Математика 1. Откъде идва думата математика 2. Кой е изобретил математиката? 3. Основни теми. 4. Определение 5. Етимология На последния слайд.

Откъде идва думата (преминете към предишния слайд) Математика от гръцки - изучаване, наука) е наука за структурите, реда и връзките, исторически основана на операциите за преброяване, измерване и описване на формата на обекти. Математическите обекти се създават чрез идеализиране на свойствата на реални или други математически обекти и записване на тези свойства на формален език.

Кой е изобретил математиката (отидете в менюто) Първият математик обикновено се нарича Талес от Милет, живял през VI век. пр.н.е д. , един от така наречените Седем мъдреци на Гърция. Както и да е, той беше първият, който структурира цялата база от знания по тази тема, която отдавна се формира в познатия му свят. Въпреки това, авторът на първия трактат по математика, който е достигнал до нас, е Евклид (III век пр.н.е.). Той също заслужено се счита за баща на тази наука.

Основни теми (отидете в менюто) Областта на математиката включва само онези науки, в които се разглежда ред или мярка и изобщо няма значение дали това са числа, фигури, звезди, звуци или нещо друго, в което тази мярка се намира . Следователно трябва да има някаква обща наука, която да обяснява всичко, което се отнася до реда и мярката, без да се навлиза в изучаването на някакви отделни предмети, и тази наука трябва да се нарича не с чуждото, а със старото, вече разпространено име Обща математика.

Дефиниция (отидете в менюто) Въз основа на класическия математически анализ модерен анализ, която се счита за една от трите основни области на математиката (заедно с алгебрата и геометрията). В същото време терминът "математически анализ" в класическия смисъл се използва главно в учебни програмии материали. В англо-американската традиция класическият математически анализ съответства на програмите за курсове с името "изчисление"

Етимология (отидете в менюто) Думата "математика" идва от друг гръцки. , което означава проучване, знание, наука и т.н. -гръцки, първоначално означаващ възприемчив, успешен, по-късно свързан с обучение, по-късно свързан с математика. По-конкретно на латински това означава изкуството на математиката. Терминът е друг - гръцки. в съвременния смисъл на тази дума "математика" вече се намира в произведенията на Аристотел (4 век пр. н. е.) в "Книгата на избраните накратко за деветте музи и за седемте свободни изкуства" (1672 г.)

Математиката е наука за количествените отношения и пространствените форми на реалния свят. В тясна връзка с изискванията на науката и технологиите запасът от количествени отношения и пространствени форми, изучавани от математиката, непрекъснато се разширява, така че горното определение трябва да се разбира в най-общ смисъл.

Целта на изучаването на математика е повишаване на общия възглед, културата на мислене, формирането на научен мироглед.

Разбирането на независимото положение на математиката като специална наука стана възможно след натрупването на доста голямо количество фактически материал и възникна за първи път в Древна Гърция през 6-5 век пр.н.е. Това беше началото на периода на елементарната математика.

През този период математическите изследвания се занимават само с доста ограничен набор от основни понятия, възникнали с най-простите изисквания на икономическия живот. В същото време вече се извършва качествено усъвършенстване на математиката като наука.

Съвременната математика често се сравнява с голям град. Това е отлично сравнение, защото в математиката, както в големия град, има непрекъснат процес на растеж и усъвършенстване. В математиката се появяват нови области, изграждат се елегантни и дълбоки нови теории, като изграждането на нови квартали и сгради. Но прогресът на математиката не се ограничава до промяна на лицето на града поради изграждането на нов. Трябва да сменим старото. Старите теории се включват в нови, по-общи; има нужда от укрепване на основите на стари сгради. Трябва да се прокарат нови улици, за да се осъществят връзки между отдалечените квартали на математическия град. Но това не е достатъчно - архитектурният дизайн изисква значителни усилия, тъй като разликата в стиловете на различните области на математиката не само разваля общо впечатлениеот науката, но и възпрепятства разбирането на науката като цяло, установяването на връзки между различните й части.

Често се използва и друго сравнение: математиката се оприличава на голямо разклонено дърво, което систематично дава нови издънки. Всеки клон на дървото е една или друга област на математиката. Броят на клоните не остава непроменен, тъй като нови клони растат, растат заедно, първо растат отделно, някои от клоните изсъхват, лишени от хранителни сокове. И двете сравнения са сполучливи и много добре предават действителното състояние на нещата.

Несъмнено търсенето на красота играе важна роля в изграждането на математическите теории. От само себе си се разбира, че възприятието за красота е много субективно и често има доста грозни представи за това. И все пак човек трябва да бъде изненадан от единодушието, което математиците влагат в концепцията за "красота": резултатът се счита за красив, ако от малък брой условия е възможно да се получи общо заключение, отнасящо се до широк кръг от обекти. Едно математическо извеждане се счита за красиво, ако е възможно да се докаже важен математически факт в него чрез просто и кратко разсъждение. Зрелостта на един математик, неговият талант се познава по това колко е развито чувството му за красота. Естетически завършените и математически перфектни резултати са по-лесни за разбиране, запомняне и използване; по-лесно е да се идентифицира тяхната връзка с други области на знанието.

Математиката в наше време се превърна в научна дисциплина с много области на изследване, огромен брой резултати и методи. Математиката сега е толкова велика, че не е възможно един човек да я обхване във всичките й части, няма възможност да бъде универсален специалист по нея. Загубата на връзки между отделните й направления със сигурност е негативна последица от бурното развитие на тази наука. Но в основата на развитието на всички клонове на математиката има нещо общо - произходът на развитието, корените на дървото на математиката.

Геометрията на Евклид като първата естественонаучна теория

• През III в. пр. н. е. в Александрия се появява едноименна книга на Евклид в руския превод на „Начала“. От латинското наименование "Начала" идва терминът "елементарна геометрия". Въпреки че писанията на предшествениците на Евклид не са достигнали до нас, можем да съставим някакво мнение за тези писания от Елементи на Евклид. В "Началата" има раздели, които логично са много малко свързани с други раздели. Появата им се обяснява само с факта, че са въведени според традицията и копират "Началата" на предшествениците на Евклид.

  Елементи на Евклид се състои от 13 книги. Книги 1 - 6 са посветени на планиметрията, книги 7 - 10 са за аритметика и несъизмерими величини, които могат да бъдат построени с помощта на пергел и линейка. Книги 11 до 13 бяха посветени на стереометрията.

  „Началата” започват с представяне на 23 дефиниции и 10 аксиоми. Първите пет аксиоми са "общи понятия", останалите се наричат ​​"постулати". Първите два постулата определят действията с помощта на идеален владетел, третият - с помощта на идеален компас. Четвъртото, "всички прави ъгли са равни" е излишно, тъй като може да бъде изведено от останалите аксиоми. Последният, пети постулат гласи: „Ако една права пада върху две прави и образува вътрешни едностранни ъгли в сумата на по-малко от две прави, то при неограничено продължение на тези две прави те ще се пресичат на страната, където ъглите са по-малки от две прави линии."

  Петте "общи понятия" на Евклид са принципите за измерване на дължини, ъгли, площи, обеми: "равните на еднакви са равни помежду си", "ако равните се добавят към равните, сумите са равни помежду си", "ако равните се извадят от равните, остатъците са равни помежду си", "комбинирайки се един с друг са равни един на друг", "цялото е по-голямо от частта".

  Тогава дойде критиката на геометрията на Евклид. Евклид беше критикуван по три причини: поради факта, че разглежда само такива геометрични величини, които могат да бъдат конструирани с помощта на пергел и линейка; за разбиването на геометрията и аритметиката и доказването за цели числа на това, което вече беше доказал за геометричните величини и накрая за аксиомите на Евклид. Петият постулат, най-трудният постулат на Евклид, е най-силно критикуван. Мнозина го смятат за излишно и че може и трябва да бъде изведено от други аксиоми. Други смятат, че трябва да се замени с по-опростен и по-илюстративен, еквивалентен на него: "През точка извън права линия не може да се начертае повече от една права линия в тяхната равнина, която не пресича тази права линия."

  Критиката на пропастта между геометрията и аритметиката доведе до разширяване на концепцията за число до реално число. Споровете за петия постулат доведоха до факта, че в началото на 19 век Н. И. Лобачевски, Й. Бояй и К. Ф. Гаус изградиха нова геометрия, в която бяха изпълнени всички аксиоми на геометрията на Евклид, с изключение на петия постулат. То беше заменено с противоположното твърдение: "В равнина през точка извън права може да се начертае повече от една права, която не пресича дадената." Тази геометрия беше толкова последователна, колкото и геометрията на Евклид.

  Построен е планиметричният модел на Лобачевски върху евклидовата равнина френски математикАнри Поанкаре през 1882 г.

  Начертайте хоризонтална линия на евклидовата равнина. Тази линия се нарича абсолютна (x). Точките на евклидовата равнина, лежащи над абсолюта, са точките на равнината на Лобачевски. Равнината на Лобачевски е отворена полуравнина, разположена над абсолюта. Неевклидовите сегменти в модела на Поанкаре са дъги от окръжности с център върху абсолюта или сегменти, перпендикулярни на абсолюта (AB, CD). Фигурата на равнината на Лобачевски е фигура на отворена полуравнина, лежаща над абсолюта (F). Неевклидовото движение е композиция от краен брой инверсии, центрирани върху абсолютната и аксиалната симетрия, чиито оси са перпендикулярни на абсолютната. Два неевклидови сегмента са равни, ако единият от тях може да бъде преместен в другия чрез неевклидово движение. Това са основните понятия на аксиоматиката на планиметрията на Лобачевски.

  Всички аксиоми на планиметрията на Лобачевски са последователни. „Неевклидова права е полукръг с краища в абсолюта или лъч с начало в абсолюта и перпендикулярен на абсолюта.“ По този начин твърдението на аксиомата на Лобачевски за паралелизъм е валидно не само за някаква права a и точка A, които не лежат на тази права, но също и за всяка права a и всяка точка A, които не лежат на нея.

  Зад геометрията на Лобачевски възникват други последователни геометрии: проективна геометрия, отделена от евклидовата, формира се многомерна евклидова геометрия, възниква риманова геометрия ( обща теорияпространства с произволен закон за измерване на дължините) и т.н. От науката за фигурите в едно триизмерно евклидово пространство, геометрията за 40 - 50 години се превърна в набор от различни теории, само донякъде подобни на своя прародител - геометрията на Евклид.

  Основните етапи от формирането на съвременната математика. Структура на съвременната математика

• Академик А. Н. Колмогоров идентифицира четири периода в развитието на математиката Колмогоров А. Н. - Математика, математика енциклопедичен речник, Москва, Съветска енциклопедия, 1988: раждането на математиката, елементарна математика, математика на променливите, съвременна математика.

  С развитието на елементарната математика теорията на числата постепенно израства от аритметиката. Алгебрата е създадена като буквално смятане. И системата за представяне на елементарната геометрия, геометрията на Евклид, създадена от древните гърци, се превърна в модел на дедуктивна конструкция за две хилядолетия напред. математическа теория.

  През 17-ти век изискванията на естествените науки и технологиите доведоха до създаването на методи, които позволяват математическото изследване на движението, процесите на промяна на количествата и трансформацията на геометрични фигури. С използването на променливите в аналитичната геометрия и създаването на диференциално и интегрално смятане започва периодът на математиката на променливите. Големите открития на 17 век са концепцията за безкрайно малка величина, въведена от Нютон и Лайбниц, създаването на основите за анализ на безкрайно малките величини ( математически анализ).

  Концепцията за функция излиза на преден план. Функцията става основен предмет на изследване. Изучаването на функция води до основните понятия на математическия анализ: граница, производна, диференциал, интеграл.

  Към това време принадлежи и появата на брилянтната идея на Р. Декарт за метода на координатите. Създава се аналитична геометрия, която позволява изучаването на геометрични обекти чрез методите на алгебрата и анализа. От друга страна, методът на координатите отвори възможността за геометрична интерпретация на алгебрични и аналитични факти.

  По-нататъшното развитие на математиката доведе в началото на 19 век до формулирането на проблема за изучаване на възможните видове количествени отношения и пространствени форми от доста обща гледна точка.

  Връзката между математиката и природните науки става все по-сложна. Възникват нови теории и те възникват не само в резултат на изискванията на естествените науки и технологиите, но и в резултат на вътрешната потребност на математиката. Забележителен пример за такава теория е въображаемата геометрия на Н. И. Лобачевски. Развитието на математиката през 19-ти и 20-ти век ни позволява да го отнесем към периода на съвременната математика. Развитието на самата математика, математизирането на различни области на науката, проникването математически методив много области на практическата дейност напредъкът на компютърните технологии доведе до появата на нови математически дисциплини, например изследване на операциите, теория на игрите, математическа икономика и др.

  Основните методи в математическите изследвания са математическите доказателства – строги логически разсъждения. Математическото мислене не се ограничава до логически разсъждения. Математическата интуиция е необходима за правилното формулиране на проблема, за оценка на избора на метод за решаването му.

  В математиката се изучават математически модели на обекти. Същият математически модел може да опише свойствата на реални явления, които са далеч едно от друго. Да, същата работа диференциално уравнениеможе да опише процесите на нарастване на населението и разпадане на радиоактивен материал. За математика не е важна природата на разглежданите обекти, а отношенията, съществуващи между тях.

  В математиката има два вида разсъждения: дедукция и индукция.

  Индукцията е метод на изследване, при който се изгражда общо заключение въз основа на конкретни предпоставки.

  Дедукцията е метод на разсъждение, чрез който заключение от определено естество следва от общи предпоставки.

  Математиката играе важна роля в природните науки, инженерните и хуманитарните изследвания. Причината за навлизането на математиката в различни области на знанието е, че тя предлага много ясни модели за изучаване на заобикалящата действителност, за разлика от по-малко общите и по-неясни модели, предлагани от другите науки. Без съвременната математика, с нейния развит логически и изчислителен апарат, прогресът в различни области на човешката дейност би бил невъзможен.

  Математиката е не само мощен инструмент за решаване на приложни проблеми и универсален език на науката, но и елемент от обща култура.

  Основни черти на математическото мислене

• По този въпрос особен интерес представлява характеристиката на математическото мислене, дадено от А. Я. Хинчин, или по-скоро неговата специфична историческа форма - стилът на математическото мислене. Разкривайки същността на стила на математическото мислене, той откроява четири черти, общи за всички епохи, които значително отличават този стил от стиловете на мислене в другите науки.

  Първо, математикът се характеризира с доминирането на логическата схема на разсъждение, доведена до краен предел. Математик, който изгуби от поглед тази схема, поне временно, напълно губи способността си да мисли научно. Тази специфична черта на стила на математическото мислене има голяма стойност сама по себе си. Очевидно е, че в максимална степен ви позволява да наблюдавате правилността на хода на мисълта и гарантира срещу грешки; от друга страна, тя принуждава мислителя да има пред очите си съвкупността от налични възможности по време на анализ и го задължава да вземе предвид всяка от тях, без да пропуска нито една (такива пропуски са напълно възможни и всъщност често се наблюдават в други стилове на мислене).

  На второ място, сбитостта, т.е. съзнателното желание винаги да се намира най-краткият логичен път, водещ до дадена цел, безпощадното отхвърляне на всичко, което е абсолютно необходимо за безупречната валидност на аргумента. Математическо есе в добър стил, не търпи никаква „вода“, никакво украсяване, отслабване на логическото напрежение на ръкогласие, разсейване настрани; изключителната скъперничество, строгата строгост на мисълта и нейното представяне са неразделна характеристика на математическото мислене. Тази функция е от голяма стойност не само за математически, но и за всякакви други сериозни разсъждения. Лаконизмът, желанието да не се допуска нищо излишно, помага както на самия мислител, така и на неговия читател или слушател да се концентрира напълно върху този курсмисли, без да се разсейват от странични идеи и без да губят пряк контакт с основната линия на разсъждение.

  Светилата на науката по правило мислят и се изразяват лаконично във всички области на знанието, дори когато тяхната мисъл създава и излага принципно нови идеи. Какво величествено впечатление прави например благородната скъперничество на мисълта и словото на най-големите творци на физиката: Нютон, Айнщайн, Нилс Бор! Може би е трудно да се намери по-ярък пример за това какво дълбоко влияние може да има стилът на мислене на неговите създатели върху развитието на науката.

  За математиката стегнатостта на мисълта е безспорен закон, канонизиран от векове. Всеки опит да се натовари презентацията с не непременно необходими (дори и приятни и увлекателни за слушателите) картини, разсейки, ораторско майсторство предварително се поставя под основателно подозрение и автоматично предизвиква критично внимание.

  Трето, ясна дисекция на хода на разсъжденията. Ако, например, когато доказваме твърдение, трябва да разгледаме четири възможни случая, всеки от които може да бъде разделен на един или друг брой подслучаи, тогава във всеки момент на разсъждение математикът трябва ясно да помни в кой случай и подслучай е мисълта сега се придобива и кои случаи и подслучаи той все още трябва да разгледа. При всякакъв вид разклонени изброявания математикът трябва във всеки един момент да е наясно за кое родово понятие изброява видовите понятия, които го съставят. В обикновеното, ненаучно мислене много често наблюдаваме объркване и скокове в такива случаи, водещи до объркване и грешки в разсъжденията. Често се случва човек да започне да изброява видовете от един род, а след това незабележимо за слушателите (а често и за себе си), използвайки недостатъчната логическа яснота на разсъждението, да прескочи в друг род и да завърши с твърдението, че и двата рода вече са класифицирани; и слушателите или читателите не знаят къде е границата между видовете от първия и втория вид.

  За да направят подобни обърквания и скокове невъзможни, математиците отдавна използват широко прости външни методи за номериране на понятия и преценки, понякога (но много по-рядко) използвани в други науки. Тези възможни случаи или онези общи понятия, които трябва да бъдат разгледани в това разсъждение, са преномерирани предварително; във всеки такъв случай, тези подслучаи, които трябва да се считат и които той съдържа, също се преномерират (понякога, за разграничение, като се използва друга система за номериране). Преди всеки параграф, където започва разглеждането на нов подслучай, се поставя обозначението, прието за този подслучай (например: II 3 - това означава, че тук започва разглеждането на третия подслучай на втория случай или описанието на третия тип от втория вид, ако говорим за класификация). И читателят знае, че докато не попадне на нова числова рубрика, всичко, което е представено, се отнася само за този падеж и подказус. От само себе си се разбира, че такова номериране е само външно средство, много полезно, но в никакъв случай задължително, и че същността на въпроса не се крие в него, а в това ясно разделение на аргументация или класификация, което то едновременно стимулира и маркира от само себе си.

  Четвърто, стриктна точност на символи, формули, уравнения. Тоест, „всеки математически символ има строго определено значение: замяната му с друг символ или пренареждането му на друго място, като правило, води до изкривяване, а понякога и пълно унищожаване на смисъла на това твърдение“.

  След като изтъква основните характеристики на математическия стил на мислене, А. Я. Хинчин отбелязва, че математиката (особено математиката на променливите) по своята същност има диалектически характер и следователно допринася за развитието на диалектическото мислене. Наистина, в процеса на математическото мислене има взаимодействие между визуално (конкретно) и концептуално (абстрактно). „Не можем да мислим за линии“, пише Кант, „без да го начертаем мислено, ние не можем да мислим за три измерения за себе си, без да начертаем три линии, перпендикулярни една на друга от една точка.“

  Взаимодействието на конкретното и абстрактното „води” математическото мислене до развитието на нови и нови понятия и философски категории. В древната математика (математика на константите) това са били „число” и „пространство”, които първоначално са били отразени в аритметиката и евклидовата геометрия, а по-късно в алгебрата и различни геометрични системи. Математиката на променливите се „базира“ на концепции, които отразяват движението на материята – „крайни“, „безкрайни“, „непрекъснатост“, „дискретни“, „безкрайно малки“, „производни“ и т.н.

  Ако говорим за настоящия исторически етап в развитието на математическото познание, то той върви в съответствие с по-нататъшното развитие на философските категории: теорията на вероятностите „овладява“ категориите възможно и случайно; топология - категории връзка и непрекъснатост; теория на катастрофата - категория скок; теория на групите – категории симетрия и хармония и др.

  В математическото мислене се изразяват основните модели на конструиране на сходни по форма логически връзки. С негова помощ се осъществява преходът от единичното (да речем от определени математически методи - аксиоматични, алгоритмични, конструктивни, теоретико-множествени и други) към специалните и общи, към обобщени дедуктивни конструкции. Единството на методите и предмета на математиката определя спецификата на математическото мислене, позволява да се говори за специален математически език, който не само отразява реалността, но и синтезира, обобщава и прогнозира научните знания. Силата и красотата на математическата мисъл се крие в най-голямата яснота на нейната логика, елегантността на конструкциите и умелото изграждане на абстракциите.

  Принципно нови възможности за умствена дейност се откриха с изобретяването на компютъра, със създаването на машинната математика. В езика на математиката са настъпили значителни промени. Ако езикът на класическата изчислителна математика се състои от формули на алгебрата, геометрията и анализа, фокусирани върху описанието на непрекъснатите процеси в природата, изучавани предимно в механиката, астрономията, физиката, то нейният съвременен език е езикът на алгоритмите и програмите, в т.ч. старият език на формулите като частен случай.

  Езикът на съвременната изчислителна математика става все по-универсален, способен да описва сложни (многопараметрични) системи. В същото време бих искал да подчертая, че колкото и съвършен да е математическият език, усъвършенстван от електронно-изчислителната техника, той не прекъсва връзките с разнообразния „жив“, естествен език. малко от, разговорене в основата на изкуствен език. В тази връзка интерес представлява скорошното откритие на учените. Въпросът е, че древният език на индианците аймара, който се говори от около 2,5 милиона души в Боливия и Перу, се оказа изключително удобен за компютърни технологии. Още през 1610 г. италианският йезуитски мисионер Лудовико Бертони, съставил първия речник на аймара, отбелязва гениалността на създателите му, постигнали висока логическа чистота. В аймара, например, няма неправилни глаголи и изключения от няколкото ясни граматически правила. Тези характеристики на езика Аймара позволиха на боливийския математик Иван Гузман де Рохас да създаде система за едновременен компютърен превод от всеки от петте европейски езика, включени в програмата, „мостът“ между които е езикът Аймара. Компютърът "Аймара", създаден от боливийски учен, беше високо оценен от специалистите. Обобщавайки тази част от въпроса за същността на математическия стил на мислене, трябва да се отбележи, че основното му съдържание е разбирането на природата.

  Аксиоматичен метод

• Аксиоматиката е основният начин за изграждане на теория от древността до наши дни, потвърждавайки нейната универсалност и приложимост.

  Изграждането на математическа теория се основава на аксиоматичния метод. Научната теория се основава на някои първоначални положения, наречени аксиоми, а всички останали положения на теорията се получават като логически следствия от аксиомите.

  Аксиоматичният метод се появява в древна Гърция и в момента се използва в почти всички теоретични науки и най-вече в математиката.

  Сравнявайки три, в известен смисъл, допълващи се геометрии: Евклидова (параболична), Лобачевски (хиперболична) и Риманова (елиптична), трябва да се отбележи, че наред с някои прилики има голяма разлика между сферичната геометрия, от едната страна, а геометриите на Евклид и Лобачевски – от друга.

  Фундаменталната разлика между съвременната геометрия е, че сега тя обхваща "геометриите" на безкраен брой различни въображаеми пространства. Все пак трябва да се отбележи, че всички тези геометрии са интерпретации на евклидовата геометрия и се основават на аксиоматичния метод, използван за първи път от Евклид.

  Въз основа на изследванията е разработен и широко използван аксиоматичният метод. Като специален случай на прилагане на този метод е методът на следите в стереометрията, който позволява решаването на задачи за изграждане на сечения в полиедри и някои други позиционни проблеми.

  Аксиоматичният метод, разработен за първи път в геометрията, сега се превърна във важен инструмент за изследване в други клонове на математиката, физиката и механиката. В момента се работи за подобряване и по-задълбочено изучаване на аксиоматичния метод за изграждане на теория.

  Аксиоматичният метод за изграждане на научна теория се състои в подчертаване на основните понятия, формулиране на аксиомите на теориите, а всички останали твърдения се извеждат по логичен начин, разчитайки на тях. Известно е, че едно понятие трябва да се обясни с помощта на други, които от своя страна също се дефинират с помощта на някои добре познати понятия. Така стигаме до елементарни понятия, които не могат да бъдат дефинирани с други. Тези понятия се наричат ​​основни.

  Когато доказваме твърдение, теорема, ние разчитаме на предпоставки, които се считат за вече доказани. Но тези предпоставки също бяха доказани, те трябваше да бъдат обосновани. В крайна сметка стигаме до недоказуеми твърдения и ги приемаме без доказателства. Тези твърдения се наричат ​​аксиоми. Наборът от аксиоми трябва да бъде такъв, че разчитайки на него, човек може да докаже допълнителни твърдения.

  След като отделихме основните понятия и формулирахме аксиомите, извеждаме теореми и други понятия по логичен начин. Това е логическата структура на геометрията. Аксиомите и основните понятия формират основите на планиметрията.

  Тъй като е невъзможно да се даде едно-единствено определение на основните понятия за всички геометрии, основните понятия на геометрията трябва да се определят като обекти от всякакво естество, които отговарят на аксиомите на тази геометрия. По този начин, при аксиоматичното изграждане на геометрична система, ние започваме от определена система от аксиоми или аксиоматика. Тези аксиоми описват свойствата на основните понятия на геометрична система и ние можем да представим основните понятия под формата на обекти от всякакво естество, които имат свойствата, посочени в аксиомите.

  След формулирането и доказването на първите геометрични твърдения, става възможно някои твърдения (теореми) да бъдат доказани с помощта на други. Доказателствата на много теореми се приписват на Питагор и Демокрит.

  Хипократ от Хиос се смята за съставител на първия систематичен курсгеометрия, основана на определения и аксиоми. Този курс и неговите последващи обработки бяха наречени „Елементи“.

  Аксиоматичен метод за изграждане на научна теория

• Създаването на дедуктивен или аксиоматичен метод за конструиране на науката е едно от най-големите постижения на математическата мисъл. Това изискваше работата на много поколения учени.

  Забележителна характеристика на дедуктивната система на представяне е простотата на тази конструкция, която позволява да се опише с няколко думи.

  Дедуктивната система на представяне се свежда до:

  1) към списъка с основни понятия,

  2) към представянето на дефиниции,

  3) към представянето на аксиомите,

  4) към представянето на теореми,

  5) към доказателството на тези теореми.

  Аксиомата е твърдение, прието без доказателство.

  Теоремата е твърдение, което следва от аксиоми.

  доказателство - компонентдедуктивна система, това е разсъждение, което показва, че истинността на едно твърдение следва логически от истинността на предишни теореми или аксиоми.

  В рамките на една дедуктивна система не могат да бъдат разрешени два въпроса: 1) за значението на основните понятия, 2) за истинността на аксиомите. Но това не означава, че тези въпроси като цяло са неразрешими.

  Историята на естествената наука показва, че възможността за аксиоматично изграждане на определена наука се появява само на доста високо ниво на развитие на тази наука, въз основа на голямо количество фактически материали, което позволява ясно да се идентифицират основните връзки и отношения, които съществуват между обектите, изучавани от тази наука.

  Пример за аксиоматична конструкция на математическата наука е елементарната геометрия. Системата от аксиоми на геометрията е изложена от Евклид (около 300 г. пр. н. е.) в ненадминатия по своето значение труд "Начала". Тази система до голяма степен е оцеляла до днес.

  Основни понятия: основни изображения на точка, права, равнина; лежи между, принадлежи, движи се.

  Елементарната геометрия има 13 аксиоми, които са разделени на пет групи. В петата група има една аксиома за паралелите (постулат V на Евклид): през точка на равнина може да се начертае само една права линия, която не пресича тази права линия. Това е единствената аксиома, която предизвика необходимостта от доказателство. Опитите за доказване на петия постулат занимават математиците повече от 2 хилядолетия, до първата половина на 19 век, т.е. до момента, в който Николай Иванович Лобачевски доказа в своите съчинения пълната безперспективност на тези опити. В момента недоказуемостта на петия постулат е строго доказан математически факт.

  Аксиома за паралела N.I. Лобачевски замени аксиомата: Нека в дадена равнина са дадени права линия и точка извън правата. През тази точка могат да се проведат поне две успоредни прави към дадената права.

  От новата система от аксиоми Н.И. Лобачевски с безупречна логическа строгост изведе последователна система от теореми, които съставляват съдържанието на неевклидовата геометрия. И двете геометрии на Евклид и Лобачевски са равнопоставени като логически системи.

  Трима велики математици през 19 век почти едновременно, независимо един от друг, стигат до едни и същи резултати за недоказуемостта на петия постулат и до създаването на неевклидова геометрия.

  Николай Иванович Лобачевски (1792-1856)

  Карл Фридрих Гаус (1777-1855)

  Янош Бояй (1802-1860)

  Математическо доказателство

• Основният метод в математическото изследване е математическото доказателство - строги логически разсъждения. По силата на обективна необходимост, посочва член-кореспондентът на Руската академия на науките Л. Д. Кудрявцев Кудрявцев Л. Д. - Съвременната математика и нейното преподаване, Москва, Наука, 1985 г., логическите разсъждения (които по своята природа, ако са правилни, са и строги) са метод на математиката, без тях математиката е немислима. Трябва да се отбележи, че математическото мислене не се ограничава до логически разсъждения. За правилното формулиране на проблема, за оценката на неговите данни, за избора на значими от тях и за избора на метод за решаването му е необходима и математическа интуиция, която позволява да се предвиди желаният резултат преди получава се, да очертае пътя на изследването с помощта на правдоподобни разсъждения. Но валидността на разглеждания факт се доказва не чрез проверката му на редица примери, не чрез провеждане на редица експерименти (което само по себе си играе голяма роля в математическите изследвания), а по чисто логичен начин, според законите на формалната логика.

  Смята се, че математическото доказателство е върховната истина. Решение, което се основава на чиста логика, просто не може да бъде грешно. Но с развитието на науката и задачите пред математиците се поставят все по-сложни.

  „Навлязохме в ера, когато математическият апарат стана толкова сложен и тромав, че на пръв поглед вече не е възможно да се каже дали възникналият проблем е верен или не“, смята Кийт Девлин от Станфордския университет, Калифорния, САЩ. Той цитира като пример „класификацията на простите крайни групи“, която е формулирана през 1980 г., но пълно точно доказателство все още не е дадено. Най-вероятно теоремата е вярна, но е невъзможно да се каже със сигурност за това.

  Компютърното решение също не може да се нарече точно, защото такива изчисления винаги имат грешка. През 1998 г. Хейлс предложи компютърно подпомогнато решение на теоремата на Кеплер, формулирана през 1611 г. Тази теорема описва най-плътното опаковане на топки в космоса. Доказателството беше представено на 300 страници и съдържаше 40 000 реда машинен код. 12 рецензенти проверяваха решението в продължение на една година, но никога не постигнаха 100% увереност в правилността на доказателството и изследването беше изпратено за преразглеждане. В резултат на това той беше публикуван едва след четири години и без пълна заверка на рецензентите.

  Всички най-нови изчисления за приложни задачи се правят на компютър, но учените смятат, че за по-голяма надеждност математическите изчисления трябва да се представят без грешки.

  Теорията на доказателството се развива в логиката и включва три структурни компонента: теза (това, което се предполага, че се доказва), аргументи (набор от факти, общоприети понятия, закони и др. на съответната наука) и демонстрация (процедурата за разгръщане на самото доказателство; последователна верига от изводи, когато n-тото заключение стане една от предпоставките на n+1-то заключение). Разграничени са правилата за доказване, посочени са възможните логически грешки.

  Математическото доказателство има много общо с принципите, установени от формалната логика. Нещо повече, математическите правила за разсъждение и операции очевидно са послужили като една от основите в развитието на доказателствената процедура в логиката. По-специално, изследователите на историята на формирането на формалната логика смятат, че по едно време, когато Аристотел е направил първите стъпки за създаване на закони и правила на логиката, той се е обърнал към математиката и към практиката на юридическата дейност. В тези източници той намира материал за логическите конструкции на замислената теория.

  През 20-ти век концепцията за доказателство губи стриктното си значение, което се случва във връзка с откриването на логически парадокси, скрити в теорията на множествата и особено във връзка с резултатите, донесени от теоремите на К. Гьодел за непълнотата на формализацията.

  На първо място, това засегна самата математика, във връзка с която се смяташе, че терминът "доказателство" няма точно определение. Но ако подобно мнение (което се поддържа и до днес) засяга самата математика, тогава те стигат до извода, че доказателството трябва да се приеме не в логико-математически, а в психологически смисъл. Нещо повече, подобен възглед се среща и при самия Аристотел, който вярва, че да докажеш означава да проведеш разсъждение, което да ни убеди до такава степен, че използвайки го, ние убеждаваме другите в правилността на нещо. Известна сянка на психологическия подход намираме в А. Е. Есенин-Волпин. Той рязко се противопоставя на приемането на истината без доказателство, свързвайки я с акт на вяра и по-нататък пише: „Наричам доказателството на едно съждение честен метод, който прави това съждение неоспоримо“. Есенин-Волпин съобщава, че неговата дефиниция все още трябва да бъде изяснена. В същото време самото характеризиране на доказателствата като „честен метод“ не издава ли призив към морално-психологическа оценка?

  В същото време откриването на парадоксите на теорията на множествата и появата на теоремите на Годел само допринесоха за развитието на теорията на математическото доказателство, предприето от интуиционистите, особено от конструктивистката посока, и Д. Хилберт.

  Понякога се смята, че математическото доказателство е универсално и представлява идеална версия на научно доказателство. Въпреки това, това не е единственият метод; има и други методи на процедури и операции, основани на доказателства. Вярно е само, че математическото доказателство има много общо с формално логическото, прилагано в естествените науки, и че математическото доказателство има определени специфики, както и набор от техники-операции. Тук ще спрем, пропускайки общото нещо, което го прави свързано с други форми на доказателства, тоест без да разширяваме алгоритъма, правилата, грешките и т.н. във всички стъпки (дори и основните). процес на доказване.

  Математическото доказателство е разсъждение, което има за задача да обоснове истинността (разбира се, в математическия, тоест като изводим смисъл) на едно твърдение.

  Наборът от правила, използвани в доказателството, се формира заедно с появата на аксиоматични конструкции на математическата теория. Това е осъзнато най-ясно и пълно в геометрията на Евклид. Неговите "Принципи" се превърнаха в един вид модел на стандарт за аксиоматична организация на математическите знания и дълго време останаха такива за математиците.

  Твърденията, представени под формата на определена последователност, трябва да гарантират заключение, което при спазване на правилата на логическата операция се счита за доказано. Трябва да се подчертае, че определено разсъждение е доказателство само по отношение на някаква аксиоматична система.

  При характеризирането на едно математическо доказателство се разграничават две основни характеристики. На първо място, фактът, че математическото доказателство изключва всякакво позоваване на емпирични доказателства. Цялата процедура за обосноваване на истинността на заключението се извършва в рамките на приетата аксиоматика. Акад. А. Д. Александров подчертава в тази връзка. Можете да измерите ъглите на триъгълник хиляди пъти и да се уверите, че са равни на 2d. Но математиката не доказва нищо. Ще му го докажеш, ако изведеш горното твърдение от аксиомите. Да повторим. Тук математиката се доближава до методите на схоластиката, която също фундаментално отхвърля аргументацията чрез експериментално дадени факти.

  Например, когато беше открита несъизмеримостта на сегментите, при доказването на тази теорема беше изключено обръщение към физически експеримент, тъй като, първо, самата концепция за "несъизмеримост" е лишена от физически смисъл, и, второ, математиците не можеха, когато се занимаваме с абстракция, да привлечем в помощ материално-конкретни разширения, измерими чрез сетивно-визуално средство. Несъизмеримостта, по-специално, на страната и диагонала на квадрат се доказва въз основа на свойството на целите числа, като се използва питагоровата теорема за равенството на квадрата на хипотенузата (съответно диагонала) на сумата от квадратите на крака (две страни на правоъгълен триъгълник). Или когато Лобачевски е търсил потвърждение за своята геометрия, позовавайки се на резултатите от астрономически наблюдения, тогава това потвърждение е било извършено от него с помощта на чисто спекулативен характер. Интерпретациите на Cayley-Klein и Beltrami на неевклидовата геометрия също включват типично математически, а не физически обекти.

  Втората характеристика на математическото доказателство е неговата най-висока абстрактност, по която то се различава от доказателствените процедури в другите науки. И отново, както в случая с концепцията за математически обект, не става дума само за степента на абстракция, а за неговата природа. Факт е, че високо нивоДоказателството достига абстракция в редица други науки, например във физиката, космологията и, разбира се, във философията, тъй като крайните проблеми на битието и мисленето стават предмет на последната. Математиката, от друга страна, се отличава с това, че тук функционират променливи, чийто смисъл е в абстрахиране от всякакви специфични свойства. Спомнете си, че по дефиниция променливите са знаци, които сами по себе си нямат значения и придобиват последното само когато имената на определени обекти са заменени с тях (индивидуални променливи) или когато са посочени специфични свойства и отношения (предикатни променливи), или накрая , в случаите на заместване на променлива със смислено твърдение (пропозиционална променлива).

  Отбелязаната особеност определя естеството на изключителната абстрактност на знаците, използвани в математическото доказателство, както и твърденията, които поради включването на променливи в тяхната структура се превръщат в твърдения.

  Самата процедура на доказване, дефинирана в логиката като демонстрация, протича въз основа на правилата за умозаключение, въз основа на които се извършва преходът от едно доказано твърдение към друго, образувайки последователна верига от умозаключения. Най-разпространени са двете правила (заместване и извеждане на заключения) и теоремата за дедукция.

  правило за заместване. В математиката заместването се дефинира като заместване на всеки от елементите a на дадено множество с друг елемент F(a) от същото множество. В математическата логика правилото за заместване се формулира по следния начин. Ако една истинска формула M в пропозиционалното смятане съдържа буква, да речем A, тогава като я заменим навсякъде, където се среща с произволна буква D, получаваме формула, която също е вярна като оригиналната. Това е възможно и допустимо именно защото в смятането на съжденията се абстрахира от значението на съжденията (формулите)... Вземат се предвид само стойностите „истина” или „лъжа”. Например във формулата M: A--> (BUA) заместваме израза (AUB) на мястото на A, като резултат получаваме нова формула (AUB) -->[(BU(AUB) ].

  Правилото за извеждане на изводи съответства на структурата на условно категоричния силогизъм modus ponens (утвърдителен модус) във формалната логика. Изглежда така:

  а .

  Дадено е предложение (a-> b), а също и дадено a. Следва б.

  Например: Ако вали, тогава настилката е мокра, вали (а), следователно настилката е мокра (б). В математическата логика този силогизъм се записва по следния начин (a-> b) a-> b.

  Изводът се определя, като правило, чрез отделяне за подразбиране. Ако са дадени импликация (a-> b) и нейният антецедент (a), тогава имаме право да добавим към разсъждението (доказателството) също и следствието от тази импликация (b). Силогизмът е принудителен, съставляващ арсенал от дедуктивни средства за доказване, тоест напълно отговарящ на изискванията на математическото разсъждение.

  Важна роля в математическото доказателство играе теоремата за дедукция - общото наименование на редица теореми, чиято процедура позволява да се установи доказуемостта на импликацията: A-> B, когато има логическо извеждане на формула B от формула A. В най-разпространената версия на пропозиционалното смятане (в класическата, интуиционистката и други видове математика), теоремата за дедукцията гласи следното. Ако са дадени система от предпоставки G и предпоставка A, от които според правилата могат да бъдат изведени B G, A B (- знак за изводимост), тогава следва, че само от предпоставките на G може да се получи изречението A --> Б.

  Разгледахме типа, което е пряко доказателство. В същото време в логиката се използват и така наречените косвени доказателства; има непреки доказателства, които се разгръщат по следната схема. Липса поради редица причини (недостъпност на обекта на изследване, загуба на реалността на неговото съществуване и др.) преки доказателстваистинността на всяко твърдение, теза, изграждане на антитеза. Те са убедени, че антитезата води до противоречия и следователно е невярна. Тогава от факта на неистинността на антитезата се прави - въз основа на закона за изключената среда (a v) - заключението за истинността на тезата.

  В математиката широко се използва една от формите на косвено доказателство - доказателство от противоречие. Той е особено ценен и всъщност незаменим при приемането на фундаментални понятия и положения на математиката, например концепцията за действителната безкрайност, която не може да бъде въведена по друг начин.

  Операцията доказателство от противно е представена в математическата логика по следния начин. Дадена е последователност от формули G и отрицанието на A (G , A). Ако това предполага B и неговото отрицание (G, A B, не-B), тогава можем да заключим, че истинността на A следва от последователността на формулите G. С други думи, истинността на тезата следва от неистинността на антитезата .

  Препратки:

• 1. Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман, Висша математика за икономисти, учебник, Москва, 2002 г.;

  2. Л. Д. Кудрявцев, Съвременната математика и нейното преподаване, Москва, Наука, 1985 г.;

  3. О. И. Ларичев, Обективни модели и субективни решения, Москва, Наука, 1987;

  4. А.Я.Халамизер, „Математика? - Смешно е! ”, Авторско издание, 1989 г.;

  5. П. К. Рашевски, Риманова геометрия и тензорен анализ, Москва, 3-то издание, 1967 г.;

  6. В. Е. Гмурман, Теория на вероятностите и математическа статистика, Москва, висше училище, 1977;

  7. Световна мрежа Enternet.

Математиката като наука за количествените отношения и пространствените форми на реалността изучава света около нас, природни и социални явления. Но за разлика от други науки, математиката изучава техните специални свойства, абстрахирайки се от други. И така, геометрията изучава формата и размера на обектите, без да взема предвид другите им свойства: цвят, маса, твърдост и др. Като цяло математическите обекти (геометрична фигура, число, стойност) са създадени от човешкия ум и съществуват само в човешкото мислене, в знаци и символи, които формират математическия език.

Абстрактността на математиката позволява тя да се прилага в различни области, тя е мощен инструмент за разбиране на природата.

Формите на познание се делят на две групи.

първа групапредставляват форми на сетивно познание, осъществявано с помощта на различни сетивни органи: зрение, слух, обоняние, осезание, вкус.

Co. втора групавключват форми на абстрактно мислене, предимно концепции, твърдения и изводи.

Формите на сетивното познание са Усещам, възприятиеи представителство.

Всеки обект има не едно, а много свойства и ние ги познаваме с помощта на усещанията.

Чувство- това е отражение на отделни свойства на обекти или явления от материалния свят, които са пряко (т.е. сега, в този момент) влияят на сетивата ни. Това са усещания за червено, топло, кръгло, зелено, сладко, гладко и други индивидуални свойства на обектите [Getmanova, p. 7].

От индивидуалните усещания се формира възприятието за целия обект. Например, възприятието за ябълка се състои от такива усещания: сферична, червена, сладко-кисела, ароматна и т.н.

Възприятиее холистично отражение на външен материален обект, който пряко въздейства върху нашите сетива [Гетманова, с. осем]. Например изображение на чиния, чаша, лъжица, други прибори; изображението на реката, ако сега плаваме по нея или сме на нейните брегове; изображението на гората, ако сега сме стигнали до гората и т.н.

Възприятията, въпреки че са сетивно отражение на реалността в съзнанието ни, до голяма степен зависят от човешкия опит. Например биологът ще възприеме една поляна по един начин (той ще види различни видоверастения), но турист или художник е съвсем различно.

производителност- това е чувствен образ на обект, който в момента не се възприема от нас, но който преди това е бил възприеман от нас под една или друга форма [Гетманова, с. десет]. Например можем визуално да си представим лицата на познати, нашата стая в къщата, бреза или гъба. Това са примери възпроизвежданепредставяния, както видяхме тези обекти.

Презентацията може да бъде творчески, включително фантастично. Представяме Ви красивата принцеса Лебед, или Цар Салтан, или Златното петле, както и много други герои от приказките на А.С. Пушкин, когото никога не сме виждали и няма да видим. Това са примери за творческо представяне вместо словесно описание. Представяме си и Снежанката, Дядо Коледа, русалка и др.

И така, формите на сетивното познание са усещания, възприятия и представи. С тяхна помощ ние знаем външни страниобект (неговите характеристики, включително свойства).

Формите на абстрактното мислене са понятия, твърдения и заключения.

Концепции. Обхват и съдържание на понятията

Терминът "концепция" обикновено се използва за обозначаване на цял клас обекти с произволен характер, които имат определено характерно (отличително, съществено) свойство или цял набор от такива свойства, т.е. свойства, които са уникални за членовете на този клас.

От гледна точка на логиката понятието е особена форма на мислене, която се характеризира със следното: 1) понятието е продукт на високо организирана материя; 2) понятието отразява материален свят; 3) понятието се появява в съзнанието като средство за обобщение; 4) понятието означава конкретно човешка дейност; 5) формирането на понятие в съзнанието на човек е неотделимо от неговото изразяване чрез реч, писане или символ.

Как в съзнанието ни възниква концепцията за всеки обект от реалността?

Процесът на формиране на определена концепция е постепенен процес, в който могат да се видят няколко последователни етапа. Помислете за този процес, като използвате най-простия пример - формирането на концепцията за числото 3 при децата.

1. На първия етап от познанието децата се запознават с различни специфични комплекти, като използват предметни снимки и показват различни набори от три елемента (три ябълки, три книги, три молива и др.). Децата не само виждат всеки един от тези набори, но те също могат да докоснат (докоснат) предметите, които съставляват тези набори. Този процес на "виждане" създава в съзнанието на детето специална форма на отражение на действителността, която се нарича възприятие (усещане).

2. Нека премахнем предметите (обектите), които съставляват всяко множество, и поканим децата да определят дали има нещо общо, което характеризира всяко множество. Броят на предметите във всеки комплект трябваше да се запечата в съзнанието на децата, че навсякъде имаше „три“. Ако това е така, тогава в съзнанието на децата е създадена нова форма - идеята за числото три.

3. На следващия етап, въз основа на мисловен експеримент, децата трябва да видят, че свойството, изразено в думата "три", характеризира всяко множество различни елементина формата (a; b; c). Това ще подчертае съществено обща чертатакива комплекти "да има три елемента".Сега можем да кажем, че в съзнанието на децата се формира концепция за номер 3.

концепция- това е специална форма на мислене, която отразява съществените (отличителни) свойства на обектите или обектите на изследване.

Езиковата форма на понятието е дума или група от думи. Например „триъгълник“, „номер три“, „точка“, „права линия“, „равнобедрен триъгълник“, „растение“, „иглолистно дърво“, „река Енисей“, „маса“ и др.

Математическите понятия имат редица характеристики. Основният е, че математическите обекти, за които е необходимо да се формира понятие, не съществуват в действителност. Математическите обекти са създадени от човешкия ум. Това са идеални обекти, които отразяват реални обекти или явления. Например в геометрията се изучават формата и размерите на обектите, без да се вземат предвид другите им свойства: цвят, маса, твърдост и др. От всичко това те са разсеяни, абстрахирани. Затова в геометрията вместо думата "обект" казват "геометрична фигура". Резултатът от абстракцията са и такива математически понятия като "число" и "стойност".

Основните функциивсякакви понятията саследното: 1) сила на звука; 2) съдържание; 3) връзки между понятията.

Когато говорят за математическа концепция, обикновено имат предвид цялото множество (набор) от обекти, обозначени с един термин (дума или група от думи). И така, говорейки за квадрат, те имат предвид всички геометрични фигури, които са квадрати. Смята се, че наборът от всички квадрати е обхватът на понятието "квадрат".

Обхватът на понятиетонаборът от обекти или обекти, към които е приложимо това понятие, се нарича.

Например, 1) обхватът на понятието "паралелограм" е съвкупността от такива четириъгълници като правилни успоредници, ромби, правоъгълници и квадрати; 2) обхватът на понятието „еднозначно естествено число» ще има набор - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Всеки математически обект има определени свойства. Например квадратът има четири страни, четири прави ъгъла, равни на диагоналите, диагоналите се разделят на две от пресечната точка. Можете да посочите другите му свойства, но сред свойствата на обекта има съществен (отличителен)и несъществени.

Имотът се нарича съществено значение (отличителен) за обект, ако е присъщ на този обект и без него той не може да съществува; имот се нарича незначителен за обект, ако може да съществува без него.

Например, за един квадрат всички свойства, изброени по-горе, са от съществено значение. Свойството „страната AD е хоризонтална” ще бъде без значение за квадрата ABCD (фиг. 1). Ако този квадрат се завърти, тогава страната AD ще бъде вертикална.

Помислете за пример за деца в предучилищна възраст, използвайки визуален материал (фиг. 2):

Опишете фигурата.

Малък черен триъгълник. Ориз. 2

Голям бял триъгълник.

По какво си приличат фигурите?

Как се различават фигурите?

Цвят, размер.

Какво има един триъгълник?

3 страни, 3 ъгъла.

Така децата откриват съществените и несъществените свойства на понятието "триъгълник". Съществени свойства – „имат три страни и три ъгъла“, несъществени свойства – цвят и големина.

Нарича се съвкупността от всички съществени (отличителни) свойства на обект или обект, отразени в това понятие съдържанието на понятието .

Например, за понятието „успоредник“ съдържанието е набор от свойства: има четири страни, има четири ъгъла, противоположните страни са успоредни по двойки, противоположните страни са равни, противоположните ъгли са равни, диагоналите в пресечната точка точките се делят наполовина.

Съществува връзка между обема на понятието и неговото съдържание: ако обемът на понятието се увеличава, то съдържанието му намалява и обратно. Така например, обхватът на понятието "равнобедрен триъгълник" е част от обхвата на понятието "триъгълник", а съдържанието на понятието "равнобедрен триъгълник" включва повече свойства, отколкото съдържанието на понятието "триъгълник", т.к. равнобедрен триъгълник има не само всички свойства на триъгълника, но и други, присъщи само на равнобедрен триъгълник („двете страни са равни“, „два ъгъла са равни“, „две медиани са равни“ и т.н.).

Понятията се делят на единични, общии категории.

Нарича се понятие, чийто обем е равен на 1 единна концепция .

Например понятията: "Река Енисей", "Република Тува", "град Москва".

Понятията, чийто обем е по-голям от 1, се наричат общ .

Например понятията: "град", "река", "четириъгълник", "число", "многоъгълник", "уравнение".

В процеса на изучаване на основите на всяка наука децата обикновено формират общи понятия. Например в начално училищеучениците се запознават с понятия като „число“, „число“, „едноцифрени числа“, „двуцифрени числа“, „многоцифрени числа“, „дроб“, „дял“, „събиране“, „член“ ”, „сума”, „изваждане”, „изваден”, „намалено”, „разлика”, „умножение”, „множител”, „произведение”, „деление”, „делимо”, „делимо”, „частно”, "топка", "цилиндър", "конус", "куб", "паралелепипед", "пирамида", "ъгъл", "триъгълник", "четириъгълник", "квадрат", "правоъгълник", "многоъгълник", " кръг”, „окръжност”, „крива”, „полилиния”, „отсечка”, „дължина на отсечка”, „лъч”, „права линия”, „точка”, „дължина”, „ширина”, „височина”, “периметър”, “площ на формата”, “обем”, “време”, “скорост”, “маса”, “цена”, “цена” и много други. Всички тези понятия са общи понятия.

Науката, която изучава количествата, количествените отношения и пространствените форми

Първа буква "м"

Втора буква "а"

третата буква "т"

Последният бук е буквата "а"

Отговор за ключ "Наука, която изучава количествата, количествените отношения и пространствените форми", 10 букви:
математика

Алтернативни въпроси в кръстословици за думата математика

Представителят на тази наука победи булката от Нобел и затова Нобеловата награда не се дава за успех в нея.

„Кула“ в програмата на Политехническия университет

Точна наука, която изучава количествата, количествените отношения и пространствените форми

Науката за количествата, количествените отношения, пространствените форми

Именно този предмет се преподаваше в училище от "скъпа Елена Сергеевна" в изпълнение на Марина Неелова

Дефиниции на думи за математика в речници

Речникжив великоруски език, Владимир Дал Значението на думата в речника Обяснителен речник на живия великоруски език, Владимир Дал
и. науката за величините и количествата; всичко, което може да се изрази с числа, принадлежи на математиката. - чист, борави с величини абстрактно; - приложен, прикрепя първия към случая, към предмети. Математиката се дели на аритметика и геометрия, като първата има ...

Уикипедия Значението на думата в речника на Уикипедия
математика (

Велика съветска енциклопедия Значението на думата в речника на Великата съветска енциклопедия
I. Дефиниране на предмета на математиката, връзка с други науки и техника. Математика (гръцки mathematike, от máthema ≈ знание, наука), наука за количествените отношения и пространствените форми на реалния свят. „Чистата математика има за цел...

Нов обяснителен и деривационен речник на руския език, Т. Ф. Ефремова. Значението на думата в речника Нов обяснителен и деривационен речник на руския език, Т. Ф. Ефремова.
и. Научна дисциплина за пространствените форми и количествените отношения на реалния свят. Учебен предмет, съдържащ теоретичните основи на дадена научна дисциплина. разгънете Учебник, който излага съдържанието на даден учебен предмет. прев. разгънете Точен,...

Примери за употребата на думата математика в литературата.

Отначало Тредиаковски беше подслонен от Василий Ададуров - математик, ученик на великия Якоб Бернули, а за този подслон поетът инструктира учения на френски език.

Отиде в математикАдадуров, механик Ладиженски, архитект Иван Бланк, оценители от различни колегии, лекари и градинари, офицери от армията и флота излязоха на бял свят.

На дълга, полирана орехова маса седяха в кресла двама: Аксел Бригов и математикБродски, когото разпознах по мощната му сократова плешива глава.

Понтрягин, чиито усилия създават нов раздел математика- топологична алгебра, - изучаване на различни алгебрични структури, надарени с топология.

Нека също да отбележим между другото, че епохата, която описваме, е свидетел на развитието на алгебрата, сравнително абстрактен клон на математика, чрез комбиниране на своите по-малко абстрактни отдели, геометрия и аритметика, факт, доказан от най-старите проявления на алгебрата, достигнали до нас, наполовина алгебрични, наполовина геометрични.