστήμες και ότι η μαθηματική απόδειξη έχει ορισμένες ιδιαιτερότητες, καθώς και το σύνολο των τεχνικών-πράξεων. Εδώ θα σταματήσουμε, παραλείποντας το γενικό που το κάνει να σχετίζεται με άλλες μορφές αποδείξεων, δηλαδή χωρίς να επεκτείνουμε τον αλγόριθμο, τους κανόνες, τα λάθη κ.λπ. σε όλα τα βήματα (ακόμα και στα κύρια). διαδικασία απόδειξης.

  Η μαθηματική απόδειξη είναι ένας συλλογισμός που έχει ως καθήκον να τεκμηριώνει την αλήθεια (φυσικά, με τη μαθηματική, δηλαδή ως συνεπαγόμενη έννοια) μιας δήλωσης.

  Το σύνολο των κανόνων που χρησιμοποιήθηκαν στην απόδειξη διαμορφώθηκε μαζί με την εμφάνιση αξιωματικών κατασκευών της μαθηματικής θεωρίας. Αυτό έγινε αντιληπτό πιο ξεκάθαρα και πλήρως στη γεωμετρία του Ευκλείδη. Οι «Αρχές» του έγιναν ένα είδος πρότυπου προτύπου για την αξιωματική οργάνωση της μαθηματικής γνώσης και παρέμειναν για πολύ καιρό τέτοιες για τους μαθηματικούς.

  Οι δηλώσεις που παρουσιάζονται με τη μορφή ορισμένης σειράς πρέπει να εγγυώνται ένα συμπέρασμα, το οποίο, με την επιφύλαξη των κανόνων της λογικής λειτουργίας, θεωρείται αποδεδειγμένο. Πρέπει να τονιστεί ότι ένας συγκεκριμένος συλλογισμός είναι απόδειξη μόνο σε σχέση με κάποιο αξιωματικό σύστημα.

  Κατά τον χαρακτηρισμό μιας μαθηματικής απόδειξης, διακρίνονται δύο κύρια χαρακτηριστικά. Καταρχάς, το γεγονός ότι η μαθηματική απόδειξη αποκλείει κάθε αναφορά σε εμπειρικά στοιχεία. Ολόκληρη η διαδικασία τεκμηρίωσης της αλήθειας του συμπεράσματος πραγματοποιείται στα πλαίσια των αποδεκτών αξιωματικών. Ο ακαδημαϊκός A.D. Aleksandrov τονίζει σχετικά. Μπορείτε να μετρήσετε τις γωνίες ενός τριγώνου χιλιάδες φορές και να βεβαιωθείτε ότι είναι ίσες με 2d. Αλλά τα μαθηματικά δεν αποδεικνύουν τίποτα. Θα του το αποδείξεις αν συνάξεις την παραπάνω δήλωση από τα αξιώματα. Ας επαναλάβουμε. Εδώ τα μαθηματικά είναι κοντά στις μεθόδους του σχολαστικισμού, ο οποίος επίσης απορρίπτει θεμελιωδώς την επιχειρηματολογία από πειραματικά δεδομένα.

  Για παράδειγμα, όταν ανακαλύφθηκε η ασυμμετρισιμότητα των τμημάτων, κατά την απόδειξη αυτού του θεωρήματος, αποκλείστηκε η προσφυγή σε ένα φυσικό πείραμα, καθώς, πρώτον, η ίδια η έννοια της «ασυμμετρισιμότητας» στερείται φυσικής σημασίας και, δεύτερον, οι μαθηματικοί δεν μπορούσαν, όταν έχουμε να κάνουμε με αφαίρεση, να φέρουμε σε βοήθεια προεκτάσεις υλικού-τσιμέντου, μετρήσιμες με μια αισθητηριο-οπτική συσκευή. Η ασυμμετρία, ειδικότερα, της πλευράς και της διαγώνιας ενός τετραγώνου, αποδεικνύεται με βάση την ιδιότητα των ακεραίων χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα για την ισότητα του τετραγώνου της υποτείνουσας (αντίστοιχα, της διαγωνίου) με το άθροισμα των τετραγώνων του πόδια (δύο πλευρές ορθογωνίου τριγώνου). Ή όταν ο Λομπατσέφσκι έψαχνε για επιβεβαίωση για τη γεωμετρία του, αναφερόμενος στα αποτελέσματα αστρονομικών παρατηρήσεων, τότε αυτή η επιβεβαίωση πραγματοποιήθηκε από τον ίδιο μέσω καθαρά κερδοσκοπικού χαρακτήρα. Οι ερμηνείες των Cayley-Klein και Beltrami για τη μη Ευκλείδεια γεωμετρία παρουσίαζαν επίσης τυπικά μαθηματικά και όχι φυσικά αντικείμενα.

  Το δεύτερο χαρακτηριστικό της μαθηματικής απόδειξης είναι η υψηλότερη αφαιρετικότητά της, στην οποία διαφέρει από τις διαδικασίες απόδειξης σε άλλες επιστήμες. Και πάλι, όπως και στην περίπτωση της έννοιας ενός μαθηματικού αντικειμένου, δεν πρόκειται μόνο για τον βαθμό της αφαίρεσης, αλλά για τη φύση του. Γεγονός είναι ότι υψηλό επίπεδοΗ απόδειξη φτάνει στην αφαίρεση σε μια σειρά από άλλες επιστήμες, για παράδειγμα, στη φυσική, την κοσμολογία και, φυσικά, στη φιλοσοφία, αφού τα τελικά προβλήματα της ύπαρξης και της σκέψης γίνονται αντικείμενο της τελευταίας. Τα μαθηματικά, από την άλλη, διακρίνονται από το γεγονός ότι εδώ λειτουργούν μεταβλητές, η έννοια των οποίων είναι αφηρημένη από οποιεσδήποτε συγκεκριμένες ιδιότητες. Θυμηθείτε ότι, εξ ορισμού, οι μεταβλητές είναι σημάδια που από μόνα τους δεν έχουν νόημα και αποκτούν το τελευταίο μόνο όταν αντικαθίστανται από τα ονόματα ορισμένων αντικειμένων (μεμονωμένες μεταβλητές) ή όταν υποδεικνύονται συγκεκριμένες ιδιότητες και σχέσεις (κατηγορηματικές μεταβλητές) ή, τέλος , σε περιπτώσεις αντικατάστασης μεταβλητής με πρόταση με νόημα (προτασιακή μεταβλητή).

  Το σημειωμένο χαρακτηριστικό καθορίζει τη φύση της ακραίας αφαιρετικότητας των σημείων που χρησιμοποιούνται στη μαθηματική απόδειξη, καθώς και δηλώσεων, οι οποίες, λόγω της συμπερίληψης μεταβλητών στη δομή τους, μετατρέπονται σε δηλώσεις.

  Η ίδια η διαδικασία της απόδειξης, που ορίζεται στη λογική ως απόδειξη, προχωρά με βάση τους κανόνες εξαγωγής συμπερασμάτων, βάσει των οποίων πραγματοποιείται η μετάβαση από τη μια αποδεδειγμένη δήλωση στην άλλη, σχηματίζοντας μια συνεπή αλυσίδα συμπερασμάτων. Οι πιο συνηθισμένοι είναι οι δύο κανόνες (αντικατάσταση και εξαγωγή συμπερασμάτων) και το θεώρημα της έκπτωσης.

  κανόνας αντικατάστασης. Στα μαθηματικά, η υποκατάσταση ορίζεται ως η αντικατάσταση καθενός από τα στοιχεία a ενός δεδομένου συνόλου από κάποιο άλλο στοιχείο F(a) από το ίδιο σύνολο. Στη μαθηματική λογική, ο κανόνας αντικατάστασης διατυπώνεται ως εξής. Εάν ένας αληθής τύπος Μ στον προτασιακό λογισμό περιέχει ένα γράμμα, ας πούμε Α, τότε αντικαθιστώντας το όπου εμφανίζεται με ένα αυθαίρετο γράμμα D, παίρνουμε έναν τύπο που είναι επίσης αληθής με τον αρχικό. Αυτό είναι δυνατό και παραδεκτό ακριβώς επειδή στον λογισμό των προτάσεων αφαιρείται κανείς από την έννοια των προτάσεων (τύποι)... Λαμβάνονται υπόψη μόνο οι τιμές "αληθές" ή "λάθος". Για παράδειγμα, στον τύπο M: A--> (BUA) αντικαθιστούμε την έκφραση (AUB) στη θέση του A, ως αποτέλεσμα παίρνουμε έναν νέο τύπο (AUB) -->[(BU(AUB) ].

  Ο κανόνας για την εξαγωγή συμπερασμάτων αντιστοιχεί στη δομή του υπό όρους κατηγορηματικού συλλογισμού modus ponens (καταφατική λειτουργία) στην τυπική λογική. Μοιάζει με αυτό:

  ένα .

  Δίνεται πρόταση (α-> β) και δίνεται επίσης α. Ακολουθεί β.

  Για παράδειγμα: Αν βρέχει, τότε το πεζοδρόμιο είναι υγρό, βρέχει (α), επομένως, το πεζοδρόμιο είναι υγρό (β). Στη μαθηματική λογική, αυτός ο συλλογισμός γράφεται ως εξής (α-> β) α-> β.

  Το συμπέρασμα καθορίζεται, κατά κανόνα, με διαχωρισμό για υπονοούμενα. Αν δοθούν υπονοούμενα (α-> β) και το προηγούμενό του (α), τότε έχουμε το δικαίωμα να προσθέσουμε στον συλλογισμό (απόδειξη) και τη συνέπεια αυτού του υπονοούμενου (β). Ο συλλογισμός είναι καταναγκαστικός, συνιστά ένα οπλοστάσιο απαγωγικών αποδεικτικών μέσων, δηλαδή πληροί απόλυτα τις απαιτήσεις του μαθηματικού συλλογισμού.

  Σημαντικό ρόλο στη μαθηματική απόδειξη διαδραματίζει το θεώρημα της έκπτωσης - το γενικό όνομα για έναν αριθμό θεωρημάτων, η διαδικασία των οποίων καθιστά δυνατό τον προσδιορισμό της αποδεικτικότητας του υπονοούμενου: A-> B, όταν υπάρχει μια λογική εξαγωγή του τύπος Β από τον τύπο Α. Στην πιο κοινή εκδοχή του προτασιακού λογισμού (στα κλασικά, διαισθητικά και άλλα είδη μαθηματικών), το θεώρημα της εξαγωγής αναφέρει τα εξής. Εάν δίνεται ένα σύστημα υποθέσεων G και μια υπόθεση Α, από την οποία, σύμφωνα με τους κανόνες, μπορούν να συναχθούν τα B G, A B (- σημάδι παραγωγικότητας), τότε προκύπτει ότι μόνο από τις προϋποθέσεις του G μπορεί κανείς να λάβει την πρόταση Α. --> Β.

  Έχουμε εξετάσει τον τύπο, που είναι άμεση απόδειξη. Ταυτόχρονα, τα λεγόμενα έμμεσα στοιχεία χρησιμοποιούνται επίσης στη λογική· υπάρχουν μη άμεσες αποδείξεις που αναπτύσσονται σύμφωνα με το ακόλουθο σχήμα. Μη έχοντας, για μια σειρά από λόγους (απρόσιτο αντικείμενο μελέτης, απώλεια της πραγματικότητας της ύπαρξής του κ.λπ.) άμεσες αποδείξειςτην αλήθεια οποιασδήποτε δήλωσης, διατριβής, οικοδομήστε μια αντίθεση. Είναι πεπεισμένοι ότι η αντίθεση οδηγεί σε αντιφάσεις και, ως εκ τούτου, είναι ψευδής. Έπειτα από το γεγονός του πλαστού της αντίθεσης εξάγει κανείς - βάσει του νόμου του εξαιρούμενου μέσου (a v) - το συμπέρασμα για την αλήθεια της διατριβής.

  Στα μαθηματικά, μια από τις μορφές έμμεσης απόδειξης χρησιμοποιείται ευρέως - απόδειξη με αντίφαση. Είναι ιδιαίτερα πολύτιμο και, στην πραγματικότητα, απαραίτητο για την αποδοχή θεμελιωδών εννοιών και διατάξεων των μαθηματικών, για παράδειγμα, την έννοια του πραγματικού άπειρου, που δεν μπορεί να εισαχθεί με άλλο τρόπο.

  Η λειτουργία της απόδειξης με αντίφαση αναπαρίσταται στη μαθηματική λογική ως εξής. Δίνεται μια ακολουθία τύπων G και η άρνηση του Α (G , A). Αν αυτό συνεπάγεται το Β και την άρνησή του (G , A B, non-B), τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η αλήθεια του Α προκύπτει από την ακολουθία των τύπων G. Με άλλα λόγια, η αλήθεια της διατριβής προκύπτει από το λανθασμένο της αντίθεσης .

  Βιβλιογραφικές αναφορές:

• 1. N. Sh. Kremer, B. A. Putko, I. M. Trishin, M. N. Fridman, Higher Mathematics for Economists, σχολικό βιβλίο, Μόσχα, 2002;

  2. L.D. Kudryavtsev, Τα σύγχρονα μαθηματικά και η διδασκαλία τους, Μόσχα, Nauka, 1985;

  3. O. I. Larichev, Αντικειμενικά μοντέλα και υποκειμενικές αποφάσεις, Μόσχα, Nauka, 1987;

  4. A.Ya.Halamizer, «Μαθηματικά; - Είναι αστείο! », Έκδοση συγγραφέα, 1989;

  5. P.K. Rashevsky, Riemannian geometry and tensor analysis, Moscow, 3rd edition, 1967;

  6. V.E. Gmurman, Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική, Μόσχα, μεταπτυχιακό σχολείο 1977;

  7. Παγκόσμιο δίκτυο Enternet.

Τα μαθηματικά ως επιστήμη των ποσοτικών σχέσεων και των χωρικών μορφών πραγματικότητας μελετούν τον κόσμο γύρω μας, τα φυσικά και κοινωνικά φαινόμενα. Αλλά σε αντίθεση με άλλες επιστήμες, τα μαθηματικά μελετούν τις ιδιαίτερες ιδιότητές τους, αφαιρώντας από άλλες. Έτσι, η γεωμετρία μελετά το σχήμα και το μέγεθος των αντικειμένων, χωρίς να λαμβάνει υπόψη τις άλλες ιδιότητές τους: χρώμα, μάζα, σκληρότητα κ.λπ. Γενικά, τα μαθηματικά αντικείμενα (γεωμετρικό σχήμα, αριθμός, αξία) δημιουργούνται από το ανθρώπινο μυαλό και υπάρχουν μόνο στην ανθρώπινη σκέψη, σε σημεία και σύμβολα που σχηματίζουν τη μαθηματική γλώσσα.

Η αφαιρετικότητα των μαθηματικών επιτρέπει την εφαρμογή τους σε διάφορους τομείς, είναι ένα ισχυρό εργαλείο για την κατανόηση της φύσης.

Οι μορφές γνώσης χωρίζονται σε δύο ομάδες.

πρώτη ομάδααποτελούν μορφές αισθητηριακής γνώσης, που πραγματοποιούνται με τη βοήθεια διαφόρων αισθητηρίων οργάνων: όραση, ακοή, όσφρηση, αφή, γεύση.

Co. δεύτερη ομάδαπεριλαμβάνει μορφές αφηρημένης σκέψης, κυρίως έννοιες, δηλώσεις και συμπεράσματα.

Οι μορφές της αισθητηριακής γνώσης είναι Αφή, αντίληψηκαι αναπαράσταση.

Κάθε αντικείμενο έχει όχι μία, αλλά πολλές ιδιότητες και τις γνωρίζουμε με τη βοήθεια των αισθήσεων.

Συναισθημα- αυτή είναι μια αντανάκλαση μεμονωμένων ιδιοτήτων αντικειμένων ή φαινομένων του υλικού κόσμου, που βρίσκονται άμεσα (δηλ. τώρα, σε αυτή τη στιγμή) επηρεάζουν τις αισθήσεις μας. Αυτές είναι αισθήσεις κόκκινου, ζεστού, στρογγυλού, πράσινου, γλυκού, λείου και άλλες μεμονωμένες ιδιότητες των αντικειμένων [Getmanova, σελ. 7].

Από μεμονωμένες αισθήσεις διαμορφώνεται η αντίληψη ολόκληρου του αντικειμένου. Για παράδειγμα, η αντίληψη ενός μήλου αποτελείται από τέτοιες αισθήσεις: σφαιρικό, κόκκινο, γλυκόξινο, αρωματικό κ.λπ.

Αντίληψηείναι μια ολιστική αντανάκλαση ενός εξωτερικού υλικού αντικειμένου που επηρεάζει άμεσα τις αισθήσεις μας [Getmanova, σελ. οκτώ]. Για παράδειγμα, η εικόνα ενός πιάτου, φλιτζανιού, κουταλιού, άλλων σκευών. την εικόνα του ποταμού, αν τώρα πλέουμε κατά μήκος του ή βρισκόμαστε στις όχθες του. η εικόνα του δάσους, αν έχουμε έρθει τώρα στο δάσος κ.λπ.

Οι αντιλήψεις, αν και αποτελούν μια αισθητηριακή αντανάκλαση της πραγματικότητας στο μυαλό μας, εξαρτώνται σε μεγάλο βαθμό από την ανθρώπινη εμπειρία. Για παράδειγμα, ένας βιολόγος θα αντιληφθεί ένα λιβάδι με έναν τρόπο (θα δει διαφορετικά είδηφυτά), αλλά ένας τουρίστας ή ένας καλλιτέχνης είναι εντελώς διαφορετικός.

Εκτέλεση- αυτή είναι μια αισθησιακή εικόνα ενός αντικειμένου που δεν γίνεται αντιληπτό αυτήν τη στιγμή από εμάς, αλλά το οποίο προηγουμένως το αντιλαμβανόμαστε με τη μια ή την άλλη μορφή [Getmanova, σελ. δέκα]. Για παράδειγμα, μπορούμε να φανταστούμε οπτικά τα πρόσωπα γνωστών, το δωμάτιό μας στο σπίτι, μια σημύδα ή ένα μανιτάρι. Αυτά είναι παραδείγματα αναπαράγονταςπαραστάσεις, όπως είδαμε αυτά τα αντικείμενα.

Η παρουσίαση μπορεί να είναι δημιουργικός, συμπεριλαμβανομένου φανταστικός. Παρουσιάζουμε την όμορφη Πριγκίπισσα Swan, ή τον Τσάρο Saltan, ή το Golden Cockerel, και πολλούς άλλους χαρακτήρες από τα παραμύθια του A.S. Πούσκιν, τον οποίο δεν έχουμε δει ποτέ και δεν θα δούμε ποτέ. Αυτά είναι παραδείγματα δημιουργικής παρουσίασης πάνω από λεκτική περιγραφή. Φανταζόμαστε επίσης το Snow Maiden, τον Άγιο Βασίλη, μια γοργόνα κ.λπ.

Έτσι, οι μορφές της αισθητηριακής γνώσης είναι οι αισθήσεις, οι αντιλήψεις και οι αναπαραστάσεις. Με τη βοήθειά τους, ξέρουμε εξωτερικές πλευρέςαντικείμενο (τα χαρακτηριστικά του, συμπεριλαμβανομένων των ιδιοτήτων).

Οι μορφές αφηρημένης σκέψης είναι έννοιες, δηλώσεις και συμπεράσματα.

Έννοιες. Πεδίο και περιεχόμενο εννοιών

Ο όρος "έννοια" χρησιμοποιείται συνήθως για να αναφέρεται σε μια ολόκληρη κατηγορία αντικειμένων αυθαίρετης φύσης που έχουν μια συγκεκριμένη χαρακτηριστική (διακριτική, ουσιαστική) ιδιότητα ή ένα ολόκληρο σύνολο τέτοιων ιδιοτήτων, δηλ. ιδιότητες που είναι μοναδικές για μέλη αυτής της κατηγορίας.

Από τη σκοπιά της λογικής, η έννοια είναι μια ειδική μορφή σκέψης, η οποία χαρακτηρίζεται από τα εξής: 1) η έννοια είναι προϊόν εξαιρετικά οργανωμένης ύλης. 2) η έννοια αντανακλά υλικό κόσμο; 3) η έννοια εμφανίζεται στη συνείδηση ​​ως μέσο γενίκευσης. 4) η έννοια σημαίνει συγκεκριμένα ανθρώπινη δραστηριότητα. 5) ο σχηματισμός μιας έννοιας στο μυαλό ενός ατόμου είναι αδιαχώριστος από την έκφρασή της μέσω του λόγου, της γραφής ή του συμβόλου.

Πώς αναδύεται στο μυαλό μας η έννοια οποιουδήποτε αντικειμένου πραγματικότητας;

Η διαδικασία διαμόρφωσης μιας συγκεκριμένης έννοιας είναι μια σταδιακή διαδικασία στην οποία μπορούν να φανούν πολλά διαδοχικά στάδια. Εξετάστε αυτή τη διαδικασία χρησιμοποιώντας το απλούστερο παράδειγμα - τον σχηματισμό της έννοιας του αριθμού 3 στα παιδιά.

1. Στο πρώτο στάδιο της γνώσης, τα παιδιά εξοικειώνονται με διάφορα συγκεκριμένα σύνολα, χρησιμοποιώντας θεματικές εικόνες και δείχνοντας διάφορα σετ τριών στοιχείων (τρία μήλα, τρία βιβλία, τρία μολύβια κ.λπ.). Τα παιδιά όχι μόνο βλέπουν καθένα από αυτά τα σετ, αλλά μπορούν επίσης να αγγίξουν (να αγγίξουν) τα αντικείμενα που αποτελούν αυτά τα σετ. Αυτή η διαδικασία «βλέποντας» δημιουργεί στο μυαλό του παιδιού μια ειδική μορφή αντανάκλασης της πραγματικότητας, η οποία ονομάζεται αντίληψη (αίσθημα).

2. Ας αφαιρέσουμε τα αντικείμενα (αντικείμενα) που απαρτίζουν κάθε σύνολο και ας προσκαλέσουμε τα παιδιά να προσδιορίσουν αν υπάρχει κάτι κοινό που χαρακτηρίζει κάθε σύνολο. Ο αριθμός των αντικειμένων σε κάθε σετ έπρεπε να αποτυπωθεί στο μυαλό των παιδιών, ότι υπήρχαν «τρία» παντού. Αν είναι έτσι, τότε μια νέα μορφή έχει δημιουργηθεί στο μυαλό των παιδιών - ιδέα του αριθμού τρία.

3. Στο επόμενο στάδιο, βάσει ενός πειράματος σκέψης, τα παιδιά πρέπει να δουν ότι η ιδιότητα που εκφράζεται στη λέξη «τρία» χαρακτηρίζει οποιοδήποτε σύνολο διάφορα στοιχείατης μορφής (α; β; γ). Αυτό θα τονίσει ένα σημαντικό κοινό χαρακτηριστικότέτοια σύνολα «να έχει τρία στοιχεία».Τώρα μπορούμε να πούμε ότι στο μυαλό των παιδιών σχηματίζεται έννοια του αριθμού 3.

έννοια- αυτή είναι μια ειδική μορφή σκέψης, η οποία αντανακλά τις ουσιώδεις (ιδιαίτερες) ιδιότητες των αντικειμένων ή των αντικειμένων μελέτης.

Η γλωσσική μορφή μιας έννοιας είναι μια λέξη ή μια ομάδα λέξεων. Για παράδειγμα, "τρίγωνο", "αριθμός τρία", "σημείο", "ευθεία γραμμή", "ισοσκελές τρίγωνο", "φυτό", "κωνοφόρο δέντρο", "ποταμός Yenisei", "τραπέζι" κ.λπ.

Οι μαθηματικές έννοιες έχουν μια σειρά από χαρακτηριστικά. Το κυριότερο είναι ότι τα μαθηματικά αντικείμενα για τα οποία είναι απαραίτητο να σχηματιστεί μια έννοια δεν υπάρχουν στην πραγματικότητα. Τα μαθηματικά αντικείμενα δημιουργούνται από το ανθρώπινο μυαλό. Αυτά είναι ιδανικά αντικείμενα που αντανακλούν πραγματικά αντικείμενα ή φαινόμενα. Για παράδειγμα, στη γεωμετρία μελετάται το σχήμα και το μέγεθος των αντικειμένων, χωρίς να λαμβάνονται υπόψη οι άλλες ιδιότητές τους: χρώμα, μάζα, σκληρότητα κ.λπ. Από όλα αυτά αποσπώνται, αφαιρούνται. Επομένως, στη γεωμετρία, αντί για τη λέξη «αντικείμενο» λένε «γεωμετρικό σχήμα». Το αποτέλεσμα της αφαίρεσης είναι επίσης μαθηματικές έννοιες όπως «αριθμός» και «αξία».

Κύρια χαρακτηριστικάόποιος έννοιες είναιτα εξής: 1) Ενταση ΗΧΟΥ; 2) περιεχόμενο; 3) σχέσεις μεταξύ των εννοιών.

Όταν μιλούν για μια μαθηματική έννοια, συνήθως εννοούν ολόκληρο το σύνολο (σύνολο) των αντικειμένων που συμβολίζονται με έναν όρο (λέξη ή ομάδα λέξεων). Έτσι, μιλώντας για τετράγωνο, εννοούν όλα τα γεωμετρικά σχήματα που είναι τετράγωνα. Πιστεύεται ότι το σύνολο όλων των τετραγώνων είναι το πεδίο εφαρμογής της έννοιας του "τετράγωνο".

Το εύρος της έννοιαςονομάζεται το σύνολο των αντικειμένων ή των αντικειμένων στα οποία εφαρμόζεται αυτή η έννοια.

Για παράδειγμα, 1) το πεδίο εφαρμογής της έννοιας του "παραλληλογράμμου" είναι το σύνολο τέτοιων τετραγώνων όπως τα ίδια παραλληλόγραμμα, οι ρόμβοι, τα ορθογώνια και τα τετράγωνα. 2) το εύρος της έννοιας του «ασαφούς φυσικός αριθμός» θα υπάρχει ένα σετ - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Κάθε μαθηματικό αντικείμενο έχει ορισμένες ιδιότητες. Για παράδειγμα, ένα τετράγωνο έχει τέσσερις πλευρές, τέσσερις ορθές γωνίες ίσες με τις διαγώνιες, οι διαγώνιοι διχοτομούνται από το σημείο τομής. Μπορείτε να καθορίσετε τις άλλες ιδιότητές του, αλλά μεταξύ των ιδιοτήτων ενός αντικειμένου υπάρχουν ουσιαστικό (διακριτικό)και μη ουσιώδης.

Το ακίνητο ονομάζεται ουσιώδης (διακριτικό) για ένα αντικείμενο εάν είναι εγγενές σε αυτό το αντικείμενο και χωρίς αυτό δεν μπορεί να υπάρξει. ιδιοκτησία ονομάζεται ασήμαντος για ένα αντικείμενο αν μπορεί να υπάρξει χωρίς αυτό.

Για παράδειγμα, για ένα τετράγωνο, όλες οι ιδιότητες που αναφέρονται παραπάνω είναι απαραίτητες. Η ιδιότητα "η πλευρά AD είναι οριζόντια" θα είναι άσχετη για το τετράγωνο ABCD (Εικ. 1). Εάν αυτό το τετράγωνο περιστραφεί, τότε η πλευρά AD θα είναι κάθετη.

Εξετάστε ένα παράδειγμα για παιδιά προσχολικής ηλικίας που χρησιμοποιούν οπτικό υλικό (Εικ. 2):

Περιγράψτε το σχήμα.

Μικρό μαύρο τρίγωνο. Ρύζι. 2

Μεγάλο λευκό τρίγωνο.

Πώς είναι παρόμοια τα στοιχεία;

Σε τι διαφέρουν τα στοιχεία;

Χρώμα, μέγεθος.

Τι έχει ένα τρίγωνο;

3 πλευρές, 3 γωνίες.

Έτσι, τα παιδιά ανακαλύπτουν τις ουσιαστικές και μη ουσιώδεις ιδιότητες της έννοιας του «τριγώνου». Βασικές ιδιότητες - "έχουν τρεις πλευρές και τρεις γωνίες", μη βασικές ιδιότητες - χρώμα και μέγεθος.

Το σύνολο όλων των βασικών (διακριτικών) ιδιοτήτων ενός αντικειμένου ή αντικειμένου που αντανακλάται σε αυτή την έννοια ονομάζεται το περιεχόμενο της έννοιας .

Για παράδειγμα, για την έννοια του "παραλληλογράμμου", το περιεχόμενο είναι ένα σύνολο ιδιοτήτων: έχει τέσσερις πλευρές, έχει τέσσερις γωνίες, οι απέναντι πλευρές είναι κατά ζεύγη παράλληλες, οι απέναντι πλευρές είναι ίσες, οι απέναντι γωνίες είναι ίσες, οι διαγώνιοι στη διασταύρωση οι βαθμοί χωρίζονται στο μισό.

Υπάρχει μια σύνδεση μεταξύ του όγκου μιας έννοιας και του περιεχομένου της: εάν ο όγκος μιας έννοιας αυξάνεται, τότε το περιεχόμενό της μειώνεται και το αντίστροφο. Έτσι, για παράδειγμα, το πεδίο εφαρμογής της έννοιας "ισοσκελές τρίγωνο" είναι μέρος του πεδίου εφαρμογής της έννοιας "τρίγωνο" και το περιεχόμενο της έννοιας "ισοσκελές τρίγωνο" περιλαμβάνει περισσότερες ιδιότητες από το περιεχόμενο της έννοιας "τρίγωνο", επειδή ένα ισοσκελές τρίγωνο δεν έχει μόνο όλες τις ιδιότητες ενός τριγώνου, αλλά και άλλες εγγενείς μόνο στα ισοσκελές τρίγωνα ("δύο πλευρές είναι ίσες", "δύο γωνίες είναι ίσες", "δύο διάμεσοι είναι ίσοι" κ.λπ.).

Οι έννοιες χωρίζονται σε ενιαίος, κοινόςκαι κατηγορίες.

Μια έννοια της οποίας ο όγκος είναι ίσος με 1 ονομάζεται ενιαία έννοια .

Για παράδειγμα, οι έννοιες: "Ποταμός Γενισέι", "Δημοκρατία της Τούβα", "πόλη της Μόσχας".

Οι έννοιες των οποίων ο όγκος είναι μεγαλύτερος από 1 ονομάζονται κοινός .

Για παράδειγμα, οι έννοιες: «πόλη», «ποτάμι», «τετράπλευρο», «αριθμός», «πολύγωνο», «εξίσωση».

Στη διαδικασία της μελέτης των θεμελίων οποιασδήποτε επιστήμης, τα παιδιά σχηματίζουν γενικά γενικές έννοιες. Για παράδειγμα, σε δημοτικό σχολείοοι μαθητές εξοικειώνονται με έννοιες όπως «αριθμός», «αριθμός», «μονοψήφιοι αριθμοί», «διψήφιοι αριθμοί», «πολυψήφιοι αριθμοί», «κλάσμα», «μερίδιο», «προσθήκη», «όρος », «άθροισμα», «αφαίρεση», «αφαιρείται», «μειώνεται», «διαφορά», «πολλαπλασιασμός», «πολλαπλασιαστής», «προϊόν», «διαίρεση», «διαιρετό», «διαιρέτης», «πηλίκο», «μπάλα», «κύλινδρος» », «κώνος», «κύβος», «παραλληλεπίπεδο», «πυραμίδα», «γωνία», «τρίγωνο», «τετράπλευρο», «τετράγωνο», «ορθογώνιο», «πολύγωνο», « κύκλος», «κύκλος», «καμπύλη», «πολύγραμμη», «τμήμα», «μήκος τμήματος», «ακτίνα», «ευθεία γραμμή», «σημείο», «μήκος», «πλάτος», «ύψος», «περίμετρος», «εμβαδόν σχήματος», «όγκος», «χρόνος», «ταχύτητα», «μάζα», «τιμή», «κόστος» και πολλά άλλα. Όλες αυτές οι έννοιες είναι γενικές έννοιες.

Η επιστήμη που μελετά τις ποσότητες, τις ποσοτικές σχέσεις και τις χωρικές μορφές

Πρώτο γράμμα "m"

Δεύτερο γράμμα "α"

Τρίτο γράμμα "t"

Η τελευταία οξιά είναι το γράμμα "α"

Απάντηση για την ένδειξη «Επιστήμη που μελετά τις ποσότητες, τις ποσοτικές σχέσεις και τις χωρικές μορφές», 10 γράμματα:
μαθηματικά

Εναλλακτικές ερωτήσεις σε σταυρόλεξα για τη λέξη μαθηματικά

Ο εκπρόσωπος αυτής της επιστήμης κέρδισε τη νύφη από το Νόμπελ, και ως εκ τούτου το βραβείο Νόμπελ δεν δίνεται για επιτυχία σε αυτό.

«Πύργος» στο πρόγραμμα του Πολυτεχνείου

Μια ακριβής επιστήμη που μελετά τις ποσότητες, τις ποσοτικές σχέσεις και τις χωρικές μορφές

Η επιστήμη των ποσοτήτων, των ποσοτικών σχέσεων, των χωρικών μορφών

Ήταν αυτό το μάθημα που διδάχθηκε στο σχολείο από την "αγαπητή Έλενα Σεργκέεβνα" που ερμήνευσε η Marina Neelova

Ορισμοί λέξεων για τα μαθηματικά σε λεξικά

Λεξικόζωντανή μεγάλη ρωσική γλώσσα, Vladimir Dal Η έννοια της λέξης στο λεξικό Επεξηγηματικό Λεξικό της Ζωντανής Μεγάλης Ρωσικής Γλώσσας, Vladimir Dal
και. η επιστήμη των μεγεθών και των ποσοτήτων· οτιδήποτε μπορεί να εκφραστεί με αριθμούς ανήκει στα μαθηματικά. - καθαρό, ασχολείται με τα μεγέθη αφηρημένα. - εφαρμόζεται, προσαρτά το πρώτο στη θήκη, σε αντικείμενα. Τα μαθηματικά χωρίζονται σε αριθμητική και γεωμετρία, το πρώτο έχει ...

Βικιπαίδεια Η σημασία της λέξης στο λεξικό της Wikipedia
Μαθηματικά (

Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια Η έννοια της λέξης στο λεξικό Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια
Θ. Ορισμός μαθηματικού μαθηματικού, σύνδεση με άλλες επιστήμες και τεχνολογία. Μαθηματικά (ελληνικά mathematike, από το máthema ≈ γνώση, επιστήμη), η επιστήμη των ποσοτικών σχέσεων και των χωρικών μορφών του πραγματικού κόσμου. «Τα καθαρά μαθηματικά έχουν ως αντικείμενο...

Νέο επεξηγηματικό και παράγωγο λεξικό της ρωσικής γλώσσας, T. F. Efremova. Η σημασία της λέξης στο λεξικό Νέο επεξηγηματικό και παράγωγο λεξικό της ρωσικής γλώσσας, T. F. Efremova.
και. Επιστημονική πειθαρχία σχετικά με τις χωρικές μορφές και τις ποσοτικές σχέσεις του πραγματικού κόσμου. Ένα ακαδημαϊκό θέμα που περιέχει τις θεωρητικές βάσεις ενός δεδομένου επιστημονικού κλάδου. ξεδιπλωθεί Ένα εγχειρίδιο που εκθέτει το περιεχόμενο ενός δεδομένου ακαδημαϊκού μαθήματος. μεταφρ. ξεδιπλωθεί Ακριβής,...

Παραδείγματα χρήσης της λέξης μαθηματικά στη βιβλιογραφία.

Στην αρχή, ο Τρεντιακόφσκι βρισκόταν σε καταφύγιο από τον Βασίλι Ανταντούροφ - μαθηματικός, μαθητής του μεγάλου Jacob Bernoulli, και για αυτό το καταφύγιο ο ποιητής έδωσε οδηγίες στον επιστήμονα στα γαλλικά.

Μπήκα μαθηματικόςΟ Adadurov, ο μηχανικός Ladyzhensky, ο αρχιτέκτονας Ivan Blank, αξιολογητές από διάφορα κολέγια, γιατροί και κηπουροί, αξιωματικοί του στρατού και του ναυτικού ήρθαν στο φως.

Δύο άνθρωποι κάθισαν σε πολυθρόνες σε ένα μακρύ, γυαλισμένο τραπέζι από καρυδιά: ο Άξελ Μπρίγκοφ και μαθηματικόςΜπρόντσκι, τον οποίο αναγνώρισα από το δυνατό σωκρατικό φαλακρό του κεφάλι.

Pontryagin, οι προσπάθειες του οποίου δημιούργησαν ένα νέο τμήμα μαθηματικά- τοπολογική άλγεβρα, - μελέτη διαφόρων αλγεβρικών δομών προικισμένων με τοπολογία.

Ας σημειώσουμε επίσης παρεμπιπτόντως ότι η εποχή που περιγράφουμε υπήρξε μάρτυρας της ανάπτυξης της άλγεβρας, ενός συγκριτικά αφηρημένου κλάδου του μαθηματικά, συνδυάζοντας τα λιγότερο αφηρημένα του τμήματα, τη γεωμετρία και την αριθμητική, γεγονός που αποδεικνύεται από τις παλαιότερες εκδηλώσεις της άλγεβρας που έχουν φτάσει μέχρι εμάς, μισές αλγεβρικές, μισές γεωμετρικές.